trabajo matematicas univeridad

7/21/2019 Trabajo Matematicas Univeridad

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TIPOS DE FUNCIONES

Carlos Andrés De La Ossa Oliveros

UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC

CIENCIAS AMBIENTALES

GRUPO AD

CALCULO DIFERENCIAL

BARRANQUILLA COLOMBIA!"#$

INTRODUCCION

el si%&ien'e 'ra(a)o los aven'&rare*os a des+&(rir el *aravilloso *&ndo de las'e*,'i+as- en es'e +aso el de las .&n+iones/

da ve0 1&e 2ensa*os en &n +,l+&lo o 1&e al%o de2ende de- es'a*os &'ili0ando+iones- son +osas 1&e &'ili0a*os a diario sin darnos +&en'a- 2ero las 2ersonas



an o se es' es'& an o &n 'e*a +o*o es'e +e ara 1& s rve es'o en a vidiana4 Lo 1&e no sa(en es 1&e a diario es'a*os &'ili0ando .&n+iones reales 5ane)a*os n6*eros a diario 'a*(ién a 1&e se es',n &sando s&(+on)&n'os de

*eros reales/ .&n+iones no son solo n6*eros - son de *&+7o valor 5 &'ilidad 2ara resolver(le*as 5a sea de *edi+ina in%enier8a 9nan0as es'ad8s'i+a 1&8*i+a .8si+a 5 as8nidades de *a'erias a las +&ales se rela+ionen varia(leson'in&a+i:n &n 2e1&e;o res&*en de 1&e son las .&n+iones 5 &na +lasi9+a+i:n

as/

e ne<' )o( =e =ill dis+over '7e =onder.&l =orld o. *a'7e*a'i+s/ In '7is +ase- .&n+'ions/

r5 'i*e =e '7in> in +al+&la'ion or so*e'7in% else/are &sin% .&n+'ions- =i'+7 are '7in%s =e &se dail5 =i'7o&' reason/ B&' =7en 2eo2le are s'&d5in% a 'o2i+ lisa5 3 7o= =e +an &se '7is in o&r dail5 da54 B&' '7e don@' >no= '7a' ever5da5 =e are &sin% real .&n+'ions

a&se =e 7andle n&*(ers ever5da5 (5 &sin% s&(s'es o. real n&*(ers/+'ions are no' )&s' n&*(ers- '7e5 7ave a lo' o. val&e and &'ili'5 .or resolve 2ro(le*s =7e'7er *eden%inen+e- 27isi+s or +7e*is'r5/ And in9ni'5 o. *a'erials' +o*es s&**ar5 o. .&n+'ions and a +lassi9+a'ion o. '7e*/

FUNCION

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cadaelemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado

imagen de x por f , que se denota y=f ( x).

UNCION IN!C"I#A

Una $unci%n f es inyectiva, si y s%lo si, para todo a, b en el dominio de f , si f (a)& f (b)

entonces a=b.



CION INVERSA

Una $unci%n y = f ( x) inyecti'a admite una función inversa, que se denota f

el dominio de esta $unci%n es el recorrido de f . a in'ersa de f se de$ine

f −*

( x) = y ⇔

f ( y) = x

−* , donde

NCIONES REALES

Una

$unci%n

real

en

una

'aria+le

x

es

una

$unci%n

f

A → IR

donde

A ⊆

IR ,

que

usualmente se de$ine por una $%rmula y & f ( x).

eneral, para de$inir una $unci%n real se

usan

las

letras x e y

para

representar

las

a+les

independiente y

dependiente,

respecti'amente.

!n

modelos

de

aplicaciones

se

usan

as relacionadas con el nom+re de las manitudes in'olucradas en el pro+lema.

unciones pares e impares

Una $unci%n f es una función par cuando cumple f (− x) =

f ( x) ,

para

todo

x ∈ Dom( f ) .

Nota. f es par si y s%lo si, la r-$ica de f es simtrica respecto del eje Y .

Una $unci%n f es impar si cumple f (− x) = − f ( x) , para todo x ∈ Dom( f ) .

Nota. f es impar si y s%lo si, la r-$ica de f es simtrica respecto del orien.

Funciones crecientes y funciones decrecientes

Una $unci%n f es creciente en un inter'alo I cuando, para todo a, b ∈ I

a < b ⇒ f (a) < f (b)

es decir, cuando su r-$ica sube de i/quierda a derecha.

Una $unci%n f es decreciente en un inter'alo I cuando, para todo a, b ∈ I

a <

b ⇒

f (a) >

f (b)es decir, cuando su r-$ica baja de i/quierda a derecha.

iódicaFUNCIONES PERIODICAS

Una $unci%n real f es periódica cuando e0iste un n1mero real t ≠ 2 tal que para todo

x ∈ Dom( f ) se tiene

a) x + t ∈ Dom( f )

+) f ( x + t ) =

f ( x)



!l menor n1mero real positi'o t , cuando e0iste, se denomina el período de f , y en este

caso se dice que f es una $unci%n peri%dica con per3odo t .

nciones acotadas

Una $unci%n f es acotada superiormente cuando e0iste un n1mero real m tal que

f ( x) ≤ m para todo x ∈ Dom( f )

Una

$unci%n

f

es

acotada

inferiormente

cuando

e0iste

un

n1mero

real

m

tal

que

f ( x) ≥ m para todo x ∈ Dom( f )

Una $unci%n f es acotada cuando e0iste un n1mero real positi'o 4 tal que

5 f ( x) 5≤ M para todo x ∈ Dom( f )

nciones continuas

Una $unci%n

f es continua en x=a, si y s%lo si

a)

!0iste f (a) +) !0iste lim f ( x) x

ac) lim f ( x) = f (a)

x

a

Una $unci%n f es continua cuando es continua en todo x perteneciente al dominio de f .

Intuiti'amente, una $unci%n es continua cuando peque6os cam+ios de x ocasionan 'ariaciones

peque6as de y, es decir, la r-$ica que la representa no se rompe.

nciones reales especiales

unciones polinomiales

as $unciones polinomiales y su representaci%n

r-$ica,

tienen

ran importancia

en

la

tem-tica.

!stas

$unciones

son

modelos

que descri+en relaciones entre

dos

'aria+les

que

er'ienen en di'ersos pro+lemas y7o $en%menos que pro'ienen del mundo real.

Una $unci%n polinomial

f

es una $unci%n de la $orma

f ( x)

=

an

x

n

+

+

a* x

+

a2

donde

n es un entero no neati'o, y los coe$icientes an ,,

a*,

a2

son n1meros reales.

Función constante

Una función constante es aquella que tiene la $orma y& f ( x)&c, donde c es un n1mero real $ijo.

!l

dominio

de

una

función

constante

es

IR,

y

su

recorrido

es

8c9.

:u

r-$ica

es

una

rectaaralela (o coincidente) al eje X .



Función lineal

Una $unci%n lineal es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 2 ,

unción cuadrtica

Una $unci%n cuadr-tica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y =

f ( x) =

ax

;

+

bx +

c ,

con

a ≠ 2 ,

a,

b,

c ∈ IR

Función c!"ica

Una $unci%n cbica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y = f ( x) = ax< +

bx ; +

cx + d , con a ≠ 2 , a, b, c, d ∈ IR

nciones definidas por tramos

!n muchas ocasiones se requiere m-s que una sola $%rmula para descri+ir una $unci%n.:e dice que estas $unciones son funciones definidas por tramos.

mplos de $unciones de$inidas por tramos

x si

x ≥ *

x ; +

*, x < −*

=,

dominio de la $unci%n del ejemplo a) es

IR> y en el ejemplo +) es

? − ∞, <?

?@,+∞ .

Función valor a"soluto

a $unci%n !alor absoluto, +-sica, se de$ine y = f ( x) =5 x 5 .

a $unci%n f ( x) =5 x 5 es una $unci%n par.

Función racional

Una función racional f es una $unci%n de$inida por una e0presi%n ale+raica que es el

cuociente de dos polinomios

f ( x) = p( x)

"( x)

donde p( x) y "( x) son polinomios, tal que "( x) ≠ 2 .

nción raí# cuadrada

!jemplos de $unciones ra3/ cuadrada la $unci%n f ( x) = x , la $unci%n f ( x) = − x , la

$unci%n

f ( x) = x + * , etc.

a)

f ( x) = *

− ; x si

x < *

+)

f ( x) =

x +

*, −

* ≤

x < <

x > @



Funciones de potencia

:e dice que una $unci%n f ( x) es una función potencia de x si f ( x) es proporcional a una

potencia de x. :i c es la constante de proporcionalidad, y m es la potencia, entonces f ( x) = c xm

+iones Al%e(rai+as

as .&n+iones al%e(rai+as las o2era+iones 1&e 7a5 1&e e.e+'&ar +on la varia(le inde2endien'

la adi+i:n- s&s'ra++i:n- *&l'i2li+a+i:n- divisi:n- 2o'en+ia+i:n 5 radi+a+i:n/

+iones e<2l8+i'ase 2&eden o('ener las i*,%enes de < 2or si*2le s&s'i'&+i:n/

+iones I*2l8+i'as

o se 2&eden o('ener las i*,%enes de < 2or si*2le s&s'i'&+i:n- sino 1&e es 2re+iso e.e+'&ar

ra+iones/

FUNCIONES EEMPLOS

Una $unci%n lineal es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y =

f ( x) =

ax +

b ,

con

a ≠ 2 ,

a, b ∈

IR

$ropiedades

*. !l r-$ico de una $unci%n lineal es siempre una l3nea recta.

;. !l coe$iciente a es la pendiente de la recta y&axb.

Cuando a2, la $unci%n lineal es creciente, y cuando a D2, la $unci%n lineal es

decreciente.

%rfica de y = ax + b , a > 2 %rfica de y = ax + b , a < 2

y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 2 es inyecti'a (y so+re), por lo tanto,

tiene in'ersa. :u in'ersa es tam+in una $unci%n lineal f −*

( x) = *

a x − b

a.

O"servación& #cuación general de la recta

a ecuaci%n eneral de una recta es Ax$%y$& &2 con A ≠ 2 o % ≠ 2 .

Cuando

%&2,

la

r-$ica

es

una

recta

paralela

al

eje

o

coincidente

con

esteeje.



Cuando % ≠ 2 , la r-$ica es una recta que tiene pendiente iual a m = − A

%.

Función cuadrtica

Una $unci%n cuadr-tica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y = f ( x) = ax ; + bx + c , con a ≠ 2 , a, b, c ∈ IR

$ropiedades de una función cuadrtica

*. !l r-$ico de una $unci%n cuadr-tica es una par'bola.

;. a r-$ica de y = f ( x) = ax ; + bx + c intercepta al eje Y en el punto (2,c)

a r-$ica de

y = f ( x) = ax ; + bx + c

intercepta al eje X cuando ∆ = b; − =ac ≥ 2 , y

en tal caso, las a+scisas de los puntos de intersecci%n son las ra3ces de la ecuaci%n

ax ; +

bx + c = 2.

b

;a

b

;a =. a recta 'ertical x = − b

;a

es una recta eje de simetr3a de su r-$ico.

:i a2 la par-+ola se a+re hacia arri+a, y si aD2 se a+re hacia a+ajo.

%rfica de una función cuadrtica y = f ( x) = ax

; +

bx + c

a > 2 ' ∆ > 2 a > 2 ' ∆ = 2 a > 2 ' ∆ < 2

a < 2 ' ∆ > 2 a < 2 ' ∆ = 2 a < 2 ' ∆ < 2

Función c!"ica

<. :u r-$ica es una par-+ola cuyo 'rtice es el punto

− ,

f −

.

x f ( x) = x<

E; E

E* E*

2 2*7; *7

* *

;

< ;G



Una $unci%n cbica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma

y = f ( x) = ax< + bx

; + cx + d , con a ≠ 2 , a, b,

c, d ∈ IR

Un ejemplo de $unci%n c1+ica es la $unci%n y = f ( x) = x< , cuya r-$ica es

Una $unci%n real f es periódica cuando e0iste un n1mero real t ≠ 2

tal que pa

x ∈ Dom( f ) se tiene

a)

x +

t ∈

Dom(

f ) +)

f ( x + t ) =

f ( x)

!l menor n1mero real positi'o t , cuando e0iste, se denomina el período de f , y en este

caso se dice que f es una $unci%n peri%dica con per3odo t .

ejemplo, la $unci%n f IR → IR de$inida por f ( x) = x − x?

(& x menos la parte entera de x)

na función periódica de per(odo *, cuya r-$ica es

Función periódica

f ( x) = x − x?

ción racional

Una función racional f es una $unci%n de$inida por una e0presi%n ale+raica que es el

cuociente de dos polinomios

f ( x) = p( x)

"( x)

donde

p( x) y

"( x) son polinomios, tal que

"( x) ≠ 2 .

Funciones periódicas

x f ( x) = * x

E; E*7;

E* E*

E*7; E;

E*7< E<

2 No est- de$inida

*7< <

*7; ;

* *

;



E(emplos de $unciones racionales

x) = = x + * f ( x) = *

x f ( x) = x +*

x − < f ( x) = x + *

x ; − x

*

x

)ra#ado de la *rfica de una función racional

Hara o+tener un es+o/o de la r-$ica de f ( x) =

p( x)

"( x), es necesario determinar

!l dominio de f .

As(ntotas !erticales (si es que las hay), y hori/ontales.

Intersecciones de la r-$ica de f con el eje J, si es que e0isten, y con el eje .

An-lisis de signos de f ( x).

*raficar f en cada rei%n del plano J, determinadas por las as3ntotas 'erticales.

Funciones de potencia

:e dice que una $unci%n f ( x) es una función potencia de x si f ( x) es proporcional a una

potencia de x. :i

c es la constante de proporcionalidad, y m es la potencia, entonces

f ( x) = c xm

Nota. as $unciones de$inidas por

proporcionalidad

directa

o in'ersa, son ejemplos de

$unciones de potencia.

E(emplos

*) y = 2.2< x, y = < x;, y = @

x , y = ;

@ x, y = @

x<

son $unciones de potencia.

;) !l per3odo del pndulo ", es la cantidad de tiempo necesaria para que el pndulorealice una oscilaci%n completa.

Kesultado

de

e0perimentos,

se

ha

encontrado

que

para

oscilaciones

peque6as,

el

per3odo " es apro0imadamente proporcional a la ra3/ cuadrada de la lonitud del

pndulo, e0presado mediante la relaci%n +

=

- , donde L es una constante.

<) !l peso M de un o+jeto es in'ersamente proporcional al cuadrado de la distancia r,

A continuaci%n se presenta la r-$ica de la $unci%n racional

f ( x) =

es e e cen ro e a erra a o e o. ueo, e0 s e una cons an e a que

= ; .



ficas de funciones de potencia f ( x) = c xm

%rficas de y+,m

para m entero positivo impar

%rficas de y+,m

para m entero positivo par



%rfica de y=xE;

%rfica de y=xE*7;

a r-$ica de

f ( x) =

c

xm

est- relacionada con

la r-$ica de

y =

xm .as $unciones re'isadas hasta el momento son funciones al*e"raicas.



BIBLIOGRAFIA7''2===/=i>i*a'e*a'i+a/or%inde</2724'i'leTi2osdeF&n+iones7''2*a'e*a'i+as.&n+ionesreales/(lo%s2o'/+o*2+lasesde

.&n+iones/7'*l7''2.+1i/'i)/&a(+/*<&s&arios%iovana!#F&n+ioneses/2d.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Tipos_de_Funciones

http://matematicas-funcionesreales.blogspot.com/p/clases-de-funciones.html


http://fcqi.tij.uabc.mx/usuarios/giovana/2_1_Funciones-es.pdf



http://fcqi.tij.uabc.mx/usuarios/giovana/2_1_Funciones-es.pdf

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Tipos_de_Funciones

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