República Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación

Universidad Nacional Experimental Politécnica

“Antonio José de Sucre”

Vicerrectorado Barquisimeto – Edo. Lara

Cordero Aldy C.I. 23 835087

Gené Michelle C.I. 24 398171

Asignatura: Resistencia de Materiales

Sección 04

Barquisimeto, Diciembre del 2014

Introducción

El analisis estreuctural de las vigas suele dividirse en vigas isostáticas e

hiperestáticas. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones

de apoyo que presente el elemento a analizar. Sila viga tiene un número

igual o inferior a tres incognitas en sus reacciones. Bastará con aplicar las

condiciones de equilibrio estático para resolverla.

∑ Fx=0∑ Fy=0∑M=0

Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas,no

bastarácon las ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario

incorporar nuevas expresiones.

Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas o estáticamente

indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que

experimenta la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre las

viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su cez la hacen

deformarse. El análisis de las deformaciones tiene basicamente dos

objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que

traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas

hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deber ser limitadas.

Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar

correctamente diseñados por resistencia, es decir, no se romperán bajo la

carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable. Por lo que muchos

dimensionamientos están determinados por la deformación y no por la

resistencia.

Línea elástica

Curva que forma la fibraneutra una vez cargada la viga, considerando

que ésta se encontraba inicialmente recta.

Ecuaciones Diferenciales de la línea elástica

La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga

de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica.

Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de

desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la

forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal

sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica

viene dada por:

(1)

Donde:

 representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical,

respecto de la posición sin cargas.

 =la abscisa (eje X) sobre la viga.

 El momento flector sobre la abscisa .

 El segundo momento de área o momento de inercia de la sección

transversal.

 El módulo de elasticidad del material.

La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha

supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las

dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección

de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores

se obtiene la ecuación más exacta (1'):

(1')

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga

distribuida q(x) sobre la viga:

(2)

Esta última ecuación es interesante porque su generalización

a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de

gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:

Donde   es la rigidez de una placa delgada en flexión.

Ejemplo

Viga deformada por flexión.

Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la

forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes,

la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de

estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente.

Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la

viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación

diferencial siguiente:

La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de las dos

posibles elecciones de contorno, se obtiene como:

Cálculo de Deformaciones en Vigas

Método de integración

Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la

sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación

del momento flector para la viga estudiada, tal como se hizo en el ejemplo

anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por

integración directa.

Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el

desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de

ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el

resultado de la integración directa es simplemente:1

Equivalentemente la expresión anterior puede reescribirse

mediante integración por partes como una integral simple:

Método Principio de superposición

Como método suplementario para la evaluación de pendientes y

ordenadas de la elástica se pueden usar como resultados de algunos tipos

sencillos de cargas, para obtener, por suma de efectos, las soluciones

correspondientes a cargas complicadas. Este procedimiento llamado método

de superposición, determina la pendiente o las deflexiones producidas, en

ese mismo punto de una viga por la suma de pendientes o de las deflexiones

producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando están

actúan por separad. La única restricción o condición impuesta para poder

aplicar este método es que cada carga aislada no debe producir un cambio

apreciable en la forma lineal o en la longitud de la viga, esto es, la actuación

de cada carga no debe influir en la forma de actuar de las démosla aplicación

de este método presenta notables ventajas, sobre todo cuando las cargas

son una combinación de los tipos que aparecen en la tabla. En tales casos

es preferible el método de la doble integración. Si de lo que se trata es de

calcular la deflexión o la pendiente de un punto determinado, lo mejor es el

método de área momento. El principio de superposición establece que el

efecto de un conjunto de cargas que actúa simultáneamente, es el mismo

cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado.

Bajo este concepto, es posible solucionar una viga continua analizando las

rotaciones en los extremos de las barras para las cargas dadas considerando

a cada barra simplemente apoyada. Para su aplicación es necesario conocer

las fórmulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga.

A continuación se dan las de uso común:

Método de Área de momento

Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión

en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el

área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza,

en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez

calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de

momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está

especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión

en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la

elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y

relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo

que se está calculando.

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones

que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como

un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo

dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga

simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como

intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los

centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aunque

sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el

representado en la figura 1-c.

Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos

secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga

inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver

con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a

lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio

de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:

1ρ=MEI

Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos:

1ρ=MEI

=dθds

O bien

dθ=MEIds

Figura 1. Teorema de área de momento

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se

comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En

estas condiciones, se tiene: (b)

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en

la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC

y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la

elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos

pequeños ángulos: (c)

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la

elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la

tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los

segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la

elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados

por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada

uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y

ángulo dθ:

dt = x dθ

De donde

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente

trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura

2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B

respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas

desviaciones son distintas.

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos

teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama

de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área

del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que

pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c)

se puede escribir en la forma:

(1)

Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar

como sigue:

Teorema 1:

La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la

elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el

área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos.

La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro

de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado

con respecto a la ordenada en B.

Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el

momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del

diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la

expresión algebraica es:

TB/A = 1/EI *(área)AB XB

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al

cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.

Áreas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente

trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a

la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto

a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y

B.

El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha

supuesto tácticamente que E el permanecían constantes en toda la longitud

de la viga, que es un caso muy común.

Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del

signo integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen

tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de

momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se

aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.

En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de

momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el

brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se

toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea

obtener.

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la

desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre

A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva

elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al

momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje

A.

Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por

articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición

original de la viga y se denomina flecha.

Convención de signos

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la

desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda

por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y

negativa si queda debajo de dicha tangente.

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor

positivo de la variación de pendiente qAB indica que la tangente en el punto

situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la

tangente trazada en el punto más a la izquierda, A, es decir, que para pasar

de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del

reloj, y viceversa para los valores negativos de q AB .

Ecuación de los tres momentos

Sea una viga sometida a una carga cualquiera que soporte en forma

arbitraria.

A esta viga la hemos cortado en 3 puntos cualesquiera 1, 2,3, además

hemos reemplazados los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o

izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y el momento

flector. La longitud de los tramos serán y los momentos flectores serán las

fuerzas cortantes acompañan a la misma teniendo en cuenta que cada

extremo se encuentra perfectamente en equilibrio De esta manera hemos

transformado a cada uno de estos tramos en una viga solamente apoyada

con 2 estados de cargas que sabremos distinguir, por un lado las cargas

reales en un tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos

 

En el esquema se presenta en forma genérica los diagramas de

momentos debido a las cargas cortantes en cada tramo y debido a los

momentos generados en los extremos de cada corte.

La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina la desviación

tangencial 1/2 y 3/2 respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a la

posición inicial a la viga que por comodidad supondremos que la horizontal

determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto al punto 2.

Como se puede observar el diagrama de momento flector se le ha

descompuesto en el área y áreas triangulares en que se descomponen el

área trapezoidal producida por los 2 pares extremos. Lo mismo sucede en el

área de donde podemos concluir que la desviación 12 está dado por cada

uno con su mismo brazo.

Regla de Signos: En la deducción de la Ecuación General de los Tres

Momentos se ha hecho la hipótesis de que los momentos flexionantes en los

tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima

del punto 2. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es

negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la

ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo

para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas

h1 y h3 son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del

2, y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3

están por debajo del punto 2.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no

pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando

el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para

resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la

siguiente manera:

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos

más complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos

tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de

tramos consecutivos. Por ejemplo:

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3,

M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las

ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en

estos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1º

Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero.

Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación

adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los

valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el

apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de

Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo

cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la

suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último

apoyo.

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los

momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es

igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman.

Por ejemplo:

Bibliografía

E.P. Ingeniería Civil-UNAP, Mecánica de materiales. UNIVERSIDAD

NACIONAL DEL ALTIPLANO E.P. INGENIERIA CIVI.

Singer, l y Pitol, A. Resistencia de materiales. 4 Ed.

Marilycita, Resistencia de Materiales II

Disponible en: http://marilycita.blogspot.com

Salomon, Vigas. La cima del éxito.

Disponible en: http://megaconstruccion.blogspot.com