transferts thermiques - limsi
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Transferts thermiques
Convection naturelle
externe (PC)
interne
influence de la stratification
Transferts de masse
analogie thermique
convection avec changement de phase
January 3, 2020 1 / 24
Partie 1 - Convection naturelle
January 3, 2020 2 / 24
Convection naturelle dans une cavite
Domaine ferme avec des parois differentiellement chauffees
Convection de Rayleigh-Benard
g//∇T
Cavite differentiellement chauffee
g ⊥ ∇T
January 3, 2020 3 / 24
Cellules de Rayleigh-Benard
Vue de dessus Vue de profil
Hexagones (Benard) Rouleaux
Emran and Schumacher, JFM 2015 Forts gradients dans couches limites
Nu = 0.069Ra1/3L Pr0.074 pour 3 105 < RaL < 7 109
Videos de M. Wilczek, Max-Planck-Institut
Cas 3d laminaire https://www.youtube.com/watch?v=wPK6fdxykpU
Cas 2d turbulent https://www.youtube.com/watch?v=OM0l2YPVMf8
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Cavite differentiellement chauffee
Oteski et al. PRE 2015 Wright et al. IJHMT 2006
Nusselt H/L Prandtl Rayleigh
NuL = 0.42Ra1/4L Pr0.012(HL )−0.33 [10, 40] [1, 20000] [104, 107]
NuL = 0.046Ra1/3L [1, 40] [1, 20] [106, 109]
https://www.youtube.com/watch?v=0enXB0XmQOIM. Storti, U. Buenos Aires
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Influence de la stratification
stable instable
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Stratification stable
g = −gey ρd2(δy)
dt2= g
dρ
dyδy
δy = δy0eiNt
N2 = −g
ρ
∂ρ
∂y
N2 = gβdT
dyFrequence de Brunt-Vaisala N100 s dans l’atmosphere
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Variations dues a la pression
Condition d’instabilite −dT/dy > 0
Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature
Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale
→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques
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Variations dues a la pression
Condition d’instabilite −dT/dy > 0Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature
Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale
→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques
January 3, 2020 8 / 24
Variations dues a la pression
Condition d’instabilite −dT/dy > 0Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature
Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale
→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques
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Gradient de temperature adiabatique
Variations adiabatiques de la temperature avec la pression :(∂T
∂p
)S
=
(∂V
∂S
)p
=
(∂T
∂S
)P
(∂V
∂T
)P
mcp = T ( ∂S∂T )P (definition cp) et β = 1V
(∂V∂T
)P
(dilatation volumique)
→(∂T
∂p
)S
=βT
ρcp
Variations de pression avec l’altitude:
dp
dy= −ρg →
(∂T
∂p
)S
= − 1
ρg
(∂T
∂y
)Gradient de temperature adiabatique: Γ = −βTg
cp
Condition d’instabilite −dT
dy> −Γ =
βTg
cp
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Application du gradient de temperature adiabatique
Effet non negligeable pour applications geo- ou astrophysiquesΓ = 10◦C . km−1 dans l’atmosphere
Temperature potentielle: temperature θ qui serait observee pour unchangement adiabatique a une pression de reference
∂θ
∂y=∂T
∂y− Γ
Definition modifiee de la frequence de Brunt-Vaisala N
N2 = gβdθ
dy
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Partie 2 - Transferts de masse
Analogie thermique
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Fluide heterogene
Soit un fluide constitue d’un melange heterogene de S especes.Chaque espece s de concentration cs est caracterisee par une vitesse dediffusion vDs en chaque point M
vitesse de diffusion = vitesse de l’espece− vitesse du fluide
vDs = Vs − v
On definit un vecteur flux de masse de l’espece s
qms = csv
Ds
On s’interesse:
a la variation de la masse de chaque espece s
aux transferts d’enthalpie des differentes especes dans un elementmateriel du melange
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Bilan de masse de l’espece
Pour le systeme materiel associe a la seule espece s on a
dMs
dt=
∫Vs
∂cs∂t
dV +
∫Ss
csV.ndS =
∫Vs
RsdV
avec Rs est la masse de l’espece creee ou detruite par unite de temps.On utilise vD = V − v∫
Vs
∂cs∂t
dV +
∫Ss
csv.ndS +
∫Ss
csvD .ndS =
∫Vs
RsdV
soit ∫Vs
(∂cs∂t
+∇.(csv))dV =
∫Vs
RsdV −∫Vs
∇.(csvD)dV
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Equation de bilan
On introduit la fraction massiqueY =csρ
ρ
∫Vs
DY
DtdV =
∫Vs
(Rs −∇.qms )dV (1)
soit
ρDY
Dt= Rs −∇.qm
s (2)
Le flux de masse et la vitesse de diffusion sont calcules a partir decoefficients de diffusion etablis.
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Expression du flux de masse
Pour un melange binaire A-B caracterise par un coefficient dediffusion DAB
qmA = −ρDAB(∇YA +
kTT∇T +
kpp∇p)
Si les effets lies aux gradients de temperature et de pression sontfaibles qm
A = −ρDAB∇YA
ρDYA
Dt= RA −∇.(ρDAB∇YA)
Pour S especes infiniment dilueesS gaz parfaits ou liquides dilues dans bain de masse volumique ρuniforme
qms = −Dsb∇.cs
avec Dsb diffusivite de l’espece dans le bain
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Bilan d’energie d’un fluide monophasique heterogene
Flux d’energie:
qth = −k∇T +∑s
hsqms
Conservation de l’energie (forme enthalpique):
ρDh
Dt= ρ
∑s
(YsDhsDt
+ hsDYs
Dt)
ρcp =∑
s cscps → ρ∑
s YsDhsDt = ρcp
DhDt et DYs
Dt = Rs −∇.qms
ρDh
Dt= ρcp
DT
Dt+∑s
(hsRs − hs∇.qms )
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Analogie transferts thermiques - transferts massiques
Especes diluees:
κ ⇐⇒ Dsb → Lewis number Le =κ
Dsb
Convection naturelle massique:
ρ = ρ0(1 + βg(T − Teq)) ⇐⇒ ρ = ρ0(1 + γs(cs − cs0))
cs concentration → γs = 1ρ0
Temperature Fraction massique
Prandtl Pr = νκ Schmidt Sc = ν
Dsb
Grashof Gr = βgδTL3
ν2Grashof d’especes Grs = γsδcsL3
D2sb
Nusselt Nu = ∂T+
∂y+|paroi Sherwood Sh = ∂c+
∂y+|paroi
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Analogies de Reynolds dans les couches limites
Nombre de Stanton St = NuRePr Nombre de Stanton massique Stm = Sh
ReSc
Analogie de Reynolds: Si dp/dx = 0 et Pr = Sc = 1 alors
CfReL
2= Nu = Sh
Analogie de Reynolds modifiee ou de Chilton-Coburn:
Cf
2= StPr2/3 pour 0.6 < Pr < 60
Cf
2= StmSc
2/3 pour 0.6 < Sc < 3000
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Partie 3 - Transferts de masse
Convection avec changement de phase
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Convection avec changement de phase
Nous avons etudie les echanges de chaleur du a un gradient detemperature.Peut-il y avoir echange thermique a temperature constante?OUI - chaleur latente associee a un changement de phase
Solidification
Liquefaction
Condensation
Vaporisation : Evaporation ou ebullition
Vaporisation endothermique: absorption d’energieCondensation exothermique: emission d’energie
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Refroidissement par evaporation - 1
Le liquide perd de l’energie par evaporation: qevapCette perte doit etre compensee par un apport d’energie: convection dugaz (qconv ) ou apport (qadd) dans le liquide
qconv + qadd = qevap (*)
mevap: flux de masse evaporee, hfg : chaleur latente de vaporisation
qevap = mevaphfg
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Refroidissement par evaporation - 2
Flux de masse evaporee: mevap = hm(ρA,sat(Ts)− ρA,∞)Flux de convection: qconv = −h(Ts − T∞)On suppose qadd = 0.
(∗)→ T∞ − Ts = hfghmh
(ρA,sat(Ts)− ρA,∞)(∗∗)
Analogie transferts thermiques - transferts massiques
h
k(hmDAB
)−1 = Len
Dans de nombreux cas n = 23
Loi des gaz parfaits + (∗∗)→ equation pour Ts :
→ T∞ − Ts = hfgMA
RLenρcp(pA,sat(Ts)
Ts−
pA,∞T∞
)
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Transferts associes a l’ebullition
Ebullition: Vaporisation rapide sur une interfacesolide-liquide (ou a l’interieur d’un liquide)
Ts > Tsat
Transfert qs = h(Ts − Tsat)
Modification de l’interface liquide-gaz influencee par
la tension de surface
la force de flottaison
Chaleur latente + convection naturelle → Coefficient d’echange eleve
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Transferts associes a la condensation
Condensation: refroidissement d’une vapeur en-dessous de satemperature de saturation (qui depend de la pression) obtenu par:
contact avec une paroi froide (condensateur)
condensation homogene: suspension de gouttelettes due par ex. aexpansion (nuages)
contact direct avec un liquide
Contact avec une paroi peut se faire en
film gouttes
Le condensat represente une resistance pour le transfert de chaleur de lavapeur a la paroi→ transfert plus efficace (x 10) pour une condensation en gouttes qu’enfilm - mais plus difficile a maintenir
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