trabalho de controle automatico.docx

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Índice1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................2

2 DEFINICÕES......................................................................................................................................3

2.1 Definição.....................................................................................................................................4

2.2 Classificação dos sistemas não lineares.......................................................................................5

2.2.1 Linearização de modelos matemáticos não lineares.............................................................6

2.2.2 Não linearidades inerentes e Não linearidades intencionais.................................................8

2.3 Exemplo pratico de um sistema não linear.................................................................................16

3 FUNÇÕES DISCRETAS..................................................................................................................20

3.1 Tipos de sinais...........................................................................................................................21

3.1.1 Sinal analógico...................................................................................................................21

3.1.2 Sinal discreto no tempo......................................................................................................21

3.1.3 Sinal amostrado.................................................................................................................21

3.1.4 Sinal digital........................................................................................................................21

3.2 Amostragem..............................................................................................................................21

3.3 Modelagem e resposta de sistemas discretos.............................................................................23

3.4 Equações diferença....................................................................................................................23

3.5 Função de transferência discreta................................................................................................23

3.5.1 Obtenção da função de transferência discreta....................................................................25

3.6 Álgebra de blocos......................................................................................................................27

3.6.1 Associação em cascata.......................................................................................................28

3.6.2 Associação em paralelo......................................................................................................29

3.6.3 Malha Fechada...................................................................................................................30

4 CONCLUSÃO...................................................................................................................................32

5 BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................................33

ISPSONGO, Eng. Eléctrica


1 INTRODUÇÃO

Muitas relações entre quantidades físicas não são muito lineares, embora frequentemente sejam

aproximadas por equações lineares, principalmente pela simplicidade matemática. Esta

simplificação pode ser satisfatória desde que as soluções resultantes estejam de acordo com os

resultados experimentais.Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser

linear ou não linear.

O controle de sistemas dinâmicos não lineares pode se tornar uma tarefa de grande

complexidade, em função das características e não linearidades do sistema a ser controlado.

Existem na literatura diversos métodos/algoritmos de controle para esse tipo de sistema, em sua

grande maioria baseados em simplificações e linearizações do modelo não linear.

O constante crescimento da capacidade computacional disponível, cria uma motivação para a

aplicação de técnicas relativamente novas de inteligência computacional ao problema de controle

por meios menos convencionais.



2 DEFINICÕES

Sistemas lineares são descritos por equações lineares que se assemelham à equação de uma

recta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno

ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da

equação linear podem ser constantes (sistema a parâmetros constantes) ou então variar

lentamente no tempo (sistemas variantes no tempo). Se os coeficientes variam rapidamente no

tempo, é muito provável que este sistema não seja linear.

Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados instantes de

tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta

pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for

discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de

sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a

temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc.

Se um sistema dinâmico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma

vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos

calculados pelo computador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efectuado pelo

computador é preciso o suficiente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.

Sistemas contínuos no tempo são aqueles nos quais é possível conhecer o estado a qualquer

instante de tempo. Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou

não linear. Sistemas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se

assemelham à equação de uma recta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o

quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado.

Se o sistema for linear, os coeficientes da equação linear podem ser constantes (sistema a

parâmetros constantes) ou então variar lentamente no tempo (sistemas variantes no tempo). Se os

coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear.



3. SISTEMAS NÃO LINEARES

O Controle não-linear constitui a análise e projecto de controle de sistemas não lineares, isto é,

sistemas de controle contendo ao menos uma componente não-linear. Na análise objectiva-se

determinar as características do comportamento do sistema. Já no projecto, a tarefa é construir

um controlador, para uma planta não-linear, de modo que o sistema controlado atenda a

requisitos previamente estabelecidos. Na prática as tarefas de projecto e análise estão

interconectadas, pois o projecto de sistemas de controle não lineares usualmente envolve

processos iterativos de análise e projecto (Slotine e Li, 1991). Não existem, contudo, métodos

gerais de análise de sistemas não-lineares. De fato, trata-se de uma classe de sistemas definida

através de uma negação, isto é, sistemas não-lineares são, simplesmente, todos aqueles que não

são lineares.

2.1 DefiniçãoUm sistema é não linear se a ele não se aplica o princípio da superposição. Assim, nos sistemas

não lineares a resposta a duas entradas não pode ser calculada tratando-se uma entrada de cada

vez e adicionando-se os resultados.

Diferentemente dos sistemas lineares, as características de resposta de sistemas não-lineares

dependem, de alguma forma, da entrada. Assim, o desenvolvimento de um método geral para

análise ou projecto de sistemas não-lineares é impossível. Todavia, é possível desenvolver

métodos de análise que se aplicam a classes restritas de nãolinearidades, e estender estas técnicas

conhecidas a uma gama maior de sistemas (Gibson, 1963). Embora dificultoso, existem várias

razões para o estudo de sistemas decontrole não-lineares. Dentre estas razões,pode-se citar:

A melhoria do desempenho decontroladores e

A análise de não-linearidades com descontinuidades.

Modeloslinearizados assumem que o sistema opera na vizinhança próxima a um ponto

deoperação. Caso esta condição não seja válida os controladores lineares têm desempenhopobre

ou não garantem a estabilidade.



Existem algumas não-linearidades que, devido a sua natureza descontínua, não podem ter seus

efeitos representados por aproximações lineares como por exemplo:

Atrito de Coulomb,

Saturação,

Zona-morta,

Folga e histerese.

Contudo, um sistema com não-linearidades descontínuas pode serlinearizado dependendo da

extensão dos efeitos destas não-linearidades (Slotine e Li, 1991). São exemplos de equações

diferenciais não lineares os a baixo mostrados:

d2 xdt2

+¿

d2 xdt2 + (x2−1 ) dx

dt+x=0

d2 xdt2 + dx

dt+x+ x3=0

Assim métodos de análise de sistemas não-lineares devem ser desenvolvidos para prever o

desempenho de sistemas na presença deste tipo de não-linearidades, pois, frequentemente, estes

tipos de não-linearidades causam comportamentos indesejados em sistemas de controle, como,

instabilidade e ciclo-limite, se não forem compensados devidamente. Além disso os sistemas

físicos são inerentemente não-lineares, e então, decerta forma, todos os sistemas de controle são

não-lineares.

2.2 Classificação dos sistemas não linearesAs não-linearidades podem ser classificadas por:

Suas propriedades matemáticas:

o Contínuas ou descontínuas, que são comumente encontradas em sistemas de

controle;

Como inerentes ou intencionais.



2.2.1 Linearização de modelos matemáticos não linearesO processo de linearização de sistemas não lineares é importante, pois através da linearização de

equações não lineares é possível aplicar numerosos métodos de análise linear que produzirão

informação sobre o comportamento do sistema não linear considerado. O procedimento de

linearização apresentado a seguir é baseado na expansão da função não linear em serie de Taylor,

em torno do ponto de operação, com a retenção apenas do termo linear. Em virtude de serem

desprezados os termos de ordem mais alta da expansão em serie de Taylor, estes termos devem

ser suficientemente pequenos, isto é, os valores das variáveis se desviam apenas ligeiramente da

condição de operação.

2.2.1.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não lineares

Para se obter um modelo matemático linear de um sistema não linear supõe-se que os valores das

variáveis mudam muito pouco em relação a alguma condição de operação. Considere-se um

sistema cujo valor instantâneo do sinal de entrada seja x (t) e o valor instantâneo do sinal de

saída seja y (t ). A relação entre y (t ) e x (t) é dada por:

y=f (x )

Se a condição de operação normal corresponder a x , y , então a equação acima pode ser

expandida em serie de Taylor, em torno desse ponto, como se segue:

y=f (x )

¿ f ( x )+ dfdx

( x−x )+ 12!

d2 fdx2 ¿

Onde as derivadas dfdx

,df 2

dx2 …. São calculadas parax=x. Se a variação x−x for pequena, pode-se

desprezar os termos de maior ordem emx−x. A equação anterior pode ser escrita:

y= y+k (x−x )

Onde

y=f (x )



k= dfdx|x=x

Que esta pode ser escrita como

y− y=k (x−x)

O que indica que y− y é proporcional a x−x a equação acima fornece um modelo matemático

linear para o sistema não linear descrito pela inicial acima, valido nas proximidades do ponto de

operação x−x, y− y.

Seja, um sistema não linear cuja grandeza de saída y é função de duas grandezas de entrada x1ex2

, de modo quey=f (x1 , x2).Pode-se obter uma aproximação linear deste sistema não linear

expandindo-se a equação anterior em serie de Taylor, em torno do ponto de operação x1 , x2. A

equação acima torna-se, então:

y=f (x1 , x2 )+[ ∂ f∂ x1(x1−x1 )+ ∂ f

∂ x2

(x2−x2)]+ 12 ! [ ∂2 f

∂ x12 (x1−x1)

2+2∂2 f

∂ x1∂x2(x1−x1 ) (x2−x2 )+ ∂2 f

∂ x22 (x2−x2)

2]+…Onde as derivadas parciais são calculadas emx1=x1, x2=x2. Perto do ponto de operação normal,

os termos de ordem mais alta podem ser desprezados. O modelo matemático linear deste sistema

não linear nas vizinhanças da condição de operação normal é então dado por:

y− y=k1 (x1−x2 )+k2(x2−x2)

Onde

y=f (x1 , x2)

k 1=∂ f∂ x1

|x1=x1, x2=x2

k 2=∂ f∂ x2

|x1=x1, x2=x2



A técnica de linearização apresentada é valida nas vizinhanças da condição de operação. Se,

contudo, as condições de operação variarem amplamente, tais equações linearizadas deixam de

ser adequadas, devendo-se tratar directamente as equações não lineares.

2.2.2 Não linearidades inerentes e Não linearidades intencionais

2.2.2.1 Não-linearidades inerentes

São aquelas que existem naturalmente nos sistemas.Usualmente estas não-linearidades causam

efeitos indesejáveis aos sistemas, devendoser compensadas apropriadamente. Alguns exemplos

de não linearidades inerentes são:saturação, zona-morta, histerese, folga, atrito estático, atrito de

Coulomb e outros tiposde atrito não-lineares, mola não-linear, compressibilidade de um fluido,

etc.

Na prática, muitos sistemas electrodinâmicos, hidráulicos, pneumáticos etc., envolvem relações

não lineares entre as variáveis. Por exemplo a saída de um componente pode saturar para sinais

grandes na entrada. Pode haver, por outro lado, uma zona morta que afecta os sinais pequenos. (a

zona morta de um componente é um pequeno intervalo de valores de sinal de entrada ao qual o

componente é insensível). Não linearidades do tipo lei quadrática podem ocorrer em alguns

componentes. Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares em

operações a baixa velocidade, mas podem tornar-se não lineares nas altas velocidades, com uma

força amortecedora proporcional ao quadrado da velocidade de operação. Exemplos de curvas

características para estas não linearidades são indicados a seguir:

Figura 1:



É de se notar que alguns sistemas de controlo importantes são não lineares independentes dos

valores dos sinais de entrada. Por exemplo, em sistemas de controlo liga – desliga (on-off), a

acção de controle ou é liga ou é desliga, e não há uma relação linear entre a entrada e a saída do

controlador.

2.2.2.2 Não-linearidades intencionais

São aquelas introduzidas deliberadamente emum sistema para melhorar seu desempenho ou

simplificar sua construção. Um exemplosimples de um sistema não-linear intencional é um

sistema operado convenientementepor relé.As técnicas de análise de sistemas não-lineares são

importantes por várias razões. Primeiramente, a análise teórica tem, quase sempre, o menor custo

dentre osmétodos de estudo do comportamento de um sistema.

Da mesma forma, a simulação desistemas não-lineares, embora muito importante, deve sempre

ser guiada pela teoria,caso contrário há o risco de se produzir resultados enganosos,

principalmente devido aofacto de sistemas não-lineares se comportarem das mais variadas

formas dependendo dascondições iniciais e da entrada. Outros, métodos de projecto usualmente

são baseadosem técnicas de análise e, por último, as técnicas de análise são utilizadas para

avaliar oprojecto dos sistemas de controle e sugerir modificações em caso de

desempenhoinadequado.

Em sistemas de controle não-lineares a análise no domínio do tempo ou da frequência não são

utilizadas, já que geralmente é impossível encontrar soluçõesanalíticas directas para as equações

diferenciais não-lineares, e transformações para odomínio da frequência não se aplicam (Gibson,

1963 e Slotine e Li, 1991). Devido adificuldade de análise em sistemas não-lineares, vários

métodos têm sido propostos.Dentre eles, pode-se citar:

A análise pelo plano de fase,

A teoria de Lyapunove

O método do primeiro harmónico.



2.2.2.2.1 O plano de fase

É um método gráfico para estudar equações não-lineares de segunda ordem, e consiste em

resolver graficamente a equação diferencial não-linear. O resultado é uma família de trajectórias

no plano, chamado de plano de fase, que nos permite visualizar características do sistema. Este

método é mais indicado para sistemas de segunda ou primeira ordem, ou ainda para dinâmicas

que possam ser representadas no plano (x , x ), Já que o estudo de sistemas de ordens mais

elevadas é mais complexo, tanto computacionalmente como geometricamente. Por outro lado,

devido a sua forma gráfica, é frequentemente usado para prover informações intuitivas sobre o

comportamento dos sistemas não-lineares (Slotini e Li, 1991).

2.2.2.2.2 A teoria de Lyapunove

Consiste de dois métodos, o directo e o indirecto. O método indirecto, ou método de

linearização, afirma que as propriedades de estabilidade de um sistema não-linear na vizinhança

de um ponto de equilíbrio são, essencialmente, as mesmas daquelas da aproximação linearizada.

Este método serve como uma justificativa teórica para o uso de controle linear em sistemas

físicos, que são inerentemente não-lineares.

O método directo é uma generalização dos conceitos de energia associados a sistemas

mecânicos, isto é, um sistema mecânico é estável se sua energia mecânica total decresce ao

longo do tempo. A ideia é construir uma função escalar (função de Lyapunov) semelhante a uma

função de energia, e verificar se esta função decresce. Este método é aplicável a qualquer sistema

de controle, sem restrição. Contudo, sua limitação reside no fato de normalmente ser difícil

encontrar uma função de Lyapunov para um dado sistema. Embora o método directo refira-se à

análise de estabilidade, pode ser aplicado no projecto de sistemas de controle não-lineares.

A ideia básica é construir uma função escalar positiva dos estados do sistema e, então, escolher a

lei de controle que faça esta função decrescer. Isto garante que o sistema de controleprojectado é

estável. O método directo também pode ser usado para estimar o desempenho de sistemas de

controle e em estudos de robustez.



2.2.2.2.3 O método do primeiro harmónico ou função descritiva

É uma técnica de aproximação para o estudo de sistemas não-lineares. A ideia básica é

aproximar o componente não-linear por um linear equivalente e, em seguida, utilizar técnicas do

domínio da frequência para analisar o que foi obtido. Ao contrário do método do plano de fase, o

método do primeiro harmónico não é restrito a sistemas de segunda ordem.

Da mesma forma que a teoria de Lyapunov, cuja aplicabilidade a um sistema depende do sucesso

da busca, por tentativa e erro, de uma função de Lyapunov, a aplicação do método do primeiro

harmónico é simples, devendo satisfazer algumas condições fáceis de serem verificadas. O

método do primeiro harmónico é usado, principalmente, na determinação da existência de ciclos-

limite em sistemas não-lineares. Outras aplicações são a previsão da existência de componentes

sub-harmónicos na resposta de um sistema com excitação senoidal.

O método tem várias vantagens. Por exemplo, pode lidar igualmente com sistemas de baixa ou

alta ordem. Outros, devido a sua similaridade com a análise no domínio da frequência de

sistemas lineares, é conceitualmente simples e atraente por favorecer intuições do ponto de vista

físico do sistema decontrole. Além disso, trata de não-linearidades descontínuas, como folga e

histerese. Desta forma, o método do primeiro harmónico é importante em problemas práticos em

análise e projecto de sistemas de controlenão-lineares (Slotine e Li, 1991).

As desvantagens deste método estão ligadas ao fato de ser uma aproximação, o que pode

provocar resultados com pouca precisão, ou mesmo falsos (se certas condições não forem

satisfeitas.) Por último, o método tem dificuldade de lidar com elementos não-lineares em

cascata (Gibson, 1963; Slotine e Li, 1991; Ogata, 1993).

2.2.2.2.4 Método do Primeiro Harmónico

O método de resposta em frequência é uma técnica importante para a análise e projecto de

sistemas de controle lineares. É baseado na descrição de um sistema linear por uma função

complexa, ao invés de uma equação diferencial. Contudo, a análise nodomínio da frequência não

pode ser aplicada directamente em sistemas não-lineares, pois não é possível definir as funções

de resposta em frequência para estes sistemas.



Entretanto, para alguns sistemas não-lineares e sob certas condições, uma versão estendida do

método de resposta em frequência, o método do primeiro harmónico, pode ser usado para

analisar e predizer comportamentos não-lineares (Slotine e Li, 1991). Para que o método do

primeiro harmónico seja aplicável, deve-se supor que se a entrada para um elemento não-linear é

senoidal, a saída deve ser periódica e ter o mesmo período da entrada. Por outro lado,

geralmente, a saída deste elemento é não senoidal e contém harmónicos superiores, além do

componente harmónico fundamental.

Na análise por função descritiva supõe-se, outros, que apenas o componente harmónico

fundamental da saída é significativo. Tal suposição é frequentemente válida, uma vez que

harmónicos superiores na saída de um elemento não-linear são, usualmente, de amplitude menor

que a do harmónico fundamental. Além disso, a maioria dos sistemas de controle somado à

dinâmica do processo são filtros passabaixa, assim os harmónicos superiores são muito

atenuados quando comparados ao componente harmónico fundamental (Ogata, 1993).

A função descritiva de um elemento não-linear é definida como a relação complexa entre o

componente harmónico fundamental da saída e a amplitude da entrada, isto é,

N=Y 1

X<∅1

OndeN é a função descritiva, X é a amplitude da senóide de entrada, Y 1é a amplitude do

componente harmónico fundamental da saída e ∅ 1é a desfasagem do componente harmónico

fundamental da saída.

Se não houver elemento armazenador de energia incluído no elemento não linear, então N é uma

função apenas da amplitude da entrada para o elemento. Por outro lado, se um elemento

armazenador de energia for incluído, então N é uma função tanto da amplitude como da

frequência da entrada. Ao se calcular a função descritiva para um dado elemento não-linear,

objectiva-se determinar o componente harmónico fundamental da saída. Tendo como entrada a

função x (t )=Xsen (ωt )para o elemento não-linear, a saída y (t ) pode ser expressa como uma série

de Fourier:



y (t )=A0+∑n=1

∞

Y n sen (nωt+∅ n)

Sendo Y na amplitude do n – ésimo harmónico dada por:

Y n=√An2+Bn

2

Os coeficientes da serie de Fourier são dados por:

An=1π∫

0

2 π

y ( t)cos nωtd (ωt)

e

Bn=1π∫0

2π

y (t)sen nωtd(ωt)

O atraso de fase de cada harmónico é dado por:

∅ n=tan−1( An

Bn)

Caso dois elementos não lineares estejam posicionados em cascata de forma que a saída do

primeiro elemento (entrada do segundo elemento) seja senoidal, então a função descritiva

equivalente é o produto das funções descritivas de cada elemento. Caso contrário deve ser

determinada uma função descritiva para os elementos não lineares combinados.

2.2.2.2.4.1 Análise de Sistemas de ControleNão-Lineares pelo Método do Primeiro Harmónico.

Considerando o sistema visto na Figura 2onde N ( jω) indica a função descritiva do elemento

não-linear, se os harmónicos de ordem superior são suficientemente atenuados, apenas a

frequência fundamental está circulando na malha e, portanto, a resposta em frequência de malha

fechada é dada por:

C( jω)R( jω)

=N ( jω)G( jω)

1+N ( jω)G( jω)



Onde ω é a frequência fundamental.

Figura 2: Sistema de controle não linear.

Para que o sistema apresente ciclo – limite a função de transferência de malha aberta deve ter

ganho unitário e atraso de fase de180o, Isto é:

N ( jω )G ( jω )=−1

Ou seja,

G ( jω )= −1N ( jω)

Se a equação acima é satisfeita, então haverá ciclo – limite na saída. Isto corresponde ao caso, na

análise de frequência em sistemas lineares, em que o lugar geométrico de G( jω) passa pelo

ponto crítico (−1+0 j).

No método do primeiro harmónico a analise convencional da resposta em frequência é

modificada de tal modo que todo o lugar geométrico de −1

N ( jω )se torna o lugar geométrico dos

pontos críticos. Assim, os lugares geométricos relativos entre −1

N ( jω)eG( jω) provêem

informações sobre a estabilidade.

Para esta análise supõe-se que a parte linear do sistema é de fase mínima. O critério é que se o

lugar geométrico de −1

N ( jω )nãoé interceptado pelo lugar geométrico de G( jω) então não há

ciclo-limite.



Por outro lado se os lugares geométricos de −1

N ( jω )eG( jω) se interceptam, então a saída do

sistema pode apresentar um ciclo-limite. Esta oscilação mantida é caracterizada pela amplitude e

frequência na intersecção dos lugares geométricos de −1

N ( jω ) e de G( jω).

A amplitude e frequência do ciclo-limite indicado pela intersecção dos lugares geométricos de

−1N ( jω ) e de G( jω) são valores aproximados. Se os harmónicos superiores são todos atenuados,

então a precisão é excelente, caso contrárioé de razoável a boa (Ogata, 1993).

Estabilidade do Ciclo-Limite

A Figura abaixo mostra os lugares geométricos de G( jω) e de −1

N ( jω)de um sistema. Supondo

que o ponto A do lugar geométrico de −1

N ( jω) , Corresponda a um valor pequeno de X , e que o

ponto B corresponda a um valor grande deX3, então, pode-se observar que nos pontos de

operação A e B o sistema apresentaciclo-limite, além disso a amplitude do sinal de entrada X no

ponto B é maior que no ponto A.

Supondo que o sistema opere no ponto A, a amplitude da oscilação é X Ae a frequência é ωA. Se

uma pequena perturbação ocorre de modo que a amplitude da entrada do elemento não-linear é

aumentada, então, o sistema passa a operar no ponto C. Nesse caso, o ponto C passa a ser o

ponto crítico e o lugar geométrico de G( jω) circunda o ponto C no sentido de Nyquist. Esta é

uma situação de instabilidade.

A amplitude da oscilação aumentará até que o sistema passe a operar no ponto B, com amplitude

de oscilação X Be frequência ωB.

Supondo agora que uma pequena perturbação passe a operar no ponto D, então o lugar

geométrico de G( jω) não circunda o ponto crítico (ponto D) e a amplitude da entrada do

elemento não-linear diminui, fazendo o ponto de operação mover-se além do ponto D. Com isso,

conclui-se que o ponto A é divergente e caracteriza um ciclo-limite instável.



Por outro lado, se o sistema operar no ponto E, e uma pequena perturbação ocorrer, o sistema

tenderá a operar no ponto B. Dessa forma o ponto B é um ponto convergente. Conclui-se então,

que o ciclo-limite de amplitude X Be frequência ωBéestável (Distefanoet al., 1972; Slotini e Li,

1991; Ogata, 1993).

Figura 3: Análise de estabilidade de ciclo-limite

2.3 Exemplo pratico de um sistema não linearbaseando – se no controle do pendulo invertido, consideremos um modelo não linear do pendulo

invertido, dado pela equação abaixo:

y=9 .8 sen ( y )+cos ( y )[−u−0 .25 y2 sen( y)

1 .5 ]0 .5 [ 4

3−13 cos2( y)]

O modelo desse sistema no espaço de estado é dado pela equação:

x1=x2

x2=9.8 sen ( y )+cos ( y )[−u−0.25 y2 sen ( y)

1.5 ]0.5 [4

3−13 cos2 cos ( y )]y=x1



Ee utilizado aqui um controlador genetico com saída futura calculada para δ=0.02 s . a

configuração do algorítmo genetico utilizado é dada a seguir:

N p=200 – Número de individuos.

n=1 – Dimensão do problema.

N g=20 – Número de gerações.

T mut=30 % - Porcentagem máxima da população que sofre mutação em cada geração.

Pmut=10 % - Amplitude máxima da mutação.

Figura 4 – Controlador genético

Considerando inicialmente uma simulação com tempo tota de 4 segundos. O periodo de

amostragem do controlador genetico ee de 0.01 segundos e a entrada aplicada ao sistema ee um

degrau de amplitude 0.2 rad. A Figura 5 ilustra a entrada do sistema u(t ) calculada pelo

controlador genetico para esta simulacao:

Figura 5: Entrada do sistema para uma referencia em degrau de amplitude 0.2



o processo de controle utilizando o controlador genetico ee semelhante a qualquer outro

controlador. A entrada do sistema ee calculada a cada periodo de amostragem aplicada ao

sistema. A aplicacao do sinal de controle dado na figura 5 aa entrada do sistema resulta na saida

y (t ) mostrada na figura 6:

Figura 6 – Saida resultante y (t ) e sinal de referencia r (t ) do sistema para a entrada mostrada

acima e o estado do sistema.

A simulacao previamente discutida ilustra a operacao do controlador genetico para uma entrada

constante, porem, ee de fundamental interesse avaliar a sua capacidade de seguir uma referencia

variante no tempo, caracterizando o problema do servo mecanismo. Para tanto, considereremos

um sinal de referencia variante no tempo dado por:

r (t )=sen (4 t)

Para o caso um sinal de referencia em degrau anteriormente analisando, o controlador foi

plenamente capaz de seguir essa referencia com tempo de acomodacao e erra relativamente

pequenos, poreem, para um sinal de referencia variante no tempo, nota-se claramente que o

sistema ira produzir na saida um atraso igual a α , ou seja, periodo de amostragem.

Esse atraso indejavel pode ser eliminado pela utilizacao de um preditor na entrada do

controlador. Tal ferramenta ira estimar o valor do sinal de referencia para o tempo t+α :

rα (t )=r (t+α ). A funcao de fitness ee entao substituida pela equacao que segue:



fitness (ai )=e¿

Para o calculo do valor rα (t ) o preditor quadratico dado pela equacao:

rα ( t )=r ( t )+dr( t)dt

α+d2

r (t)dt2 α 2

Este preditor exige o conhecimento da primeira e da segunda derivada temporal do sinal de

referencia. Essas variaveis, dr(t )d t

e d2

r(t)dt 2 , são fornecidas ao controlador genetico alterando o

diagrama de blocos da fiqura 4, que passa a ser dado conforme a figuara abaixo:

Figura 7 : Controlador genetico aplicado a uma referencia variante no tempo

utilizando o mesmo controlador anteriormente analisado com as mesmas configuracoes e saida

futura tambem calculada para 0.02 segundos, ee desenvolvida uma nova simulacao do

controlador proposto para esta configuracao ee obtido o sinal de controle mostrado abaixo:

Figura 8: entrada e saida resultantey (t ) e sinal de referencia r (t )do sistema para a referencia

dada



Figura 9 – estado do sistema para a entrada dada pela equacao

3 FUNÇÕES DISCRETAS

Alguns sistemas de controle envolvem controladores analógicos, que produzem sinais de

controle contínuos no tempo a partir de sinais da entrada também contínuos no tempo. Estes

controladores apresentam pouca flexibilidade e modificações na lei de controle implicam na

modificação do ”hardware”. Além disto, é difícil implementar leis de controle mais complexas.

Com o desenvolvimento e redução de custos do hardware, o controle digital passou a ser uma

solução cada vez mais usada. O controle digital caracteriza-se pelo uso de um computador

específico ou geral, que gera a lei de controle e exerce a função de controlador. Controladores

digitais são flexíveis e as funções de controle podem ser facilmente modificadas. Leis de

controle mais complexas também podem ser implementadas sem dificuldade. O esquema do

sistema de controle é mostrado na Figura abaixo:

Figura 10: Controlador digital

Neste esquema o erro é amostrado e convertido em uma sequência de pulsos expressos em um

código numérico (código binário, por exemplo). A função de transferência do controlador é



convertida em uma equação diferencial implementada como um programa no computador. A

saída do computador por sua vez, que é expressa também no mesmo código binário, é convertida

para um sinal contínuo. Esta saída é a acção de controle.

Sistemas de controle amostrados são usados quando um elevado grau de precisão é requerido.

Também no caso onde transmissão de dados à longa distância é necessário, o uso de modulação

de amplitude de pulso permite que um único meio de transmissão seja usado para vários canais

de informação sem estar sujeito a distorções encontradas em transmissão analógica. Para alguns

sistemas a amostragem é inerente aos mesmos.

3.1 Tipos de sinais

Vários termos usados com relação a sinais usados em controle discreto são definidos a seguir:

3.1.1 Sinal analógicoÉ um sinal que toma um conjunto contínuo de valores em uma faixa contínua de tempo.

3.1.2 Sinal discreto no tempoÉ o sinal definido apenas em instantes discretos do tempo (apenas a variável independente é

quantizada).

3.1.3 Sinal amostradoSe o sinal discreto no tempo tem amplitude que pode assumir umafaixa de valores contínuos

então o sinal é chamado amostrado.

3.1.4 Sinal digitalSe o sinal discreto no tempo tem amplitude quantizada (ou seja, pode ser representado por uma

sequência de números) então o sinal é chamado digital.

3.2 Amostragem

O controle digital envolve a medição do sinal de saída da planta, que em geral é contínuo. Como

este sinal deve ser processado pelo computador, ele deve ser discretizado. Este é o chamado

processo de amostragem. Por outro lado o sinal de controle gerado pelo computador deve ser

aplicado na planta.



Como este sinal é discreto, ele deve então ser transformado em um sinal contínuo. Este é o

processo de reconstrução do sinal. Estes dois processos são analisados a seguir.

O processo de amostragem transforma um sinal contínuo em um sinal discreto. Vários tipos de

operações de amostragem podem ser usados:

Amostragem periódica na qual os instantes de amostragem são igualmente espaçados e dados por

t k=k ×T ,k=0,1,2…

Amostragem de ordem múltipla neste casot k−r−t ké constante para todo t k. Ou seja, um

certopadrão de amostragem é repetido periodicamente.

Amostragem com múltiplas taxas em casos onde o sistema de controle possui vários laços

envolvendo diferentes constantes de tempo é conveniente á amostragem em alta freq¨uência para

os laços com pequenas constantes de tempo e amostragem em baixa frequência para laços que

envolvem constantes de tempo lentas.

Amostragem aleatória os instantes de amostragem são aleatórios.

Na grande maioria das aplicações consideram-se apenas amostragem periódica.

É interessante analisar o efeito que a amostragem tem sobre o sinal a

ser amostrado e as consequências para o desempenho do sistema. Seja o processo de amostragem

mostrado na Figura abaixo:

Figura 11: Processo de Amostragem



O amostrador converte o sinal contínuo em um trem de pulsos que ocorrem nos instants

t=0 , T ,2T ,…onde T é o período de amostragem.

O processo de amostragem é equivalente a multiplicar o sinal e (t)por um trem de pulsos

periódicos, ou seja:

ea ( t )=e( t)× p ∆

ondep∆( t) é o trem de pulsos periódicos dado na Figura abaixo

a) Trem de pulsos b) Trem de impulsos

Figura 12: Trem de Pulso

3.3 Modelagem e resposta de sistemas discretos

Os sistemas discretos podem ser representados, do mesmo modo que os sistemas contínuos, no

domínio do tempo ou através de uma transformaçãoo, neste caso a transformada Z. No caso do

domínio no tempo, a representação é feita por equações diferença, também chamadas de

equações recursivas. No caso da representação por uma transformação, usam-se funções de

transferência discretas, obtidas pela aplicaçãoda transformada Z.



3.4 Equações diferença

Seja um sistema discreto com uma entrada u(k ) e uma saída y (k), onde K=0 ,1 ,2 ,…,∞, e kT

representa o tempo no K-ésimo instante de amostragem. A relação entre a entrada e a saída, no

domínio do tempo, é dada por uma equação a diferenças

y (k )+a1 y (k−1 )+…+an y (k−n )=b0u (k )+b1u (k−1 )+…+bnu (k−n )

A solução desta equação pode ser feita no domínio do tempo, através de recursividade, ou

usando a transformada Z.

3.5 Função de transferência discreta

Seja o sistema descrito pela Equação


A função de transferência discreta ou função de transferência

Pulsada G(z ) é definida como a relação entre a transformada Zda saída, Y (z ), e a transformada

Zda entrada,U (z ). Portanto

G ( z )=Y (z)U (z)

A função de transferência amostrada pode ser calculada, tomando-se a transformada Z nos dois

lados da Equação


Tem-se então:

Y ( z )+a1 z−1Y ( z )+…+an z

−nY (z )=b0U ( z )+b1 z−1U ( z )+…+bn z

−nU ( z )

(1+a1 z−1+…+an z

−n )Y ( z )=(b0+b1 z−1+…+bn z

−n)U ( z )



G ( z )=Y (z)U (z)

=b0+b1 z

−1+…+bn z−n

1+a1 z−1+…+an z

−n

Usaremos a função de transferência discreta para representar tanto a planta quanto o controlador

na maior parte do estudo neste e nos capítulos seguintes.

A partir da função de transferência pode-se determinar a equação recursiva correspondente.

Formalmente, deve-se primeiro escrever a função de transferência na forma de potências

negativas de . Pode-se então substituir z iporq−i, ondeq−1representa o operador de atraso, no

domínio do tempo, ou seja,

q−i y (k )= y (k−1)eq−i y (k )= y (k−i)

O operador qcorresponde ao operador p=ddt

no caso cont´ınuo.

É usual, no entanto, passar diretamente da função de transferência discreta para o domínio do

tempo,

usando o operador z−1como o operador produzindo o atraso no tempo.

3.5.1 Obtenção da função de transferência discreta

Para a obtenção da função de transferência discreta em sistemas de controle, deve-se levar em

conta que muitas vezes sinais discretos e contínuos estão simultaneamente presentes nestes

sistemas. Além disto, um sustentador de ordem zero está presente.

lembrandp alguns factos básicos sobre a transformada Z

3.5.1.1 Relação entre a transformada Z e a transformada de Laplace

A transformada de Laplace de um sinal discreto y (k) também pode ser determinada. Seja Y ¿ (s )

esta transformada, que alguns autores chamam de transformada estrela. Se a relação entre a

variável complexa ze a transformada complexa s for z=esT , onde T é o período de amostragem,

tem-se que

Y ( z )=Y ¿(s)|s= lnzT



ou seja, a transformada Zcoincide com a transformada estrela se a relação s=lnzT

for usada.

3.5.1.2 Combinação de sinais discretos e contínuos

A função de transferência discreta relaciona uma sequência de amostras da entrada com uma

sequência de amostras na saída. Esta função muda dependendo da existência ou não de um

amostrador antes de cada bloco que compõe o diagrama de blocos do sistema. Se o amostrador

existe, a entrada do sistema é amostrada e a resposta é diferente do caso onde o amostrador não

existe e a entrada é o próprio sinal contínuo. Por outro lado, a existência de um amostrador na

saída de um bloco é irrelevante em termos da

determinação da função de transferência discreta, pois ela relaciona as amostras da entrada e da

saída. Se o amostrador não existe, podemos supor a existência de um amostrador fictício. Se a

saída desta função de transferência é a entrada de uma outra função de transferência, a existência

ou não do amostrador terá importância na determinação da função de transferência seguinte.

A presença ou não do amostrador na entrada de um bloco pode ser considerada de forma

automatic através de uma propriedade da transformada estrela. Quando toma-se a transformada

estrela de um produto de funções na forma de transformada de Laplace, termos que já forem

transformada estrela podem ser fatorizados.

Para a Figura abaixo a saída do sistema pode ser escrita como:

Y (s )=G ( s)×E¿ (s)

a) Amostrador antes do bloco b) Sem amostrador antes do bloco

Figura 13: Efeito do amostrador na entrada do bloco

Tomando-se a transformada Znos dois lados da equação tem-se

Y ¿ ( s)=¿



pois a transformada estrela E¿ ( s )pode ser fatorizada do produto. Usando-se a relação entre a

transformada Ze a transformada estrela obtem-se:

Y ( z )=G(z )×E (z)

No caso do lado (b) da figura acima, onde o amostrador não existe na entrada do bloco, o sinal

de entrada é contínuo. Pode-se então escrever:

Y (s )=G(s)×E (s)

e tomando-se a transformada estrela nos dois lados da equação tem-se

Y ¿ ( s)=G(s )× E(s)¿¿

e não é possível obter-se um produto de transformadas Z, como no caso anterior. Neste caso

pode-se escrever

Y ( z )=¿(z )

que significa que deve-se obter a transformada Zcorrespondente ao resultado do produto das

transformadas de Laplace.

3.5.1.3 Sustentador de ordem zero

A função de transferência do sustentador de ordem zero é dada por:

SOZ (s )=1−e−Ts

s×G(s)

U ( z )Y (s)

Figura 14: Sustentador de ordem zero em cascata com a planta

Na Figura acima onde tem-se um sustentador de ordem zero em cascata com uma função de

transferênciaG p(s), Tem-se


SOZ (s) G p(s)


G (s )=1−e−Ts

s×G p(s)

É importante ressaltar que G ( z ) não é o produto do equivalente no domínio Zdo sustentador de

ordem zero porG p ( z ), pois não existe um amostrador entre o sustentador de ordem zero e a

função de transferência G p (s ).

3.6 Álgebra de blocos

A álgebra de diagramas de bloco para o caso discreto deve levar em conta a existência de

amostradores antes de um bloco. Dependendo do sinal que entra em bloco se é contínuo ou

amostrado, as funções de transferência serão diferentes, pois a resposta será diferente para cada

sinal. No entanto, as regras de manipulação são semelhantes ao caso contínuo. A seguir são

apresentadas as principais regras de manipulação de diagramas de bloco.

3.6.1 Associação em cascata

Seja o sistema mostrado na Figura abaixo:

(a) Com amostrador antes do segundo bloco

(b) Com amostrador antes do segundo bloco

Figura 15: Associação em cascata

Os amostradores são supostos sincronizados e com o mesmo período de amostragem. Então:

Y 1(s)=G1(s)× E¿ ( s)



ou tomando-se a transformada ”estrela”nos dois lados da equação

Y 1¿(s)=G1

¿ (s)× E¿ ( s)

Do mesmo modo, calculando-se a saída

Y 1(s)=G2(s)×Y 1¿ (s )

Então:

Y ¿ ( s)=G2¿ (s )×Y 1

¿ (s )=G2¿ ( s)×G1

¿ (s)× E¿ ( s)

Ou

Y ¿ (s )E¿ ( s)

=G2¿ (s )×G1

¿ (s)

Usando-se a relação entre a tranformada estrela e a transformada Z tem-se:

Y (z)E(z )

=G1(z )×G2(z)

Quando não existe o amostrador intermediário, como mostrado na Figura (b), tem-se:

Z [G1(s)×G2(s)]=G1G2(z)=G 2G1(z)

ou seja, a transformada Z deve ser a transformada do produto das funções de transferência e:

Y ¿ (s )E¿ ( s)

=G1G 2¿(s)

Ou

Y ( z )G ( z )

=G1G 2(z )

3.6.2 Associação em paralelo

Seja o sistema dado na Figura(a) abaixo. O amostrador existe antes dos dois blocos.



(a) Com amostrador antes do bloco (b) sem amostrador do bloco

Figura 16: Associação em paralelo

Neste caso tem-se:

Y ¿ ( s)=G1¿ (s )× E¿ ( s)+G2 E

¿ (s )

Ou

Y ( z )=G1(z)E ( z )+G2E( z)

3.6.3 Malha Fechada

(a) Com amostrador antes do bloco na realimentacao

(b) Sem amostrador antes do bloco na realimentação

Figura 17: Malha fechada

Seja o sistema apresentado na Figura (a). Neste caso existem amostradores antes dos blocos

correspondentes a G(s) e H(s). Tem-se então:

Y (s )=G ( s)×E¿ (s)



E ( s)=R ( s )+H (s)×Y ¿(s)

Das duas equações obtem-se:

Y ( z )=G ( z )×E (z)

E ( z )=R ( z )+H (z)×Y ( z)

Usando-se as equações anteriores obtem-se:

Y ( z )=G ( z )×R (z)+G(z )×H (z)×Y (z )

Y (z)R (z)

=G(z)

1+G(z)×H (z)

Seja agora o sistema mostrado na Figura (b). Na malha de realimentação, não existe amostrador

antes do bloco correspondente a H(s). Ou seja, a saída contínua e não a amostrada, é que é

realimentada.

As equações correspondentes a este diagrama são dadas por:

Y (s )=G(s)×E¿(s)

E ( s)=R ( s )−H (s)×Y (s)

Y ¿ ( s)=G¿(s)×E¿ (s )

Substituindo-se Y(s) obtem-se:

E ( s)=R ( s )−H (s)×G(s)× E¿(s)

Ou, tomando-se a transformada estrela nos dois lados da equação,

E¿ (s )= 11+GH ¿ (s )

×R¿ (s )

Ai teremos:

Y ¿ (s )=G¿(s)

1+GH ¿ (s)×R¿ (s)



Ou ainda, usando-se a relação entre a transformada estrela e a transformada Z:

Y (z )=G (z)

1+GH (z )×R (z)

Do desenvolvimento anterior verifica-se que para a determinação da função de transferência

amostrada é importante o conhecimento da posição dos amostradores na malha. Devido ao uso

da transformada Z e de um amostrador fictício na saída, os resultados da antitransformada dão os

valores da saída nos instantes da amostragem, nada podendo-se afirmar quanto ao

comportamento entre as amostragens.



4 CONCLUSÃOA grande maioria dos sistemas físicos reais é não linear até um certo grau. Isto significa que deve

ser aplicado o procedimento linearização (quando possível) do sistema a fim de tornar o controle

menos susceptível às não linearidades. Infelizmente nem sempre esta prática resulta num sistema

controlável.

É importante lembrar que embora a previsão do comportamento de sistemas não lineares seja

normalmente difícil, ao se projectar um sistema de controle não devemos tentar forçar o sistema

a ser o mais linear possível, porque a exigência de linearidade do sistema pode levar ao projecto

de um sistema caro e menos desejável do que um sistema não linear adequadamente projectado.

O meetodo da função discreta nos permite estudar a estabilidade de muitos sistemas de controle

não lineares simples do ponto de vista do domínio da frequência.

O método da função discreta fornece informação sobre a estabilidade para um sistema de

qualquer ordem, mas não da informação exata sobre as características de resposta temporal.



5 BIBLIOGRAFÍA

[1] Ogata, Katsuhiko. Enginharia de controle Moderno. Terceira Ediccao. LTC editora: Rio de

Janeiro, 2000.

[2]

[3]

[4]


trabalho de controle automatico.docx

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