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Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
TRAVI CONTINUE
AGGIORNAMENTO DEL 27/10/2011
Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì
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Per trave continua intendiamo una trave unica, vincolata su più appoggi di cui almeno uno deve essere fisso a terra (cerniera), mentre glia altri possono essere muniti di carrello.
A causa della continuità della trave, sulle campate si verifica una forte riduzione dei momenti flettenti rispetto alla soluzione con campate separate isostatiche. La riduzione dei momenti massimi positivi si “paga”, tuttavia, con la comparsa di momenti negativi (che tendono le fibre superiori) in corrispondenza degli appoggi intermedi.
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La trave continua è iperstatica in quanto il numero di incognite è superiore a quello delle equazioni di equilibrio. Ciò significa che esistono infinite soluzioni che soddisfano il sistema. La soluzione esatta, però, è solo quella congruente con le caratteristiche di deformabilità degli elementi che compongono la struttura e con i suoi vincoli.
EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI DI CLAPEYRON
Consideriamo una trave continua su tre appoggi caricata con un carico ripartito q.
A B C
q
L1 L2
Immaginiamo di sconnettere la trave in corrispondenza del punto B ed introdurre una cerniera. Per ripristinare la continuità e rendere i due schemi equivalenti dobbiamo applicare i momenti MB che sono incogniti.
A B C
q
L1 L2
q MB MB
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La cerniera permetterebbe ai due tronchi di ruotare liberamente l’uno rispetto all’altro mentre nel sistema reale i due tronchi sono legati dal vincolo di continuità.
A B CL1 L2
A B CL1 L2
θθ'
θ θ'
Pertanto la congruenza implica:
'θθ −=
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Per il 1° teorema di Mohr gli angoli di rotazione delle tangenti d’estremità della linea elastica di una trave appoggiata-appoggiata sono dati dal rapporto tra le reazioni ausiliarie ottenute caricando la trave con il diagramma dei momenti della trave reale e la quantità EJ.
M N
βα
M N
M* N*α = M*
EJβ = N*
EJ
Alla rotazione dovuta ai carichi esterni deve essere sommata la rotazione dovuta ai momenti di estremità pertanto, con riferimento alla trave continua A-B-C, si ha:
( )BA MMEJ
L
EJ
B2
6
1sin*
++=θ ( )CB
desMM
EJ
L
EJ
B++= 2
6
2
*'θ
Sostituendo nell’equazione di congruenza e semplificando:
( ) ( )desCBA BBLMLLMLM*
sin*
4211 62 +−=⋅+++⋅
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Questa equazione è nota come equazione dei tre momenti di Clapeyron. Le reazioni fittizie dipendono da come è caricata la struttura.
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ESEMPIO 1
Studiare la trave continua omogenea, a sezione costante, riportata in figura e tracciare i diagrammi di taglio e momento flettente.
1.50 m 5.00 m 4.00 m
50 kN/m
30 kN
40 kN/m
A B CA'
• CALCOLO DEI MOMENTI AGLI APPOGGI
Il momenti agli appoggi A e C sono noti:
kNmM A 4550.130 −=⋅−= ; 0=CM Il momento all’appoggio B si calcola mediante l’equazione dei tre momenti:
( ) ( )desCBA BBMMM *sin
*600.400.400.5200.5 +−=⋅+++⋅
( )desB BBM*
sin*600.4000.9200.545 +−=⋅+⋅+⋅− ; ( )desB BBM
*sin
*618225 +−=+−
2
33
sin* 42.260
24
550
24 m
kNlqB =
⋅=
⋅= ; 2
3* 67.106
24
440
m
kNB des =
⋅= (vedi tabelle di pag.7)
Pertanto: 54.220218225 −=+− BM da cui si ricava: kNmMB 86.109−=
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• CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
1.50 m 5.00 m 4.00 m
50 kN/m
30 kN
40 kN/m-45
-109.86MA
AA' B C
VA VB VC
MB
( )
=⋅⋅−⋅
=⋅⋅−+⋅−⋅
=⋅−⋅−−++
=
BC
BA
CBA
A
MV
MV
VVV
H
00.200.44000.4
50.200.55000.550.13000.5
000.44000.55030
0
Dalla terza equazione si ricava:
86.10962519500.5 −=−−⋅AV ; 14.71000.5 =⋅AV ; kNVA 03.142=
Dalla quarta equazione si ricava:
14.21000.4 =⋅CV ; kNVC 53.52=
� Equilibrio alla traslazione orizzontale
� Equilibrio alla traslazione verticale
� Equilibrio alla rotazione a sinistra di B
� Equilibrio alla rotazione a destra di B
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Sostituendo VA e VC nella seconda equazione:
01602503053.5203.142 =−−−++ BV ; kNVB 44.245=
• CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE
1.50 m 5.00 m 4.00 m
50 kN/m
30 kN
40 kN/m
AA' B C
142.03 245.44 52.53
S1 S2 S3
� tratto A’A: Guardiamo a sinistra della sezione S1:
TAGLIO
kNTS 301 −=−
−=⇒=
−=⇒=−
−
kNTxper
kNTxper
A
A
3050.1
300
1
'1
MOMENTO
11 30 xM S −=−
−=⇒=
=⇒=−
−
kNmMxper
Mxper
A
A
4550.1
00
1
1'
lineare
x1
30 kN
A'
S1
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� tratto AB : Guardiamo a sinistra della sezione S2:
TAGLIO
22 503003.142 xTS ⋅−−=−
−=⇒=
=⇒=−
+
kNTxper
kNTxper
B
A
97.13700.5
03.1120
2
2
Punto di nullo: 0503003.142 2 =⋅−− x ; mx 24.22 = dal punto A
MOMENTO IN CAMPATA
( )2
2
222 50.130
25003.142 x
xxM S +−−⋅=
− ; kNmMxper
AB 50.8024.2 max2 =⇒=
� tratto BC : Guardiamo a destra della sezione S3:
TAGLIO
33 4053.52 xTS ⋅+−=+
=⇒=
−=⇒=
+
−
kNTxper
kNTxper
B
C
47.10700.4
53.520
3
3
Punto di nullo: 04053.52 3 =⋅+− x ; mx 31.13 = dal punto C
MOMENTO IN CAMPATA
24053.52
2
333
xxM S −⋅=
+ ; kNmMxper
BC 50.3431.1 max3 =⇒=
1.50 m x2
50 kN/m30 kN
AA'
142.03
S2
x3
40 kN/m
C
52.53
S3
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ESEMPIO 2
Studiare la trave continua omogenea, a sezione costante, riportata in figura e tracciare i diagrammi di taglio e momento flettente.
20 kN/m
A
3.00 m 4.00 m 3.00 m
B C D
30 kN/m50 kN
Trattandosi di trave continua incastrata agli estremi, sostituiamo gli incastri di estremità con due appoggi, posti a distanza piccolissima, L0, le cui reazioni costituiscono una coppia. La nuova campata che si viene a formare viene considerata scarica :
20 kN/m
A
3.00 m 4.00 m 3.00 m
B C D
30 kN/m50 kN
L0 L0
A' D'
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• CALCOLO DEI MOMENTI AGLI APPOGGI
Scriviamo 4 volte l’equazione dei tre momenti:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
+−=⋅+++⋅
+−=⋅+++⋅
+−=⋅+++⋅
+−=⋅+++⋅
desDDC
desDCB
desCBA
desBAA
DDLMLMM
CCMMM
BBMMM
AAMLMLM
*sin
*
0'0
*sin
*
*sin
*
*sin
*
00'
600.3200.3
600.300.300.4200.4
600.400.400.3200.3
600.300.32
poiché si può porre L0=0 segue : 0sin* =A e 0* =desD , pertanto:
( ) ( )( ) ( )
⋅−=⋅+⋅
+−=⋅+++⋅
+−=⋅+++⋅
⋅−=⋅+⋅
sin*
*sin
*
*sin
*
*
600.3200.3
600.300.300.4200.4
600.400.400.3200.3
600.300.32
DMM
CCMMM
BBMMM
AMM
DC
desDCB
desCBA
desBA
Dalle tabelle di pag.7 e 8 si ricavano:
2
33
sin** 5.22
24
320
24 m
kNlqBA des =
⋅=
⋅== ; 2
22
sin** 50
16
450
16 m
kNlPCB des =
⋅=
⋅== ;
2
33
sin** 75.33
24
330
24 m
kNlqDC des =
⋅=
⋅==
� TRATTO A’-A-B
� TRATTO A-B-C
� TRATTO B-C-D
� TRATTO C-D-D’
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Il sistema diventa:
−=+
−=++
−=++
−=+
5.20263
5.5023144
4354143
13536
DC
DCB
CBA
BA
MM
MMM
MMM
MM
Dalla prima: 5.675.13 −−= BA MM ; dalla quarta: 25.1015.13 −−= CD MM
Sostituendo nella seconda e terza equazione:
−=−−+
−=++−−
5.50225.1015.1144
4354145.675.1
CCB
CBB
MMM
MMM ;
−=+
−=+
25.4015.124
5.36745.12
CB
CB
MM
MM
Dalla prima: BC MM 125.387.91 −−= ; sostituendo nella seconda: 25.40137.1148394 −=−− BB MM
kNmM B 3.21−=
Sostituendo: kNmMC 3.25−=
kNmM A 8.11−=
kNmM D 1.21−=
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• CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
20 kN/m
A
3.00 m 4.00 m 3.00 m
B C D
30 kN/m50 kN
-21.3-11.8 -25.3 -21.1
VA VB VC VD
( )( )
( ) ( )
=+⋅−⋅⋅−⋅++⋅
=+⋅⋅−⋅
=+⋅⋅−⋅
=⋅−⋅−−+++
BDCD
CDD
BAA
DCBA
MMVV
MMV
MMV
VVVV
00.2505.500.330400.300.4
5.100.33000.3
5.100.32000.3
000.33000.32050
Dalla seconda equazione si ricava:
3.218.119000.3 −=−−⋅AV ; kNVA 8.26=
Dalla terza equazione si ricava:
3.251.2113500.3 −=−−⋅DV ; kNVD 6.43=
� Equilibrio alla traslazione verticale
� Equilibrio alla rotazione a sinistra di B
� Equilibrio alla rotazione a destra di C
� Equilibrio alla rotazione a destra di B
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Sostituendo VD nella quarta equazione:
( ) ( ) 3.211.2100.2505.500.330400.300.460.43 −=−⋅−⋅⋅−⋅++⋅ CV ; kNVC 4.72=
Sostituendo le reazioni trovate nella prima equazione:
090605060.434.7280.26 =−−−+++ BV ; kNVB 2.57=
• CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE
20 kN/m
A
3.00 m 4.00 m 3.00 m
B C D
30 kN/m50 kN
11.8
26.8 57.2 72.4 43.6
21.1S1 S2 S3 S4
E
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� tratto AB : Guardiamo a sinistra della sezione S1:
TAGLIO
11 208.26 xTS ⋅−=−
−=⇒=
=⇒=−
+
kNTxper
kNTxper
B
A
20.3300.3
80.260
1
1
Punto di nullo: 0208.26 1 =⋅− x ; mx 34.11 = dal punto A
MOMENTO IN CAMPATA
8.112
208.26
2
211 −−⋅=
− xxM S ; kNmMxper
AB 2.634.1 max1 =⇒=
� tratto BP : Guardiamo a sinistra della sezione S2:
TAGLIO
kNTS 2400.3202.578.262 =⋅−+=−
costante
MOMENTO
( ) ( ) 8.115.100.3202.5738.26 2222 −+⋅⋅−⋅++⋅=−
xxxM S
kNmMxper E 7.2622 =⇒= −
20 kN/m
A
x1
11.8
26.8
S1
20 kN/m
A
3.00 m x2
B11.8
26.8 57.2
S2
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20
� tratto PC: Guardiamo a sinistra della sezione S3:
TAGLIO
kNTS 2600.3304.726.433 −=⋅+−−=+
costante
MOMENTO
( ) ( ) 1.215.100.3304.7236.43 3333 −+⋅⋅−⋅++⋅=+
xxxM S
kNmMxper E 7.2623 =⇒= +
� tratto CD: Guardiamo a destra della sezione S4:
TAGLIO
44 306.43 xTS ⋅+−=+
=⇒=
−=⇒=+
−
kNTxper
kNTxper
C
D
4.4600.3
6.430
4
4
Punto di nullo: 0306.43 4 =⋅+− x ; mx 45.14 = dal punto D
MOMENTO IN CAMPATA
1.212
306.43
2
444 −−⋅=
+ xxM S ; kNmMxper
CD 6.1045.1 max4 =⇒=
x3 3.00 m
C D
30 kN/m
72.4 43.6
21.1S3
x4
D
30 kN/m
43.6
21.1S4