trigonometrija 4 -...

Mira Mihajlović Petković 1

Trigonometrija 4

Sinusov i kosinusov poučak

Primjena trigonometrije u planimetriji i stereometriji

Projektna nastavaGeodet iz 1913. godine


Forum za podršku nastavi na PMF-Matematičkom odjelu

Pitanje:

Zašto se netko sjetio da pomoću omjera stranica trokuta definira trigonometrijske funkcije?

Jeli to nekome bilo dosadno ili je opet praksa zahtjevala taj naum?

Odgovor:

Kako se zovu preostala dva omjera stranica,mislim na 'hipotenuza kroz priležeća' i 'hip. kroz

nasuprotna' i zašto ta dva omjera/funkcije nisu u uporabi?

U ovom (a i mnogim drugim slucajevima matematike nastale prije 19. i 20. stoljeca) prvo je

bila praksa, a tek onda teorija, tocnije: nesto je matematicki uvedeno jer je za nesto trebalo.

Konkretno, trigonometrijske se funkcije pojavljuju u postklasicnom grckom razdoblju

(2.st.pr.Kr.-5.st.n.e.) i to iz potreba astronomije. Prvi se varijantom na temu sinus bavi

Hiparh (s tim da on u biti nema sinus, nego ono sto bi mi zvali dvostruki sinus polukuta, a

on je zvao tetivom: racunao je duljinu tetive koja pripada zadanom sredisnjem kutu u

kruznici danog radijusa, i to za razne kuteve i tako dobio prvu tablicu "sinusa"). Grcki

matematicari do kraja klasicnog razdoblja racunaju samo s tetivama (npr. Ptolomej) i koriste

ih za izracunavanje raznih astronomskih podataka. Od poznatih teorema, tu se pojavilo

koristenje pravila koja mi zovemo adicioni teorem za sinus i teorem o sinusima.

Polutetive tj. sinusi se iz istih potreba pojavljuju prvi put u Indiji oko 500.n.e. (Aryabhata), a

Arapi ih oko 10. stoljeca prosiruju (nalaze bolje metode izracunavanja tablica, otkrivaju nova

svojstva, uvode tangens...)

U kasnom srednjem vijeku i renesansi se postavlja kompletna trigonometrijska teorija

(Regiomontanus i neki arapsko-maorski matematicari prije nejga). Od kosinusa se u to doba

puno cesce koristi 1 minus kosinus (i zove versinus). Imena sinus i kosinus ustaljuju se tek

u 17. stoljecu. Sve do renesanse trigonometrija se koristi prakticki iskljucivo za

astronomiju, a ne kao zasebna matematicka teorija. U biti se cak puno vise razradjivala

sferna od ravninske trigonometrije, a ravninska se u pravilu koristila samo onoliko koliko

treba za sfernu.

Eto toliko o povijesti dragog vam sinusa


Formule :

Pravokutni trokut

sina

c cos

b

c

atg

b b

ctga

2

abP

Sinusov poučak:

: : sin : sin : sina b c 2sin sin sin

a b cR

Cosinusov poučak:

2 2 2 2 cosa b c bc 2 2 2

cos2

b c a

bc

2 2 2 2 cosb a c ac 2 2 2

cos2

a c b

ac

2 2 2 2 cosc a b ab 2 2 2

cos2

a b c

ab

Formule za površinu trokuta:

sin2

abP sin

2

acP sin

2

bcP

Heronova formula

P s s a s b s c Poluopseg 2

a b cs

Paralelogram sinP av ab

2 2 2 22e f a b

Površina četverokuta

sin

2

efP


Primjena sinusovog poučka

Sinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi

raznostraničnog trokuta:

Dvije stranice I kut nasuprot jedne stranice

Dva kuta I jedna stranica

1. Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je

a) cm,a 683 ,

35 37 ', 36 47 '

b) 20 , 18 , 48 40 'a cm b cm

c) 1, 2 , 3, 4 , 63 50 'b m c m

d) cm,a 683 ,

55 37 ', 36 47 '

Rješenje: Za rješavanje zadatka 1. koristimo skicu

a) Kao je zadano , ,a dovoljno je uzeti iz formule sinusovog poučka samo:

sin sin

a b

.

Kako tražimo b izrazimo ga iz formule: sin 3,68 sin 36 47

3,78sin sin 35 37

ab cm

Kut dobijemo iz 180 => 180 ( ) 107 36


A stranicu c iz: sin sin

a c

=>

sin 3,68 sin107 366,02

sin sin 35 37

ac cm

A površinu možemo dobiti po bilo kojoj od tri formule:

sin2

abP , sin

2

acP ili sin

2

bcP => 26,63P cm

b), c) i d) zadatak se lako riješe po primjeru a)

2. U trokutu je ''',cmR,cmc 2833501211 . Odredi površinu.

3. Opseg trokuta je 20cm, a dva su kuta 641, i 569, . Odredi nepoznate stranice i

kuteve trokuta.

Rješenje:

Zadano je o = 20 cm, 41,6 , 69,5

Možemo izračunati lako treći kut trokuta: 180 68,9

Iz sinusovog poučka dobijemo odnose stranica: : : sin : sin : sina b c

: : sin 41,6 : sin 69,5 : sin 68,9 0,6639 : 0.9367 : 0,933a b c =>

Pa možemo zapisati:

0,6639

0.9367

0,933

a k

b k

c k

i uvrstiti u formuli za opseg o = a + b +c

O = 0,6639k + 0,9367k + 0,993k = 2,5936 = 20 cm => k = 7,711

=> a = 5,12cm, b = 6,66 cm, c = 7,06 cm.

4. Razlika duljina dvije stranice trokuta je 6cm, a kutevi nasuprot tim stranicama su

632, i 875, . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta.

Rješenje:

Zadano je a – b = 6 cm, 32,6 i 75,8

Izrazimo a = b + 6 i uvrstimo u formulu sin sin

a b

=>

6

sin 75,8 sin 32,6

b b

=>

6 0,5388 0,9694b b => 0,5388 3, 2328 0,9694b b => 7,51b cm


a = 13,51 cm.

Treći kut lako nađemo: 180 71,6

A stranicu c iz jednakosti: sin sin

a c

=>

sin13,22

sin

ac cm

5. Odredi duljine stranica i kutova trokuta sa slika:

a) b)

c)

Zadatak ima jednostavno rješenje, kao i 1.

Kraj poglavlja


Primjena kosinusovog poučka

Cosinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi

raznostraničnog trokuta:

Dvije stranice I kut između te dvije stranice

Sve tri stranice

1. Odredi nepoznate elemente trokuta ako je

a) 20 , 18 , 48 40 'a cm c cm

b) ',m,c,m,b 50634321

c) cmc,cmb,cma 211320

d) cmb,cma 3740 , 18

Rješenje:

a) 20 , 18 , 48 40 'a cm c cm

Primjenom formule:

2 2 2 2 22 cos 20 18 2 20 18 cos 48 40 248, 4841b a c ac c

15,76b cm

Kut dobijemo formulom: 2 2 2 2 2 215,76 18 20

cos 0,30382 2 15,76 18

b c a

bc

=> 72 18

Kut dobijemo iz formule: 180 180 72 18 48 40 59 2

Površinu trokuta možemo izračunati formulom:

220 15,76sin sin 59 2 135,136 1̈35,14

2 2

abP cm

b) ',m,c,m,b 50634321

Rješenja: 3,7a m , 18 51 , 97 19 , 21,99P m

c) cmc,cmb,cma 211320


Rješenja: 75 44 , 36 52 , 67 24 , 2120,02P cm

d) cmb,cma 3740 , 18

Rješenja: 12,4c cm , 67 10 , 94 50 , 2228,67P cm

2. Izračunaj površinu i opseg trokuta ako je ',cmb,cm,a 154715411

3. Ne rabeći računalo, izračunaj površinu trokuta ako je 13631 c,b,a

Rješenje:

Primjenom kosinusovog poučka:

2 2 22 2 2 1 3 3 1 6 1 2 3

cos2 2 1 3 3 1

a c b

ac

3 1 2 3 3 6

2

2

2 1 3

4 2

1

2

=> 60 ( iz tablice) =>

21 3 3 1 3 1 3 2sin sin 60

2 2 2 2

acP

223 3

2 2cm

Bilo je idealno za ponoviti korijene.

4. Ako je površina trokuta 214cmP , a dva njegova kuta ',' 48642258 odredi duljine stranica.

Rješenje:

Ako je 58 22 i 64 48 i znamo formule za površinu trokuta:

sin .sin 58 22 142 2

sin .sin 64 48 142 2

bc bcP

ac acP

=>

2.0,8514 14 /

2 0,8514

2.0,9048 14 /

2 0,9048

bc

ac

=>

32,88732,887

30,94630,946

bc cb

ac ca

=>

32,887 30,946 30,9460,941

32,887

ba b

b a

=>

Izračunamo treći kut: . 180 56 50 i iz treće formule za površinu:


2 2

0,91sin 14 sin 56 50 14

2 214

0,381 14 36,7454 6,10,381

ab b bP

b b b cm

=>

0,91 6,1 5.55

32,8775, 4

6,1

a cm

c cm

5. Odredi površinu trokuta ako je 2352511 ,cm,a,cm,cb .

Rješenje:

Iz 11,5 11,5b c cm b c

Po kosinusovom poučku: 2 2 2 2 cosa b c bc =>

22 22,5 11,5 2 11,5 cos 23c c c c =>

2 2 2

2

6,25 132,25 23 (23 2 ) 0,9205

3,841 44,1715 126 0

c c c c c

c c

2

1,2

44,1715 44,1715 4 3,841 126 44,1715 3,9061

2 3,841 7,682c

1 1 1

2 2 2

5, 24 11,5 6,26

6,26 11,5 5, 24

c b c cm

c b c cm

Kako su 1 2c b i 2 1c b oba rješenja daju isti

trokut samo druge orjentacije, pa površinu možemo izračunati odmah formulom:

21 1 sin 6,4082

b cP cm

6. Odredi duljine stranica i kutova trokuta sa slika:

b)

a)


7. Odredi stranice a i b ako je ',cmv,cmc c 1062510

Rješenje:

cv

Iz pravokutnog tokuta ADC možemo izračunati stranicu b:

sin 62 10 cv

b =>

55,65

sin 62 10 sin 62 10cv

b cm

A onda primjenom kosinusovog poučka na trokutu ABC dobijemo a:

2 2 2 2 22 cos 5,65 10 2 5,65 10 cos62 10 79,1626a b c bc c => 8,9a cm

8. Od redi ct ako je ',cmb,cma 26985682

Rješenje:

Kosinusovim poučkom iz dobivenih elemenata trokuta ABC možemo dobiti c:

2 2 2 2 22 cos 82 56 2 82 56 cos98 26c a b ab => 105,86c cm


A kut iz formule: 2 2 2 2 2 256 105,86 82

cos 0,642552 2 56 105,86

b c a

bc

=> 50 1

Iz trokuta ACD primjenom cosinusovog poučka i spoznaje da težišnica ct dijeli

stranicu c na dva jednaka dijela i dobivamo izraz za izračunavanje težišnice iz vrha C:

22 2 2

2c

ct b

2

c

22105,86

cos 56 22

b

105,86

2 56 cos50 1 5869,56299

=> 76,61ct cm

9. Iz točke A vidi se točka C pod kutom od 15 , a iz točke B, koja je 300m udaljeno

od točke A, pod kutom od 38 . Koliko su udaljene točke A i C, a koliko B i C?

Rješenje:

Primjenom sinusovog poučka na trokut ABC dobijemo:

sin15 sin 38 sin

y x c

a iz spoznaje da je 180 180 15 38 127 pa lako dobijemo x i y.

Kraj poglavlja!


Primjena na planimetriju i stereometriju

1. Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je cma 10 , a duljine težišnica

9at cm i 6ct cm

Rješenje:

Trebali bi znati da težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 od vrha prema polovištu

suprotne stranice. Iz toga možemo zaključiti da:

2 2

3 3cCT t

1

6 2 4 1 1

3 3aDT t

1

9 3 3 1 1

2 2CD a

1

10 5 5

Pogledajmo trokut ADT i vidimo da su nam poznate sve tri stranice pa pomoću

kosinusovog poučka možemo naći kut :

2 2 2 2 2 25 3 4cos 0,6

2 2 5 3

CD DT CT

CD DT

=> 58 7

Sada pogledajmo trokut DCA i iz njegovih poznatih elemenata možemo izračunati

stranicu b: 2

2 2 22 a

ab t

2

a 2 2cos 5 9 10 9 cos58 7 58,4627at =>

b = 7,64 cm


Iz istog trokuta možemo izračunati i kut :

22 2

2cos

2

a

ab t

2

a

2 2 25 7,64 90,031

10 7,64b

=> 88 13

I konačno iz trokuta ABC možemo izračunati treću stranicu:

2 2 2 2 22 cos 10 7,64 2 10 7,64 cos88 13 153,6144c a b ab => c = 12,39 cm

Kutove ili možemo dobiti formulom:

2 2 2 2 2 27,64 12,39 10cos 0,5909

2 2 7,64 12,39

b c a

b c

=> 53 46

A preostali kut je najlakše izračunati formulom: 180 38 1

2. Izračunaj duljinu stranice a trokuta ako je cmt,cm,c,cm,b a 11217412 .

3. Dvije stranice paralelograma su jednake cm,511 i cm,816 , a jedan unutarnji kut

iznosi '16135 . Odredi duljine dijagonala paralelograma.

4. Duljine stranica paralelograma jednake su 15cm i 20cm, a duljina jedne njegove

dijagonale je 32cm. Odredi unutarnje kutove te duljinu druge dijagonale.

5. Duljina stranice romba je 13 cm, a kraća dijagonala 15 cm. Odredi dulju

dijagonalu, unutrašnje kutove romba i površinu.

6. Površina paralelograma iznosi 50 cm 2 , a njegove stranice 10 cm i 6 cm. Odredi

kut između dijagonala i unutrašnje kutove paralelograma.

7. Dijagonale deltoida (zmaja) razlikuju se za 4 dm, a jedna stranica je duga 7 dm.

Izračunaj površinu deltoida, te njegove unutrašnje kutove.

5. Odredi kutove i dijagonale trapeza ako su osnovice 6 cm i 4 cm, a krakovi 3 cm i 4

cm.


6. Duljine osnovica trapeza jednake su 12.5 cm i 4 cm, a dva šiljasta kuta 72 i 58 .

Izračunaj površinu trapeza.

7. Površina trokuta je 280cm , jedna stranica 16cm i kut na njoj 30 . Odredi stranice i

polumjer opisane kružnice.

8. Osnovice trapeza su 10cm i 6cm. Dijagonala duljine 8cm zatvara s manjom

osnovicom kut od 30 . Odredi drugu dijagonalu.

9. Kvadratna prizma koja u bazi ima kvadrat stranice a = 5 cm nagnuta je na jednu

stranu za kut od 30 , a bočni brid joj je b = 7 cm. Koliki su volumen i oplošje te

prizme.

10.Baza uspravne trostrane prizme je raznostraničan trokut bridova od 4, 5 i 6 cm, a

visine 8 cm. Odredi oplošje i volumen te prizme.

Kraj poglavlja


Primjena trigonometrije

1. Odredi udaljenost točaka A i C koje rastavlja rijeka ako znamo udaljenost točaka na

istoj strani rijeka mAB 300 . Kutovi pod kojim se vide dužine BC i AC su

',' 401031852

2. Udaljenost točaka P i Q na suprotnim stranama rijeke nije se mogla izmjeriti direktno

zbog otoka na sredini. Točkom Q na obali prolazi dužina AB. Nađi udaljenost PQ

ako su izmjereni elementi ',',m,AB 45573442374 .


3. Iz točke A na moru vidi se vrh svjetionika pod kutom '1911 , a iz točke B koja je

za d = 52,7m bliže, vidi se vrh pod kutom '4830 , a podnožje pod kutom

'459 . Kolika je visina svjetionika?

4. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera podnožje

reklame vidi se pod kutom 42 , a njen vrh pod kutom 45 . Kolika je visina reklame?


5. Na putu iz grada A u grad B zrakoplov je skrenuo s kursa '3812 . Nakon 78 km leta

pilot je ispravio kurs i letio još 120km do mjesta B. Ako zrakoplov leti stalnom

brzinom 420km na sat, izračunajte koliko je vremena zrakoplov dulje letio zbog

skretanja?

6. Brod plovi prema luci i od nje je udaljen 12km. Nakon što su prešli 5 km kapetan

shvati da je skrenuo s kursa za 21 . Koliko su tada bili udaljeni od luke?


7. Dva broda isplovila su pod kutom od 37 . Dok je jedan brod prešao 32km, drugi je

prešao 25km. Koliko su tada bili udaljeni jedan od drugoga?

8. Iz krajnjih točaka dužine 100m vidi se vrh brda pod kutovima 71 33' i 63 26 ' . Odredi

visinu brda.

63 26' 71 33 '


9. Sa prozora visokog 20m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 12 , a sa zemlje

(točno ispod prozora) pod kutom od 58 . Koliko je visoka zgrada?

Rješenje: Zgrada je visoka h = x + y

Iz trokuta BDA je 1212

x xtg DB

DB tg

Iz trokuta CEA je 5858

x y x ytg CE

CE tg

A kako je 12 58

x x yDB CE

tg tg

i 20y =>

20

12 58

x x

tg tg

=> 58 20 12x tg x tg

Riješimo jednadžbu po x:

58 12 20 12

58 12 20 12

x tg x tg tg

x tg x tg tg

Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo:

1,3875 4,2511/ :1,3875

3,06 3

x

x m

=> Zgrada je visoka h=23 metra.

U prilogu su dva projekta učenika Opće gimnazije s pravom javnosti iz Rijeke

http://www.gimnazija-opca-pravojavnosti-ri.skole.hr/

trigonometrija 4 -...

Documents