Triangular é preciso

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Introduzir o conceito de geometria plana

2. Aplicar o conceito de áreas de figuras

planas

Triangular é preciso

Série Matemática na Escola

Conteúdos Geometria plana – áreas de triângulos.

Duração Aprox. 12 minutos.

Objetivos 1. Introduzir o conceito de geometria plana

2. Aplicar o conceito de áreas de figuras planas

Sinopse O agrimensor Paulo explica como é possível estimar a área de um terreno em disputa pelos irmãos.

Material relacionado Áudios: Um triângulo ímpar,

Calçadas;

Vídeos: O tamanho da Terra. Experimento: Qual é a área do quadrilátero?

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

No filme, dois irmãos, Rômulo e Remo, discordam sobre a partilha de terras que foram herdadas por eles. Remo acha que foi injustiçado por ficar com menos terras. Ele sugere resolver o problema com a ajuda do agrimensor Paulo.

Paulo explica como o trabalho de levantamento topográfico deve ser realizado. O levantamento topográfico de um terreno é uma representação plana dessa porção de terra, sendo necessário destacar tudo que está contido nesse espaço, como lagos, casas, etc. A carta também deve apresentar curvas de níveis, para destacar as altitudes de pontos do terreno.

Figura 1. Levantamento topográfico de um terreno

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Paulo diz que os terrenos dos irmãos possuem tamanhos iguais. Ele explica que utilizou o método da poligonação, porque os lotes dos dois irmãos não constituem grandes porções de terras e são relativamente planos. Nesse método, a região do terreno é aproximada por um polígono, que possui uma área menor, porém bem próxima à área do terreno. A partir de um ponto central O, são visualizados outros pontos (A, B, C, ...) nos extremos do terreno; após ligá-los, um polígono é obtido. Daí são fixadas estacas nos vértices desse polígono, sendo medidas as distâncias de todos os segmentos de retas que ligam os vértices ao ponto central. Usando um teodolito no ponto O, medem-se os ângulos formados. Através de relações trigonométricas simples, obtém-se os valores das áreas de cada triângulo e, assim, chega-se ao valor total da área do polígono ao somar todas essas áreas triangulares.

Área da região triangular sendo conhecidos dois lados e o ângulo formado por eles

Conhecidos dois lados ( a e b) e o ângulo (C)) formado por eles, a

área da região triangular é dada por CsenbaS)

. . 2

1= .

Paulo ainda destaca outro método para se estimar o valor da área do terreno, baseada na triangulação desse lote, que só usa medidas lineares.

Num primeiro momento, é preciso determinar quatro pontos nos extremos do terreno, que quando ligados formem um quadrilátero. A disposição desses pontos deve ser tal que o quadrilátero formado por

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eles cubra o máximo possível a superfície total do terreno. É importante que as diagonais desse quadrilátero sejam diretamente medidas. A área total do quadrilátero pode ser assim obtida ao se somar os valores das áreas dos quatro triângulos formados pelas diagonais traçadas. Depois, estima-se os valores das áreas das partes que não foram abrangidas pelo quadrilátero ao inserir triângulos cada vez menores.

Para esses cálculos, utiliza-se a fórmula de Herão, que permite calcular a área de um triângulo somente conhecendo as medidas dos lados desse triângulo.

Figura 2. Fórmula de Herão

Sugestões de atividades

Antes da execução

Sugerimos a revisão dos principais conceitos de geometria plana. Enfatizando que polígono é uma figura plana formada por três ou mais

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segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados consecutivos não são paralelos. Polígonos convexos são polígonos construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se existirem dois pontos do polígono, tais que o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de lados

Triângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6

Heptágono 7 Octógono 8

Eneágono 9 Decágono 10

Undecágono 11 Dodecágono 12

Depois da execução

Após a execução do vídeo, o professor poderia iniciar o estudo de áreas de figuras planas, dando ênfase a situações-problemas que envolvam esse conceito.

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Problema : A figura abaixo representa o terreno de Sinhá Vitória. Esse terreno é dividido em duas partes por uma cerca, representada pelo segmento AC.

a. Qual é a área total do terreno? b. Sinhá Vitória quer fazer uma nova cerca, representada pelo

segmento AF na figura, de modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Determinar a distância CF.

Solução:

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a. Para determinar a área total do terreno basta somar a área do triângulo ABC mais a área do triângulo retângulo ACD.

A área do triângulo ABC é calculada através da fórmula de Hierão.

O triângulo ACD é retângulo e sua área é :

Portanto, a área total do terreno é:

b. Como o terreno tem 936 m², ao dividi-lo em duas partes iguais, cada uma das partes terá área de

.

Desse modo, devemos ter

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E daí, . Por outro lado, a área do triângulo ACF é

Portanto ; logo, .

Sugestões de leitura

DANTE, L.R., Matemática - Contexto e Aplicações - Vol. Ùnico. Editora Àtica. IEZZI, G. e outros. Matemática, ciência e aplicações – Vol. 1. Atual Editora IEZZI, G. e outros. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol.1. Atual Editora

Ficha técnica

Autor Luiz Antonio Mesquiari Revisor José Plínio de Oliveira Santos

Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira