TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1.Transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es un movimiento en que se conserva la medida de los lados de los ángulos de una figura. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original.

Las transformaciones isométricas pueden ser: la traslación, el giro o rotación, la reflexión en torno a un eje y la reflexión en torno a un punto o una combinación entre ellas.

1.1. Traslación

Si movemos paralelamente una cierta figura en una dirección, lo que estamos efectuando es una traslación en una magnitud, dirección y sentido.Observa que la traslación queda completamente determinada si conocemos el vector del movimiento (su magnitud de traslado, sentido y dirección), ya que se obtiene la imagen de cada uno de los puntos de la figura.

Traslación en un sistema cartesiano.

Si el punto P = (a, b) lo trasladamos en el vector = (u, v) se transforma en el punto P’= (a + u , b + v).

Ejemplo:

¿En qué posición queda el punto A= (-3,4) si lo trasladamos en el vector = (5,6)?

El punto A = (-3,4) se traslada al punto A’ = (-3 + 5, 4 + 6), entonces su imagen es A’= (2,10).

1.2. Giro o rotación

Si giramos una figura en torno a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original.

Observa que el giro queda determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotación O y el ángulo de giro α Imagen. Los ángulos positivos se medirán en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj, y si el ángulo es negativo, el giro se realizará en el mismo sentido de los punteros del reloj.

Observa que el giro queda determinado si conocemos elpunto que utilizaremos como centro de rotación O y el ángulo de giro α.

Los ángulos positivos se medirán en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj, y si el ángulo es negativo, el giro se realizará en el mismo sentido de lospunteros del reloj.Por ejemplo:

Ángulo positivo

Ángulo negativo

Rotación en un sistema cartesiano

a)Rotación en 90° El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (-y, x)

Observa que se ha girado los 90º en sentido contrarioa los punteros del reloj.

b) Rotación en -90ºUna rotación del punto P desde el origen en -90º corresponde según vemos, al punto P’.

Observa que el giro se realizó en el mismo sentido de los punteros del reloj.

c) Rotación en 180°

El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (-x,-y)

Recuerda que en los puntos del sistema de coordenadas siempre se ubica la abscisa del eje X y luego la ordenada del eje Y.El ángulo POP’ es extendido (180º)

d) Rotación en 270°

El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (y,-x).Observa que la rotación en 270º desde el origen equivale a un giro en -90º desde el mismo origen.

Propiedades de la rotación

Supongamos que el segmento de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ángulo de 60º, obteniendo su imagen A’B’.

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB ≅ A’B’(2)

1.3. Reflexión en torno a un eje

Sea una recta L y un punto A que no esté contenido en ella.

La reflexión del punto A en torno a la recta L es un punto A’ que es su imagen, de modo que se cumple lo siguiente.(1)(2) AP ≅ PA’Observaciones:- Si el punto A está en la recta L, su imagen es el mismo punto. (coinciden) - Se dice que A’ es el simétrico de A respecto a la recta L.

Propiedades de la reflexión en torno a un eje

Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en orno a la recta L, transformándose en el segmento .Entonces se tienen las siguientes pro piedades:

(4) L es el eje de simetría del cuadrilátero AA’B’B(5) Al reflejar una figura en torno a un eje, se obtiene una figura congruente, produciéndose una simetría axial (axial ≡ línea recta).

Reflexión en torno a un eje en un sistemaCartesiano

Reflexión en torno al eje X:

El punto P(x, y) se transforma en el punto P’(x,-y).

Reflexión en torno al eje Y:

El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-x ,y).Ejemplo: ¿Qué coordenadas tiene el punto A = (-3,4) si se refleja en torno al eje X y después en torno al eje Y?Si A se refleja en torno al eje x:A = (-3,4) queda en A’ = (-3,-4)

Si A’ se refleja en torno al eje y:A’ = (-3,-4) queda en A’’ = (3,-4)

Respuesta: (3,-4)

1.4. Reflexión respecto a un punto

Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P.La reflexión de P en torno de O es un punto P’ que cumple con lo siguiente:

(1) O, P y P’ son colineales

(2) OP ≅ OP’

Propiedades de la reflexión en torno a un punto

Supongamos que el segmento de la figura se hareflejado en torno al punto O, transformándose en el segmento que es su imagen.

Entonces, se tienen las siguientes propiedades:

(1) AB ≅ A’ B’

(2) La figura A B A’ B’ es un paralelogramo

Observaciones:

- Al efectuar una reflexión a un segmento en torno a un punto, se obtiene un segmento paralelo y congruente.- Si un punto coincide con el centro de reflexión, su imagen es el mismo punto.- Al reflejar una figura en torno a un punto, se obtiene una figura congruente, produciéndose una simetría central en torno al punto.

Reflexión en torno al origen en un sistema cartesianoReflejar un punto en torno al origen es equivalente aefectuar un giro en 180° en torno a este punto, por lotanto, la reflexión de P(x, y) en 180° es el punto P’ (-x,-y).

Para obtener mayor información acerca del tema en forma interactiva y entretenida. Se sugeriere: Simetría central .Y para reforzar los temas de congruencia y figuras isométricas: Congruencia y transformaciones isométricas

1. La figura muestra el “Arrano Beltza” (águila negra), que fuera el símbolo heráldico del rey navarro Sancho El Fuerte (muerto en el año 1234). De las siguientes transformaciones isométricas:I: SimetríaII: RotaciónIII: Traslación

¿Cuál(es) está(n) presente(s) en la figura?:a) Sólo Ib) Sólo IIIc) Sólo I y IId) Sólo I y IIIe) Ninguna

2. ¿En cuál de las siguientes figuras se aprecia una simetría respecto de un eje horizontal?:

A) B) C) D) E)

3. En la figura, el polígono A se desplaza hasta A’. ¿Cuál es el vector de desplazamiento aplicado?

a) (1,-5)b) (-5,-1)c) (5,1)d) (-1,-5)e) (5,-1)

4. En la figura, L es eje recto y P un punto. ¿Qué transformación isométrica debe realizársele a la mitad bajo la recta L de la figura para obtener la parte que está sobre L?:

a) Una rotación de 180° con centro en Pb) ) Una rotación de 90° respecto de Pc) Una simetría respecto del punto Pd) Una traslación igual a la altura de la figurae) Una simetría respecto del eje L

5. De los siguientes cuerpos geométricos, ¿cuál es producto del giro en 180° del trapecio isósceles ABCD con eje de giro en el eje de simetría L?

6. En la figura, la imagen reflexiva del punto C, con respecto al eje de simetría y = 3, es el punto:

a) (2,1)b) (2,2)c) (5,4)d) (4,5)e) (1,2)

7. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la estrella de la primera figura, si al realizar una traslación de vector (-2,3), el centro de la estrella queda en el punto (3,2)?

a) (1,-5) b) (-1,5)c) (1,5) ¿? (-2,3) (3,2)d) (5,5)e) (5,-1)

8. Es posible obtener un cono mediante la rotación:

I: De un triángulo rectángulo en 360º con eje de rotación en uno de sus catetos.II: De un triángulo isósceles en 180º con eje en la altura perpendicular a su base.III: De un triángulo equilátero en 180º con eje en una de

sus alturas.Es (son) correcta(s):

a) Solo IIIb) Sólo I y IIc) Sólo I y IIId) Todase) Ninguna

9. Una de las figuras representa, respecto de la otra:

a) Una simetría respecto del eje Yb) Una simetría respecto del eje Xc) Un giro de 180° en el planod) Una traslación horizontale) Una traslación vertical

10. Al punto de coordenadas (2x , y) se le aplica la transformación isométrica T(4,3), obteniéndose el punto de coordenadas (3 – y, 2x). Entonces cuál es el valor de x + y =?

a) 1b) 0c) –3/2d) – 1/2e) Ninguna de las anteriores