transformasi z
TRANSCRIPT
![Page 1: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/1.jpg)
Transformasi ZOleh : Ibnu Hakim
FeriSiti Albaniah
![Page 2: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Adalah suatu transformasi yang mengubah sinyal waktu diskrit ke dalam bentuk kompleks dalam domain frekuensi
Berguna untuk menyelesaikan persamaan beda (difference equation). Hal ini serupa dengan kegunaan transformasi Laplace, tetapi berlaku untuk sinyal dan sistem waktu diskrit.
![Page 3: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/3.jpg)
Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) didefinisikan sebagai:
n
nz)n(x)z(X
di mana z adalah suatu variabel bilangan komplek, yaitu z = re j .Im(z)
Re(z)
r
![Page 4: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/4.jpg)
Transformasi-z adalah suatu deret tak hingga, sehingga mungkin divergen untuk beberapa nilai z.
Transformasi-z hanya didefinisikan untuk suatu daerah yang hasil transformasinya adalah terhingga, diberi nama Region of Convergence.
Region Of Convergence (ROC) dari transformasi-z berbentuk :
R1 < |z| < R2, dimana |z| = r. dengan batas R1 dan R2 adalah tergantung pada sinyal yang ditransformasikan.
![Page 5: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/5.jpg)
Cari Transformasi-Z dari sinyal-sinyal berikut:a). x1(n) = {1, 2, 3, 5, 7, 0, 1} b). x2(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 0, 1}
Jawaba). X1(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 5z-3 + 7z-4 + z-6 ; ROC: z ≠ 0b). X2(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + z-6; ROC: z ≠ 0
![Page 6: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/6.jpg)
Cari Transformasi-Z dari sinyal:x3(n) = u(n) = {1, 1, 1, 1, … }
JawabX3(z) = 1 + z -1 + z -2 + z -3 + …jika z –1 = A, maka :X3(z) = 1 + A + A2 + A3 + ...kedua ruas dari persamaan di atas dikalikan dengan (1 – A), dihasilkan: X3(z) =
A11
![Page 7: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/7.jpg)
Sifat-sifat Transformasi ZSifat-sifat Transformasi ZLinierPenggeseran WaktuPerkalian dengan WaktuPembalikan WaktuPerkalian dengan an
Teorema Nilai Awal Teorema Nilai Akhir
![Page 8: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/8.jpg)
Z[a1 x1(n) + a2 x2(n)] = a1 X1(z) + a2 X2(z) Contoh:
Cari transformasi z dari x(n) = u(n) + 0,9n u(n)
Jawab:Transformasi z dari u(n) = z/(z – 1)Transformasi z dari 0,9n u(n) = z/(z – 0,9)maka transformasi z dari u(n) + 0,9n u(n) :
)9,0z)(1z(z9,1z2
)9,0z)(1z()1z(z9,0zz
9,0zz
1zz 2
![Page 9: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/9.jpg)
Z[x(n–1)] = z -1X(z) + x(–1) Z[x(n–2)] = z -2X(z) + x(–2) + z -1x(–1) Z[x(n–k)] = z -kX(z) + x(–k) + z -1x(–k+1) + ...
+ z –k+1x(–1) Z[x(n+1)] = z X(z) – z x(0) Z[x(n+2)] = z 2 X(z) – z2 x(0) – z x(1) Z[x(n+k)] = z k X(z) – zk x(0) – zk-1 x(1) – ...
– z x(k–1)
![Page 10: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh Cari transformasi z dari x(n) = u(n + 2)
Jawab:Z[u(n+2)] = z 2 X(z) – z2 x(0) – z x(1)
1z1zz
1z1zz
1zzzzz
1zzz 2222
1zz
1zzzzzz 2233
![Page 11: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/11.jpg)
Z[n x(n)] = Contoh :
Tentukan transformasi z dari x(n) = n.u(n) Jawab :
Z[n.u(n)] = =
=
)z(Xdzdz
)z(Xdzdz
21z
)1(z11zz1z
zdzdz
22 1zz
1z1z
![Page 12: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/12.jpg)
Z[x(–n)] = X(1/z) Contoh :
Cari transformasi z dari x(n) = u(–n) Jawab:
Z[u(–n)] =z1
11z
z1
1
![Page 13: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/13.jpg)
Z[an x(n)] = X(z/a) Contoh :
Tentukan transformasi z dari x(n) = 0,8n u(n)
Jawab :Z[0,8n u(n)] = X(z/0,8) =
8,0zz
18,0/z8,0/z
![Page 14: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/14.jpg)
Jika Z[x(n)] = X(z), maka x(0) = Contoh :
Tentukan nilai awal x(0) jika Jawab :
x(0) = = = 1
zXlimz
9,0zz)z(X
zXlimz
9,0zzlim
z
![Page 15: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/15.jpg)
Jika Z[x(n)] = X(z), maka
Contoh :Tentukan nilai akhir x(∞) jika
Jawab : = = 0
)z(X1zlim)n(xlim1zn
9,0zz)z(X
)z(X1zlim)n(xlim1zn
9,0z
z1zlim1z
![Page 16: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/16.jpg)
Tabel Pasangan Transformasi Z
![Page 17: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/17.jpg)
No Sinyal diskritx(n)
Transformasi-zX(z)
ROC
1 (n) 1 Seluruh z
2 u(n) |z| > 1
3 a n u(n) |z| > |a|
4 n a n u(n) |z| > |a|
5 – a n u(– n –1) |z| < |a|
6 – n a n u(– n –1) |z| < |a|
1zz
z11
1
azz
az11
1
azz
az11
1
221
1
azaz
az1
az
221
1
azaz
az1
az
![Page 18: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/18.jpg)
No Sinyal diskrit Transformasi-z ROC7 (cos 0 n) u(n) |z| > 1
8 (sin 0 n) u(n) |z| > 1
9 (an cos 0n) u(n) |z| > |a|
10 (an sin 0 n) u(n) |z| > |a|
1cosz2zcoszz
zcosz21cosz1
02
02
20
10
1
1cosz2zsinz
zcosz21sinz
02
0
20
10
1
20
20
2
220
10
1
acosaz2zcosazz
zacosaz21cosaz1
20
20
220
10
1
acosaz2zsinaz
zacosaz21sinaz
![Page 19: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/19.jpg)
Tidak berisi informasi tentang sinyal x(n) untuk waktu negatif atau n < 0
Bersifat unik hanya untuk sinyal kausal, karena sinyal-sinyal ini yang bernilai nol untuk n < 0
Bila kita membahas transformasi z satu sisi, kita tidak perlu membahas ROC-nya.
0n
nz )n(x)z(X
![Page 20: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/20.jpg)
Menghitung langsung integral kontur Ekspansi dalam deret pangkat, dengan
variabel z dan z–1
Ekspansi pecahan parsial dan melihat tabel pasangan transformasi
C
1n dzzzXj2
1)n(x
![Page 21: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/21.jpg)
1. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan tak berulang
2. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan berulang3. X(z) terdiri pole-pole pasangan komplek
![Page 22: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/22.jpg)
Pole Riil dan Tak berulangn mdengan ;
azazazbzbzbzb
)z(Xn1n
1n1
nm1m
1m1
m0
pzpzpz
bzbzbzb)z(X
n21
m1m1m
1m
0
n
n
2
2
1
1
pza
pza
pza
z)z(X
ipz
ii z)z(Xpza
![Page 23: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 2•Tentukan invers transformasi z dari:
•Jawab:
1z :ROC jika ;z5,0z5,11
1)z(X 21
5,0z5,1zz)z(X 2
2
5,0za
1za
5,0z5,1zz
z)z(X 21
2
1z1z1 5,0z
z5,0z1z
z1za
![Page 24: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 2 (lanjutan)
5,0z5,0z
2 1zz
5,0z1zz5,0za
5,0z1
1z2
z)z(X
5,0zz
1zz2)z(X
x(n) = 2 u(n) – (0,5)n
u(n)
![Page 25: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/25.jpg)
Jika X(z)/z memiliki pole-pole berulang pada p1 dengan pangkat r, maka penyebut dapat ditulis sebagai: (z + p1)r (z + pr +1)(z + pr +2)…(z + pn)
Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z ditulis sebagai:
n
n
2r
2r
1r
1r
1
11r
1
1rr
1
r
pza
pza
pza
pzb
pzb
pzb
z)z(X
![Page 26: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/26.jpg)
Nilai-nilai konstanta br, br-1, …, b1 dicari dengan rumus:
1
1
1
1
pz
r11r
1r
1
pz
r1j
j
jr
pz
r11r
pz
r1r
pzz
)z(Xdzd
!1r1b
pzz
)z(Xdzd
!j1b
pzz
)z(Xdzdb
pzz
)z(Xb
![Page 27: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh 3•Tentukan invers transformasi-z dari:
•Jawab: Pemfaktoran dari X(z)/z menghasilkan:
1zzzzz2z6)z(X 23
23
1z1z1z2z6
1zzz1z2z6
z)z(X
2
2
23
2
1za
1zb
1zb
z)z(X 1
22
![Page 28: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/28.jpg)
Jika p1 dan p2 adalah pole-pole pasangan bilangan komplek, dan pole lainnya adalah pole riil dan tak berulang, maka ekspansi berikut dapat dipakai:
n
n
21
21
pza
pzpzz
z)z(X
nilai-nilai dari 1 dan 2 ditemukan dengan rumus: zBpzpzapzpzz 21nn321
B(z) adalah bagian pembilang dari X(z)/z.
![Page 29: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh 4•Tentukan invers transformasi z dari:
•Jawab: Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z adalah:
nilai a dicari dengan:
1zz1zzz
1z2z2zzz)z(X 2
2
23
2
1zzz
1za
1zz1z1z
z)z(X
221
2
21zz
1z1zzzXa
1z2
1z
![Page 30: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh 4 (lanjutan)
kemudian dicari nilai 1 dan 2 dengan menyamakan penyebut dari kedua ruas :
2(z2 – z + 1) + (z – 1)( 1z + 2) = z + 1
2z2 – 2z + 2 + (1z2 – 1z + 2z – 2) = z + 1
(2 + 1)z2 + (-2 – 1 + 2)z + (2 – 2)z0 = z + 1
1zzz
1z2
1zz1z1z
221
2
![Page 31: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh 4 (lanjutan)
sehingga :z2 : 2 + 1 = 0z1 : -2 – 1 + 2 = 1z0 : 2 – 2 = 1akhirnya didapatkan 1 = –2 dan 2 = 1, sehingga:
;1zz1z2
1z2
z)z(X
2
1zzz5,0z2
1zz2)z(X 2
2
![Page 32: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh 4 (lanjutan)
1zzz5,0z2 2
2
20
20
2
acosaz2zcosazz
Z[(an cos 0n) u(n)]
maka a = 1, cos 0 = 0,5, dan diperoleh 0 = /3,
sehingga didapat:x(n) = 2.u(n) – 2 u(n) cos (/3)n
![Page 33: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/34.jpg)
Tentukan respon sistem berikut untuk input x(n)
adalah unit step:
0,25 y(n) = – y(n + 2) + y(n +1) + x(n + 2)
dengan y(0) = 1, y(1) = 2
![Page 35: Transformasi z](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061410/587054b31a28aba2118b50c5/html5/thumbnails/35.jpg)
Jawab: Dengan mengambil tranformasi-z satu sisi:
0,25 Y(z) = – [z2 Y(z) – z2 y(0) – zy(1)] + [zY(z) – zy(0)] + z2 X(z) – z2 x(0) –
zx(1) = – z2 Y(z) + z2 + 2z + zY(z) – z + z2 X(z) – z2 – z Y(z) [0,25 – z + z2] = z2 X(z) = z3 /(z – 1)
5,0zb
5,0zb
1za
5,0z1zz
25,0zz1
1zz
z)z(Y
12
22
2
2
2