trasformatore (parte ii) allievi ing. navale versione aggiornata al 11/11/ 2013
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TRASFORMATORE(Parte II)
Allievi Ing. Navale
Versione aggiornata al 11/11/ 2013
Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
LKT per i due avvolgimenti
Legge di Ampére
dt
dN
dt
dilirv p 1
11111
dt
dN
dt
dilirv p 2
22222
2211 iNiNR p
Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità
• Modello 1: , , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante;
• Modello 2: , , ferro reale con perdite;
• Modello 3: avvolgimenti reali ( ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( ), ferro reale con perdite, rete equivalente a T.
021 rr 021 ll
021 ll021 rr
0, 21 rr
0, 21 ll
Modello 1 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( )
• Accoppiamento perfetto ( )
• Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante.
021 rr
021 ll
Modello 1
Equazioni di base:
pNjV 11
pNjV 22
2211 ININR p
Riluttanza nel modello 1 (finita e costante)
La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri
Il ferro ha permeablità
cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault
SS
lR
fe
fe
0
4
B
dlS
Rp1
Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è:
1v
10i 02 i
)( 101 IfV
Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Equazioni pNjV 11 101 INR p
RINp /101
dove RNL /211
10110211 )/( ILjIRNjV
10
1
1 ILj
V
Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce:
A vuoto → anche
→ Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale.
21
1I
aI
01 I02 I
%
Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata:
Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti e finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R
pNjV 11
1i 2i
2211 ININR p 0
0 p
Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Il flusso non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione :
Il flusso è pertanto costante al variare del
carico del trasformatore
pNjV 11
p
1v
%
Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Legge di Ampére
dove
aII /' 22
LKT
aV
V
2
1
2211 ININR p
aIINR p // 211 aIINjN
R
jp /)(
12112
1
)(2
1
N
Na
10211
1 ' IIILj
V
RNL /211
pNjV 11 pNjV 22
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
pNjV 11 pNjV 22
2211 ININR p
aV
V
2
1
10211
1 ' IIILj
V
aI
I 1'
2
2
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
Se si divide I e II membro della legge di Ampere per si ottiene un’altra rete equiv. La corrente
rappresenta la
corrente vista dal lato 2
11'' IaI
RNL /222
2N
1I
Modello 2 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( )
• Accoppiamento perfetto ( )
• Ferro reale con perdite
021 rr
021 ll
Comportamento reale del ferro
B è sinusoidale, le correnti no. Infatti:
)sin(2 11 tVv
dt
dNv p11
2211 iNiNR p
dlS
Rp1
Comportamento reale del ferro
L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata:
K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume.
2pi kP
%
Comportamento reale del ferro
Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ:
C cost. opportuna, resistività del ferro
Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti.
fe
pcp
fCP
222
fe
%
Comportamento reale del ferro
La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite:
e conseguentemente:
2' pcpife kPPP
21"VkPfe
Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto
La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro.
21"VkPfe %
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite nel ferro possono essere rappresentate da una resist. in parall. a tale che:
21"VkPfe
1L
mfe RVP '/21
Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto
fem PVR /' 21 RNL /211
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
La corrente a vuoto risulta pari alla somma:
''10 III a
afe IVP '1
'1IVQ
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
fem PVR /' 21RNL /211
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
RNL /222 fem PVR /" 22
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Nel trasformatore ideale
Nel trasformatore reale
Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10
211I
aI
10210211
' IIa
III
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1.
Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe
Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità.
Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi.
Nucleo magnetico
Modello 3 del trasformatore reale
• Avvolgimenti reali
• Accoppiamento non perfetto
• Ferro reale con perdite
)0,( 21 rr
)0,( 21 ll
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio del tempo:
dt
dilirev p
111111
dt
dilirev p
222222
dt
dNe p
p
11 dt
dNe p
p
22
2211 iNiNR p
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio dei fasori
11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p
pp NjE 11 pp NjE 22
2211 ININR p
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
LKT 11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p
pp NjE 11 pp NjE 22 2211 ININR p
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
pNjV 11 pNjV 22
2211 ININR p
RNL /211
Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite)
RNL /211
Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
RNL /211
Modello 2: rete equivalente
21
222 // aLRNL
222 /'/" aRPVR mfem
Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
21
222 // aLRNL
222 /'/" aRPVR mfem
Modello 3: rete equivalente a T
%
Nel trasformatore ideale
22
2' zaz
Modello 3: rete equivalente a T
uz
%
22
2' zaz
Modello 3: rete equivalente a T
dove
aII /' 22 22
2' rar
22
2' lal uu zaz 2'
%222
222 )()
1)((''' VaIzaI
azaIzV uuu
Modello 3: rete equivalente a T
Impedenze
2'z1zmz'
111 ljrz
222 ''' ljrz
mm RLjz '//)(' 1
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT
LKC
22221111 '')''()( VIljrIljrV
1021 ' III
%
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT
dove
2210111 '')''()( VIljrIljrV eqeq
21 '' rrr eq 21 '' lll eq
%
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
Trascurando → 1011 )( Iljr 221 '')''( VIljrV eqeq
1021 ' III
Bilancio delle potenze
mfe RVP '/21 22'' IrP eqcu
Bilancio delle potenze
Potenze
Potenza assorbita
Potenza utile
111 cosIVPass
222 cosIVPut
Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore
Pot. Utile
essendo
essendo
222222 cos''cos IVIVPut
mmfe RVRVP "/'/ 22
21 2
222 "'' IrIrP eqeqcu
2/'" aRR mm 2/'" arr eqeq
22' VaV 22 )/1(' IaI
Funzionamenti a rendimento nullo
Rendimento= = 0 se
.
se (funzionamento a vuoto) o se (funzionamento in corto circuito)
222 cosIVPut
0utP 02 I02 V
assut PP / 0utP
fecuass PPP
Prova a vuoto
Schema di misura
2101IrPP fe
2101Irletrascurabi nII 1
210 10
Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L
WVR m /' 2 ma RVI '/'
'/1 IVL
222210 ''' aa IAIII
Prova in corto circuito
Schema di misura
mcccufecu RVPPPP '/2 mcc RV '/2 .trascurab ncc VV 1210
Prova in corto circuito
letrascurabi 10I
Prova in corto circuito
22 ')/(' eqeq rAVl
221 //' AWIWr neq 22
11 )'('// eqeqeqncc lRzAVIV
Rendimento del trasformatore, determinazione diretta
Inconvenienti• Notevole influenza
degli errori di misura dei wattmetri
• Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico
1
2
W
W
P
P
ass
ut
Rendimento convenzionale e sua determinazione indiretta
Diversa formulazione del rendimento:
La sua traduzione operativa comporta la determinazione di Put, Pfe e Pcu.
P utile ipotizzata e non misurata
Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito
cufeut
ut
PPP
P
222 cosIVPut
Andamento del rendimento in funzione del carico
Rendimento convenz.
Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali np II 22 9.06.0
02
I
"22eq
fep r
PII per
22
"222
222
cos
cos
IrPIV
IV
eqfe
Rendimento in energia
Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze:
essendo l’energia data da Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha
così il rendim. giornaliero, mensile, etc.
cufeut
utw WWW
W
0
0
t
t
vidtW
Rendimento in energia
Se in il carico è costante ( e costanti):
e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali.
2I 2V
222 cosIVWut fefe PW cucu PW
0
0
t
t
vidtW
Rendimento giornaliero
Se si esprime l’energia in Wh si ha:
222 cosIVPut
utP
h 24
hIrPhIV
hIV
eqfew 2
2"
222
222
24cos
cos
Andamento del rendim. in energia in funzione del carico
L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per dato da:
peq
few I
hhr
PI 22
24
"
24
2I
Caduta di tensione
Si definisce caduta di tensione la quantità:nV1
nV1
10I 02 I
20V
1I 2I
2V
220 VVV
Caduta di tensione: funzionamento a vuoto
, trascurando la caduta di tensione dovuta a →
aEVE pp /1202 10I
22220 VVVVV n
nnnp VaVVVE 212011 /
0
Calcolo della caduta di tensione
dove
(conv.gener.)
Dividendo per a →
dove
aII /' 22
22
1' rarr eq 22
1' lall eq
22202 )""( VIljrVV eqeqn
221
2
'" r
a
r
a
rr eq
eq 221
2
'"
l
a
l
a
ll eq
eq
221 '')''( VIljrV eqeqn
Calcolo approssimato della caduta di tensione
FG perpendicolare a BG
ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC
22202 )""( VIljrVV eqeqn
22 cos" IrBH eq22 sin" IlHC eq
2222 sin"cos" IlIrV eqeq