transporto priemoniŲ dinamikadspace.vgtu.lt/bitstream/1/1436/1/1381-s_bogdevicius... ·...
TRANSCRIPT
Marijonas BOGDEVIČIUSRaimundas JUNEVIČIUSVidmantas VANSAUSKAS
TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
Vilnius „Technika“ 2012
Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant
studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus
Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023
Marijonas BOGDEVIČIUS Raimundas JUNEVIČIUSVidmantas VANSAUSKAS
TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
VilniAUS GEDiMinO TECHniKOS UniVERSiTETAS
Vilnius „Technika“ 2012
Metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai
M. Bogdevičius, R. Junevičius, V. Vansauskas. Transporto priemo-nių dinamika: metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai. Vilnius: Technika, 2012, 90 p. [3,0 aut. l. 2012 09 17]
Knygoje dėstomos bendros žinios apie dinaminių sistemų elementus ir jų taikymą kuriant transporto priemonių modelius. Pateikiami uždavinių suda-rymo ir sprendimo pavyzdžiai,automobilių pakabų supaprastinimo metodai, uždavinio suformavimo ir sprendimo eigos eiliškumas bei užduotys savaran-kiškam darbui.
Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas
Recenzavo: dr. Vladimiras Suslavičius, VGTU Transporto technologinių įrenginių katedra doc. dr. Olegas Prentkovskis, VGTU Transporto technologinių įrenginių katedra
Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finan-suojant VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, fi-nansavimo ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.
VGTU leidyklos TECHNIKA 1381-S mokomosios metodinės literatūros knygahttp://leidykla.vgtu.lt
Redaktorė Stasė SimutytėMaketuotoja Daiva Šepetauskaitė
eISBN 978-609-457-276-0 doi:10.3846/1381-S
© Marijonas Bogdevičius, 2012© Raimundas Junevičius, 2012© Vidmantas Vansauskas, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012
3
TuRinys
Įvadas ........................................................................................................... 41. Spyruoklių parametrų nustatymas ............................................................ 5
1.1. Spyruokliniai plienai ...................................................................... 51.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas ................................ 61.3. Spyruoklės, dirbančios susukimui, parametrų nustatymas ............. 9
2. Standumas .............................................................................................. 123. Slopinimas .............................................................................................. 174. Slopinamieji virpesiai ............................................................................ 195. Q faktorius ............................................................................................. 236. Sausoji trintis ......................................................................................... 247. Amplitudinė-dažnuminė charakteristika ................................................ 258. Transporto priemonės svorio centro ir inercijos momentų nustatymas . 279. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai ........................................................... 3010. Uždaviniai savarankiškam darbui ........................................................ 40Literatūra .................................................................................................... 57Priedai ........................................................................................................ 58
A priedas. Rungės ir Kuto metodo algoritmas ..................................... 58B priedas. Lygčių užrašymo paprogramė ............................................ 60C priedas. Maple programine kalba parašytos programos pavyzdys .. 61D priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrindiniai operatoriai ............................................................................................ 65E priedas. Skaičiavimo schemos namų darbams ................................. 66F priedas. xi, yi – i-osios masės koordinatės, nuo koordinačių ašių X ir Y ............................................................................................ 86G priedas. mi – i-osios masės, Ii – i-osios masės ašinis inercijos momentas, Iixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas ........... 88H priedas. Spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal skirtingus standartus ............................................................................................. 90
4
ĮVadas
Metodiniuose nurodymuose pateikta standžiųjų ir slopinimo ele-mentų apskaičiavimo metodika bei nuosavų sistemos kampinių dažnių skaičiavimo metodika. Knygelėje pateikiami praktiniai pavyzdžiai, kaip suformuoti ir spręsti dinamikos uždavinius.
Skiriami du skyriai: pirmoje dalyje pateikiama automobilių paka-bos elementų standumo ir slopinimo elementų geometrinių parametrų apskaičiavimo metodika. Modeliuojant transporto priemonių elemen-tus dažnai reikia nustatyti tampriųjų elementų standumo ir slopini-mo konstantas. Tokių nustatymų metodikos pateiktos šioje knygoje. Pateikiami medžiagų, iš kurių gaminamos spyruoklės, naudojimą re-glamentuojantys standartai.
Antroje dalyje pateikiami didelių uždavinių supaprastinimo ir su-skaidymo į smulkias dalis pavyzdžiai, standumo ir slopinimo konstan-tų apskaičiavimo bei slopinimo koeficientų apskaičiavimo metodikos. Pateikiami pavyzdžiai, kaip paruošti uždavinį sprendimui skaitiniais metodais.
Uždaviniai sprendžiami naudojant Maple programinį paketą. Prieduose pateikti lygčių formavimo ir skaitinio metodo, kuriuo užda-viniai sprendžiami, algoritmai, parašyti Maple programavimo kalba.
5
1. spyRuoklių paRaMeTRų nusTaTyMas
1.1. spyruokliniai plienai
Spyruoklių plienų markės labai skiriasi priklausomai nuo to, ko-kiu standartu vadovausimės parinkdami jų medžiagą. Pagal GOST standartą spyruoklių gamybai galima parinkti šių markių spyruokli-nius plienus (Борисоич, 1980):
49A GOST 1435-74; U12A, GOST 1435-74; 65G GOST 14959-79; 50XGAGOST 14959-79;50XFA GOST 14959-79; 65S2VA, GOST 14959-79.Pagal Vakarų Europoje galiojančius standartus spyruoklės ga-
minamos iš vielos ruošinių, kurių plieno markės regalmetuojamos EN 10270 standartu. Šį standartą sudaro trys dalys: EN 10270–1, EN 10270-2, EN 10270-3. Standarte EN 10270-1 pateikiama medžia-ga apie spyruoklių gamybai naudojamus plienus, kai viela yra šaltai tempiama (Steel wire for mechanical springs Part 1: Patented cold drawn unalloyed spring steel wire DIN EN 10270-1, 2001). Standarte EN 10270-2 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai naudo-jamus plienus, kai spyruoklės gamybai naudojamos medžiagos yra grūdinamos alyvoje (Steel wire for mechanical springs Part 2: Oil hardened and tempered spring steel wire DIN EN 10270-2, 2001). Standarte EN 10270-3 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai naudojamus nerūdijančius plienus (Steel wire for mechanical springs Part 3: Stainless spring steel wire DIN EN 10270-3, 2001).
EN 10270 standartai taip pat reglamentuoja spyruoklių darbinių temperatūrų intervalus, medžiagos takumo ribos, stiprumo ribos ir kri-tinių tangentinių įtempimų apskaičiavimo metodiką.
Spyruoklių plienų markių palyginimas pateiktas H priede.Modeliuojant transporto priemonių elementus dažnai reikia nu-
statyti tampriųjų elementų standumo ir slopinimo konstantas. Tokių parametrų nustatymo metodikos pateiktos šioje knygoje.
6
1.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas
Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovau-jantis literatūros šaltiniu (Борисоич 1980).
1 pav. Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo schema
D – vidutinis spyruoklės skersmuo, m,d – vielos, iš kurios padaryta spyruoklė, diametras, m,d D+ – išorinis spyruoklės skersmuo, m,D d− – vidinis spyruoklės skersmuo, m,
c Dd
= – spyruoklės indeksas,
h – vijų žingsnis, m,α – vijos kilimo kampas, °. Vijos kilimo kampas yra α < ÷10 12°.
tg hD
απ
( ) = ; (1)
čia Hp – darbinis spyruoklės ilgis, m,
iHhp= – darbinių vijų skaičius.
Kuo spyruoklė liaunesnė, tuo didesnis spyruoklės indeksas c.
1 lentelė. Spyruoklės indekso reikšmės
d, mm iki 2,5 3–5 6–12c 5–12 4–10 4–9
Suspaudimo spyruoklės tarpai tarp vijų sudaro 10–20 % viso ci-lindro skersinio ploto.
7
Spyruoklės suminis momentas apskaičiuojamas pagal formulę:
M FD=2. (2)
Spyruoklės momento vektorius yra statmenas spyruoklės ašiai ir veikiančiai jėgai F. Šis momentas dalinamas į sukimo T ir lenkimo Ml momentus.
Didžiausi sukimo įtempimai skaičiuojami pagal formulę:
τπ
τmax ≈ ≈ ≤ [ ]k TW
k FDd
c cs
1
0
13
8 , (3)
čia kc1 – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą.
kcc1 1 1 45
= +, . (4)
Spyruoklės vijos vielos diametras:
d k F cc
s
=[ ]
1 6 1, maxτ
. (5)
Ašinė spyruoklės deformacija (suspaudimo eiga) skaičiuojama pagal formulę:
λ λ= = =ΘD FD i
GdiFi2
8 3
4 , (6)
čia Θ – spyruoklės vijų užsukimo kampas, λi – vienos vijos tamprus susispaudimas, G – šlyties modulis.
λicGd
=8 3
. (7)
Spyruoklės vijų skaičius nustatomas iš sąlygos – veikiant jėgoms nuo Fmin iki Fmax spyruoklės darbinė eiga turi būti x.
x i F Fi= −( )λ max min . (8)
i x
F Fi=
−( )λ max min . (9)
Spyruoklės ilgis suspaudimo spyruoklei, kai ji neapkrauta, lygus:
H i d0 0 0 5= −( ), . (10)
8
Spyruoklės vijos žingsnis tada yra:
h di
= +÷( )1 1 1 2, , maxλ , (11)
čia λmax – tamprusis spyruoklės suspaudimas (deformacija) nuo vei-kiančios jėgos Fmax, 1,1–1,2 – koeficientas, užtikrinantis tarpelį tarp spyruoklės vijų veikiant jėgai Fmax.
Spyruoklės ilgis tempiamajai spyruoklei, kai ji neapkrauta:
H id hpr0 2= + , (12)
čia hpr –spyruoklės prikabinimo kilpos ilgis, m.
Spyruoklės didžiausias ištempimo ilgis veikiant jėgai Fmax:
H H i F Fi= + −( )0 0λ max , (13)
čia F0 – spyruoklės pradinio įveržimo jėga.
2 lentelė. Pagrindinės vytų cilindrinių ir kūginių spyruoklių parametrų skai-čiavimo formulės (Борисоич 1980)
SchemaVielos
skerspjū-vio forma
Sukimo įtempi-mai τk,
Pa
Spyruoklės deformacija, x, m
Spyruoklės standumas k, N/m
16 23Frdπ
16 1 2 12
22
4
Fn r r r r
Gd
+( ) +( ) Gdn r r r r
4
1 2 12
2216 +( ) +( )
16 23Fraν
2 1 2 12
22
4
F n r r r r
Ga
∆ +( ) +( ) Gan r r r r
4
1 2 12
222∆ +( ) +( )
83
FDdπ
8 3
4FD nGd
GdD n
4
38
83FDaπ
8 3
4FD nGa
GaD n
4
38
9
a b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4ν 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282∆ 5,576 2,67 2,086 1,713 1,256 0,995 0,698
Čia ν ir ∆ – koeficientai, priklausantys nuo santykio ab (2 lentelė), F – jėga, spaudžianti spyruoklę, n – darbo vijų skaičius.
1.3. spyruoklės, dirbančios susukimui, parametrų nustatymas
Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovau-jantis literatūros šaltiniu (Борисоич 1980).
2 pav. Cilindrinės spyruoklės, dirbančios susukimui, skaičiavimo schema
M – momentas, sukantis spyruoklę,Ml – viją lenkiantis momentas,T – viją sukantis momentas.
Momentas, sukantis spyruoklę, skaidomas į dvi dedamąsias – vie-lą lenkiantį momentą ir vielą sukantį momentą.
Vielą lenkiantis momentas skaičiuojamas pagal formulę:
M Mlenk = ( )cos α .
Vielą sukantis momentas skaičiuojamas pagal formulę:
T M= ( )sin α . (14)Susukimo spyruoklėse vyraujanti yra vielą lenkianti apkrova.
Tada atsparumo lenkimui sąlyga užrašoma pagal formulę:
2 lentelės pabaiga
10
σ σmax = ≤ [ ]k MWc l
lenklenk
1 , (15)
čia k1c – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą, Wlenk – atsparumo lenkimui momentas.
Koeficiento k1c reikšmės priklauso nuo vielos skerspjūvio formos. Kai viela apvali: k c
cc14 14 4
=−−
. (16)
Kai viela stačiakampė:
k ccc13 13 3
=−−
, (17)
čia c Dd
= – spyruoklės indeksas.
Spyruoklės vielos diametras apskaičiuojamas pagal formulę:
d k Mc l
lenk
= ⋅[ ]
2 16 13,σ
. (18)
σ τ[ ] = [ ]lenk s1 25, . (19)
Spyruoklės vijos kilimo kampas Θ skaičiuojamas pagal formulę:
Θ = =MLEI
M DEIπ , (20)
čia L – vielos ilgis, E – medžiagos, iš kurios, suvyta spyruoklė, tam-prumo modulis, I – ašinis vielos skerspjūvio inercijos momentas.
Spyruoklės darbinių vijų skaičius nustatomas iš sąlygos, kad spy-ruoklė turi susisukti veikiant sukimo momentams nuo Mmin iki Mmax ir turi būti pasiektas pasirinktas susukimo kampas.
Θ =−( )M M DiEI
max min π . (21)
Tada darbinių vijų skaičius apskaičiuojamas pagal formulę:
i EIM M D
=−( )Θ
max min.
π (22)
*****
11
PavyzdysApskaičiuoti cilindrinės spyruoklės vidutinį skersmenį ir vielos
diametrą, kai reikalingas spyruoklės standumas k = 10 000 N/m, me-džiagos, iš kurios padaryta spyruoklė, šlyties modulis G = 80 GPa ir spyruoklė turi n = 10 darbinių vijų.
Sprendimas
Priimam, kad spyruoklės indeksas c = 8. Kadangi spyruok-
lės indeksas skaičiuojamas pagal formulę c Dd
= , todėl spyruok-
lės standumo konstantą galima skaičiuoti pagal formulę
k GdD n
Gdc n
= =4
3 38 8. Iš šios formulės išsireiškiame vielos diametrą:
d k c nG
= =⋅ ⋅ ⋅⋅
=8 10 000 8 8 10
80 100 00512
3 3
9 , m.
Žinodami vielos diametrą apskaičiuojame spyruoklės vidutinį skersmenį:
D c d= ⋅ = ⋅ =8 0 00512 0 041, , m.
*****
12
2. sTanduMas
Elemento standumo konstantos sukamajam ir slenkamajam judė-jimui skaičiuojami pagal formules, pateiktas 3 lentelėje.
3 lentelė. Tampriųjų elementų standumo skaičiavimo metodika
Slenkamajam judėjimui Sukamajam judėjimui
k Fx
= – spyruoklei
F – jėga, veikianti spyruoklęx – spyruoklės linijinis poslinkis
(deformacija)
k AEL
= – strypui
A – elemento skerspjūvio plotasE – medžiagos, iš kuriospadarytas
kūnas, tamprumo modulisL – elemento ilgis
k M=θ
– spyruoklei
M – momentas, sukantis spyruoklęθ – posūkio kampas
(kampinė deformacija)
kGILp= – strypui
Ip – polinis skerspjūvio inercijos momentas
E – medžiagos, iš kuriospadarytas kūnas, tamprumo modulis
L – elemento ilgis
4 pav. Sąryšis tarp spyruoklės standumo konstantos, deformacijos ir veikiančios jėgos
Tempiamai spyruoklei galioja Huko dėsnis: jėga, reikalinga spy-ruoklei ištempti dydžiu x, yra lygi spyruoklės standumo konstantos ir šio poslinkio sandaugai, o jos kryptis yra priešinga poslinkiui:
13
F kxk = − . (23)Jeigu spyruoklė bus suspaudžiama – galioja tas pat dėsnis tik jė-
gos kryptis bus priešinga.Sukamai spyruoklei sukimo momentas skaičiuojamas pagal for-
mulę: M k= − θ , (24)
čia spyruoklės susukimo kampas θ imamas prieš laikrodžio ro-dyklės judėjimo kryptį, tada momentas yra neigiamas. Sukant pagal laikrodžio rodyklę susukimo kampas θ yra neigiamas, o momentas teigiamas.
Galimi spyruoklių jungimo būdai pateikti 5 paveiksle.
5 pav. Tampriųjų elementų jungimo schemos: a) lygiagretus, b) nuoseklus
Jungiant spyruokles lygiagrečiai spyruoklių eiga (deformacija) visose spyruoklėse yra vienoda, x x1 2= , ir ekvivalentinis spyruoklių standumas skaičiuojamas pagal formulę:
k k kekv = +1 2 , (25)o sugeneruota energija:
EE
kk
1
2
1
2= , (26)
čia formulių indeksas 1 ir 2 nurodo spyruoklių numerius sistemoje.
Jungiant spyruokles nuosekliai spyruoklių eigos (deformacijos) kiekvienai spyruoklei yra skirtingos – x x1 2≠ – ir ekvivalentinis spy-ruoklių standumas skaičiuojamas pagal formulę:
1 1 1
1 2k k kekv= + , (27)
14
o sugeneruota energija:
EE
kk
1
2
2
1= . (28)
*****PavyzdysApskaičiuoti ekvivalentinį spyruoklės standumą, kai k N m1 100= / ,
k N m2 200= / , k N m3 200= / , o spyruoklės sujungtos pagal schemą
SprendimasIš (27) lygties išreiškiamas kekv .
k k kk kekv121 2
1 2=
⋅+
.
Apskaičiuojamas nuosekliai sujungtų spyruoklių ekvivalentinis standumas
k N mekv12
100 200100 200
66 67=⋅+
= , / .
Pagal (25) apskaičiuojamas pateiktos sistemos spyruoklių ekvi-valentinis standumas.
k k k N mekv ekv= + = + =12 3 66 67 200 266 67, , / .
*****Spyruoklės generuojama potencinė energija
Π =12
2kx . (29)
6 pav. Slenkančio kūno su spyruokle dinaminė sistema
15
6 paveiksle parodytos sistemos svyravimo periodas užrašomas formule:
T mk
= =2 2π
πω
, (30)
čia m – prie spyruoklės galo prikabinta masė, k – spyruoklės standu-mo konstanta. Naudojant šią formulę visada galima apsiskaičiuoti vie-ną kintamąjį iš trijų, kai žinomos likusių dviejų kintamųjų reikšmės. Išmatavus svyravimų periodą ir prikabinto kūno masę galima apskai-čiuoti spyruoklės standumą arba išmatavus spyruoklės standumą ir svyravimų periodą galima nustatyti prikabinto kūno masę, arba išma-tavus kūno masę ir spyruoklės standumą nustatyti svyravimų periodą.
Svyravimų periodas nepriklauso nuo spyruoklę veikiančios jėgos ir taip pat nepriklauso nuo svyravimo amplitudės.
Kūno svyravimai aprašomi naudojant antrąjį Niutono dėsnį. ma kx= − , (31)
čia dešinėje lygybės pusėje yra užrašyta jėga, apskaičiuojama pagal Huko dėsnį. Kairėje lygybės pusėje kūno judėjimo pagreitis a gali būti užrašomas kaip poslinkio antroji išvestinė pagal laiką a x= . Tada lyg-tis (31) užrašoma:
mx kx= − . (32)Padalinę (32) lygties abi puses iš m gauname:
x kmx= − . (33)
Svyravimų kampinis dažnis užrašomas formule:
ω=km
, (34)
o sistemos savieji virpesiai:
f km T
= =12
1π
. (35)
16
Tada lygtį (33) užrašome taip (Ostaševičius 1998):
x x= −ω2 . (36)
Nagrinėjama sistema yra harmoninio žadinimo, todėl lygties (36) sprendinys yra:
x A ts= +( )cos ω ϕ , (37)
čia As – svyravimų amplitudė, φ – svyravimo fazė, t – laikas.
Lygties (37) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo greitį:
x A ts= − +( )ω ωsin ϕ . (38)
Lygties (38) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo pa-greitį:
x A ts= − +( )ω ω2 cos ϕ . (39)
17
3. slopiniMas
Spyruoklės sugeneruojama disipatyvinė energija:
Φ =12
2cx . (40)
Spyruoklės slopinimo jėga:
F cx cvc = − = − . (41)
čia c – spyruoklės slopinimo konstanta, kūno judėjimo greitis v gali būti užrašomas kaip poslinkio pirmoji išvestinė pagal laiką v x= .
Kritinio slopinimo konstanta ckr užrašoma lygtimi (Augustaitis 2000), (Ostaševičius 1998):
c kmkr = 2 . (42)
Slopinimo koeficientas x užrašomas lygtimi (7 paveikslas):
ξ =cckr
. (43)
Taip pat slopinimo koeficientą galima išreikšti per logaritminį de-krementą δ:
ξδ
π δ=
( ) +2 2 2. (44)
7 pav. Mechaninių sistemų su skirtingais slopinimo koeficientais palyginimas
18
Logaritminis dekrementas – tai greta esančių svyravimo amplitu-džių santykio natūrinis logaritmas (Augustaitis 2000):
δ ξξ=
= ( ) =ln lnx
xe T
n
T0 , (45)
čia x0, xn atitinkamai didesnioji ir mažesnioji svyravimo amplitudė, T – svyravimų periodas.
19
4. slopinaMieJi ViRpesiai
Realiomis sąlygomis visos mechaninės sistemos yra slopinamos. Jeigu, nagrinėjamoje sistemoje nėra priverstinio žadinimo, sistemą galima aprašyti tokio pavidalo lygtimi:
mx cx kx + + = 0 . (46)
Padalinę (46) lygtį iš m gauname:
x cmx kmx+ + = 0 . (47)
Bendruoju atveju lygtį (47) galima užrašyti taip:
x x x+ + =2 02ξω ω . (48)
Pagal tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo teoriją ieškoma tokio pavidalo šios lygties atskirojo spren-dinio:
x Ce t= λ , (49)
čia e – natūrinio logaritmo pagrindas, C – konstanta, priklausanti nuo sistemos pradinės padėties, λ – konstanta, randama iš sąlygos, kad (49) sprendinys tenkintų (48) lygtį.
Lygties (49) išvestinės laiko atžvilgiu bus
x C e x C et t= =λ λλ λ, 2 . (50)
Įrašę koordinatės x ir jos išvestinių reikšmes į lygtį (48) ir supa-prastinus ją iš e tλ gaunama:
λ ξωλ ω2 22 0+ +( ) =C . (51)
Jeigu C = 0 sistemoje virpesių nebūtų, todėl imama teigiama C reikšmė ir (51) lygtis yra:
λ ξωλ ω2 22 0+ + = . (52)
20
Priklausomai nuo kompleksinio skaičiaus reikšmės, lygties (52) sprendinys gali būti trejopas.
Kai ξ >1 sistemos judėjimas aperiodinis, λ – kompleksinis skai-čius, o lygties (52) sprendinys turi dvi šaknis λ+ ir λ− .
Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška:
x t Ae Bet t( ) = ++ −λ λ , (53)
čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:
A xx x
= ( ) + ( ) − ( )−
+
− +0
0 0λλ λ
, (54)
Bx x
= −( ) − ( )−
+
− +
λλ λ
0 0. (55)
Kai ξ =1 sistemos slopinimas kritinis, λ – realusis skaičius, o lyg-ties (52) sprendinys turi tik vieną šaknį l.
Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška:
x t A B t e t( ) = + ⋅( ) −ω , (56)
čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:
A x= ( )0 , (57)
B x x= ( ) + ( ) 0 0ω . (58)
Kai 0 1< <ξ sistemos judėjimas slopinamas, o (47) lygties spren-dinys yra harmoninis su eksponentiškai gęstančia amplitude:
x t e A t B ttd d( ) = ( ) + ( )( )−ξω ω ωcos sin , (59)
čia slopinamų virpesių kampinis dažnis:
ω ω ξd = −1 2 . (60)
Koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:
A x= ( )0 , (61)
21
B x x= ( ) + ( )( )1 0 0ω
ξω . (62)
Šiuo atveju slopinimo koeficientą x galima nustatyti pasinaudo-jant logaritminio dekremento išraiška (45).
*****Pavyzdys Dinaminės sistemos modelis pateiktas 8 paveiksle. Kūno masė
m kg= 446 5, , spyruoklės standumo konstanta k N m1 34 000= /ir k N m2 1610= / , sistemos slopinimo konstanta c Ns m=1700 / . Masės m kūnas pradiniu laiko momentu t = 0 perstumiamas į nau-ją padėtį iš pusiausvyros padėties ir priimama, kad kūno poslinkis q t m( ) ,= =0 0 05 , o kūno judėjimo greitis pradiniu laiko momentu q t m s( ) /= =0 0 . Nustatyti kūno padėtį po 4 s, kai spyruoklės standu-
mas k k= 1 ir k k= 2 . Nubraižyti kūno poslinkio priklausomybes nuo laiko, kai laikas t kinta nuo 0 iki 4 s.
8 pav. Vieno laisvėslaipsnio mechaninė sistema su standumo ir slopinimo elementais
Kai ξ =1 sistemos judėjimas slopinamas, kūno svyravimo ampli-tudė skaičiuojama pagal (56) formulę, o koeficientai A ir B atitinkamai pagal (57) ir (58) formules.
Kai 0 1< <ξ dinaminė sistema slopinama, kūno svyravimo am-plitudė skaičiuojama pagal (59) formulę, o koeficientai A ir B atitinka-mai pagal (61) ir (62) formules.
Skaičiavimo rezultatai pateikti 4 lentelėje.
22
4 lentelė. Mechaninės sistemos parametrų skaičiavimai
Pavadinimas Žymėjimai / formulės 0 1< <ξ ξ =1
Kūno masė, kg m 446,5 446,5Slopinimo konstanta, Ns/m c 1700 1700Standumo konstanta, N/m k 34 000 1610
Sistemos kampinis dažnis, rad/s ω=km
8,726 1,899
Kritinė slopinimo konstanta, Ns/m c kmkr = 2 7792,56 1695,72
Slopinimo koeficientas ξ =cckr
0,2183 1,00
Slopinamų virpesių kampinis daž-nis, rad/s ω ω ξd = −1 2 8,516 –
Koeficientas A 0,05 0,05
koeficientas B 0,0109 0,0949
Kūno svyravimo amplitudė, m q t( )= 4 –0,19e–4 0,22e–3
Kūno poslinkio grafikai, priklausomai nuo slopinimo koeficiento reikšmės, pateikti 9 paveiksle.
9 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos su standumo ir slopinimo elementais poslinkiai, kai 0 1< <ξ ir ξ =1
*****
23
5. Q fakToRius
Q faktorius, tai – kokybinis slopinimo, sužadinimo ar svyravimo rodiklis (10 paveikslas).
. (63)
Mechaninėms sistemoms:
Q mkc
= , (64)
čia m – kūno masė, k – spyruoklės standumo konstanta, c – slopini-mo konstanta.
10 pav. Rezonansinės kreivės statumo matavimas (Ostaševičius 1998)
antros eilės sistemose, kai ξ <1 sistema turi tikrinės reikšmės rea-liąją dalį. Ryšys tarp x, Q ir ∆ω :
ξωω
= =12Q
∆. (65)
Kuo Q reikšmė didesnė, tuo praranda mažiau energijos (10 pa-veikslas).
24
6. sausoJi TRinTis
Sausoji trintis tarp kietųjų kūnų skirstoma į statinę ir dinaminę trintis (Michnevič et al. 2003).
Statinė trintis – tai trintis tarp nejudančių kūnų. Didžiausia stati-nės trinties jėga atitinka mažiausią jėgą, kuriai veikiant kūnas pradeda judėti (11 paveikslas).
11 pav. Trinties jėga
Maksimali statinės trinties jėgos reikšmė: F Ntr smax = µ , (66)čia µs – statinės trinties koeficientas, N – atraminės reakcijos jėga.
Statinės trinties kampas (12 paveikslas):
tgFN
NN
tr ssα
µµ( ) = = =max . (67)
Dinaminės trinties jėga pasireiškia kūnui slystant tam tikru pavir-šiumi. Jėga veikia besitrinančių paviršių plokštumoje, yra priešinga slydimo krypčiai ir proporcinga normalinei reakcijai: F NDtr D= µ , (68)čia mD – dinaminės trinties koeficientas, priklausantis nuo judėjimo greičio, kontakto paviršių apdirbimo ir yra mažesnis už statinį trinties koeficientą.
12 pav. Trinties kampas
Dinaminės trinties jėga yra mažesnė už didžiausią statinę jėgą Ftrmax (11 paveikslas).
25
7. aMpliTudinė-dažnuMinė ChaRakTeRisTika
Harmoninio išorinio žadinimo mechaninės sistemos judėjimo lygtį galima užrašyti:
mx cx kx F t + + = ( )0 cos Ω , (69)
čia m – kūno masė, c ir k – atitinkamai slopinimo ir standumo kons-tantos, F0 – išorinės jėgos amplitudė, W – išorinės jėgos svyravimo kampinis dažnis.
Lygties (69) sprendinys gali būti išreikštas tokiu pavidalu:
x A ts= −( )cos Ω ϕ , (70)
čia As – svyravimo amplitudė, φ – fazinis kampas.
Lygties (70) pirmoji ir antroji išvestinė laiko atžvilgiu:
x A ts= − −( )Ω Ωsin ϕ , (71)
x A ts= − −( )Ω Ω2 cos ϕ . (72)
Įstatę (70), (71), (72) išraiškas į (69) lygtį ir išreiškę As gauname:
A Fks =
−
+
0
2
2
2 2
1
1 2Ω Ωω
ξω
. (73)
Fazinio kampo išraiška:
tg ϕ( ) =−
2
12
2
ξω
ωΩ
. (74)
Amplitudinio rezonanso dažnis visada yra mažesnis už neslopina-mos sistemos dažnį ir skaičiuojamas pagal formulę:
ω ξa = −1 2 . (75)
26
Tada sistemos reakcijos amplitudė yra:
A Fksmax =
−0
2
12
1
1ξ ξ. (76)
Fazinis rezonansas atsiranda, kai sužadinimo dažnis sutampa su neslopinamos sistemos rezonanso dažniu. Šiuo atveju virpesių ampli-tudė būtų truputį mažesnė už absoliutų maksimumą.
A Fks =0 12ξ
. (77)
Rezonanso statumas apibūdinamas kokybės kriterijumi – Q fak-toriumi.
27
8. TRanspoRTo pRieMonės sVoRio CenTRo iR ineRCiJos MoMenTų nusTaTyMas
Turint sudėtingą dinaminę sistemą (pvz., transporto priemonę su keleiviais ir kroviniu) reikia žinoti, kiek ją sudaro masių, kad būtų ga-lima sudaryti tikslią mechaninės sistemos judėjimo lygtį, nes kiekvie-na masė turės savo svorio centrą, ašinį ir išcentrinį inercijos momentą. Kaip pavyzdį paimsime lengvąjį automobilį (13 paveikslas).
13 pav. Lengvojo automobilio masės, jų svorio centrai, ašiniai ir išcentriniai inercijos momentai
Tad lengvojo automobilio suminė masė nustatoma:
m ms i
i
n=
=∑1, (78)
čia ms – suminė masė, mi – i-oji masė.
Svorio centro koordinačių nustatymas:
xx m
mC
i ii
n
ii
n= =
=
∑
∑
1
1
, (79)
28
yy m
mC
i ii
n
ii
n= =
=
∑
∑
1
1
, (80)
čia xC, yC – koordinatės iki suminio svorio centro, xi, yi – i-osios masės koordinatės, nuo koordinačių ašies XY.
Ašinis ir išcentrinis inercijos momentas nustatomas pasinaudojus tokiomis formulėmis:
I I m x x y ya ii
ni C i C i= + − + −
=∑ ( (( ) ( ) ),1
2 2 (81)
IišI I m x x y yia ixyi
ni i C i C= + − −
=∑ ( ( )( )),1
(82)
čia Ia – ašinis dinaminės sistemos inercijos momentas, Iiš – išcentrinis dinaminės sistemos inercijos momentas, Ii – i-osios masės ašinis iner-cijos momentas, Iixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas.
PavyzdysSurasti lengvojo automobilio (13 paveikslas) suminę masę ms
(priedas G), svorio centro koordinates C x y( , ) (priedas F), ašinį inercijos momentą Ia ir išcentrinį inercijos momentą Iiš. Čia au-tomobilio kėbulo masėm kg1 600= , ašinis I kg m1
2300= ⋅ ir iš-centrinis inercijos momentas I xy1 0= , automobilio variklio masėm kg2 300= , ašinis I kg m2
261= ⋅ ir išcentrinis inercijos momentasI kg mxy2
20 5= ⋅, , vairuotojo ir keleivio masėm kg3 150= , ašinisI kg m3
235= ⋅ ir išcentrinis inercijos momentas I kg mxy320 15= ⋅, ,
keleivių masė m kg4 150= , ašinis I kg m4235= ⋅ ir I kg mxy4
20 8= ⋅,išcentrinis inercijos momentas, krovinio masėm kg5 100= , ašinis I kg m5
220 3= ⋅, ir I xy5 0= išcentrinis inercijos momentas, svorio centrai C C C1 2 32 0 1 2 0 8 0 7 1 7 0 6( , ; , ), ( , ; , ), ( , ; , ), C C4 52 7 0 6 3 7 0 8( , ; , ), ( , ; , ).
C C4 52 7 0 6 3 7 0 8( , ; , ), ( , ; , ). Savarankiškam skaičiavimui duomenys pateikiami F ir G prieduose.
29
Sprendimas Surandame automobilio suminę masę pagal (78) formulę:
m m m m m m kgs = + + + + = + + + + =1 2 3 4 5 600 300 150 150 100 1300 .
Apskaičiuosime svorio centro koordinates pagal (79)ir (80) for-mules:
x x m x m x m x m x mm m m m mC =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +
=
=⋅ +
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5
2 0 600 0, ,88 300 1 7 150 2 7 150 3 7 100600 300 150 150 100
24701300
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +
=, , ,
==1 9, m
y y m y m y m y m y mm m m m mC =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +
=
=⋅ +
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5
1 2 600 0, ,77 300 0 6 150 0 6 150 0 8 100600 300 150 150 100
11901300
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +
=, , ,
== 0 92, m.
Apskaičiuosime ašinį ir išcentrinį inercijos momentą, kuris nusta-tomas pasinaudojus tokiomis formulėmis (81) ir (82):
I I m x x y y I m x x y y I
ma C C C C= + − + − + + − + − + +
+1 1 1
212
2 2 22
22
3(( ) ( ) ) (( ) ( ) )
33 32
32
4 4 42
42
5
5
(( ) ( ) ) (( ) ( ) )
((
x x y y I m x x y y I
m xC C C C
C
− + − + + − + − + +
+ − xx y yC52
52 2 2 2300 600 0 1 0 28 61 300 1 1
0 2
) ( ) ) ( , , ) (( , )
( , )
+ − = + + + + − +
+ − 22 2 2 2 235 150 0 2 0 32 35 150 0 8 0 32 20 3
1
) (( , ) ( , ) ) ( , ( , ) ) ,+ + − + − + + + − + +
+ 000 1 8 0 12 1340 022 2 2( , ( , ) ) ,+ − = ⋅kg m
= + − − + + − − + + −I m x x y y I m x x y y I m xxy C C xy C C xy1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3( )( )) ( )( )) ( xx
y y I m x x y y I m x x y yC
C xy C C xy C C
)
( )) ( )( )) ( )(
⋅
⋅ − + + − − + + − −3 4 4 4 4 5 5 5 5 )))
( , )( , , ) , ( , , )( , , ) ,
= +
+ − − + + − − +
0
600 2 1 9 1 2 0 92 0 5 300 0 8 1 9 0 7 0 92 0 155 150 1 7 1 9
0 6 0 92 0 8 150 2 7 1 9 0 6 0 92 0 1
+ − ⋅
⋅ − + + − − + +
( , , )
( , , ) , ( , , )( , , ) 000 3 7 1 9 0 8 0 92 40 45 2( , , )( , , ) ,− − = ⋅kg m
Iiš = + − − + + − − + + −I m x x y y I m x x y y I m xxy C C xy C C xy1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3( )( )) ( )( )) ( xx
y y I m x x y y I m x x y yC
C xy C C xy C C
)
( )) ( )( )) ( )(
⋅
⋅ − + + − − + + − −3 4 4 4 4 5 5 5 5 )))
( , )( , , ) , ( , , )( , , ) ,
= +
+ − − + + − − +
0
600 2 1 9 1 2 0 92 0 5 300 0 8 1 9 0 7 0 92 0 155 150 1 7 1 9
0 6 0 92 0 8 150 2 7 1 9 0 6 0 92 0 1
+ − ⋅
⋅ − + + − − + +
( , , )
( , , ) , ( , , )( , , ) 000 3 7 1 9 0 8 0 92 40 45 2( , , )( , , ) ,− − = ⋅kg m
30
9. uždaVinių spRendiMo paVyzdžiai
1. Uždavinys. Sudaryti 14 paveiksle pateiktos automobilio ketvir-čio pakabos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo kons-tantą, kai schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300, 400, 10. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k N m= 34 000 / , amortizatoriaus slopinimo konstanta h Ns m=1700 / .
14 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema: a) automobilio ketvirčio schema;
b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis
Sprendimas Supaprastintas sistemos dinaminis modelis pateiktas 14 paveiks-
le. Sudarant šį modelį reikia apskaičiuoti pakabos spyruoklės standu-mo konstantos ir amortizatoriaus slopinimo konstantų ekvivalentines reikšmes (Jazar 2008).
Ekvivalentinė spyruoklės standumo konstanta skaičiuojama pa-gal formulę
k ab
k N meq = ( )
= ( )
=cos cos /α
2 2300400
10 34000 18548 .
Amortizatoriaus slopinimo konstanta skaičiuojama pagal formulę:
c ab
c Ns meq = ( )
= ( )
=cos cos , /α
2 2300400
10 1700 927 4 .
31
2. Uždavinys Pagal prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui apskaičiuoti sistemos savą-jį kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg.
Sprendimas Svyravimų kampinis dažnis skaičiuojamas pagal (34) formulę:
ω= = =km
rad seq 18548300
7 86, / .
Kritinis slopinimo koeficientas skaičiuojamas pagal formulę (42)
c k m Ns mkr eq= = ⋅ =2 2 18548 300 4717 84, / .
Slopinimo koeficientas x skaičiuojamas pagal formulę (43):
ξ = = =cceq
kr
927 44717 84
0 197,,
, .
3. Uždavinys Užrašyti prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pa-teiktam dinaminiam modeliui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.
SprendimasLagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia for-
ma:
ddt
Tq
Tq q q
F∂∂
−
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Φ Π, (83)
čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija, P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius q q q, , – atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis.
Lagranžo antro lygties sudarymo algoritmas.1. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos kinetinė energija:
T mq=12
2 . (84)
32
1a). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal apibendrintą greitį q :
∂∂
=Tq
mq
. (85)
1b). Skaičiuojama paskaičiuotos dalinės išvestinės pagal api-bendrintą kūno greitį pilnoji išvestinė:
ddt
Tq
mq∂∂
=
. (86)
1c). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal apibendrintą poslinkį q:
∂∂
=Tq
0 . (87)
2. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos disipatyvinė energija.
Φ = − ( )( )12
2c q z teq . (88)
2a). Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinė išvestinė pa-gal apibendrintą greitį q
∂∂
= − ( )( )Φ
qc q z teq . (89)
3. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos potencinė energija
Π = − ( )( )12
2k q z teq . (90)
3a). Skaičiuojama potencinės energijos dalinė išvestinė pagal apibendrintą poslinkį q :
∂∂
= − ( )( )Πq
k q z teq . (91)
Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro laips-nio Lagranžo lygtį (83):
mq c q z t k q z teq eq + − ( )( ) + − ( )( ) = 0 . (92)
33
Užrašyta lygtis pertvarkoma į dešinę lygybės pusę perkeliant ža-dinimo funkciją ir priskiriant ją prie išorinių sistemą veikiančių jėgų ir papildomai pridedama svorio jėga F=mg.
mq c q k q c z t k z t mgeq eq eq eq + + = ( ) + ( ) − . (93)
Iš (93) lygties išreiškiamas apibendrintas kūno pagreitis q :
qc q k q c z t k z t mg
meq eq eq eq=
− − + ( ) + ( ) −. (94)
Norint (94) lygtį spręsti skaitiniais metodais reikia linearizuoti lygtį – vietoj antros eilės diferencialinės lygties užrašomos dvi pirmos eilės diferencialinės lygtys ir įvedami papildomi kintamieji.
dqdt
YR dqdt
YR q Y dqdt
Y= = = =1 2 1 2; ; ; .
(95)
Naudojant išraiškas (90) lygtis (89) užrašoma tokiomis dviem lygtimis:
YR Y
YRc Y k Y c z t k z t mg
meq eq eq eq
1 2
22 1
=
=− − + ( ) + ( ) −;
. (96)
Užrašyta lygčių sistema (96) gali būti sprendžiama skaitiniais metodais (Oilerio, Rungės ir Kuto, kt.).
4. Uždavinys. (96) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstanta k N meq =18 548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2, / . Kelio paviršius aprašomas, kaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z t m( ) = 0 ir greičio pokytis nuo laiko z t m s( ) = 0 / . Pradiniu laiko momentu ieš-
komi parametrai q Y m dqdt
Y m s= = = =1 20 0, / .Sprendimas Nustatome integravimo žingsnį dt E s= −1 0 4, ir maksimalų
skaičiavimo laiką T smax = 5 .Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus.
34
15 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno laisvės laipsnio sistemoje
16 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko vieno laisvės laipsnio sistemoje
5. Uždavinys. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nely-gumo aukštis, automobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s.
Sprendimas Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas
kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai h mc1 0 01= , , h ms1 0 01= , , automobilio judėjimo greitis v m s1 30= / , nelygumo pasikartojimo periodas L mx = 50 .
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko užrašomas tokia lygtimi:
35
z t h v tL
h v tLc
xs
x( ) = ⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
1
11
12 2cos sinπ π . (97)
Lygtis (97) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo dažnį:
Ω112
=⋅π vLx
. (98)
Tada (97) lygtis įgauna tokį pavidalą:
z t h t h tc c( ) = ( )+ ( )1 1 1 1cos sinΩ Ω . (99)
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko už-rašomas apskaičiuojant (99) lygties išvestinę pagal laiką ir užrašomas tokia lygtimi:
z t h t h tc c( ) = − ( ) + ( )1 1 1 1 1 1sin cosΩ Ω Ω Ω . (100)
Formulių (99) ir (100) grafikai pateikti17 ir 18 paveiksluose.
17 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis nuo laiko
18 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus greičio, pokytis nuo laiko
36
6. Uždavinys. (91) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstan-ta k N meq =18548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2. / . Kelio paviršius aprašo-mas kaip laike kintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laikoz t( ) ir greičio pokytis nuo laiko z t( ) užrašomi pagal 5 uždaviny-je pateiktas išraiškas. Pradiniu laiko momentu ieškomi parametrai q Y m dq
dtY m s= = = =1 20 0, / .
Sprendimas Nustatome integravimo žingsnį dt E s= −1 0 4, ir maksimalų
skaičiavimo laiką T smax = 5 .Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus.
19 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno laisvės laipsnio sistemoje
20 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko vieno laisvės laipsnio sistemoje
37
7. Uždavinys. Sudaryti kelio dangos kitimo funkciją, kuri imi-tuotų kelio dangos nelygumą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio judėjimo greitis, kelio dangos nelygumo ilgis. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s.
Sprendimas Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas
kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai h mc1 0 01= , , automobilio judėjimo greitis v m s1 9= / , nelygumo pasikartojimo periodas L mx = 50 .
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko užrašomas pasinaudojant Maple pakete naudojama funkcija Heviside tokia lygtimi:
z t Heaviside t const h v tLcx
( ) = −( ) ⋅ ⋅ ⋅
1
12cos π . (101)
Lygtis (101) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo dažnį (93). Tada (101) lygtis įgauna tokį pavidalą:
z t Heaviside t const h tc( ) = −( ) ⋅ ( )1 1cos Ω , (102)
čia const – laisvai pasirenkama konstanta. Nuo jos reikšmės priklauso, kuri funkcijos dalis bus uždengiama, o jos vietoje turėsim 0. (102) Lygties grafikas, kai const = 0, pateiktas 21 paveiksle.
21 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis nuo laiko, kai const = 0
(102) lygties grafikas, kai const = 4,16, pateiktas 22 paveiksle.
38
22 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis nuo laiko, kai const = 4,16
(102) lygties grafikas, kai const = –4,16, pateiktas 23 paveiksle.
23 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis nuo laiko, kai const = – 4,16
Žadinimo funkcija taip pat gali būti apribojama iš abiejų pusių. Tokiu atveju lygtis (102) gali būti užrašoma taip:
z t Heaviside t const h t
Heaviside t constc( ) = −( ) ⋅ ( )−
− −( ) ⋅1 1 1
2
cos Ω
hh tc1 1cos .Ω( ) (103)
Šios lygties grafikas pateiktas 24 paveiksle. Konstantos const1 4 16= , , const2 6 95= , .
39
24 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko už-rašomas apskaičiuojant (103) lygties pirmo laipsnio išvestinę pagal laiką. Žadinimo funkcijos grafinis vaizdas pateiktas 25 paveiksle.
25 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus greičio, pokytis nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių
40
10. uždaViniai saVaRankiškaM daRBui
1. Nustatyti spyruoklės (cilindrinė, kūginė) geometrinius para-metrus, kai žinomas darbinis spyruoklės ilgis ir reikiamas spyruoklės standumas
2. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą (26 paveikslas), kai spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu .....
26 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis
3. Nustatyti 27 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standu-mo ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai spaudžia spyruokle ... mm.
27 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis
4. Nustatyti 26 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuo-sius dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomy-bės nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ..., slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... .
5. Parinkti 27 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ω ω ωmin max≤ ≤ .
41
6. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą 28 paveiksle, kai spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu .....
28 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis
7. Nustatyti 29 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standu-mo ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai suspaudžia spyruoklę ... mm.
29 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis
8. Nustatyti 28 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuo-sius dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomy-bės nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ..., slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... .
9. Parinkti 29 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ω ω ωmin max≤ ≤ .
10. Pagal 30 paveiksle pateikto automobilio pakabos ketvirčio di-naminį modelį apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo kons-tantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai sche-moje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300, 400, 10. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k N m2 34 000= / , amortizatoriaus slopinimo konstanta h Ns m2 1700= / , padangos standumo konstanta k N m1 120 000= / , padangos slopinimo konstanta h Ns m2 100= / .
42
30 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminė sistema: a) automobilio ketvirčio schema; b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis
11. Pagal 10 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskai-čiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg.
12. Užrašyti 11 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam mode-liui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.
13. 12 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstanta k N meq =18 548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2, / . Kelio paviršius aprašomas kaip laike nekintanti funkcija, kuriosposlinkio pokytis nuo laiko z t m( ) = 0 ir greičio pokytis nuo laiko z t m s( ) = 0 / .
14. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, auto-mobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s ir išspręsti 13 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.
15. Sudaryti 31paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai schemoje pateikti matmenys a, b atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k N m= 34 000 / , amortiza-toriaus slopinimo konstanta h Ns m=1700 / .
43
31 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema
16. Pagal 15 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskai-čiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg. F = 100 N.
17. Užrašyti 16 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam mode-liui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.
18. 17 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstan-ta k N meq =18 548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2, / . Kelio paviršius aprašomas, kaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laikoz t m( ) = 0 ir greičio pokytis nuo laiko z t m s( ) = 0 / .
19. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, auto-mobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s ir išspręsti 18 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.
20. Sudaryti 32 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio paka-bos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm, 10o. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k N m2 34 000= / , amortizatoriaus slopinimo konstanta h Ns m2 1700= / , padangos stan-
44
dumo konstanta k N m1 120 000= / , padangos slopinimo konstanta h Ns m2 100= / .
32 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema
21. Pagal 20 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskai-čiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg.
22. Užrašyti 20 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam mode-liui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.
23. 20 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstanta k N meq =18 548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2, / . Kelio paviršius aprašomas kaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z t m( ) = 0 ir greičio pokytis nuo laiko z t m s( ) = 0 / .
24. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, auto-mobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s, ir išspręsti 23 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.
25. Sudaryti 33 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio paka-bos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai
45
schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm, 10o. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k N m= 34 000 / , amorti-zatoriaus slopinimo konstanta h Ns m=1700 / .
33 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema
26. Pagal 25 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskai-čiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg.
27. Užrašyti 26 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam mode-liui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.
28. 27 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto me-todu, kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikš-mės: slopinimo konstanta c Ns meq = 927 4, / , standumo konstanta k N meq =18 548 / , automobilio ketvirčio masė lygi m kg= 300 , laisvo kritimo pagreitis g m s= 9 81 2, / . Kelio paviršius aprašomaskaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z t m( ) = 0 ir greičio pokytis nuo laiko z t m s( ) = 0 / .
29. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, auto-mobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s ir išspręsti 28 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.
30. Uždavinys. Sudaryti skaičiavimo schemą pateiktam 34 pa-veikslui pagal užduoties variantą (5 lentelė). Pagal sudaryta schemą ras-ti ekvivalentinio (redukuoto) elemento standumą (kE) ir slopinimą (cE).
46
34 pav. Standumo ir slopinimo elementų sudarymo schema
5 lentelė. Variantai standumo ir slopinimo schemai sudaryti
Varianto Nr. Užduoties schemos Nr. I II III IV V
1 1 2 3 4 52 1 5 3 4 23 1 2 5 4 34 1 2 3 5 45 5 2 3 4 16 5 1 3 4 27 5 2 1 4 38 5 2 3 1 49 5 1 2 3 410 5 1 3 2 411 5 1 3 4 212 5 1 2 4 313 5 1 4 2 314 1 5 3 2 415 1 5 3 4 216 1 5 2 4 317 1 2 5 3 418 1 3 5 2 419 2 1 5 3 420 2 3 5 1 421 2 4 5 1 322 2 4 5 3 123 2 3 5 4 124 3 2 5 1 425 3 1 5 2 426 3 2 1 5 427 3 2 1 4 528 3 1 2 5 4
47
29 3 2 4 1 530 3 2 4 5 131 3 5 2 1 432 3 5 1 2 433 3 5 2 4 134 4 3 1 5 235 4 3 1 2 536 4 3 2 5 137 4 3 2 1 538 4 2 3 1 539 4 2 1 3 540 4 2 1 5 341 4 5 1 2 342 4 5 1 3 243 4 5 2 3 144 4 5 3 2 145 4 5 3 1 246 4 1 5 3 247 4 1 5 2 348 4 1 2 5 349 4 1 2 3 550 4 1 5 3 2
SprendimasSudaroma schema, kuriosstandumo ir slopinimo elementai išsi-
dėsto pagal tokia skaičių seką: 34125. Gauname tokią skaičiavimo schemą:
5 lentelės pabaiga
48
Pasinaudoę 25 ir 27 lygtimis atliekame skaičiavimus sudarytai schemai. Kad butų paprasčiau skaičiuoti, atskiriame standumus ir slo-pinimus į atskiras schemas.
Pirmiausia bus apskaičiuojamas standumas.
Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų ele-mentų:
k k kk k k45 4 5
23 2 3
= +
= +
;;
1 1 1
67 6 7
6 7
6 7k k kk kk k
= + =+ ;
k k kk k676 7
6 7=
+.
49
Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema:
Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus:
1 1 1 1
12345 45 1 23
1 23 45 23 45 1
1 23 45k k k kk k k k k k
k k k= + + =
+ + ;
k k k kk k k k k k12345
1 23 45
1 23 45 23 45 1=
+ +.
Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskai-čiuoti tik paskutinį lygiagretų sujungimą:
k k k k k kk k k k k k
k kk k1234567 12345 67
1 23 45
1 23 45 23 45 1
6 7
6 7= + =
+ ++
+=
=kk k k k k k k k k k k k k
k k k k k1 23 45 6 7 6 7 1 23 45 23 45 1
1 23 45 23 45
( ) ( )(
+ + + ++ + kk k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k1 6 7
1 23 45 6 1 23 45 7 6 7 1 23 6 7 45 23 6
)( )+=
=+ + + + kk k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k7 45 1
1 23 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7+ + + + +.
Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos standumą kE:
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk kE =
+ + + +1 23 45 6 1 23 45 7 6 7 1 23 6 7 45 23 6 7 45 1
1 223 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7
1 6 2 4
k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k
+ + + + +=
=+ kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k1 6 3 4 1 6 2 5 1 6 3 5 1 7 2 4 1 7 3 4 1 7 2 5 1+ + + + + + 77 3 4
1 6 2 1 6 3 2 4 6 3 4 6 2 5 6 3 5 6 4 1 6 5
k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
++ + + + + + + kk k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k1 6 1 7 2
6 7 1 2 6 7 1 3 2 4 6 7 3 4 6 7 2 5 6 7
+ +
+ + + + + ++ + ++ + + + +
k k k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k
3 5 6 7 1 6 7 4 1 6 7 5
1 7 3 2 4 7 3 4 7 2 5 7 33 5 7 4 1 7 5 1 7k k k k k k k k+ +.
50
Apskaičiavę sistemos ekvivalentinį standumą, toliau skaičiuosi-me ekvivalentinį slopinimą.
Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų ele-mentų:
c c cc c c45 4 5
12 1 2
= +
= +
;;
1 1 1
67 6 7
6 7
6 7c c cc cc c
= + =+ ;
c c cc c676 7
6 7=
+.
Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema:
Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus:
1 1 1 1
12345 45 3 12
12 3 45 3 45 12
12 3 45c c c cc c c c c c
c c c= + + =
+ + ;
c c c c
c c c c c c1234512 3 45
12 3 45 3 45 12=
+ +.
Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskai-čiuoti tik paskutinį lygiagretų sujungimą:
51
c c c c c cc c c c c c
c cc c1234567 12345 67
12 3 45
12 3 45 3 45 12
6 7
6 7= + =
+ ++
+=
=cc c c c c c c c c c c c c
c c c c c c12 3 45 6 7 6 7 12 3 45 3 45 12
12 3 45 3 45
( ) ( )(
+ + + ++ + 112 6 7
12 3 45 6 12 3 45 7 12 3 6 7 45 3 6 7 45
)( )c cc c c c c c c c c c c c c c c c c
+=
=+ + + + cc c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c12 6 7
12 3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7+ + + + +.
Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos slo-pinimą cE:
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ccE =
+ + + +12 3 45 6 12 3 45 7 12 3 6 7 45 3 6 7 45 12 6 7
12cc c c c c c c c c c c c c c c c cc c c c
3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7
1 4 3 6
+ + + + +=
=+ cc c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c2 4 3 6 1 5 3 6 2 5 3 6 1 4 3 7 2 4 3 7 1 5 3 7 2+ + + + + + 55 3 7
1 3 6 2 3 6 4 3 6 5 3 6 1 4 6 1 5 6 2 4 6 2
c cc c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
++ + + + + + + cc c c c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c5 6 1 3 7
1 3 6 7 2 3 6 7 4 3 6 7 5 3 6 7 1 4 6 7
+ +
+ + + + + ++ + ++ + + + +
c c c c c c c c c c c cc c c c c c c c c c c c c
2 4 6 7 1 5 6 7 2 5 6 7
2 3 7 4 3 7 5 3 7 1 4 7 22 5 7 1 5 7 2 4 7c c c c c c c c+ +.
33. Uždavinys. 34 paveiksle pateiktai schemai užrašyti dinaminio modelio Lagranžo antro laipsnio diferencialines judėjimo lygtis (dau-giau schemų skaičiavimams pateikiama E priede).
35 pav. Dinaminio modelio schema
52
SprendimasLagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia for-
ma (83):
ddt
Tq
Tq q q
F∂∂
−
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Φ Π,
čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija, P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius, q q q, , – atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis.
Lagranžo antro laipsnio lygtis sudaroma taip:1. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos kinetinė energija (84).
T m q m q m q I m q m q m= + + + + + +12
12
12
12
12
12
121 1
22 22
3 32
12
4 42
5 52
6 ϕ q m q62
7 721
2+ .
1.1. Skaičiuojama kinetinės energijos išvestinė kiekvienam kūnui pagal apibendrintus kūnų greičius q q q q q q q1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,ϕ :
ddt
Tq
m q m q m q I m q m q mi
∂∂
= + + + + + +
1 1 2 2 3 3 1 4 4 5 5ϕ 66 6 7 7 q m q+ .
1.2. Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal api-bendrintą poslinkį q. Kadangi sistemoje nėra poslinkio, todėl visos išvestinės bus lygios nuliui.
∂∂
=Tq
0.
2. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos disipatyvinės energijos (88):
Φ1 1 1 1
212
= − ( )( )c q z t ;
Φ2 2 3 1 1
212
= − −( )c q q a ϕ ;
Φ3 3 2 2
212
= − ( )( )c q z t ;
Φ5 5 4 3 3
212
= − +( )c q q a ϕ ;
53
Φ6 6 5 4
212
= −( )c q q ;
Φ7 7 6 3 4
212
= − −( )c q q a ϕ ;
Φ8 8 7 6
212
= −( )c q q .
2.1. Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinės išvestinės pagal apibendrintus greičius q q q q q q q1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,ϕ :
∂∂
= − ( )( ) − − −( )Φ
qc q z t c q q a
11 1 1 2 3 1 1ϕ ;
∂∂
= − ( )( ) − − +( )Φ
qc q z t c q q a
23 2 2 4 3 2 2ϕ ;
∂∂
= − −( ) + − +( ) − − +( )Φ
qc q q a c q q a c q q a
32 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3ϕ ϕ ϕ ;
∂∂
= − +( ) − −( )Φ
qc q q a c q q
45 4 3 3 6 5 4ϕ ;
∂∂
= −( )Φ
qc q q
56 5 4 ;
∂∂
= − −( ) − −( )Φ
qc q q a c q q
67 6 3 4 8 7 6ϕ ;
∂∂
= −( )Φ
qc q q
78 7 6 ;
∂∂
= − − −( ) + − +( ) + − +Φ
ϕϕ ϕa c q q a a c q q a a c q q1 2 3 1 1 2 4 3 2 2 3 5 4 3 ϕϕ
ϕ
a
a c q q a
3
4 7 6 3 4
( ) −
− − −( ) .
3. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos potencinės ener-gijos (90): Π1 1 1 1
212
= − ( )( )k q z t ;
Π2 2 3 1 121
2= − −( )k q q aϕ ;
54
Π3 3 2 2
212
= − ( )( )k q z t ;
Π4 4 3 2 2
212
= − +( )k q q aϕ ;
Π5 5 4 3 3
212
= − +( )k q q aϕ ;
Π6 6 5 4
212
= −( )k q q ;
Π7 7 6 3 4
212
= − −( )k q q aϕ ;
Π8 8 7 6
212
= −( )k q q .
3.1. Skaičiuojama potencinės energijos dalinės išvestinės pagal apibendrintus poslinkius q q q q q q q1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,ϕ (91):
∂∂
= − ( )( ) − − −( )Πq
k q z t k q q a1
1 1 1 2 3 1 1ϕ
∂∂
= − ( )( ) − − +( )Πq
k q z t k q q a2
3 2 2 4 3 2 2ϕ
∂∂
= − −( ) + − +( ) − − +( )Πq
k q q a k q q a k q q a3
2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3ϕ ϕ ϕ
∂∂
= − +( ) − −( )Πq
k q q a k q q4
5 4 3 3 6 5 4ϕ
∂∂
= −( )Πq
k q q5
6 5 4
∂∂
= − −( ) − −( )Πq
k q q a k q q6
7 6 3 4 8 7 6ϕ
∂∂
= −( )Πq
k q q7
8 7 6
∂∂
= − − −( ) + − +( ) + − +( ) −
−
Πϕ
ϕ ϕ ϕa k q q a a k q q a a k q q a
a k
1 2 3 1 1 2 4 3 2 2 3 5 4 3 3
4 77 6 3 4q q a− −( )ϕ
55
4. Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro laipsnio Lagranžo lygtį (83). Kadangi pateiktoje schemoje turime aš-tuonis ( q q q q q q q1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,ϕ ) poslinkius, tai ir turėsime iš viso aš-tuonias lygtis:
m q c q z t c q q a k q z t k q q1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 + − ( )( ) − − −( ) + − ( )( ) − −ϕ 11 1 0−( ) =ϕa
m q c q z t c q q a k q z t
k q2 2 3 2 2 4 3 2 2 3 2 2
4 3
+ − ( )( ) − − +( ) + − ( )( ) −− −
ϕ
qq a2 2 0+( ) =ϕ
m q c q q a c q q a c q q a3 3 2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3 + − −( ) + − +( ) − − +( ) +ϕ ϕ ϕ
++ − −( ) + − +( ) − − +( ) =k q q a k q q a k q q a2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3 0ϕ ϕ ϕ
I a c q q a a c q q a a c q q1 1 2 3 1 1 2 4 3 2 2 3 5 4 3 ϕ ϕ ϕ+ − − −( ) + − +( ) + − + ϕϕ
ϕ ϕ ϕ
a
a c q q a a k q q a a k q q a3
4 7 6 3 4 1 2 3 1 1 2 4 3 2 2
( ) −− − −( ) − − −( ) + − +( ) ++
+ − +( ) − − −( ) =a k q q a a k q q a3 5 4 3 3 4 7 6 3 4 0ϕ ϕ
m q c q q a c q q k q q a k q q4 4 5 4 3 3 6 5 4 5 4 3 3 6 5 4 + − +( ) − −( ) + − +( ) − −(ϕ ϕ )) = 0
m q c q q k q q5 5 6 5 4 6 5 4 0 + −( ) + −( ) =
m q c q q a c q q k q q a k q q6 6 7 6 3 4 8 7 6 7 6 3 4 8 7 6 + − −( ) − −( ) + − −( ) − −(ϕ ϕ )) = 0
m q c q q k q q7 7 8 7 6 8 7 6 0 + −( ) + −( ) = .
5. Užrašytas lygtis pertvarkome į dešinę lygybės pusę perkeldami žadinimo funkciją ir priskirdami ją prie išorinių į sistemą veikiančių jėgų.m q c q c q c q c a k q k q k q k a c z1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1
+ − + + + − + + =ϕ ϕ tt k z t( ) + ( )1 1
m q c q c q c q c a k q k q k q k a c z2 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2 + − + − + − + − =ϕ ϕ tt k z t( ) + ( )3 2
m q c q c q c a c q c q c a c q c q c3 3 2 3 2 1 2 1 4 3 4 2 4 2 5 4 5 3 + − − + − + − + −ϕ ϕ 55 3 2 3 2 1
2 1 4 3 4 2 4 2 5 4 5 3 5 3 0ϕ
ϕ ϕ ϕ
a k q k qk a k q k q k a k q k q k a
+ − −
− + − + − + − =
56
I a c q a c q a c a c q a c q a c a c1 1 2 3 1 2 1 122 2 4 3 2 4 2 2
24 3 5 ϕ ϕ ϕ− + + + − + +
q a c q a c
a c q a c q a c a k q a k q4 3 5 3 3
25
4 7 6 4 7 3 427 1 2 3 1 2
− + −
− + + − +
ϕ
ϕ 11 122 2 4 3 2 4 2 2
24
3 5 4 3 5 3 3 5 3 4 7
+ + − + +
+ − + −
a k a k q a k q a k
a k q a k q a k a a k
ϕ ϕ
ϕ qq a k q a k6 4 7 3 427 0+ + =ϕ
m q c q c q c a c q c q k q k q k a k q4 4 5 4 5 3 5 3 6 5 6 4 5 4 5 3 5 3 6 5 + − + − + + − + −ϕ ϕ ++ =k q6 4 0 m q c q c q k q k q5 5 6 5 6 4 6 5 6 4 0 + − + − =
m q c q c q c a c q c q k q k q k a k q6 6 7 6 7 3 7 4 8 7 8 6 7 6 7 3 7 4 8 7 + − − − + + − − −ϕ ϕ ++ =k q8 6 0 m q c q c q k q k q7 7 8 7 8 6 8 7 8 6 0 + − + − = .
6. Iš užrašytų lygčių sudarome vieną apibendrintą matricinės for-mos antro laipsnio Lagranžo lygtį:
58
)()()()()()()()(
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
)()()()()()()()(
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000
0000000000000000000000000
0000000000
0000000000000000000000000
000000000000000000000000000000200000000000000000006000000
8
7
6
5
4
3
2
1
3
1
8
7
6
5
4
3
2
1
3
1
7
6
5
4
3
2
1
88
887747
66
665535
74537245
234
222
21745342214221
553422154242
42443
21221
7
6
5
4
3
2
1
88
887747
66
665535
74537245
234
222
21745342214221
553422154242
42443
21221
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
1
2
2
1
tztztztztztztztz
kk
tztztztztztztztz
cc
qqqq
qqq
kkkkkkak
kkkkkkak
kakakakakakakakakakakakakkakakakkkkk
kakkkkakkk
qqqq
qqq
ccccccac
ccccccac
cacacacacacacacacacacacaccacacaccccc
caccccaccc
qqqq
qqq
mm
mm
Im
mm
57
liTeRaTūRaAugustaitis, K. V. 2000. Mechaninių virpesių pagrindai. Vilnius: Žiburio lei-
dykla.Jazar, R. N. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Aplications. Springer
Science +Bisns Media, LLC.Michnevič, E.; Syrus, L.; Belevičius, R. 2003. Teorinė mechanika. Statika.
Vilnius: Technika.Ostaševičius, V. 1998. Mechaninių konstrukcijų dinamika ir modeliavimas.
Kaunas: Technologija.Steel Wire for Mechanical Springs Part 1: Patented Cold Drawn Unalloyed
Spring Steel Wire DIN EN 10270-1. 2001.Steel Wire for Mechanical Springs Part 2: Oil Hardened and Tempered Spring
Steel Wire DIN EN 10270-2. 2001.Steel Wire for Mechanical Springs Part 3: Stainless Spring Steel Wire DIN
EN 10270-3. 2001.Борисоич, Б. И. 1980. Конструирование и расчет тракторов. Ленинград:
Машиностроение.
58
pRiedai
a priedas. Rungės ir kuto metodo algoritmas
Priede pateiktas Maple programine kalba užrašytas skaitinio me-todo algoritmas.
Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas toks kreipinys:
>runkut45(n,h,T,X);
čia: runkut45 – sučia: tos procedūros vardas; n – lygčių skaičius; H – integravimo žingsnis; T – laikas; X– kintamojo reikšmė.
Kreipinys rašomas po programos tekste po procedūros.
Procedūros užrašymo tvarka
>runkut45:=proc(n,h,T,X)>>local Te, i1, i, j, k, y, yR, yf, a;>>a[1]:=0.5*h;>a[2]:=a[1];>a[3]:=h;>a[4]:=h;>a[5]:=a[1];>>Te:=T;>
59
>for i1 to n do> y[i1]:=X[i1];> yf[i1]:=X[i1];>end do;>>for i to 4 do >>lygtys(Te,y,yR,n);> Te:=T+a[i];>> for k to n do> y[k] :=X[k]+a[i]*yR[k];> yf[k]:=yf[k]+a[i+1]*yR[k]/3.0;> end do;>>end do;>>for j to n do> X[j]:=yf[j]: >end do:>>end proc;
Skaičiavimo algoritmo procedūra visada į darbinį dokumentą de-dama prieš kreipinį.
60
B priedas. lygčių užrašymo paprogramė
Priede pateikta Maple programine kalba užrašyta procedūra, ku-rioje surašomos sistemą aprašančios lygtys.
Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas toks kreipinys:
lygtys (Te,y,yR,n)
čia: Te – laikas;y – kintamasis parametras;yR – kintamojo parametro pirmoji išvestinė pagal laiką;n – lygčių skaičius.
Kreipinys rašomas programos tekste po procedūros.
Procedūros užrašymo tvarka
>lygtys:=proc(Te,y,yR,n)>> yR[1]:= y[2];>> yR[2]:= (-h[1]*(y[2]-dz[1])-k[1]*(y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1];>> end proc;
Procedūra lygtys į darbinį dokumentą visada dedama prieš krei-pinį.
61
C priedas. Maple programine kalba parašytos programos pavyzdys
Komanda, išvalanti laikiną atmintį. Ją patartina naudoti naujo lango pirmoje eilutėje.
>restart:
Procedūra, kurioje aprašytas Rungės ir Kuto skaitinio metodo al-goritmas
> runkut45:=proc(n,h,T,X)>> local Te, i1, i, j, k, y, yR, yf, a;>> a[1]:=0.5*h;> a[2]:=a[1];> a[3]:=h;> a[4]:=h;> a[5]:=a[1];>> Te:=T;>> for i1 to n do> y[i1]:=X[i1];> yf[i1]:=X[i1];> end do;>> for i to 4 do >>lygtys(Te,y,yR,n);> Te:=T+a[i];>> for k to n do> y[k] :=X[k]+a[i]*yR[k];> yf[k]:=yf[k]+a[i+1]*yR[k]/3.0;> end do;
62
>> end do;>> for j to n do> X[j]:=yf[j]: #yf[j]:=null: y[j]:=null:> end do:>> end proc:
Procedūra, į kurią surašytos dinaminę sistemą aprašančios lygtys:>lygtys:=proc(Te,y,yR,n)>> yR[1]:= y[2];>> yR[2]:= (-h[1]*(y[2]-dz[1])-k[1]*(y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1];>> end proc:
Žadinimo funkcija> z[1]:=hc[1]*cos(omega[1]*T)+hs[1]*sin(omega[1]*T);
dz[1]:=diff(z[1],T);
Išorinio harmoninio žadinimo dažnis> omega[1]:=evalf(2*pi*v[1]/lx);
Sistemos parametrai> m[1]:=300;h[1]:=927.4;k[1]:=18548; g:=9.81; hc[1]:=0.01:
hs[1]:=0.01: v[1]:=9.0: lx:=50.0:
Sistemos pradiniai parametrai, reikalingi spręsti uždavinį skaiti-niu metodu.
Lygčių (kintamųjų) skaičius> n:=2;Integravimo žingsnis
63
h:=1.0e-4;Skaičiavimo laikasTmax:=15.0.
Pradinės reikšmės priskyrimo kintamajam algoritmas>for i to n do X[i]:= 0.0: end do:
Komanda algebrinei lygčiai arba lygčių sistemai nubraižyti, kai kintamasis yra laikas kintantis nuo 0 iki 15 s.
> plot([dz[1]],T=0..15,color=[blue,red],thickness=3,labels = [“laikas, s”, “greitis, m/s”], labeldirections = [“horizontal”, “vertical”], labelfont = [“TiMes”, “RoMan”, 17],axesfont = [“TiMes”, “RoMan”, 15]);
Skaitliuko sukūrimas. Naudojamas, kai norime išsaugoti ne visas, o tik tam tikras apskaičiuotas kintamojo reikšmes.
> isk:=0:
Rezultatų masyvų sukūrimas. Naudojami apskaičiuotoms kinta-moms reikšmėms talpinti. Šie masyvai vėliau gali būti atspausdinti dgrafikų pavidalu.
for i to n do G[i]:=null: end do:
Pagrindinis ciklas, kuriame kreipiamasi į lygčių ir skaitinio meto-do procedūras (lygtys, runkur45)
> for T from 0 by h to Tmax do >nstep:=Tmax/h:
64
> runkut45(n,h,T,X):> if (isk=100) then > G[1]:=G[1],[T,X[1]]:> G[2]:=G[2],[T,X[2]]:>>printf(“time= %g, X[1]= %e, X[2]= %e\n”, T, X[1], X[2] ); >isk:=0:> else >isk:=isk+1: > end if:> end do:
Apskaičiuotų rezultatų spausdinimas. Spausdinami prieš tai su-kurti masyvai G[1] ir G[2].>plot([[G[1]],[G[2]]],color=[red,blue],thickness=3,labels = [“laikas, s”, “greitis, poslinkis”], labeldirections = [“horizontal”, “vertical”], labelfont = [“TiMes”, “RoMan”, 17],axesfont = [“TiMes”, “RoMan”, 15]);
65
d priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrin-diniai operatoriai
:= – priskyrimo operatoriusVector(n) – masyvas vektorius su n elementųMatrix(n,m)– masyvas matrica su n eilučių ir m stulpeliųnull – operatorius, kuriuo kintamajam arba masyvui gali būti
priskirta reikšmė nieko.a[ ] – masyvo elementasproc() – procedūraend proc – procedūros užbaigimo operatoriusfor i to n do ką atlikti end do – ciklo operatoriusend do – ciklo uždarymo operatoriusif (i>a) then ką atlikti end if – sąlygos tikrinimo operatoriusend if – ciklo uždarymo operatorius;plot() – grafikų spausdinimo operatoriusprint() – kintamųjų arba masyvų išvedimo nurodytu formatu
operatorius
66
e priedas. skaičiavimo schemos namų darbams
1 schema
67
2 schema
3 schema
68
4 schema
5 schema
69
6 schema
7 schema
70
8 schema
9 schema
71
10 schema
11 schema
72
12 schema
13 schema
73
14 schema
15 schema
74
16 schema
17 schema
75
18 schema
19 schema
76
20 schema
21 schema
77
22 schema
23 schema
78
24 schema
25 schema
79
26 schema
27 schema
80
28 schema
29 schema
81
30 schema
31 schema
82
32 schema
33 schema
83
34 schema
35 schema
84
36 schema
37 schema
85
38 schema
86
f priedas. xi, yi – i-osios masės koordinatės, nuo koordinačių ašiųX ir y
Eil.Nr.
C1 C2 C3 C4 C5
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5
1. 1,94 1,05 0,77 0,76 1,53 0,51 2,51 0,51 3,86 0,77
2. 1,93 1,25 0,86 0,66 1,78 0,56 2,93 0,56 4,14 0,86
3. 2,09 1,18 0,87 0,63 1,77 0,64 2,87 0,64 3,65 0,87
4. 1,95 1,24 0,78 0,79 1,63 0,58 3,01 0,58 3,81 0,78
5. 2,13 0,97 0,79 0,58 1,73 0,62 2,63 0,62 3,65 0,79
6. 1,85 1,25 0,75 0,66 1,56 0,59 2,96 0,59 3,47 0,75
7. 1,92 1,13 0,74 0,72 1,66 0,58 2,49 0,58 3,79 0,74
8. 1,90 1,31 0,77 0,71 1,90 0,57 2,37 0,57 3,79 0,77
9. 2,07 1,22 0,84 0,62 1,56 0,54 2,89 0,54 3,69 0,84
10. 1,85 1,32 0,82 0,68 1,74 0,62 2,85 0,62 3,72 0,82
11. 2,04 1,22 0,81 0,71 1,72 0,61 2,70 0,61 3,48 0,81
12. 1,98 1,02 0,77 0,74 1,69 0,67 2,80 0,67 3,62 0,77
13. 2,00 1,11 0,77 0,75 1,52 0,57 2,81 0,57 3,86 0,77
14. 1,99 1,04 0,78 0,71 1,83 0,57 2,59 0,57 3,41 0,78
15. 1,95 1,15 0,76 0,69 1,63 0,65 2,81 0,65 3,54 0,76
16. 2,12 1,27 0,78 0,74 1,65 0,56 2,65 0,56 3,61 0,78
17. 2,08 1,11 0,83 0,67 1,74 0,54 3,13 0,54 3,76 0,83
18. 1,86 1,16 0,79 0,73 1,51 0,63 2,61 0,63 3,91 0,79
19. 1,96 1,11 0,87 0,66 1,66 0,56 2,91 0,56 3,99 0,87
20. 2,02 1,12 0,80 0,69 1,61 0,60 2,67 0,60 3,82 0,80
21. 2,05 1,24 0,78 0,65 1,80 0,62 2,73 0,62 3,46 0,78
22. 1,90 1,13 0,82 0,76 1,75 0,67 2,72 0,67 3,76 0,82
23. 1,80 1,26 0,77 0,71 1,83 0,62 2,20 0,62 3,38 0,77
24. 2,15 1,23 0,80 0,75 1,60 0,53 2,72 0,53 3,74 0,80
25. 2,04 1,27 0,86 0,74 1,76 0,63 2,82 0,63 3,52 0,86
26. 1,92 1,31 0,74 0,68 1,75 0,61 2,62 0,61 3,52 0,74
27. 1,95 1,28 0,83 0,69 1,68 0,60 2,77 0,60 3,61 0,83
28. 1,95 1,18 0,76 0,71 1,57 0,64 2,43 0,64 3,59 0,76
29. 1,98 1,09 0,82 0,70 1,84 0,59 2,61 0,59 3,67 0,82
30. 1,87 1,27 0,77 0,71 1,91 0,63 2,99 0,63 3,58 0,77
87
31. 2,00 1,18 0,79 0,82 1,80 0,60 2,58 0,60 3,74 0,79
32. 2,13 1,05 0,81 0,61 1,61 0,60 2,51 0,60 3,63 0,81
33. 1,89 1,15 0,75 0,70 1,81 0,46 2,87 0,46 3,41 0,75
34. 1,87 1,17 0,79 0,66 1,59 0,56 2,89 0,56 3,69 0,79
35. 2,06 1,18 0,80 0,69 1,71 0,56 2,62 0,56 3,67 0,80
36. 2,10 1,20 0,80 0,61 1,53 0,56 2,67 0,56 3,48 0,80
37. 1,98 1,13 0,85 0,76 1,61 0,58 2,63 0,58 4,08 0,85
38. 2,09 0,94 0,87 0,75 1,44 0,59 2,39 0,59 3,67 0,87
39. 2,20 1,12 0,78 0,70 1,45 0,57 2,50 0,57 3,66 0,78
40. 1,83 1,14 0,78 0,56 1,65 0,68 3,11 0,68 3,64 0,78
41. 2,00 1,13 0,79 0,66 1,60 0,59 2,70 0,59 3,68 0,79
42. 2,05 1,31 0,78 0,69 1,69 0,63 2,54 0,63 4,09 0,78
43. 1,90 1,16 0,73 0,67 1,89 0,57 2,39 0,57 4,03 0,73
44. 1,98 1,12 0,75 0,67 1,77 0,61 2,51 0,61 3,79 0,75
45. 1,85 1,19 0,92 0,80 1,56 0,61 2,79 0,61 3,97 0,92
46. 2,05 1,15 0,72 0,64 1,68 0,66 2,70 0,66 3,76 0,72
47. 1,81 1,11 0,81 0,78 1,72 0,59 2,90 0,59 3,52 0,81
48. 2,03 1,20 0,70 0,65 1,76 0,59 2,82 0,59 3,46 0,70
49. 2,00 1,21 0,81 0,76 1,55 0,65 2,83 0,65 3,83 0,81
50. 2,07 1,18 0,78 0,72 1,75 0,57 2,64 0,57 3,46 0,78
F priedo lentelės pabaiga
88
G priedas. mi – i-osios masės, ii – i-osios masės ašinis inercijos momentas, iixy – i-osios masės išcentrinis
inercijos momentasEil.Nr.
m1 I1 I1xy m2 I2 I2xy m3 I3 I3xy m4 I4 I4xy m5 I5 I5xy
1. 525 295 0,3 389 70 0,4 181 15 0,14 181 15 0,9 80 46 0,32. 443 122 0 323 58 0,6 208 39 0,21 208 39 0,9 93 14 03. 663 253 0,3 307 54 0,5 136 37 0,17 136 37 0,6 110 32 0,34. 710 142 0 313 58 0,5 220 45 0,20 220 45 0,9 82 43 05. 860 319 0,3 336 57 0,3 223 34 0,19 223 34 0,7 101 24 0,36. 839 392 0 248 50 0,4 167 32 0,21 167 32 0,9 99 33 07. 342 365 0 232 62 0,4 112 32 0,10 112 32 0,8 66 39 08. 378 401 0 295 48 0,5 157 41 0,22 157 41 0,8 106 42 09. 554 249 0 298 57 0,6 213 39 0,19 213 39 0,9 70 31 010. 345 293 0,5 255 56 0,5 191 24 0,07 191 24 0,8 102 13 0,511. 454 218 0 316 42 0,4 179 24 0,20 179 24 0,9 122 27 012. 569 253 0,8 342 70 0,6 155 37 0,12 155 37 0,6 76 25 0,813. 485 325 0 210 58 0,7 124 22 0,18 124 22 0,7 104 34 014. 378 276 0,0 270 61 0,6 208 44 0,23 208 44 0,8 85 17 0,015. 701 19 0 331 50 0,6 263 37 0,18 263 37 0,6 91 30 016. 409 300 0,3 399 74 0,5 155 23 0,13 155 23 0,6 123 25 0,317. 727 220 0 281 35 0,6 134 38 0,18 134 38 0,7 137 31 018. 771 133 0 338 67 0,6 120 20 0,15 120 20 0,8 71 24 019. 507 364 0 227 69 0,5 156 27 0,05 156 27 0,8 83 11 020. 639 481 0,1 293 50 0,5 143 35 0,15 143 35 0,9 103 33 0,121. 660 227 0,1 277 63 0,6 220 14 0,15 220 14 0,8 131 12 0,122. 475 537 0 283 57 0,5 156 39 0,22 156 39 0,8 122 11 023. 715 432 0,1 219 58 0,5 165 29 0,11 165 29 1,0 92 14 0,124. 588 278 0,7 326 67 0,4 96 49 0,00 96 49 0,8 99 43 0,725. 552 203 0,3 346 28 0,5 167 38 0,23 167 38 0,7 78 24 0,326. 283 201 0,3 374 82 0,5 156 30 0,34 156 30 0,7 76 43 0,327. 187 423 1,0 339 66 0,4 180 52 0,20 180 52 0,7 94 42 1,028. 664 311 0,4 176 73 0,5 99 27 0,18 99 27 0,8 103 25 0,429. 768 349 0 220 50 0,5 161 48 0,20 161 48 0,7 111 45 030. 921 554 0 331 63 0,6 214 20 0,15 214 20 0,8 94 17 0
89
31. 538 151 0,1 251 65 0,5 107 29 0,02 107 29 0,8 104 35 0,132. 868 252 0,1 323 62 0,6 165 42 0,16 165 42 0,7 102 27 0,133. 557 220 0,0 260 62 0,5 204 23 0,12 204 23 0,8 104 27 0,034. 460 303 0,3 336 53 0,5 151 42 0,26 151 42 0,8 91 19 0,335. 339 340 0,4 312 81 0,4 197 34 0,09 197 34 0,7 112 22 0,436. 707 262 0 375 45 0,4 134 21 0,23 134 21 0,8 85 39 037. 580 343 0,1 299 74 0,4 139 36 0,16 139 36 0,9 106 16 0,138. 357 322 0,5 273 74 0,5 169 24 0,26 169 24 0,8 121 29 0,539. 410 328 0 259 64 0,6 218 45 0,30 218 45 0,8 108 10 040. 1043 302 0 307 43 0,5 158 41 0,16 158 41 0,8 102 44 041. 245 212 0 321 55 0,5 146 26 0,14 146 26 0,9 86 30 042. 170 402 0 277 58 0,5 179 32 0,04 179 32 0,8 57 36 043. 150 313 0 256 43 0,6 163 43 0,17 163 43 0,6 114 25 044. 735 289 0 288 51 0,5 207 38 0,22 207 38 0,9 133 35 045. 495 291 0 297 75 0,4 216 40 0,09 216 40 0,9 105 15 046. 637 332 0,1 181 57 0,5 180 29 0,18 180 29 0,7 94 28 0,147. 724 344 0 343 47 0,6 215 39 0,23 215 39 1,0 143 32 048. 685 442 0 296 52 0,5 93 43 0,08 93 43 0,9 106 35 049. 1098 366 0,4 259 66 0,6 120 41 0,24 120 41 0,9 103 32 0,450. 736 109 0,1 247 59 0,5 149 29 0,24 149 29 0,9 105 31 0,1
G priedo lentelės pabaiga
90
h priedas. spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal skirtingus standartus
Table B.1 – Cross references of steel grade designations
Designation in EN 10270-3 Corresponding former designation ISO-
designation
According to EN
10027-1
According to EN
10027-2DIN 17224: 1982 AFNOR
BS 2056: 1991
MMS 900
ISO 6931-1: 1994
X10CrNi 18-8
1,4310 X 12 CrNi 17-7
1,4310 Z 12 CN 18-09
302S26 SS-steel 2331
Number 1 X 9 CrNi 18-8
X5CrNiMo 17-12-2
1,4401 X 5 CrNiMo 18-10
1,4401 Z 7 CND 17-11-02
316S42 SS-steel 2347
Number 2 X 5 CrNiMo 17-12-2
X7CrNiAl 17-7
1,4568 X 7 CrNiAl 17-7
1,4568 Z 9 CNA 17-07
301S81 SS-steel 2388
Number 3 X 7 CrNiAl 17-7