CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES

Unidad didctica 3. Trigonometra

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal

Proyecto de innovacin ARAGN TRES 1

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO

Si un ngulo es agudo (menor que 90), se puede considerar como uno de los ngulos de un tringulo rectngulo, pudindose definir una serie de conceptos llamados razones trigonomtricas:

Seno de es el cociente de la longitud del cateto opuesto partido por la de la hipotenusa, se

denota sen = ba

Coseno de es el cociente de la longitud del cateto adyacente partido por la de la hipotenusa, se

denota cos = ca

Tangente de es el cociente de la longitud del cateto opuesto partido por la del cateto

adyacente, se denota tg = bc

Podra pensarse que estas definiciones no son consistentes puesto que parece que dependen del tringulo rectngulo que se considere. Sin embargo no es as, ya que el valor del seno, del coseno y de la tangente de un ngulo no vara aunque se considere otro tringulo rectngulo, puesto que ambos son tringulos semejantes (por tener los tres ngulos iguales) y por tanto sus lados son proporcionales.

Ejemplo 3: Determinar las razones trigonomtricas del ngulo menor del tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 5

centmetros.

Aplicando el teorema de Pitgoras la hipotenusa de este tringulo rectngulo mide 2 23 5 = 9 25 = 34+ +

As : sen = 3

34 cos =

5

34 tg =

3

5

En la siguiente tabla figuran las razones trigonomtricas de algunos ngulos.

ngulo 0 /6 /4 /3 /2 seno 0 1/2 2 /2 3 /2 1

coseno 1 3 /2 2 /2 1/2 0

tangente 0 1/ 3 1 3 No

existe

Ejemplo 4: Calcular la altura de un rbol, si desde un determinado lugar se ve entero bajo un ngulo de 60 y si nos alejamos

10 m. se ve bajo un ngulo de 30.

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Unidad didctica 3. Trigonometra

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal

Proyecto de innovacin ARAGN TRES 2

Llamando x a la altura del arbol e y a la distancia AB, se tiene tg30 = xy

y tg60 = 10

xy

. Sustituyendo los valores de las

tangentes se obtiene el sistema siguiente:

13

310

xyx

y

= =

, despejando x en ambas ecuaciones e igualando queda

3 10 33

= y

y , ecuacin cuya solucin es y = 15.

Despejando x de la primera ecuacin del sistema se obtiene que x = 15

5 33 3

= =y

es la altura del rbol.