transportni problem

UNIVERZITET „UNION“ – BEOGRAD

FAKULTET ZA INDUSTRIJSKI MENADŽMENT – KRUŠEVAC

SEMINARSKI RAD

Predmet: INDUSTRIJSKA LOGISTIKA

Naziv teme: TRANSPORTNI PROBLEM

Student: Predmetni profesor:Ljubiša Obradović 09/06 Prof. dr Tugomir Đorđević Prof. mr Aleksandar Marić

1.TRANSPORTNI PROBLEM1

Kada je rešen problem optimalne lokacije skladištеnja sirovina i gotove robe, ostaje da se reši veoma važan zadatak njihove raspodele do proizvodnih pogona ili potrošača, uz uslov da troškovi prevoza budu minimalni.

Sa logističkog aspekta poslovna udruženja mogu da koordiniraju reaiizaciju proizvodnje svojih preduzeća pa tako postignu maksimalno skraćenje vremena koje roba provede u prometu. Nadalje, moguće je utvrditi optimalni program raspodele robe koju domaća preduzeća izvoze u razne zemlje, kako bi se obezbedio najveći efekat. Na isti način se rešava i uvoz. Treba istaći i problem raspodele prevoznih sredstava na korisnike (na primer aviona, sredstva pomorskog transporta, kamiona, vagona i dr.).

Pored pobrojanih, i mnogi drugi problemi u kojima se radi o prevozu gotovih proizvoda i sirovina, mogu na optimalan način da budu rešeni primenom transportne metode. Ono što je zajedničko u svim tim problemima jeste to, da se uvek radi o raspodeli ili jednog jedinog proizvoda (robe, prevoznog sredstva, objekta i sl.) ili jednog uslovnog proizvoda. Pri tome, optimalno rešenje zavisi od postavljenog cilja. Ako je ciljna funkcija pronalaženje optimalnog rešenja za sve učesnike, onda ono nije optimalno za svakog od njih pojediaačno. Međutim, moguće je za ciljnu funkciju postaviti optimalnost i sa aspekta pojedinačnog korisnika.

Specijatni metod za rešavanje transportnog problema definisao je Hičkok 1941. godine, i u Iiteraturi (iz ove oblasti) taj metod se često naziva metod Hičkoka. Kasnije je transportni metod znatno usavršen u radovima Kantoroviča, Kapmansa i drugih autora.

U proceduralnom rešavanju problema primenom transportne metode postoji više algoritama. Kod nekih оd njih je neophodno najpre formirati početno rešenje, pa tek njegovim poboljšavanjem, iterativnim putem doći do optimalnog. Kod drugih, nijе neophodan polazak od početnog rešenja. U ovom kursu biće interpretirana samo dva algoritma; "Stepping stone" i modifikovana metoda, i oba zahtevaju polazak od početnog rešenja.

2. FORMIRANJE OPSTEG MODELASve probleme za čije rešavanje je pogodna transportna metoda moguće je

obuhvatiti jednim opštim modelom. Radi postavljanja takvog modela poći ćemo od pretpostavke da proizvodno preduzeće X poseduje m skladista (Si,S2, -, Sj, ..., Sm) za skladištenje materijala M i n proizvodnih pogona (Pj, P2,..., Pj,..., Рп) u kojima se vrši obrada materijala M.

2

Potrebno je sačiniti takav plan obezbedenja proizvodnih pogona materijalom M, da bi ukupni troškovi prevoza bili najmanji. Postoji veliki broj mogućih rešenja za utvrđivanje traženog plana, u šta nas uverava šematski prikaz na slici 83.

Ako se sa Хiј (i=l,2,...,m; j = l,2,...,n) označi količina materijala M koja se iz i-tog skladišta (Si) doprema j-tom proizvodnom pogonu (Pj), a sa аi, (i=l,2,...,m) količina materijala koja je u i-tom skladištu raspoloživa za isporuku i sa bj (j=l,2,...,n) potrebna količina materijafa M j-tom proizvodnom pogonu, onda će tabela ograničavajućih faktora imati izgled (tabela 9.1):Tabela 9.1

SkladištaProizvodni pogoni Raspoloživa

količinaP1 P2 ...... Pj .... Рn

S1 Х11 X12 ... X1j .... X1n a1

S2 X21 Х22 .... X2j .... X2n a2

: : : ..... : ..... : :

Si Xi1 Xi2 ..... Xij .... Хin ai

: : : .... : ..... : :

Sm Xm1 Xm2 ..... Xmj ..... xmn am

potrebnakoiičina

bi b2 ... bj ..... bn

Na osnovu tabele 9.1 lako se dolazi do jednačina koje predstavljaju ograničenja za raspoložive količine materijala, tj.

................................................. (9.1)

..................................................

Sistem jednačina (9.1) napisan u sažetom obliku biće:

= (i=1,2,.....,m) (9.2)

Analogno prethodnom, na osnovu tabele 9.1, ograničenja potrebnih količina materijala su:

................................................. (9.3)

..................................................

Sažeti oblik sistema jednačina (9.3) je:

= (j=1,2,...,j,....,n) (9.4)

Pošto se skladišta materijala i proizvodni pogoni nalaze na različitim mestima, to su troškovi prevoza po jedinici materijala M različiti. Označavanjem jediničnih

3

troškova prevoza materijala iz i-tog skladišta do j-tog proizvodnog pogona sa Cij, dolazi se do sledećeg tabelarnog prikaza tih troškova (tabela 9.2):

Tabela 9.2

SkladištaProizvodni pogoni

P2 ... Pj Pn

Tabela 9.2 omogućava da se postavi izraz za ciijnu funkciju koja predstavlja minimizaciju ukupnih transportnih troškova materijala M iz svih skladišta do svih proizvodnoh pogona, odnosno:

minT= * * * * * *

* * *

ili u sažetom obliku:

minT= (9.5)

Polazeći od toga da su raspoložive količine materijala M u skladištima jednake potrebnim količinama ovog materijaia proizvodnim pogonima, matematički model transportnog problema, u konaćnom obliku, može se iskazati na sledeći način:a) Funkcija cilja

minT= (9.6)

b) Ograničenja:

= (i=1,2,......,m) (9.7)

= (j=1,2,...,n) (9.8)

= (9.9)

, (9.10)

Model, dakle, sadrži m jednačina oblika (9.7), n jednačina oblika (9.8) i dva uslova: (9.9) i (9.10). U njemu ima ukupno m*n promenljivih. Pri utvrđivanju ma kog mogućeg rešanja ono može biti:

1. nedegenerisano1. degenerisano.

Za rešenje koje sadrži (m+n-1) promenljivih čije su vrednosti veće od nule (Xij>0), dok je ostalih (m-1) (n-1) jednako nuli, kaže se da je nedegenerisano. Na primer, ako je m=3 i n=4, onda nedegenerisano rešenje mora imati 6 promenljivih koje su veće od nule i 6 promenijivih koje su jednake nuli, јег je:(m+n-1)=6

4

(m-1)(n-1)=6Rešenje koje ima manje od (m+n-1) promenljivih da su veće od nule, jeste

degenerisano rešenje.Transportna metoda se može koristiti za rešavanje postavljenog modela u

opštem obliku (a) i (b), samo ako je ispunjen uslov (9.9). Za takve modele se kaže da su zatvoreni. Modeli koji ne ispunjavaju ovaj uslov nazivaju se otvoreni. Uvođenjem jedne nove kolone ili novog reda vrši se proširivanje otvorenog modeia radi njegovog prevođenja u zatvoreni transportni model (odeljak 9.6, obrazac (9.19) ili (9.20)).

2.1. UTVRĐIVANJE POČETNOG REŠENJA

Moguće je nа tri različita načina pronalaženje početnog rešenja onih problema koji se rešavaju primenom transportne metode zasnovane na početnom rešenju, i to:

a. dijagonalni kriterijum ili "levi gornji ugao"b. jedinični koeficijer.tc. najveća razlika izmedu dva najmanja koeficijenta.

Dijagonalni kriterijum

Pronalaženje početnog rešenja na ovaj način dobilo je naziv "levi gornji ugao"

ili dijagonalni kriterijum, zato što počinje od promenljive , koja se nalazi u levom

gornjem uglu, a zatim se nastavlja duž dijagonale (tabela 9.1). Dakte, materijal treba otpremiti iz prvog skladišta (S1) najpre u prvi proizvodni pogon (P1), pa kada se podmire njegove potrebe onda u drugi (P2), takođe do podmirenja potreba, pa u treći (P3) itd, u zavisnosti od raspoloživih kolićina. Pošto se iscrpe raspoložive količine prvog skladišta, prelazi se na drugo (S2) i nastavlja se sa rasporedivanjem materijala na isti način. Početno rešenje je pronađeno onog momenta kada su otpremljene raspoiožive količine iz svih skladišta i podmirene potrebe svih proizvodnih pogona.

Budući da se u istu ruhriku jedne tabele (važi za sve rubrike) unose vrednosti i promenljivih i odgovarajućih jediničnih troškova, da bi smo ih razlikovali (u konkretnim problcmima), to će se vrednosti promenljivih ispisati u sredini rubrike i uokviriti, a vrednosti jcdinićnih troškova u gornjem desnom uglu rubrike. Pored već istaknutih prednosti, jedinstvena tabela omogućava na jednostavan naćin i izračunavanje troškova koji odgovaraju pronadenom rešenju.

Jediničai koeficijent

Dijagonalni kriterijum nije vodio računa o jediničnim prevoznim troškovima, pa je početno rešenje, utvrđeno tim postupkom, dosta udaljeno od optimalnog. Kod kriterijuma - jcdinični koeficijent - upravo se od tih troškova i počinje. Postupak je sledeći:- Posmatra se tabela u celini i odabiraju najmanji jedinični troškovi.- Odrede se vrednosti svih onih promenljivih kojima odgovaraju odabrani jedinični troškovi, respektujući raspoložive količine materijala u skladištima i potrebe proizvodnih pogona.- Postupak se ponavlja sa preostalim (nepodmirenim) delom tabele, sve do konačnog pronalaženja početnog rešenja.

Največa razlika između dva пајтапја koeflcijenta

5

Po ovom kriterijumu odabira se onaj red ili опа kolona u tabeli u kojoj se javlja najveća razlika između dva najmanja koeficijenta iz funkcije cilja. U odabranom redu, odnosno koloni, koristeći kriterijum jediničnih koeficijenata, određuje se promenljiva kojoj prvo treba odrediti vrednost. Na taj način se iz jednog od skladišta udovoiji u potpunosti ili delimično nekom od proizvodnih pogona. Skladište čije su raspoložive količine otpremljene i pogon(i) čije su potrebe zadovoljene isključuju se iz daljeg razmatranja. Preostale kolone i redovi podvrgavaju se istom postupku do konačnog rešenja.2.3. PRONALAZENJE OPTIMALNOG RESENJA

Polazeći od toga da je pronađeno početno rešenje, uz primenu nekog od izloženih kriterijuma, pristupa se pronalaženju optimainog rešenja. Оnо se pronalazi postupno, približavajući se sve više i više optimalnom rešenju, tj. pronalaženju najpovoljnije vrednosti funkcije kriterijuma. S obzirom da se radi o transportnim troškovima to je uglavnom najpovoljnija vrednost funkcije kriterijuma njena minimalna vrednost. Na osnovu početnog rešenja moguće je predložiti izvestan broj rešenja koja dovode do njegove promene. Učinjeni predlozi mogu se nа ciljnu funkciju odraziti tako da:

- nemaju uticaja na promenu njene vrednosti;- izazivaju povećanje njene vrednosti;- izazivaju smanjenje njene vrednosti.

Pri rešavanju transportnih problema najpovoljniji su predlozi koji izazivaju smanjenje vrednosti funkcije cilja, pa kako se među svim predlozima nalazi bar jedan koji u najvećoj mori utiče na smanjenje funkcije cilja to se treba odlučiti za njegovo usvajanje.

Za pronalaženje optimalnog rešenja primenjuju se dve metode:1. Stepping Stone, koju su 1954. godine predložili A. Charnes i V. Cooper.2. Modifikovana metoda.

2.3.1. Stepping stone metodaPrimena ove metode zahteva start od početnog resenja, a zatim utvrđivanje

svih mogućih predloga za njegovu promenu i izbor onog predloga koji dovodi do novog rešenja najbližeg optimalnom.

Da bi se odabrao najpovoljniji predlog, potrebno je utvrditi promenu prevoznih troškova po jedinici robe koja se od i-tog isporučioca upućuje j-tom primaocu, tj:

Gde je sa k1 obeležen broj promenljivih koje u posmatranom rešenju imaju vrednost veću od 0 (xij>0) а po predlogu im treba dodati vrednost ргоmenljive koja konkuriše da uđe u naredno rešenje. Sa k2 obeležen je broj promenljivih koje u posmatranom rešenju imaju, takođe, vrednost veću od 0, ali po predlogu od njih treba oduzeti vrednost promenljive koja konkuriše da uđe u naredno rešenje. Razume se, uvek je k1=k2, radi obezbeđenja uslova (9.4).

Budući da do poboljšanja vrednosti funkcije kriterijuma (njeno smanjenje) dovode samo predlozi (utvrđeni primenorn (9.11)), kod kojih je dij<0, to sve ostale predloge treba odbaciti, а to su oni kod kojih је dij>0. Mcdutim, predlozi sa dij<0, nisu ravnopravni, јег ne izazivaju podjednako smanjenje funkcija cilja. Pošto je cilj minimizacija troškova, tj. što veće smanjenje funkcije cilja, to od svih predloga sa dij<0, treba odabrati onaj koji ima najveću apsolutnu vrednost - max |dij<0†. Kad god se pronađe novo rešenje neophodno je ponovno utvrdivanje razlike jediničnih troškova prema izrazu (9.11). Optimalno rešenje nije pronadeno dokle god postoji

6

makar jedan predlog kod koga je dij<0, ра postupak iterativnog približavanja optimalnom rešenju treba nastaviti. Onog momenta kada se svi predlozi svode na dij>0, optimalno rešenje је pronadeno. Može se pojaviti najmanje onoliko optimalnih rešenja koliko u jednom od njih ima razlika dij=O.

2.3.2. Modifikovana metoda

Do optimalnog rešenja po Modifikovanoj metodi dolazi se na isti način kao i pri primeni Stepping Stone metode, ali je pronađen jednostavniji način za utvrdivanje razlike jediničnih troškova - dij. Polazi se od početnog rešenja takode, ali nije potrebno da se u narednim tabelama označavaju isporućioci (u redovima) i primaoci (u kolonama), već se na njihovo mesto unose (novo uvedene) dualne promenljive i to:

- ; i = 1,2, 3,... m - za isporućioce,

- ; j =1,2, 3,... n - za primaoce.

Vrednosti novouvedenih dualnih promenljivih utvrduju se primenom obrasca:

, za svako Хiј > 0 (9.12)

Kako je vrednost za svako Cij poznata, to se na osnovu (9.12) dobija sistem jednačina koji se sastoji od (m+n) promenljivih i (m+n-1) jednačina u slučaju nedegenerisanog rešenja. Tako dobijen sistem jednačina rešava se na taj naćin što se jednoj promenljivoj proizvoljno određuje vrednost, a ostale se dobijaju daljim rešavanjem sistema.

Da bi se odredila promenljiva koja u narednoj iteraciji treba da dobije vrednost Хiј > 0, ili da bi se saznalo da li je pronađeno optimalno rešenje, neophodno je da se utvrde razlike dij. Naravno, da i pri primeni modifikovane metode relevantne su samo

razlike dij<0, jer se traži minimalna vrednost funkcije kriterijuma. Razlike utvrđuju

se samo za promenljive Xij=0, pošto jedino tada može da se dođe do novog rešenja.Pri proračunu ovih razlika koristi se relacija:

, za svako Хј = 0 (9.13)

Dalji postupak je identičan onom koji je već opisan pri interpretaciji Stepping Stone metode, pa nema potrebe za njegovim ponavljanjem.

REŠAVANJE ZADATAKA I ANALIZA REZULTATA ( primer 3.5 )

Potrošačkim centrima jednog okruga je potrebno : - 40 transportnih jedinica

robe R, - 30 jedinica. Međutim, domaći proizvođači mogu

proizvesti samo 100 transportnih jedinica ove robe i to : - 30 jedinica, - 20

jedinica i - 50 jedinica . Jedna transportna jedinica sadrži 1000 komada robe R.

Transportni troškovi po jedinici proizvoda dati su u sledećoj tabeli :

7

a) Izvršiti raspodelu raspoloživih količina ali tako da ukupni transportni troškovi

budi minimalni. Izračunati te troškove.

b) Koliko košta prevoz robe od proizvođača pri rešenju utvrđenom pod a).

c) Koji potrošački centar ne podmiruje svoje potrebe i za koliko?d) Da li postoji još neko rešenje izuzev rešenja utvrđenog pod a). Ako postoji

pronaći ga.

a)S obziromda potrebe potrošačkih centara ne mogu da budu u potpunosti

zadovoljene jer je :

≠

To je neophodno uvođenje fiktivnog proizvođača , čija se fiktivna proizvodnja

utvrđuje na sledeći način :

= - = + + - - -

= 40+50+30-(30+20+50)=20

Utvrđivanje početnog rešenja uz primenu dijagonalnog kriterijuma dovodi do sledeće tabele :

ProizvođačiPotrošački centar Raspoloživa

količina4

306 10

30

610

310

720

6 540

910

50

0 0 020

20

Potrebna količina

40 50 30 120/120

Za pronalaženje optimalnog rešenje koristiće se modifikovana metoda, pa je neophodno utvrđivanje vrednosti dualnih promenljivih, što obezbeđuje prilagođavanje predhodne tabele za dalji rad.

4 1 5

04

306 10

30

26

103

107

20

8

ProizvođačPotrošački centar

4 6 10

6 3 7

6 5 9

46 5

409

1050

-50 0 0

2020

40 50 30

m+n-1= >O

m+n-1=3+4-1=6 → Pošto je ispunje uslov, početno rešenje je nedegerisano.Sada određujemo sistem jednačina dualnih promenljivih:>0, = + =4 ⟹ =0 , = 4

>0, = + =6 ⟹ =2 , = 4>0, = + =3 ⟹ =2 , = 1>0, = + =5 ⟹ =4 , = 1>0, = + =9 ⟹ =4 , = 5>0, = + =0 ⟹ = -5 , = 5

- ( + ) =6-(0+1)=5

- ( + ) =10-(0+5)=5

- ( + ) =7-(2+5)=0

- ( + ) =6-(4+4)= -2⟵ - ( + ) =0-(-5+4)=1

- ( + ) =0-(-5+1)=4

Rešenje je moguće ali nije optimalno jer je -2<0. Promenljiva dobija

pozitivnu vrednost u narednoj iteraciji. Primenom poznate procedure dolazi se do naredne tabele.

610

310

6 540

min( 10,40 ) = 10

4 3 7

04

306 10

30

06 3

207

20

9

6 320

610

530

26

105

309

1050

-70 0 0

2020

40 50 30 120/120

>0, = + =4 ⟹ =0 , = 4>0, = + =3 ⟹ =0 , = 3>0, = + =6 ⟹ =2 , = 4>0, = + =5 ⟹ =2 , = 3>0, = + =9 ⟹ =2 , = 7>0, = + =0 ⟹ = -7 , = 7

- ( + ) =6-(0+3)=3

- ( + ) =10-(0+7)=3

- ( + ) =6-(0+4)= 2

- ( + ) =7-(0+7)=0

- ( + ) =0-(-7+4)=3

- ( + ) =0-(-7+3)=4

Optimalno rešenje je pronađeno jer nepostoji < 0. Da bi ukupni transportni

troškovi bili minimalni raspodela raspoloživih količina robe R mora biti sprovedena na sledeći način :

Potrošačkom centru , treba isporučiti ukupno 40000 jedinica robe R :

Proizvođač isporučuje 30000 jedinica


Potrošačkom centru , treba isporučiti ukupno 50000 jedinica robe R :



Potrošačkom centru , treba isporučiti ukupno 10000 jedinica robe R:

Proizvođač isporučuje svih 10000 jedinica robe.

= *

10

= 4*30000+3*20000+6*10000+5*30000+9*10000+0*20000

= 480000 n.j.

b)

= = 6*10000+5*30000+9*10000 = 300000 n.j.

c)

Potrošački centar ne podmiruje svoje potrebe za 20000 jedinica robe R, pa

je primoran na uvoz.d)

Pošto je razlika =0 postoji još jedno optimalno rešenje. Do drugog

optimalnog rešenja se dolazi na vrlo jednostavan način : potrebno je samo dati

pozitivnu vrednost promenljivoj i kao posledicu toga izvršiti novo usklađivanje

zahtevanih i potrebnih količina. Novo rešenje prikazano je u narednoj tabeli :

4 3 7

04

306 10

30

06 3

107

1020

26

105

409

50

-70 0 0

2020

40 50 30 120/120

11

transportni problem

Documents