transporte de solutos en un medio poroso · medio poroso •en el transporte de solutos por un...

TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA

COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I

POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y

CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN

AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO

• En el transporte de solutos por un fluido un supuesto

básico e implícito es que la velocidad sea conocido de

antemano; en particular, la velocidad del fluido es un

dato. Se asume también que el fluido se localiza en los

poros del medio poroso y que dicho medio está

saturado, es decir que el fluido llena completamente los

poros. Aun cuando el medio está saturado, el fluido no

llena el espacio físico debido a que parte de él es

ocupado por la matriz sólida.


• El modelo matemático básico para la clase de sistemas

estudiados aquí ya se introdujo previamente. Recapitulando, la

masa de soluto contenida en cuerpo e un sistema poroso,

constituido por la matriz sólida y el fluido, es dado por la

integral

porosidad la es ,

fluido del volumen de unidadpor soluto de masa

soluto, delión concentrac la es ,

,,

tx

txc

donde

dxtxctxtMtB

S


dispersión-difusión de procesos los a enteprincipalm debido

soluto, del masa de flujo el es ,

soluto de mas de fuentes las representa ,

,,,

:es global balance deecuación la parte, otraPor

tx

txg

donde

dxtxntxdxtxgtdt

dM

S

S

tBS

tBS

S

SSgvct

εc

gobernante ldiferenciaecuación laen econsistent

básico, matemático modelo el obtiene se

continuos, modelos de axiomátican formulació la Aplicando

PROCESOS DE TRANSPORTE


solución. la de volumen de

unidadpor soluto de masa decir, es soluto, del masa lacon asociada

intensiva propiedad la esy soluto delión concentrac la es Donde

:es poroso medioun en solutos de e transportdel local balance

de ldiferenciaecuación La obtenido. es básico matemático modelo el

continuos modelos los de axiomátican formulació la Aplicando

x,tc

gvct

cSS


soluto. del masa de externa fuente la ,

y soluto, del masa de flujo ,

fluido, de partícula la de velocidadla ,

:de acerca icay tecnológ científican informació

de suministro el necesita e transportdeecuación La

.dispersión-difusión

y vosconservati-no procesos

advección,

:e transportde procesos tresdistinguirpueden Se

S

S

g

τ

v

PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de advección

UvvU 1;

por asrelacionadson que es, velocidaddos estas entre

distinción laen cuidadoponer necesario Es

U.Darcy, de velocidadlay

v,, partículas las de velocidadla

:definidasser pueden es velocidadclasesde Dos

PROCESOS NO-CONSERVATIVOS

PROCESOS NO-CONSERVATIVOS

La generación de solutos puede ocurrir por

• reacciones químicas,

• decaimiento radiactivo y

• adsorción del soluto por la matriz sólida.

PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Procesos irreversibles de primer orden

cgg

g

g

gg

SS

S

S

SS

,radiactivo odecaimient del paray

orden primer de químicas reacciones las para Entonces

fluido. del volumen de

unidadpor tiempode unidadpor masa de fuente la es

fluido, sólido sistema elpor

ocupado físico espacio del volumen de unidadpor

tiempo,de unidadpor soluto de masa la representa

:Donde

:es poroso medion en contenido es fluido que elen caso elen

masa de fuente laexpresar para econvenientnotación Una

PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción

• El fenómeno de adsorción es el fenómeno que ocurre debido a la presencia de la matriz sólida cuando el transporte de solutos toma lugar en un medio poroso.

• Un tratamiento preciso y riguroso de la adsorción, que tomo lugar en el sistema fluido-sólido, requiere aproximarlo como un sistema hecho de dos fases y dos componentes;

– Las fases son la matriz sólida y el fluido contenido en ella.

– Las componentes son el soluto disuelto en el fluido y el soluto contenido en la sustancia sólida que constituye la matriz sólida.


sólido). de masapor soluto de (masa

sólida fase laen soluto del masa defracción la ,

poroso); medio de n totalpor volume sólido de (masa

sólida fase la de aparente, densidad la ,1

sólido); den por volume sólido de (masa

sólida fase la de densidad la ,

sólida; fase la a fluida fase la de

vaque soluto de masa de fuente la ,

fluida; fase la a sólida fase la de

vaque soluto de masa de fuente la ,

:oconstruirl para usada seránotación siguiente la s,componente

dosy fases dos de adsorción, de modelo elaproximar Para

S

Sb

S

f

f

S

g

g


).( sólida, matriz laen adsorbida soluto de masa La (3)

);( sólida, matriz la constituye que sustancia la de masa La (2)

);( fluido, elen disuelta soluto de masa La (1)

:miembros trestiene

basado esadsorción de proceso del matemático modelo

el cual laen extensivas spropiedade de familia La

tM

tM

tM

Ss

M

S


dxtxgtt

M

tt

M

dxtxntxdxtxgtt

M

dxdxtM

dxdxtM

dxtxctxtM

tB

S

f

S

M

tBS

tB

f

SS

tBS

tBbSs

tBS

tBbM

tBS

s

,

0

,,,

son ientescorrespond global balance de ecuaciones Las

1

1

,,

ecuaciones siguientes laspor dadasson extensivas spropiedade Las


S

f

S

b

S

f

S

bb

S

bb

f

SS

f

S

S

f

gvt

gvt

vt

gvct

c

gg

por remplazar puede se última Esta

0

son ientescorrespond local balance de

ecuaciones treslas global, balance de ecuaciones las De

. 0 masa deón conservacipor Además,


dc

dK

t

c

dc

dgc

tgg

d

b

f

S

b

S

f

f

S

:como define seón distribuci de ecoeficient El

;

fluido elen ión concentrac la defunción es

sólida fase laen soluto del masa defracción la Si

reposo,en está sólida matriz la si cero es sólido del velocidadla Como


nretardació de ecoeficient el es y natura logaritmo el es Ln Donde

1

Ln

:forma siguiente

la deescribir suele seecuación esta esaplicacion diferentesEn

es balance deecuación primera la Y

soluto. delión concentrac la de nteindependie esón distribuci de ecoeficient el

lineal,función una es soluto de masa defracción la queen especial caso elEn

11

R

Kdc

dR

tcvc

t

cR

t

cKvc

t

c

dbb

S

Sdb


S

S

S

vct

c

RvcRt

c

vct

cR

en convierte seadsorción ocurre no si Además

como escritaser puede su vez a Que

esecuación la bleincompresi e homogéneo es poroso medio el Cuando

a.introducid ranomenclatu la bajo motivación la considerar útilmuy Es

11


R a igualfactor un por retardadosson advección de procesos los

adsorción de procesosocurren cuando decir, es mente;respectiva

ay a igualesadvección de dadescon veloci e transportde

modelosson que ver hace anteriores dos las den comparació La

1 vvR-

PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN


.dispersión de tensor denominada matriz una es

soluto, de masa

de flujo el ndorepresenta vectorialcampo el es , Donde

,

:forma la de escrita usualmente es aplicación de clase esta para

libres); fluidosen (comoFick deley

la de mediopor modeladosn son tambiédifusión de procesos

los poroso medioun en solutos de e transportdel caso elEn

D

tx

cDtx

S

S


sólida. matriz la de

estructura la de adaleatoried la a atribuible fluido del flujo

del ad tortuosidla a debido es cual el mecánica, Dispersión2.

co;microscópi nivel a ocurre que

Brouniano movimiento al debido es cual el Molecular,Difusión 1.

:fenómenos de clases diferentes doscoexisten esteen que es poroso, medio

un en contenido fluidoun en ocurren que losy libre fluidoun en

ocurren quedifusión de procesos entre l,fundamenta diferencia Una


molecular.difusión la que tesignifican

más usualmente es mecánica dispersión de

efecto el movimientoen está fluido el cuando reposo;en

está fluido el cuando ocurre no mecánica dispersión La

mecánica; dispersión

de tensor el másmolecular difusión de tensor

del suma la como expresado es dispersión de tensor El

Mm

mMDDD

DD

D


ad. tortuosiddenominado esy

1, quemenor siempre ecoeficienty real númeroun es Donde

por definido

isotrópicoun tensor es prácticas, esaplicacionen

usado es comoy textode libros los de mayoría

laen dado es como molecular,difusión de tensor Elm

ijd

m

ijDD

D


v

vvDDvDD

Dv

v

D

ji

TLjiT

M

ji

forma siguiente la tienematriz la que ver puede Se

. de simetría de ejeun es de

dirección la , fluido, del velocidadla de magnitud la a

alesproporcionson matriz la de propios valoreslos Todos

.preferentedirección

una como velocidadla a fluido de partículas las teniendo

co,anisotrópi es mecánica dispersión de tensor El

M

M


U

UUDDUDD

D

DvDvD

D

ji

TLjiT

M

ji

a eequivalent es entoncesy

tensor elexpresar paraDarcy deley la Aplicando

mente.respectiva sal,y transver allongitudin

mecánica daddispersivi de ecoeficient llamadosson y

mente.respectiva ,y propios scon valore

, de reseigenvectoson )(ortogonal ella a ltransversa

dirección cualquier y fluido del velocidadla dedirección La

T

LTL

M


cvDcD

cvDcD

T

M

L

M

velocidadla de a ltransversadirección

la ión tieneconcentrac de gradiente el Cuando2.

velocidadla dedirección misma

la ión tieneconcentrac de gradiente el Cuando1.

:relevantesson nesobservacio siguientes lasción interpreta Como


n

cvDcDnn

n

cvDcDnn

T

M

mec

L

M

mec

fluido del velocidadla a

lar perpendicu es frontera la a normal unitario vector el Entonces

frontera. la a paralelo es fluido del velocidadLa2.

fluido del velocidad

la a paralelo es frontera la a normal unitario vector el Entonces

frontera. la alar perpendicu es fluido del velocidadLa1.

:casos dosán considerar Se

mecánica. dispersión a debido cuerpoun de frontera laen punto

un de travésa masa de flujo elevaluar relevante esTambién


poroso. medio del ad tortuosidlapor modificado es pero ,isotrópico

molecular difusión solo tienese libre, fluidoun de caso elen Como

Entonces

reposo.en está fluido el cuando caso el oconsiderad esTambién

ijdd

m

ijij DDD

LAS ECUACIONES PARA

TRANSPORTE DE SOLUTOS EN

MEDIOS POROSOS

LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS

S

S

S

gcDcDvtD

Dc

tD

cD

gcDvtD

D

tD

cDc

gcDvct

c

1LnLn

:enar transformpuede se su vez a Esta

LnLn

:en arse transformpuedeecuación Esta

:difusivo soluto de flujo elincluir por obtiene se

poroso medioun en solutos de e transportel gobierna

que general, formaen básica, ldiferenciaecuación La


SgcDcDtD

cD

vDt

D

vt

1Ln

aquí De

0Ln

ementeequivalent o

0

tienese bleincompresi es fluido el Cuando


S

S

gcDcvt

c

gcDtD

cD

1

1

enteexplícitam más O,

despreciar sepuede Ln si realmente

:homogénea es sólida matriz la Si


as.subterráne aguas

deión contaminac la de modelado elen enteextensivam

usadasson anteriores sgobernante ecuaciones las Todas

:a reduce seecuación la difusivo-no e transportPara

a reduce seecuación esta reposo,en está fluido el Cuando

1

1

S

S

gcvt

c

gcDt

c


S

S

S

gcv

gcD

gcDcv

1

1

1

son ientescorrespond

ioestacionar estado elgobiernan que ecuaciones Las

PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS

• Los correspondientes problemas bien planteados son

esencialmente los mismos que aquellos que ocurren en el

transporte de solutos por un fluido libre que ya fueron

discutidos.

transporte de solutos en un medio poroso · medio poroso •en el transporte de solutos por un...

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