transpor polutan - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/transpol/ts transpor...

TRANSPOR POLUTAN Pollutan Transport April 14

Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis

Transpor Polutan

Rerensi Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England

2

Transpor Polutan di Sungai 3

¨  Sungai tercemar polutan ¤ Sungai Songhua, China, November 2005 ¤ Sungai Danube, Eropa, Oktober 2010

q More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005 §  http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm §  webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

6

Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010

7

q More stories on Danube River pollution in October 2010 §  http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540 §  webarchive file §  http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-

hungary-sludge §  webarchive file

9

Transpor Polutan 10

¨  Mekanisme penyebaran polutan di sungai ¤ Difusi

n penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi n bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)

¤ Konveksi n penyebaran yang dipicu oleh aliran fluida (air)

Difusi 15

¨  Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.

¤ k = konstanta = koefisien difusi = diffusivity n k merupakan parameter karakteristika fluida (polutan) n k bergantung pada temperatur dan tekanan

qf= −k∇cf qf

= −k

∂cf∂xi

qf= −k grad

cf

Difusi 16

¨  Sifat proses difusi ¤  tidak dapat kembali (irreversible) ¤ mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

¨  Contoh difusi ¤ difusi massa ¤ difusi panas/thermal ¤ difusi momentum

Difusi 17

¨  Difusi massa à Fick’s law

¨  Difusi panas à Fourier’s law

¨  Difusi momentum à Newton’s law

qm ,i = −εm∂cf∂xi

qh ,i = −ρ ah Cp∂T∂xi

ρCp = konstan( )

qmt ,ij = −ρ ν∂Vi∂xj

ρ = konstan( )

Konveksi-Difusi 18

¨  Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa ¨  Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi

¨  Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh: ¤  beda konsentrasi (gradien) à difusi ¤  aliran à konveksi

∂c∂t

+V⋅grad

ckonveksi = div εm grad

c( )

difusi

Konveksi-Difusi 19

¨  Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius

¨  Dalam medium air diam, tidak ada aliran, maka kecepatan nol, sehingga tidak ada konveksi

∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= εm∂2c∂x2

+ ∂2c∂y2

+ ∂2c∂z2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟← εm konstan

∂c∂t

= εm

∂2c∂x2 +

∂2c∂y2 +

∂2c∂z2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟← εm konstandifusi

murni

Konveksi-Difusi (Turbulen) 20

§  Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen

§  Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah

§  Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula

0.56

0.60

0.64

0.68

0.72

0 50 100 150 200

kece

pata

n [m

/s]

waktu [detik]

kecepatan rata-rata

u = u + ′u

u ′u

′u

v = v + ′v

w = w + ′w

c = c + ′c


q  Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂c∂t+V!"⋅grad! "!!!

c = div εm +εt( )grad! "!!!

c$%

&'

§  Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada koefisien difusi molekuler, εt >> εm

§  Pada bahasan mengenai konveksi-difusi turbulen, difusi molekuler diabaikan


q  Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

§  dituliskan dalam koordinat cartesius

εm + εt ⇒ εt karena εt ≫ εm

Penyelesaian analitis persamaan difusi

Difusi 23

Persamaan Difusi 24

q  Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran)

∂c∂t+∂uc∂x

+∂vc∂y

+∂wc∂z

=∂∂x

εm +εtx∂c∂x

#

$%

&

'(+

∂∂y

εm +εty∂c∂y

#

$%

&

'(+

∂∂z

εm +εtz∂c∂z

#

$%

&

'(

∂c∂t=∂∂x

εm∂c∂x

#

$%

&

'(+

∂∂y

εm∂c∂y

#

$%

&

'(+

∂∂z

εm∂c∂z

#

$%

&

'(

∂c∂t= εm

∂2c

∂x2+εm

∂2c

∂y2+εm

∂2c

∂z2

u = v = w = 0 ⇒ u = 0⇒εtx = 0 v = 0⇒εty = 0 w = 0⇒εtz = 0

εm = konstan⇒

Difusi 1-Dimensi 25

∂c∂t= εm

∂2c

∂x2

q  Persamaan transpor difusi satu dimensi

§  Difusi satu dimensi, arah x saja

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c ±∞, t( ) = 0

c x, 0( ) = M1 δ x( )

•  M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)

M0 = M1 S •  M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba

•  S adalah luas permukaan

Difusi 1-Dimensi 26

δ x( )dx

−∞

+∞

∫ =1

•  δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)

•  Ingat bahwa massa total M0 harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau

c x, t( )dx

−∞

+∞

∫ = c x, 0( )dx−∞

+∞

∫ = M1 δ x( )dx−∞

+∞

∫ = M1

Difusi 1-Dimensi 27

c x, t( ) = M1

4 π εm texp −

x2

4 εm t

$

%&&

'

())

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:

§  Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M0 •  yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik •  menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x •  konsentrasi maksimum, yang berada di titik x = 0, berkurang seiring dengan

waktu

Difusi 1-Dimensi 28

Difusi 1-Dimensi 29

c x, t( ) = M1

σx 2 πexp −

x2

2σx2

$

%&&

'

())

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:

§  Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

σx

2 t( ) = 2 εm t

§  95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:

W = 2×1.96( ) σx ≈ 4 σx

W

−1.96 +1.96

0.95

Difusi 1-Dimensi 30

εm =

12

dσx2

dt=

12

σx2 t2( )−σx

2 t1( )t2 − t1( )

§  Koefisien difusi dapat dihitung dengan:

•  Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t1 dan t2

Difusi 2-Dimensi 31

q  Persamaan transpor difusi dua dimensi

∂c∂t= εm

∂2c

∂x2+∂2c

∂y2

#

$%%

&

'(( §  Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)


c ±∞,±∞, t( ) = 0

c x, y , 0( ) = M2 δ x, y( )

Difusi 2-Dimensi 32

c x, y , t( ) = Mx

σx 2 πexp −

x2

2σx2

$

%&&

'

())+

My

σy 2 πexp −

y2

2σy2

$

%

&&

'

(

))


§  Jika medium homogen, σx = σy = σ

c x, y , t( ) = M2

σx 2 π( )2

exp −x2 + y2( )2σ2

$

%

&&&

'

(

)))

σ2 t( ) = 2 εm t

M2 = M0 L

Difusi 3-Dimensi 33

q  Persamaan transpor difusi tiga dimensi

∂c∂t= εm

∂2c

∂x2+∂2c

∂y2+∂2c

∂z2

#

$%%

&

'(( §  Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y


c ±∞,±∞,±∞, t( ) = 0

c x, y , z, 0( ) = M3 δ x, y , z( )

Difusi 3-Dimensi 34

c x, y , z, t( ) = M3

σ 2 π( )3

exp −r2

2σ2

$

%&&

'

())


r2 = x2 + y2 + z2

M3 = M0

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 35

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D

c x, t( ) = M1

σx 2 πexp −

x2

2σx2

$

%&&

'

())

§  Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source

c x, t( ) = M1

σx 2 πexp −

x2

2σx2

$

%&&

'

())+exp −

x−2Lp( )2

2σx2

*

+

,,,

-

.

///

0

12

32

4

52

62

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 36

c x, t( ) = 2M1

σx 2 πexp −

Lp2

2σx2

$

%

&&

'

(

))

di dinding

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 37

c x, t( ) = M1

σx 2 πexp −

x2

2σx2

$

%&&

'

())

§  Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

q  Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M0 dimasukkan secara menerus (kontinu) di x = 0

c x = 0, t ≥ 0( ) = c0

c x = ±∞, t ≥ 0( ) = 0 c x > 0, t = 0( ) = 0


c x, t( ) = c0 erfcx

4 εm t

"

#

$$

%

&

''

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu

erfc Y( ) = 2

πe−ξ dξ

Y

∞

∫

•  complementary error function

•  dapat dihitung dengan MSExcel: =ERFC(…)

Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi dalam regime turbulen

Konveksi-Difusi 40


q  Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

§  Koefisien difusi merupakan besaran tensorial

•  koefisien difusi vertikal, εtz •  koefisien difusi transversal, εty •  koefisien difusi longitudinal, εtx

εt

!"!"εtx ,εty ,εtz( )


εtz = κ u∗

zh

h− z( )§  Koefisien difusi vertikal

εtz = 0.067 h u∗( )

§  Koefisien difusi vertikal rerata kedalaman aliran

εtz =

1h

κ u∗zh

h− z( )dz0

h

∫

kedalaman aliran kecepatan geser

z

h U

εtz

εtz


Lz

Jarak Lz = ξz U

h2

εtz

ditempuh dalam waktu tz = ξzh2

εtz

ξz = 0.1

h/2

U

h/2

U h

Lz

ξz = 0.4

U kecepatan rerata kedalaman aliran


§  Koefisien difusi transversal

εty = 0.6 h u∗( )

B U εty = 0.15 h u∗( )

•  di flume

•  di sungai

tepi, tebing

tepi, tebing


Ly

Jarak Ly = ξy UB2

εty

ditempuh dalam waktu ty = ξyB2

εty

ξy = 0.1

B/2

U

B/2

U B

Ly

ξy = 0.5

U kecepatan rerata kedalaman aliran


§  Koefisien difusi longitudinal, searah aliran

B U

εtx = 0.23 h u∗( )•  Difusi longitudinal (searah aliran) yang

ditimbulkan oleh turbulensi aliran umumnya diabaikan karena pengaruh dispersi lebih dominan.

•  Parameter dispersi adalah koefisien dispersi Kx.

tepi, tebing

tepi, tebing

•  Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.

U =U + !U U !U

47

near-field zone of mixing

mid-field zone of mixing

far-field zone of mixing

Konveksi dan Difusi Transversal 48


∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

§  Jika kondisi berikut ini diterapkan •  aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0 •  sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen •  difusi longitudinal diabaikan •  difusi vertikal telah dicapai, polutan telah menyebar di

seluruh kedalaman aliran


∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

transpor permanen

v = w = 0 difusi longitudinal diabaikan

difusi vertikal telah dicapai

∂uc∂x

=∂∂y

εty∂c∂y

#

$%

&

'( ⇒ U

∂C∂x

= εty∂2C

∂y2U kecepatan aliran rerata kedalaman

(depth-averaged velocity)

C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged concentration)

karena polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata kedalaman


Cu x, y( ) = G0

h 4 π εty x Uexp −

y2 U4 εty x

$

%&&

'

())

§  Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai lebar

G0 = M0 t [kg/s]

debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h

§  Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai berbatas

C x, y( ) = Cu x, y + y0( ) + Cu x, 2nB± y ± y0( )

n=1

N

∑lokasi sumber polutan

Konveksi dan Difusi Longitudinal 52


∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

§  Jika kondisi berikut ini diterapkan •  aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0 •  difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah

menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran à polutan telah menyebar di tampang lintang aliran


∂c∂t

+ ∂uc∂x

+ ∂vc∂y

+ ∂wc∂z

= ∂∂x

εtx∂c∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

εty∂c∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂z

εtz∂c∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

difusi transversal telah dicapai

v = w = 0 difusi vertikal telah dicapai

∂c∂t+∂uc∂x

=∂∂x

εtx∂c∂x

#

$%

&

'( ⇒

∂C∂t+U

∂C∂x

=∂∂x

εtx + *Kx( ) ∂C∂x

+

,-

.

/0

karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata tampang εtx + "Kx = Kx


∂C∂t+U

∂C∂x

=∂∂x

εtx + #Kx( ) ∂C∂x

$

%&

'

() ⇒

∂C∂t+U

∂C∂x

=∂∂x

Kx∂C∂x

+

,-

.

/0

koefisien dispersi §  Pada aliran permanen dan seragam, Kx konstan

∂C∂t+U

∂C∂x

= Kx∂2C

∂x2

§  berlaku setelah: •  difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai •  difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai

persamaan dispersi longitudinal

Dispersi Longitudinal 55

∂C∂t+U

∂C∂x

= Kx∂2C

∂x2

à di far-field mixing zone

Berlaku setelah Ly = ξy UB2

εty

atau setelah ty = ξyB2

εty

§  Koefisien dispersi, Kx

Kx = 6 h u∗( )

Kx = 0.011B2U2

h u∗140 < Kx < 500

à saluran tampang segi-empat

à sungai

à  saluran atau sungai yang memiliki distribusi kecepatan aliran ke arah vertikal maupuan ke arah transversal


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba, maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah:

luas tampang aliran

C x, t( ) = M1

4 π Kx texp −

x−U t( )2

4 Kx t

#

$

%%

&

'

((

Cmax t( ) = M1

4 π Kx t×1=

M1

4 π Kx x U

M1= M0 S [kg/m2]

konsentrasi maksimum, bergerak dengan kecepatan U dan berkurang seiring dengan waktu t


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T •  dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan,

masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil

ΔCi x, t( ) = mi

S 4 π Kx t − τi( )exp −

x−U t − τi( )%& '(2

4 Kx t − τi( )

)

*+

,+

-

.+

/+

mi = M0 T( )Δτ

C x, t( ) = ΔCi x, t( )i=1

n

∑ =mi

S 4 π Kx

mi

t − τi( )exp −

x−U t − τi( )&' ()2

4 Kx t − τi( )

*

+,

-,

.

/,

0,i=1

n

∑


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu) secara konstan

C x, t( ) = C0

2exp

U xKx

!

"#

$

%& erfc

x+U t

4 Kx t

!

"

##

$

%

&&+erfc

x−U t

4 Kx t

!

"

##

$

%

&&

(

)

**

+

,

--

CC0

=

1 U x( ) > 0

exp −U xKx

"

#$

%

&' U x( ) < 0

(

)**

+**

C0 konstanta

•  Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t ! ∞

•  erfc(+∞) = 0 •  erfc(−∞) = 2

transpor polutan - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/transpol/ts transpor...

Documents