trigonometrijske funkcije

1

INTEGRALI ZADACI ( VII – DEO)

Integracija nekih trigonometrijskih funkcija

Daćemo vam savete za četiri tipa integrala trigonometrijskih funkcija.

A) Integrali tipa ∫ dxxxR )cos,(sin

To su integrali u kojima sinx i cosx nemaju stepene. Uvodimo smenu: 2

xtg t=

Iz smene ćemo upotrebom formula iz trigonometrije dobiti:

2

2 2

cos2

2sin cossin 2 2sin1 sin cos

2 2

x

x xx

xx x

= = =+

2

sin22

cos2

cos2

x

x

x

2 222

2

2

2 2

2 2

2 2 221 11sin

22 1cos

2

cos2

cos sincos 2 2cos1 sin cos

2 2

xtg

t t

xx t ttg

x

x

x xx

xx x

= = =+ + +

+

−= = =

+

2

2

2

sin21

cos2

cos2

x

x

x

−

22

222

2

1 1211sin

22 1cos

2

xtg

t

xx ttg

x

− −= =

+ + +

Kako je 2

xtg t= onda je

2

22

2 1

xarctgt x arctgt dx dt

t= → = → =

+

Da rezimiramo:

Kad uzimamo smenu 2

xtg t= menjamo:

2

2

2

2

2sin

1

1cos

12

1

tx

t

tx

t

dx dtt

=+

−=

+

=+

Smena 2

xtg t= je univerzalna trigonometrijska smena i može se uvek upotrebljavati, al je lakše , zavisno od izgleda

podintegralne funkcije koristiti i sledeću smenu:

www.matematiranje.com

2

B) Integrali tipa ( )R tgx dx∫ i 2 2(sin ,cos ,sin cos )R x x x x dx⋅∫

To su integrali koji mogu da se sredjivanjem svedu sve na tgx ili kod kojih se javljaju stepeni kod sinusa i kosinusa i proizvod sin cosx x⋅ .

Uvodimo smenu: tgx t=

Iz smene ćemo upotrebom formula iz trigonometrije dobiti:

2

2 2 2 222 2

2 22 2 2 2

2 2

2

2 2 22 2

2 22 2 2 2

2 2

sinsin sin cossin svuda dodamo cos

sin cos1 sin cos 1 1cos cos

coscos cos 1 1coscos svuda dodamo cos

sin cos1 sin cos 1 1cos cos

sin cos

x

x x tg x txx xx xx x tg x t

x x

x

x x xx xx xx x tg x t

x x

x

= = = = = =+ + +

+

= = = = = =+ + +

+

⋅2 2

sin cossin cos sin cos

1 sin cos

x x

x x x xx

x x

⋅⋅ ⋅

= = =+

2cos2 2 2 2

2 2

2

sin cos 1 1cos cos

1

tgx tx

x x tg x t

x x

dttgx t x arctgt dx

t

= =+ +

+

= → = → =+

Da rezimiramo:

Kad uzimamo smenu tgx t= menjamo:

22

2

22

2

2

sin1

1cos

1

sin cos1

1

tx

t

xt

tx x

t

dtdx

t

=+

=+

⋅ =+

=+


3

C) Integrali tipa sin cosm nx xdx⋅∫

Razlikovaćemo dve situacije:

i) Ako su m i n celi brojevi ii) Ako su m i n racionalni brojevi

U obe situacije uvodimo smenu sin x u= ili cosx=u ali se u situaciji i) kad su m i n celi brojevi integral svede na integraciju racionalne funkcije, a u situaciji ii) kad su m i n racionalni brojevi svede na integral diferencijalnog binoma.

D) Integrali tipa sin cos ; sin sin ; cos cos ;ax bxdx ax bxdx ax bxdx∫ ∫ ∫

Najpre iskoristimo trigonometrijske formulice:

sinax sinbx= 2

1[cos(a-b)x – cos(a+b)x]

sinax cosbx= 2

1[sin(a+b)x + sin(a-b)x]

cosax cosbx=2

1[cos(a+b)x + cos(a-b)x]

A zatim ih rastavimo na dva integrala od kojih svaki rešavamo lakom smenom.

NEKI TRIKOVI:

Ako je u integralu izraz 22 xa − , onda je zgodno uzeti smenu x=asint jer tako uništavamo koren

22 xa − = 2 2( sin )a a t− = 2 2 2(sin )a a t− =a 21 sin t− =a cos t

Ako je u integralu dat izraz 22 ax + , onda je zgodno uzeti smenu x=a tgt jer tako uništavamo koren

22 ax + = 2 2( )atgt a+ = 2 2 2a tg t a+ =a 2 1tg t + = a 2 2 2

2 2 2

sin sin cos 11

cos cos cos

t t ta a

t t t

++ = = = a

1

cos t


4

PRIMERI

primer 1. ?sin

dx

x=∫

Ovaj integral smo već rešavali u fajlu Integrali zadaci I- deo bez trigonometrijkih smena. Videćemo da je mnogo

elegantnije iskoristiti smenu 2

xtg t= . Dakle:

2

2

2sin

12

1

tx

t

dx dtt

=+

=+

2

2

211 ln ln

2sin 21

dx xt dt dt t C tg Ctx t

t

+= = = + = +

+

∫ ∫ ∫

primer 2. 2 sin

?2 cos

xdxx

−=

+∫

I ovde ćemo koristiti smenu 2

xtg t= jer sinx i cosx nemaju stepene.

Imamo gotove smene:

2

2

2

2

1

1cos

1

2sin

1

22

t

tt

t

tx

dtt

dx

tx

tg

+

−=

+=

+=

=

koje menjamo u integralu:

2

2 2

2

222 sin 21

12 cos 12

1

t

x tdx dttx t

t

−− += ⋅ =

−+ ++

+

∫ ∫

2

2

2 2

2

2 2 2

12 2 1

1

t t

t

t t

t

+ −

++ + −

+

2

2

1 t⋅+

∫ dt ∫ ++

+−= dt

tt

tt

)1)(3(

14

22

2

Ovo je integral racionalne funkcije. Izvlačimo na stranu i radimo:


5

Pazite: oba izraza u imeniocu su nerazloživa...

22 2

2 2 2 2

1..................................... / ( 3)(1 )

( 3)(1 ) 3 1

t t At B Ct Dt t

t t t t

− + + += + ⋅ + +

+ + + +

2 3 2 3 21 3 3t t At At B Bt Ct Ct Dt D− + = + + + + + + + Neko piše i identički jednako umesto jednako…U suštini je po nama sve jedno al vi radite kako kaže vaš profesor…

2 3 21 ( ) ( ) ( 3 ) 3t t A C t B D t A C t B D− + ≡ + + + + + + + Uporedjujemo :

,0=+CA ,1=+DB 13 −=+ CA i 13 =+ DB Rešimo ovo sistemče ( ukombinujemo 1. i 3. jednačinu, a 2. i 4.) i dobijamo:

,2/1=A ,1=B ,2/1−=C 0=D Vratimo se da vidimo kako će da ide razlaganje:

2

2 2

14

( 3)(1 )

t tdt

t t

− +

+ +∫ =2 2 2 2

1 11 22 24 4 2 23 1 3 1

t tt t

dt dt dt dtt t t t

−+ +

+ = −+ + + +∫ ∫ ∫ ∫

Rešavanje ovih integrala smo detaljno objasnili u prethodnim fajlovima…

22

22

33 2 22 2ln ln1 3 3 3 31

2

x xtg tg

t tarctg C arctg C

xttg

++= + + = + +

+ +


6

primer 3. ?(2 cos )sin

dxI

x x= =

+∫

Često se integral u radu obeležava nekim slovom , najčešće sa I, J … Razlog je da ga ne bi posle vazdan prepisivali, već samo upišemo I, J …

I ovaj integral ćemo rešiti prvom , univerzalnom smenom 2

xtg t= .

2

2

2

2

1

1cos

1

2sin

1

22

t

tt

t

tx

dtt

dx

tx

tg

+

−=

+=

+=

=

pa je

2

I =21 t+

2

2

1 22

1

t

t

−+ ⋅ +

21

t

t+

2

2 2 2

2

1

2 2 1 ( 3)1

dt tdt dt

t t t tt

t

+= =

+ + − +⋅

+

∫ ∫ ∫

Integracija racionalne funkcije, izdvojimo podintegralnu funkciju:

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 3

( 3) 3 ( 3)

1 ( 3) ( )

1 3

1 ( ) 3

t A Bt C At A Bt Ct

t t t t t t

t A t Bt C t

t At A Bt Ct

t t A B Ct A

+ + + + += + =

+ + +

+ = + + +

+ = + + +

+ = + + +

1,A B+ = ,0=C 13 =A

,3/1=A ,3/2=B 0=C

2

2

31 2 1 1

za drugi integral smena ln13 3 3 3 3

2

t udt t du

I dt t ct t utdt du

+ == + = = + +

+ =∫ ∫ ∫

2 21 1 1 1ln ln( 3) ln ln 3

3 3 3 2 3 2

x xI t t C tg tg C

= + + + = + + +


7

primer 4. 4 4

sin cos?

sin cos

x xI dx

x x= =

+∫

Kako ovde imamo stepene sinusa i kosinusa, uzećemo drugu smenu tgx t= pa je:

22

2

22

2

2

sin1

1cos

1

sin cos1

1

tx

t

xt

tx x

t

dtdx

t

=+

=+

⋅ =+

=+

22

24 4 222

2 2

sin cos 11sin cos 11

1 1

tt

x x dt ttI dxx x tt

t t

++= = ⋅ =+ +

+ + +

∫ ∫ 4

2

1

(1 )

t

t

+

+2

21

dt

t+∫

2

2 24 2 2 2

1 1 1 12 ( )

1 ( ) 1 2 1 2 2 21

2

t zt t dzdt dt tdt dz arctgz C arctgt C arctg tg x C

t t z

tdt dz

=

=

= = = = = = + = + = ++ + +

=

∫ ∫ ∫

Ovaj zadatak smo mogli da rešimo i na drugi način, koristeći trigonometrijske formule. Ideja je da se izraz u imeniocu transformiše. Krenemo od osnovne identičnosti:

2 2 2

4 2 2 4

4 4 2 2

2 24 4

24 4

24 4

24 4

4 4

sin cos 1............................. / ()

sin 2sin cos cos 1

sin cos 1 2sin cos

4sin cossin cos 1

2

sin 2sin cos 1

2

2 sin 2sin cos

2

1 1 sin 2sin cos

2

1sin cos

x x

x x x x

x x x x

x xx x

xx x

xx x

xx x

x x

+ =

+ + =

+ = −

+ = −

+ = −

−+ =

+ −+ =

+ =2cos 2

2

x+

8

Vratimo se u integral...

2 2 2 2

cos 2sin cos 2sin cos sin 2 1

sin 2 21 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 2 1

sin 222

1 1(cos 2 )

2 2

x tx x x x x dt

I dx dx dx x dx dtx x x t

dtxdx

arctgt C arctg x C

=

= = = − ⋅ = =+ + + − +

=−

= + = − +−

∫ ∫ ∫ ∫

primer 5. 2 2 ?a x− =∫

Sećate se ovog integrala? Rešavali smo ga do sada na dva načina: parcijalnom integracijom i metodom Ostrogradskog. Po nama je najelegantnije koristiti trikče: Ako uzmemo smenu sinx a t=

22 xa − = 2 2( sin )a a t− = 2 2 2(sin )a a t− =a 21 sin t− =a cos t

sin cosx a t dx a tdt= → =

2 2 2 2 2

2 2

1 cos 2cos cos cos

2

1(1 cos 2 ) ( sin 2 )

2 2 2

ta x a t a tdt a tdt a dt

a at dt t t C

+− = ⋅ = = =

+ = + + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Moramo vratiti t iz smene:

sin sin arcsinx x

x a t t ta a

= → = → = i još da sredimo :

1 1sin 2

2 2t = 2 2 2

2 2 22 2

2 2 2

sin cos sin 1 sin sin(arcsin ) 1 sin (arcsin )

1

x xt t t t

a a

x x x a x xa x

a a a a a

= ⋅ − = − =

−= − = = −

9

Rešenje je: 2 2 2

2 2 2 22

1( sin 2 ) (arcsin ) arcsin

2 2 2 2 2

a a x x a x xt t C a x C a x C

a a a+ + = + − + = + − +


trigonometrijske funkcije

Documents