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Transferencia de CalorConveccao Natural - Parte 1
Filipe Fernandes de [email protected]
Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia
Universidade Federal de Juiz de Fora
Engenharia Mecanica
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Introducao
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Introducao
I Na conveccao natural, o movimento do fluido e devido as forcas deempuxo no seu interior, enquanto na conveccao forcada omovimento e imposto externamente;
I O empuxo e devido a presenca combinada de um gradiente dedensidade no fluido e de uma forca gravitacional que e proporcionala densidade;
I Um gradiente de densidade pode aparecer devido a presenca de umgradiente de temperatura;
I A densidade de gases e de lıquidos depende da temperatura,geralmente diminuindo (devido a expansao do fluido) com o aumentoda temperatura (∂ρ/∂T < 0).
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Introducao
I A presenca de um gradiente de densidade em um fluido em umcampo gravitacional nao assegura a existencia de correntes deconveccao natural;
I Considere as condicoes em que o fluido esta confinado por duasgrandes placas horizontais a diferentes temperaturas (T 1 6= T 2);
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IntroducaoI No caso (a):
I A temperatura da placa inferior e maior do que a temperatura daplaca superior, e a densidade diminui no sentido da forcagravitacional;
I Se a diferenca de temperaturas e superior a um valor crıtico, ascondicoes sao instaveis e as forcas de empuxo sao capazes de superara influencia retardadora das forcas viscosas;
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IntroducaoI A forca gravitacional no fluido mais denso nas camadas superiores
excede aquela que atua no fluido mais leve nas camadas inferiores eum determinado padrao de circulacao ira existir;
I O fluido mais pesado ira descer, sendo aquecido durante o processo,enquanto o fluido mais leve ira subir, resfriando-se a medida que sedesloca;
I A transferencia de calor ocorre por conveccao natural ou livre dasuperfıcie inferior para a superfıcie superior.
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Introducao
I No caso (b):I T1 > T2, e a densidade nao mais diminui no sentido da forca
gravitacional;I As condicoes agora sao estaveis e nao ha movimento global no fluido;I A transferencia de calor (do topo para a base) se da por conducao.
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IntroducaoI Escoamentos de conveccao natural podem ser classificados de
acordo com o fato de estarem ou nao limitados por uma superfıcie;I Na ausencia de uma superfıcie adjacente, podem ocorrer
escoamentos de fronteiras livres na forma de uma pluma ou de umjato livre.
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IntroducaoI Uma pluma esta associada a ascensao de um fluido originada em
um objeto aquecido nele submerso;I Embora a largura da pluma aumente com a distancia do fio, a
pluma tende a se dissipar como resultado dos efeitos viscosos e deuma reducao na forca de empuxo causada pelo resfriamento dofluido na pluma;
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IntroducaoI A diferenca entre uma pluma e um jato livre e feita geralmente com
base na velocidade inicial do fluido;I Essa velocidade e zero para a pluma, mas diferente de zero no jato
livre.
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IntroducaoI O outro tipo de conveccao natural e a limitada por uma superfıcie,
o qual um exemplo classico desse tipo de escoamento e odesenvolvimento de uma camada-limite em uma placa verticalaquecida;
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IntroducaoI A placa encontra-se imersa em um fluido extenso quiescente e, com
Ts > T∞, o fluido proximo a placa e menos denso do que o fluidodela afastado;
I Consequentemente, as forcas de empuxo induzem o aparecimento deuma camada-limite de conveccao natural na qual o fluido aquecidoascende verticalmente, arrastando fluido da regiao quiescente;
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IntroducaoI A distribuicao de velocidades resultante e diferente da associada as
camadas-limite de conveccao forcada. Em particular, a velocidade ezero quando y →∞, bem como em y = 0;
I Uma camada-limite de conveccao natural tambem se desenvolve seTs < T∞.
I Nesse caso, contudo, o movimento do fluido e descendente.
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As Equacoes que Governam Camadas-LimiteLaminares
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Como para a conveccao forcada, as equacoes que descrevem astransferencias de momento e de energia na conveccao natural saooriginadas nos princıpios de conservacao correspondentes;
I Os processos especıficos sao muito semelhantes aos dominantes naconveccao forcada;
I As forcas inerciais e viscosas permanecem importantes, assim comoas transferencias de energia por adveccao e difusao.
I A diferenca entre os dois escoamentos e que, na conveccao natural,as forcas de empuxo desempenham um papel importante.
I Sao essas forcas que, na realidade, impulsionam o escoamento.
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite LaminaresI Considere um escoamento de camada-limite laminar que tenha
como forca motriz forcas de empuxo:I Admita condicoes bidimensionais, em regime estacionario e com
propriedades constantes, nas quais a forca da gravidade atua nosentido negativo da direcao x ;
I Considere o fluido incompressıvel, exceto efeito da densidade variavelque origina a forca de empuxo.
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Com as simplificacoes anteriores, a equacao do momento na direcaox e da seguinte forma:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
dp∞dx− g + ν
∂2u
∂y 2(1)
I Onde dp∞/dx e o gradiente de pressao na corrente livre na regiaoquiescente fora da camada-limite;
I Nessa regiao, u = 0 e a equacao 1 se reduz a:
1
ρ
dp∞dx
= −ρ∞g (2)
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Substituindo a equacao 2 na equacao 1, obtem-se a expressao aseguir:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= g
∆ρ
ρ+ ν
∂2u
∂y 2(3)
I Onde ∆ρ = ρ∞ − ρ;I A primeira parcela do lado direito da equacao 3 e a forca de empuxo
por unidade de massa e o escoamento e gerado em funcao dadensidade ρ ser variavel.
I Se a variacao da densidade for somente devido a variacao detemperatura, essa parcela pode ser relacionada a uma propriedadedo fluido conhecida como o coeficiente de expansao volumetricatermica:
β = −1
ρ
(∂ρ
∂T
)p
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Essa propriedade termodinamica do fluido fornece uma medida davariacao da densidade em resposta a uma mudanca na temperatura,a pressao constante;
I β pode ser aproximado por:
β ≈ −1
ρ
∆ρ
∆T= −1
ρ
ρ∞ − ρT∞− T
(5)
ρ∞ − ρρ
≈ β(T − T∞) (6)
I Essa simplificacao e conhecida como aproximacao de Boussinesq.
I Utilizando a aproximacao de Boussinesq, a equacao 3 se torna:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= gβ(T − T∞) + ν
∂2u
∂y 2(7)
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Como os efeitos do empuxo estao restritos a equacao do momento,as equacoes de conservacao de massa e de energia permanecem semalteracoes em relacao a conveccao forcada;
I O conjunto de equacoes que governam a conveccao natural e, entao,
∂u
∂x+∂u
∂y= 0 (8)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= gβ(T − T∞) + ν
∂2u
∂y 2(9)
u∂T
∂x+ v
∂T
∂y= α
∂2T
∂y 2(10)
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
I Nao e mais possıvel que o problema fluidodinamico seja desacopladoe resolvido sem o problema termico;
I A solucao da equacao do momento depende do conhecimento de T ,e assim da solucao da equacao da energia;
I Consequentemente, as equacoes 8, 12 e 13 sao fortemente acopladase devem ser resolvidas simultaneamente;
I Os efeitos da conveccao natural dependem do coeficiente deexpansao β;
I A forma pela qual β e obtido depende do fluido;
I Para um gas ideal ρ = p/RT e,
β = −1
ρ
(∂ρ
∂T
)p
=1
ρ
p
RT 2=
1
T(11)
I Para lıquidos e gases nao ideais, β deve ser obtido em tabelas depropriedades apropriadas.
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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares
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Consideracoes de Similaridade
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Consideracoes de Similaridade
I Agora vamos analisar os parametros adimensionais que governam oescoamento vinculado a conveccao natural e a transferencia de calorem uma placa vertical;
I Como para a conveccao forcada, os parametros podem ser obtidospela adimensionalizacao das equacoes que governam o processo.Definindo,
x∗ ≡ x
Ly∗ ≡ y
L
u∗ ≡ u
u0v∗ ≡ v
u0T ∗ ≡ T − T∞
Ts − T∞
I Sendo L um comprimento caracterıstico e u0 uma velocidade dereferencia.
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Consideracoes de Similaridade
I As equacoes do momento na direcao x e da energia (equacoes 12 e13) se reduzem a:
u∗∂u∗
∂x∗+ v∗
∂u∗
∂y∗=
gβ(Ts − T∞)L
u20
T ∗ +1
ReL
∂2u∗
∂y∗2(12)
u∗∂T ∗
∂x∗+ v∗
∂T ∗
∂y∗=
1
ReLPr
∂2T ∗
∂y∗2(13)
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Consideracoes de Similaridade
I A velocidade de referencia u0 pode ser especificada para simplificara forma da equacao;
I E conveniente escolher u20 = gβ(Ts − T∞)L, de maneira que o
termo multiplicando T∗ se torna unitario;
I Entao, ReL se torna [gβ(Ts − T∞)L3/ν2]1/2;
I Costuma-se definir o numero de Grashof GrL como o quadradodeste numero de Reynolds:
GrL =gβ(Ts − T∞)L3
ν2(14)
I Gr e uma medida da razao entre a forca de empuxo e as forcasviscosas que atuam no fluido.
I O numero de Grashof desempenha na conveccao natural o mesmopapel que o numero de Reynolds desempenha na conveccao forcada;
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Consideracoes de Similaridade
I Devido a importancia do numero de Grashof, as correlacoes para atransferencia de calor serao da forma NuL = f (GrL,Pr) naconveccao natural.
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