transformada de fourier (ft) prof. marcelo de oliveira rosa
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TRANSFORMADA DE FOURIER (FT)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
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Transformada de Fourier
Série de Fourier Análise espectral de sinais periódicos Conteúdo espectral
Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf)
Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise desejada
Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise atual
Avaliação de sistema usando sinais periódicos
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Aproximação viável
Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Qual o efeito da aproximação nas séries de
Fourier?)t(
w
trect)t(x
0T
)t(
w
trect)t(x )T5( 0
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)
2
ksinc
2
1]k[X
10
ksinc
10
1]k[X
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)
corrigida
2
ksinc
2
12]k[XT0
10
ksinc
10
1)25(]k[X)T5( 0
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Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise do pulso retangular
T0 f0
Maior resolução da SF “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF
Manutenção da “área” da envoltória da SF
Análise do pulso retangular corrigida T0 f0
Maior resolução da SF Envoltória da SF inalterada
Note: abscissa passou de k para (kf0)
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Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência
em radiano
ou
de)j(X2
1)j(XFT)t(x
dte)t(x)t(xFT)j(X
tj1
tj
)j(X)t(x FT
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Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência
em Hz
ou
dfe)f2j(X)f2j(XFT)t(x
dte)t(x)t(xFT)f2j(X
ft2j1
ft2j
)f2j(X)t(x FT
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Transformada de Fourier
Definição Ortogonalidade de e-jΩt
Projeções de x(t) no espaço e+jΩt X(jΩ) Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt x(t)
)(2dte
)t(2de
tj
tj
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Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário x(t) = rect(t) X(jΩ) = ?
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Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário
Ω= 2πF=1
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Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário
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Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Situações de falha de convergência da
integração Exemplos:
x(t) = A x(t) = u(t) x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t) x(t) = sgn(t)
Uso de fator de convergência e-σ|t|, σ zero
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Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Uso de fator de convergência
e-σ|t|, σ zero
j
1)()t(u)t(x
j
2)tsgn()t(x
)()(j)j(X)t(sen)t(x
)()()j(X)tcos()t(x
)(2)j(X1)t(x
FT
FT
00FT
0
00FT
0
FT
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Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Existe freqüência negativa? Explique cos(Ω0t) 0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω -
Ω0)}
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Transformada de Fourier
Computação numérica No Matlab/Octave/Scilab
X(jkΩ) = Ta fftshift(fft(x[n], NFFT)) onde x[n] = x(nTa) x[n] é amostragem de x(t) Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n]
Corresponde ao valor da FT na freqüência kΩ -NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta)
Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT
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Transformada de Fourier
Propriedades Linearidade
)j(bY)j(aX)j(Z)t(by)t(ax)t(z
)j(Y)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento tempo
Deslocamento em freqüência
0tjFT0
FT
e)j(X)j(Y)tt(x)t(y
)j(X)t(x
))(j(X)j(Ye)t(x)t(y
)j(X)t(x
0FTtj
FT
0
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Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento no tempo
Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal
Deslocamento em freqüência Usada em modulação para sistemas de
comunicação Rádio AM
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Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo
Escala em freqüência
)ajX(a1)j(Y)at(x)t(y
)j(X)t(xFT
FT
))a(j(X)j(Y)atx(a1)t(y
)j(X)t(xFT
FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência
Compressão em um domínio gera expansão no outro
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Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência
Princípio de incerteza Conceito de localidade de energia
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Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado
Qual o efeito para x(t) ∈ R?
)j(X)j(Y)t(x)t(y
)j(X)t(xFT
FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado
Exemplos
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Transformada de Fourier
Propriedades Modulação
Convolução
)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z
)j(Y)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Modulação e Convolução
Dualidade Sistemas
Convolução no tempo resposta ao impulso Modulação em freqüência resposta em
freqüência
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Transformada de Fourier
Propriedades Diferenciação
Integração
)f2j()0(X2
1
f2j
)f2j(X)f2j(Y
)()0(Xj
)j(X)j(Y
d)(x)t(y FTt
)j(Xj)j(Ydt
)t(dx)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Integração
Como conseqüência da definição da FT
df)f2j(X2
1
d)j(X)0(x
dt)t(x)0(X
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Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade
Útil em cálculos
)(x2)j(Y)jt(X)t(y
)(x2)j(Y)jt(X)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade
)2sinc()t(rect FT )2(rect)tsinc( FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Sinais periódicos
Naturalmente não são absolutamente integráveis
São decompostos em séries de Fourier
k
t)f2k(j
k
t)k(j aa e]k[Xe]k[X)t(x
ka
FS
ka
FS
)kffδ(]k[X)f2j(X)t(x
)kδ(]k[X2)j(X)t(x
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Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval
Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio
d)j(X2
1
df)f(Xdt)t(x
2
22
)j(X)t(x FT
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Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval
Densidade espectral de energia/potência Densidade de energia/potência espectral Power Spectral Density (PSD)
|X(f)|2 ou |X(jΩ)|2