transporte, problemas ejercicios

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL FAC. REG. RAFAELA Docentes: Lic. Elda G. de Huck Lic. Cristian Bergesse Ctedra: Investigacin Operativa

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EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

La TCNICA DE TRANSPORTE se puede aplicar a todo problema fsico compatible con el siguiente esquema:

TRANSPORTE DE UNIDADES Donde transporte de unidades puede ser, por ejemplo: flujo de energa transporte de mercaderas prestaciones de servicios transporte de materia prima etc. OBJETIVO: Minimizar los costos de transporte desde las fuentes a los destinos. DEFINICIN DEL MODELO: Suponemos: m fuentes i n destinos j a i ( i = 1,..., m) n de unidades disponibles en la fuente i bj (j = 1, ...,n) n de unidades demandadas por el destino j. c i j costo de transporte de una unidad desde la fuente i al destino j x i j n de unidades transportadas desde las fuente i al destino j. REPRESENTACIN MATEMTICA:

MIN Z = c i j x i j Sujeto a:

x i j = a i i = 1,..., m ( restricciones de disponibilidad)

x i j = b j j = 1,..., n ( restricciones de demanda) x i j >= 0 i ; j Las etapas bsicas para resolver un Problema de Transporte son:

FUENTES DESTINOS


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Etapa 1: Balancear el problema Etapa 2: Encontrar una solucin bsica factible inicial Etapa 3: Optimizacin Etapa 1: Para que un problema est balanceado el n de unidades disponibles debe ser igual al n de unidades requeridas. Cuando la condicin de balance no se cumple naturalmente, se utilizarn fuentes o destinos ficticios para balancear el problema y poder aplicar la Tcnica de Transporte.

Si la demanda excede el suministro, se utilizar una fuente ficticia que suministra la cantidad faltante. Si la disponibilidad excede la demanda se utilizar un destino ficticio que consuma la cantidad sobrante.

Los costos utilizados en las fuentes o destinos ficticios deben ser todos iguales, convenimos en que sean cero. Etapa 2: Encontrar una solucin bsica factible inicial (S.B.F.I.) Hay varios Mtodos para encontrar una solucin inicial. Aqu veremos dos de ellos: El Mtodo del Extremo Noroeste (Regla del Noroeste) El Mtodo del Mnimo Costo Utilizaremos la siguiente matriz de costos para desarrollar ambos Mtodos:

D1 D2 D3 D4 D5 D6 Disponib. O1 8 5 2 7 3 9 100 O2 5 7 4 5 8 6 250 O3 9 3 6 4 2 7 300 O4 4 8 2 5 1 9 180

requerim. 70 130 140 150 150 190 830 Regla del Noroeste El algoritmo es el siguiente: Asignar la mayor cantidad posible a la variable x 11 La columna (fila) satisfecha es tachada, indicando que las restantes variables de

esa columna (fila) no son bsicas


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Continuar asignando la mayor cantidad posible a la prxima variable de la columna o fila no tachada

El algoritmo finaliza cuando queda solo sin tachar una fila o una columna que es

la que recibe la cantidad restante Una vez realizada la asignacin, corroborar que la cantidad de asignaciones sea

igual a m + n 1 . En nuestro ejemplo la S.B.F.I. por Noroeste es: (tabla 1)

D1 D2 D3 D4 D5 D6 Disponib. O1 70 30 - - - - 100 O2 - 100 140 10 - - 250 O3 - - - 140 150 10 300 O4 - - - - - 180 180

requerim. 70 130 140 150 150 190 830 Z = 70 x 8 + 30 x 5 + 100 x 7 + 140 x 4 + 10 x 5 + 140 + 4 + 150 x 2 + 10 x 7 + 180 x 9 = $ 4570 Mtodo del Mnimo Costo El algoritmo es el siguiente: Asignar la mayor cantidad posible a la variable que posee el menor costo

unitario, en caso de existir ms de una elegir arbitrariamente. La columna o fila satisfecha se tacha. Continuar asignando la mayor cantidad posible a la variable no tachada con

menor costo unitario El algoritmo finaliza cuando slo queda sin tachar una fila o una columna que

recibe lo que qued sin asignar an. Una vez realizada la asignacin, corroborar que la cantidad de asignaciones sea

igual a m + n 1 . En nuestro ejemplo la S.B.F.I. por Mnimo Costo es: (tabla 2)

D1 D2 D3 D4 D5 D6 Disponib. O1 - - 100 - - - 100 O2 70 - 10 - - 170 250 O3 - 130 - 150 - 20 300 O4 - - 30 - 150 - 180

requerim. 70 130 140 150 150 190 830


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Z = $ 2950 Etapa 3: Optimizacin Para optimizar utilizaremos el Mtodo iterativo MODI. Mtodo MODI Trabajaremos con una matriz de costos indirectos. Los costos indirectos cumplen la condicin: que se pueden descomponer en un valor u i correspondiente a fila y otra v j correspondiente a columnas. (C i j = u i + vj ). Cmo lo aplicamos en el Mtodo MODI? Luego de obtener una S.B.F.I. construimos una nueva matriz en la cul ubicamos los valores de la matriz inicial de costos en aquellos lugares donde aparecen las soluciones (asignaciones de valores) correspondientes a la 1era. Solucin (utilizar la solucin encontrada por Mnimo Costo); luego fijamos un valor marginal ( ui o vj) y automticamente quedarn fijados todos los restantes. En nuestro ejemplo: (tabla 3)

D1 D2 D3 D4 D5 D6 u i O1 3 0 2 1 1 4 1 O2 5 2 4 3 3 6 3 O3 6 3 5 4 4 7 4 O4 3 0 2 1 1 4 1 vj 2 - 1 1 0 0 3

Luego de construir esta tabla hacemos la diferencia entre ella y la tabla de costos iniciales,; esta diferencia puede ser mayor, menor o igual a cero. Si la diferencia es negativa colocamos el signo _ en la tabla de costos indirectos, si es positiva colocamos el signo + y el resultado de la operacin y si es cero colocamos 0. Las diferencias con signo + son las que nos interesan, ya que nos indican que podemos mejorar la solucin anterior introduciendo en ese lugar una nueva solucin, en nuestro ejemplo la introducimos en el casillero (3, 5), indicamos esto colocando en la tabla 2 un

; luego construimos un circuito cerrado que tome a lo largo de filas y columnas otros elementos (asignaciones distintas de cero). Los circuitos pueden ser nicos o no, se elige cualquier sentido para realizarlo, pues la solucin no vara. Si hay ms de una diferencia positiva elegimos el casillero que da la mayor diferencia, si hay 2 o ms diferencias positivas iguales y menores elegimos el que corresponde al menor costo en la tabla de costos iniciales. Luego colocamos signos + y en forma alternada empezando por + en los vrtices del polgono determinado por el circuito (este vrtice siempre debe tener un valor).


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Cmo elegimos el valor a introducir en el casillero (3,5)?.

Al valor a introducir lo llamamos y deber cumplir la condicin de ser el mnimo de los valores que poseen el signo + en el circuito, en nuestro ejemplo:

= mn ( 20, 10, 150) = 10. Construimos una nueva tabla (Tabla 4), colocando en el casillero (3,5) el valor 10, los valores que no eran vrtices o no pertenecan al circuito se mantienen y los vrtices del

polgono que tenan signo + cambian colocando en su lugar el valor anterior menos y

los que tenan signo negativo cambian por la suma del anterior y . (tabla 4)

D1 D2 D3 D4 D5 D6 Disponib. O1 - - 100 - - - 100 O2 70 - - - - 180 250 O3 - 130 - 150 10 10 300 O4 - - 40 - 140 - 180

requerim. 70 130 140 150 150 190 830 Z = $ 2930 Volvemos a repetir el proceso (hacer tabla de costos indirectos). Continuar como ejercicio y comprobar que se alcanza el ptimo en Z = $2920. Podemos observar que al hacer la diferencia entre la tabla de costos indirectos y la de costos iniciales aparecen ceros en aquellos lugares que corresponden a las asignaciones (en nuestro caso hay 9 asignaciones), con lo que podemos afirmar que si el nmero de soluciones es n deben aparecer como mnimo n ceros; si aparecen ms significa que el problema tiene soluciones alternativas.


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MODELOS O PROBLEMAS DE ASIGNACIN PERSONAL

EL PROBLEMA DE ASIGNACIN se aplica a todo problema que requiere asignar m elementos (tareas, mquinas, equipos, operarios, etc.) a otros n elementos (mquinas, tareas, equipos, operarios, etc.), disponindose de ms de una alternativa de asignacin posible. Para simplificar el tema y sin prdida de generalidad, consideremos el caso particular de asignar m tareas a n mquinas. OBJETIVO Asignar las tareas a las mquinas (una tarea por mquina) de tal forma de optimizar un ndice de performance (objetivo) establecido. En nuestro caso particular ser minimizar el costo total de asignacin. Este problema es un caso particular del PROBLEMA DE TRANSPORTE en el cul las FUENTES son cada una de las tareas y los DESTINOS cada una de las mquinas, la disponibilidad de cada fuente es 1 y la demanda de cada destino es 1. REPRESENTACIN TABULAR MQUINAS

1 2 ..... j ...... n Ai 1 C11 C12 C1j C1n 1

.... ... ... ... ... ... ... ... i Ci1 Ci2 CiJ Cin 1

.... ... .... ... ... ... ... ...

TAREAS m Cm1 Cm2 Cmj Cmn 1 Bj 1 1 ... 1 .... 1

Ai: disponibilidad Bj: requerimientos REPRESENTACIN MATEMTICA:

MIN Z = c i j x i j Sujeto a:

x i j = 1 i = 1,..., m ( restricciones de disponibilidad)

x i j = 1 j = 1,..., n ( restricciones de demanda) x i j = 0 x i j = 1 i ; j


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donde: x i j = 0 si la i-sima tarea no es asignada a la j-sima mquina x i j = 1 si la i-sima tarea es asignada a la j-sima mquina Por lo tanto un problema de Asignacin Personal puede resolverse por el Mtodo Simplex. Condicin de balance: Para que un problema est balanceado el n de tareas a asignar debe ser igual al nmero de mquinas. Cuando no se cumple la condicin de balance ser necesario adicionar tantas tareas o mquinas como sea necesario para balancearlo Los costos utilizados en las tareas o mquinas ficticias deben ser todos iguales. RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN EL MTODO HNGARO Para explicar los pasos del Mtodo Hngaro utilizaremos el siguiente ejemplo: Se desea asignar en forma ptima 7 trabajos a 7 equipos. La tabla siguiente muestra los costos que ocasionaran cada una de las posibles asignaciones. Tabla 1

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 T1 8 9 3 6 1 6 4 T2 9 4 3 5 9 7 10 T3 6 8 4 11 8 5 9 T4 11 7 7 12 3 9 4 T5 1 9 10 7 9 7 7 T6 16 14 13 14 12 11 6 T7 14 4 12 5 1 1 9

Mnimo 1 4 3 5 1 1 4 Mtodo Hngaro El algoritmo es el siguiente: 1) Se eligen los valores mnimos de cada una de las columnas de la matriz de

costos (tabla 1) y se anotan en el margen inferior (lo hacemos en la tabla 1). 2) Formamos una nueva matriz restando a los elementos de la tabla 1 (por

columna) los elementos que figuran en el margen inferior de la misma.


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Tabla 2 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Mnimo

T1 7 5 0 1 0 5 0 0 T2 8 0 0 0 8 6 6 0 T3 5 4 1 6 7 4 5 1 T4 10 3 4 7 2 8 0 0 T5 0 5 7 2 8 6 3 0 T6 15 10 10 9 11 10 2 2 T7 13 0 9 0 0 0 5 0

Podemos observar que en la tabla 2 aparecen varios ceros, stos son de gran importancia en la resolucin del problema. Definicin Llamaremos ceros esenciales o independientes a aquellos ceros que son nicos en su fila o en su columna. En la tabla 2 es esencial el cero de la posicin x 47, por ejemplo. El Mtodo Hngaro busca que efectuando transformaciones en la matriz inicial de costos aparezcan sobre la nueva matriz ceros esenciales. 3) Se trazan el menor nmero de lneas posibles sobre filas, sobre columnas o en

forma combinada sobre filas y columnas que cumplan la condicin de cubrir todos los ceros de la matriz.

Llamaremos con n 1, al nmero de lneas que cubren los ceros y con n al nmero de filas o columnas de la matriz de los datos. Para hacer la prueba de optimidad comparamos n 1 con n y si: n 1 < n el problema an no est resuelto y debo continuar con el mtodo. n 1 = n el problema finaliz y se lleg a la solucin ptima. En el ejemplo n 1 < n entonces: 4) Colocamos ahora en la tabla 2 los mnimos por fila en el margen derecho y

procedemos a hacer una nueva tabla (tabla 3), restando a las filas de la tabla 2 el mnimo correspondiente.

Tabla 3 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7

T1 7 5 0 1 0 5 0 1 T2 8 0 0 0 8 6 6 0 T3 4 3 0 5 6 3 4 1 T4 10 3 4 7 2 8 0 1 T5 0 5 7 2 8 6 3 0 T6 13 8 8 7 9 8 0 1 T7 13 0 9 0 0 0 5 0

0 0 - 1 0 - 1 0 - 1

h


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Tachamos los ceros y nuevamente n 1 < n por lo tanto, el problema no lleg al ptimo, continuamos con un proceso cclico que consiste en lo siguiente: 5) Se elige de las filas o columnas descubiertas el valor mnimo que

llamaremos h, este mnimo se ubica en el margen de la derecha en aquellos lugares que corresponde a una fila descubierta y el valor cero en las filas cubiertas.

En el margen inferior colocamos el valor - h (h cambiado de signo) en aquellos lugares que corresponde a columnas cubiertas (tabla 3). En nuestro ejemplo h = 1 Se forma entonces una nueva matriz o tabla restando a cada uno de los elementos de la ltima matriz sus dos valores marginales correspondientes.

En el ejemplo obtenemos:

Tabla 4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7

6 4 0 0 0 4 0 0 T2 8 0 1 0 9 6 7 0 T3 3 2 0 4 6 2 4 0 T4 9 2 4 6 2 7 0 2 T5 0 5 8 2 9 6 4 0 T6 12 7 8 6 9 7 0 2 T7 13 0 10 0 1 0 6 0

0 0 0 0 0 0 - 2 h

Como n 1 < n el problema an no est resuelto y debo continuar con el mtodo. Comenzamos entonces el proceso cclico, repito el paso 5) eligiendo h = 2. La nueva matriz ser: Tabla 4

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 T1 6 4 0 0 4 2 T2 8 0 1 0 9 6 9 T3 3 2 [0] 4 6 2 6 T4 7 0 2 4 0 5 T5 [0] 5 8 2 9 6 6 T6 10 5 6 4 7 5 [0] T7 13 10 1 [0] 8

Como n 1 = n el problema est resuelto. Cmo realizamos las asignaciones? Se hacen primero las asignaciones fijas en aquellos lugares donde estn los ceros esenciales.


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En nuestro ejemplo tenemos 4 ceros esenciales por lo que tendremos 4 asignaciones fijas. Y las restantes cmo las elijo, ya que hay que hacer 7 asignaciones? stas se hacen en aquellos lugares donde aparecen los otros ceros en la matriz final (tabla 5), podemos observar que hay 6 ceros no esenciales de los cules hay que elegir 3 para que se cumpla la condicin de que ningn equipo se quede sin utilizar y ningn trabajo sin realizar y cuidando de que no se otorgue dos o ms trabajos a un mismo equipo (asignacin 1 a 1). Teniendo en cuenta lo anterior la eleccin de los ceros se hace en forma arbitraria ya que con cualquier eleccin posible el costo total ser el mismo. Podemos hacer lo siguiente: Asignaciones fijas:

T5 E1

T3 E3

T7 E6

T6 E7 Restantes Asignaciones

T2 E2

T1 E4

T4 E5 El costo total mnimo ser de $ 25. Realizar como ejercicio otras asignaciones, modificando la eleccin de los ceros no esenciales.

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