trigonometria — 2016 1 — notas de aulacegalvao/ensino/2016_1/jce023/... · 2016-06-23 ·...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ — UFPRCAMPUS AVANÇADO EM JANDAIA DO SUL
LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃOLICENCIATURA EM CIÊNCIAS EXATAS
Disciplina: JLC048 — Pré-Cálculo Professor: Carlos GalvãoDisciplina: JCE023 — Matemática I Professor: Carlos Galvão
Trigonometria — 2016_1 — Notas de AulaDado o triângulo retângulo, sendo hi hipotenusa, (lado oposto ao ângulo reto), cocateto oposto ao ângulo α (lado oposto a α) e ca cateto adjacente ao ângulo α(lado que forma α com a hipotenusa).
Seno: senα =cohi
Cosseno: cosα =cahi
Tangente: tanα =coca
Obs.: tanα e tgα são representações aceitáveis para tangente.tangα está errado. (tangente é “co-ca”, não é Tang.)
Nota:senαcosα
=co/hica/hi
=co
��hi· ��hi
ca=
coca
= tanα
Medidas de Ângulos
Graus:1
360da Circunferência
Angulo Reto: 90◦
Grados:1
400da Circunferência
Angulo Reto: 100 grad
Radianos:1
2πda Circunferência
Angulo Reto:π
2rad
A medida do arco de 1 rad tem comprimento igual ao raio da circunferência.
Importante:
Para Geometria: Use Graus Para Funções: Use Radianos
1
Circunferência Trigonométrica
Circunferência de centro na origem e raio 1.Todos os ângulos menores do que uma volta podem ser marcadosMedida Vertical: Seno do Ângulo.Medida Horizontal: Cosseno do Ângulo
Quadrantes
1◦ Quadrante: 0◦ ≤ x ≤ 90◦
2◦ Quadrante: 90◦ ≤ x ≤ 180◦
3◦ Quadrante: 180◦ ≤ x ≤ 270◦
4◦ Quadrante: 270◦ ≤ x ≤ 360◦
Ângulos acima do ângulo reto: Rebate para um ângulo correspondente do 1◦ Quadrante
Para x no 2◦ Quadrante:sen x = sen (180◦ − x)
cos x = − cos(180◦ − x)Ex.: sen 156◦ = sen 24◦
cos 156◦ = − cos 24◦
Para x no 3◦ Quadrante:sen x = −sen (180◦ + x)cos x = − cos(180◦ + x)
Ex.: sen 216◦ = −sen 56◦
cos 216◦ = − cos 56◦
Para x no 4◦ Quadrante:sen x = −sen (360◦ − x)cos x = cos(360◦ − x)
Ex.: sen 302◦ = −sen 58◦
cos 302◦ = cos 58◦
Ângulos Congruentes:Ângulos com medida abaixo de 0◦(0 rad ) ou acima de 360◦(2π rad )
Procedimento: Precisa acrescentar(para x < 0) ou retirar (para
x > 360◦) as voltas extras. Faz-se adivisão na chave e o ângulo
procurado será o resto desta divisão
Exemplo489◦ 360◦
360◦ 1 volta129◦
Para x em graus, 0◦ ≤ θ ≤ 360◦:x = θ + k · 360◦, (k ∈ Z)
Para x em radianos,0 rad ≤ θ ≤ 2π rad :
x = θ + k · 2π rad , (k ∈ Z)
2
Ângulos Notáveis
Ângulos do 1◦ Quadranterad ◦ sen cos tan
π/6 30◦ 1/2
√3/2
√3/3
π/4 45◦√
2/2
√2/2 1
π/3 60◦√
3/21/2
√3
Quartos de Voltarad ◦ sen cos tan
0 ou 2π 0◦ ou 360◦ 0 1 0
π/2 90◦ 1 0 @
π 180◦ 0 −1 0
3π/2 270◦ −1 0 @
Soma de Arcos
• sen (a± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a
• cos (a± b) = cos a · cos b ∓ sen a · sen b
• sen 2a = 2 · sen a · cos a
• cos 2a = cos2 a− sen 2a = 1− 2sen 2a = 2 cos2 a− 1
Outras fórmulas, obtidas das anteriores
• tan (a± b) =tan a + tan b
1− tan a tan b
• tan (2a) =2 tan a
1− tan2 a• sen (−x) = −sen x (seno é ímpar)
• cos(−x) = cos x (cosseno é par)
• sen (x + 2π) = sen x (Período do seno 2π)
• cos(x + 2π) = cos x (Período do cosseno 2π)
• tan(x + π) = tan x (Período da tangente π)
• sen(
x +π
2
)= cos x para qualquer x .
Mais funções trigonométricas
Secante: sec x =1
cos xCossecante: csc x =
1sen x
Cotangente: cot x =1
tan x
Obs.: Ainda é possível escrever cot x =cos xsen x
=csc xsec x
Identidades trigonométricas
sen 2α + cos2 α = 1 1 + cot2 α = csc2 α
tan2 α + 1 = sec2 α
3
Valores diversos - Não é preciso decorarrad ◦ sen cos tan sec csc cot
0 ou 2π 0◦ ou 360◦ 0 1 0 1 @ @
π/6 30◦ 1/2
√3/2
√3/3
2/√3 = 2√
3/3 2 3/√3 =√
3
π/4 45◦√
2/2
√2/2 1 2/√2 =
√2 2/√2 =
√2 1
π/3 60◦√
3/21/2
√3 2 2/√3 = 2
√3/3
1/√3 =√
3/3
π/2 90◦ 1 0 @ @ 1 0
π 180◦ 0 −1 0 −1 @ @
3π/2 270◦ −1 0 @ @ −1 0
GráficosÂngulos entre 0 e 2π
Gráficos f (x) com domínio R
As linhas verticais pontilhadas são os valores onde as funções não são definidas. São chamadas assíntotas
4
Funções Trigonométricas Inversas
arco seno sen θ = x ⇔ θ = arcsenx : θ é o arco cujo seno vale x (−π2≤ θ ≤ π
2);
arco cosseno cos θ = x ⇔ θ = arccos x : θ é o arco cujo cosseno vale x (0 ≤ θ ≤ π);
arco tangente tan θ = x ⇔ θ = arctan x : θ é o arco cuja tangente vale x (−π2≤ θ ≤ π
2).
LEIS GERAIS - VALE PARA QUALQUER TRIÂNGULO
Lei dos Senos
sen Âa
=sen B
b=
sen Cc
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
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