transformation de legendre en th©orie des esp¨ces - archipel
TRANSCRIPT
UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
MEacuteMOIRE
PREacuteSENTEacute
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAIcircTRISE EN MATHEacuteMATIQUES
PAR
WALID MATHLOUTHI
JANVIER 2007
UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL Service des bibliothegraveques
A verfissement
La diffusion de ce meacutemoire se fait dans le respect des droits de son auteur qui a signeacute le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supeacuterieurs (SDU-522 - Reacutev01-2006) Cette autorisation stipule que laquoconformeacutement agrave larticle 11 du Regraveglement no 8 des eacutetudes de cycles supeacuterieurs [lauteur] concegravede agrave lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal une licence non exclusive dutilisation et de publication de la totaliteacute ou dune partie importante de [son] travail de recherche pour des fins peacutedagogiques et non commerciales Plus preacuteciseacutement [lauteur] autorise lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal agrave reproduire diffuser precircter distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche agrave des fins non commerciales sur quelque support que ce soit y compris lInternet Cette licence et cette autorisation nentraicircnent pas une renonciation de [la] part [de lauteur] agrave [ses] droits moraux ni agrave [ses] droits de proprieacuteteacute intellectuelle Sauf entente contraire [lauteur] conserve la liberteacute de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possegravede un exemplaireraquo
Agrave ma chegravere grand megravere
Agrave mes chers parents
Agrave mes fregraveres et mes soeurs
Agrave toute ma famille
Agrave tous mes amis
Agrave toutes les personnes qui mont soutenu
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche
Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail
Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute
agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma
offert tou t le long de ma maicirctrise
Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron
le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de
reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres
Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement
soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures
Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal
Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute
TABLE DES MATIEgraveRES
LISTE DES FIGURES VI
REacuteSUMEacute IX
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4
11 Analyse convexe 4
12 Transformation de Legendre 7
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11
13 Ineacutegaliteacute de Young 24
CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26
21 Eacutequations fondamentales 28
22 Potentiels thermodynamiques 29
221 Fonction eacutenergie libre 29
222 Fonction enthalpie 30
223 Fonction enthalpie libre 31
224 Fonction grand potentiel 32
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41
CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43
31 Graphes simples graphes connexes 43
32 Espegraveces 44
33 Seacuteries formelles associeacutees 45
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50
35 Graphes irreacuteductibles 56
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL Service des bibliothegraveques
A verfissement
La diffusion de ce meacutemoire se fait dans le respect des droits de son auteur qui a signeacute le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supeacuterieurs (SDU-522 - Reacutev01-2006) Cette autorisation stipule que laquoconformeacutement agrave larticle 11 du Regraveglement no 8 des eacutetudes de cycles supeacuterieurs [lauteur] concegravede agrave lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal une licence non exclusive dutilisation et de publication de la totaliteacute ou dune partie importante de [son] travail de recherche pour des fins peacutedagogiques et non commerciales Plus preacuteciseacutement [lauteur] autorise lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal agrave reproduire diffuser precircter distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche agrave des fins non commerciales sur quelque support que ce soit y compris lInternet Cette licence et cette autorisation nentraicircnent pas une renonciation de [la] part [de lauteur] agrave [ses] droits moraux ni agrave [ses] droits de proprieacuteteacute intellectuelle Sauf entente contraire [lauteur] conserve la liberteacute de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possegravede un exemplaireraquo
Agrave ma chegravere grand megravere
Agrave mes chers parents
Agrave mes fregraveres et mes soeurs
Agrave toute ma famille
Agrave tous mes amis
Agrave toutes les personnes qui mont soutenu
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche
Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail
Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute
agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma
offert tou t le long de ma maicirctrise
Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron
le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de
reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres
Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement
soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures
Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal
Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute
TABLE DES MATIEgraveRES
LISTE DES FIGURES VI
REacuteSUMEacute IX
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4
11 Analyse convexe 4
12 Transformation de Legendre 7
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11
13 Ineacutegaliteacute de Young 24
CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26
21 Eacutequations fondamentales 28
22 Potentiels thermodynamiques 29
221 Fonction eacutenergie libre 29
222 Fonction enthalpie 30
223 Fonction enthalpie libre 31
224 Fonction grand potentiel 32
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41
CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43
31 Graphes simples graphes connexes 43
32 Espegraveces 44
33 Seacuteries formelles associeacutees 45
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50
35 Graphes irreacuteductibles 56
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
Arnold V 1 (1974) laquoMathematical Methods of Classical Mechanics raquo Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag New York 462 pp
Bergeron F Labelle G et Leroux P (1994) laquoTheacuteorie des espeacuteces et combinatoire des structures arborescentesraquo Montreacuteal Publications du LaCIM Vol 19 394 pp
Berkovitz 1 D (2002) laquo Convexity and Optimization in Rn raquo Pure and Applied Mashythematics A Wiley Interscience Serie of Texts Monographs and Tracts New York 268 PP
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Labelle Jacques (1981) laquoTheacuteorie des Graphesraquo Montreacuteal Modulo Eacutediteur 183 pp
Leroux Pierre (2004) laquoEnumerative problems inspired by Mayers theory of cluster integrals raquo The Electronic journal of combinatorics vol 11 R32
Leroux Pierre (2003) laquoNote on Legendre transform and line-irreducible graphs raquo Bertinoro Seacuteminaire Lotharingien de Combinatoire
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96
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Robinson Robert W (1970) laquo Enumeration of Non-Separable Graphs raquo Journal of combinatorial theory series B 9 327-356
Stauffer D et Stanley HE (1989) laquo From Newton to Mandelbrot A Primer in Theoshyretical Physics raquo Springer-Verlag Berlin Heidelberg 364 pp
Vasiliev AN (1998) laquo Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical Physics raquo Gordon and Breach Science Publishers Canada 312 pp
Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
Agrave ma chegravere grand megravere
Agrave mes chers parents
Agrave mes fregraveres et mes soeurs
Agrave toute ma famille
Agrave tous mes amis
Agrave toutes les personnes qui mont soutenu
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche
Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail
Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute
agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma
offert tou t le long de ma maicirctrise
Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron
le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de
reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres
Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement
soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures
Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal
Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute
TABLE DES MATIEgraveRES
LISTE DES FIGURES VI
REacuteSUMEacute IX
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4
11 Analyse convexe 4
12 Transformation de Legendre 7
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11
13 Ineacutegaliteacute de Young 24
CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26
21 Eacutequations fondamentales 28
22 Potentiels thermodynamiques 29
221 Fonction eacutenergie libre 29
222 Fonction enthalpie 30
223 Fonction enthalpie libre 31
224 Fonction grand potentiel 32
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41
CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43
31 Graphes simples graphes connexes 43
32 Espegraveces 44
33 Seacuteries formelles associeacutees 45
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50
35 Graphes irreacuteductibles 56
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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96
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Stauffer D et Stanley HE (1989) laquo From Newton to Mandelbrot A Primer in Theoshyretical Physics raquo Springer-Verlag Berlin Heidelberg 364 pp
Vasiliev AN (1998) laquo Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical Physics raquo Gordon and Breach Science Publishers Canada 312 pp
Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche
Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail
Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute
agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma
offert tou t le long de ma maicirctrise
Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron
le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de
reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres
Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement
soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures
Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal
Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute
TABLE DES MATIEgraveRES
LISTE DES FIGURES VI
REacuteSUMEacute IX
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4
11 Analyse convexe 4
12 Transformation de Legendre 7
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11
13 Ineacutegaliteacute de Young 24
CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26
21 Eacutequations fondamentales 28
22 Potentiels thermodynamiques 29
221 Fonction eacutenergie libre 29
222 Fonction enthalpie 30
223 Fonction enthalpie libre 31
224 Fonction grand potentiel 32
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41
CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43
31 Graphes simples graphes connexes 43
32 Espegraveces 44
33 Seacuteries formelles associeacutees 45
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50
35 Graphes irreacuteductibles 56
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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Leroux Pierre (2003) laquoNote on Legendre transform and line-irreducible graphs raquo Bertinoro Seacuteminaire Lotharingien de Combinatoire
Leroux Pierre (1983) laquoAlgegravebre lineacuteaire une approche matricielle raquo Montreacuteal Modulo Eacutediteur 500 pp
Leroux P et Miloudi B (1992) laquoGeacuteneacuteralisations de la formule dOtter raquo Annales des Sciences Matheacutematiques du Queacutebec 16 53-80
96
Ngocirc C Ngocirc H (1995) laquoPhysique statistique agrave leacutequilibre et hors deacutequilibre raquo Macson Paris 358 pp
Robinson Robert W (1970) laquo Enumeration of Non-Separable Graphs raquo Journal of combinatorial theory series B 9 327-356
Stauffer D et Stanley HE (1989) laquo From Newton to Mandelbrot A Primer in Theoshyretical Physics raquo Springer-Verlag Berlin Heidelberg 364 pp
Vasiliev AN (1998) laquo Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical Physics raquo Gordon and Breach Science Publishers Canada 312 pp
Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
TABLE DES MATIEgraveRES
LISTE DES FIGURES VI
REacuteSUMEacute IX
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4
11 Analyse convexe 4
12 Transformation de Legendre 7
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11
13 Ineacutegaliteacute de Young 24
CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26
21 Eacutequations fondamentales 28
22 Potentiels thermodynamiques 29
221 Fonction eacutenergie libre 29
222 Fonction enthalpie 30
223 Fonction enthalpie libre 31
224 Fonction grand potentiel 32
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41
CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43
31 Graphes simples graphes connexes 43
32 Espegraveces 44
33 Seacuteries formelles associeacutees 45
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50
35 Graphes irreacuteductibles 56
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
v
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68
CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79
45 Geacuteneacuteralisation 82
CONCLUSION 94
BIBLIOGRAPHIE 95
LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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LISTE DES FIGURES
11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR
12 Un ressort 20
21 La fonction ltp (r) 33
31 Un graphe simple connexe 44
32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47
33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47
34 Un arbre 48
35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50
36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51
37 Ck = E (B (CEuml)) 52
38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54
39 C - CB = NB (CEuml) 57
310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58
311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58
312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59
313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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96
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
VII
314 CAb = M (X E (bCMb)) 61
315 CITb = b (CMbf 62
316 Un M-graphe avec pieds 62
317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63
318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64
319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66
320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67
321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68
322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69
323 Une G-arborescence 70
41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78
42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79
43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83
44 Une Note 83
45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84
46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85
47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86
48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87
49 Une note avec pieds 88
410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90
viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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96
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viii
411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91
REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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REacuteSUMEacute
La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0
Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note
x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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x
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
INTRODUCTION
La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux
fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et
seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee
de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune
est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est
clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre
nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable
reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de
Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents
Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des
nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse
La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave
des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective
aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces
de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des
potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement
la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme
en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la
fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des
variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre
par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont
lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie
libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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96
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
2
fonction eacutenergie interne
La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie
essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical
Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le
chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron
Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au
seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy
irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre
Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations
Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique
Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous
deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de
leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la
fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et
les potentiels thermodynamiques
Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des
espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les
arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les
Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes
inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes
connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des
graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles
ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
3
nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des
espegraveces implicites
Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre
pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte
Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation
de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece
M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre
remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O
Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy
tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des
graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des
graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy
tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)
CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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CHAPITRE l
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE
Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation
de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes
essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy
rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute
de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)
11 Analyse convexe
Deacutefinition 11
Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout
t E [01] tx + (1 - t) YEU
Deacutefinition 12
Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est
dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]
on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante
f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )
Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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Vasiliev AN (1998) laquo Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical Physics raquo Gordon and Breach Science Publishers Canada 312 pp
Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
5
Exemple 11
La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet
pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a
Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)
= t Ilxll + (1 - t) Ilyll
Theacuteoregraveme 11
Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe
sur U si et seulement si
f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)
pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si
f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)
st (y)
~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =
-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)
Theacuteoregraveme 12
Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une
fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f
est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne
~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1
amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)
~(x)~ n (x) amp (x) n
XI X X2 X n
6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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6
est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U
alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)
Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela
i x
implique que 72f est une matrice symeacutetrique
Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un
mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux
croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si
les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs
Exemple 12
f IR x IR ------ IR
(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2
est strictement convexe sur IR x R En effet
a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~
(12xy + 2
~)1
12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =
1 2
24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R
Remarque 11
i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe
si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement
si f est strictement croissante sur J
ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe
si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O
7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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7
12 Transformation de Legendre
Deacutefinition 13
Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction
convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par
g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR
ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn
Proposition 11
9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors
9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn
sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR
suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR
sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR
lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR
tg(q)+(l-t)g(p)
Remarque 12
Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)
atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi
[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01
implique
[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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Vauclair Sylvie (1993) laquo Eacuteleacutements de physique statistique Hasard organisation eacutevoshylution raquo InterEditions Paris 268 pp
8
implique
[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)
implique
P = [1f (X)]x=x(p) (16)
Par conseacutequent
9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn
(p X(p)) -f(x(p)) (17)
~(x) Pl
~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors
t (x) Pn
Pl = ~ (x (p))
P2 = ~ (x (p)) (18)
Pn = t (x (P))
Remarque 13
Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur
IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit
9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px
en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de
Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point
x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p
Puisque f est convexe le point x (p) est unique
9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
BIBLIOGRAPHIE
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9
y j(x)
x
Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR
Exemple 13
2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi
9 (p) px (p) - x2 (p) P p2
p- - shy2 4
p2
4
Exemple 14
Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1
(x) = mx On a
10
l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi
mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=
2
p2 _ mi-z2
m 2 p2 p2
= --shym 2m p2
2m
Exemple 15
Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a
l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi
g (p) px (p) - f (x (p))
p(~-~)-f(~-~) 2 2
p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C
a a 2 a2 a2 a2 a a
1 2 b 3 b2
2a p + ~p - 2~ + C
1 2 b 2ac - 3b2
2a P + ~p+ 2a
Remarque 14
Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa
transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par
g (p) = sup (px - f (x)) xEI
Exemple 16
Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est
une fonction convexe sur [-~] En effet
l (x) = sin (x)
11
implique
f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]
Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors
9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al
px (p) - f (x (p))
Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi
g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))
= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))
= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1
parcsin (p) + JI - p2 - 1
l = domaine(g) = [-11]
121 Transformation de Legendre des formes quadratiques
Exemple 11
Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0
pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n
On a
3t(X)
3iuml(X)Vf (X)
-If (X) AX
12
En effet
f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)
ij=1
~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a
1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )
2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn
implique
st (X)
3 (X)V f (X)
-t (X)
~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)
i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)
AX
Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice
13
hessienne est eacutegale agrave A
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
= y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
Vf(X(Y)) =AX(Y)
ce qui implique
Par conseacutequent
9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))
= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)
= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2
yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2
= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2
yTA-1y _ ~yT A-1y 2
~yT A-1y2
Exemple 18
Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR
14
On a alors
V f (X) V (~XT AX +XTV +a)
V (~XT AX) + V (XTV + a)
AX +v
Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X
9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn
(YX(Y))-f(X(Y))
y T X (Y) - f (X (Y))
ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante
V f (X (Y)) = AX (Y) + V
implique
Par conseacutequent
g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))
y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a
y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2
y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2
1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a
2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a
15
Exemple 19
( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =
~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt
2 -4 Il
oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0
f(X) = ~XTAX 2
( ~1 -1
~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )
-4 11 X3
1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3
Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede
on en deacuteduit
g(Y)
17
Y3 ) 11 30 (
-2
Notation
Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f
Remarque 15
Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de
16
Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2
PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)
Xl (p)
X2 (p)
ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes
af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)
Xl X2
Exemple 110
Soit la fonction
f JR3 ---+JR
f est strictement convexe En effet
est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont
positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors
sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3
PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
17
Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes
(
Pl ocircocircf (X (p)) Xl
2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3
et
f P2 ocircocirc (X (p))
x2
2XI (p) + 6X2 (p) + x3
implique 3 1 11
Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4
et 113
X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444
Par conseacutequent
PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)
PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)
-X2 (p) X3 - 7x~
3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3
Lemme 11
Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction
convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)
18
Preuve
Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))
ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc
dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))
x (p) (111)
o
Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors
d dp (x (P))
d~ (x (~ (x (P))) )
dx (df ) d2f dx
dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)
dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)
( (p)r (x (p))
gt 0 car f est convexe
ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt
On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive
Theacuteorecircme 13
La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de
Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie
c (c (1)) (x) = f (x) (112)
(Arnold 1974)
19
Preuve
Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors
la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque
f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe
x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet
pour x = Xo
g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR
= pXo - f (xo)
implique
f (xo) = pXo - g (p)
Donc
12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)
sup (xop - g (p)) pEIR
f (xo)
On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On
a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons
12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)
xp (x) - g (p (x))
ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))
Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))
Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique
20
x ( ~) (p (x))
y(p(x))
et
L(L(J)) (x) L(g) (x)
xp(x) - 9 (p (x))
y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1
xp (x) - p (x) x + f (x)
f (x)
Exemple 111
Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation
de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort
E (x) = 2k (x - xo)
2
ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute
du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t
quelconque Voir la figure 12
E est une fonction strictement convexe de x En effet
E (x) = 2k (x - xo)
2
I~ o Xo x
Figure 12 Un ressort
---------------------
21
implique
d~~X) = k (x - xQ)
implique
kgt 0
dougrave E est strictement convexe
E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon
harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information
que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce
systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par
T = _ dE(x) dx
Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee
de Legendre de E pour la variable -x alors
9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR
-Tx (T) - E (x (T))
On a
dET -- (x(T))
dx -k (x (T) - XQ)
implique T
x(T) = -k +xQ
Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable
9 (T) -Tx (T) - E (x (T))
= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ
22
Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu
linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et
E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la
fonction 9 pour la variable - T)
E(x) = sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
ougrave
dgx -- (T(x))
dT
d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo
dT 2k
-(TiX ) - xo)
implique
T(x) = -k(x - xo)
et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9
pour la variable -x)
E(x) sup(-xT-g(T)) TER
= -xT(x)-g(T(x))
23
Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E
E(x) -xT(x)-g(T(x))
T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo
k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo
2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy
2
2k (x - xo)
2
Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et
lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel
E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2
2 k 2
T2
2k
qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et
la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme
Remarque 16
La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)
sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de
deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral
e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)
Exemple 112
Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves
lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction
24
92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a
91 (p) + 92 (p)
Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee
de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant
m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique
L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)
dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire
13 Ineacutegaliteacute de Young
On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves
le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante
Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)
Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors
px 5 f (x) + 9 (p) (114)
Preuve
La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car
9 (p) L (f) (p)
sup(px-f(x)) xEIR
gt px - f (x) pour tout x E IR
Par conseacutequent
g(p)+f(x) 2 px
25
Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations
Exemple 113
Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors
px ~ x22 + p22
CHAPITRE II
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides
parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy
deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre
objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie
interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons
par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce
chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)
Grandeurs intensives et grandeurs extensives
) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la
quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive
Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses
valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement
en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs
extensives
bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere
consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p
la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives
27
Variables deacutetat et fonctions deacutetat
Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance
suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies
comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables
deacutetat par des eacutequations deacutetat
Deacutefinition 21 (Eacutenergie)
Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive
appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy
constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur
Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)
Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution
dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee
au systegraveme consideacutereacute telle que
ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux
forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)
et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie
interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les
variables
Deacutefinition 23 (Fonction entropie)
Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui
est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la
relation suivante
S=S(UVN)
ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation
28
sappelle leacutequation fondamentale de lentropie
Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en
U = U (S V N)
qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne
21 Eacutequations fondamentales
Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire
au au au dU = as dS + av dV + aNdN
ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles
dU = TdS - pdV + J-LdN
implique
au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)
au et J-L(S VN) aN (S VN)
on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif
Par suite 1 P J-L
dS = -dU+ -dV - -dN T TT
implique
1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)
Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy
riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations
29
fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie
T = T(U VN) ou T = T(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
p = p(U VN) ou p = p(S VN)
De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme
De T = T (S V N) on deacuteduit
S = S (T V N)
22 Potentiels thermodynamiques
221 Fonction eacutenergie libre
On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy
mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation
-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s
ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi
F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s
- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))
U (S (T V N) V N) - TS (T V N)
ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation
au T = as (S (T V N) V N)
De la relation
dU = TdS - pdV + pdN
30
on deacuteduit immeacutediatement
dF = dU - d(TS)
-SdT - pdV + pdN
implique
ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)
La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors
U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T
-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)
ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)
222 Fonction enthalpie
Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S
p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante
-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v
ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi
H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v
pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)
ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation
ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)
31
Ainsi
dH dU+d(pV)
dU +pdV + Vdp
TdS - pdV + fldN + pdV + V dp
TdS + fldN + Vdp
par conseacutequent
aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)
223 Fonction enthalpie libre
On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy
ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation
-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv
ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi
G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv
-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)
ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre
32
dG d(-TS +pV + U)
dU - d(TS) + d(pV)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV
JLdN + Vdp - SdT
par conseacutequent
aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)
224 Fonction grand potentiel
On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie
par la relation
-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi
- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN
-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))
ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes
au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))
On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel
dw d(-TS - JLN + U)
dU - d(TS) - d(JLN)
TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL
-pdV - SdT - NdJL
33
T T
Figure 21 La fonction cp (r)
par conseacutequent
23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait
Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune
reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par
les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par
N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)
i=l liltjN
ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme
particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures
1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy
action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21
La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par
Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df
34
ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est
la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension
6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose
que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies
cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)
peut ecirctre donneacutee sous la forme
Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj
1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml
Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la
distribution grand-canonique On la note
Zgr (V T z) = L00
Z (V T n) (Agrave3zf n=O
ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques
du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p
le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par
- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V
Exemple 21 (gaz parfait)
Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les
unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par
35
conseacutequent la fonction de partition devient
Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN
1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN
VN Ngt3N
27rm) 3j VN( h6 N
3N 27rmkT) T VN
( h N
ainsi
00
Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O
00 vn 3L gt3n (gt zr
n=Ucirc n
f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)
Donc le nombre moyen de particules N est
ocircN z ocircz log Zgr (V T z)
ocirc zocircz log exp (Vz)
ocirc zocircz(Vz)
zV
Par conseacutequent
36
pV kT log Zgr (V T z)
kT log exp (Vz)
= kTVz
= NkT
Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants
24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par
leacutequation suivante
1 acircZU --shy
Z acirc(3 acircln (Z)
acirc(3
Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc
acirc(3 = -kT acircT
ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme
U = kT2 acirc ln (Z)acircT
Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante
1 S = rU + k ln (Z)
37
Ce qui implique
~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n
kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT
k (T81~Z) + In(Z))
Ocirc (TIn (Z))k 8T
Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre
F= U -TS
peut ecirctre reeacutecrite sous la forme
F U - T (~U + k ln (Z) )
-kTln(Z)
Ainsi
Ainsi on trouve la pression
ocircF p
OcircV 8ln (Z)
kT ocircV
On en deacuteduit donc la fonction enthalpie
H pV+U
VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT
kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT
~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT
38
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
F+pV
-kTln(Z) + VkT81~~Z)
kT (vacircl~~Z) -ln(Z))
~ (vacircl~~Z) -ln(Z))
On a
F = -kTln (Z)
En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient
dF = -d (kTln (Z))
En eacutevaluant le second membre
-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN
et faisan t appel agrave la relation connue
dF = -SdT - pdV + JLdN
on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions
pour dF
Nous obtenons de plus le potentiel chimique
On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel
li = TS--LN +U
T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U
= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN
2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN
kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN
= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))
Exemple 22 (cas dun gaz parfait)
Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee
par N = (27fm) 31 V
Z h3 N
implique
InZ ~ ln (C~) f ~)
~ ln (C~) f) +In V N -InN
= 3 ln (2~) + N ln V - ln N
3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN
= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N
Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique
InN c= Nln(N) - N
40
Par conseacutequent
InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N
N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)
N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy
namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors
aln (Z)U
ajJ 3N
213 ~NkT2
On a aussi
kTaln(Z)p av NkT V
on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait
pV = NkT
Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par
s
41
L
Enfin le potentiel chimique est donneacute par
-kT (OcircI~Z))
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )
- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)
25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques
Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la
distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie
est donneacutee par leacutequation suivante
U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T
ie
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent
III =-kTln(Zgr(VTz))
On a que
ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)
Ce qui implique
s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL
qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet
U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))
42
entraicircne que
U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N
-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy
kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-
Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme
F U-TS
kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T
kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
La fonction enthalpie est donneacutee par
H pV+U
kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-
Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre
G U -TS+pV
28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V
kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))
CHAPITRE III
THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES
Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront
utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts
despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy
liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes
connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles
Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre
proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)
31 Graphes simples graphes connexes
Deacutefinition 31
Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute
lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble
des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))
Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est
le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit
d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot
Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute
44
y b
a x
c
Figure 31 Un graphe simple connexe
Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets
XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml
Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et
X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m
on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une
chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple
Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne
de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple
Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que
le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))
soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un
pont) de g
Exemple 31
Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et
larecircte a est un isthme
32 Espegraveces
Deacutefinition 32
Une espegravece de structures est un foncteur
F la ---+ lE
45
ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles
finis et fonctions
Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute
lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t
F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette
application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes
a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a
b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a
33 Seacuteries formelles associeacutees
Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F
1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
xn
F(x) = L IF [n]I (31) n
n~O
ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n
2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
F (x) = L Fnxn (32) n~O
ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n
3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle
(33)
46
OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre
de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur
j
Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes
laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage
(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour
en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune
famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute
suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant
est commutatif
FIU] ~ C[U]
Flu] l l Glui (34)
FIV] ~ C[VI
Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave
F(x)=C(x)
F~C~ F(x)=G(x) (35)
ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)
Exemple 32
Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes
simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante
9 = E(C)
ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece
des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes
9 (x) = exp (C (x))
47
3
~
( -
Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes
Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et
Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )
exp (~~ecirc (Xk))
pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie
Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction
fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe
connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)
Exemple 33
Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y
ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables
48
3 4
3 2
3 4 f 4
centre
Figure 34 Un arbre
Deacutefinition 33
Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte
Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre
sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors
e (8) = max (d (8 t))tES
Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum
Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit
une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on
procegravede par un effeuillage Voir la figure 34
Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)
Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante
(36)
ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une
arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en
une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont
49
eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte
Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un
sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant
elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-
1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente
agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure
2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le
sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a
on obtient une a--structure Voir la figure 35
Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute
adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme
cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans
le 1er cas et on distingue seulement s
D
Remarque 31
Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme
a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas
pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte
distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme
un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient
un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le
sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre
donneacutee sous la forme suivante
(37)
50
lcentre
Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)
Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne
constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux
par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre
bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets
blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les
lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)
dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs
de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le
bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun
graphe est soit un sommet soit un bloc
51
B B A
D il D
E
E P
ni
G G
al bl cl
Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes
dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille
de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les
graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels
graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois
sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont
tous les blocs sont des triangles
Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de
CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
(38)
ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons
Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P
point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante
P- = X pl (39)
52
middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~
shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))
Proposition 31
Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
CB= E (B (CB)) (310)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles
Preuve
Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet
appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy
composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37
ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33
Si on multiplie par X on trouve
CB = X CB= X E (B (CB)) (311)
et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve
CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))
53
Exemple 34
i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences
Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien
connue pour lespegravece des arborecences
(312)
ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la
relation suivante
Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)
Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont
tous les blocs sont dans B Alors on a
(313)
ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un
bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement
Preuve
Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration
est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes
soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme
CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre
du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en
un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant
lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre
est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la
figure 33
54
Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes
D
Remarque 32
Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Exemple 35
Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la
relation suivante
55
En effet dapregraves la remarque 32 on a
CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)
En remplacant B par Ba on trouve
C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)
X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot
(X + Ba - X B~) (Cmiddot)
Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante
FoX=XoF=F (315)
Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun
bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB
alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors
NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants
(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O
Proposition 32
Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors
(316)
Preuve
Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas
tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe
NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)
est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On
retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont
56
attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes
inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent
les blocs de 9 qui ne sont pas dans B
35 Graphes irreacuteductibles
Deacutefinition 34
Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2
ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes
Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe
2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal
dun graphe Voir la figure 310
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors
CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles
alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un
arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces
mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant
Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme
Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre
correspondant
Proposition 33
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a
CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)
ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB
57
g bc(g)
bc(h) h
Figure 39 C - CB = NB (CjJ
58
Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles
Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
CM-structures Voir la figure 311 o
Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors
(318)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute
appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de
59
CMb-structures Voir la figure 312 o
Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont
toutes les mottes sont dans M Alors on a
(319)
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme
soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est
clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy
centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant
en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313
Remarque 33
Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
60
Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes
(320)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)
Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un
compteur disthmes b Alors on a
C~lb + CMb = CMb + CITb (321)
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes
--
61
Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))
Remarque 34
Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2
(322)
En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant
listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de
listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans
CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave
des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314
Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy
motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une
(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la
figure 315
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un
M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes
un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la
figure 316
62
2
Figure 315 C~b = b (CMb)
Figure 316 Un M-graphe avec pieds
63
Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))
On a alors
OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))
Me(XE(Z)) (323)
Voir la figure 317
Deacutefinition 35
Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici
a est une variable formelle
Alors on a par (323)
Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))
aZ - J-r (XE (Z)) (325)
64
f-----ltO b
b
Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))
Deacutefinition 36
Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
(326)
ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes
dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes
des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une
arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318
Noter que
rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)
65
Deacutefinition 37
Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)
ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))
= bT + bCMb (XE (bT)) (328)
Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme
de poids b
Proposition 37
Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
y = bT + blvr (XE (Y)) (329)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34
En effet
bT + bCNb (XE (bT))
bT + bCMb (X)IX=XE(bT)
bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))
bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )
bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))
Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la
figure 319
66
Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))
Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)
Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures
deacutefinie par (326) cest-agrave-dire
9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)
Alors on a
9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )
ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une
paire incidente isthme-motte respectivement
67
Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds
Preuve
La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir
la figue 320
Remarque 35
Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(332)
ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui
sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de
deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme
iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les
68
middot
Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))
graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant
ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321
Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une
paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure
du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme
iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322
36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures
Proposition 39
Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy
sition canonique est est de la forme suivante
F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)
Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que
F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X
69
-~frX
Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)
Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )
Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)
Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes
8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)
Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves
une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O
Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)
En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy
tion fonctionnelle suivante
y = X +G(Y) (334)
70
Figure 323 Une C-arborescence
Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des
structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que
lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici
lensemble sous-jacent est U = abcdefgh
Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par
C (0) = 0 et C (0) = O
Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a
et eacutegalement
F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O
Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)
Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures
leacutequation (334) se ramegravene agrave
Y = Xmiddot R(Y) (335)
71
avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent
ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est
toujours possible deacutecrire
G (y) = yD (y)
avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont
dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec
R (y) = (1 - D (y))-l
CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES
ESPEgraveCES
Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation
de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons
que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par
rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece
M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece
N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des
resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire
Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)
41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte
Soit V (Z) une espegravece de structures telle que
av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)
Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece
V (Z) par rapport agrave Z
F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)
ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation
av T = az (Z) (43)
73
Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (T) solution de leacutequation (43)
Leacutequation (42) donne alors
F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)
Remarque 41
On a
aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT
a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)
8T az aT a a
A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT
A(T)
Proposition 41
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy
agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la
transformeacutee de Legendre de lespegravece F
Preuve
Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que
Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave
T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T
On doit avoir
W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)
74
ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation
Or aF aT (T) = A (T)
Par conseacutequent
B (Z) A(-l) (T)
av az (Z)
De (44) on tire
v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))
W(Z)
42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy
port agrave une sorte
Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que
av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)
Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant
La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes
F (X T) deacutefinie par
F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)
ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation
(47)
75
Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique
espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)
Lequation (46) se ramegravene agrave
F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)
Remarque 42
On a
Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))
ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)
ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)
A (X T)
Proposition 42
La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave
une sorte est involutive
Preuve
La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41
43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece
pondeacutereacutee deacutefinie par
VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)
Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation
(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice
exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ
76
On a
acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
acircVMT acircZ (X Z)
aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)
ce qui implique
Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =
AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37
Theacuteoregraveme 41
Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee
de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =
dMb (X T) deacutefinie par leacutequation
dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en
77
deacuteduit que
F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))
TAM - VM (XAM)
TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT
aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)
CcedilM (X T)
Ceci complegravete la preuve
o
431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet
Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34
CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences
satisfaisant amiddot = X E (amiddot)
De plus
VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)
et
(413)
Notons
ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)
lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte
X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
78
-
b ~Ocirc f b b
b ~ bull -- - ~ - ------Ii
b ) middotbmiddot 1 b -
1 bullbullbull bullbullbullbull
bull 0
Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))
Ainsi on a
agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT
bT + bamiddot (XE (bT)) (416)
OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X
et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors
AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)
Voir la figure 41
On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles
que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre
79
Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))
44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte
X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour
chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a
a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)
et oa oT (X T) = A (X T)
ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b
Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et
A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)
Voir la figure 42
80
Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)
Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et
les feuilles sont de sorte T Alors on a
a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)
ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une
arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy
meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)
Remarque 43
Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)
Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation
B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)
Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet
aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)
= aZ - X E~ 1 (Z)
et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)
donc
81
aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)
O
et
Alors leacutequation (47) seacutecrit
aBT az (X Z)
aZ - XE1 (Z) (423)
ce qui implique
Z = -1T + -1
X EgtdZ) (424)a a -
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia
Voir leacutequation (419)
Proposition 44
Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les
sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1
alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par
lespegravece a (X T)
Preuve
Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)
82
on en deacuteduit que
F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))
Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))
X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)
1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)
1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)
a(XT)
Ceci complegravete la preuve
45 Geacuteneacuteralisation
Deacutefinition 41
On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur
un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe
induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou
les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier
de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43
Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une
N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons
le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note
Deacutefinition 42
Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T
est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np
eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe
induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans
boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45
bull bull
bull bull
83
Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g
bull bull bull N
bull Figure 44 Une Note
84
a) b)
Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f
Proposition 45
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors
(425)
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy
tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures
Voir la figure 46
Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par
un compteur darecirctes b Alors
(426)
0
85
Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))
Preuve
Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy
partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy
structures Voir la figure 47
Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)
Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a
(427)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte
86
Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )
soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes
dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est
clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection
naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy
centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en
direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48
Remarque 44
Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)
ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements
87
Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes
88
Figure 49 Une note avec pieds
Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes
et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a
(429)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)
la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes
Remarque 45
Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
(430)
Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy
graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un
nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49
89
On a alors
O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))
= Nmiddot (XE (Z)) (431 )
Deacutefinition 43
Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)
Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a
Alors on a par (431)
oVN oZ (XZ)
o oZ (aZ2
- aE2(Z) shy N (XE (Z)))
aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)
Deacutefinition 44
Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)
ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee
par un compteur darecirctes b
Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une
arecircte de poids b Voir la figure 410
Noter que
O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)
90
Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))
Deacutefinition 45
Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par
8 AN (XT) 8T QN (X T)
8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))
bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)
Proposition 49
Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante
(437)
Preuve
Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46
91
~
1 I-_-~
---+-gtltb
b
bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i
middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b
~ -
b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N
middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~
uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b
b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~
Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
En effet
AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))
bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)
bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))
bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))
Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy
gure 411
92
Proposition 410 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gN-graphes)
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et soit gN (X T) = gN (X E (bT))
lespegravece de structures deacutefinie par
gN (X T) = bE2 (T) + QNb (X E (bT))
Alors on a
gtv (X T) + gpy (X T) = gN (X T) + gw (X T) (438)
ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une
paire incidente arecircte-note respectivement
Preuve
La deacutemonstration de cette relation est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie
pour les QN-graphes
Remarque 46
Leacutequation (438) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante
Soit N une classe de notes et soit VN (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation (432)
On a
ocirc (X Z) = aZ - Ne (XE (Z))
et leacutequation (47) seacutecrit
T = OcircVN (X Z) ocircZ
= aZ-Ne(XE(Z)) (440)
93
ce qui implique
(441)
Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette
eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AN (X T) =
ANb (X T) avec b = lia Voir la proposition 49
Theacuteoregraveme 42
Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et supposons que ab = 1 Alors la
transformeacutee de Legendre F (X T) de VN (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece
YN (X T) = YNb (X T) deacutefinie par leacutequation
YN (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT))
Preuve
Nous devons montrer que F (X T) = YN (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de
dissymeacutetrie pour les YN-graphes (remarque 46) et posant AN = AN (X T) on en
deacuteduit que
F(XT) TAN (X T) - VN (X AN (X T))
TAN - VN (XAN)
TAN - (aA7v - aE2 (AN) - N (XE (AN)))
aE2(AN) + N (XE (AN)) - aA7v + ANT
aE2(AN) + N(XE(AN)) - aAN (AN - ~T) 1 1 bE2 (AN) + N (XE (AN)) - bAN (AN - bT)
YN(XT)
Ceci complegravete la preuve
o
CONCLUSION
Au siegravecle dernier il ny avait pas dans la litteacuterature matheacutematique de lien entre la
notion despegraveces de structure5 et la transformation de Legendre Pierre Leroux a eacuteteacute le
premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegraveces de structures)
Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que lespegravece gM (X T) est la transformeacutee de Legendre de
lespegravece VM (X Z) Ce travail a eacuteteacute consacreacutee agrave cette preuve combinatoire
Plus preacuteciseacutement dans le cadre de ce travail de recherche agrave la maicirctrise nous avons eacutetudieacute
lespegravece gM (X T) qui est la transformation de Legendre de lespegravece VM(X Z) par rapshy
port agrave Z et nous avons montreacute que lespegravece M des graphes irreacuteductibles introduite dans
la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque
avec N [0] = O
Les sujets abordeacutes dans ce meacutemoire ouvrent la voie vers plusieurs champs de recherche
possibles On pourrait par exemple eacutetudier des potentiels thermodynamiques qui ont la
forme suivante aZ - N (x exp (z)) ougrave N est une fonction deacutetat
Finalement ce meacutemoire nous a permis dacqueacuterir une plus grande compreacutehension de
plusieurs notions en analyse en thermodynamique et en theacuteorie des espegraveces Les foncshy
tions convexes la transformation de Legendre dune fonction deacuterivable et convexe linshy
eacutegaliteacute de Young leacutenergie interne lentropie la fonction de partition les potentiels
thermodynamiques (lenthalpie leacutenergie libre lenthalpie libre et le grand potentiel)
les graphes connexes les graphes inseacuteparables (2-connexes) les graphes irreacuteductibles (2shy
arecirctes connexes) les espegraveces de structures et la transformation de Legendre des espegraveces
de structures agrave une sorte et agrave deux sortes
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