transformada de laplace-2018-para repaso de...

Transformada de Laplace. 2018

1

MSc. Laura Oliva-Dra. Lorena Correa- Bioing. Adrián Gusberti

Definición de la Transformada de Laplace Sea )(tf una función causal, es decir definida para 0≥t , y 0)( =tf para todo 0<t . Se define la Transformada de Laplace

� [ ] )()()(0

sFdtetftfst == ∫

∞−

Donde:

ste − es el núcleo de la transformación

t recorre el dominio de integración desde 0 a ∞ s es un parámetro complejo ωσ js += llamada frecuencia compleja

La transformada de Laplace de la función f(t) existe cuando ∫∞

−=0

)()( dtetfsFst converge

en alguna región del plano s. Ejemplo 1:

� [ ]ss

e

s

edte

sstst 1

110

00

==

−==

−∞

−∞−

∫

Este resultado es valido para cuando �� 0 . Ejemplo 2:

� [ ]asas

edtedteee

tastasstatat

−=

−−===

∞−−∞

−−∞

−∫∫

1

0

)(

0

)(

0

Este resultado es valido para cuando �� .

Si a es real: � [ ]as

eta

−=

1 si ��

Función de Orden Exponencial Una función causal, f(t) es de orden exponencial R∈γ , si existe una constante real

M>0 tal que t)( γMetf < .

tγMe

t

0

s

a

s


2


Existencia de la Transformada de Laplace Teorema: Si la función )(tf es continua por partes en un intervalo finito y )(tf es de orden exponencial “γ” entonces existe la transformada de Laplace )(sF si γ>)(Re sal . Propiedades de la transformada de Laplace Linealidad [ ] )()()()(£ 22112211 sFksFktfktfk +=+ La Transformada de Laplace al depender de una integral cumple con la propiedad de linealidad.

[ ] [ ] [ ] )()()(£)(£)()(£ 221122112211 sFksFktfktfktfktfk +=+=+

Ejemplos:

[ ] [ ] [ ]( )

1

1

)1(4

4

44

2222

22

1

22

1

)(

1

)(

1

2

1££

2

1

2£)(£

222 +=

+−

−=

−−

−−−

=−

−+

=

+−

−=−=

−= −

−

sss

sjsj

sjsjjsjsjee

jj

eetsen

jtjtjtjt

Cambio de escala: Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces [ ]

=

a

sF

aatf

1)(£

Ejemplo: Sabiendo que [ ]1

1)(£

2 +=

stsen calculemos [ ] =)(£ atsen utilizando la propiedad

de cambio de escala

[ ]2222

2

2222 )(

1

/)(

11

1)/(

11)(£

as

a

as

a

aaasaasaatsen

+=

+=

+=

+=

Función Escalón Unitario La función ( )tu es la función escalón unitario o Función de Heaviside. Se define como:

( )

>

<=

01

00

t

ttu si está trasladada: ( )

>

<=−

at

atatu

1

0


3


Esta función es muy utilizada en control porque proporciona una herramienta para construir una señal como sumatoria de funciones escalón. Permite encender una señal en un instante de tiempo �.

Transformada de Laplace de la función Escalón Unitario [ ]s

eatu

sa−

=− )(£

[ ]s

e

s

edtedteatuatu

sa

a

st

a

stst−

∞−∞

−∞

− =

−==−=− ∫∫

0

)()(£

Otras Propiedades de la Transformada de Laplace Traslación en el tiempo: Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces [ ] )()()(£ sFeatuatf sa−=−−

Traslación en s: Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces [ ] )()(£ asFtfeat −= Ejemplo:

[ ] [ ]1)(

)cos(£1)(

1)(£

22 +−

−=

+−=

as

aste

astsene atat

Multiplicación por tn : Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces [ ] )()1()(£ ( sFtft nnn −= Ejemplo. Determinemos la transformada de Laplace de la función rampa (esta señal se utiliza para sistemas de respuesta lenta)

1

u(t)

t

1

u(t-a)

a t


4


( )[ ]2

1£

stt =µ

Ejercicio. Aplicando la expresión anterior, demuestre que [ ]1

!£

+=

n

n

s

nt .

Transformada de la Derivada n-ésima de )(tf

Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces [ ] )0(...)0(')0()()(£ 1(21( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstf

Transformada de la función Integral: Si [ ] ( )sFtf =)(£ entonces ( )s

sFduuf

t )(£

0

=

∫

Teorema del valor inicial Sea )(tf una función continua por partes, derivable y de orden exponencial γ, si

[ ] ( )sFtf =)(£ entonces )()(0

ssFLímtfLímst ∞→→

=

Teorema del valor final Sea )(tf una función continua por partes, derivable y de orden exponencial γ: )()(

0

ssFLímtfLímst →∞→

= siendo [ ] ( )sFtf =)(£

El teorema del valor final es muy utilizado para el análisis y diseño de sistemas de control.

f (t)

t


5


Función Impulso o Función Delta de Dirac ¿Qué es un impulso? Un impulso es una magnitud muy grande (que puede ser una fuerza) que actúa en un intervalo de tiempo muy pequeño. Con este concepto, definimos la función impulso:

=∞

≠=

0

00)(

t

ttδ

=∞

≠=−

at

atat

0)(δ

Se puede pensar que la función impulso )(tδ , es la función límite de una secuencia de

pulsos )(tερ . Y a su vez cada pulso )(tερ es la derivada de una función rampa )(tεγ ;

gráficamente se puede ver que:

)()(0

ttLím δρεε

=→

(aunque este límite no exista matemáticamente hablando)

��

t

��

a


6


También se puede pensar a la función impulso ( )tδ como la derivada de la función escalón

unitario ( )tu , es decir: ( )tut ')( =δ Además se tiene que el área del rectángulo de la tercer figura, bajo )(tερ , es:

11

. ==ε

εhb área que se puede obtener con la integral ∫∞

∞−

= 1)( dttερ

Siempre que el intervalo de integración incluya la base del rectángulo, el valor de esta integral será 1 cualquiera sea el valor de ε, entonces:

si 1)()()(,0 =⇒→→ ∫∞

∞−

dtttt δδρε ε

Derivo

��

t

1

t

�

1

�� )()(

0tutLím =

→ε

εγ

Derivo

t

��

1

)()(0

ttLím δρεε

=→

t

1 �⁄

��

�


7


que es como se define a la Función Impulso o Función Delta de Dirac δ(t). Esto representa que el impulso unitario es una señal cuya cantidad de energía es uno. Muchas veces encontramos definida la función δ(t) por el símbolo

)0()()(1)( φφδδ == ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dtttódtt

En donde ( )tφ se llama función testigo o función de prueba. Esta función de prueba es cualquier función continua que se anula fuera de un intervalo cualquiera que contiene al origen (o al punto a, en el caso siguiente). Si es un impulso en a entonces se define como sigue:

)()()(1)( adttatódtat φφδδ =−=− ∫∫∞

∞−

∞

∞−

Para la derivada n-ésima de δ(t) y δ(t-a) tenemos:

( ) )()1()()()0()1()( )()()()()(adttatódttt

nnnnnn φφδφφδ −=−−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

Todas las integrales anteriores son válidas para cualquier intervalo de integración que contenga al origen o al punto a, según el caso. Transformada de Laplace de la Función Impulso

[ ] 1)(£ =tδ

[ ] as

at

ststeedteatat

−

=

−

∞

− ==−=− ∫0

)()(£ δδ


8


ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE Definición Si la £ [ ] )()( sFtf = entonces f(t) se llama transformada inversa o antitransformada de

Laplace de F(s) y se expresa por £ -1 [ ] )()( tfsF = . Métodos para Antitransformar por Laplace Existen diversos métodos para encontrar la antitransformada de una función F(s), en este apunte se estudiarán los siguientes:

• Descomposición en fracciones simples.

• Producto de Convolución.

• Teorema de los Residuos.

Descomposición en fracciones simples Casi todas las funciones F(s) que se obtienen aplicando Transformada de Laplace son

funciones racionales de la forma )(

)()(

sQ

sPsF = , donde )(sP y )(sQ son polinomios y el

grado de )(sQ es mayor que el grado de )(sP .

Cualquier función racional )(

)()(

sQ

sPsF = , puede reducirse a la suma de otras funciones

racionales cuyos denominadores serán polinomios expresados con las raíces de Q, es decir con los polos de )(sF . Según como sean las raíces de Q, se tendrán los siguientes casos:

• Si Q(s) tiene n raíces reales y distintas:

( )( ) ( ) n

n

n ss

A

ss

A

ss

A

ssssss

sPsF

−++

−+

−=

−−−= ...

...

)()(

2

2

1

1

21

Entonces ( )[ ])(sFsslímA k

ssk

k

−=→

para todo nk ≤≤1

• Si Q(s) tiene n raíces reales e iguales:

( ) ( ) ( ) 0

20

1

0

1

0

...)(

)(ss

A

ss

A

ss

A

ss

sPsF nn

nn −+

−++

−=

−= −

Entonces ( )

( )[ ])(!1

10

1

0

sFssDlímk

Ank

ssk −

−= −

→ para todo nk ≤≤1


9


• Si Q(s) tiene dos raíces complejas conjugadas, en este caso )(sF

es una fracción

simple cbss

BsA

sQ

sPsF

++

+==

211

)(

)()(

Estas tres formas de expresar una función racional de la forma mencionada se pueden combinar cuando Q(s) tenga todos estos tipos de raíces en forma combinada. Ejemplo Calcular las siguientes antitransformadas:

a) Raíces reales y distintas: 2

1)(

2 −+=

sssF . Encontrando las raíces de denominador se

obtiene:

)1()2(1)2)(1(

)1()2(

)2()1()2)(1(

1)( 21

2121 −++=⇒+−

−++=

++

−=

+−= sAsA

ss

sAsA

s

A

s

A

sssF

si 1=s : 131 A= luego 3

1=A

si 2−=s : 231 A−= luego 3

12 −=A

( ))2(

31

)1(3

1)(

+

−+

−=

sssF

=)(tf £ -1 [ ]3

1)( =sF £ -1

3

1

)1(

1−

−s £ -1

+ )2(

1

s

tteetf

2

3

1

3

1)( −−=

b) Raíces reales múltiples: ( )31)2(

1)(

++=

sssF

( ) )1()1()1()2(1)2(

1)( 3

22

31

3 ++

++

++

+=

++=

s

A

s

A

s

A

s

B

sssF

( ) 1)1)(2(

12

32−=

+++=

−→ ssslímB

s

( ) 1)1)(2(

11

33

11 =

+++=

−→ ssslímA

s

( ) 1)2(

1

)1)(2(

11

2133

12 −=

+−=

+++=

−→−→ slím

sssDlímA

ss


10


( ) 1)2(

2

2

1

)2(

1

2

1

)1)(2(

11

!2

131213

32

13 =

+=

+−=

+++=

−→−→−→ slím

sDlím

sssDlímA

sss

32 )1(

1

)1(

1

)1(

1

)2(

1)(

++

+−

++

+−=

sssssF

Antitransformando se obtiene )(2

1)( 22 tuetteeetf tttt

+−+−= −−−−

Producto de Convolución Se define Producto de Convolución (que se simboliza con el signo ∗ ) como

∫∞

∞−

=−= )()(.)()(*)( tdtgftgtf ϕτττ

esta es una integral impropia cuya variable de integración es τ, y el resultado depende de la variable t. Ejemplo: Calcular el producto de convolución �� siendo �� el pulso rectangular

�� 0 � � � �0 ��

A

x(t)

t a

1

u(t)

t


11


!�"� � #�"� � $ !�%�#�" %�&%'

('

Si " � 0 ��%�#�" %� � ), luego !�"� � #�"� � )

Si ) * " * + !�%�#�" %� � ,, luego !�"� � #�"� � - , &%") � ,"

Si " � ��%�#�" %� � ,, luego !�"� � #�"� � - , &%+

) � ,+ Producto de Convolución en Transformada de Laplace Por lo tanto: Si . y � son funciones causales de orden exponencial , se define el producto

de convolución para � / 0: ∫ −=t

dxxtgxftgtf0

)(.)()(*)(

Propiedades del Producto de Convolución

• Conmutativa )(*)()(*)( tftgtgtf = • Asociativa [ ] [ ] )(*)(*)()(*)(*)( thtgtfthtgtf = • Distributiva [ ] )(*)()(*)()()(*)( thtftgtfthtgtf +=+ • Elemento Neutro )()(*)( tfttf =δ

1

τ t

u(t-τ)

Aa

x(t)*u(t)

t a

A

x(τ)

τ a


12


Teorema del Producto de Convolución La Transformada de Laplace del producto de convolución entre dos funciones es igual al producto ordinario de las transformadas de las funciones. [ ] )(.)()(*)(£ sGsFtgtf =

Ejemplo

• Calcular la antitransformada de la función 2

1)(

2 −+=

sssF calculada anteriormente

por el método de fracciones simples.

Primero se encuentran las raíces del denominador: )2(

1

)1(

1)(

+−=

sssF

Se puede observar que es el producto ordinario de dos funciones (de variable s) que son fáciles de antitransformar. Por el teorema de convolución: Como F(s) = G(s) . M(s) Luego f(t) = g(t) * m(t)

Donde: )1(

1)(

−=

ssG y

)2(

1)(

+=

ssM

Luego g(t) = £ –1 [ ] tesG =)( m(t) = £ –1 [ ] tesM 2)( −=

−=

==== −−−−−−

∫∫ 3

1

33.*)(

32

0

3222)(22

tt

tx

t

t

o

xxt

t

o

xtxtt ee

eedxeeedxeeeetf

Finalmente tt eetf 2

3

1

3

1)( −−=

• Calcular la antitransformada de la función )4(

1)(

2 +=

sssF

Como )4(

11)(

2 +=

sssF

Por Teorema de Convolución =)(tf £ -1 *1

2

s £ -1tet

s

4*)4(

1 −=

+

∫∫−−− ==

t xtt xtdxexedxextf

0

44

0

)(4)( , esta integral se resolverá por partes

u = x ⇒ du = dx


13


4

44

xx e

vdxedv =⇒=

=

−=

−= −−∫

txttt

o

xt

xteetedxeexetf

0

4444

0

44

16

1)(

4

1

4

1

4

1)(

tttt eteete 4444

16

1

16

1

4

1

16

1

16

1)(

4

1 −−− +−=

+−=

Antitransformada por el Teorema de los Residuos Si las únicas singularidades de F(s) son polos situados todos ellos, a la izquierda de una recta s = α para alguna constante real α entonces:

[ ] [ ]∑==)(

-1 )(Re)(£f(t)sFdepolos

stesFssF

La fórmula anterior se denomina fórmula de Mellin-Fourier que no demostraremos en este curso.

Ejemplo:

• Calcular la antitransformada de la función 2

1)(

2 −+=


por los métodos anteriores. )2)(1(

1)(

+−=

sssF .

Primero se calculan los residuos de F(s) est en los puntos singulares aislados de F(s):

tst

ss

st ess

esLimesFs

3

1

)2)(1(

)1()(Re

11=

+−

−=

→=

tst

ss

st ess

esLimesFs 2

22 3

1

)2)(1(

)2()(Re −

−→−=−=

+−

+=

∑ −−== ttsteeesFstf

2

3

1

3

1)(Re)(

• Calcular la antitransformada de la función )4(

1)(

2 +=


por el método de convolución.

16

1

4

1

16

14

)4(

)4(lim

)4(lim)(Re

202

2

00−=

−=

+

−+=

+=

→→=t

t

s

este

ss

es

ds

desFs

stst

s

st

ss

st


14


tst

ss

ste

ss

esesFs

4244 16

1

)4(

)4(lim)(Re −

−→−==

+

+=

tst

etesFstf4

16

1

16

1

4

1)(Re)( −+−==∑


15


Sistemas Lineales Cuando tenemos un sistema, hay una relación entre una entrada, estímulo o excitación del proceso y una salida, respuesta o efecto. La cuestión está en averiguar qué relación hay entre la entrada y la salida. Si la entrada del sistema es una función )(tf y la salida del sistema es )(tx :

[ ] )()( txtf =ℜ se lee: la respuesta a f(t) es x(t). Los procesos que se abordarán con transformada y antitransformada de Laplace serán aquellos que sean: • Sistemas Lineales • Sistemas Invariantes en el tiempo • Sistemas Causales Sistemas Lineales Los sistemas más fáciles de manejar son los lineales, a los cuales (generalmente) se suelen reducir los otros tipos de sistemas. Un sistema es lineal cuando: Si [ ] )()( 11 txtf =ℜ y [ ] )()( 22 txtf =ℜ Entonces [ ] )()()()( 22112211 txktxktfktfk +=+ℜ Sistemas invariantes en el tiempo Un ejemplo de este tipo de sistemas sería un circuito, el cual se comporta siempre de la misma forma sin importar el instante en que comience el proceso Si [ ] )()( txtf =ℜ Entonces [ ] )()( 00 ttxttf −=−ℜ

Sistemas Causales Un sistema es causal cuando la respuesta no se anticipa al estímulo. En este tipo de sistemas el valor de la excitación y el efecto es cero para un tiempo t menor o igual a cero. Es decir que a entradas causales corresponden salidas causales.

[ ] )(.)()(.)( tutxtutf =ℜ En principio, los proceso físicos son causales porque los efectos no pueden anticiparse a la causa, también son invariantes porque ante una misma excitación obtendremos siempre la misma respuesta o salida, con independencia del tiempo. Cuando se tenga como entrada a la función impulso, llamaremos h(t) a la respuesta del sistema. [ ] )()( tht =ℜ δ , por lo que por ser invariante en el tiempo [ ] )()( 00 tthtt −=−ℜ δ .

Salida Entrada Sistema )(tf )(tx


16


Fórmula de Duhamel Supongamos tener un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal, cuya entrada )(tf tiene una transformada de Laplace, entonces la salida del sistema

[ ] [ ])(*)()()( ttftftx δℜ=ℜ= Porque δ(t) es el elemento neutro para el producto de convolución )(*)()( thtftx =

y por el teorema de convolución )(

)()()(.)()(

sF

sXsHsHsFsX =→=

H(s) es la función de transferencia del sistema que es el cociente entre la salida y la entrada en la variable s. Estas dos últimas ecuaciones son las dos formas de la Fórmula de

Duhamel.

Ejemplo

=′=

=+′+′′ −

0)0()0(

)()(6)(5)( 2

xx

tuetxtxtxt

Este es un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal. Aplicamos trasformada de Laplace

[ ] )()(6)0()(5)0()0()(2 sFsXxsXsxxssXs =+−+′−−

considerando la ecuación diferencial igualada a delta de Dirac, cuya respuesta es h(t).

1)(6)(5)(2 =++ sHsHssHs entonces )2)(3(

1

65

1)(

2 ++=

++=

sssssH

Antitransformando: tt eeth 32)( −− −= Por Duhamel: )(*)()( tfthtx =

( ) ( ) ( )( )[ ] [ ] ttttxttt

t

o

xtt

o

tt

o

xtxtxttt

eeeteexe

dxeedxedxeexuetueeetx

2320

30

2

32322232 1)()(*)(

−−−−−

−−−−−−−−−−

−+=−=

=−=−=−= ∫∫∫

Luego [ ] )()( 232 tueeettx ttt −−− −+= BIBLIOGRAFÍA. 1. Glyn James. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Prentice Hall


17


TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE Propiedades

LINEALIDAD )()( 2211 tfktfk + )()( 2211 sFksFk +

Ejemplos

)(tsen 1

12 +s

)cos(t 12 +s

s

)(tsenh 1

12 −s

)cosh(t 12 −s

s

CAMBIO DE ESCALA

)(atf

a

sF

a

1

Ejemplos

)(atsen 22 as

a

+

)cos(at 22 as

s

+

)(atsenh 22 as

a

−

)cosh(at 22 as

s

−

TRASLACIÓN EN t

)()( atuatf −− )(sFe sa−

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

)( atu − 0>a s

e sa−

TRASLACIÓN EN s

)(tfebt )( bsF −

Ejemplos

)( tasenebt 22)( abs

a

+−

)cos(atebt 22)( abs

bs

+−

−

MULTIPLICA- CIÓN POR t

)(tft )(' sF−

MULTIPLICA- CIÓN POR tn )(tft n ( ) )()1( sF nn−

n: se lo interpreta como orden de

derivación cuando se lo aplica a F(s)

Ejemplos t 2

1s

2t 32

s


18


nt 1

!+n

s

n

atet 2)(

1

as −

DIVISIÓN POR t t

tf )( ( )duuF∫

∞

0

DERIVADAS

)(tf ′ )0()( fssF − n: se lo interpreta como orden de

derivación cuando se lo aplica a f, y como exponente

cuando se lo aplica a s

)(tf ′′ )0()0()(2 fsfsFs ′−−

( ) )(tf n ( ) )0()0(

)0()(12

1

−−

−

−−′−

−−nn

nn

ffs

fssFs

K

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

)()(0

ssFLimtfLimsrealt ∞→→

=

TEOREMA DEL VALOR FINAL

)()(0

sFsLimtfLimst →∞→

=

FUNCIÓN IMPULSO

)(tδ 1

0)( >− aatδ sae−

CONVOLUCIÓN )(*)( tgtf )(.)( sGsF

Nota: )(tφ es una función testigo, o sea una función cualquiera de prueba.

)0()()( φφδ∫∞

∞−=dttt , )()()( adttat φφδ∫

∞

∞−=−

)0(')()( φφδ −=′∫∞

∞−dttt , )()()( adttat φφδ ′−=−′∫

∞

∞−

( ) )0(1)()( )()( nnndttt φφδ −=∫

∞

∞− , ( ) )(1)()( )()(

adttatnnn φφδ −=−∫

∞

∞−


19


PRÁCTICO N° 1

Transformada de Laplace

1- Resuelva las siguientes transformadas de funciones causales.

a) b) c)

d)

e) f) g) h)

2- 2.1- Exprese los siguientes pulsos en términos de la función escalón unitario y calcule su transformada de Laplace.

Figura a Figura b Figura c Figura d

3- Resuelva utilizando propiedades de la función ( )tδ .

a) b) c) d)

4- Compruebe el Teorema del valor inicial y el Teorema del valor final para la señal

MATEMÁTICA APLICADA VARIABLE COMPLEJA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

FACULTAD DE INGENIERIA UNSJ-2018


20


PRÁCTICO N° 2

Antitransformada de Laplace

1- Calcule :

a) 0(1 2 1345 h) (1 2 637138(43795

b) 0(1 2 6338745 i) 0(1 : 1;

<38(4378)=�3(8�>

c) 0(1 2 338(45 j) 0(1 2 1

�3(6�8�378�5

d) 0(1 : 8371<38(83(6=�3(1�> k) 0(1 :83671)3879374)<3871;=�3(1�8 >

e) 0(1 2 1�378�8�3(8�5 l) 0(1 2 1

�371�385

f) 0(1 : 371<3871=38> m) 0(1?@(43A

g) 0(1 2 @BC3�378�65 n) 0(1 D @BE3

38737C4F

2- 2.1-Un circuito serie RC, con G � 1)H y FC50

1= , se conecta a una fuente de

voltaje constante I�J� � 1) K. Antes de cerrar el interruptor en el instante " � ) la carga en el capacitor es cero. Determine la corriente L�"� en el circuito para un instante t, después de cerrar la llave.

2.2- Aplique el Teorema del Valor Inicial. Es consistente la solución con la condición inicial del problema? Por qué?

2.3- Use el Teorema del Valor Final para verificar el valor obtenido para L�"� conforme " M ∞.

MATEMÁTICA APLICADA VARIABLE COMPLEJA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

FACULTAD DE INGENIERIA UNSJ-2018

transformada de laplace-2018-para repaso de...

Documents