1. INTRODUÇÃO

Conforme a proposta de trabalho do professor João Ricardo, apresentamos a seguinte peça (uma taça) a ser analisada:

2. CÁLCULO DE VOLUME ATRAVÉS DE INTEGRAIS

2.1.ENCONTRANDO AS FUNÇÕES

Diante da situação criada, o nosso primeiro passo é criar as funções delimitadoras de superfícies (como paraboloides, esferas).

Analisando primeiramente a base da taça, temos uma esfera, onde ainda não é possível encontrarmos o a função pois dependemos do raio da esfera e para encontrá-lo temos um cálculo geométrico simples:

Utilizando o teorema de Pitágoras para o triângulo formado encontramos o raio da nossa esfera e com isso a função:

Para encontrarmos a função dos dois paraboloides precisamos definir um ponto de referência para nossa análise (o ponto de origem (0,0)). Para não termos nenhum deslocamento de centro em nossa esfera, escolhemos o centro da esfera como o nosso ponto de referência:

Devido ao nosso tipo de paraboloide, podemos pensar em escrever sua função como z = Kx² + Ky² + c , onde "c" é a constante de descolamento no "eixo z" e K é uma constante para termos nossos pontos coincidindo com a proposta feita inicialmente. Sendo assim, sabemos que o deslocamento em "z" do paraboloide inferior e superior, respectivamente, são 150 e 170. Portanto, calculando a constante K, temos as seguintes funções:

Utilizamos de programa computacional para visualizarmos graficamente as funções criadas.

2.2.Cálculo das Integrais

Encontradas todas as funções delimitadoras, podemos calcular as integrais para definirmos o volume de nossa taça. Para o cálculo, teremos que separar a nossa taça em três sólidos e assim calcularmos três integrais. O volume total de nossa taça será o somatório do volume das partes.

O Sólido I (uma parte de uma esfera) é delimitado por um corte reto inferiormente e pela esfera x²+y²+z²=2500.

Sólido III (Parte Superior)

Sólido II (Parte Intermediária)

Sólido I (Parte Inferior)

O Sólido II (um cilindro) é delimitado por um corte de uma esfera

x²+y²+z²=2500 inferiormente e por um paraboloide z=7 x ²250

+ 7 y ²250

+150

superiormente.O Sólido III (um paraboloide) é delimitado por dois cortes de paraboloide,

inferiormente por z=7 x ²250

+ 7 y ²250

+150 e superiormente por z=x ²50

+ y ²50

+170.

2.2.1. INTEGRAL SÓLIDO I

2.2.2. INTEGRAL SÓLIDO II

2.2.3. INTEGRAL SÓLIDO III

2.3.VOLUME TOTAL

O volume total de nossa taça é a soma do volume dos três sólidos. Somando-os temos um volume total de _______________.

2.4.MASSA

Através do volume encontrado podemos calcular a massa da taça. Lembrando a fórmula ρ=m/v, onde ρ = densidade, m = massa e v = volume.

A nossa taça foi construída com material de parafina, onde a densidade é 0,9g/cm³.

3. CÁLCULO DE VOLUME ATRAVÉS DE SOFTWARE CAD

3.1. VOLUME

Utilizamos o programa Autodesk Inventor 2011 para a análise. Para obtermos os dados, foi necessário o modelamento da peça através da proposta inicial. Depois da peça modelada, automaticamente o programa já calcula o volume da peça.

3.2. MASSA

Conforme item 2.4, efetuamos também o cálculo para encontrarmos a massa da peça através do volume encontrado no Inventor.

4. MEDIDA DE VOLUME ATRAVÉS DA TAÇA FÍSICA

4.1.PROCESSO DE FABRICAÇÃO

Para a fabricação da taça foi utilizado parafina, a mesma foi levada ao torno e com as devidas ferramentas de corte também fabricada por nós através dos desenhos, torneamos cada sólido do item 2.2 e depois efetuamos a montagem.

4.1.1. IMAGENS DA FABRICAÇÃO

4.1.2. IMAGEM DA TAÇA

4.2.VOLUME

Através de um béquer graduado com água, medimos o volume de nossa taça e encontramos um volume de 225ml, como 1ml = 1cm³, temos um volume de 225cm³. Convertendo para mm³ temos um volume de 225000mm³.

4.3.MASSA

Através de uma balança medimos a massa da nossa taça e encontramos um peso de 220g.

5. ANÁLISE ENTRE DIFERENTES TIPOS DE CÁLCULOS

Depois de diferentes resultados, percebemos alguns fatores que influenciam nessa pequena diferença.

No programa Inventor, o modelamento do Sólido III do item 2.2 (sólido formado por duas parábolas) é realizado através de tabelamento da função de uma parábola, portanto a quantidade de pontos em que foi marcada influencia diretamente na geometria do modelo, o que ocasionou uma pequena diferença no volume encontrado através de cálculo de integrais e de software.

Já no modelo físico são vários os fatores que ocasionam pequenos erros, que somados podem ocasionar em um erro maior. A ferramenta utilizada para a usinagem (corte) foi feita manualmente, onde os operadores acabam não sendo perfeitos. Na própria usinagem temos erros também de operadores. Nos aparelhos de medição também temos que considerar uma percentagem de erro. Diante desses erros, a taça final não se encontra exatamente conforme proposta inicial, com medidas exatas, e por isso a diferença um pouco maior em relação ao programa Inventor e ao cálculo de integrais.