Cátedra:

HORMIGÓN ARMADO

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TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR

HORMIGÓN ARMADO

Tema: COLUMNA

Grupo Nro: 5 (Cinco)

Integrantes:

1. Martinez Ramirez, Alexis

2. Mendoza, Nicolás

3. Olivera, Daniel

AÑO 2017

Columna interna (C109):

Para el análisis de la columna interna se eligió la Columna correspondiente al primer

piso C109, del software SAP se extrajo la solicitación axial máxima a la que estaría

sometida esa columna según los análisis de alternancia de carga y los diferentes

polinomios de carga con las cargas mayoradas.

𝑃𝑈 = 1224,01𝐾𝑁 = 1.224𝑀𝑁

∅𝑃𝑛 ≤ 𝑃𝑈 → ∅ = 0.65 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠)

𝑃𝑛 =𝑃𝑈

∅=

1.224𝑀𝑁

0.65= 1.883𝑀𝑁

Dimensionamiento de la columna en base a la solicitación a la que la columna está sometida:

𝐴𝑔 =𝑃𝑛(𝑚á𝑥)

0.80 ∗ (0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ (1 − 𝜌𝑔) + 𝑓𝑦 ∗ 𝜌𝑔)

→ 𝜌𝑔 = 0.01 (𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡í𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎)

𝐴𝑔 =1.883 𝑀𝑁

0.80 ∗ (0.85 ∗ 25𝑀𝑃𝑎 ∗ (1 − 0.01) + 420𝑀𝑃𝑎 ∗ 0.01)= 0.093𝑚2

𝑏2 = 0.093𝑚2 → 𝑏 ≅ 0.31𝑚 = 31𝑐𝑚

Verificación de esbeltez:

𝜓𝐴 = 𝜓𝐵 =∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑐⁄

∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑣⁄

Donde la rigidez debe calcularse con base a 𝐸 = 4700√𝑓′𝑐 y respecto al momento de

inercia I; para tener en cuenta la fisuración; el reglamento indica que, en forma

simplificada se utilicen los siguientes valores:

𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠 → 𝐼 = 0,35𝐼𝑔

𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 → 𝐼 = 0,70𝐼𝑔

Siendo, Ig el momento de inercia de la sección bruta de hormigón. Entonces:

𝜓𝐴 = 𝜓𝐵 =∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑐⁄

∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑣⁄=

2 ∗ 0.00077𝑚4 ∗ 0.7/3𝑚

2 ∗ 0.00089𝑚4 ∗ 0.35/3𝑚= 1,73

𝑘 = 0.7 + 0.05 + (𝜓𝐴 + 𝜓𝐵) = 0.7 + 0.05 ∗ (2 ∗ 1,73) = 0,87 < 1

𝑘 = 0.85 + 0.05 ∗ 𝜓𝑚𝑖𝑛 = 0.85 + 0.05 ∗ 0.86 = 0.89

Se toma como límite superior de k al menor valor entre ambos.

𝑘 = 0,87

𝐴𝑠𝑡 = 𝐴𝑔 ∗ 𝜌𝑔 = (0.31𝑐𝑚)2 ∗ 0.01 = 9.61𝑐𝑚2

Cálculo de la esbeltez límite:

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 34 − 12 ×𝑀1

𝑀2 Esbeltez limite

𝜆 =𝑘×𝑙

𝑟=

𝑙𝑒

√/ 𝐴⁄ Esbeltez columna analizada

𝜆 ≤ 𝜆𝑙𝑖𝑚 𝑦 𝜆 < 40 , si se comprueban estas dos relaciones estamos frente a una

columna corta y por lo tanto no se consideran los efectos de la esbeltez. Para nuestro

caso:

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 34 − 12 ×𝑀1

𝑀2= 34

𝜆 =𝑘 × 𝑙

𝑟=

𝑙𝑒

√/ 𝐴⁄=

3𝑚

√0,00077𝑚4 0,0961𝑚2⁄= 33,5

Por lo tanto, estamos frente a una columna corta, y podemos trabajar con la cuantía

adoptada.

Como es una columna interna, adoptamos una distribución uniforme, o en todas las

caras de la columna.

Se decide colocar 𝟔𝝓𝟏𝟐 + 𝟐𝝓𝟏𝟔 = 𝟏𝟎, 𝟖𝟏𝒄𝒎𝟐

Verificamos la separación de las barras longitudinales según los valores mínimos

brindados por el Reglamento:

Entonces la separación debe ser mayor a:

𝑠𝑙 ≥ {1,5 ∗ 1,6𝑐𝑚 = 2,4𝑐𝑚

4𝑐𝑚1,33 ∗ 2,5𝑐𝑚 = 3,32𝑐𝑚

Se tendrán como separaciones en un lado 10,7cm y en el otro 10,5 cm.

Luego para los estribos el Reglamento dice, que como mínimo se debe disponer:

𝑑𝑏𝑒 = 6𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 ≤ 16𝑚𝑚

𝑑𝑏𝑒 = 8𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 16 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 25𝑚𝑚

𝑑𝑏𝑒 = 10𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 25 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 32𝑚𝑚

𝑑𝑏𝑒 = 12𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 > 32𝑚𝑚

Para la columna analizada será entonces estribos de 6mm.

Con respecto a la separación minina se tiene:

𝑠 ≤ {12 ∗ 𝑑𝑏 = 12 ∗ 1,2 = 14,4𝑐𝑚

48 ∗ 𝑑𝑏𝑒 = 48 ∗ 0,6𝑐𝑚 = 28,8𝑐𝑚𝑏 = 31𝑐𝑚

Se tiene entonces: 𝟏𝝓𝟔 𝒄/𝟏𝟒

Además, se especifica que todas las barras longitudinales estén restringidas con una

rama de estribo, a menos que este ubicada a una distancia ≤ 15𝑑𝑏𝑒 de otra barra

arriostrada.

15𝑑𝑏𝑒 = 15 × 0,6𝑐𝑚 = 9𝑐𝑚

Entonces se debe agregar otro estribo para arriostrar las barras del medio de cada cara

de la columna.

Por último, se tiene para la longitud de anclaje de los estribos:

Entonces la longitud de anclaje del estribo será:

6 ∗ 𝑑𝑏𝑒 = 6 ∗ 0,6𝑐𝑚 = 3,6𝑐𝑚.

Columna de borde (C110):

Para el análisis de la columna de borde se eligió la Columna correspondiente al primer piso

C110, del software SAP se extrajo la solicitación axial máxima a la que estaría sometida esa

columna según los análisis de alternancia de carga y los diferentes polinomios de carga con las

cargas mayoradas como las solicitaciones de momento flector (doble triángulo).

𝑃𝑈 = 648,02𝐾𝑁 = 0,648𝑀𝑁

𝑀𝑈 = −16,60𝐾𝑁. 𝑚 = 0,01660𝑀𝑁. 𝑚

∅𝑃𝑛 ≤ 𝑃𝑈 → ∅ = 0.65 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠)

El pre-dimensionamiento de la columna se establece de 31x31 al igual que la columna interna.

Verificación de esbeltez:

𝜓𝐴 = 𝜓𝐵 =∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑐⁄

∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑣⁄=

2 ∗ 0,00077𝑚4 ∗ 0,7/3𝑚

(0,00089𝑚4) ∗ 0,35/3𝑚= 3,46

𝑘 = 0.7 + 0.05 ∗ (𝜓𝐴 + 𝜓𝐵) = 0,7 + 0,05 ∗ (2 ∗ 3,46) ≅ 1

𝑘 = 0.85 + 0.05 ∗ 𝜓𝑚𝑖𝑛 = 0.85 + 0.05 ∗ 3,46 = 1,23

Se toma como límite superior de k al menor valor entre ambos.

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 34 − 12 ∗𝑀1

𝑀2= 34 − 12 (

−16,6𝐾𝑁. 𝑚

17,73𝐾𝑁. 𝑚) = 45,2

𝜆 =1 ∗ 3𝑚

√ 0,00077𝑚4

0,31𝑚 ∗ 0,31𝑚

= 33,51

𝜆 < 𝜆𝑙𝑖𝑚 ; 𝜆 < 40 → 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎

𝑛 =𝑃𝑈

𝐴𝑔=

0,648𝑀𝑁

0,31𝑚2= 6,74𝑀𝑃𝑎

𝑚 =𝑀𝑈

𝐴𝑔 ∗ ℎ=

0,0166𝑀𝑁𝑚

(0,31𝑚)2 ∗ 0,31𝑚= 0,56𝑀𝑃𝑎

𝛾 =25

31= 0,80 ; 𝑓′𝑐 = 25𝑀𝑃𝑎 ; 𝑓𝑦 = 420𝑀𝑃𝑎 → 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Diagrama de “Resistencia de secciones rectangulares con armaduras iguales en sus cuatro

lados sometidas a flexión compuesta”. Diagrama II.9.

648,02KN

-17,73KN.m

16,60KN.m

Del diagrama de interacción anterior se puede observar que se necesita de cuantía menor que

la mínima, por lo que se opta por disminuir la sección de la columna a una de 22cmx22cm.

Recalculo:

Verificación de esbeltez:

𝜓𝐴 = 𝜓𝐵 =∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑐⁄

∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑣⁄=

2 ∗ 1,95 ∗ 10−4𝑚4 ∗ 0.7/3𝑚

(1 ∗ 0.00089𝑚4) ∗ 0.35/3𝑚= 0,876

𝑘 = 0.7 + 0.05 ∗ (𝜓𝐴 + 𝜓𝐵) = 0.7 + 0.05 ∗ (2 ∗ 0,876) = 0,788 < 1

𝑘 = 0.85 + 0.05 ∗ 𝜓𝑚𝑖𝑛 = 0.85 + 0.05 ∗ 0,61 = 0,89

Se toma como límite superior de k al menor valor entre ambos.

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 34 − 12 ∗𝑀1

𝑀2= 34 − 12 (

−16,6𝐾𝑁. 𝑚

17,73𝐾𝑁. 𝑚) = 45,2

𝜆 =0,788 ∗ 3𝑚

√1,95 ∗ 10−4𝑚4

0,22𝑚 ∗ 0,22𝑚

= 37,2

𝜆 < 𝜆𝑙𝑖𝑚 ; 𝜆 < 40 → 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎

𝑛 =𝑃𝑈

𝐴𝑔=

0,648𝑀𝑁

(0,22𝑚)2= 13.4𝑀𝑃𝑎

𝑚 =𝑀𝑈

𝐴𝑔 ∗ ℎ=

0,0166𝑀𝑁𝑚

(022𝑚)2 ∗ 0,22𝑚= 1,56𝑀𝑃𝑎

𝛾 =15,4

22= 0,70 ; 𝑓′𝑐 = 25𝑀𝑃𝑎 ; 𝑓𝑦 = 420𝑀𝑃𝑎 → 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Diagrama de “Resistencia de secciones rectangulares con armaduras iguales en sus cuatro

lados sometidas a flexión compuesta”. Diagrama II.8.

𝜌𝑔 = 0,017

𝐴𝑠𝑡 = 𝐴𝑔 ∗ 𝜌𝑔 = (22𝑐𝑚)2 ∗ 0.017 = 8,23𝑐𝑚2

Adoptamos 8∅12𝑚𝑚 dando una sección 𝐴𝑠𝑡 = 9,05𝑐𝑚2 → =∗ 𝜌𝑔 =𝐴𝑠𝑡

𝐴𝑔=

9,05𝑐𝑚2

(22𝑐𝑚)2 = 0,018

Verificación de separación mínima:

𝑠𝑙 =22𝑐𝑚 − 0,6𝑐𝑚 ∗ 2 − 1,2𝑐𝑚 ∗ 3

2= 8,6𝑐𝑚

𝑠𝑙 ≥ {1,5 ∗ 1,2𝑐𝑚 = 1,8𝑐𝑚

4𝑐𝑚1,33 ∗ 2,5𝑐𝑚 = 3,32𝑐𝑚

Verifica separación mínima.

Estribos se adoptan de 6mm, y su separación:

𝑠 ≤ {12 ∗ 𝑑𝑏 = 12 ∗ 1,2 = 14,4𝑐𝑚

48 ∗ 𝑑𝑏𝑒 = 48 ∗ 0,6𝑐𝑚 = 28,8𝑐𝑚𝑏 = 22𝑐𝑚

Se adopta un estribo de 6mm cada 14 cm.

𝑥 ≤ 15 ∗ 𝑑𝑏𝑒 = 15 ∗ 0,6𝑐𝑚 = 9𝑐𝑚

No necesita de estribo para arriostramiento de las barras longitudinales en los bordes de las

columnas.

Columna de esquina (C111):

Para el análisis de la columna de esquina se eligió la Columna correspondiente al

primer piso C101, del software SAP se extrajo la solicitación axial máxima a la que

estaría sometida esa columna según los análisis de alternancia de carga y los diferentes

polinomios de carga con las cargas mayoradas como las solicitaciones de momento

flector (doble triangulo) en ambas direcciones.

Por la similitud en las solicitaciones se opta por realizar solamente el análisis del

método de Amplificación de momento en 1 dirección.

𝑃𝑈 = 648,02𝐾𝑁 = 0,648𝑀𝑁

𝑀𝑈 = −16,60𝐾𝑁. 𝑚 = 0,01660𝑀𝑁. 𝑚

∅𝑃𝑛 ≤ 𝑃𝑈 → ∅ = 0.65 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠)

El pre-dimensionamiento de la columna se establece de 25cmx25cm.

Verificación de esbeltez X-X:

𝐼 =(0.25𝑚)^4

12= 3,25 ∗ 10−4𝑚4

𝜓𝐴 = 𝜓𝐵 =∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑐⁄

∑ 𝐸𝐼 𝑙𝑣⁄=

2 ∗ 3,25 ∗ 10−4𝑚4 ∗ 0.7/3𝑚

(1,95 ∗ 10−4𝑚4) ∗ 0.35/3𝑚= 6,67

𝑘 = 0.7 + 0.05 ∗ (𝜓𝐴 + 𝜓𝐵) = 0.7 + 0.05 ∗ (2 ∗ 6,67) = 1,37

𝑘 = 0.85 + 0.05 ∗ 𝜓𝑚𝑖𝑛 = 0.85 + 0.05 ∗ 2,41 = 1,18

Como k es mayor a 1 se adopta k=1.

Se toma como límite superior de k al menor valor entre ambos.

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 34 − 12 ∗𝑀1

𝑀2= 34 − 12 (

−8,72𝐾𝑁. 𝑚

9,51𝐾𝑁. 𝑚) = 45

519,06KN

-8,72KN.m

9,51KN.m 9,55KN.m

-8,75KN.m

648,02KN

Momento Y-Y

KN.m

Momento X-X

𝜆 =1 ∗ 3𝑚

√3,25 ∗ 10−4𝑚4

0,25𝑚 ∗ 0,25𝑚

= 41,60

𝜆 < 𝜆𝑙𝑖𝑚 ; 𝜆 > 40 → 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐸𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎

𝑃𝑑 = 314,27𝐾𝑁 ; 𝑃𝑙 = 102,03𝐾𝑁

𝛽𝑑 =1,2𝑃𝑑

1,2𝑃𝑑 + 1,6𝑃𝑙=

1,2 ∗ 314,27𝐾𝑁

1,2 ∗ 314,27𝐾𝑁 + 1,6 ∗ 102,03𝐾𝑁= 0,70

𝐸𝐼 =0,4 ∗ 𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑔

1 + 𝛽𝑑=

0,4 ∗ 23500 ∗ 3,25 ∗ 10−4𝑚4

1 + 0,70= 1,80𝑀𝑁𝑚2

𝑃𝑐 =𝜋2 ∗ 𝐸𝐼

(𝑘 ∗ 𝑙𝑢)2=

𝜋2 ∗ 1,80𝑀𝑁𝑚2

(1 ∗ 2,875𝑚)2= 2,15𝑀𝑁 = 2149𝐾𝑁

𝑃𝑈 = 1,2𝑃𝐷 + 1,6𝑃𝐿 = 1,2 ∗ 314,27𝐾𝑁 + 1,6 ∗ 102,03𝐾𝑁 = 540,37𝐾𝑁

𝐶𝑚 = 0,6 + 0,4 ∗𝑀1

𝑀2≥ 0,40 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑚 = 0,6 + 0,4 ∗−8,75

9,55= 0,23 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0,40

𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚

1 −𝑃𝑈

0.75 ∗ 𝑃𝐶

=0,4

1 − (519,06𝐾𝑁

0,75 ∗ 2149𝐾𝑁)

= 0,677 ≥ 1

𝑀2𝑚í𝑛 = 𝑃𝑈(0,015 + 0,03ℎ) = 519,06𝐾𝑁 ∗ (0,015 + 0,03 ∗ ,25𝑚) = 4,67𝐾𝑁. 𝑚 < 𝑀2

𝑀𝐶 = 𝛿𝑛𝑠 ∗ 𝑀2 = 𝑀2 = 9,55𝐾𝑁. 𝑚

Cálculo de armaduras:

𝑛 =𝑃𝑈

𝐴𝑔=

0,51906𝑀𝑁

(0,25𝑚)2= 8,30𝑀𝑃𝑎

𝑚 =𝑀𝑢

𝐴𝑔 ∗ ℎ=

0,00955𝑀𝑁. 𝑚

(0,25𝑚)3= 0,61𝑀𝑃𝑎

𝛾 =17,5

25= 0,7

Se puede reducir la sección para optimizar materiales, pero a fines prácticos se optó

por utilizar cuantía mínima.

𝜌𝑔 = 0,01

𝐴𝑠𝑡 = 𝐴𝑔 ∗ 𝜌𝑔 = (25𝑐𝑚)2 ∗ 0,01 = 6,25𝑐𝑚2

Adoptamos 4∅16𝑚𝑚 dando una sección

𝐴𝑠𝑡 = 8,04𝑐𝑚2 → 𝜌𝑔 =𝐴𝑠𝑡

𝐴𝑔=

8,04𝑐𝑚2

(25𝑐𝑚)2= 0,013

Verificación de separación mínima:

𝑠𝑙 =25𝑐𝑚 − 0,6𝑐𝑚 ∗ 2 − 1,6𝑐𝑚 ∗ 2

1= 20,6𝑐𝑚

𝑠𝑙 ≥ {1,5 ∗ 1,6𝑐𝑚 = 2,4𝑐𝑚

4𝑐𝑚1,33 ∗ 2,5𝑐𝑚 = 3,32𝑐𝑚

Verifica separación mínima.

Estribos se adoptan de 6mm, y su separación:

𝑠 ≤ {12 ∗ 𝑑𝑏 = 12 ∗ 1,6 = 19,2𝑐𝑚

48 ∗ 𝑑𝑏𝑒 = 48 ∗ 0,6𝑐𝑚 = 28,8𝑐𝑚𝑏 = 25𝑐𝑚

Se adopta un estribo de 6mm cada 19 cm.

Ø

1

,

2

1Ø6 c/14cm

(arriostramiento)

Ø1,6

1Ø6 c/14cm

(estribos cerrados)

0,6

31

2

30

0

Columna Interna C109

Ø

1

2

m

m

22cm

8,6

2

1Ø6mm/14cm

COLUMNA 110

14

25cm

25cm

12mm

17cm

1dbe6mm/19cm

2,55cm

9cm

9cm

19cm

Columna 101