TRABAJO COLABORATIVO N°. 1

CALCULO DE ERRORES Y SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Y

ALGEBRAICAS

METODOS NUMERICOS

ESTUDIANTES

RONALD FUNEZ RODRIGUEZ

OSCAR MANUEL MARTINEZ TORRES

LUIS FERNANDO QUIROZ MARTINEZ

EVER LOPEZ ESPEJO

FARID ANTONIO JIMENEZ VILLADIEGO

GRUPO: 100401_20

TUTOR

LIC. RICARDO GOMEZ NARVAÉZ

ESCUELAS DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIAS E INGENIERIAS

INGENIERIA DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CEAD-COROZAL 2011

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se mostrara que en la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema o al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

Haciendo conversiones de números fraccionarios dados en decimal a binarios y viceversa se dará a conocer como los métodos numéricos que resuelven los sistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos.

La siguiente entrega pretende encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales por los métodos anteriormente mencionados. Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación(personales)de los métodos directos(que son más difíciles de programar.

DESARROLLO DE EJERCICIOS.

1. CONVIERTA LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS DADOS EN DECIMAL A NUMERO BINARIO:a) 0.973b) 0.356

a) 0,973

0,973  2 * 0,973 = 1,946 [1,946] = 12 * 0,946 = 1,892 [1,892] = 12 * 0,892 = 1,784 [1,784] = 12 * 0,784 = 1,568 [1,568] = 12 * 0,568 = 1,136 [1,136] = 12 * 0,136 = 0,272 [0,272] = 02 * 0,272 = 0,544 [0,544] = 02 * 0,544 = 1,088 [1,088] = 12 * 0,088 = 0,176 [0,176] = 02 * 0,176 = 0,352 [0,352] = 02 * 0,352 = 0,704 [0,704] = 02 * 0,704 = 1,408 [1,408] = 1

En este caso la representación es infinita, (0,973) = (0,111110010001. . . )2.

b) 0,356

0,356  

2 * 0,356 =0,712

[0,712]

= 0

2 * 0,712 =1,424

[1,424]

= 1

2 * 0,424 =0,848

[0,848]

= 0

2 * 0,848 =1,696

[1,616]

= 1

2 * 0,696 = 1,392 [1,392]

= 1

2 * 0,392 =0,784

[0,784]

= 0

2 * 0,784 =1,568

[1,568]

= 1

2 * 0,568 =1,136

[1,136]

= 1

2 * 0,136 =0,272

[0,272]

= 0

2 * 0,272 =0,544

[0,544]

= 0

2 * 0,544 =1,088

[1,088]

= 1

2 * 0,088 =0,176

[0,176]

= 0

En este caso la representación es infinita, (0,356) = (0,010110110010 . . . )2.

2. CONVERTIR LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS DADOS EN BINARIOS A DECIMAL:a) 0.010101b) 0.00110011

0,010101

00,0-1+1-2+0-3+1-4+0-5+1-6

= 0x20+0x2-1+1x2-2+0x2-3+1x2-4+0x2-5+1x2-6

= 0 + 0 + 1

22+0

23+ 1

24+ 025

+1

26

= 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 + 0 + 0,03125= 0,34375

0,00110011

00,0-1+0-2+1-3+1-4+0-5+0-6+1-7+1-8

= 0x20+0x2-1+0x2-2+1x2-3+1x2-4+0x2-5+0x2-6+1x2-7+1x2-8

= 0 + 0 + 0+ 1

23+1

24+ 0 + 0 +

1

27+1

28

= 0+0+0+0,125+0,0625+0+0+0,0078125+0,0078125 = 0,203125

3. Determine las raíces reales de f(x)=0,3x2 – 2x -0,51

a) usando la formula cuadrática

x=−b±√b2−4ac2a

0,3x2 – 2x – 0,51 = 0

a = 0,3 ; b = -2 ; c =0,51

x=−(−2)±√¿¿¿

x=2±√4+0,6120,6

= 2±√4,6120,6

x1 = 2+√4,6120,6

= 6,912594585

x2 = 2−√4,6120,6

= -0,2459279188

b) usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz mas grande. Emplee como valores iníciales x1 = 6 y xu = 7.

f(6) = 0,3 (6)2 – 2(6) – 0,51 = -1,71 < 0

f(7) = 0,3 (7)2 – 2(7) – 0,51 = 0,19 > 0

xr1 = 6+72

=6,5

f(6,5) = 0,3 (6,5)2 – 2 (6,5) – 0,51 = - 0,835 < 0

f(6) f(6,5) f(7)- - +

xr3 = 6,75+72

=6,875

f(6,875) = 0,3(6,875)2 – 2(6,875) – 0,51 = -0,0803125 < 0

f(6) f(6,5) f(6,75) f(6,875) f(7)- - - - +

Luego la raíz más grande es xu = 7

c)Er3 =

xr3 – xr2 *

100%

Xr3

Er3 = 6,875 – 6,75 * 100%

Er3 = 1,82 %

Aprox. A la raíz Error Aprox.6,56,75 3,7 %

6,875 1,82 %

4. Determine la raíz real de f(x) = x3 – 5x + 2. Usando el método de Newton – Raphson (tres iteraciones iniciando con x0 = 2,5).

Formula

xi + 1 = xi -

x1 = x0 -

x0 = 2,5

f(2,5) = (2,5)3 – 5 (2,5) + 2 = 5,125

f ‘(2,5) = 3(2,5)2 – 5 = 13,75

x1 = 2,5 -

x2 = x1 -

x1 = 2,12727

f (2,12727) = 0,99014

f ‘(2,12727) = 8,57583

6,875

f ‘ (x) = 3x2 - 5

= 2,1272

f(xi)f '(xi)

f(xi)f '(xi)

5,12513,75

f(x1)f '(x1)

x3 = x2 -

x2 = 2,01181

f (2,01181) = (2,01181)3 – 5 (2,01181) + 2 = 0,08351

f ‘(2,01181) = 3 (2,01181)2 – 5 = 7,14214

x3 = 2,01181 -

x3 = 2,00012

5. Mediante el método de Gauss-Jordán resuelva el sistema.

10 1 -5

1

1110

−12

110 20 F1 + F2

-20 3 20 2

F1

-20 3 20 2 -5 F1 + F3

5 3 5 6 5 3 5 6

1110

−12

110

1110

−12

110

−110

F2

+ F1

0 10 F2 0 1 2

10x1 + x2 – 5x3 = 1

-20x1 + 3x2 + 20x3 = 2

5x1 + 3x2 + 5x3 = 6

110

f(x2)f '(x2)

0,083517,14214

5 4 4

5

−52

F2

+ F3

052

152

112

052

152

112

1 0−710

150

1 0−710

150

710

F3 +

F1

0 1 2 45

F3

0 1 245

-2 F3 +

F2

0 052

72

0 0 175

1 0 0 1

0 1 0-2

0 0 1 75

Solución:

X1 = 1

X2 = -2

X3 = 75

6. Dada la matriz determine para que valores de

“a” el sistema tiene solución única.

15

25

El sistema seria.

x1 + 2x2 – 2x3 = 0

-x1 + (a-2)x2 + 2x3 = 0

4x1 + 8x2 + (a2 – 9)x3 = 0

El sistema tiene solución única si y solo si

1 2 -2

-1 a-2 2 ≠ 0

4 8 a2-9

Veamos para que valores:

1 2 -2

= 1 -2 +(-2) -1

a-2 2a-2 2

-1 2

-1 a-2

4

8 a2-98 a2-9

4 a2-9

4 8

= (a-2) (a2 -9) – 16 -2(-a2 + 9 – 8) – 2 (-8 – 4a + 8)

= a3 – 9a – 2a2 + 18 – 16 + 2a2 – 2 + 8a

= a3 – a

1 2 -2

-1 a-2 2 = 0

4 8 a2-9

Asi

Resolvemos.

a3 – a = 0

a (a2 – 1) = 0

a (a + 1) (a – 1) = 0

a = 0 ó a = -1 ó a = 1

Por lo tanto

Cuando: a = -1 ; a = 0 ó a = 1

Luego el sistema tiene solución única si: a ≠ -1 , a ≠ 0 y a ≠ 1

1 2 -2

-1 a-2 2= a3 - a

4 8 a2-9

1 2 -2

-1 a-2 2 = 0

4 8 a2-9