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지형정보공학(2)및 활용(6장 다각측량)지형정보공학(2) 및 활용(6장 다각측량)

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다각측량(Traverse Surveying)

지형정보공학(2)및 활용(6장 다각측량)

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다각측량의 조정과 계산

1

다각측량 외업이 끝나면 다음 순서로 조정 계산을 실시

1. 각 관측의 점검과 각오차의 분배

2. 방위각 및 방위 계산 : 최근에는 방위계산은 하지 않음

3. 위거(Northing) 및 경거(Easting)의 계산

4. 폐합오차 및 폐합비 계산

5. 폐합오차의 배분

6. 합위거 및 합경거의 계산 : X, Y 좌표 계산

7. 면적계산 (폐합 다각형의 경우)

다각망 조정 계산의 순서




2

• 각 관측오차의 점검

폐합 트래버스의 기하학적 조건

변의 수를 n 관측각을

관측각의 합 :

• 내각 관측의 경우 다각형다각형 내각의 합은 이므로, 각오차(Ea)는

• 외각 관측의 경우

다각형 외각은 (360⁰-내각)이므로, 외각의 합은 (360⁰☓n)-내각 합

• 편각 관측의 경우

편각은 (180⁰-내각)이고, 합은 (180⁰☓n)-내각 합

naaaaa 321

naaaa ,,,, 321

)2(180 n

)2(180][ naEa

)2(180][)2(180360][ nannaEa

ooo

360][)2(180180][ annaEa




3

결합 트래버스의 기하학적 조건

• AL 및 BM의 방위각을 Wa, Wb를 알고, 교각 관측

• 방위각 Wa, Wb 에 따라서 기하학적 조건이 다르게 고려됨

(1) CASE I (기지점이 첫점과 최종점 바깥에 있는 경우)

• 각 관측 오차의 점검

naaaa ,,,, 321

)1(180][)(

)180()180()180()360( 321

naWWE

WaaaaW

baa

bna


상지대학교 지형정보연구센터 http://gis.sangji.ac.kr 4


1

2

3

n-1

n

L M

𝛼1

𝛼2

𝛼3

𝛼𝑛-1

𝛼𝑛

𝛼"3𝛼′3

[α] = α1+ α2 + α3 ·· + αn-1 + αn

= α’1+ (α”1 + α’2) + (α”2 + α’3) + (α”3 + α’n-1) + (α”n-1 + α’n) + α”n

= (360-ωa) + 180(n-1) +

180(n-1)(360-ωa)ωb

ωb

∴ Eα = ωa – ωb + [α] - 180(n+1)

• 결합트래버시의 각 관측 오차의 점검 (1) CASE I (기지점이 첫점과 최종점 바깥에 있는 경우)




5


(2) CASE II (두 측점중 첫측점이 기지점 안쪽에 있는 경우)

• 각 관측 오차의 점검

)1(180][)(

)180()180()180( 321

naWWE

WaaaaW

baa

bna




6


(3) CASE III (두 측점중 최종 측점이 기지점 안쪽에 있는 경우)

각 관측의 점검

)1(180][)(

360)180()180()360( 21

naWWE

WaaaW

baa

bna




7


(4) CASE IV (두 측점 모두 기지점 안쪽에 있는 경우)

각 관측의 점검

)3(180][)(

360)180()180( 21

naWWE

WaaaW

baa

bna




8

각관측 측점수를 n, 한 측점에서 수평각의 허용오차를 εa 라 하면 전체 각관측의 허용오차

일반적으로 허용각 오차 범위는 지형에 따라 다음과 같음

각 오차 배분

① 각관측의 정확도가 같을 때 : 각의 대소와 관계없이 균등 배분

② 경중률이 다른 경우 : 오차를 경중율에 비례하여 배분(관측횟수나 변장의 역수)

③ 변길이의 역수에 비례하여 각에 배분

• 각 오차 허용 범위

nE aa

n. nE

n nE

nnE

a

a

a

511 지역복잡한및삼림

15.0 지역보통및평지

5.03.0주요지역및시가지

:

:

:




9

다음과 같은 폐합트래버스가 있다. 관측각을 조정 하라.

- 폐합트래버스 폐합 조건 :

)!!빼준다( 036

018 보정

003

)26(1800030720

)2(180][

량

naE a

측점 관측각 수정량 수정각

1 66° 40 ” 30’ - 30” 66° 40 ” 00’

2 131° 35” 00’ - 30” 131° 34” 30’

3 97° 35’ 00" - 30” 97° 34’ 30"

4 64° 00’ 30” - 30” 64° 00’ 00”

5 227° 26’ 30” - 30” 227° 26’ 00”

6 132° 45’ 30” - 30” 132° 45’ 00”

합계 720° 03’ 00” -180” 720° 00’ 00”




10

방위각(Azimuth) : 남북 자오선을 기준으로 할 때의 방향각

진북 자오선(True Meridian)

• 지구상의 한점과 북극과 남극을 연결한 선

도북 자오선(Grid Meridian)

• 평면측량에서 위치를 표시하기 위하여 일반적으로 평면 직각좌표계를 사용

• 평면직각 좌표계에서 원점과 남•북극을 통과하는 중앙 자오선은 진북자오선과 일치함

• 다른 직각 좌표계의 종선들은 중앙자오선과 나란함

• 이와 같이 평면직각 좌표계에서 중앙 자오선과 나란한 자오선을 도북자오선(Grid Meridian)이라 한다.

• 지도에 표시된 직각 좌표의 종선은 모두 도북자오선을 의미 함.

자북자오선(Magnetic Meridian)

• 자침이 가르키는 북 방향과 나란한 선

• 자북과 진북이 일치하지 않기 때문에 진북과 자북 자오선은 불일치.




11

자오선



어느 측선의 방위각은?

자오선의 북쪽 끝으로 부터 그 측선에 이르는 각을 시계 방향으로 잰 각.


방위각

방위각의 기준?

진북 자오선

도북 자오선

자북 자오선

트레버스계산에서는 측선의 방위각만 있으면충분하며, 방위는 필요치 않음

방위는 과거와 같이 삼각함수를 사용하여 트래버스를 계산할 때 부호에 따른 착오를 피하기위하여 사용되었지만 지금은 사용할 필요가 없음.



진행 방향에서 우회각(좌측각)을 관측시


)(교각방위각측선의앞하나방위각측선의어느 i 180

방위각 계산



진행 방향에서 죄회각(우측각)을 관측시


)(교각방위각측선의앞하나방위각측선의어느 i 180

방위각 계산



편각인 경우

(BC) = (AB) + △B

(어느 측선의 방위각)=(하나 앞측선의 방위각)+(그 측선의 편각)


방위각 계산



측선 AB의 방위각 방 위

0 <(AB)<90

90 <(AB)<180

180 <(AB)<270

270 <(AB)<360

N (AB) E

S 180-(AB) E

S (AB)-180 W

N 360-(AB) W

16

어느 측선의 방위라 함은?

• 남북 자오선과 그 측선이 이루는 각에 의하여 결정되는 측선의 방향을 말함.

• 방위를 알기 위해 각을 관측 할 때 자오선의 북쪽 또는 남쪽끝을 기준으로 하여 시계 방향 또는 반시계 방향으로 수평각을 관측

NE, SE, NW, SW와 함께 표시되어야함


cos

방위(azimuth)



위거(衛距)

• 어느 측선의 남북자오선 방향의 성분(LAB)

• 남북자오선축에 정사투영된 투영거리

• 북쪽방향(+), 남쪽방향(-)


경거(經距)

• 어느 측선의 동서방향의 성분(DAB)

• 동서축에 정사투영된 투영거리

• 동쪽방향(+), 서쪽방향(-)

측선 AB의 방위각을 α, 측선의 길이를 S 라 할 때:

sin경거의측선

cos위거의측선

SD

SL

AB

AB

) AB(

) AB(

위거와 경거는 트래버스의 정밀도를 계산하고 이들 오차를 조정하는데 사용되며, 측점의제도 및 면적계산 등에 사용됨 .

위거와 경거 계산




<∑L = 0 ∑D = 0 이 이상적>

<위거> <경거>

방위의 N(+) 방위의 E(+)

방위의 S(-) 방위의 W(-)

위거와 경거 계산



폐합트래버스의 폐합오차

• 어느 한 점 A를 출발점으로 하는 폐합트래버스에서 각 변의 거리와 각을 관측하고 다시 출발점으로 돌아 왔을 때 일치 하지 않는다 이를 폐합오차(closure error)라 함


경거,위거

22

DL

DL

EE

EEE

Where,

• 측선의 총기선장을 D라 할 때 폐합비(Relative error of closure)

D

EE

D

ER

DL

22

• 폐합비는 보통 분자를 1로 표시하며, 다각측량의 정확도를 표시하는데 사용되며, 허용한계를 넘으면 재측하고, 허용오차 이내이면 폐합오차를 배분하여 조정 실시

폐합오차와 폐합비



결합트래버스의 폐합오차

아래와 같은 결합 트래버스에서 A점의 좌표를 (X0, Y0), B점의 좌표 (Xn, Yn), 임의 측선의 변장을 Si, 방위각을 αi, 그 측점의 좌표를 (Xi, Yi), 할 때 다음이 성립.


폐합오차와 폐합비

iiiiii YYSXXS 11 sin,cos



결합트래버스의 폐합오차

• 모든 측선에 대해서 생각해 보면

• 따라서, 폐합오차는 :


0

1

0

0

1

0

111111

23222322

12111211

01000100

)cos()cos(

sin,cos

sin,cos

sin,cos

sin,cos

XXSXXS

YYSXXS

YYSXXS

YYSXXS

YYSXXS

nii

n

i

nii

n

i

nnnnnnnn

)(sin),(cos 0

1

0

0

1

0

YYSEXXSE n

n

i

iiLn

n

i

iiL



폐합오차의 허용범위

다각 측량에서 페합 오차의 허용범위를 어떻게 정할 것인가는 측량의 목적, 지형의 상태 등에 따라서 결정되나 소규모 측량의 경우 대개 다음과 같은 표준을 사용한다.

① 장애물이 적은 탄탄한 장소, 시가지의 경우

1/5,000〜 1/40,000

② 산지와 같이 장애물이 많고 측량 작업이 어려운 장소의 경우

1/1,000 이하

③ 급경사가 없는 보통 지형의 장소, 토지 측량, 도로 및 철도의 노선측량

1/3,000〜 1/5,000




예제 1에서 조정된 각을 사용하여 각 측선의 방위각, 경거, 위거, 폐합오차 및 폐합비를 구하시오.

1) 측선의 방위각 계산


0002106000466180000421921

00042190054132180005526616

00552660062227180009221965

0092219000064180009233554

009233503439718003455743

0345570343131180000210632

00021060005970003821



2) 위거 및 경거 계산


mΔL

mΔE

mΔL

mΔE

mΔL

mΔE

mΔL

mΔE

97.182)0004219cos(69.237

72.151)0004219sin(69.237:16

82.295)0092335cos(13.325

92.134)0092335sin(13.325:43

83.178)034557cos(60.336

17.285)034557sin(60.336:32

96.113)0002106cos(24.405

89.388)0002106sin(24.405:21





측선 거리(m) 방위각 경거 위거

1-2 405.24 106° 20’ 00” +388.89 -113.96

2-3 336.60 57°5 4’ 30” +285.17 +178.83

3-4 325.13 335° 29’ 00” -134.92 +295.82

4-5 212.91 219° 29’ 00” -135.38 -164.33

5-6 252.19 266° 55’ 00” -251.82 -13.56

6-1 237.69 219° 40’ 00” -151.72 -182.97

합계 1,769.76 +0.22 -0.17

3) 폐합오차 및 폐합비 계산

6321

1

76.1769

28.0 비합폐

28.0)22.0()17.0(폐합오차 2222

D

ER

EEE DL

:

:




• 폐합오차 조정

폐합오차가 허용범위 안에 있는 경우 트래버스가 폐합이 되도록 조정하여야 함

트래버스망의 폐합오차 조정법

근사 조정법(컴퍼스 법칙, 트랜싯 법칙), 엄밀 조정법(최소제곱법)

근사 조정법은 다음과 같은 3가지의 기본 성질을 이용함

① 각의 관측 결과가 거리 관측보다 더 정밀하게 관측됨※ 이 가설은 스타디어 측량에 의해 거리를 관측하는 경우에 적절함

② 각의 관측 정밀도와 거리 관측 정밀도가 동일하거나 유사함

※ 이 가설은 강철 테이프나 EDM에 의해 거리 관측이 이루어 지고 데올돌라이 트에의해 각관측이 이루어 질 경우 적절함

③ 거리 간측이 각 관측 보다 더 정밀하게 이루어짐※ 이 가설은 각은 트랜싯에 의해 거리는 EDM에 의해 이루어질 경우 적절



컴퍼스 법칙

• 가장 많이 사용되는 방법으로 가설 ②에 근거를 두고 있음

• 각과 거리는 같은 정밀도로 관측되었으며 관측에 발생하는 오차는 우연 오차로서 변의 길이에 비례한다고 가정

• 폐합오차를 각 측선의 길이에 비례하여 다음과 같이 조정


:

:

,

,

where.

길이총측선의

길이측선의임의

폐합오차경거위거:,

조정량경거위거:,

,

S

S

EE

ee

S

SEe

S

SEe

i

DL

DL

iDD

iLL

• 폐합오차 조정



트랜싯 법칙

• 각 관측이 거리보다 정밀하게 이루었다고 가설 ①에 근거를 두고 있음

• 관측에 발생하는 오차는 우연 오차라 가정 하여 조정 하나, 이 방법은 트래버스의 변들이 좌표의 격자선가 나란할 경우에만 성립 하므로 특별한 경우를 제외 하고는 자주사용하지 않음.

• 폐합오차를 계산된 위거와 경거의 크기에 비례하여 배분


:

:

,

,

where.

총합절대값의경거위거와,

경거위거와측선의임의,

폐합오차경거위거:,

조정량경거위거:,

,

DL

DL

EE

ee

D

DEe

L

LEe

ii

DL

DL

iDD

iLL




예제 2에서 계산된 폐합오차를 컴퍼스 법칙에 의해 조정하라.

(단, 측점 (1)의 좌표는 E=4,382.09m, N=6,150.82m 라 한다.

020761769

69237170030

761769

69237220

030761769

19282170030

761769

19282220

020761769

91212170030

761769

91212220

030761769

13325170040

761769

13325220

030761769

60336170040

761769

60336220

040761769

24405170050

761769

24405220

66

55

44

33

22

11

.-.

.., e.-

.

..-e

..

.., e.-

.

..-e

..

.., e.-

.

..-e

..

.., e.-

.

..-e

..

.., e.-

.

..-e

..

.., e.-

.

..-e

LD

LD

LD

LD

LD

LD

1) 조정위거 및 조정경거 계산




2) 합위거 및 합경거 조정

측선 거리(m) 경거(E) 위거(N)조정량

조정 경거 조정 위거경거 위거

1-2 405.24 +388.89 -113.96 -0.05 +0.04 +388.84 -113.92

2-3 336.60 +285.17 +178.83 -0.04 +0.03 +285.13 +178.86

3-4 325.13 -134.92 +295.82 -0.04 +0.03 -134.96 +295.85

4-5 212.91 -135.38 -164.33 -0.03 +0.02 -135.41 -164.31

5-6 252.19 -251.82 -13.56 -0.03 +0.03 -251.85 -13.53

6-1 237.69 -151.72 -182.97 -0.03 +0.02 -151.75 -182.95

합계 1,769.76 +0.22 -0.17 -0.22 +0.17 0.0 0.0




<두 점의 좌표에 의한 측선 길이 및 방위계산>

좌표계산 : 합위거, 합경거




좌표계산 : 합위거, 합경거

두 점의 좌표에 의한 측선길이 및 방위각 계산의 예

ex) A(0,0) B(-65,63) C(-40,93) 일 때 선분 AB,BC 의 길이 및 방위는?




2) 좌표계산

측선 합경거 합위거 E 좌표(Y) N 좌표(X) 측점

4,382.09 6.150.82 1

1-2 +388.84 -113.92 4,770.93 6,036.90 2

2-3 +673.97 +64.94 5,056.06 6,215.76 3

3-4 +539.01 +360.79 4,921.10 6,511.61 4

4-5 +403.60 +196.48 4,785.69 6,347.30 5

5-6 +151.75 +182.95 4,533.84 6,333.77 6

6-1 0.00 0.00 4,382.09 6,150.82 1



어떤 토지의 면적을 구하는 것은 토지측량의 가장 기본적인 목적 중의 하나임

토지의 경계선을 따라 다각측량을 실시(폐합트래버스) 했다면 이때 트래버스로 둘러 싸인

면적을 간단히 계산 할 수 있음

만약 토지의 경계선이 직선들에 의하여 형성되었고 이들 경계선을 따라 다각측량이 실시

되었다면 트래버스에 의해 형성된 면적을 여러 개의 기하학적 도형 (삼각형, 사각형, 사다

리꼴 등)으로 구분하고 각 도형의 면적을 독립적으로 구하고 그들을 합하면 됨.

그러나, 다각측량에서 가장 보편적으로 사용하는 방법은 배횡거법(DMD: Double

Meridian Distance Method)와 합위거 합경거, 즉 좌표를 직접 사용하는 좌표법이 있음


• 폐합트래버스 면적 계산




배횡거법

• 횡거(MD) : 기준자오선(도북)에서 측선의 중앙점에 내린 수선의 길이

• 배횡거(DMD) : 횡거의 두배

• 그림에서, AB측선의 횡거 MM’는

BBMM 2

1

• 측선 BC의 횡거 NN’를 살펴보면

경거의측선

경거의측선횡거의측선

:

: , : 여기서,

BCCC

ABBB'ABMM

CCBBMM

QNPQPNNM

21

21

• 위 식은 다음과 같이 표현 할 수 있다.

) (

) (

21

21

경거측선의그

경거측선의앞하나횡거측선의하나앞횡거측선의어느





• 따라서 어느 측선의 배횡거는

※ 제1측선의 배횡거는 그 측선의 경거와 같음

경거측선의그배배횡거 경거 측선의 앞 하나 횡거 측선의 하나앞 측선의 어느

• 그림과 같은 삼각형을 고려해 보자

위거측선의각는

배횡거의측선

각각는여기서

사다리꼴

,

ACC-BAB-C)CBB (ΔABC

CABACB

BC, AB, CA

CCBBCCBB

CCCABBBACCBBCB

,,

,,

)(21

21

21

• 양변에 2를 곱하면

CCCABBBACCBBCB )(2ΔΔAB





• 앞의 식을 다시 적어보면

• 대수의 합을 취하여 일반화 하여 간단히 적으면

) 3) 3(

) 1() 1() 2() 2(2A

,

2ABC

배횡거측선의제위거측선의제

배횡거측선의제위거측선의제배횡거측선의제위거측선의제

위거측선의각는

배횡거의측선각각는여기서

(

,,

,,

)(

CABACB

BC, AB, CACCBBCCBB

CCCABBBACCBBCB

배횡거측선의각위거측선의각 2A

• 따라서, 배횡거법에 의해 폐합 다각형의 면적을 구하는 문제는

위의 식에 의해 각 배면적을 계산하고,

배면적을 2로 나누어서 면적을 계산




측선 위거(m) 경거(m)

AB +65.39 +83.57

BC -34.57 +19.68

CD -65.43 -40.60

DA +34.61 -62.65

38


다음 폐합 다각 측량의 결과를 이용하여 면적을 계산하시오.

배횡거법 Example

측 선 배횡거 계산 배횡거배면적

+ -

AB +83.57 +83.57 5,464.64

BC +83.57+83.57+19.68 +186.82 6,458.37

CD +186.82+19.68-40.60 +165.90 10,854.84

DA +165.90-40.60-62.65 +62.65 2,168.32




좌표법

• 그림에서 각 측점의 좌표를

• 구하고자 하는 다각형의 면적은

• 다각형ABCD의 면적을 A라 할 때

),(),,(),,(),,( 44332211 yxAyxAyxAyxA

면적ABAB면적BCBC면적

면적ADAD면적DCDC면적

Where,

면적면적면적

CABCA

CADCA

CABCACADCAABCD -

))(())((

))(())((

면적ABAB면적-BCBC면적-ADAD면적DCDC

121221

232321

141421

434321

yyxxyyxx

yyxxyyxx

A

-





• 앞의 식에서 양변에 2를 곱하여 정리하면

• N 다각형의 경우는

)(

)()()()(

))(())((

))(())((2

1443322141342312

134423312241

12122323

14144343

yxyxyxyxyxyxyxyx

yyxyyxyyxyyx

yyxxyyxx

yyxxyyxxA

)(

2

11433221

11342312

yxyxyxyxyx

yxyxyxyxyxA

nnn

nnn

L

L

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

nLL





면적계산 : 좌표법 Example

ex) 그림과 같은 다각형의 면적을 좌표법으로 구하시오.

30

30

80

15

130

40

120

80

50

90

30

30

2

2

5250

10500

)3080151304012080509030(-

)3015804013080120905030(2

mA

m

A




다각망 조정 Example

ex) 아래의 그림은 결합 트래버스의 조정계산 예이다. 다음의 다각망조정을 실시하고 각 측점을 좌표를 구하시오. 위거 및 경거의 폐합오차는 컴퍼스법칙에 의하여 조정하고 폐합오차의 크기와 폐합비를 구하시오.



I. 각관측 오차 계산 :

II. 각오차 조정 : 등분배

III. 방위각 계산

IV. 위거 및 경거 계산

V. 폐합오차 및 폐합비 계산

VI. 폐합오차 조정(분배) : 거리에 따라 분배하는 컴퍼스 법칙

VII. 각 측점의 좌표 계산


)1(180][)180( naWWE baa



측점 관측각 조정량 조정각 측선 거리 방위각 계산

A 203°41’28” -4” 203°41’24” A-1 703.28 72°08’54”

1 162°37’22” -4” 162°37’18” 1-2 473.29 54°46’12”

2 193°18’06” -4” 193°18’02” 2-3 687.48 68°04’14”

3 170°08’50” -4” 170°08’46” 3-B 202.31 58°13’00”

B 189°35’52” -4” 189°35’48” B-R2 67°48’48”

합계 919°21’38” -20” 919°21’18”

44

1) 각관측 오차 계산


2) 각 오차의 조정(분배)

0261808312919848467)180037248(

)1(180][)180(

naWWE baa

3) 방위각 계산



측선 거리 방위각 위거(N) 경거(E)

A-1 703.28 72°08’54” 215.593 669.419

1-2 473.29 54°46’12” 273.022 386.604

2-3 687.48 68°04’14” 256.749 637.737

3-B 202.31 58°13’00” 106.558 171.973

B-R2 67°48’48”

45



5) 폐합오차 폐합비 계산

5570

1

362066

3710폐합비

371.0)267.0()258.0(폐합오차

267.00.1866733.1865)(경거

258.0180.852922.851)(위거

22

.

.

YYE

XXE

ABD

ABL



측 선 위거 조정량 조정위거 경거 조정량 조정경거 측 점좌 표

N(X) E(Y)

A-1 0.088 215.681 0.091 669.510 A 4375.290 5227.470

1-2 0.059 273.081 0.061 386.665 1 4590.971 3878.000

2-3 0.086 256.835 0.089 637.826 2 4864.052 4264.665

3-B 0.025 106.583 0.026 171.999 3 5120.887 4902.491

B-R2 B 5227.470 5074.490

합 계 0.258

46

6) 폐합오차 조정(컴퍼스법칙)


7) 각 측점의 좌표 계산

(traverse surveying)hjiklee.sangji.ac.kr/강의관련/6장...

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