trabajo sobre solidos
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Trabajo escrito sobre
“SÓLIDOS DE REVOLUCION”
JUAN FAIBER GARCIA cód. 2009246019
MICHAEL STEVE CAMELO cod 2009246009
CALCULO INTEGRAL
Profesor: IGNACIO MONROY
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL
2010
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Sólido de revolución Michael Steve Camelo Guevara
, 2 , Juan Faiber García Garzón
1Departamento de Física, Universidad Pedagógica Nacional, Calle 72 No.13-39. Bogotá, Colombia.
2
Departamento de Física, Universidad Pedagógica Nacional, Calle 72 No.13-39. Bogotá, Colombia.E-mail: [email protected]
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una
superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría
axial o cilíndrica es un sólido de revolución.
Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al
girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Estudiaremos a continuación el problema del volumen de dichos sólidos con la aplicación de la integral definida
ABSTRACT
A solid of revolution is a body that can be obtained by a geometric operation of a plane rotation around a line that
contained in the same plane. In principle, anybody with axial or cylindrical symmetry is a solid of revolution.
For example, the cone is a solid that is by rotating a right triangle about one of its legs, the cylinder comes to turning a
rectangle around one of its sides.
Then study the problem of the volume of these solids with the application of the definite integral
l sólido generado IINTRODUCCION
l girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de
, el eje y las gráficas de y . El eje es un eje de simetría de dicho
ólido y una sección recta perpendicular al eje es un círculo.
Para determinar el volumen de este tipo de
sólidos, seguiremos un procedimiento similar al
utilizado para el área de una región, aproximando
el ``volumen'' de un sólido de revolución por
medio de una suma de volúmenes de sólidos más
elementales, en los que el volumen ya ha sido
definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares
como los sólidos elementales, suponiendo que el
volumen de un disco circular es, por definición, el
producto del área de la base por el espesor (oaltura).
METODO DE REBANADO O DE DISCOS
Consideremos una partición del intervalo
determinada por el conjunto de
números
Donde ,
con .
Sea un aumento de .
Consideremos ahora los discos circulares,
cuyos sensores
son , y cuyas
bases tienen radios.
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El volumen del ésimo disco es:
La suma
De los volúmenes de losdiscos nos da una aproximación al volumen del
sólido de revolución.
Podemos suponer que mientras más delgados sean
los discos, mayor será la aproximación de la suma
anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces
la siguiente definición:
Si existe un número tal que dada exista
para la cual
Para toda partición de y todo aumento
de , y con , este número es el
volumen del sólido obtenido por revolución del
área limitada por las gráficas de
alrededor del
eje .
Si es la función dada por
para , entonces la suma
de aproximación:
Utilizada en la definición del volumen del sólido
de revolución, puede escribirse como:
Dónde .
Luego, de la definición de integral y de la
definición de dada, se tiene que
Ecuación
(1)
La ecuación (1) es la empleada para hallar el
volumen de un sólido generado a partir de la
rotación de la superficie de una función cualquiera
y = f(x) que sea continua.
METODO DE LA ARANDELA
Consideremos ahora dos funciones y
continuas en el intervalo cerrado , tales que
para . Sea la región del
plano limitada por las curvas con ecuaciones
y las rectas con
ecuaciones .
Deseamos determinar el volumen del sólido de
revolución generado al girar la región alrededor
del eje (note que en este caso no giramos la
región alrededor de una de sus fronteras).
El sólido generado se muestra en la siguiente
figura:
Sea una partición del intervalo
determinada por el conjunto de números
con
para , y sea
un aumento de .
En este caso, los sólidos elementales usados para
obtener una suma de aproximación del volumen
del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación el ésimo rectángulo
y el ésimo anillo circular generado al rotar
aquel alrededor del eje .
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Luego, el área del anillo circular es:
Por lo que el volumen del ésimo elemento
sólido será:
Entonces, la suma de aproximación para el
volumen del sólido de revolución es:
Puede suponerse que mientras más delgados sean
los anillos circulares, mayor será la aproximación
de la suma anterior al volumen del sólido.
Definición
Si existe un número tal que dada exista para la cual
para toda partición de y todo aumento de , y con , este número dees el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de
, , , , alrededor del eje .
Si es la función dada por
para , entonces
la suma de aproximación
Utilizada en la definición 8, puede escribirse
como:
Donde ,
Luego se tiene que:
Donde f(x) g(x) 0 Ecuación (2)
La ecuación (2) es la empleada para hallar el
volumen de un sólido generado a partir de larotación de la superficie de dos funciones
cualquieras y = f(x) y g(X) que sean continuas
Donde f(x) g(x) 0.
Para poder entender bien estas formulas debemos
saber que estas se ocupan para calcular el volumen
de cualquier función que te den al hacer rotar en
cualquier eje que te pidan
Los pasos que se deben seguir para resolver los
ejercicios planteados sobre el volumen de los
sólidos de revolución
Saber graficar la función dada en el ejercicio
Tener claro en que eje piden hacer rotar la funciónTener una idea de cómo será el volumen pedido
Tener en cuenta entre que intervalos piden hallar
el volumen de la función
Aplicar la formula
METODO DE LOS CASQUILLOS
CILINDRICOSAhora vamos a exponer el último método, quizás
el mas potente en comparación a los dos
anteriormente vistos; el método de los casquillos
cilíndricos (también se le denomina método de
capas).
Antes de trabajar con este método, consideremosla siguiente figura:
Tenemos pues una región R acotada por una
función f continua y por las rectas x=a y x=b, yse desea hallar el volumen del sólido generado al
girar esta región alrededor del eje y. Usando el
método de las arandelas, tenemos que determinar
con la ayuda del segmento trazado sobre R, los
radios exterior e interior a saber) y r1= f (y) y r2=f
(y). ¡Esto era a lo que queríamos llegar! Ambos
radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto
que en f se pueda la variable independiente), y por
tanto no se puede aplicar el método de
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Arandelas ni mucho menos el método del Disco.
Luego tenemos que generar una expresión que nos
permita hallar el volumen de este sólido. Como el
segmento trazado era PERPENDICULAR al eje
de rotación, consideremos ahora ese mismo
segmento pero PARALELO al eje de rotación (eje
y), como se muestra en la siguiente figura:
Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma
un sólido como se muestra en la siguiente
animación.
Para determinar el volumen del sólido, tomamosun elemento con forma de cilindro (en vez de
arandela o disco) con altura h (longitud del
segmento) y radio x (distancia del segmento al eje
y).
El procedimiento a seguir ahora es de hallar el
volumen de este casquillo. El volumen
correspondiente viene dado por:
Vc = 2π x Δx
Donde Δx representa el grosor del casquillo
(grosor del segmento).
Notemos en la figura que la altura h del cilindro se
Expresa por medio de la función h= f(x). Porúltimo si integramos Vc con respecto a x
obtenemos una expresión matemática aceptable
para el volumen de este sólido, a saber
Nota: dx también representa el grosor del
casquillo.
La ecuación anterior es para ejes de rotación
verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x
por y.
Para f (y) 0 cy d Ecuación (3)
EN RESUMEN
Se utilizan las ecuaciones 1,2 y 3 para hallar el
volumen de los sólidos de revolución
Donde f(x) g(x) 0
Para f (y) 0 c
y d