Transferencia de CalorConducao Unidimensional, em Regime Permanente com

Geracao Interna de Calor

Filipe Fernandes de Paulafilipe.paula@engenharia.ufjf.br

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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Introducao

I Ate o momento, foram considerados problemas em que adistribuicao de temperatura pode ser determinada apenas pelascondicoes de contorno do meio;

I Agora sera considerado efeitos internos ao meio, na forma degeracao de calor interna, devido principalmente a conversao deenergia;

I A geracao interna e um fenomeno volumetrico, portantodependendo das dimenssoes do meio.

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Geracao Interna por Efeito Joule

I Um processo comum de geracao de energia interna e a conversao deenergia eletrica em energia termica;

I A taxa de geracao de energia devido a uma corrente I passando porum meio de resistencia eletrica Re e,

Eg = I 2Re (1)

I Assumindo que a geracao de energia ocorra uniformente por todovolume do meio, a geracao interna de calor volumetrica e dada por,

Eg =I 2Re

V(2)

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Parede Plana

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Parede PlanaI Para uma condicao unidimensional, regime permanente e com

geracao interna de calor, a equcao da difusao fica na forma,

d2T

dx2+

q

k= 0 (3)

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Parede Plana

I A solucao geral e dada por,

T (x) = − q

2kx2 + C1x + C2 (4)

I Para as condicoes de contorno prescritas,

T (−L) = Ts,1 T (L) = Ts,2

I As constantes sao dadas por,

C1 =Ts,2 − Ts,1

2LC2 =

q

2kL2 +

Ts,1 + Ts,2

2

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Parede Plana

I Substituindo as duas constantes na equacao 4, a distribuicao detemperatura e dada por,

T (x) =qL2

2k

(1 − x2

L2

)+

Ts,2 − Ts,1

2

x

L+

Ts,1 + Ts,2

2(5)

I Analisando a equacao 5, pode-se concluir que:I A temperatura varia quadraticamente com x ;I E possıvel calculando o fluxo de calor com a Lei de Fourier;I O fluxo de calor nao e constante com geracao interna de calor;

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Parede Plana

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Parede Plana

I Utilizando a equacao de distribuicao de temperatura T (x), epossıvel descobrir o ponto de masxima temperatura e a maximatemperatura;

I Para encontrar o maximo de uma funcao e preciso diferencia-la eigua-la a zero;

dT

dx= 0

I Resolvendo a equacao, tem-se,

x =k

q

Ts,2 − Ts,1

2L(6)

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Parede Plana Simetrica

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Parede Plana SimetricaI Quando tem-se Ts,1 = Ts,2 = Ts , a equacao 5 pode ser simplificada

para,

T (x) =qL2

2k

(1 − x2

L2

)+ Ts (7)

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Parede Plana Simetrica

I Quando Ts,1 = Ts,2 = Ts , a temperatura maxima e em x = 0, e edada por,

T (0) =qL2

2k+ Ts

I Nesse caso, a equacao 7 pode ser reescrita na seguinte forma,

T (x) − T0

Ts − T0=

(x

L

)2

(8)

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Parede Plana SimetricaI Ainda em relacao a condicao de Ts,1 = Ts,2 = Ts , pode-se observar

que,I No plano de simetria (x = 0), o gradiente de temperatura e zero,

(dT/dx)x=0 = 0, resultando na nao existencia de transefrencia decalor em x = 0.

I Assim, pode-se representa a parede com uma superfıcie adiabaticaem x = 0;

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Parede Plana Simetrica

I O resultado apresentado implica que a equacao 7 tambem eaplicavel a condicoes em que,

I A parede e perfeitamente isolada em um lado (x = 0);I O outro lado (x = L) da parede plana e mantida a uma temperatura

Ts .

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Parede Plana Simetrica

I E comum situacoes em que a temperatura Ts nao e conhecida. Ainformacao dada e apenas em relacao ao fluido (T∞ e h);

I Nesses casos e preciso calcular Ts para conhecer a distribuicao detemperatura T (x);

I Aplicando balanco de energia, e encontrado a senguinte relacao paraTs ,

Ts = T∞ +qL

h(9)

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Aplicacao do Conceito de Resistencia Eletrica

I Quando existe geracao interna de calor, e incorretoaplicar o conceito de resistencia termica, pois existevariacao de fluxo de calor.

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Exemplo

I Exemplo 1 - Uma parede composta e formada por dois materiais Ae B. A camada de material A possue uma geracao de calorq = 1, 5x106W /m3, kA = 75W /m · K e espessura LA = 50mm. Acamada B nao possui geracao de calor, e apresentakB = 150W /m · K e espessura LB = 20mm. A superfıcie de A ebem isolado, enquanto a superfıcie de B e resfriada por agua comtemperatura T∞ = 30°C e h = 1000W /m2 · K . Determine atemperatura T0 e o fluxo de calor.

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Exemplo

I Exemplo 2 - Ar dentro de uma camara a T∞,i = 50°C e aquecidopor conveccao com hi = 20W /m2 ·K por uma parede de 200mm decondutividade termica k = 4W /m · K e q = 1000W /m3. Paraprevinir perda de calor para o ar exterior a T∞,o = 25°C comho = 5W /m2 · K , um fino aquecedor eletrico e colocado na

superfıcie externa para fornecer um fluxo q′′o para parede.

Determine,

(a) Quais sao as temperatura T (0) e T (L) quando nao ha perda de calorda parede para o meio externo;

(b) Qual o valor de q′′

o para que todo calor gerado na parede sejetransferido para dentro da camara;

(c) Se a geraracao interna na parede for interrompida e o aquecedoreletrico for mantido constante, qual seria a temperatura de equilıbrioem T (0).

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ExemploI Exemplo 3 - Um longo elemento de aquecimento eletrico feito de

ferro (kf = 64W /mK ) possui area de secao transversal10cm X 1cm. E imerso em oleo a 80°C . Calor e geradouniformemente a uma taxa de 1.000.000W /m3 por uma correnteeletrica. Determine o coeficiente de conveccao necessario paramanter o aquecedor abaixo de 200°C . Considere o sistemaunidimensional.

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Sistemas RadiaisI Para sistemas radiais, a equacao da difusao de calor e dada por:

1

r

d

dr

(rdT

dr

)+

q

k= 0 (10)

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Sistemas Radiais

I Resolvendo a equacao, a distribuicao de temperatura e dada por:

T (r) =qr2

o

4k

(1 − r2

r2o

)+ Ts (11)

I onde Ts pode ser calculado por:

Ts = T∞ +qro2h

(12)

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