SERIE DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función

Definición

Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Forma exponencial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

SERIE DE FOURIER otra definición

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica

donde 0=2 /T.

Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:

Ejemplo : Deducir la forma de

y expresar Cn y n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde

por consiguiente,

ó

También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias.

La componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y

se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

Funciones Periódicas

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

(1.1)

para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el

período de la función. Mediante repetición de , se obtiene:

En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica

Ejemplo : Encontrar el periodo de la función

Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene

puesto que cos( + 2 m)=cos para cualquier entero m se tiene que

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6 m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24

en general, si la función

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que

1T = 2nm

2T = 2mn el cociente es

es decir, la relación 1 / 2 debe ser un numero racional.

Ejemplo: Decir si la función es una función periódica.

Aquí y . Puesto que

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga

por consiguiente f(t) no es una función periódica.

Ejemplo: Encontrar el periodo de la función

Si aplicamos la identidad trigonométrica se tiene

Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es , se concluye que el periodo de f(t) es .

Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

Ejemplos

series de fourier

Grafico de una función periódica

Animación de las 5 primeras series de fourier.

Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

|

Ingeniería

El análisis de señales en el dominio del tiempo se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

Por lo tanto:

Aplicaciones

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la

señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

Formulación Moderna

Realmente el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con L2([ − π,π]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de L2([ − π,π]) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de funciones

exponenciales es una base ortonormal del espacio L2([ − π,π].

El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables

Formulación general

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Serie Senos y Cosenos

Coeficiente de una serie de senos

Suponga que

Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n 1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0, ]. Entonces se Obtiene

ya que

Representación de una constante por una serie de senos

Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n 1} en [0, ].

Así es

Esta serie se puede expresar como

Serie de Fourier de cosenos

Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).

Teorema Serie Cosenos

Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es

donde

(n 1)

Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos

Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)

Se tiene, con L = 2 y f(x) = x

Entonces

Tabla de Propiedades de la transformada de Fourier

Demostraciones:

Linearidad

Dualidad

Cambio de escala

Transformada de la conjugada

Translación en el tiempo

Translación en frecuencia

Derivación en el tiempo

Derivación en la frecuencia

Transformada de la integral

Transformada de la Convolucion

Teorema de Parseval

Dualidad

Cambio de escala

Transformada de la conjugada

Translación en el tiempo

Translacion en frecuencia

Analogamente:

Derivacion en el tiempo

Derivacion en la frecuencia

Analogamente:

Convolucion

Debido a que va a ser necesario utilizarlo, definamos primeramente la convolucion de dos señales:

Demostracion de conmutativilidad:

Integración en el tiempo

Transformada de la convolucion

Teorema de Parseval

El teorema de parseval es una solucion particular de la propiedad:

Consejo

Finalmente, puede ser muy común que tengamos que aplicar mas de una propiedad para una misma función, en ese caso, lo mejor es usar funciones auxiliares y cambios de variable.

Tambien podemos aplicar las propiedades en otro orden:

SERIES DE FOURIERMATEMATICAS ESPECIALES

YANETH CRISTINA HERNANDEZ QUIROGA

UNIVERSIDAD CENTRAL SANTAFE DE BOGOTÁ D.C

2009