transzlációs mveletnek pontrács: tércentrált köbös...
TRANSCRIPT
1. Kristályos anyagok Kristálytan fogalmai: Rácsvektor, transzlációs vektorok, pontrács, elemi cella, Wigner-Seitz-cella,. Szimmetriák: transzláció, forgatás, inverzió, inverziós tengely, csúszósík. Tércsoport, pontcsoport, reciprok rács és fogalmai Rácsvektor (Rn): olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)
Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára:
Rn=n1a1+ n2a2+n3a3
Az ilyen Rn vektorral való eltolását műveletnek nevezzük. Az ilyen műösszessége a transzlációs csoportot alkot. Pontrács: pontok olyan háló szerű elrendez
amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.
Kristályszerkezetet akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételirányítású atomcsoportot helyezünk el.
Ideális kristály: olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (a1,a2,a3)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.
Elemi cella: elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. Az elemi cella primitív, ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot.
Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adrácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak vanvalamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)
A határ egyenlete: rffRnfffffff= RnfffffffLLLMMM
2ffffffffffff
Reciprok rács: K(h1, h2, h3)=h1b1+h2b2+h3b3, ahol b1fffff= 2πaffff
a 1fffffBbfffffffffff a ifffffbjfffff= 2πδij ; RnfffffffK hfffffff= 2π A n n 2 Z
b c
Szimmetriák: 1. Transzláció: létezik az Rn transzlációs vektor 2. Forgatás: (inverz forgatás is megengedett)
Ha egy kiszemelt tengely körüli 2π/n szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt n-fogású forgástengelynek nevezik: m·a=a+2a·sin(φ-π/2) m=1-2cosφ cosφ=(1-m)/2 φ=arccos((1-m)/2)
m -1 0 1 2 3 φ 0π, 2π π/3 π/2 2π/3 π n 1 6 4 3 2
(kvázi kristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)3. Inverzió: (tükrözés) r = -r 4. Csúszósík: összetett szimmetria művelet � tükrözés, majd a tengely
irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába esismétlődési hossznak).
5. Csavartengely: összetett szimmetria művelet � forgatás, majd a tengely irányába való eltolás.
1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás műA pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.
230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3Dpontcsoport 2D-ben
14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben
7 kristályszimmetria: triklin, monoklin, trigonális, ortorombos, hexagonális, köbös, tetragonális
Kristálytan fogalmai: Rácsvektor, transzlációs vektorok, pontrács, elemi cella, cella,. Szimmetriák: transzláció, forgatás, inverzió, inverziós tengely,
vektorral való eltolását transzlációs nevezzük. Az ilyen műveletek
összessége a transzlációs csoportot alkot.
pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos
akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű
en úgy helyezkednek el, s minden pontból
ített paralellepipedon. a1(a2×a3) csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot.
Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott ásikhoz. (Ha a kristálynak vanvalamilyen cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)
2fffffB a3fffffffffB a 2fffffc a3ffffffffffffffffffffffffffffffffff
…
lehet 5 forgású)
tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső
forgatás, majd a tengely
veletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek velet (csoport szorzás művelete).
a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5
230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10
triklin, monoklin, trigonális, ortorombos, hexagonális, köbös, tetragonális
2. Fontosabb kristályszerkezetek Egyszerű köbös, lapcentrált köbös, tércentrált köbös szerkezetek. Gyémánt rács, NaCl szerkezet és hexagonális szoros rács.
1. Egyszerű köbös (SC): Po A WS cellája is kocka.
2. Lapcentrált köbös (FCC): Cu, Al, Au, Ag, Ni, PtEz a legsűrűbb rács a1=a/2(011) a2=a/2(101) a3=a/2(110) Vc= a1(a2×a3)=a3/4 Az elemi cella:
3. Tércentrált köbös (BCC): Fe, W, Mo
a1=a/2(-1 1 1) a2=a/2(1 -1 1) a3=a/2(1 1 -1) Vc= a1(a2×a3)=a3/2 FCC Bz = BCC WS BCC Bz = FCC WS
4. Gyémánt rács: Cgy, Si, Ge FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom). (tetraéderes szerkezet)
5. NaCl szerkezet: (két egymásba tolt FCC)
6. Hexagonális (szoros illeszkedésű szerkezet)4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés. Kiszámolható:
caffff
=83ffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 1,62
köbös, lapcentrált köbös, tércentrált köbös szerkezetek. Gyémánt rács,
: Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt
: Fe, W, Mo
ymásba tolt FCC)
ű szerkezet): Zn, Nb
3. Kristályhibák és nemkristályos szerkezetek Vakancia, intersticionális atom, szennyezők, diszlokációk, felületi és térfogati hibák, polikristály. Amorf anyagok és folyadékok szerkezete, kvázikristályok és folyadékkristályok
0 Dimenziós: Ponthibák (1 atom és annak környezete) - vakanciák: 1 atom hiányzik (egyensúlyi rácshiba) - interstriciális atom: 1 atom többlet - szennyezők: szubsztitúcionális vagy interstriciális (pl Me + H) (p-típusú: Al, Ga, In ; n-típusú: P,As, Sb)
Vakancia várható értéke: <n> =
Xn = 0
N
n Nn
f ge@
nEVF
kTfffffffffffffffffff
Xn = 0
NNn
f ge@
nEVF
kTfffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=
ddxffffffflnX
n
Nn
f
=d
dxfffffffln 1 + ex
` aN= N
ddxfffffffln 1 + ex
` a= N
ex
1 + ex
fffffffffffffffff= N
e@EV
F
kTfffffffffffff
1 + e@EV
F
kTfffffffffffff
ffffffffffffffffffffffff=
x : =@EV
F
kTfffffffff
és ez jóval kisebb, mint 1. (szobahőn kT = 25 meV <
Ez képlet olvadáspontig jó közelítés. A vakanciák hozzák létre a fémeknél a diffúziót, és ellenállásként lehet mérni (ehhez be kell fagyasztani a vakanciákat…)
1 Dimenziós: Vonalhibák – Diszlokáció Burgers vektor: ami a kezdő és a végpontot összeköti (hibátlan rácsban ez nullvektor) b vektor minden pontban uaz. Burgers kör (ábra)
e ┴ b – éldiszlok. e || b – csavardiszlok.
A diszlok. nem egyensúlyi rácshiba, fémekben a koncentrávió pl: 10hajtogatjuk, akkor 1015 m/m3-re is nőhet. (Pl: üst készítés: kalapálás+hha a huzalt hajtogatjuk, az eltörik…)
Diszlokáció összekötése a deformációval: (b áll.)
εxy = γ =X bi
Ly
fffffffxi
Lx
fffffff= bX xi
Lx Ly
fffffffffffffffff
∆γ =bX xi
Lx Ly
fffffffffffffffffffff= b
NLx Ly
fffffffffffffff<∆x ≥ bNLr
Lx Ly Lz
fffffffffffffffffffffff<∆x> = bρ<∆x> Orován
2 Dimenziós: Felületi hibák – Szemcsehatár (Durvaszemcsés anyagok, finom szemcsés anyagok, mikro/nano szemcsések) Megakasztják a diszlokációt, észemcsehatárokon összegyűlhetnek a szennyeződések, így rideg lesz az anyag.
3 Dimenziós: Térfogati hibák – Kiválások (pl csapadék)
– Üreg (Void, pórus) A fémek ellenállása a hőmérséklettel � 0 (ez NEM a szupravezetés!!)
Amorf anyagok: (kistávú rend) r1-en belül levő atomok száma:
N r 1
` a= Z
0
r1
g r` a
4πr 2 dr (g(r): rediális eloszl. fv.)
pl.: Üveg SiO2 + Na; Fémüveg Fe80B20 Kvázikristályok: nagy ellenállás + rossz hővezetés (vegyiparnak főzőedény) Al6Mn (lehet 5-ös szimmetriájuk) 2D: Penrose rács (nem ismétli önmagát) 3D: Romboéder
Folyadékkristályok:
k, diszlokációk, felületi és térfogati hibák, polikristály. Amorf anyagok és folyadékok szerkezete, kvázikristályok és
Nn
genx =
= N e@
EVF
kTffffffff
n kT = 25 meV < EVF
= 0,8-1 eV )
( EIF = 2-4 eV)
ellenállásként lehet mérni őket
A diszlok. nem egyensúlyi rácshiba, fémekben a koncentrávió pl: 106 m/m3, ha het. (Pl: üst készítés: kalapálás+hőkezelés+... ,
Orován-összefüggés
Szemcsehatár (Durvaszemcsés anyagok, finom szemcsés anyagok, mikro/nano szemcsések) Megakasztják a diszlokációt, és a
dések, így rideg lesz az anyag.
0 (ez NEM a szupravezetés!!)
4. Szerkezetvizsgálat Röntgen, elektron és neutron. Források és detektorok. Szórás kinetikus elmélete, Ewald-gömb. Kristályos és amorf anyag szórása, Rácssíkok és Bragg Röntgen:
(a) Röntgencső karakterisztikus és fékezési sugárzás Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.
eU = -ω = -ck =-cλfffffff
(b) Szinkrotronsugárzás: Az e--okat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk”, (csak fékezési sugárzás lesz) Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate
Elektron: eU =p 2
2mffffffffff ; p =
hλffff
Elektronmikroszkóp (szóródás helyett): Lencserendszer miatt numerikus apertúra: 10-4-10Ha k=fókusztáv→diffrakció
Leképezés: 1kffff
+1tff=
1fffff
Röntgenhez képest hátrány: bonyolult mintapreparáció;feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás), nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére. Előny: sokmindent látni vele, szűkíthető látótér, korlátozott területű diffrakció
Neutron: reaktorból termikus neutron: E~kt ≈
12ffffkT =
12ffffp 2
m N
ffffffffff p =hλffff
Előnye: csak a magon szóródik (röntgen a felhőn, elektron az elektrosztatikus potenciálon), gyengén szóródik, a kis rendszámú atomokat is látjuk (izotópokat másképp szórja), spinfüggő (látszik, hogy hogyanaz anyagban) Hátránya: vizsgálathoz sok anyag kell
Detektorok: fotolemez, (helyzetérzékeny) számlálócs(emlékező lemez)
Szórás kinetikus elmélete: Fraunhofer interferenciakép
röntgen→Thomson-szórás
(1) Rugalmas szórás: λ változatlan, Eki=E(2) Koherens (3) Gyenge szórás: egyenes szórások…
Fraunhofer interferencia:
A bemenő-kimenő hullámszám = ρ(r): ha nagy, nagy a szszóródás az adott pontban. (Röntgennél e--sűrűség, esűrűség, neutronnál magsűrűség).
A fáziskülönbség:
kfff
0rff= kfff
0
LLLMMMs1 =
2π
λffffffffs1 ; ∆s = s1@ s2
kfffrff= kfffLLL MMMs2 =2π
λffffffffs2 ; ∆ϕ =
2π
λffffffffs1@ s2
` a
∆ϕ = kfff0@ kfffb c
rffQA kfffb ctZ ρ rff` a e i kff0@kffb c
rffd3
A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a stranszformáltja.
Intenzitás: I kfffb c= A kfffb cLLLLMMMM
2
Integrál abszolút érték négyzete (komplex!!).
Autokorr. fv:
ρ rff1` aρ rff2` a* +
= ρ rff1 + afffb cρ rff2 + afffb c, -
= ρ`*
I kfffb c, -= VZ k rff` a e i kff
0@kffb c
rffd3r
Ewald-gömb: reciprokrácson berajzoljuk a beesők vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald
Folyadék és amorf anyag esetén:
ZV
ZV.
ρ rff1` aρ rff2` a
e i∆ kffrff1@ i∆ kffrff
2 d3
r 1 d3
r 2
r1=r2+n d3r’=d3n
I = ZV
ρ n` a
e@ i∆kn d3
n
Röntgen, elektron és neutron. Források és detektorok. Szórás kinetikus elmélete, gömb. Kristályos és amorf anyag szórása, Rácssíkok és Bragg-feltétel
okat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk”, (csak
monokróm drága.
, CCD, Imaging Plate
10-5 →hátrány
rány: bonyolult mintapreparáció; sen kölcsönhat az
s rugalmas és rugalmatlan szórás), nem elég
látótér,
≈ 0.25 eV
nye: csak a magon szóródik (röntgen a felhőn, elektron az elektrosztatikus nciálon), gyengén szóródik, a kis rendszámú atomokat is látjuk (izotópokat
an állnak a mágneses momentumok
Detektorok: fotolemez, (helyzetérzékeny) számlálócső, CCD, Imaging Plate
Fraunhofer interferenciakép (anyagszerkezet-meghatározás)
=Ebe
(r): ha nagy, nagy a szóródás, ha kicsi, kicsi a ű űség, e-mikroszkópnál e- pot.
r
A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-
Integrál abszolút érték négyzete (komplex!!).
0` a
ρ rff2@ rff1` a+= k rff2@ rff1` a
gömb: reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a pontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald-gömb.
Kristályos anyag esetén: Laue csinálta először.
A kfffb c= Z ρ rff` a e i kff
0@kffb c
rffd3r ; ρ rff` a= ρ rff+ Rffff
n
b c= ρ rff.b c
A kfffb c= Z ρ rff.b ce i kff
0@kffb c
rff. @Rfffn
b c
d3
r = e i kff0@kffb c
RfffnZ ρ rff` a e i kff
0@kffb c
rffd3r
QA kfffb c 1@ e i kff0@kffb c
Rfffn
b c= 0
Azt szeretnénk, ha A(k) nem (mivel azt keressük), a másik tag viszont nullával lenne egyenlő (megköveteljük az egyenlőséget).
kfff0@ kfffb c
Rffffn
= 2π A egész számb c
Rnfffffff@ rácsvektorb c
kfff0@ kfffb c
= Kfffffh
reciprokrács vektorb c
A Kfffffh
b c≠ 0Q elhajlási irány
A Kfffffh
b c= 0Q kioltás
A nem Kfffffh
b c= 0@ nak kell lennie
Laue: nem monokromatikus, hanem fékezési sugárzással mért, így több k, több gömb és a kristályirány is meghatározható.
A Kfffffh
b c= Z
az egész anyagra
ρ rff` a e i Kffffh
rffd3r = N
a cellák számaZ
egy cellára
ρ rff` a e i Kffffh
rffd3r
Egy cellában:ρ rff` a=Xa
ρa
rff@ rffa` aQ a = atom, pl: NaCl@ nél 2
A Kfffffh
b c= N AX
atom
Z ρa
rff@ rffa` ae i Kffff
hrffd3
r = N AXatom
Z ρa
rff` a e i Kffffh
rff+ rff0
b c
d3
r =
= N AXatom
e i Kffffh
rffa f a Kfffff
h
b c= N S Kfffff
h
b c
Ahol a fenti S Kfffffh
b c-t struktúra faktornak nevezzük (egy cellán belül hol vannak
az atomok). Ebből az fa(k):
f a kfffb c=Z ρa
rff` a e i kffrffd3r
az alakfaktor (1 atom szórásának Fourier-transzformáltja).
Pl ha egy atom kisebb (jobban lokalizált), akkor S Kfffffh
b c nagyobb.
Rácssík: ha átmegy 3 rácsponton → átmegy ∞ sok rácsponton (mivel rácsvektorok lin. komb.ja is rácsvektor). h1, h2, h3 (nincs közös osztójuk) által megadott sík
átmegy a1
h 1
fffffff, a2
h 2
fffffff, a3
h 3
fffffff pontokon. Tételek:
1) h1,h2,h3 sík merőleges a Kfffffh1 ,h2 ,h3
= h 1 bfff1
+ h 2 bfff2
+ h 3 bfff3 reciprokrács vektorra.
BIZ: B12 =a 1
h 1
fffffff@
a2
h 2
ffffffff gh 1 bfff
1+ h 2 bfff
2+ h 3 bfff
3
b c=
2πh 1
h 1
fffffffffffffff@
2πh 2
h 2
fffffffffffffff= 0
A többi kombinációra is be kell látni ugyanígy.
2) h1,h2,h3 síkok távolsága: dh1 ,h2 ,h3=
2π
Kfffffh1 ,h2 ,h3
LLLMMM
ffffffffffffffffffffffffff ahol d az origó és a sík távolsága.
BIZ: d =afff1h 1
fffffffKfffffh
Kfffffh
LLLMMM
fffffffffffff=
2πh 1
h 1 Kfffffh
LLLMMM
fffffffffffffffffffff=
2π
Kfffffh
LLLMMM
fffffffffffff Bragg-feltétel:
kfff@kfff0
= KfffffhQ az Ewald@ gömbböl tudjuk
kfffés kfff0
szöge = 2 Aϑ
Kfffffh
LLLMMM= 2 kfff
0
LLLMMMsin ϑ
` a
22π
λffffffffsinϑ =
2π
dffffffffn [ 2dh1 ,h2 ,h3
sinϑ = nλ
Erősítés csak a fenti esetben van (néha h,k,l-et is szoktak használni az indexelés helyett).
k = 2π/λ
k k' λ
θ θ k'-k
d
5. Kondenzált anyagok kötése Kovalens, ionos és fémes kötés. átmeneti fémek kötése. Atomos és molekuláris kötések. Kohézió és adhézió. Atomok közti potenciál Elsőrendű (kémiai) kötések: (legerősebbtől a leggyengébbig)
1. Kovalens-kötés: (ált. nem-fémek közt) A kötő-elektronpár a kötésben részt vevő atomok egy-egy elektronjából alakul ki (ritkábban mindkét kötő-elektron egy atomtól származik, ilyenkor datív kötésről beszélünk. pl:CO). - A kötés lehet 1-szeres (σ), 2-szeres (σ,π) vagy 3-szoros (σ,π,π). - A részt vevő elemek homogenitásától és elektronnegativitásaitól függően beszélünk poláros és apoláros kötésről. - A kötő elektronok spinjei antiparalellek. - Zárt e--héj alakul ki
2. Ionos kötés: (ált. normális fémek és nem-fémek közt.) - A kötés kialakulásához magas elektronnegativitás különbség kell. - Az ionokat elektrosztatikus vonzás és taszítás (Pauli elv) rendezi rácsba. - A Madelung állandó megadja, mennyire vonzzák egymást. - Zárt e--héj alakul ki
3. Fémes kötés: A pozitív atomtörzseket az egész kristályra kiterjedő delokalizált (vegyérték) elektronokból kialakult felhő tartja össze. - Normális fémek: (alkáli-, nemes-, …) � csak s e--ok kötnek - Átmeneti fémek: (Co,Fe,Mg,Mo,Eu…) � d,f e--ok is kötnek � kovalensen tudnak kötni (kemények) (Fémek kovalens kötésben pl: Fe2O3 – rozsda)
Másodrendű kötések: (molekulák ill. nemesgázok közt)
1. H-híd: Egy elektronhiányos H atom és egy nemkötő-elektronpár között alakul ki. A víz mellett a szerves vegyületekben van fontos szerepe (pl DNS) - Csak N,O,F –nak elég nagy az elektronnegativitása ehhez a kötéshez.
2. Dipól-dipól: A dipól momentummal rendelkező molekulák rendeződnek, és vonzzák egymást (pl. SO2) - A kötéshez poláros molekulára van szükség, amihez nem elég a kovalens kötés polárossága. Hiszen ha szimmetrikus a szerkezet, apoláros lesz a molekula (pl.: CO2).
3. Van der Waals: Apoláros molekulák ill. nemesgázok között alakul ki. - Nincs állandó dipól momentumuk, de mozgásból adódó van. (2 fém között is lehet: Casimir-effektus)
Kohézió: azonos anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás.
Adhézió: különböző anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás. pl.: forrasztás, ragasztás
Potenciál 2 atom között:
Pl.: Van der Waals kötés potenciálja, Lennard-Jones:
V r` a
= V0
σ
rfffff g12
@ 2σ
rfffff g6
hlj
imk
6. Rácsrezgések Rácsrezgések kristályos és nemkristályos anyagokban. Lokalizált és delokalizált módus. Periodikus anyag rezgései. Egyatomos, kétatomos lineáris lánc. Módussűrűség. Fononok, mint kvázirészecskék. Rácsrezgések:
i-edik atom rezgése: rffi t` a
, egyensúlyi helyzet: rffi0
elmozdulás vektor: ufffi t` a
= rffi t` a@ rffi0
Egy atom kitérítésére az egész rács rezegni fog.
m i uA A i =@Xj
Deeeeij
ufffj j = 1, … ,3Na atomok száma` aR S
ufffi t` a
= ufffi e iωt
m i ω 2 ufffi =Xj
Deeeeij
ufffjω 2 Meeeeeufff= Deeeeufff
Ahol D 3Nax3Na-s önadjungált, szimmetrikus erőállandó mátrix.
Az M mátrix szimmetrikus, diagonális elemei a tömegpontok. De az átrendezésnél D-t M-1-gyel beszorozva nem lenne szimm. a mátrix, ezért pozitív definit négyzetgyök:
Meeeee=
m 1
m 2
m 3*
m Na
hllllllj
immmmmmk
; See=m 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
m 2pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwm 3pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww*
m Napwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
hllllllllj
immmmmmmmk
See2 = Meeeee
ω 2 See2 ufff= Deeeeufff ASee@1)ω 2 Seeufffb c
= See@1DeeeeSee@1
d eSeeufffb cQω 2 vfff= Ceeevfff
Ceeeij
=Deeee
ij
m i m jqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffff
Ahol S-1DS-1= C önadjungált mátrix. A fentiek általános esetben igazak.
Kristályos anyagokban: N a = N c A s ahol Nc a cellák száma.
Általában az elemi cellát adjuk meg:
rffi = Rffffn
+ rffp , ahol nfff= n 1 ,n 2 ,n 3
` a, i = nfff,pP Q
és p: 1,2, … ,SR S
Ahol n adja meg, hogy melyik cella, p pedig, hogy hanyadik atom a cellában.
Bloch-tétel: vfff= vfffe i kffRfff
n és kfff= kfff+ Kfffffh
ei kff+Kffff
h
b cRfff
n = e i kffRfffn e i Kffff
hRfff
n = e i kffRfffn , mivel Kfffff
hRffff
n= 2π A egész szám
b c
k benne van a Brouillen-zónában!
Nemkristályos anyagokban:
lokalizált módus:
delokalizált módus:
Periodikus anyag rezgései: Born-Kármán (vagy periodikus) határfeltétel: Vagy ugyanaz az elmozdulás, vagy ciklikus határfeltételt veszünk.
vfffn = vfffRffffn
b cvfffRffff
n+ N1 afff1b c
e i kffRfffn = e i kffRfff
n+ N 1aff
1
b c
Q e i kffaff1
N 1 = 1kfffafff1 N1 = 2πm 1
kfffafff2 N2 = 2πm 2
kfffafff3 N3 = 2πm 3
kfff= m 1
N1
fffffffffbfff1
+m 2
N2
fffffffffbfff2
+m 3
N3
fffffffffbfff3
Reciprok rács
A megoldást egy k vektorral tudjuk jellemezni. N kb. Na köbgyöke. Nc=N1N2N3→3 s db koordináta. A problémát redukáltuk. Kapunk egy ω2-et, ami ωλ2(k) fv-e (azaz egy λ: 3 s . 3 s-es mátrix sajátérték fv-ében melyik, λ=1,…,3s). Diszperziós reláció
Egyatomos lineáris lánc:
m uA A n =@ D 2Un@ Un + 1@ Un @1
b c
Un t` a
= Aeiωt
e ikan , ahol an az atom helyét adja meg
@mω 2 Aeiωt
e ikan =@ D 2@ e ika@ e@ ikab c
Aeiωt
e ikan
mω 2 = D 2@ e ika@ e@ ikab c
= 2D 1@ cos ka` ab c
ω 2 =2Dmfffffffff1@ cos ka
` ab c
ω =2Dmfffffffff1@ cos ka
` ab cswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww sin
ka2fffffffff gLLLLLL
MMMMMM
Kétatomos lineáris lánc:
m uA A =@ D 2 un@ v n@ v n @1
b c
M vA A =@ D 2v n@ un + 1@ un
b c
un = Aeiωt
e ikan ; v n = Beiωt
e ikan
mω 2 A = D 2A@ 1 + e@ ikab c
Bd e
Mω 2 B = D 2B@ 1 + e ikab c
Ad e
mω 2@ 2D D 1 + e@ ikab c
D 1 + e ikab c
Mω 2@ 2D
hllj
immk A
B
f g= 0
Nemtriviális megoldás akkor van, ha a mátrix determinánsa nulla.
mMω 4@ 2D m + M` a
ω 2 + 4D2@ D
22 + 2cos ka
` ab c= 0
mMω 4@ 2D m + M` a
ω 2 + 2D2
1 + cos ka` ab c
= 0
ω 2 =
2D m + M` a
F 4D2
m + M` a2
@ 8D2
mM 1@ cos ka` ab crwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2mMffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
ω 2 =2DmMffffffffffff m + M
` aF m 2 + M
2+ 2mMcos ka
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e
Nem mindig merőlegesen jön be, csak periodikus határfeltételnél. Optikai ág akkor is optikai ág, ha nincs gerjesztése (optikailag nem gerjeszthető). Mindkét ágat fononnak nev. s=1-nél nincs optikai ág, egyébként 3 akusztikus, 3(s-1) optikai ág. Ha m→M, visszakapjuk az egyatomos esetet.
Módussűrűség(=fononspektruóm): D(ω)
Zω1
ω2
D ω` a
dω = ω1 és ω2 közti módusok száma
1atomos láncnál: A módusok független lineáris oszcillátorok: k vektor és λ=1,…,3s.
Annyi lin. oszc. van a Bz-ban, ahány cella van a rácsban.
ω =4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwsin
ka2fffffffff g
; dω =4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwcos
ka2fffffffff g
a2ffffdk
D ω` a
dω = 2aN2πffffffffdk =
aNπffffffff 1
a2fffff 4D
mffffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwcos
ka2fffffffffffd efffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdω =
Nπfffff m
Dffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1
a@ mω2
4Dfffffffffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
Eλ
k` a
= -ωλ
k` a
nλ
k` a
+12fffff g
nλ
k` a
adja meg a fononok számát a módusbanb c
(pl. ha n=3, akkor ebben a módusban 3 fonon van) Energiája: -ω
λk` a
, impulzusa (kváziimpulzus): - kfff A fonon kvázirészecske. Normál folyamat: megmarad a kávziimpulzus, és az eredő k vektor benne van a
Bz-ban. X - kfffi= 0 .
Unklapp folyamat: Brillouin zónában nincs benne az eredő k vektor. Addig kell
hozzáadni, hogy benne legyen. X - kfffi= -Kfffff
h.
Lineáris diszperzió esetén. (3D-ben D(ω))
D ω` a
dω =V
2π` a3ffffffffffffffffZ d
3k =
V
2π` a3ffffffffffffffff4πk
2dk =
V
2π` a3ffffffffffffffffω
cffffff g2
1cfffdω
felhasználtuk, hogy: ω: = c kfffb c= ck [ dω = c dk
Teljes D(ω):
D ω` a
= V 2π` a2 1
c13
ffffff+
1c2
3
ffffff+
1c3
3
fffffff gω 2 =
V
2π` a2ffffffffffffffff3
c3
ffffffω 2
Az anyag termikus tulajdonságainak nagy részét a fononok adják.
7. Rácsrezgések termikus hatásai Rácsrezgések energiája, Debye-fajhő. Kristályos és amorf anyag hőtágulása, Hővezetés, fonon-fonon kölcsönhatás, direkt és umklapp folyamatok. Diszperziós reláció kimérése, folyadékok dinamikája, Raman szórás Melegítésnél a rezgés veszi fel a hőt (+ hővezetés +….)
Fononok (amik bozonok) Energiája: E =Xi
-ωi n i +12fffff g
; n i
( )=
1eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff
E( )
=Xi
-ωi n i
( )+
12fffff g
=Xi
-ωi
1eβ-ωi
ffffffffffff+
12fffff g
=Xi
-ωi
2fffffffffff2 + eβ-ωi@ 1
eβ-ωi@ 1fffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
Xi
-ωi
2fffffffffffeβ-ωi + 1
eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff
=Xi
-ωi
2fffffffffffeβ-ωi + e@β-ωi
eβ-ωi@ e@β-ωi
fffffffffffffffffffffffffffffffffff=X
i
-ωi
2fffffffffffcth
-ωi
2kTffffffffffffff g
Nagy T-re: E( )
=Xi
-ωi
2fffffffffff2kT-ωi
fffffffffffff=X
i
kT = 3Na kT � Ekvipartíció tétel
cv =∂ E( )
∂Tfffffffffffffff
= 3Na k (vagy cp) (folyadékra nem igaz)�
Alacsony T-re: E( )
= 0 - a szabadsági fokok befagynak.
Debye-fajhő: (alacsony hőn nem jó az Einstein modell)
E( )
= E0 +Xi
-ωi
eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff
= E0 + Z -ωi
eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffffD ω
` adω ; -ωD = kT D
DD ω` a
=V
2π2fffffffffff3
c3
ffffffω2 ; ω<ωD
` a; ωD = 6π2 Na
Vfffffff3swwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwc ; Z
0
1
x 3
ex@ 1fffffffffffffffffdx =
π4
15fffffffh
lj
imk
Z0
ωD
DD ω` a
dω =V
2π 2fffffffffff3
c3
ffffffZ0
ωD
ω 2 dω =V
2π2fffffffffffωD
3
c3
ffffffff= 3Na - a módusokban a sebesség c
E( )
= E0 + Z0
ωD
-ω
eβ-ω@ 1fffffffffffffffffffffV
2π2fffffffffff3
c3
ffffffω 2 dω = E0 +
V2π2fffffffffff3
c3
ffffff- kT` a4
-4
ffffffffffffffffffffff Z0
β-ωD
x 3
ex@ 1fffffffffffffffffdx =
= E0 +V
2π2fffffffffff3
c3
ffffff- kT` a4
-4
ffffffffffffffffffffffπ 4
15fffffff
= E0 +Vπ 2
10fffffffffff1
c3
ffffffkT` a4
-3
fffffffffffffffff[ cv =
Vπ 2
10fffffffffff1
c3
ffffffk 4
-3fffffff4T
3
Fémeknél γT3-höz jön egy +αT járulék
Hőtágulási együttható: (csak a fononrezgéstől nem tágul) A hőtágulást a nem lineáris tagok hozzák létre (amiket kihagytunk a sorfejtésből).
Pl: Kvarc- erősen lin. anyag – kevésbé hőtágul
Ahogy jobban rezeg, eltolódik a középpont � hőtágulás.
Hővezetés: (pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)
Q = κ∂T∂xfffffffff
=13ffffcv uΛ
∂T∂xfffffffff , ahol u az átlagsebesség.
Ideális kristályban: κ → ∞
Anharmonikus rácskcsh.ok és fonon-fonon ütközések � Λ~1Tfffff
k1fffff+ k2fffff= k3fffffk1fffff+ k2fffff= k3fffff+ G[ Unklapp folyamat atomos rácsokban
` a
A hővezetés függ a nagyságtól és a fajhőtől.
Fémeknél: - szennyezőben a fonon vezek
- tiszta fémekben az elektron
(Widemann Frane tv.: w =1
LG12 Tfffffffffffffffffffff
= w0 + w12 = αT2
+β
Tfffff
)
(Hőtágulás → atomokat eltávolítani akaró anharmonikus tagok.)
8. Elektronszerkezet Adiabatikus szétcsatolás, Bloch-tétel, Bloch- és Wannier-függvények Adiabatikus szétcsatolás: Az elektronok úgy látják az atommagokat, mintha állnának, az atommagok meg úgy látják az elektronokat, hogy cikáznak körülöttük kb. felhőszerűen.
Ionok: RI az összes ion helyzetétől függ.
RffffI
PfffI=-
iffff ∂
∂ RffffI
ffffffffffff H =@XI
-2
2MI
ffffffffffff∂2
∂ RffffI
2fffffffffffff
+ VI RffffI
b c
Elektronok:
rffi pfffi=-
iffff ∂
∂ rffi2fffffffffff H =@X
i
-2
2m e
fffffffffffff∂2
∂ rffiffffffffff
+ v e rffi` a+ v eI RffffI, rffib c
Az egészet egyesítve:
H =@X
I
-2
2MI
ffffffffffff∂2
∂ RffffI
2fffffffffffff
+ VI RffffI
b c@X
i
-2
2m e
fffffffffffff∂2
∂ rffi2fffffffffff
+ v e rffi` a+ v eI RffffI, rffib c
ψ RffffI, rffib c
; Hψ = Eψ ; ψ RffffI, rffib c
= φ RffffI
b cϕ Rffff
I, rffib c
A fenti H egyenletet átrendezve:
@XI
-2
2MI
ffffffffffff∂ 2φ
∂ RffffI
2fffffffffffff
+ VI RffffI
b cφ
hlj
imkϕ + @X
I
-2
2MI
ffffffffffff2∂φ
∂ RffffI
ffffffffffff∂ϕ
∂ RffffI
ffffffffffff+ φ
∂ϕ
∂ RffffI
2fffffffffffffh
jik
HLJ
IMK+
@Xi
-2
2m e
fffffffffffff+ v e ϕ + v eI ϕ
HJ
IKφ = Eφϕ
1) elektronprobléma (tetszőleges RI elrendezésben):
@Xi
-2
2m e
fffffffffffff ∂2
ϕ
∂ rffi2 + v e ϕffffffffffffffffffffffffffffffff
+ v eI RffffI, rffib c
ϕ = E RffffI
b cϕ
2) rácsprobléma:
@XI
-2
2MI
ffffffffffff∂ 2φ
∂ RffffI
2fffffffffffff
+ VI RffffI
b c+ E Rffff
I
b cd eφ = Eφ
Ezt klasszikusan oldjuk meg (fononprobléma).
3) elektron-fonon kölcsönhatá
Hkölcsönhatási =@XI
-2
2MI
ffffffffffff2∂φ
∂ RffffI
ffffffffffff∂ϕ
∂ RffffI
ffffffffffff+
∂2
ϕ
∂ RffffI
2fffffffffffffh
lj
imk
Ehelyett majd megoldjuk az elektronproblémát rácsra.
Bloch-tétel:
(a) nem degenerált:
Hϕ = Eϕ
Hs1 elektronra
=@-
2∆
2m e
fffffffffffff+ V rff` a ; Hs
sok elektronra
=@Xi
-2
∆ i
2mfffffffffffffff
+Xi
V rffi` a+Xi<j
14πε0
fffffffffffff e2
rffi@ rffjLL MMffffffffffffffffffffff
H rff+ Rffffn
b c= H rff` aQ invariáns a rácsperiódusú eltolásra, így:
H rff+ Rffffn
b cϕ rff+ Rffff
n
b c= Eϕ rff+ Rffff
n
b c[ H rff` aϕ rff+ Rffff
n
b c= Eϕ rff+ Rffff
n
b c
Megjegyzés:
Hϕ = eϕ ; TQ lineáris eltolás
T HT@1
T ϕ = ET ϕ mivel T HT@1
= H és HT = T H
H T ϕb c
= E T ϕb c
T Rffffn
b cϕ rff` a= ϕ rff+ Rffff
n
b c= cn ϕ rff` a
Periodikus határfeltétel.
ϕ rff+ afff1b c= c1 ϕ rff` a
ϕ rff+ afff2b c= c2 ϕ rff` a
ϕ rff+ afff3b c= c3 ϕ rff` a
LLLLLLLLLLLLL
Y^^]^^[
ϕ rff+ N1 afff1b c= ϕ rff` a
c1N 1 = 1
hlj
imk[
c1 = ei2π
p.N 1
ffffffff
c2 = ei2π
p.N 2
ffffffff
c3 = ei2π
p.N 3
ffffffff
LLLLLLLLLLLLL
Y^^]^^[
a fent iek alapján pedig:
ϕ rff+ Rffffn
b c= e i kffRfff
n ϕ rff` a
A fenti egyenlet a Felix-Bloch tétel (1952-ben Nobel-díj).
Reciprokrács:
(b) degenerált:
A fenti eltolás nem igaz (gond van a skalárszorzással).
Hϕ1
rff` a= Eϕ1
rff` a ; ϕ1
rff+ Rffffn
b c= λ11 ϕ
1rff` a+ λ12 ϕ
2rff` a
Hϕ2
rff` a= Eϕ2
rff` a ; ϕ2
rff+ Rffffn
b c= λ21 ϕ
1rff` a+ λ22 ϕ
2rff` a
Fötengelytranszformálva:
ϕa
rff+ Rffffn
b c= λa ϕ
arff` a ; ϕ
brff+ Rffff
n
b c= λb ϕ
brff` a
ϕ rff+ Rffffn
b c= e i kffRfff
n ϕkff rff` a @ Bloch fv .
Bloch-fv: ϕ rff+ Rffffn
b c= e i kffRfff
n ϕkff rff` a
1) a különböző k-khoz tartozó Bloch-fv-ek merőlegesek:
Z ϕkff
1
C rff` aϕkff
2
rff` ad3
r = Z ϕkff
1
C rff+ Rffffn
b cϕ
kff2
rff+ RffffN
b cd
3r =
= e i kff2@kff
1
b cRfff
nZ ϕkff
1
C rff` aϕkff
2
rff` a d3
r
1@ e i kff2@kff
1
b cRfff
n
b cAZ ϕ
kff1
C rff` aϕkff
2
rff` ad3
r = 0
Az első tag 0, ha k2-k1=Kh, ami soha nem teljesül, tehát k1-nek és k2-nek ortogonálisnak kell lennie. Páros és páratlan fv-ek lineárkombinációjából minden „normális” fv. kikeverhető. (Az ∫-os tag = 0)
f rff` a=Xkff
T
akffT
e i kffT
rff ; kfffT
= Kfffffh
+ kfff2 Bz ; kfffT
=2πp
1
N1
ffffffffffffffb1 +2πp
2
N2
ffffffffffffffb2 +2πp
3
N3
ffffffffffffffb3
f rff` a=XKffff
h
Xkff
aK hfffffff+ kffei Kffff
h+ kffb c
rff=X
kffXKffff
h
aKffffh
+ kffe i Kffffh
rfff ge i kffrff=X
kffuk rff` a e i kffrff
uk rff+ Rffffn
b ce i kff rff+Rfff
n
b c
= e i kffRfffn uk rff` a e i kffrff
f előállíthatő Bloch-fv-ek lineárkombinációjaként.
Wannier-fv:
ϕ rff` a= u rff` a e i kffrff
ϕ rff` a=XRfff
n
w rffn@Rffffm
b ce i kffRfff
m
Ez a Wannier-előállítás.
ϕ rff+ Rffffn
b c=X
Rfffn
w rff@Rffffm
+ Rnfffffffb ce i kffRfff
m =Xrff
m
w rff@Rffffm.
b ce i kffRfff
m. +Rfff
n
b c
=
= e i kffRfffnX
Rfffm.
w rff@Rffffm.
b ce i kffRfff
m. = e i kffRfff
n ϕ rff` a
9. Kristályos anyag elektronszerkezete Kvázi szabad elektronok, kéthullám-közelítés. Szorosan kötött elektron közelítés. Periódusos rendszer. Nemperiódikus szerkezet, lokalizált és delokalizált elektronok Kvázi szabad elektronok:
Az elektronok a fémben abszolút nulla fokon vannak.
e i kffT
rff= e i kffrffe i Kffffh
rffahol: kfffT2 R t teljes reciprokrács tér
b c, k 2 Bz és e i Kffff
hrff= uk rff` a
E kfffb c=-
2kfff
T
2
2mfffffffffffffff
=-
2Kfffff
h+ kfffb c2
2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffff teljes energia: ET = 2X
kff-
2kfff2
2mfffffffffffffff
A 2-es a szumma elé a spin miatt kell és kfffLLL MMM< kfffF
Fermi hullámszám` a
.
Bz-ban Nc (cella-)állapot: VB
Nc
ffffffff=
2π` a3
Vc Nc
ffffffffffffffff=
2π` a3
Vffffffffffffffff � ez tartozik egy álapothoz
ET = 2V
2π` a3ffffffffffffffffZ -2
kfff22mfffffffffffffffd3
k =V
4π3fffffffffffZ -2
kfff22mfffffffffffffff4k
2πdk =
V2π2fffffffffff-2
mfffffffkF
5
5fffffff
N = 2Xkff
1, ahol kfffLLL MMM< kfffF
N = 2V
2π` a3ffffffffffffffffZ d
3k =
V4π3fffffffffffZ 4k
2πdk =
Vπ2fffffffkF
3
3fffffff
A fentieket átrendezve kF-et megkaphatjuk:
kfffF
= 3π2 NVffffff g
Valamint: <E> =ET
Nfffffff
=3
10fffffff-2
kfffF
2
mfffffffffffffff
=35ffff- 2
kfffF
2
2fffffffffffffffm =
35ffffEF
Kéthullám-közelítés:
ϕ0
= e i kffrffA 1
Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffa második tag a normálás miat tb c
ϕ1
=1
Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrffe i Kffff1
rff
H =-
2
2mffffffffff
∆ + U rff` a , ahol U a periodikus potenciál
ϕ = C0
1
Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrff+ C1
1
Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrffe i Kffff1
rff
-2
2mffffffffffC0 k
2e i kffrff+ C1 Kfffff
1+ kfffb c2
e i kff+Kffff1
b crff+ U rff` aC0 e i kffrff+ U rff` aC1 e i Kffff
1+ kffrffb cf g
=
= E C0 e i kffrff+ C1 e i Kffff1
+ kffb crffd e
-2
2mffffffffffk 2
C0 +1
Vc
fffffffZV c
U rff` ad3
rC0 +1
Vc
fffffffZV c
U rff` a e i Kffff1
rffd3rC1 = EC0
1VC
ffffffffZ U rff` a d3
r = U0 : = 0 ;1
VC
ffffffffZ U rff` a e i Kffff1
rffd3r = U1
-2
2mffffffffffkfff+ Kfffff
1
b c2
C1 +1
Vc
fffffffZV c
U rff` a e i Kffff1
rffd3rC0 +
1Vc
fffffffZ U rff` ad3
rC1 = EC1
-2
k2
2mfffffffffffffff U1
U1C- kfff+ Kfffff
1
b c2
2mffffffffffffffffffffffffffffffffff
hlllllllj
immmmmmmk
C0
C1
hj
ik= E
C0
C1
hj
ikQ a det legyen 0
-2
k2
2mfffffffffffffff
@ Ef g
A-
2
2mffffffffffkfff+ Kfffff
1
b c2
@ Ef g
@ U1
LLLMMM
2
= 0
E2@ E
-2
2mffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff
1
b c2F G+-
2
2mfffffffffff g2
kfff2 kfff+ Kfffff1
b c2
@ U1
LLLMMM
2
= 0
E =
-2
2mffffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff
1
b c2F GF
-2
2mfffffffffffff g2
@ 4 -2
2mfffffffffffff g2
kfff2 kfff+ Kfffff1
b c2
+ 4 U1
LLLMMM
2
vuuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
=-
2
2mffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff
1
b c2
2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
F-
2
2mfffffffffff g2 kfff2@ kfff+ Kfffff
1
b c2
2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
HLJ
IMK
2
+ U1
LLLMMM
2
vuuuuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Messzebb ez a közelítés már nem jó, a többi rendet(?) is figyelembe kell venni.
Szorosan kötött elektron modell:
H =@-
2
2mffffffffff
∆ + U rff` a Hatomi =@-
2
2mffffffffff
∆ + Uatomi rff` a Ha φ = Ea φ
ψ rff` a=Xnff
cnffφ rff@Rffffnff
b cQ az origóban nézve úgy, hogy a többi hat rá
Xnff@-
2
2mffffffffff
∆ + Va rff@Rffffnff
b c+ V rff` a@ Va rff@Rffff
nffb cd eH
JIKCnffφ rff@Rffff
n
b c=
= EXnff
cn φ rff@Rffffnff
b c
Xnff
Ea cn φ rff@Rffffn
b c+ V rff` a@ Va rff@Rffff
nffb cD E
φ rff@Rffffnff
b ccn =
EXnff cn φ rff@Rffff
n
b cφ rff@Rffff
mffffb c Z d
3r(
Nem elhanyagoljuk, hanem egy nagy számmal szorozzuk az integrált.
Ea cm + Z φ r@ Rm
b cV r` a@ Va r@ Rn
b cd eφ r@ Rn
b cd
32cn = Ecm
Ea cm + XhQ elsö szomszédok
V cm + h = Ecm
cm = e i kffRfffn
Ea e i kffRfffm + VX
h
e i kffRfffm
+ hb c
= Eei kffRfff
m
E = E0 + V e i kffaff1 + e@ i kffaff
1 + e i kffaff2 + e@ i kffaff
2 + e i kffaff3 + e@ i kffaff
3
b c
E = E0 + 2V cos kfffafff1b c+ cos kfffafff2b c
+ cos kfffafff3b cd e
E = E0 + 2Vcos ka` aQ 1D@ ben
Periódusos rendszer:
Szigetelő: atomonként vagy primitív cellánként páros elektron. Legfelső elektronokkal telt sávot a többi felette lévő sávtól legalább kT energia választja el. Félvezető: olyan szigetelő, amit a félvezetőtechnológia használ. A fém azért szürke, mert fázishelyesen veri vissza a fényt. A fehér felület össze-vissza.
10. Fémek Állapotsűrűség, Fermi-nívó, Fermi-felületek. Csoportsebesség, elektronok mozgásegyenlete, Bethe-Sommerfeld-sorfejtés, elektronfajhő, Pauli-szuszceptibilitás, Transzporttulajdonságok, vezetés, hővezetés, Seebeck és Peltier-effektus. Hall effektus, ciklotron-rezonancia
E kfffb c=-
2kfff2
2mfffffffffffffff
Q diszperziós reláció; E KfffffF
b c=-
2Kfffff
F
2
2mfffffffffffffffff
= EF
D E` a
dE = 2V
2π` a3ffffffffffffffff Z
E <E kffb c<dE
1 d3
k = 2V
2π` a3ffffffffffffffff4πk
2d
3k =
Vπ2fffffff2mE
-2
ffffffffffffff m
-2 2mE
-2
ffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffdE
D E` a
=vπ2fffffff 2pwwwwwwwwwwwwwwm
3
2fffffff
-3fffffffff Epwwwwwwwwwwwwwwww E =
-2kfff2
2mfffffffffffffff; dE =
-2
kmffffffffffffdk ; dk =
m
-2
k
ffffffffffffdE
hj
ik
ahol D(E) az állapot sűrűség.
Csoportsebesség: vfffcsop =1-ffff∂E kfffb c
∂ kffffffffffffffffffffffff Effiktív tömegtenzor:
1m *ffffffffffff g
α,β
=1
-2fffffff∂
2E` a
∂kα ∂kβ
ffffffffffffffffffffff Mozgásegyenlet: - kfffA = e Efff+ e vfffBBfffb c
@- kfff
τffffffffffF G
,
ahol az utolsó tag a fékezőerő.
D E` a
dE = 2V
2π` a3ffffffffffffffff Z
E <E k` a
<E + dE
d3
k = 2V
2π` a3ffffffffffffffffZ dk
?dS = 2
V
2π` a3ffffffffffffffff Z
E k` a
= E
dS
∂E∂ kffffffffffffffffLLLLL
MMMMM
fffffffffffffdE
D E` a
= 2V
2π` a3ffffffffffffffff Z
E k` a
= E
dS
∂E∂ kffffffffffffffffLLLLL
MMMMM
fffffffffffff= 2
V
2π` a3ffffffffffffffff Z
E k` a
= E
dS- vfffLL MMffffffffffffff; ∂E
∂ kfffffffffffffdk?
= dEf g
(az e- rsz.t ~50000K-re kellene melegíteni, hogy klasszikusan viselkedjen)
Bethe-Sommerfeld-sorfejtés:
I = Z g E` aA f E,Tb c
dE , ahol f E,Tb c
=1
eβ E @EF
b c
+ 1
ffffffffffffffffffffffffffffffffff Fermi-Dirac eloszlás.
S parc . int ; G/
E` a
= g E` a
I = G E` a
f E` a
|@1
1@ Z@1
1
G E` a
f/
E` a
dE =@ Z@1
1
G E` a
f/
E` a
dE
f’(E) EF helyen 0 (Dirac-δ miatt) → G(E)-t csak EF helyen kell nézni.
G(E) sorbafejtése EF körül:
I = @Z G EF
b cf
/E` a
dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~y
I0
@ Z G/
EF
b cE@ EF
b cf
/E` a
dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y
I1
@
@12ffffZ G
//EF
b cE@ EF
b c2
f/
E` a
dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y
I2
I0 =@ G EF
b c Z@1
1
f/
E` a
dE = G EF
b c= Z1
E F
g E` a
dE
f/
E` a
=@ 1
eβ E @EF
b c
+ 1b c2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffeβ E @EF
b c 1kTfffffffff
=@1
kTfffffffff 1
eβ E @EF
b c
+ 1b c
e@β E @EF
b c
@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
I1 = G/
EF
b c 1kTfffffffffZ
@1
1
E@ EF
eβ E @EF
b c
+ 1b c
e@β E @EF
b c
@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdE =
= G/
EF
b ckT Z
@1
1
xex + 1` a
e@x + 1` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdx = 0 páratlan fv . int . ja
b c
I2 =12ffffG//
EF
b c 1kTfffffffffZ
@1
1 E@ EF
b c2
eβ E @EF
b c
+ 1b c
e@β E @EF
b c
@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdE =
=12ffffG//
EF
b ckT` a2 Z
@1
1
x 2
ex + 1` a
e@x + 1` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdx =
π 2
6fffffff1
2ffffG//
EF
b ckT` a2
Tehát I = Z@1
1
g E` a
f E` a
dE = Z@1
EF
g E` a
dE +π 2
6fffffffg/ E
` akT` a2
→ ezt felhasználva:
Energia T` a
= Z@1
1
ε D ε` a
f ε` a
dε = Z@1
EF
ε D ε` a
dε +π2
6fffffff∂ε D ε
` a
∂εffffffffffffffffffffffffff g
EF
kT` a2
Szigetelőre tesszük, és a kémiai potenciál hőmérséklet-függését nézzük:
N T` a
= Z@1
1
D ε` a
f ε` a
dε = Z@1
EF
D ε` a
dε +π2
6fffffff∂D ε
` a
∂εffffffffffffffffffff g
EF
kT` a2
=
= Z@1
EF T` a
D ε` a
dε +π2
6fffffffD /
EF T` ab c
kT` a2
=
=rendig
elsö Z@1
EF 0` a
D ε` a
dε + ZEF 0` a
EF T` a
D ε` a
dε + D/ π2
6fffffffEF 0
` a+ EF T
` a@ EF 0
` ab cD EkT` a2
=
= N + D EF 0` ab c
EF T` a@ EF 0
` aB C+
π
6ffffD /
EF 0` ab c
kT` a2
EF T` a
= EF 0` a@
π 2
6fffffffD /
EF
b c
D EF
b cffffffffffffffffffffffkT` a2
Energia T` a
= Z@1
EF 0` a
ε D ε` a
f ε` a
dε + ZEF 0` a
EF T` a
ε D ε` a
dε +π 2
6fffffff∂ε D ε
` a
∂εffffffffffffffffffffffffff g
EF = EF 0` a
kT` a2
=
= Energia 0` a
+ EF T` a@ EF 0
` aB CEF D EF
b c+
π2
6fffffff∂ε D ε
` a
∂εffffffffffffffffffffffffff g
EF = EF 0` a
kT` a2
=
= Energia 0` a
+π 2
6fffffffD EF
b ckT` a2
, ahol D EF
b caz állapot @ ρ
Elektronfajhő: cv =∂Energia
∂Tfffffffffffffffffff
=π2
3fffffffD EF
b ck
2T
Pauli-szuszceptibilitás:
∆E = gµB
B; g = 2;µB
=e-2mffffffffff; B = µH
M =1Vfffffgµ
B
b cN R@N Sb c
N R = Z@1
1 D ε + gµB
Bb c
2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ε
` adε = Z
@1
1D ε` a
2ffffffffffffffff ε
` adε + Z
@1
1D
/ε` a
2ffffffffffffffffff ε
` adε gµ B B
M =g@µ
B
b c2
VffffffffffffffffffffffffffffZ
0
1
D/
ε` a
f ε` a
dεB
χ =MHffffff
=gµ
B
b c2
Vffffffffffffffffffff
µ0Z@1
1
D/
ε` a
f ε` a
dε =gµ
B
b c2
Vffffffffffffffffffff
µ0
D EF
b c
D ε` a
= α εpwwwwwwwwww; D/
ε` a
=α
2 εpwwwwwwwwwwfffffffffffffff; Nse@ ok száma
= Z0
EF
α εpwwwwwwwwwwdε = α23ffffE 3
2ffff g
0
EF
=23ffff
αEF
32/
D EF
b c=
3N
2εF
32-
fffffffffffffEF
12/
=3N2εF
fffffffff ; χ =NVfffff3
2ffffgµ
B
b c2
µ0
1EF
fffffffeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Transzporttulajdonságok: e--ok mozgása fázistérben → eloszl. fv.: f(k,r)
N = 21
2π` a3ffffffffffffffffZ f kfff, rffb c
d3
k d3
r ; jff= σ Efff; σ =1ρffffQ vezetöképesség
jffelektromos
= 21
2π` a3ffffffffffffffffZ e vffff kfff, rffb c
d3
k ; jffhö
= 21
2π` a3ffffffffffffffffZ ε kfffb c@ EF
d evffff kfff, rffb c
d3
k
Hővezetés: Widemann-Franz – törvény �
jffhö
=@ κgradT jffel
= 0b c
; κ =π2 k
2T
2
3e2
ffffffffffffffffffffffffσ EF
b c Lorentz-szám: L: =
κ
Tσffffffffff
=π2 k
2
3e2
fffffffffffffff
Kereszteffektusok: – Seebech-eff.:
Efff= S gradT jffel
= 0b c
; S =π2 k
2T
3e2
fffffffffffffffffffff∂lnσ
∂εfffffffffffffff g
ε = EF
Termofesz: hőmérséklet gradiensnél lesz térerősség. – Peltier-eff.: jff
hö= π jff
el; T = áll
Hall-effektus: RH → Hall-állandó.
E = RH jBQ
Ulfffff
= RH
IldffffffBQU =
RH
dfffffffffIB
e vfffBBfffb c= e Efff; vB = E ; j = env
E =1enffffffffjB[ RH =
1nefffffff ; e - részecske töltése, n - töltés szám/m3, v - drift sebesség
Ciklotron rezonancia: (mágneses térben a fém hogyan rezonál – MRI,MSR…)
mozgásegyenlet: - kfffA = e vfffBBfffb c; vfff= 1
-ffff∂ Efff
∂ kfffffffffffff; T = E dt = E dk| |
k | |/
ffffffffff; - kA
| | = ev? B
T = E - dk| |
ev?
Bfffffffffffffffff
=-
eBffffffffZ 1
v?
ffffffffdk| | =-
eBffffffffZ dk
?
1-ffffff ∂E
∂ kfffffffffffffffff g
?
ffffffffffffffffffffffffff=
=-
2
eBffffffff1
∆EfffffffffE k? dk| | =
-2
eBffffffff ∂S
∂Efffffffff g
E = E F
; ω =2π
Tffffffff
=2πeB
-2
ffffffffffffffff 1∂S∂Efffffffffffd e
E = E F
fffffffffffffffffffffffffff
11. Mágneses tulajdonságok Atomi paramágnesség, Curie-törvény. Atomi diamágnesség, Pauli szuszceptibilitás, Landau- diamágnesség, Atomi paramágnesség: L - pálya imp.mom.; L2 SÉei: ħ2l(l+1) Lz: -lħ…lħ S - spin imp.mom. ħ2s(s+1) Sz: -sħ…sħ J - össz mom. ħ2j(j+1) Jz: -jħ…jħ
M - mágneses mom. Mfffff= µB
-fffffffLfff+ 2 Sffb c
; Efff= MfffffBfff=@ gµB
m Bfff (ahol g a giromágneses faktor) -j < m < j (n=N/V – atom sűrűség)
Mz = ngµB
Xm =@ j
j
me@gµB mB
Xm =@ j
j
e@gµB mB
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff; S = j
Xm =@ j
j
memx
jfffffffffffffff
Xm =@ j
j
emx
jfffffffffffffff
fffffffffffffffffffffffffffff=
ddxfffffffln z x
` a; z x` a
= Xm =@ j
j
emx
jffffffff
z x` a
= exe
xjfffffff 2j + 1b c
@ 1
exjfffffff@ 1
ffffffffffffffffffffffffffffffff=
ex 1 +
1
jfffffd e
@ ex
exjfffffff@ 1
fffffffffffffffffffffffffffffffff=
ex 1 +
1
2jfffffffffd e
@ e@x 1 +
1
2jfffffffffd e
ex2jfffffffff@ e
@x2jfffffffff
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=
sh x 1 +12jfffffffff gH
JIK
sh x2jffffffffd effffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
S =d
dxfffffffln z x
` a=
z / x` a
z x` afffffffffffffff
=
shx2jffffffffd e
sh x 1 +12jfffffffff gH
JIK
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=
1 +12jfffffffff g
ch x 1 +12jfffffffff gH
JIKsh
x2jffffffffd e
sh2 x
2jffffffffd effffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@
@
12jffffffffch x
2jffffffffd e
sh x 1 +12jfffffffff gH
JIK
sh2 x
2jffffffffd efffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= B j x` a
= 1 +12jfffffff g
cth x 1 +12jfffffff g@
12jffffffcth
x2jfffffff g
Ahol Bj(x) a Brillouin-fv.
1) j =12ffff: B1
2fff x` a
= 2cth 2x@ cth x = 2ch
2x` a
+ sh2
x` a
2sh x ch xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@ch xsh xffffffffffff
= th x
2) jQ1 : B1 x` a
= cth x@1xffff Langevin@ fv .b c
3) xQ1 : limx Q 1
= B j x` a
= 1
4) x << 1 :
cth x =ch xsh xffffffffffff
=1 +
x2
2fffffffff
x +x3
6ffffffff
ffffffffffffffffff=
1xffff1 +
x2
2fffffffff
1 +x2
6fffffffff
ffffffffffffffffff=
1xffff1 + x 2@
x 2
6ffffffff g
=1xffff1 +
x 2
3ffffffff g
=1 +
x2
3fffffffff
xffffffffffffffffff
B j x` a
= 1 +12jfffffff g
1 +13fffff x 1 +
12jfffffffff g2
hlj
imk
1 +12jfffffffff g
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff@
12jffffff1 +
13fffffx 1
2jfffffffff g2
12jffffffffx
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=
=
1 +13fffffx 2 1 +
12jfffffffff g2
@ x@ 13fffffx 2 1
2jfffffffff g2
xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 1 +1jfffff g
3ffffffffffffffffffffffffffff
=j + 1
3jffffffffffffffx
M = ngµB
jj + 1
3jffffffffffffff
=gµ
BjB
kTfffffffffffffffffff
= n gµB
b c2 j j + 1b c
3fffffffffffffffffffffffff1
kTfffffffffB B = µ
0H
b c
χ =dMdHffffffffff
= n gµ B
b c2 j j + 1b c
3fffffffffffffffffffffffff
µ 0
1kTfffffffff
=CTfffff � Curie-törvény (C - Curie együttható)
(A spinek nem hatnak kölcsön!) Paramágnesen (adiabatikus) lemágnesezés: 0K körül � 1K-es gadolinium sót raknak a 4,7K-es He-ba, bekapcsolják a mágneses teret, így forralni fogja a He-ot. Ezután elszívják a He-ot és kikapcsolják a teret, így 1mK-es lesz az anyag.
Atomi diamágnesség:
mρω2 = F (ahol ρ a sugár) F + eρωB = mρ ω + ∆ω` a2
mρω 2 + mρω2∆ω = F + eρωB ; ∆ω =eB2mffffffffff
Mi =@ e∆ω
2πffffffffff
ρi2 π =@ e A
∆ω
2ffffffffff
ρi2
Mz =@ e∆ω
2ffffffffffX
i
ρi2 =@ ze
∆ω
2ffffffffff
ρ 2* +
=@ ze∆ω
2ffffffffff x 2
( )+ y 2* +d e
=@ ze∆ω
3ffffffffffr 2( )
M =@ nze2
6mffffffffffr 2( )
B ; χ =@ nze2
6mffffffffffr 2( )
µ0
Landau-diamágnesség:A pályamomentumból adódik – klasszikusan nem lehet kimutatni. (Szabad e- -ok mágneses térben körpályán mozognak és csökkentik a külsö mágneses teret.)
χp
=NVfffff3
2ffffµ e
µ0
EF
12fffffff
fffffffffffffff ; µe
= gµB
12fffff g
= µB
; H p,r` a
=pfff@ eA rff` ab c2
2mffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Állapotösszeg: z = Z e@
H
kTfffffff
pffrffb c
d3
p d3
r ; pb = pfff@ eA r` a
; rb = rff
Jee=∂ pb∂ pfffffffffffff
∂ pb∂ rfffffffffff
∂ rb∂ pfffffffffffff
∂ rb∂ rfffffffffff
hllllllj
immmmmmk
=Iee@ e
∂A rff` a∂ rfffffffffffffffffffff
0 Iee
hlllj
immmk ; det Jee= 1
Kvantumosan:
H^
=p
x
2+ p
y@ eBx
b c+ p
z
2
2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff; ψ x,y,z
` a= e i ky y + kz z
b c
ϕ x` a
; ω =eBmffffffff; x0 =
-ky
eBffffffffff
px2
2mffffffffff
+-ky@ eBxb c2
2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
+-
2kz
2
2mfffffffffffffff
hlj
imk
= ϕ x` a
= E ϕ x` a
px2
2mffffffffff
+12ffffmω 2 x@ x0
` a2
{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ylin oszc
+-
2kz
2
2mfffffffffffffff
hllj
immk= ϕ x
` a= E ϕ x
` a
Lin oszc. SÉ.:ħω(n+1/2) (absz. 0K-en számolunk)
E ky ,kz ,nb c
= E kz ,nb c
= -ω n +12fffff g
+-
2kz
2
2mfffffffffffffff
E = 2 Xky ,kz ,n
E kz ,nb c
@ EF
d e= 2X
n
Xkz
E kz ,nb c
@ EF
d eXky
1
(
12 Állandó mágneses momentummal rendelkező anyagok: Ferromágnesek, antiferromágnesek, ferrimágnesek, spinüveg. Ferromágneses domének, hiszterézis, Belső tér közelítés. Curie-Weiss-törvény. Spinhullámok. Antiferromágnesség, spinüvegek. Mágneses ellenállás
1) Ferromágnes: �������� (Fe,Ni,Co) 2) Antiferoomágnes: �������� (Cr,Mn) 3) Ferrimágnes: �������� 4) Spinüveg: ������� (szilárd oldat – rendezettlen ötvözet)
Ferromágneses domainek: a két domain határán lesz egy olyan tartomány, ahol a spinek rosszul illeszkednek, és ez a fal energiavesztesé-get okoz.
Hiszterézis görbe: MS – telítettségi mágnesezettség MR – Remanens (maradék) mágnesezettség HC – Koercitív erő (azaz erő, ami 0 mágnesezettséget okoz) (Transzformátor: HC legyen kicsi)
Weiss-elmélet (klasszikus):
M = ngµB
jBj
gµB
jB
kTffffffffffffffffffff g
= f H + λM` a
, ahol λM a belső mágneses tér
Ha λ-t csökkentjök, csak egy metszéspont lesz.
Bifurkáció:
H = 0[ M =1λffffx ; H ≠ 0[M =
1λffffx@H` a
Kis terek esetén sorbafejtés 0 körül:
M = χparam
H + λM` a
[M =χ
p
1@ 2χp
ffffffffffffffffffffffH =C
T @ λCfffffffffffffffffffffH felh:χ
p=
CTfffff; Cλ = T Curie
f g
Innen: M =C
T @ T Curie
ffffffffffffffffffffffffffffH a Curie-Weiss törv. (C a Curie konst.)
Hamilton-op: H =@Xi,j
Jij Sffi Sffj (Jij a kicsrélődési ∫)
Magnon („Sipnhullám” - a spinváltozás továbbterjedése): (Alacsony T miatt lehet ∞-ig integrálni)
n( )
=Xkff
1 kp
B C
eβ-αk2
@ 1fffffffffffffffffffffffff
=V
2π` a3ffffffffffffffffZ
Bz
kp
eβ-αk2
@ 1fffffffffffffffffffffffffd3
k =V
2π` a3ffffffffffffffffZ
0
1
kp + 2
4π
eβ-αk2
@ 1fffffffffffffffffffffffffd3
k =
β =1
kB Tfffffffffffff ; x: = β-αk
2[ k =
1β-αfffffffffffffxswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=V
2π` a3ffffffffffffffff 1
β-αffffffffffffff gp + 3
2ffffffffffffZ0
1
2πxp + 2
2ffffffffffffffffffffffff
ex@ 1fffffffffffffffffffff 1
2 xpwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffdx ∝ Tp + 3
2ffffffffffff[p = 0
n( )
∝ T32fff
pl Winchester mágnes
Ez a Bloch-féle T32fff -es törvény.
Emagnon =Xn
-αk2
eβ-αk2
@ 1fffffffffffffffffffffffff
∝ T52fff
Cmagnon ∝ T32fff
; C = A a T3{ }y
fonon
+ βTw
elektron
+ γT32fffw
magnon
Antiferromágnesség: (Curie-Weiss törvényhez hasonlóan lehet számolni)
Paramágnes: χp
=C
T @ TC
ffffffffffffffffffffff ; Antiferromágnes: χ
a=
CT @ T N
ffffffffffffffffffffff (ahol TN a Neél-hőmérséklet)
Spinüveg: (pl: Cu – 1-2%Mn vagy Fe; Au – 1-2%Mn vagy Fe) Tg-ig paramágnes, ez alatt spinüveg.
Frusztrációs modell: a bekarikázott részen nem „tudja”, merre álljon a spin:
pár nm-es rétegek
Az ellentétes irányún törik. (H ≠ 0 –nál 50%os az effektus)
13. Szupravezetés A szupravezetés története. London-elmélet. Első és másodfajú szupravezetők. Fluxuskvantálás, izotópeffektus, magas hőmérsékletű szupravezetők A szupravezetés története: 1908. Heike Kamerlingh Onnes: He cseppfolyósítása, 4,22 K-en szuperfolyékony. 1986. kerámia, YBa2Cu3O3, Tc=90K 1987. 30K, Nobel-díj: Johannes Georg Bechart, Karl Axl Müller
London-elmélet:
rot Hffff= jff+ ∂D∂tfffffffff, de
∂D∂tfffffffff
= 0, mert csak a stac áramot nézzük
És j = σE nem érvényes, mert gyorsulnak az elektronok. m vAfff= q Efff jff= qn vfff
Meister-effektus:
d2
B x` a
dx 2
fffffffffffffffffffffff=
1
λ2ffffffQBfffx
` a= Bfff
0eF
x
λ
fffλ = q
nµ0
mfffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwQ behatolási mélység
Ha feltesszük, hogy: jff= 1
µ 0 λ2
ffffffffffffffAffff akkor egyszerűbben jutunk a megoldáshoz.
(A – vektorpotenciál)
rotµ0
jff=@ rot rot Bfff@
1
λ2ffffffrot Affff=@ 1
λ2ffffffBfff
Meister-effektus: a szupravezetőbe „nem megy bele” a tér (B belül 0).
Bfff= µ Hffff= µ0µ
rHffff= µ
01 + χb c
Hffff ha χ =@ 1QB = 0
A szupravezető szuszceptilibitása -1 → tökéletes diamágnes.
A másodfajú szupravezetőknél a kritikus tér után a tér már belemegy a szupravezetőkbe (összesűrűsödik→örvényvonal→belül kiterjed→örvények (vortex))
H-T diagram normál fémre és szupravezetőre, meg elsőfajúra és másodfajúra.
A kritikus pont alatt a mágneses tér kikerüli a szupravezetőt. Ha belemegy a mágneses tér a szupravezetőbe a kritikus pont fölött, akkor bennemarad a kritikus pont alatt is, ha 0 térnél hűtjük le, akkor nem lesz középen tér.
Fluxuskvantálás: Mekkora tér fagyhat bele a lyukba?
Félklasszikus kvantálás:
E pfffd rff= nh ; Hffff= pfff@ q Affffb c2
2mffffffffffffffffffffffffffffffff
=m vfff2
2ffffffffffffff
m vfff= pfff@ q Affff[ pfff= m vfff+ q Affff
A fentiek alapján az első integrálba visszahelyettesítve:
nh = E m vfff+ q Affffb cd rff
Mivel a szupravezetőknek csak a felületén folyik áram, ezért mv = 0, így:
qE Affffd rff= qE rot Affffd ffff= qZ Bfffd ffff= qφ
φ =n-qffffffffQ az anyag fluxusa kvantált
φmért =n-2qffffffffQCooper@ párok 2 e@
` a
Pinning → tűzdelve: csak a pinningelt szupravezetők tudnak lebegni (rajta kell maradni egy konstans körön). Magas hőmérsékleten a szupravezető mindig másodfajú.
Izotópeffektus: Ha nehezebb izotópot veszünk, TC eltolódik:
T c ∝1
Mpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffff � csak egyfajta anyagon belül igaz
Mi köze az atomtömegnek a szupravezetéshez (hiszen az elektronok csinálják, nem?)?
1957. BCS-modell: Bardin-Cooper-Schieffer (1972-ben Nobel-díj)
Másodkvantált formalizmus (nem perturbatív számolás).
Az abszolút értékük nulla lesz (szingulett állapot – lehetne triplett is, de nem az).
Párok alakulnak ki (bozonok lesznek, sokkal nagyobb szabadság→az anyagban is mehetnek – az egész anyagon végighalad).
Szupravezetést a fonon-fonon kölcsönhatás és a szabad elektronok hozzák létre→magas hőmérsékleten egyik sincs.
Szupravezetők: kis mágneses tér mérésére, nagy mágneses tér előállítására→csak addig, amíg bírják a saját mágneses terüket, vagy az azt létrehozó áramot, különben felrobban.
Magas hőmérsékletű szupravezetők: kerámiák La2@x Sr x CuO4 ; LaSr
` aQLa
Valószínűleg:
1) Vezet O atom p elektronja (csak a réz síkok vezetnek → irányban)
2) Cu2+ ionok között antiferromágneses csatolás