trasformazioni geometriche didattica della matematica – modulo 2 settimo ciclo ssis, 2005-2006
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Trasformazioni geometriche
Didattica della Matematica – modulo 2
Settimo ciclo SSIS, 2005-2006
Da bambini, con le forbici e un foglio di carta
• pieghiamo il foglio a metà
• ritagliamo un motivo• apriamo il foglio• Le due parti della
figura sono “simmetriche”
Simmetria o riflessione rispetto a una retta
• Trasformazione del piano su se stesso: ogni punto P ha un corrispondente P’
• I punti di r sono fissi• se P fuori di r, PP’ è
perpendicolare a r• e la incontra nel punto
medio tra P, P’
simmetria.fig
r
P
P'
M
Proprietà della riflessione• Segmenti vanno in
segmenti• Segmenti
corrispondenti sono uguali
• Si conservano gli angoli
• Triangoli corrispondenti sono congruenti
• Sinistro destro
Con le forbici e una striscia di carta ripiegata
Con due riflessioni….
Si ottiene una nuova trasformazione
• traslatriango.fig
La traslazione
• Segmenti da un punto al suo traslato sono paralleli, uguali, orientati nello stesso verso
• Rette corrispondenti sono parallele
• Destro destro
Nessun punto fisso, ma rette fisse
• Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella direzione della traslazione scorrono su se stesse
Come si costruisce un motivo ornamentale?
Come costruire un fregio: I
Reiterando una stessa traslazione: salti su un piede solo
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari
Come costruire un fregio: IIICon l’operazione risultante dalla composizione di traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di trasformazione
Come costruire un fregio: III
Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo normale
Come costruire fregi: IV
• Usando una riflessione in uno specchio perpendicolare alla direzione di traslazione, ripetendo….: salti laterali
Come costruire fregi: V
• Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra loro: salto con piroetta
Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi
Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi
La simmetria centrale
• Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni coppia di punti corrispondenti
• Destro va in destro
Come costruire fregi: VI• Si possono usare simmetrie centrali: giravolta
su un piede solo
Come costruire fregi: VII
• Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti con giravolte
Teorema
Vi sono soltanto 7 modi di riempire
una striscia con un motivo periodico
Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999
Per uscire dalla striscia…
• Due riflessioni con assi incidenti producono una rotazione
• rotazione.fig
Proprietà della rotazione di centro O
• O resta fisso • Ogni altro punto P va
nel punto P’ che sta alla stessa distanza da O
• l’angolo POP’ è fisso• ed è uguale all’angolo
tra due rette corrispondenti
Classificazione delle congruenze (isometrie) del piano
Punti
fissiNessun
punto fissoUn solo punto fisso
Infiniti punti fissi
Diretta (pari)
traslazione rotazione identità
Inversa (dispari)
glissorifles-sione
simmetria assiale o riflessione
Quante carte da parati posso disegnare?
TEOREMA.
Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 )
Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999
Esempi: 1) con due traslazioni non parallele
2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari
3) con simmetrie centrali e traslazioni
4) con rotazioni di 120°
Pavimenti, trapunte…
Si può fare un pavimento con mattonelle a forma di un poligono regolare, tutte congruenti tra di loro, “lato contro lato”?
Non come nel secondo e terzo esempio
La trapunta più semplice
Con quali poligoni regolari si può costruire una trapunta?
• In un vertice si vogliono “incastrare” k poligoni
• se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo , per chiudere l’incastro
deve essere k = 360° • Quali poligoni regolari hanno angoli che
siano sottomultipli di 360°?
Quanto misurano gli angoli di un poligono regolare?
• Triangolo equilatero: 180/3 gradi
• Quadrato: 360/4 gradi• Pentagono? 5 triangoli… • 180° per 5 ….meno 360°
nel centro, in tutto gli angoli assommano a
• 180(5 – 2)°= 540°
Una coperta di pentagoni…
• 540 : 5 = 108• L’angolo del pentagono misura 108°• Tre in un vertice: 108 + 108 + 108 < 360• Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….
Non si può fare!
Solo tre
• Gli unici poligoni regolari che pavimentano il piano sono:
• Triangoli (equilateri)• Quadrati• Esagoni (regolari) • Pavimenti di poligoni
non regolari ?
Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi….
Quadrilateri….
Alla maniera di Escher• un quadrato ABCD • sostituisco il
segmento AB con una curva o una spezzata
• con la traslazione di vettore AD creo un nuovo lato con estremi D,C
• traslo la nuova mattonella
Su un reticolo quadrato
Su un reticolo quadrato
Con traslazioni e riflessioni
Glissoriflessione e traslazioni
Rotazioni......
Riflessioni, rotazioni….
Quanti centri di rotazione?
E nello spazio? Simmetriarispetto ad un piano
• http://specchi.mat.unimi.it/
• http://matemilano.mat.unimi.it/
Con uno specchio e mezzo modello
Con due specchi
• Basta un quarto dell’edificio
Problema
• E’ possibile “impadronirsi dello spazio” (H. Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni, software sofisticati?
•Può essere “meglio un brutto modello che una bella figura” (Maria Dedò) ?