transmath chapitre 1

b 1. B1 donne u0, D1 donne 0,5 % soit 0,005,

1 + D1 = 1 + 0,005, F1 donne 48. On retrouve alors la formule du a 2.c).2. Dans B6 on affiche u

0 qui est en B1.

Dans B7 on affiche u1 = u

0 × (1 + 0,005) – m, or m est en C3.

(Le dollar permet de bloquer cette cellule.)Dans C7 on affiche la différence entre l’ancien et le nouveau capital, donc la part du capital qui est remboursée.Dans D7 on affiche la différence entre la mensualité et la part du capital, donc le montant de l’intérêt.3. On obtient un total d’intérêts égal à 1 272,81 e.4. a) Mensualité : 993,5 e.Coût total du crédit : 19 225,99 e.b) Mensualité : 711,32 e.Coût total du crédit : 63 395 e.

17 a 1. a) I a pour coordonnées (2 ; 2).

b) A’ est sur d, donc ses coordonnées sont 12 ; 12

× 2 + 12 ; soit (u

0 ; u

1).

B” est sur d’, donc son ordonnée et son abscisse sont égales et il a la même ordonnée que A’, donc ses coordonnées sont (u

1 ; u

1).

B a la même abscisse que B”, donc B a pour coordonnées (u

1 ; 0), etc.

c) On trouve u4 très proche de 2.

16 a 1. a) Au bout d’un mois le capital a augmenté de 0,5 %, il a donc été multiplié par 1,005 et on lui retranche le montant de la mensualité remboursée.b) Même explication que a).c) Il désire rembourser en 48 mensualités fixes donc le capital restant au bout de 48 mois, soit u

48, sera nul.

2. a) vn+1

= un+1

– m0,005

= un(1 + 0,005) – m – m

0,005

= 1vn + m

0,0052(1 + 0,005) – m – m0,005

= 1,005vn.

(vn) est une suite géométrique de raison 1,005 et de premier

terme v0 = u

0 – m

0,005.

Donc vn = 1u0

– m0,0052 × (1,005)n.

b) un = 1u0

– m0,0052(1,005)n + m

0,005

= u0 × 1,005n + m

0,005 11 – (1,005)n2.

c) On a u48

= 0, donc m = 0,005 × u

0 × (1,005)48

–1 + (1,005)48.

On sait que u0 = 10 000 ; la calculatrice nous donne

m ≈ 235 e. © N

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2S = 2 × 2 + 2 × 22 + 2 × 23 + … + 2 × 264,donc 2S = 22 + 23 + … + 265.b) 2S – S = 22 + 23 + 24 + … + 264 + 265 – (2 + 22 + 23 + 24

+ … + 264) = 265 – 2.

2 Poids total : 5 × 10–2 × (265 – 2) ≈ 1,84 × 1018 grammes, soit 1,84 × 1012 tonnes.Le grenier devrait avoir un volume de 1,84 × 1012 m3, ce qui correspond à un cube d’environ 12 164 mètres de côté soit 12,164 kilomètres.

Activité1 1. a) u

1 = 2 ; u

2 = 4 ; u

3 = 8 ; u

4 = 16 ; u

5 = 32 ; u

6 = 64 ;

u7 = 128 ; u

8 = 256 ; u

9 = 512 ; u

10 = 1 024.

b) On passe de un à u

n+1 en multipliant par 2.

c) (un) est une suite géométrique de raison 2 et de premier

terme u1 = 2.

d) un = u

1 × qn–1 = 2 × 2n–1 = 2n.

2. a) S = 2 + 22 + 23 + … + 264.

ACTIVITÉS (page 20)

EXERCICES Travaux dirigés (page 32)

1CHAP

ITRE

1Chapitre 1 ● Suites

Suites

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2 Chapitre 1 ● Suites

b 1. vn+1

= un+1

– 2 = 12

un + 1 – 2 = 1

2 (v

n + 2) + 1 – 2

= 12

vn.

(vn) est donc une suite géométrique de raison 1

2 et de pre-

mier terme v0 = u

0 – 2 = 3.

2. a) vn = 3 × 1 1

2 2n

.

b) un = 3 × 1 1

2 2n

+ 2.

c) lim 1 12 2

n

= 0, donc : lim un = 2.

28 1. u0 = –5 ; u

1 = –2 ; u

2 = 1 ; u

3 = 4 ; u

4 = 7.

2. un = –5 + 3n.

3. u50

= 145.

29 1. r = u1 – u

0 = 4.

2. un = 5 + n × 4.

3. u100

= 405.

30 1. –4 = 2 + 3r ; r = –2.2. u

n = 2 – 2n.

3. u10

= –18.

31 un+1

– un = 3, donc (u

n) est strictement croissante.

32 un+1

– un = 1

(n + 1)(n + 2), donc (u

n) est strictement

croissante.

33 un+1

– un = 3, donc (u

n) est strictement croissante.

34 un+1

– un = –15, donc (u

n) est strictement décroissante.

Étude de suites gÉomÉtriques

35 a) un+1

= 23

un, donc (u

n) est une suite géométrique de

raison 23

.

b) un+1

= 52

un, donc (u

n) est une suite géométrique de raison

52

.

36 a) un+1

= 32

un, donc (u


raison 32

.

b) un+1

= 53

un, donc (u


53

.

37 a) un+1

= (5 × 3)un, donc (u

n) est une suite géomé-

trique de raison 15.b) u

n+1 = (2 × 3)u

n, donc (u


raison 6.

d) Il semble que lim (un) = 2.

2. a) La calculatrice répète toujours la même séquence de calcul à partir du dernier résultat obtenu. On obtient donc les termes successifs de la suite.b) On obtient :u

0 = 5 ; u

1 = 3,5 et u

2 = 2,75.

c) On obtient ensuite successivement :2,375 ; 2,187 5 ; 2,093 75 ; …, puis, à partir d’un certain rang (environ 20 suivant les calculatrices), l’affichage donne 2, ce qui laisse à penser que la limite est 2.

de tête

18 u11

= u10

× 2 = 32.u

8 = u

10 × 2–2 = 4.

19 q = u

25

u24

= 3.

20 u

1

u0

≠ u

2

u1

.

21 q = u

6

u5

= 2 ; u7 = 12 ; u

8 = 24.

gÉnÉralitÉs sur les suites

22 1. u0 = 0 ; u

1 = 8 ; u

2 = 26 ; u

3 = 54 ; u

4 = 92.

2. u100

= 50 300.3. u

99 = 49 302.

4. un+1

= 5(n + 1)2 + 3(n + 1) = 5n2 + 13n + 8.u

2n = 5 × 4n2 + 6n = 20n2 + 6n.

23 1. u0 = 1 ; u

1 = 5 ; u

2 = 10 ; u

3 = 17 ; u

4 = 28.

2. u9 = 539.

3. un+1

= 2n+1 + 3n + 3.u

n+2 = 2n+2 + 3n + 6.

24 1. u0 = –1 ; u

1 = 4 ; u

2 = 11 ; u

3 = 20.

2. On construit les points M0(0 ; –1), M

1(1 ; 4), M

2(2 ; 11),

M3(3 ; 20).

3. un+1

– un = 2n + 5 > 0.

25 1. u0 = 3 ; u

1 = 2 ; u

2 = –0,5 ; u

3 = –2,375 ;

u4 = 0,320 312 5.

2. On place les points M0(0 ; 3) ; M

1(1 ; 2) ; M

2(2 ; –0,5) ;

M3(3 ; u

3) ; M

4(4 ; u

4).

26 1. u0 = –2 ; u

1 = –3 ; u

2 = –4 ; u

3 = –5 ; u

4 = –6.

2. On place les points M0(0 ; –2) ; M

1(1 ; –3) ; M

2(2 ;–4) ;

M3(3 ; –5) ; M

4(4 ; –6).

27 1. u0 = v

0 = 3 ; u

1 = v

1 = 4 ; u

2 = v

2 = 6.

2. u3 = 23 + 2 = 10 ; v

3 = 6 + 2 + 1 = 9.

Jean a donc tort.

EXERCICES Entraînement (page 34)

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a) un+1

– un = 5 × 1 1

3 2n

× 1– 23 2 = – 10

3 × 1 1

3 2n

.

(un) est décroissante.

b) un+1

– un = –7 × 1 1

2 2n

× 1– 12 2 = 7

2 × 1 1

2 2n

.

(un) est croissante.

53 un+1

– un = u

0 × qn × (q – 1).

a) Ici u0 = 5 et q = 3, donc u

n+1 – u

n = 5 × 3n × 2 = 10 × 3n,

donc (un) est croissante.

b) Ici u0 = 1

4 et q = 3, donc u

n+1 – u

n = 1

4 × 3n × 2 = 1

2 × 3n,


54 un+1

– un = u

0 × qn × (q – 1).

a) Ici u0 = 10 et q = 1

2,

donc un+1

– un = 10 × 1 1

2 2n

× 1– 12 2 = –5 × 1 1

2 2n

,

donc (un) est décroissante.

b) Ici u0 = 1

3 et q = 1

2,

donc un+1

– un = 1

3 × 1 1

2 2n

× 1– 12 2 = – 1

6 × 1 1

2 2n

,


55 un+1

– un = u

0 × qn × (q – 1).

a) Ici u0 = –5 et q = 1

5,

donc un+1

– un = –5 × 1 1

5 2n

× 1– 45 2 = 4 × 1 1

5 2n

,


b) Ici u0 = – 1

3 et q = 2, donc u

n+1 – u

n = – 1

3 × 2n × 1 = – 2

n

3,


56 1. a) À chaque étape, un est divisé par 2, donc on

définit une suite géométrique de raison 2.

b) un = u

0 × qn = u

0 × 1 1

2 2n

.

2. a) On veut : u0 × 1 1

2 2n0

< u

0

100, soit 1 1

2 2n0

< 1100

.

On obtient n0 = 7.

b) C’est donc entre 6 et 7 demi-vies, soit environ 50 jours, que la quantité résiduelle sera inférieure à 1 % de la quantité d’origine.3. a) Voir 1.a).

b) vn = v

0 × 1 1

2 2n

.

4. C’est entre 6 et 7 demi-vies, soit environ 200 ans, que la quantité résiduelle sera inférieure à 1 % de la quantité d’origine.

57 1. u0 = 30 ; u

1 = 60 ; u

2 = 120 ; u

3 = 240.

2. (un) est une suite géométrique de raison 2.

3. un = 30 × 2n.

On veut : 30 × 2n > 10 × 105, soit 2n > 105

3.

215 = 32 768 ; 216 = 65 536 et 105

3 ≈ 33 333,33.

Il faudra effectuer au moins 16 manipulations pour avoir une bande de papier de plus de 10 km de long.

38 a) un+1

= 25

un, donc (u


raison 25

.

b) un+1

= 14

un, donc (u


14

.

39 a) un+1

= 32

un, donc (u


raison 32

.

b) un+1

= – 25

un, donc (u


raison 1– 25 2.

40 a) un+1

= –2un, donc (u


raison (–2).

b) un+1

= 815

un, donc (u


raison 815

.

41 u

1

u0

= 53

; u

2

u1

= 253 × 5

= 53

(un) peut être géométrique.

42 u

1

u0

= 12 ; u

2

u1

= 2 ; (un) n’est pas géométrique.

43 u

1

u0

= u

2

u1

= 163

; (un) peut être géométrique.

44 1

12 – 1 = 12 + 1

1 ; (u

n) peut être géométrique.

45 u

1

u0

= u

2

u1

= –4 ; (un) peut être géométrique.

46 u

1

u0

= –6 ; u

2

u1

≠ –6 ; (un) n’est pas géométrique.

47 1. q2 = 25 et q > 0, donc q = 5 et u1 = 10.

2. un = 2 × (5)n.

48 1. q3 = 27, donc q = 3.u

1 = –3 ; u

2 = –9.

2. un = –(3)n.

3. u9 = –(3)9 = –19 683.

4. u10

= –59 049.

49 1. q3 = –125, donc q = –5.u

1 = 10 ; u

2 = –50.

2. un = –2 × (–5)n.

3. u6 = –2 × (–5)6 = –31 250.

4. u7 = –156 250.

50 1. q2 = 9 et q < 0, donc q = –3 et u1 = 7 × (–3) = –21.

2. un = 7 × (–3)n.

51 un+1

– un = u

0 × qn+1 – u

0qn = u

0 × qn × (q – 1).

a) un+1

– un = 2 × 3n × 2 = 4 × 3n. (u

n) est croissante.

b) un+1

– un = –3 × 2n × 1 = –3 × 2n. (u

n) est décroissante.

52 un+1

– un = u

0 × qn × (q – 1).


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2. u3 = 23 = 8. Au bout d’une heure, il y a 8 bactéries.

u6 = 26 = 64. Au bout de deux heures, il y a 64 bactéries.

3. 219 = 524 288.220 = 1 048 576.Au bout de 400 min, soit 6 h 40 min, le nombre de bactéries dépassera 1 000 000.

68 S = 100 × 1 – 1 1

2 210

12

= 200 11 – 1 12 2102 = 200 – 100

29

= 200 – 100512

≈ 199,805.

69 S = – 34

(1 – 510) = 7 324 218.

70 S = 131

× 1 – 112 210

1 – 12 = 1

31 ×

–311 – 12

= 1 + 12.

71 S = – 32

2 11 – 1 1

3 2102 ≈ –4,5.

72 S = 54

11 – (–3)102 = –73 810.

73 S = 16 × 1 – 1 1

2 212

1 – 12

= 25 11 – 1212 2 = 25 – 1

27 = 4 095

128.

74 S = 127

× 1 – 38

1 – 3 = 1 – 38

–33 × 2 = 3 280

27.

75 S = 125

× 1 – 57

1 – 5 = 57 – 1

100 = 78 124

100.

76 S = 9 × 1 – 1– 1

3 26

1 + 13

= 33

4 11 – 1

36 2 = 18227

.

77 1 – 2n+1

1 – 2 = 63 ; 2n+1 = 64 ; n + 1 = 6, n = 5.

78 2 × 1 – 3n+1

1 – 3 = 2 186 ; 1 – 3n+1 = –2 186 ; n + 1 = 7, n = 6.

79 1. P U S

Initialisation 0 4 4

Étape 1 1 3 × 4 12 + 4

Étape 2 2 12 × 3 16 + 36

Étape 3 3 36 × 3 160

Étape 4 4 324 484

Étape 5 5 972 1 456

Affichage 1 456

2. S = 4 + (3 × 4) + (3 × 4) × 3 + (3 × 4 × 3) × 3 + 4 × 34 + 4 × 35

somme des six premiers termes de la suite géométrique de premier terme 4 et de raison 3.

58 1. u1 = 1,04 × 10 000 = 10 400 ;u

2 = 10 816 ;

u3 = 11 248,64.

2. a) (un) est une suite géométrique de raison 1,04.

b) un = 10 000 × (1,04)n.

c) u10

= 14 802, donc au 1er janvier 2020, Louis disposera de 14 802 e.

59 1. Pn+1

= 1910

Pn, donc (P

n) est une suite géométrique

de raison 1910

.

2. Pn = P

0 × 119

102n

.

3. On veut 119102

n

> 50.

1,96 ≈ 47,04 ; 1,97 ≈ 89,39.Au bout de 7 semaines, le poids de la larve aura été multiplié par plus de 50.

60 1. a) On a : pn+1

= 11 – 11002 pn

= 0,99pn.

(pn) est une suite géométrique de raison 0,99.

b) pn = p

0 × (0,99)n.

2. On a maintenant : pn = 1 013 × 0,99n.

a) À 1 000 mètres, p10

= (0,99)10 × 1 013 ≈ 916 hPa.b) On veut : 900 = (0,99)n × 1 013,

soit (0,99)n = 9001 013

≈ 0,888 45.

On trouve (0,99)11 ≈ 0,895 3 et (0,99)12 ≈ 0,886.L’observateur est donc entre 1 100 m et 1 200 m.

Pour les exercices 61 à 65La boucle « Pour » ou la boucle « Tant que » permet de passer d’un terme au suivant en multipliant par une constante. On a donc une suite géométrique.

61 Ici, la raison est 32

et le premier terme u0 est égal à 2 ;

le dernier terme calculé est u3, égal à 1 3

2 23

× 2 = 274

.

62 Ici, la raison est 43

et le premier terme u0 est égal à –3 ;

le dernier terme calculé est u5, égal à 1 4

3 25

× (–3) = – 1 02481

.

63 Ici, la raison est 2 et le premier terme u0 est égal à 10 ;

le dernier terme calculé est u4, égal à 24 × 10 = 160.

64 Ici, la raison est 2 et le premier terme u0 est égal à

5. On a un = 5 × 2n et on arrête au premier terme supérieur

à 100, c’est-à-dire u5 = 5 × 25 = 160.

65 Ici, la raison est 0,5 et le premier terme u0 est égal à 4.

On a : un = 4 × 1 1

2 2n

et on arrête au premier terme inférieur

à 0,1, c’est-à-dire u6 = 4 × 1 1

2 26

= 0,062 5.

66 1. un+1

= 2un. On a donc une suite géométrique de

raison 2.2. En 2003, u

16 = 216 × 2 300 = 150 732 800.

67 1. un+1

= 2un, (u

n) est donc une suite géométrique de

raison 2.


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90 a) lim (Sn) = 1

1 – 0,1 = 10

9.

b) lim (Sn) = 1

1 – 0,9 = 10.

91 a) lim (Sn) = 1

1 – 47

= 73

.

b) lim (Sn) = 1

1 – 911

= 112

.

92 a) lim (Sn) = + ∞.

b) lim (Sn) = + ∞.

93 a) lim (Sn) = + ∞.

b) lim (Sn) = + ∞.

94 1. Sn = 90 × 1 – qn+1

1 – q.

2. Si lim Sn = 150, alors 0 < q < 1 et lim S

n = 90

1 – q,

d’où : 150 = 901 – q

. Soit q = 0,4.

95 1. r = 3,236 236 236… = 3 + 0,236 + 0,000 236 + 0,000 000 236 + … = 3 + 236 × 10–3 + 236 × 10–6 + 236 × 10–9 + …2. On a u

n+1 = u

n × 10–3 ; donc (u

n) est une suite géométrique

de raison 10–3.

3. Sn = u

1 + u

2 + … + u

n = 236 × 10–3 × 1 – (10–3)n

1 – 10–3.

4. Ici : q = 10–3, donc 0 < q < 1 et lim (qn+1) = 0, donc

lim Sn = 236 × 10–3

1 – 10–3 = 236

999.

5. On a : r = 3 + 236999

= 3 233999

.

suites arithmÉtico-gÉomÉtriques

96 1. u1 = –1 ; u

2 = –5 ; u

3 = –13 ; u

4 = –29.

2. a) vn+1

= (2un – 3) – 3 = 2(v

n + 3) – 3 – 3 = 2v

n.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 2 et de pre-

mier terme v0 = u

0 – 3 = –2.

b) vn = –2 × 2n = –(2n+1).

3. un = v

n + 3 = 3 – (2n+1).

4. lim 2n = + ∞, donc : lim vn = – ∞.

97 1. u1 = 6,5 ; u

2 = 7,25 ; u

3 = 7,625 ; u

4 = 7,812 5.

2. a) vn+1

= 1 12

un + 42 – 8 = 3 1

2 (v

n + 8) + 44 – 8 = 1

2 v

n.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1

2 et de pre-

mier terme v0 = u

0 – 8 = –3.

b) vn = –3 × 1 1

2 2n

.

3. a) un = v

n + 8 = 8 – 3 × 1 1

2 2n

.

b) u10

≈ 7,997.

4. lim 1 12 2

n

= 0, donc : lim un = 8.

3. InitialisationDonner à N la valeur 19Donner à P la valeur 0Donner à 4 la valeur –1Donner à S la valeur –1TraitementTant que p < N

Donner à P la valeur P + 1Donner à U la valeur 2UDonner à S la valeur S + U

SortieAfficher S

Pour les exercices 80 à 82À chaque boucle on ajoute à S le terme suivant de la suite.Attention à l’ordre des calculs.

80 Premier terme u0 = 3, dernier terme u

3.

S contient 4 termes.S = 1 970.

81 Premier terme u0 = 8, raison 3

2, dernier terme u

4.

S = 105,5.

82 Premier terme u0 = 3, raison 2.

S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 186.L’algorithme s’arrête car S > 100.

limites

83 a) lim (un) = + ∞.

b) lim (un) = 0 (ici 0 < q < 1).

84 a) lim (un) = + ∞ 1ici q ≈ 3,14

3 > 12.

b) lim (un) = + ∞ (ici q ≈ 1,15 > 1).

85 a) lim (un) = 0 1ici q = 36 – 35

42 = 1

42, donc 0 < q < 12.

b) lim (un) = + ∞ 1ici q = 45

44 > 12.

86 lim (1,1)n = + ∞, donc lim (un) = – ∞.

87 lim 1 132 2

n

= 0, donc lim (un) = 0.

88 lim (0,99)n = 0, donc lim (un) = 0.

Pour les exercices 89 à 93S

n+1 – S

n = qn+1 > 0 donc (S

n) est strictement croissante. De

plus, ici, Sn = 1 – qn+1

1 – q, donc si 0 < q < 1 alors lim (qn+1) = 0

et lim (Sn) = 1

1 – q.

Si q > 1 alors lim (qn+1) = + ∞, lim (1 – qn+1) = – ∞, 1 – q < 0 donc lim (S

n) = + ∞.

89 a) lim (Sn) = 1

1 – 12

= 2.

b) lim (Sn) = 1

1 – 13

= 32

.

© N

atha

n 20

12 –

Tra

nsm

ath

Term

. ES-

L


102 1. u1 = 2 ; u

2 = 8

3 ; u

3 = 29

9.

2.

xO 4

y

u0 u1 u2 u3

∆

d

On peut penser que lim un = 4.

3. a) vn+1

= 1 2un + 4

3 2 – 4.

vn+1

= 2(v

n + 4) + 4 – 12

3 = 2

3 v

n, donc (v

n) est une suite

géométrique de raison 23

. v0 = u

0 – 4 = –3.

b) vn = –3 × 1 2

3 2n

un = 4 – 3 × 1 2

3 2n

.

lim 1 23 2

n

= 0, donc :

lim un = 4.

103 1. a) un + 1 = (0,85a

n + 18) – 120

= (0,85(un + 120) + 18) – 120 = 0,85u

n,

donc (un) est une suite géométrique de raison 0,85 et de

premier terme u0 = –70.

b) On a : un = –70 × (0,85)n, donc a

n = 120 – 70 × (0,85)n.

c) an+1

– an = 70 × 0,85n(1 – 0,85) = 70 × (0,85)n × 0,15

= 10,5 × (0,85)n.a

n+1 – a

n > 0, donc la suite est croissante.

d) a20

≈ 117,27 et (an) croissante, donc pour n > 20 on a

an > 117 ; de plus : 120 – 70 × (0,85)n < 120.

Donc pour n > 20, 117 < an < 120.

Au bout de 20 ans, l’effectif est « stable ».2. a) On note g

n le nombre d’heures de gymnastique à pré-

voir par semaine pour l’an 2006 + n :

gn = 60

100 a

n + 2 × 40

100 a

n = 14a

n.

Donc gn = 14(12 – 7 × (0,85)n).

b) Le nombre de séances par semaine est égal à :g

n

20 = 14(12 – 7 × (0,85)n)

20.

On cherche alors n tel que 14(12 – 7 × (0,85)n)20

> 8.

Soit : 14 × 12 – 7 × 14 × (0,85)n > 160 ou 168 – 160 > 7 × 14 × (0,85)n, c’est-à-dire 8 > 98 × (0,85)n.On peut résoudre à l’aide des logarithmes ou grâce à la calculatrice. On obtient n = 16. C’est donc à partir de 2006 + 16 = 2022 qu’il faudra prévoir plus de 8 séances par semaine.

98 1. u1 = –1 ; u

2 = 2 ; u

3 = 11 ; u

4 = 38.

2. a) vn+1

= un+1

+ a = 3un + 5 + a.

b) vn+1

= 3(vn – a) + 5 + a = 3v

n + 5 – 2a.

c) (vn) est géométrique lorsque 5 – 2a = 0, soit : a = 5

2.

On a alors : vn+1

= 3vn, la raison est 3 et le premier terme

v0 = u

0 + 5

2 = –2 + 5

2 = 1

2.

3. a) a = 52

, donc, d’après 2.c), vn = 1

2 × 3n.

b) un = v

n – a = 1

2 × 3n – 5

2.

c) u10

= 12

× 310 – 52

= 29 522.

99 1. u1 = 0 ; u

2 = 6 ; u

3 = –6 ; u

4 = 18.

2. a) vn+1

= un+1

+ a = –2un + 6 + a.

b) vn+1

= –2(vn – a) + 6 + a = –2v

n + 6 + 3a.

c) (vn) est géométrique pour 6 + 3a = 0, soit : a = –2.

On a alors : vn+1

= –2un, la raison est –2 et le premier terme

v0 = u

0 – 2 = 1.

3. a) D’après 1. c), on a vn = (–2)n.

b) un = v

n + 2 = (–2)n + 2.

c) u15

= –32 766.

100 1. u1 = 16 ; u

2 = 7 ; u

3 = 11,5 ; u

4 = 9,25.

2. a) vn+1

= 3– 12

un + 154 – 10.

= – 12

(vn + 10) + 5 = – 1

2 v

n.

(vn) est donc une suite géométrique de raison – 1

2 et de pre-

mier terme v0 = u

0 – 10 = –12.

b) vn = (–12) × 1– 1

2 2n

.

c) S’n = –8 11 – 1– 1

2 2n+1

2.

3. a) un = (–12) × 1– 1

2 2n

+ 10.

b) Sn = S’

n + (n + 1)10.

c) lim 1– 12 2

n

= 0, donc :

lim S’n = –8 et lim S

n = + ∞.

101

xO

11

y

M0

d’

d

4

M1 M2 M3


© N

atha

n 20

12 –

Tra

nsm

ath

Term

. ES-

L

e) En 2015, r5 ≈ 31 856 tonnes.

3. r6 > 30 000 et r

7 < 30 000.

À partir de 2010 + 7 = 2017, l’entreprise réussira à respecter son engagement.

106 1. Janvier 2012 Février 2012 Mars 2012

Rang du mois 0 1

Recette 2 300 2 323 2 346,23

Coûts 800 820 840,5

Bénéfice 1 500 1 503 1 505,73

2. a) (Rn) et (C

n) sont des suites géométriques de raisons

respectives 1,01 et 1,025.R

n = 2 300 × (1,01)n.

Cn = 800 × (1,025)n.

b) Bn = R

n – C

n = 2 300 × (1,01)n – 800(1,025)n.

3. a) Bn+1

– Bn = (R

n+1 – R

n) – (C

n+1 – C

n) = (2 300 × (1,01)n

× (1,01 – 1) – (800 × (1,025)n × (1,025 – 1).D’où : B

n+1 – B

n = 2 300 × (1,01)n × 0,01 – 800 × (1,025)n × 0,025

= 23 × (1,01)n – 20 × (1,025)n.

b) 23 × (1,01)n – 20 × (1,025)n > 0 ⇔ 2320

> (1,025)n

(1,01)n

⇔ 11,0251,01 2

n

< 2320

.

La suite (vn) définie par v

n = 11,025

1,01 2n

est croissante car 1,0251,01

> 1.

À l’aide de la calculatrice, on obtient : v9 < 23

20 et v

10 > 23

20.

Donc la suite (Bn) est croissante pour n ∈ {0 ; 1 ; 2 ; … 9},

puis décroissante.4. À partir du mois de novembre l’artisan aura une baisse de bénéfice par rapport au mois précédent.

107 a 1. A2 = 1 + 3 × 1 1

2 22

= 1 + 34

= 74

.

A3 = 7

4 + 9 × 1 1

4 22

= 74

+ 916

= 3716

.

2. a) Affichage N U

Initialisation 1 1

1re boucle 1 274

2e boucle74

34316

3e boucle4316

430916

L’algorithme s’arrête car N > 3.b) Proposition 1, vraie (pour n = 2).Proposition 2, fausse : u

3 ≠ A

3.

b 1. a) B1 = A

1 – 4 = –3.

b) Bn+1

= 34

An – 3 = 3

4 (B

n + 4) – 3 = 3

4 B

n.

c) (Bn) géométrique de raison 3

4 et de premier terme B

1 = –3.

d) Bn = 1 3

4 2n–1

× (–3).

104 1.

xO

1

1

y = x

y = 0,85x

+ 1,8

y

u0 u1u2u3 12

12

On peut penser que lim un = 12.

2. a) vn+1

= (0,85un + 1,8) – 12

= 0,85(vn + 12) – 10,2 = 0,85v

n, donc v

n est une

suite géométrique de premier terme v0 = –4 et de raison

q = 0,85.b) v

n = –4 × (0,85)n.

un = v

n + 12 = 12 – 4 × (0,85)n.

c) vn+1

– vn = –4(0,85)n (0,85 – 1) = 0,6 × (0,85)n > 0. Donc

(vn) est croissante.

un+1

– un = (v

n+1 + 12) – (v

n + 12) = v

n+1 – v

n, donc (u

n) est

aussi croissante.d) lim (0,85)n = 0, donc lim u

n = 12.

u8 ≈ 10,9 et (u

n) croissante, donc si n > 8, on a : u

n > u

8 > 10.

un = 12 – 4 × (0,85)n, donc u

n < 12.

Donc pour n > 10, on a : 10 < un < 12.

3. a) D’une année sur l’autre, 85 % des abonnés se réabon-nent, soit 0,85u

n et 1,8 millier d’abonnés sont nouveaux.

D’où : un+1

= 0,85un + 1,8.

b) Le nombre d’abonnés en 2020 est 1 000u10

, soit environ 11 212 suivant cette estimation.

105 1. r1 = 38 200 ; r

2 = 36 490.

2. L’entreprise réduit de 5 % la quantité de déchets qu’elle

rejette, il en reste 0,95100

rn, mais il s’ajoute 200 tonnes de

nouveaux déchets.Donc r

n+1 = 0,95r

n + 200.

2. a) sn+1

= (0,95rn + 200) – 4 000

= 0,95(sn + 4 000) – 3 800 = 0,95s

n, donc (s

n) est

une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme v

0 = 40 000 – 4 000 = 36 000.

b) sn = 36 000 × (0,95)n ; r

n = 36 000 × (0,95)n + 4 000.

c) rn+1

– rn = 36 000 × 0,95n(0,95 – 1) = –1 800 × (0,95)n.

rn+1

– rn < 0, donc (r

n) est décroissante.

La quantité de déchets diminue d’une année sur l’autre.d) r

n = s

n + 4 000 ; 0 < 0,95 < 1, donc lim s

n = 0 et

lim rn = 4 000.

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atha

n 20

12 –

Tra

nsm

ath

Term

. ES-

L


2. xn+1

= 4xn, d’où (x

n) est une suite géométrique de raison 4

et xn = x

0 × 4n = 3 × 4n.

3.,n+1

= 13

,n, d’où (,


13

et ,n = l0 × 1 1

3 2n

= 1 13 2

n

.

4. pn = x

n × ,

n = 3 × 4n × 1 1

3 2n

= 3 × 1 43 2

n

.

43

> 1 d’où : lim 11 43 2

n

2 = + ∞, donc : lim(pn) = + ∞.

5. À l’étape (n + 1) on a rajouté xn triangles équilatéraux de

côté ,n+1

, donc l’aire est augmentée de :

xn × ,

n+1 × 13

2 ,

n+1 × 1

2 = 3 × 4n × 1 1

3 2n+1

× 132

× 1 13 2

n+1

× 12

= 3 × 13

× 1 13 2

n

× 13

× 1 13 2

n

× 4n × 134

= 13

× 1 13 2

n

× 1 13 2

n

× 4n × 134

= 1312

× 1 19 2

n

× 4n = 1312

× 1 49 2

n

.

Donc : An+1

= An + 13

12 × 1 4

9 2n

.

An = A

n–1 + 13

12 1 4

9 2n–1

.

An–1

= An–2

+ 1312

1 49 2

n–2

.

A2 = A

1 + 13

12 1 4

9 21

.

A1 = A

0 + 13

12.

En additionnant membre à membre on obtient, après sim-plification :

An = A

0 + 13

12 + 13

12 × 1 4

9 21

+ … + 1312

× 1 49 2

n–2

+ 1312

× 1 49 2

n–1

.

Soit : An = A

0 + 13

12 11 + 4

9 + 1 4

9 22

+ … + 1 49 2

n–1

2

ou An = A

0 + 13

12 × 11 – 1 4

9 2n

2 × 95

.

On a : 0 < 49

< 1, donc lim 11 49 2

n

2 = 0,

d’où : lim An = A

0 + 13

12 × 9

5 = 13

4 + 9 13

60 = 2 13

5.

Pour la logique

111 1. (Non ) : il existe un entier naturel p et un entier naturel q tels que p < q et u

p > u

q.

2. a) () signifie que la suite (un) est croissante.

b) (Non ) signifie que la suite (un) n’est pas croissante.

112 a) Si q ∈ ]2 ; + ∞[, alors 0 < 1q

< 1. Donc :

lim 1 1q 2

n

= 0. L’affirmation est vraie.

b) Si q = 32

, alors 1q

= 23

et lim 1 1q 2

n

= 0.

Donc l’affirmation est fausse.

nombre de triangles nouveaux

base hauteur

2. 0 < 1 34 2 < 1 et lim A

n = lim B

n + 4 = 4.

Au bout d’un grand nombre d’étapes, pratiquement toute la surface est colorée bien qu’il y ait de plus en plus de petits carrés non coloriés.

108 1. In = R

n – C

n = R

n – (aR

n–1 + b).

D’où : Rn – (aR

n–1 + b) = c(R

n–1 – R

n–2).

Soit Rn = cR

n–1 – cR

n–2 + aR

n–1 + b.

Rn = (a + c)R

n–1 – cR

n–2 + b.

2. a) Si a = 1 et b = 0, alors, on a Rn = (1 + c)R

n–1 – cR

n–2.

D’où : Rn+2

= (1 + c)Rn+1

– cRn = R

n+1 + c(R

n+1 – R

n) (1),

donc : Rn+2

– Rn+1

= c(Rn+1

– Rn) (2).

De (1) on peut aussi obtenir :R

n+2 = R

n+1 + cR

n+1 – cR

n ; soit R

n+2 – cR

n+1 = R

n+1 – cR

n (3).

b) On a un+1

= cun, donc (u

n) géométrique de raison c.

c) un = u

0cn, d’où R

n+1 – R

n = (R

1 – R

0)cn.

d) vn+1

= Rn+2

– cRn+1

. D’après (3), on a :v

n+1 = R

n+1 – cR

n = v

n, donc (v

n) est constante et pour tout

naturel n, vn = R

1 – cR

0.

e) un – v

n = (R

n+1 – R

n) – (R

n+1 – cR

n) = R

n(c – 1),

d’où (R1 – R

0)cn – (R

1 – cR

0) = R

n(c – 1),

d’où Rn = 1

c – 1 3(R

1 – R

0)cn – (R

1 – cR

0)4.

Si R0 = 100 et R

1 = 110,

alors Rn = 1

1 – c 3(110 – 100c) – 10cn4.

Si c = 14

, alors Rn = 4

3 185 – 10 1 1

4 2n

2.109 1. a) À chaque étape, le nombre de triangles non coloriés est multiplié par 3, donc (u

n) est géométrique de

raison 3.b) u

n = 3n.

2. a) À chaque étape, on ajoute autant de triangles coloriés qu’il y avait de triangles non coloriés à l’étape précédente, donc : v

1 = u

0, v

2 = u

0 + u

1, …, v

n = u

0 + u

1 + … + u

n–1.

b) vn = 1 – 3n

–2 = 3n – 1

2.

3. On a 3 > 1, donc lim (3n) = + ∞.Donc lim (u

n) = + ∞ et lim (v

n) = + ∞.

4. a) À chaque étape, dans les triangles non coloriés, on colorie un quart de la surface, donc il reste trois quarts de la surface non coloriée.

On a donc wn = w

0 × 1 3

4 2n

= 1 34 2

n

.

b) On a 0 < 34

< 1, donc lim 11 34 2

n

2 = 0, d’où lim (wn) = 0.

110 1. x0 = 3 ; ,

0 = 1 ; p

0 = 3 ; A

0 = 13

4.

x1 = 12 ; ,

1 = 1

3 ; p

1 = 4 ;

A1 = A

0 + 3 × 1

3 × 13

2 × 3 × 1

2 = 13

4 + 13

12 = 13

3.

x2 = 48 ; ,

2 = 1

9 ; p

2 = 48 × 1

9 = 16

3 ;

A2 = A

1 + 12 × 1

9 × 13

2 × 9 × 1

2

= A1 + 13

27 = 13

3 + 13

27 = 10 13

27.

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atha

n 20

12 –

Tra

nsm

ath

Term

. ES-

L


114 a) ∃n ∈ N, un < 0.

b) ∀n ∈ N, un ∉ N.

4. un+1

= un + b. Vrai, (u

n) est arithmétique de raison b.

5. un+1

= un + b. Si b ≠ 0 alors (u

n) n’est pas géométrique.

Donc faux.6. u

n+1 = au

n, donc vrai, (u

n) est géométrique de raison a.

7. Faux, on a un = u

0 × an = 2 × an.

8. un+1

= un + b, (u

n) arithmétique de raison b,

donc un = u

0 + nb = 2 + nb. Donc vrai.

9. Vrai : un+1

= un + 1, donc u

n+1 > u

n.

3. On suppose x ≠ 1 alors (E) devient 1 – xn+1

1 – x = 0.

• Si n est pair, alors n + 1 est impair. La fonction x xn+1 ne prend qu’une seule fois la valeur 1, pour x = 1. Or ici x ≠ 1, il n’y a donc pas de solution.• Si n est impair, alors n + 1 est pair. La fonction x xn+1

est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. Elle vaut 1 pour les seules valeurs x = –1 et x = 1. Or ici x ≠ 1, il y a donc une seule solution x = –1.• Si x = 1 alors 1 + x + … + xn = n + 1 et ne s’annule pas.

119 1. 1 + 2 + 22 + … + 215 = 1 – 216

1 – 2 = 216 – 1,

donc A < 216.

2. 1 + 2 + 22 + … + 2n = 1 – 2n+1

1 – 2 = 2n+1 – 1,

donc 1 + 2 + … + 2n < 2n+1.

3. 1 + q + q2 + … + qn = 1 – qn+1

1 – q = q

n+1 – 1q – 1

.

Or q > 2 donc q – 1 > 1 et qn+1 – 1q – 1

< qn+1 – 1.

D’où : 1 + q + … + qn < qn+1.

120 1. vn+1

= un+1

+ c = a × un + b + c.

Or un = v

n – c, donc v

n+1 = a(v

n – c) + b + c

= avn + b + c(1 – a).

2. Si c = ba – 1

alors vn+1

= avn + b – b = av

n.

(vn) est donc une suite géométrique de raison a et de premier

terme v0 = u

0 + b

a – 1.

113 a) u5 = 3u

4. Donc :

u5

u4

= 3. Affirmation vraie.

b) Si u4 = 1, u

5 = 3 et u

6 = 5, alors

u5

u4

= 3 et u

6

u5

≠ 3. Donc (u

n) n’est pas géométrique.

Affirmation fausse.

Vrai ou faux

122 1. Vrai. Voir définition.

2. un+1

= 2un – 1, donc u

1 = 2 × 2 – 1 = 3 et

u2 = 2 × 3 – 1 = 5. Donc vrai.

3. un+1

= 3un + 1, donc u

1 = 3 × 2 + 1 = 7,

u2 = 3 × 7 + 1 = 22 et u

3 = 3 × 22 + 1 = 67. Donc vrai.

soutien

115 1. Ici la raison est q = 0,9 et on sait que un = u

0 × qn.

2. S = u0 + u

1 + u

2 + … + u

100

= 1 500 + 1 500 × 0,9 + 1 500 × 0,92 + … + 1 500 × 0,9100.3. Ici q = 0,9, u

0 = 1 500 et n = 100.

Donc : S = 1 500 × 1 – 0,9101

1 – 0,9 = 1 500 × 1 – 0,9101

0,1.

116 1. et 2. Voir 115, 1. et 2.3. Ici q = 1,1, u

0 = 1 000 et n = 120.

Donc : S = 1 000 × 1 – 1,1121

1 – 1,1 = 1 000 × 1 – 1,1121

–0,1.

117 Ici q = 0,8, u0 = 500 et n = 50.

Donc : S = 500 × 1 – 0,851

1 – 0,8 = 500 × 1 – 0,851

0,2

= 2 500 × (1 – 0,851) ≈ 2 499,97.

aPProfondissement

118 1. a) Si n = 1 : x + 1 = 0 donne x = –1.b) Si n = 2 : x2 + x + 1 = 0. Ici ∆ = –3, il n’y a donc pas de solution réelle.2. a) Le premier terme est 1 et la raison x.

b) 1 + x + … + xn = 1 – xn+1

1 – x.

Si n = 2, alors 1 + x + x2 = 1 – x3

1 – x.

1 – x3 = 0 s’annule pour x = 1, mais ici x ≠ 1, il n’y a donc pas de solution.

EXERCICES Accompagnement personnalisé (page 47)

EXERCICES Le jour du BAC (page 48)


124 Partie a1. u

1 = 14 760, u

2 = 15 550,4.

2. a) v0 = 19 000.

b) vn+1

= (1,04un + 200) + 5 000 = 1,04(v

n – 5 000) + 5 200

= 1,04vn.

(vn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier

terme v0 = 19 000.

c) vn = 19 000 × (1,04)n.

d) Donc un = 19 000 × (1,04)n – 5 000.

Partie b1. En 2020 le salaire est noté u

8.

u8 ≈ 21 003.

2. Avec la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de n telle que 19 000 × (1,04)n – 5 000 > 28 000.On trouve n = 15.Le salaire aura doublé à partir de 2027.

125 1. a) u2 = 1,05 × 100 + 20 = 125.

b) On offre 5 % de plus que la veille, soit 1,05un et on

ajoute 20.Donc u

n+1 = 1,05u

n + 20.

2. a) v1 = v

1 + 400 = 500.

b) vn+1

= (1,05un + 20) + 400 = 1,05(v

n – 400) + 420 = 1,05v

n.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,05 et de

premier terme v1 = 500.

c) vn = 500 × (1,05)n–1 et u

n = v

n – 400 donc

un = 500 × (1,05)n–1 – 400.

v1 + v

2 +…+ v

n = 500 × 1 – 1,05n

1 – 1,05 = 10 000 (–1 + 1,05n).

u1 + u

2 + … + u

n = v

1 – 400 + v

2 – 400 + … + v

n – 400

= v1 + v

2 + … + v

n – n × 400.

Donc u1 + … + u

n = 10 000(–1 + (1,05)n) – n × 400.

On utilise la calculatrice et on trouve 22 jours.

Problèmes

123 1. u2 = 0,8 × 1 000 + 300 = 1 100 ; u

3 = 1 180.

2. 80 % des donateurs renouvellent leur don, soit 0,8un et

on a 300 nouveaux donateurs.Donc u

n+1 = 0,8u

n + 300.

3.

xO

y

u0 u1 u2

y = x

y = 0,8x

+ 300

La représentation graphique permet de penser que (un) est

croissante et converge vers 1 500.4. a) v

n+1 = 1 500 – (0,8u

n + 300)

= 1 500 – 10,8(1 500 – vn) + 3002 = 0,8v

n,

donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de

premier terme v0 =1 500 – u

0 = 500.

b) lim vn = 0, donc lim u

n = 1 500.

Le nombre d’adhérents, au bout d’un certain temps, se stabilisera vers 1 500.

© N

atha

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Term

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transmath chapitre 1

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