Trigonométrie

Élie Arama

cbea

21 mars 2018

1 Cercle trigonométrique et radian

2 Mesures d’un angle orienté

3 Mesure principale

4 Cosinus et sinus d’un angle orienté

5 Équations cos x = cos a et sin x = sin a

1

Cercle trigonométrique et radian

Définition

Dans un repère orthonormé du plan (O,I ,J), le cercle de centreO et de rayon 1 parcouru de I vers J dans le sens inverse desaiguilles d’une montre est appelé le cercle trigonométrique.

O I

JSens trigonométrique

ou sens direct

Définition

Sur le cercle trigonométrique, l’angle au centre qui intercepte unarc de longueur 1, mesure 1 radian.

O I

J

1 radian

Arc de longueur 1

Exemples

• Un angle plat mesure 180 degrés ou encore π radians. Eneffet, la longueur du demi-cercle vaut 2×π×1

2= π.

• Un angle droit mesure 90 degrés ou encore π

2radians.

• Un angle plein mesure 360 degrés ou encore 2π radians.

Remarque

Le radian est une unité de mesure des angles au même titre quele degré. Utilisé dans le système international, on le note enabrégé : « rad ».

Théorème• Pour convertir des degrés en radians, on utilise la relation :

Radians = Degrés ×π

180

• Pour convertir des radians en degrés, on utilise la relation :

Degrés = Radians ×180

π

Exemple

• Un angle de 45◦ a pour mesure : 45 × π

180= π

4rad.

• Un angle de 2π3

a pour mesure : 2π3×

180π

= 120◦.

2

Mesures d’un angle orienté

Définition

Soit A, B et C trois points non alignés du plan. On appelle

angle orienté noté(

−→AB ;

−→AC

)

l’angle B̂AC dirigé de B vers C .

AB

C

(

−→AB ;

−→AC

)

Définition

• Si l’angle(

−→AB ;

−→AC

)

est orienté dans le sens direct, alors sa

mesure est la même que celle de l’angle B̂AC .

• Si l’angle(

−→AB ;

−→AC

)

est orienté dans le sens indirect, alors

sa mesure est égale à l’opposé de celle de l’angle B̂AC .

Exemple

• Une mesure de l’angle orienté(

−→OI ;

−→OJ

)

est π

2rad.

• Une mesure de l’angle orienté(

−→OJ ;

−→OI

)

est −π

2rad.

Remarque

Attention, un angle orienté possède une infinité de mesures.

Exemple

• Une autre mesure de(

−→OI ;

−→OJ

)

est 5π2

ou encore −3π2

.

• Une autre mesure de(

−→OJ ;

−→OI

)

est −5π2

ou encore 3π2

.

Théorème

Soient ~u et ~v deux vecteurs et a ∈ R. Si « a » est une mesurede l’angle orienté (~u ;~v), alors, quel que soit k ∈ Z, « a+ 2kπ »est aussi une mesure de (~u ;~v).

3

Mesure principale

Définition

La mesure principale d’un angle orienté (~u ;~v) est l’uniquemesure de cet angle appartenant à l’intervalle ]− π; π].

Exemple

−3π2

, π

2, 5π

2, 9π

2, ... sont toutes des mesures de l’angle

(

−→OI ,

−→OJ

)

mais π

2est la seule appartenant à ]− π; π]. Il s’agit donc de la

mesure principale.

On peut résumer les mesures principales remarquables sur lecercle trigonométrique :

O I

J

π

6

π

4

π

3

π

2

π

5π

6

3π

4

2π

3

− 5π

6

− 3π

4

− 2π

3

−π

2

−π

6

−π

4

−π

3

4

Cosinus et sinus d’un angle orienté

Définition

Soit M un point du cercle trigonométrique et x une mesure de

l’angle orienté(

−→OI ;

−−→OM

)

.

• Le cosinus de x , noté cos x , est l’abscisse de M .

• Le sinus de x , noté sin x , est l’ordonnée de M .

O I

J

M

x

cos x

sin x

Valeurs remarquables du sinus et du cosinus :

x 0 π

6π

4π

3π

2

sin x 0 12

√2

2

√3

21

cos x 1√

32

√2

212

0

O

I

J

π

6

√3

2

12

π

4

√2

2

√2

2

π

3

12

√3

2

π

2

1

1

Théorème

Pour tout x réel, on a :

• −1 ≤ cos x ≤ 1 ;

• −1 ≤ sin x ≤ 1 ;

• cos2 x + sin2x = 1.

5

Équations cos x = cos a et sin x = sin a

Théorème• L’équation trigonométrique cos x = cos a est équivalente à :

x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z)

• L’équation trigonométrique sin x = sin a est équivalente à :

x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z)

Exemple

On veut résoudre dans R l’équation trigonométrique :

cos x = cosπ

6

D’après le théorème précédent, les solutions de cette équationsont les réels de la forme : π

6+ 2kπ ou −

π

6+ 2kπ, avec k ∈ Z.