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TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO

CIVIL

PRESENTADO POR: IVÁN DARÍO ESCOBAR ALBA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

24 de junio de 2005 BOGOTÁ D.C.

1

COMPARACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS, APLICADOS A LA DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE FRICCIÓN F EN LA ZONA DE

TRANSICIÓN EN EL FLUJO DE AGUA DE TUBOS CAPILARES.

FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIRÍA CIVIL

SECCIÓN HIDROTECNIA Y AMBIENTAL

DIRECTOR: ING. NELSON OBREGÓN

EVALUADOR: ING. GUSTAVO ZARRUK

2

1. TABLA DE CONTENIDO

1. TABLA DE CONTENIDO ............................................................................................... 2

2. ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................... 4

3. INDICE DE GRÁFICOS .................................................................................................. 4

4. INTRODUCCIÓN........................................................................................................... 10

5. FLUJO EN MICROCANALES ..................................................................................... 12

5.1. Ecuación de Bernoulli y ecuación general de la energía general de la energía...... 12 5.1.1. Ecuación de Bernoulli ........................................................................................... 13 5.1.2. Ecuación general de la energía. ............................................................................. 13

5.2. Ecuación de continuidad............................................................................................. 14

5.3. Ecuaciones de Navier-Stokes ...................................................................................... 16

5.4. Número de Reynolds ................................................................................................... 21

5.5. Flujo laminar ............................................................................................................... 22

5.6. Flujo Turbulento ......................................................................................................... 30

5.7. Flujo durante la transición. ........................................................................................ 40

6. DATOS EXPERINENTALES SUMINISTRADOS POR SHARP Y ADRIAN ........ 43

6.1. Descripción del experimento. ..................................................................................... 43

6.2. Posibles errores y sus consecuencias.......................................................................... 45

6.3. Descripción y análisis de los datos obtenidos. ........................................................... 47

6.4. Conclusiones................................................................................................................. 53

7. MODELOS DE INTELIGENCIA ARTIFICIAL ........................................................ 55

7.1. Identificación de Variables Independientes y Dependientes. .................................. 55

7.2. Modelo en Redes Neuronales...................................................................................... 59 7.2.1. Perceptrón 1. .......................................................................................................... 60 7.2.2. Perceptrón 2........................................................................................................... 62 7.2.3. Perceptrón 3........................................................................................................... 62 7.2.4. Perceptrón 4 y 5..................................................................................................... 63 7.2.5. Observaciones........................................................................................................ 64

7.3. Arreglo de los datos experimentales para el modelo en redes neuronales. ............ 65

7.4. Resultados obtenidos por las redes neuronales......................................................... 68

3

7.4.1. Resultados obtenidos de los modelos basados únicamente en redes neuronales. . 69 7.4.2. Resultados obtenidos al utilizar las redes neuronales como una función implícita en el modelo. ......................................................................................................................... 71 7.4.2.1. Resultados obtenidos resolviendo el modelo implícito por medio de un método iterativo simple ...................................................................................................................... 73 7.4.2.2. Resultados obtenidos resolviendo el modelo implícito por medio de Newton-Raphson. 75 7.4.3. Otros modelos analizados...................................................................................... 78

7.5. Análisis de los resultados obtenidos en los modelos de redes neuronales .............. 79

8. CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TRABAJO FUTURO. .................... 83

9. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 85

10. ANEXOS ...................................................................................................................... 88 10.1.1. Resultados del Perceptrón DRN 3 200 .................................................................. 88 10.1.2. Resultados del Perceptrón DRN 3 233 .................................................................. 90 10.1.3. Resultados del Perceptrón lnDRN 3 233............................................................... 92 10.1.4. Resultados del Perceptrón lnDRN 3 80................................................................. 94 10.1.5. Resultados del Perceptrón DRN 4 200 .................................................................. 96 10.1.6. Resultados del Perceptrón DRN 4 233 .................................................................. 98 10.1.7. Resultados del Perceptrón DRNL 4 200.............................................................. 100 10.1.8. Resultados del Perceptrón DRNL 4 233.............................................................. 102 10.1.9. Resultados del Perceptrón lnDRNL 4 233 .......................................................... 104 10.1.10. Resultados del Perceptrón lnDRNL 4 80 ........................................................ 106 10.1.11. Resultados del Perceptrón DRNLD 4 200....................................................... 108 10.1.12. Resultados del Perceptrón lnDRNLD 4 233.................................................... 110 10.1.13. Resultados del Perceptrón DRNLD 3 200....................................................... 112 10.1.14. Resultados del Perceptrón DRNL 3 200.......................................................... 114 10.1.15. Resultados del Perceptrón DRN 3 capas ocultas 200...................................... 116 10.1.16. Resultados del Perceptrón DR 233 datos 3 N.................................................. 120 10.1.17. Resultados del Perceptrón DR 200 datos 3 N.................................................. 122 10.1.18. Resultados del Perceptrón DR 233 datos 1 N.................................................. 124 10.1.19. Resultados del Perceptrón DR 200 datos 3 N (2)............................................ 126 10.1.20. Resultados del Perceptrón DR 233 datos 3 N (2)............................................ 128 10.1.21. Resultados del Perceptrón DR 200 datos 3 N (3)............................................ 130 10.1.22. Resultados del Perceptrón DR 80 datos 3 N.................................................... 132 10.1.23. Resultados del Perceptrón DR 200 datos Red Simple..................................... 134 10.1.24. Resultados del Perceptrón DR 200 datos Red Simple (2) ............................... 136

4

2. ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA 1.Flujo de un fluido a través de un volumen infinitesimal............................................. 14 FIGURA 2. Espacio recorrido en un tiempo dt por una partícula en una línea de corriente. ..... 16 FIGURA 3. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de un fluido en movimiento.................. 18 FIGURA 4. Diagrama de cuerpo libre de una capa en forma de anillo de espesor �r y longitud �l, en un tubo circular................................................................................................................... 28 FIGURA 5. Diagrama de cuerpo libre con �z=0. ........................................................................ 32 FIGURA 6. Esquema del perceptrón 1 para tres y cuatro variables independientes. .................. 61 FIGURA 7. Esquema del perceptrón 2 para 3 y 4 variables independientes. .............................. 63 FIGURA 8. Esquema del perceptrón 3 para 3 variables independientes. .................................... 64 FIGURA 9. Esquema de los perceptrones 4 y 5 para 3 variables independientes........................ 65

3. INDICE DE GRÁFICOS

GRÁFICA 1. Factor de fricción f vs. Número de Reynolds. Fuente: Sharp and Adrian [1]. ....... 29 GRÁFICA 2. Factor de fricción vs. Número de Reynolds discriminados por diámetros y longitud para el flujo de agua en microcanales (Re>1800). Fuente Sharp y Adrian [1] ........................... 49 GRÁFICA 3. Número de Poiseuille vs. Número de Reynolds. Los puntos experimentales deben ser 1 si el flujo es laminar aquí se puede observar el comienzo de la transición para el flujo de agua en microcanales . Fuente Sharp y Adrian [1]. ..................................................................... 50 GRÁFICA 4. Número de poiseuille vs. Número de Reynolds, discriminados por diámetro y longitud para el flujo de agua en microcanales (Re>1800). Fuente Sharp y Adrian [1]............. 51 GRÁFICA 5. DP* vs. Re. para el flujo de agua en microcanales. Donde DP*, es un valor adimensional calculado con los valores experimentales que debe ser igual al valor de reynolds. Fuente Sharp y Adrian [1] ............................................................................................................ 52 GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 69 GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 70 GRÁFICA C para perceptrón DRN 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook......................... 70 GRAFICA A para el perceptrón DR 3 233 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 71 GRAFICA B para el perceptrón DR 233 datos 3 N. )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ simulado por la red

neuronal vs. )18(ln86.01

cDf��

��

�∈⋅+ experimental. ............................................................................ 72

5

GRÁFICA C para perceptrón DR 233 datos 3 N. Gráfica de Transición de Colebrook.............. 72 GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 3 N (2). f simulado vs. f experimental. ........... 74 GRÁFICA E: Simulación del perceptrón DR 200 3 N (2). Gráfica de transición de Colebrook.. 74 GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 datos Red Simple (2). f simulado vs. f experimental. ................................................................................................................................. 75 GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 88 GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 89 GRÁFICA C para perceptrón DRN 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook......................... 89 GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 90 GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 91 GRÁFICA C para perceptrón DRN 3 233. Gráfica de Transición de Colebrook......................... 91 GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 3 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 92 GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 3 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ............................................................................................. 93 GRÁFICA C para perceptrón lnDRN 3 233. Gráfica de Transición de Colebrook. .................... 93 GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 3 80. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 94 GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 3 80. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 95 GRÁFICA C para perceptrón lnDRN 3 80. Gráfica de Transición de Colebrook. ...................... 95 GRAFICA A para el perceptrón DRN 4 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 96 GRAFICA B para el perceptrón DRN 4 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 97 GRÁFICA C para perceptrón DRN 4 200. Gráfica de Transición de Colebrook......................... 97 GRAFICA A para el perceptrón DRN 4 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior

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representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................... 98 GRAFICA B para el perceptrón DRN 4 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . .................................................................................................. 99 GRÁFICA C para perceptrón DRN 4 233. Gráfica de Transición de Colebrook......................... 99 GRAFICA A para el perceptrón DRNL 4 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 100 GRAFICA B para el perceptrón DRNL 4 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................................... 101 GRÁFICA C para perceptrón DRNL 4 200. Gráfica de Transición de Colebrook. ................... 101 GRAFICA A para el perceptrón DRNL 4 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 102 GRAFICA B para el perceptrón DRN 4 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ................................................................................................ 103 GRÁFICA C para perceptrón DRN 4 233. Gráfica de Transición de Colebrook....................... 103 GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 4 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 104 GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 4 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................................... 105 GRÁFICA C para perceptrón lnDRN 4 233. Gráfica de Transición de Colebrook. .................. 105 GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 4 80. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 106 GRAFICA B para el perceptrón lnDRNL 4 80. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................................... 107 GRÁFICA C para perceptrón lnDRNL 4 80. Gráfica de Transición de Colebrook. .................. 107 GRAFICA A para el perceptrón DRNLD 4 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 108 GRAFICA B para el perceptrón DRNLD 4 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................................... 109 GRÁFICA C para perceptrón DRNLD 4 200. Gráfica de Transición de Colebrook. ................ 109 GRAFICA A para el perceptrón lnDRNLD 4 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior

7

representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 110 GRAFICA B para el perceptrón lnDRNLD 4 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................... 111 GRÁFICA C para perceptrón lnDRNLD 4 233. Gráfica de Transición de Colebrook. ............. 111 GRAFICA A para el perceptrón DRNLD 3 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 112 GRAFICA B para el perceptrón lnDRNLD 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................... 113 GRÁFICA C para perceptrón lnDRNLD 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook. ............. 113 GRAFICA A para el perceptrón DRNL 3 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 114 GRAFICA B para el perceptrón DRNL 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ........................................................................................... 115 GRÁFICA C para perceptrón DRNL 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook. ................... 115 GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 capas ocultas 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ..................................................................................................... 117 GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 Capas Ocultas 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs. Factor de fricción experimental . ..................................................................... 117 GRÁFICA C para perceptrón lnDRNLD 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook. ............. 118 GRAFICA A para el perceptrón DR 3 233 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 120 GRÁFICA C para perceptrón DR 233 datos 3 N. Gráfica de Transición de Colebrook............ 121 GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 122 GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos 3 N. )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental .......................................................................... 123

GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos 3 N. Gráfica de Transición de Colebrook............ 123 GRAFICA A para el perceptrón DR 233 datos 1 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior

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representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 124 GRAFICA B para el perceptrón DR 233 datos 1 N. )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental .......................................................................... 125

GRÁFICA C para perceptrón DR 233 datos 1 N. Gráfica de Transición de Colebrook............ 125 GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos 3 N(2). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ..................................................................................................... 126 GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos 3 N (2). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental .......................................................................... 127

GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos 3 N(2). Gráfica de Transición de Colebrook. ...... 127 GRAFICA A para el perceptrón DR 233 datos 3 N(2). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ..................................................................................................... 128 GRAFICA B para el perceptrón DR 233 datos 3 N(2). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental .......................................................................... 129

GRÁFICA C para perceptrón DR 233 datos 3 N(2). Gráfica de Transición de Colebrook. ...... 129 GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos 3 N(3). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ..................................................................................................... 130 GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos 3 N(3). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental ......................................................................... 131

GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos 3 N(3). Gráfica de Transición de Colebrook. ...... 131 GRAFICA A para el perceptrón DR 80 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. .................................................................................................................. 132

9

GRAFICA B para el perceptrón DR 80 datos 3 N. )18(ln86.01

cDf��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental .......................................................................... 133

GRÁFICA C para perceptrón DR 80 datos 3 N. Gráfica de Transición de Colebrook.............. 133 GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos Red Simple. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ..................................................................................................... 134 GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos Red Simple. )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ simulado por la

red neuronal vs. )18(ln86.01

cDf��

��

� ∈⋅+ experimental.................................................................... 135

GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos Red Simple. Gráfica de Transición de Colebrook.135 GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos Red simple(2). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error. ......................................................................... 136 GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos Red Simple(2). )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ simulado por

la red neuronal vs. )18(ln86.01

cDf��

��

� ∈⋅+ experimental............................................................... 137

GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos Red Simple(2). Gráfica de Transición de Colebrook...................................................................................................................................................... 138 GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 datos Red Simple (2). Gráfica de transición de Colebrook. )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ ................................................................................................. 138

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4. INTRODUCCIÓN

Desde el momento en que se desarrollaron los criterios para identificar el flujo de un fluido como

laminar o turbulento, a partir del número de Reynolds (Re), se estableció una zona de transición

que actualmente no tiene definido su comportamiento hidráulico.

El inicio de la zona de transición es determinada por los resultados erráticos del factor de fricción

f vs. Re, que no se adaptan al modelo establecido para flujo laminar, es decir, que en el momento

en que se logre una buena aproximación al comportamiento de f para la zona de transición se

determinará su inicio y su comportamiento.

En la actualidad, lo que se ha logrado concluir es que el número mínimo de Reynolds al que se

produce la transición está entre 1800 y 2300 [1], o 1500 y 2000 [23]. Estos valores han sido

establecidos por medio de exhaustivos experimentos hechos en varios países, que involucran la

determinación de la gráfica de f vs. Re. Por la naturaleza no lineal de los datos obtenidos en la

zona de transición, es muy compleja su modelación. En algunos casos se han utilizado modelos

basados en métodos numéricos e inteligencia artificial, sin embargo, estos modelos sólo sirven

para la predicción en las condiciones dadas para los datos observados en laboratorio.

Últimamente, con el desarrollo de la nanotecnología, se han hecho gran cantidad de experimentos

con lo que se conoce como “micro-canales” (diámetro menor a 1 mm), ya que tienen mucho

potencial como reguladores de temperatura, disipadores de calor y transmisores de calor por

convección.

Sin embargo, esta tecnología, presenta una discusión mundial sobre la física que domina su

comportamiento, ya que dependiendo del diámetro, material del tubo y del fluido, y la velocidad

del flujo, existen opiniones contrarias sobre las leyes de la física que predominan en estos flujos.

11

A pesar de lo anterior, los experimentos [1] han concluido que el comportamiento de la transición

en tubos de diámetros mayores a 1 mm es idéntico al de tubos de menos de 1 mm, por lo que la

transición se comporta igual en tubos capilares y las ecuaciones de Navier-Stokes y Poiseuille se

cumplen para Números de Reynolds menores al crítico.

Gracias a los adelantos tecnológicos que se han presentado en la última década, ha sido posible el

desarrollo de modelos no lineales basados en tipos de inteligencia artificial como son los modelos

neuronales, los genéticos y la lógica difusa. Los cuales tienen la capacidad de reconocer patrones,

optimizar y tomar decisiones, de acuerdo con bases de datos de conocimiento experto.

Al tener en cuenta el alcance de los modelos de inteligencia artificial se puede vislumbrar su

aplicación a la determinación de modelos representativos de la zona de transición.

Este trabajo de grado, consiste en comparar resultados experimentales de valores de f en función

de Re en la zona de transición, con los valores entregados por aproximaciones numéricas y

métodos de inteligencia artificial. Y de esta forma concluir cuál método es el más apropiado para

describir los datos de la transición que se tienen.

Para lograr la finalidad de este trabajo de grado, este documento fue estructurado por capítulos en

donde el quinto trata sobre la física dominante en el flujo de microcanales, el sexto muestra un

resumen del experimento de donde fue toma de la base de datos, el séptimo muestra los

resultados obtenidos por medio de redes neuronales y el último capítulo muestra las conclusiones,

recomendaciones y el trabajo futuro.

12

5. FLUJO EN MICROCANALES

El flujo en microcanales, ha sido estudiado de manera extensa en los últimos 10 años, en estos, se

han buscado tanto los valores del factor de fricción como los coeficientes de transferencia de

calor específica. Para el alcance de esta tesis sólo es relevante la investigación hecha sobre los

factores de fricción.

Al igual que cualquier tubería, en los microcanales se tienen regímenes de flujo laminar,

turbulento y por su puesto la transición. Sin embargo, durante estos 10 años de estudio, se han

presentado pensamientos contrarios acerca de las variables que influyen en el Re crítico, así como

las variables necesarias para hallar el coeficiente de fricción de Darcy durante la transición. Hasta

el momento no se ha llegado a una teoría general y constantemente se conocen nuevas

investigaciones que contradicen o refuerzan la relación teórica establecida para macro tamaños.

Considerando lo anterior y teniendo en cuenta que los resultados experimentales son totalmente

dependientes de la exactitud de las mediciones y fabricación de los microcanales, tal y como se

explicará más adelante, se considera que las últimas investigaciones son las más confiables, ya

que la incertidumbre disminuye a medida que las tecnologías de fabricación y medición avanzan.

El estudio de flujo en microcanales, se basa en las mismas leyes físicas utilizadas en macro

tamaños, por lo que a continuación se explicarán las ecuaciones básicas, de las cuales se derivan

todos los modelos matemáticos que describen el flujo de líquidos en micro-canales.

5.1. Ecuación de Bernoulli y ecuación general de la energía general de la energía.

La ecuación general de la energía es, como su nombre lo indica una ecuación general, que se

aplica a flujo de fluidos con energías Potencial, presión y cinética y pérdidas por fricción. La

ecuación de Bernoulli, es la ecuación general de la energía sin tener en cuenta las pérdidas por

13

fricción. A continuación se muestra la deducción de la ecuación de Bernoulli y posteriormente la

ecuación general de la energía.

5.1.1. Ecuación de Bernoulli1

Suposiciones iniciales:

o No existen pérdidas y ganancias de energía durante el tramo estudiado.

o No hay transferencia de calor.

o No existen pérdidas de ningún tipo y sólo son consideradas 3 energías: energía potencial

energía cinética y energía de presión. Esta última, es tomada del trabajo necesario para

mover un fluido.

o Se está considerando flujo de fluidos incompresibles (Vi = Vf).

)1(22

122

1

22

122

1

fffiii

fffiii

fffiii

pvhgpvhg

VmComo

VpvmhgmVpvmhgm

EprEcEpEprEcEp

EfEi

+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅⋅�

⋅=

⋅+⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅

++=++=

ρρρρρ

(1), es la ecuación de Bernoulli expresada en Pa, En aplicaciones de ingeniería normalmente se

da en m.c.a., sin embargo, por facilidad en esta tesis se dará en Pa.

5.1.2. Ecuación general de la energía.

Las suposiciones iniciales son las mismas que en la ecuación de Bernoulli, con la diferencia que

esta considera las pérdidas y ganancias de energía en el tramo estudiado.

Las pérdidas y ganancias de energía al igual que las demás energías, son en función de la masa,

por lo que el volumen sigue siendo factor común (flujo incompresible) y la ecuación queda como:

1 La demostración de la ecuación de Bernoulli y la ecuación general de la energía se basan en el método establecido por Robert MOTT L., Mecánica de fluidos aplicada, Ed. Prentice Hall, 1996. Pág. 155 a 157 y 195 a 196.

14

)2(// 22

122

1fffiii pvhgVEaVEfpvhg +⋅+⋅⋅=+−+⋅+⋅⋅ ρρρρ

Como se dijo anteriormente, estas ecuaciones pueden darse en varias unidades. Aquí se puede

observar claramente que tanto Ef (Joules) como Ea (Joules) están divididas por V lo que da

unidades de presión (Pa) al igual que las demás energías. Para el alcance de esta tesis no habrá

ganancias de energía, por lo que este término será 0.

5.2. Ecuación de continuidad2

Para la deducción de esta ecuación, se considerará el cubo mostrado en la figura 1.

FIGURA 1.Flujo de un fluido a través de un volumen infinitesimal.

Si se considera el flujo incompresible, y se tiene como inicio la definición de flujo másico, y la

ley de conservación de la masa (la masa que entra menos la que sale es igual al cambio de masa =

0), se pueden establecer las siguientes ecuaciones:

�

2 La demostración de la ecuación de continuidad fue basada en Pau chang Lu, “Introduction To The Mechanics of Viscous Fluids”. Ed. Series In Thermal And Fluids Engineering. Pág. 11 a 12.

(x,y,z,t)

Dirección del flujo fluido

�y

�x x

y

(x,y,z,t)

Dirección del flujo fluido

�y

�x x

y

�z

15

La ecuación 3 se conoce como la ecuación de continuidad para flujo incompresible. En el flujo

compresible la densidad no es constante por lo que la ecuación de continuidad depende de la

densidad.

En las aplicaciones que conciernen a esta tesis, la ecuación de continuidad y demás ecuaciones

mostradas, sólo tienen en cuenta dos dimensiones y no las tres.

)3(0:

0:

)),,,((21

),,,(

)),,,((21

),,,(

)),,,((21

),,,(

)),,,((21

),,,(

)),,,((21

),,,(

)),,,((21

),,,(

*

=∂∂+

∂∂+

∂∂

=∆=−

⋅⋅��

��

�

∂∂+⋅+

⋅⋅��

��

�

∂∂+⋅+

⋅⋅��

��

�

∂∂+⋅=

⋅⋅��

��

�

∂∂−⋅+

⋅⋅��

��

�

∂∂−⋅+

⋅⋅��

��

�

∂∂−⋅=

⋅⋅=

zw

yv

xu

quetieneSe

MsalienteMasaentranteMasa

masalaónConservaci

yxz

tzyxwtzyxw

zxy

tzyxvtzyxv

zyx

tzyxutzyxusalienteMasa

yxz

tzyxwtzyxw

zxy

tzyxvtzyxv

zyx

tzyxutzyxuentranteMasa

vAM

δδρ

δδρ

δδρ

δδρ

δδρ

δδρ

ρ

16

5.3. Ecuaciones de Navier-Stokes3

Las ecuaciones de Navier Stokes, representan la segunda ley de Newton en los fluidos. Es decir, a

partir del diagrama de cuerpo libre de un volumen infinitesimal de un fluido en movimiento

establece la sumatoria de fuerzas y las iguala a la masa por la aceleración. A continuación se

muestra la demostración, partiendo de conceptos básicos de mecánica de materiales.

Antes que nada, si se observa la ecuación amF ⋅=� tenemos la masa y la aceleración como

términos, por lo que antes de hacer el diagrama de cuerpo libre definiremos estas dos variables.

Masa:

Para comenzar a construir las ecuaciones de Navier-Stokes es primordial establecer como estudio

una línea de corriente de flujo, como se muestra en la Figura 2. El líquido tiene una densidad ��

por definición la masa es � �dA para flujo en dos dimensiones, Esto se ve con mayor facilidad en

la gráfica 1.

FIGURA 2. Espacio recorrido en un tiempo dt por una partícula en una línea de corriente.

3 Basado en Lu, “Introduction to..”. Pág 9 a 47

v

u

�y�

�x�

17

Aceleración:

Para demostrar la ecuación general de la aceleración, se va a utilizar la definición de aceleración

como la derivada de la velocidad. Para fines de entendimiento se utilizará la definición de

derivada como límite.

{ }

jtv

yv

vxv

uîtu

yu

vxu

ua

t

jtv

yv

vxv

uîtu

yu

vxu

ut

a

tvy

tuxPero

tjtyxvîtyxu

t

jttv

yyv

xxv

tyxvîttu

yyu

xxu

tyxu

a

jttv

yyv

xxv

tyxvîttu

yyu

xxu

tyxuv

jtyxvîtyxuv

figuralaconacuerdoDe

tttvv

a

ttvv

a

definiciónPor

t

t

t

t

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅+

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅=

��

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅+

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅

=

⋅=⋅=

+−

��

��

��

�⋅

∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂++

��

�⋅

∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂+

=

��

�⋅

∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂++

��

�⋅

∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂+=

+=

−+−

=

−−

=

→

→

→

→

δ

δ

δδδδ

δ

δ

δδδδδδ

δδδδδδ

δ

δ

δ

δ

δ

0

0

2

1

11

12

0

12

12

0

lim

);;();;(

);;();;(

lim

);;();;(*

);;();;(*2

)(**

lim

**lim

:

18

FIGURA 3. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de un fluido en movimiento.

Teniendo en cuenta la figura 3 (diagrama de cuerpo libre) se hará la sumatoria de fuerzas

22

11

21

221

1

21

221

1

21

221

1

21

221

1

yxxy

yxxy

yxyxyx

yxyxyx

xyxyxy

xyxyxy

yyyyyy

yyyyyy

xxxxxx

xxxxxx

materialesdemecánicaPor

yy

yy

xx

xx

yy

yy

xx

xx

σσσσ

δσ

σσδσ

σσ

δσ

σσδσ

σσ

δσ

σσδσ

σσ

δσσσδσσσ

=

=

⋅∂

∂+=⋅

∂∂

−=

⋅∂

∂+=⋅

∂∂

−=

⋅∂

∂+=⋅

∂∂

−=

⋅∂

∂+=⋅

∂∂

−=

yxyxyyyyyy

xyxyxxxxxx

gyxyyxxF

gyxxxyyF

⋅⋅⋅+⋅+⋅−⋅−⋅=

⋅⋅⋅+⋅+⋅−⋅−⋅=

��

δδρδσδσδσδσ

δδρδσδσδσδσ

2112

2112

�xy2

(x,y) �xx1 �xx2

�yy2

�yy1

�xy1

�yx1

�yx2

�y

�x

19

xygyx

F

gxyxyy

xyy

yxx

yxx

F

xyxxx

x

xyx

yxyx

yx

xxxx

xxxxx

δδρσσ

δδρδδσ

σδδσ

σ

δδσσδδσσ

⋅⋅��

��

�⋅+

∂∂

+∂

∂=

⋅⋅⋅+⋅��

��

�⋅

∂∂

−−⋅��

��

�⋅

∂∂

+

⋅��

��

� ⋅∂

∂−−⋅�

�

��

� ⋅∂

∂+=

�

�

21

21

21

21

xygxy

F

gxyyxx

yxx

xyy

xyy

F

yxyyy

y

yxy

xyxy

xy

yyyy

yyyyy

δδρσσ

δδρδδσ

σδδσ

σ

δδσ

σδδσ

σ

⋅⋅��

��

�⋅+

∂∂

+∂

∂=

⋅⋅⋅+⋅��

��

�⋅

∂∂

−−⋅��

��

�⋅

∂∂

+

⋅��

��

�⋅

∂∂

−−⋅��

��

�⋅

∂∂

+=

�

�

21

21

21

21

xyyxy

y

yxyyy

y

xyxxx

x

xyxxx

x

gyx

a

yxgxy

yxa

gyx

a

yxgyx

yxa

+��

��

�

∂∂

+∂

∂=

⋅��

��

�⋅+

∂∂

+∂

∂=⋅⋅⋅

+��

��

�

∂∂

+∂

∂=

⋅��

��

�⋅+

∂∂

+∂

∂=⋅⋅⋅

σσρ

δδρσσ

δδρ

σσρ

δδρσσδδρ

1

1

Las variables ax y ay son las aceleraciones ya mencionadas en dirección x e y.

20

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅=∈⋅⋅=

∂∂⋅⋅+−=∈⋅⋅+−=

∂∂⋅⋅+−=∈⋅⋅+−=

xv

yu

yvxu

xyxy

yyyy

xxxx

µµσ

µαµασ

µαµασ

2

22

22

Acá se pueden observar dos constantes desconocidas hasta el momento, su explicación se

muestra a continuación:

( )

( )yyxx

yyxx

yyxx

yv

xu

yv

xu

σσα

µσσα

µασσ

+⋅=

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅++⋅=

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅+−=+

21

221

42

El segundo término es igual a cero si el flujo es incompresible ya que esto equivale a la ecuación

de continuidad anteriormente mencionada. Acá podemos observar que � es el esfuerzo promedio

en x e y, los cales son las presiones en x e y respectivamente. Estos valores son iguales solamente

cuando los esfuerzos cortantes son 0 (Ej. : fluido estático). Este valor es dado por los

experimentos como la presión p (equivale a la presión de la ecuación de Bernoulli).

El otro valor, ��equivale a la viscosidad dinámica.

Al reemplazar estos valores en las ecuaciones de aceleración se obtiene:

yxu

yv

yv

xyu

yv

xu

y

yxv

xu

yxv

xu

yv

xu

x

dcontinuidadeecuaciónlaDe

∂⋅∂∂=

∂∂−=

∂∂+

∂⋅∂∂=��

�

��

�

∂∂+

∂∂

∂∂

∂⋅∂∂=

∂∂−=

∂⋅∂∂+

∂∂=��

�

��

�

∂∂+

∂∂

∂∂

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

00

00

:

21

)4(1

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

ayu

xu

xp

ga

yu

xu

xu

xp

ga

yu

xyv

xu

xp

ga

xx

xx

xx

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂−=

∂∂⋅+

∂∂⋅−

∂∂⋅⋅+

∂∂−=

∂∂⋅+

∂⋅∂∂⋅+

∂∂⋅⋅+

∂∂−⋅=⋅

νρ

νννρ

µµµρρ

��

��

�

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂−=

∂∂⋅+

∂∂⋅−

∂∂⋅⋅+

∂∂−=

∂∂⋅+

∂⋅∂∂⋅+

∂∂⋅⋅+

∂∂−⋅=⋅

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

1

21

2

yv

xv

yp

ga

xv

yv

yv

yp

ga

xv

yxu

yv

yp

ga

yy

yy

yy

νρ

νννρ

µµµρρ

(4b)

Donde �es la viscosidad cinemática que es � � ��

Las ecuaciones 4a y 4b son llamadas las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible.

5.4. Número de Reynolds

El número de Reynolds, es una relación adimensional entre las fuerzas inerciales y las fuerzas

viscosas. La importancia de este número, es que por medio de él se definen tres tipos de flujo:

Laminar, turbulento y la transición a la turbulencia. Esto es de mucha utilidad ya que

dependiendo del tipo de flujo, existen diferentes modelos físicos de describen su movimiento.

Más adelante se explicarán los tipos de flujo.

El número de Reynolds, está definido como:

νhRU 4

Re⋅

=

Donde Rh es el radio hidráulico y está definido como la relación entre el Área mojada y el

perímetro mojado en la sección transversal estudiada.

22

Como se dijo anteriormente el flujo de los fluidos físicamente se clasifica en tres tipos. Por lo que

a continuación se explicarán:

5.5. Flujo laminar

Todas las ecuaciones mencionadas anteriormente son generales, por lo que se aplican a todos los

regímenes de flujo. Sin embargo, al igual que cualquier ecuación diferencial, estas ecuaciones

cambian de acuerdo con las condiciones de frontera y las características del fluido.

Como se dijo anteriormente se va a trabajar con fluidos incompresibles, y además deben ser

fluidos Newtonianos (La deformación de cizalla es proporcional al cambio de velocidad en

relación a la dirección transversal al flujo considerado).

El flujo laminar se caracteriza tal como su nombre lo indica por ser en láminas o capas, cada una

de estas capas tiene una velocidad específica. Además, las corrientes de flujo se mantienen

iguales en el tiempo. Otra característica importante es que la velocidad perpendicular a las

láminas de flujo, es nula.

En el flujo laminar, al igual que en cualquier flujo, se considera que la capa que hace contacto

con una superficie sólida, se mueve a la velocidad de esta superficie. Sin embargo hay casos muy

específicos, en donde es posible que esta velocidad en la “capa límite”, no sea igual, aquí, se

considera una condición de deslizamiento. Esto va más allá de los alcances de esta tesis.

El flujo de fluidos en microcanales, también se clasifica en laminar, turbulento y la transición. El

flujo laminar en tuberías circulares, se encuentra en números de Reynolds entre 0 y 1800 y hasta

2200, que es igual a lo observado en macro-tamaños4. Por otro lado, existen autores como Wu

4 K.V SHARP, R. J. ADRIAN, “Transition from laminar to turbulent flow in liquid filled microtubes”. Revista Experiments in Fluids 2004 Vol. 36 Pág. 741-747.

23

and Little [2], que experimentaron con canales de diferentes formas, especialmente trapezoidales,

en donde se observaron números de Reynolds (Re) críticos (Valor en el cual se entra en la zona

de transición) de hasta 500, estos datos fueron considerados por Obot, N. [3], el cual concluyó

que modificando estos valores por medio de una ecuación empírica (5), determinaba un Reynolds

reducido, el cual muestra que los Re críticos reducidos están entre 1800 y 2200, que se asemejan

a los valores de tuberías circulares obtenidos por Sharp and Adrian [1].

)5(

)5(ReReRe

Re

bfff

f

a

aac

ccm

aac

ccm

×=

×=

Donde es el número de Reynolds y f es el factor de fricción. m equivale al valor modificado de

Re o f. cc es el valor de f o Re en tuberías circulares crítico. ac es el valor crítico de Re o f para

un arreglo de datos experimentales. a se refiere a un valor arbitrario del arreglo de datos

correspondiente al que se le busca su valor reducido.

En las Figuras 2 y 3 (figure 2 y3 Obot N. [3]) se pueden observar 8 tipos de canales estudiados.

La figura 2 muestra los resultados de Wu y Little [2], y la figura 3 muestra los valores reducidos

obtenidos por Obot N. [3].

Los resultados obtenidos por Sharp and Adrian [1], se muestran en la gráfica 1, sin embargo, más

adelante se hablará con más detalle sobre estos datos.

Para los resultados obtenidos en otros experimentos nombrados por Obot N. [3], este sugiere que

hubo errores en el cálculo del Diámetro hidráulico, al igual que en la medición de las presiones al

inicio y al final del tramo estudiado.

24

Al leer referencias más antiguas como Streeter [4], se puede concluir claramente, que el flujo en

tuberías capilares circulares, cumple con las ecuaciones propuestas para tuberías circulares en

macro tamaños, esto no es extraño a lo propuesto por Sharp and Adrian [1], por lo que a

continuación se enuncian las ecuaciones que describen el flujo en microcanales y sus usos en las

investigaciones:

Darcy (6), se ha utilizado en la mayoría de investigaciones para determinar el factor de fricción

experimentalmente5.

Poiseuille (7), se ha utilizado tanto para la calibración del diámetro de los micro-canales como

para hallar el valor teórico en la zona laminar del factor de fricción. También se ha utilizado para

establecer los comienzos de la transición.6

Perfil de velocidad (8), describe el perfil en microcanales circulares7.

µρ

ρ

UD

Cf

Udx

dPDf

hDh

Dh

h

⋅⋅⋅=

×=

��

�

�

��

�

�

×

−⋅×=

4Re

)7(Re8

)6(42

1

2

Donde C1 Es una constante que depende de la sección (8 para sección circular), Dh es el

diámetro hidráulico, r la densidad, v la velocidad promedio axial, y m la viscosidad dinámica.

5 Sharp, “Transition From Laminar”. Pág. 741 a 747. 6 Sharp, “Transition From Laminar”. Pág. 741 a 747. 7 Victor L. Streeter, “Handbook of fluid Dynamics” McGraw Hill, New York, 1961 Pág. 16-93

25

)8(12

0max �

�

�

�

��

�

�

��

��

�−=

rr

vv

Donde vmax es la velocidad máxima (se presenta en el centro del tubo), r0 es el diámetro de la

tubería y r es la distancia entre el centro y el punto donde se necesita la velocidad.

La última ecuación (8) es una deducción hecha por Poiseuille, al igual que (7), derivadas de las

ecuaciones de Navier Stokes (4), en coordenadas cilíndricas, sin embargo, al igual que cualquier

ecuación, se puede llegar de varias formas.

A continuación se muestra un procedimiento sencillo8, que parte de la segunda ley de Newton,

aplicada a un tubo, con aceleración 0, es decir, flujo estable e incompresible.

Observando un anillo (figura 4), que equivale a una lámina de flujo con la misma velocidad, se

puede ver que la sumatoria de fuerzas es:

8 Sacado de, Victor L Streeter, “Mecánica de los fluidos”. Ediciones del Castillo, S.A. 1968. Pág. 235 a 238

26

( ) 0)(1

0)(1

:

022)2(

2

)2(2

2

2

2

0

4

3

2

1

4321

=⋅⋅++⋅⋅

=⋅⋅++⋅⋅

−=

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

��

��

� ⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

+−−+=

hgpdld

rdrd

r

dldh

gdldp

rdrd

r

tieneSedldh

sen

Pero

senglrrldldp

rrrlrdrd

Entoces

senglrrW

rlrdrd

lrF

ldldp

prrF

lrF

prrF

WFFFF

ρτ

ρτ

θ

θρδδπδδπδτδπ

θρδδπ

δτδπτδπ

δδπ

τδπδπ

multiplicando por r*dr e integrando se obtiene

( ) Ahgpdldr

r =⋅⋅+⋅+⋅ ρτ2

2

En esta ecuación por condiciones de frontera, cuando r=0; A=0

27

( )

( )

( )

( ) BrA

hgpdldr

w

drr

Adrhgp

dldr

dw

drdw

rA

hgpdldr

Ahgpdldr

rdrdw

drdw

Pero

+⋅−⋅⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+⋅=

=−⋅⋅+⋅

=⋅⋅+⋅+⋅−

−=

)ln(4

2

2

2

2

2

µρ

µ

µρ

µ

µρ

ρµ

µτ

Las condiciones de frontera son:

r = R0 ;A=0; w=0

)(4

20 hgp

dldR

B ⋅⋅+⋅−= ρµ

Entonces la velocidad en función del radio queda:

( )hgpdldrR

w ⋅⋅+⋅−

−= ρµ4

)( 220

Por máximos y mínimos, se puede ver que la velocidad máxima se da cuando r=0. Además si el

tubo es horizontal h=0 y -dp/dl = �P/�l entonces:

( )lPrR

w∆∆⋅

−=

µ4

220

El caudal y la velocidad media se pueden hallar con el siguiente procedimiento:

40

0

220

0

8

42

2

0

0

RlP

Q

drlPrR

rQ

drwrQ

R

R

⋅∆∆⋅=

⋅∆∆

��

��

� −⋅⋅=

⋅⋅⋅=

�

�

µπ

µπ

π

28

µπ 8

20

20

RlP

RQ

AQ

Velmedia ⋅∆∆===

Si esta velocidad se expresa de acuerdo con su diámetro se tiene:

)9(32

2

µD

lP

Vmedia ⋅∆∆=

Como se dijo anteriormente, estas dos ecuaciones, son aplicadas sólo a tubos circulares. Además,

solo aplica a flujo laminar.

FIGURA 4. Diagrama de cuerpo libre de una capa en forma de anillo de espesor �r y longitud �l, en un tubo circular.

29

GRÁFICA 1. Factor de fricción f vs. Número de Reynolds. Fuente: Sharp and Adrian [1].

y = 63.098x-0.9984

R2 = 0.9982

0.0100

0.1000

1.0000

10.0000

10.00 100.00 1000.00 10000.00

Re

f

GRÁFICA 1. Factor de fricción f vs. Número de Reynolds. Fuente: Sharp and Adrian [1].

30

5.6. Flujo Turbulento

El flujo turbulento a diferencia del flujo laminar, es caótico y no es posible determinar láminas de

flujo. Por lo tanto, las líneas de flujo se cruzan en el tiempo, y existen velocidades en todas las

direcciones, lo cual es propicio para los procesos de mezcla en el flujo.

Estas características hacen del flujo turbulento muy útil, a la hora de mezclar dos o más fluidos,

además de ayudar a aumentar la transferencia de calor hacia un fluido o fuera de este9.

El flujo turbulento, se establece después de la zona de transición, a la cual no se le ha

determinado su inicio y final, y consecuencia el punto de inicio del flujo turbulento se desconoce.

Para seguir en la misma línea establecida en el flujo laminar, se siguió el análisis desarrollado por

Obot N. [3], el cual establece una comparación entre los datos obtenidos por diferentes autores, al

analizar esto, es claro que después de Re = 3000, el flujo es turbulento. Por otro lado, una

publicación más reciente Yang et Al. [5], en su experimento muestra claramente (figuras 6, 7 y 8

de Yang et Al. [5] ), que la zona de flujo turbulento se desarrolla aproximadamente por estos

valores y además concluye que para los líquidos estudiados (agua y R-134ª) la ecuación de

Blassius (10) y Filonenko (1954) se aproximan a los resultados experimentales. Sin embargo para

el aire después de Re = 4000, los valores de f caen por debajo de los valores teóricos, Yang et Al.

declara que esto se da debido a las condiciones generadas por velocidades sub-sónicas altas que

comienzan a desarrollarse en este Re. Seguramente, la ecuación de Swamee-Jain (11), se

aproxima también, esta ecuación es más reciente (1976)10.

9 Mott, “Mecánica de Fluidos Aplicada”, Pág. 221. 10 Tomada de Mott “Mecánica de Fluidos Aplicada”, Pág. 248.

31

)11(

Re

74.547.3

1ln

25.0

)10(4

Re079.0

2

9.0

25.0

��

�

�

��

�

�+

∈⋅×

=

��

��

�×=−

Dh

Dh

Dh

f

f

En las figuras 6, 7 y 8 de Yang et al. [5] es importante observar que no todos los canales

estudiados entran dentro de la clasificación de microcanales establecida por Obot, N. [3]. Sin

embargo si se observa la figura 2 (figure 2 en Obot N. [3]), los datos experimentales de Wu and

Little [2], cumplen con la ecuación de Blassius (6), pero los resultados reducidos mostrados por

Obot N. [3] (figura 3. Obot N. [3]), no tienen un recorrido específico, y no se asemejan a la

ecuación de Blasiuss.

Con todo lo nombrado anteriormente, se puede concluir, que las ecuaciones establecidas para el

flujo turbulento en tuberías grandes, se cumplen para micro-canales circulares. Por esto, se

hablará sobre estas ecuaciones a continuación.

El perfil del flujo turbulento por sus propiedades caóticas, es más complicado de analizar y

depende de más variables, ya que por ejemplo, el factor de fricción no es constante en la longitud

(canales y conductos cerrados no circulares). Esto se produce por que la tensión de cizalla no es

constante en la longitud y ha sido descrita con la ecuación (12)11.

)12(*2

20 v⋅⋅= ρλτ

Donde r es la densidad, v* es la velocidad promedio en la dirección principal de flujo y l un

coeficiente sin dimensiones.

11 La demostración de la ecuación de Darcy es basada en Streeter, “Mecánica de Fluidos”, Pág. 271 a 272.

32

Ya teniendo el valor de la tensión de cizalla, se puede establecer el diagrama de cuerpo libre

(figura 5), y así la segunda ley de Newton, en donde para flujos permanentes y sin cambio de

sección, la aceleración es 0. Esto es:

( ) mojadoPLAzgAPP ⋅⋅=⋅∆⋅⋅+⋅− 021 τρ

Por la ecuación general de la energía, se tiene que las pérdidas de energía en un conducto con

sección constante son:

( ) zgPP ∆⋅⋅+− ρ21

h

perdida

Dv

L

E

⋅⋅⋅=

2*2ρλ

Donde Dh es el radio hidráulico que es A/Pmojado (A = área mojada y Pmojado = perímetro mojado)

Si � � es f/4 y la Eperdida/L es -dP/dx, obtenemos la ecuación de Darcy (6). (v* es la misma

velocidad promedio U).

FIGURA 5. Diagrama de cuerpo libre con �z=0.

Ahora bien, sabiendo, que el flujo en microcanales circulares con diámetro mayor a 1 �m, se

pueden desarrollar los conceptos básicos del flujo turbulento como son el perfil de velocidad12 y

los factores de fricción13, que están ligados por la tensión de cizalla ya nombrada la cual puede

ser determinada también por la ecuación:

12 La demostración del perfil de velocidad se basa en Streeter, “Mecánica de Fluidos”, Pág. 246 a 249. 13 La demostración y análisis empírico se basan en Streeter, “Mecánica de Fluidos”, Pág. 275 a 278.

Pmojado L 0

P1A P2A

L

R0

W

33

( )dyduηµτ +=0

Donde � es la viscosidad de Eddie, que depende de la densidad y del movimiento del fluido.

Sin embargo, en una distancia �� predomina la viscosidad �� y �� tiende a 0, además para

fluidos newtonianos, du/dy se aproxima a u/y, y dividiendo por la densidad la ecuación anterior

tenemos:

δνρ

τ≤= ypara

yu0 (13)

Para este caso, se tiene un flujo laminar cerca de la pared, de aquí en adelante, las viscosidad �

toma prelación, y el flujo es turbulento. Para este caso se tiene: 2

20 ��

�

��

�⋅=

dydu

lρτ

Donde l es una longitud proporcional a y: l=�y, sustituyendo y reacomodando la ecuación se

tiene:

)14()ln(1

:

1

0

0

Cyu

Integrando

ydydu

+⋅=

=

κρ

τ

κρ

τ

Si en las ecuaciones 13 y 14 se reemplaza ( 0/�)0.5 por u*, se tiene:

)14()ln(1

)13(

*

*

*

ayCyuu

ayyu

uu

δκ

δν

≥+⋅=

≤⋅

=

Si se reemplaza la condición de frontera y=� en 13a, u=uw (uw es la “velocidad en la pared”), se

tiene lo siguiente:

34

��

��

� ⋅⋅−=�+��

��

� ⋅⋅=

+⋅=

⋅=�==

**

*

*

*

*

ln1

ln1

)ln(1

:

:min

uN

NCCu

NN

Cuu

Turbulento

uN

Nu

uu

arLa

w

w

νκ

νκ

δκ

νδν

δ

( )

( )

( ) )15(ln1

ln1

ln1

ln1

ln1

ln1

ln1

**

**

*

*

**

NNADondeAu

yuu

NNu

yuu

N

uN

yuu

Nu

Ny

uu

+⋅−=+��

��

� ⋅⋅=

+⋅−��

��

� ⋅⋅=

+��

�

�

��

�

�

⋅⋅=

+��

��

� ⋅−=

κν

κ

κν

κ

νκ

νκκ

A es una constante experimental, que tiene un valor de 5,5 para tuberías lisas. Y � para las

mismas condiciones tiene un valor de 0,4014.

La ecuación 15 tiene el problema de no asignar un valor de 0 a du/dy en el centro del tubo.

Esta ecuación, proporciona el perfil de velocidad para flujo turbulento, sin embargo u* no es una

valor que se conozca claramente, ya que no se conoce 0, para poder esclarecer la ecuación, se va

a hallar la velocidad media por medio del concepto de caudal y una integral15.

14 Valores tomados de Streeter, “Mecánica de Fluidos” Pág. 249. Sin embargo son datos experimentales tomados de L. Nikuradse, Gesetzmassigkeiten der turbulenten Strömung in Glatten Rohren”, VDI Forschungsh., Vol 356, 1932. 15 Streeter, “Mecánica de Fluidos”, Pág 247 a 248.

35

��

��

�⋅+=

��

��

�⋅=−

��

��

��

��

� ⋅−�

�

��

� ⋅⋅=−

+��

��

� ⋅⋅=

0

*

0

**

**0

**

*0

*

ln

ln1

lnln1

)15(ln1

ryu

uu

yr

uu

uu

uyuruu

uu

aAur

uu

m

m

m

m

κ

κ

ννκ

νκ

um es la velocidad máxima, la cual se da cuando y = r0

( )

�

�

�

⋅��

��

��

��

�+⋅��

�

��

�−=⋅

⋅��

��

��

��

�+⋅−−=⋅

−=

��

��

��

��

�+⋅⋅=⋅⋅=

−

0

0

0

0

*

00

0

*0

20

0

0 0

*20

ln12

ln2

ln2

r

m

rm

r

m

dyryu

ury

Ur

dyryu

uyrUr

ryrdoSustituyen

drryu

urUrQ

δ

δ

δ

κ

κ

κππ

Haciendo una sustitución de y por y/r0, se tiene:

�

�

�

��

��

�⋅��

��

�⋅⋅−⋅−��

�

��

�⋅+⋅=

��

��

�⋅��

��

��

��

�⋅+⋅��

�

��

�−=

��

��

�⋅��

��

��

��

�⋅+⋅��

�

��

�−⋅=⋅

1

000

*

00

*

1

00

*

0

1

00

*

000

0

0

0

lnln2

ln12

ln12

r

mm

r

m

r

m

ry

dry

ryu

ry

uryu

uU

ry

dryu

ury

U

ry

dryu

ury

rUr

δ

δ

δ

κκ

κ

κ

36

La solución de esta integral, consta de dos integrales por partes (las de ln), y dos integrales de

polinomios. La solución es:

)16(23

0ln,0

41

ln2

ln2

2

*

000

12

0

*

0

2

0

*

0

*

00

*

2

00

0

κδδδδ

κκκκ δ

uuU

rry

rComo

ryu

ry

ryu

ryu

ry

ryuu

ry

ry

uU

m

r

mm

⋅−=�→��

��

�⋅�→

��

�

�

��

�

�

��

��

�⋅⋅+��

�

��

�⋅��

�

��

�⋅

⋅−⋅−��

�

��

�⋅⋅+��

�

��

�−⋅⋅=

Donde U es la velocidad promedio de flujo en la dirección principal.

Del diagrama de cuerpo libre de la figura 5, en tuberías circulares, se tiene que la fuerza de la

diferencia de presiones es contrarrestada por la fuerza cortante. De esto se tiene que la tensión de

cizalla es:

)17(8

:Re

221

:2

*0

2

0

00

uUf

emplazando

Ur

fLp

tieneseDarcyPor

rLp

=⋅=

⋅⋅⋅=∆

⋅∆=

ρτ

ρ

τ

Reemplazando las ecuaciones 15ª y 16 en 17 se tiene que:

κνκ

κνκ

123

8ln

18

123

ln1

8

0

*0**

⋅−+��

��

�⋅⋅⋅=

��

��

�⋅−��

�

��

�+�

�

��

� ⋅⋅⋅⋅=

AUfr

f

Aur

uf

u

Como ν

Ur ⋅= 0

2Re

entonces:

37

Reeplazando A=5,5 y �=0.416 se tiene:

( ) 913.0Reln884.01 −⋅⋅= ff

Experimentalmente17, estos valores son modificados a

( ) )18(8.0Reln86.01

aff

−⋅⋅=

Esta ecuación es utilizada para tuberías lisas. Nikuradse, igualmente, determinó la ecuación (18b)

para tuberías rugosas en la zona de turbulencia total, teniendo en cuenta la rugosidad artificial

generada por arena homogénea.

)18(ln86.014.11

bDf��

��

� ∈⋅−=

Donde � es el tamaño de la arena. La constante de 1.14, es determinada por dos variables que

son la forma y la distribución de las protuberancias de la rugosidad (arena). Para tuberías

comerciales es diferente este valor. Esto se hace evidente en la gráfica de transición de

Colebrook18, que sale de manejar las ecuaciones 18a, y 18b.

La gráfica de Colebrook tiene como ordenadas la ecuación 18c y abscisas la ecuación 18d.

16 Valores tomados de Streeter, “Mecánica de Fluidos” Pág. 249. Son datos experimentales tomados de L. Nikuradse, Gesetzmassigkeiten der turbulenten Strömung in Glatten Rohren”, VDI Forschungsh., Vol 356, 1932. 17 Tomado de Streeter, “Mecánica de Fluidos”, Pág. 276. Son datos experimentales tomados de L. Nikuradse, Gesetzmassigkeiten der turbulenten Strömung in Glatten Rohren”, VDI Forschungsh., Vol 356, 1932. 18 Gráfica tomada de Streeter, “Mecánica de Fluidos”. Pág. 276.

( ) ( )κκκ

κκ1

82

3

824ln

8

1Reln

8

11

123

2Re

8ln

18

⋅−+⋅⋅

−⋅⋅⋅

=

⋅−+��

��

�⋅⋅=

Af

f

Af

f

38

)18(Reln

)18(ln86.01

dfD

cDf

��

��

� ⋅∈⋅

��

��

� ∈⋅+

Colebrook, desarrolló una fórmula empírica para tuberías comerciales entre la ecuación de

turbulencia total y tuberías lisas, esta fórmula es:

)19(Re

51.27.3

ln86.01

��

�

�

��

�

�

⋅+

∈

⋅−=f

Df

Donde � es la rugosidad de la tubería, este valor es experimental, y se encuentra en las

propiedades del fabricante.

Hasta ahora se han mostrado ecuaciones para el perfil de velocidad, en función de u*, esto es un

poco complicado de entender, por lo que a continuación se va a mostrar una ecuación del perfil,

que solo depende de la velocidad promedio y el factor de fricción de Darcy.

Anteriormente se dijo que:

��

��

�−⋅+=

0

* 1lnrru

uu m κ

Si en la ecuación (16) se despeja um y se reemplaza en esta ecuación y además el valor de u* se

reemplaza por (17) se tiene:

39

)20(1log15.243.11

1log)10ln(82

382

31

)10ln(

1ln

1log

1ln82

382

3

010

010

0

010

0

��

��

��

��

�−⋅⋅+⋅+⋅=

��

��

��

��

�−⋅⋅⋅

⋅+⋅

⋅+⋅=

��

��

�−

=��

��

�−

��

��

�−⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅+=

rr

ffUu

rrff

Uu

rr

rr

rr

Uf

Uf

Uu

κκ

κκ

La ecuación (20) se aplica a cualquier tubería en flujo turbulento. Al igual que en flujo laminar,

la máxima velocidad se presenta en el centro de la tubería. Es importante recordar, que esta

ecuación se aplica hasta que r=ro-��

Cabe anotar, que actualmente, las aplicaciones de los microcanales están encaminadas a sistemas

de refrigeración y se ha observado que el flujo laminar es mucho más eficiente que el flujo

turbulento. Actualmente se utilizan valores de Re muy bajos. Sin embargo como se dijo al

principio, según Mott [6], en flujo turbulento aumenta la transferencia de calor en macro-

tamaños.

40

5.7. Flujo durante la transición.

El flujo a comienzos de la turbulencia (transición), se puede definir como la pérdida de

estabilidad del fluido a causa del aumento de la velocidad, que se traduce en un aumento en la

fricción. Su estudio se ha basado más que todo en el análisis de la capa límite. Este estudio se

considera la altura y <= �, anteriormente nombrada a la cual, se encuentra un Reynolds crítico en

donde se cambia de flujo laminar a turbulento19.

El análisis presentado del comienzo de la pérdida de estabilidad en la capa límite, se deriva de las

ecuaciones diferenciales generadas por la ecuación de la continuidad y las ecuaciones de Navier

Stokes, con condiciones de frontera para una un flujo entre dos placas planas, al colocarse una

función de corriente que describa una onda, la cual es una función con variables complejas. La

idea de esta onda es generar la inestabilidad y así encontrar los comienzos de la transición (punto

en donde cambia de perfil).

La solución a la ecuación diferencial planteada, genera un perfil de velocidad, para diferentes

posiciones de la ola generada por la función de corriente.

Este concepto, de la pérdida de estabilidad se puede explicar de una manera más simple20,

teniendo en cuenta la mecánica de materiales.

Si se observa el flujo de un material muy viscoso, saliendo de un orificio a gran velocidad al aire,

se visualiza que al principio, es en línea recta, en la cual se puede considerar un flujo laminar. A

cierta distancia del orificio de salida, la línea de corriente se tuerce, y se comienzan a generar

espirales en el caso de un orificio circular o comienza a oscilar como un péndulo en el caso de

una salida rectangular alargada. En este tipo de flujo, la resistencia que genera el aire, se puede

19 Victor L. Streeter, “Handbook of fluid Dynamics” Pág. 9-56 a 9-64 20 Tomado de S.L. Arsenjev, I. B. Lozovitski, Y.P. Sirik, “The Laminar flow instability criterion ang turbulence in pipe”

41

analizar de dos maneras, i) Pérdida de energía por fricción, utilizada para una análisis común en

tuberías. ii) Fuerza por longitud, que genera un esfuerzo axial en la corriente de flujo.

Esta última forma de interpretar le resistencia del aire, hace que el sistema sea semejante al de

una barra larga y delgada muy elástica que comienza a doblarse por la acumulación de carga

axial consecuencia de su peso propio. Este problema fue analizado por Euler, para el caso de un

empotramiento en uno de los extremos.

La conclusión de Euler fue la siguiente ecuación:

( )2

2

723.0 L

JEN E ⋅

⋅⋅≤ π

Donde NE es la fuerza axia, E el módulo de elasticidad, J el momento de inercia y L la longitud de la barra.

En esta ecuación si NE llega a ser mayor, la barra se vuelve inestable. Como se puede ver

claramente, la longitud es un factor importante.

Esta ecuación para secciones circulares queda:

( ) 64

4

2

2 D

L

EN E

⋅⋅⋅⋅≤ π

χπ

Donde ��es un coeficiente de reducción de longitud de la barra.

Con esta ecuación, se puede describir el inicio de la transición si se busca la semejanza entre la

fuerza axial y la diferencia de presión. Esto se puede lograr con la ecuación de Poiseuille.

Teniendo en cuenta que la presión cae linealmente, la presión promedio es �P/2 se tiene que la

fuerza es esta presión por el área y se tiene lo siguiente:

19.2522__

≥��

��

�⋅⋅⋅⋅ L

LU

Eχµ

Donde L barra es la relación entre longitud y el diámetro.

42

El módulo de elasticidad de un fluido puede ser expresado en función de la velocidad de

propagación del sonido. Reemplazando este valor y expresando la ecuación en función de Re y el

número Mach (M) la ecuación queda de la siguiente forma:

)21(1Re

9.25

19.25

2

23

__2

22__

2

2

≥��

�

�

��

�

�⋅⋅⋅

≥��

��

�⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

LMk

LDLVa

DVk

χ

χρ

µ

Donde k es el exponente adiabático. Para fluidos el valor de � varia entre 0.715 y 1.12

En conclusión, de acuerdo con esta ecuación, la transición a la turbulencia se presenta cuando el

término de la izquierda es menor a 1.

Es importante observar, que de acuerdo con este análisis, la transición depende de la relación

entre la longitud y el diámetro, por lo que para los análisis posteriores con inteligencia artificial,

se harán modelos que incluyan este factor.

43

6. DATOS EXPERINENTALES SUMINISTRADOS POR SHARP Y ADRIAN

Sharp y Adrian condujeron un experimento en el año 2003, en el que se tomaron líquidos de

diferentes polaridades en micro tubos de vidrio con diámetros entre 50 y 247 micras. En total se

tomaron 1500 datos experimentales. A continuación se hace una breve explicación de los datos

obtenidos, descripción del experimento y el análisis de los datos. Además se mostrarán las

conclusiones establecidas por Sharp and Adrian en [1].

Para cumplir los objetivos de esta tesis fue necesario contar con la información de este artículo de

primera mano, por lo que se contactó por medio de mail a PhD. K. V. Sharp, el cual estuvo

gustoso de suministrar la información de su experimento publicado en [1] .

6.1. Descripción del experimento.

El experimento consiste en hacer pasar un líquido a través de un tubo capilar, a partir de una

diferencia de presiones.

Cada tubo capilar está hecho de una fusión silicio (fused Silica, cubierto externamente por

Polyimide rugosidad asumida: 1 �m), a los cuales se hizo una medida exacta de su diámetro

interno por medio de la ecuación de flujo de Poiseuille, y números de Reynolds menores a 400,

de tal forma que se disminuyera la incertidumbre y se aumentara la confiabilidad de las

mediciones.

Una vez que se ha establecido el flujo permanente por la diferencia de presión, se procedió a

tomar lecturas de esta, de la velocidad y temperatura.

44

Esto se repitió varias veces para cada tubo capilar y cada fluido utilizado. A continuación se

muestra una tabla resumen (Tabla 1)21. En esta tabla se muestran las condiciones iniciales para

cada arreglo de datos, además del número de mediciones de velocidad, (por cada dato de

velocidad se tiene un número de Reynolds y un factor de fricción de Darcy, crucial para el

alcance de los objetivos de esta tesis), y por último, se muestra el número de datos tomados con

Reynolds mayores a 1800, lo cuales son los que se van a utilizar en la modelación por medio de

Redes Neuronales.

El equipo que se utilizó para este experimento fue:

Cilindro de gas comprimido. Su función es suministrar gas a una presión constante que logre

empujar el fluido a través del tubo capilar (genera la diferencia de presión).

Recipiente con líquido: Este recipiente es totalmente hermético, de tal forma que no hallan

escapes. Acá la presión suministrada por el gas, es transferida al líquido. El recipiente tiene dos

salidas, cada una con un tubo y su respectiva válvula, por la primera llega el gas comprimido y

por la segunda salida se desplaza el fluido hacia el tubo capilar.

Amortiguadores de vibraciones: Son necesarios para no inducir a errores en las mediciones,

producidas por ondas en el líquido.

Tubo capilar y líquido: En este tubo es en el que se hacen las medidas de velocidad del líquido,

para así determinar los valores del factor de fricción. En total se utilizaron 13 tubos distintos, que

variaban diámetro y longitud, la lista se muestra en al tabla 1,Los líquidos utilizados fueron (agua

des-ionizada, l-propanol y solución al 20% en peso de glicerol).

21 Esta tabla resumen, fue tomada de los datos suministrados por Sharp y Adrian. Base del artículo presentado “Transition from laminar to turbulent flow in liquid filled microtubes”. Revista Experiments in Fluids 2004 Vol. 36 Pág. 741-747.

45

Computadores y sistemas de medición: Se utilizaron balanzas, censores y computadores para

tomar las mediciones de presión.

Se midieron algunas velocidades a partir de PIV (Particle Image Velocimetry), que es un sistema

que toma la velocidad de partículas fluorescentes de aproximadamente 2 micras de diámetro.

En la figura 2 del artículo de Sharp et. al. [1] se muestra el montaje del equipo.

Además de las mediciones hechas, se tuvieron en cuenta los cambios en la densidad y viscosidad

por el cambio de temperatura de los fluidos utilizados, y se consideraron las pérdidas de entrada y

salida en le tubo capilar.

Los datos significativos para esta investigación (agua), utilizados en este experimento se

muestran en la siguiente lista:

Agua: Densidad a 20 °C (kg/m^3) 998,21 Densidad a 30 °C (kg/m^3) 995,65 Viscosidad a 20 °C (N-s/m^2) 1,003E-03 Viscosidad at30 °C (N-s/m^2) 7,990E-04

6.2. Posibles errores y sus consecuencias.

A través de los últimos 10 años, se han hecho varios experimentos, similares a este, en donde el

objetivo es hallar el valor del factor de fricción en microcanales, se ha encontrado que los

resultados obtenidos, parecen tener problemas con la medición del radio hidráulico de la sección,

este valor es muy importante, ya que genera resultados catastróficos en la apreciación del factor

de fricción: “Un incremento del 5% en el radio hidráulico genera un decremento del 28% al 22%

en el factor de fricción y la constante de fricción laminar aproximadamente”22 .

22 Ian Papautsky y Tim Ameel “A Review Of Laminar Single-Phase Flow In Microchannels”, Proceedings of 2001 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. Noviembre 11-16, 2001, New York, NY.

46

Run Name liquid T (°C) rho (kg/m^3) mu (N-s/m^2) Dia (in microns)

L (in mm)

Cantidad de vel.

Tomadas

Cantidad datos en

transición

d250L230p100bd1_605 DI 26 996,674 8,81E-04 247 231 21 0d250L230p100bd2_605 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 33 0d250L230p100bd3_605 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 32 0

d250L230p150bd1_615 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 35 4d250L230p150bd2_615 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 32 5d250L230p150bd3_615 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 34 9d250L230p150bd4_615 DI 26,0 996,7 8,81E-04 247 231 33 8

d250p200L200bd1 DI 25,0 996,9 9,01E-04 246 194 33 14d250p200L200bd2 DI 25 996,9 9,01E-04 246 194 35 15d250p200L200bd3 DI 24,8 997,0 9,05E-04 246 194 46 9

d250p100bd DI 26,2 996,6 8,77E-04 242 100 28 22d250p100bd2 DI 26,2 996,6 8,77E-04 242 100 40 9d250p100bd3 DI 26,2 996,6 8,77E-04 242 100 41 8

p1d250p125bd1 1-propanol 25,2 799,3 1,95E-03 242 100 15 0

d250Bp100bd4 DI 25 996,9 9,01E-04 242 100 40 15d250Bp100bd5 DI 25,2 996,9 8,97E-04 242 100 40 11d250Bp100bd6 DI 25,2 996,9 8,97E-04 242 100 41 14d250Bp100bd7 DI 25,4 996,8 8,93E-04 242 100 42 14

gd250p100bd1 glycerol 25 1045,2 1,54E-03 242 100 41 0gd250p100bd3 glycerol 25 1045,2 1,54E-03 242 100 43 0

d180L180p200bd1_621 DI 26 996,7 8,81E-04 184 179,5 32 4d180L180p200bd2_621 DI 25,5 996,8 8,91E-04 184 179,5 36 1d180L180p200bd3_621 DI 25,8 996,7 8,85E-04 184 179,5 34 2

d180p200bd1 DI 26,0 996,7 8,81E-04 181 100 41 4d180p200bd2 DI 25,2 996,9 8,97E-04 181 100 39 3d180p200bd3 DI 25,1 996,9 8,99E-04 181 100 38 4

gd180p200bd1 glycerol 24,5 1045,3 1,54E-03 181 100 35 0gd180p200bd2 glycerol 24,5 1045,3 1,54E-03 181 100 44 0gd180p200bd3 glycerol 24,5 1045,3 1,54E-03 181 100 42 0

d180CL150p200bd1_717 DI 25 996,9 9,01E-04 177 154,5 24 2d180CL150p200bd2_717 DI 25,1 996,9 8,99E-04 177 154,5 25 2d180CL150p200bd3_717 DI 25,1 996,9 8,99E-04 177 154,5 25 2d180CL150p200bd4_717 DI 25,2 996,9 8,97E-04 177 154,5 25 3

d100p2000bd1_710 DI 25 996,9 9,01E-04 101,5 200 27 11d100p2000bd2_710 DI 25,0 996,9 9,01E-04 101,5 200 34 7d100p2000bd3_710 DI 25,0 996,9 9,01E-04 101,5 200 34 6

TABLA 1. Datos constantes de cada arreglo de f y Re recolectados.

47

d100p2000bd4_710 DI 25,1 996,9 8,99E-04 101,5 200 33 8

d100L180p1800bd1_710 DI 25,8 996,7 8,85E-04 100,5 180 25 10d100L180p1800bd2_710 DI 25,8 996,7 8,85E-04 100,5 180 30 7d100L180p1800bd3_710 DI 25,8 996,7 8,85E-04 100,5 180 28 7

d100p200bd1 DI 25,5 996,8 8,91E-04 99,5 100 15 0d100p200bd2 DI 25,5 996,8 8,91E-04 99,5 100 23 0d100p200bd3 DI 25,2 996,9 8,97E-04 99,5 100 12 0

p1d100p200bd1 1-propanol 25 799,5 1,96E-03 99,5 100 5 0p1d100p200bd2 1-propanol 25 799,5 1,96E-03 99,5 100 8 0p1d100p200bd3 1-propanol 25 799,5 1,96E-03 99,5 100 11 0

p1d100p200bd10 1-propanol 24 800,3 2,01E-03 99,5 100 13 0p1d100p200bd11 1-propanol 24,8 799,7 1,97E-03 99,5 100 19 0p1d100p200bd12 1-propanol 25,2 799,3 1,95E-03 99,5 100 20 0

d75L180p1800bd1_710 DI 25,5 996,8 8,91E-04 76,5 180 8 0d75L180p1800bd2_710 DI 25,5 996,8 8,91E-04 76,5 180 15 0d75L180p1800bd3_710 DI 25,1 996,9 8,99E-04 76,5 180 11 0

d75L80p1800bd1_710 DI 25,0 996,9 9,01E-04 75,8 80 28 4

d075p200bd40 DI 24,8 997,0 9,05E-04 75 100 14 0d075p200bd41 DI 24,8 997,0 9,05E-04 75 100 23 0d075p200bd42 DI 24,8 997,0 9,05E-04 75 100 9 0

d050p200bd1 DI 25,5 996,8 8,91E-04 50 100 4 0d050p200bd2 DI 25,5 996,8 8,91E-04 50 100 3 0

1594 244Totales

6.3. Descripción y análisis de los datos obtenidos.

El artículo elaborado por Sharp y Adrian [1], tenía como objetivo principal estudiar la transición

hacia la turbulencia, por lo que los resultados, fueron dirigidos a mostrar con claridad los

números de Reynolds a los cuales se comenzara a no cumplir el flujo de Poiseuille. Los gráficos

utilizados para esto fueron:

o f vs. Re. Ya fue mostrada anteriormente (gráfica 1), en ella se observa la linealidad para

Re menores a 1800, en donde como se ha dicho, se cumple la ecuación de Poiseuille, de

aquí en adelante (gráfica 2), ocurre la transición de acuerdo con Sharp y Adrian.

48

o Po/16 vs. Re, (gráfica 3) Aquí se observa más claramente, los comienzos de la transición.

Para flujo laminar, se cumple que el valor es 1. Los datos experimentales oscilan entre 0.9

y 1.1, lo que está en los límites de la incertidumbre del ensayo. Para Reynolds mayores a

1800, se ve claramente que esta relación se rompe, llevando la relación a 1,4 (gráfica 4).

Las bases teóricas de esta relación se encuentran en la ecuación (7). Po, llamado en

número de Poiseuille, es 2*C1 = 16 (tubería circular), lo que es igual a f*Re/4, su división

debe ser 1.

o �P* vs. Re. (Gráfica 5) En esta gráfica se ve el aumento de la caída de la presión en los

comienzos de la transición. Su ecuación se basa en el flujo de Poiseuille ec. (9) de la

siguiente manera:

2

3

2

2

32Re

32Re

32

µρµρ

µµ

⋅⋅∆∆=

⋅∆∆=

⋅⋅

⋅∆∆=

DLP

DLP

D

DLP

U

De acuerdo con esto, la gráfica debe dar una recta a 45°. Esto sucede para Re <1800, de

aquí en adelante se entra en la transición. Esta zona se muestra mejor en la gráfica 6.

49

GRÁFICA 2. El factor de fricción vs. Re en la transición discriminados por diámetro y longitud para el flujo de agua en microtubos

0.01

0.1

1000.00 10000.00Número de Reynolds

Fact

or d

e fr

icci

ón

Tubo de D=247micras y L=231mm



Tubo de D=184micras y L=179,5mm



Tubo de D=101,5micras y L=200mm



GRÁFICA 2. Factor de fricción vs. Número de Reynolds discriminados por diámetros y longitud para el flujo de agua en

microcanales (Re>1800). Fuente Sharp y Adrian [1]

50

GRÁFICA 3. Número de Poiseuille vs. Número de Reynolds

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

10.00 100.00 1000.00 10000.00

Número de Reynolds

2C1/1

6

��P*/Re teórico =1.

GRÁFICA 3. Número de Poiseuille vs. Número de Reynolds. Los puntos experimentales deben ser 1 si el flujo es laminar aquí se puede observar el comienzo de la transición para el flujo de agua en microcanales . Fuente Sharp y Adrian [1].

51

GRÁFICA 4. Número de Poiseuille vs. Número de Reynolds, discriminados por diámetro y longitud para el flujo de agua en microtubos (Re > 1800)

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1000.00 10000.00

Número de Reynolds

2C1/1

6Tubo de D=247micras y L=231mm









GRÁFICA 4. Número de poiseuille vs. Número de Reynolds, discriminados por diámetro y longitud para el flujo de agua

en microcanales (Re>1800). Fuente Sharp y Adrian [1]

52

GRÁFICA 5. ��P* vs. Re

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00 3000.00 3500.00

Re

�� P

*

GRÁFICA 5. DP* vs. Re. para el flujo de agua en microcanales. Donde DP*, es un valor adimensional calculado con los

valores experimentales que debe ser igual al valor de reynolds. Fuente Sharp y Adrian [1]

53

GRÁFICA 6. DP* vs. Re en la transición discriminados por diámetro y longitud para el flujo de agua en microtubos

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1800.00 2000.00 2200.00 2400.00 2600.00 2800.00 3000.00

Re

�� P

*










GRÁFICA 6. DP* vs. Re. para el flujo de agua en microcanales. Donde DP*, es un valor adimensional calculado con los valores experimentales que debe ser igual al valor de reynolds.

(Re>1800). Fuente Sharp y Adrian [1]

6.4. Conclusiones

De acuerdo con los resultados obtenidos en el experimento Sharp y Adrian concluyen:

o La zona laminar en flujo de líquidos en microcanales circulares se extiende hasta números

de Reynolds entre 1800 y 2300, lo cual no es distinto a lo observado en macro-tamaños.

o Por debajo del número de Reynolds crítico, el flujo puede ser descrito por la Ecuación de

Poiseuille con muy buena aproximación.

54

o El criterio del número de Reynolds, se aplica bastante bien al flujo en micro-canales.

Para el alcance de esta tesis, de acuerdo con estas conclusiones se tiene lo siguiente:

o Los datos importantes en la modelación en redes neuronales, se constituyen en valores del

número de Reynolds mayores a 1800.

o De acuerdo con esto, la base de datos con que se cuenta es de 244 datos, todos para agua.

o La gama de diámetros que se van a manejar está entre 50 �m y 247 �m.

o En la teoría de factores de fricción es muy importante el conocimiento de la rugosidad del

material, información con la que no se cuenta, sin embargo, por la flexibilidad de los

modelos de inteligencia artificial, este valor puede ser asumido. Esto se explicará en el

momento de establecer las variables para cada modelo.

55

7. MODELOS DE INTELIGENCIA ARTIFICIAL

7.1. Identificación de Variables Independientes y Dependientes.

Para el alcance de esta tesis, se puede ver claramente, que la única variable dependiente es el

factor de fricción de Darcy.

Las variables independientes en la transición, al menos deben ser las mismas que en flujo

turbulento, es decir la rugosidad relativa �/D Y el número de Reynolds. Por otro lado, existen

teorías que aseguran que este factor de fricción depende de la longitud, por lo que será incluida

para algunos casos como variable independiente con dimensión en metros y en otros casos como

en la relación adimensional L/D.

Además de estas variables independientes, existen otras variables, como son la distribución y la

forma de las protuberancias (rugosidades), estas variables no son cuantificables, por lo que hasta

el momento, todas sus estimaciones se han hecho a partir de constantes halladas empíricamente,

tal y como ya se mostró en la teoría. Siguiendo esta misma línea, los sistemas de inteligencia

artificial, consiguen estos factores constantes, por lo que no es necesario incluirlos

explícitamente.

En los datos que se tienen por Sharp y Adrian, la rugosidad es una constante, ya que todos los

tubos están hechos del mismo material. Por lo tanto, la rugosidad relativa puede ser la relación

entre una constante (determinada por el modelo de I.A. igual a la rugosidad por una constante) y

el diámetro. Por esta razón el desconocimiento de esta variable no es importante para la

modelación.

Además de observar los análisis hechos por Sharp y Adrian a su información, se decidió que era

importante, tratar de encontrar un patrón para los datos obtenidos en la transición. Para ello se

utilizó la gráfica de transición de Colebrook (fig. 5.29 de Streeter [7]), como un buen sistema de

56

entendimiento de los datos. Para ello se calcularon las abscisas y ordenadas de esta gráfica para la

información recolectada. Esto se graficó en Excel y se obtuvo la gráfica 14.

Por otro lado teniendo en cuenta la teoría de transición mencionada en esta tesis, se decidió

incluir la relación entre la longitud y el diámetro, teniendo en cuenta que a medida que la

longitud tiende a infinito, su influencia es menor, se hizo el gráfico 15. A continuación se

muestran las ecuaciones utilizadas para las abscisas y las ordenadas.

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

�−+�

�

��

� ∈⋅+=Ο

��

��

� ⋅∈⋅⋅=Λ

2

ln

11ln86.0

1

:

Reln

:

DLDf

OrdenadasDL

Df

Abscisas

57

GRÁFICA 14. GRÁFICA DE TRANSICIÓN DE COLEBROOK

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

0,25 0,45 0,65 0,85 1,05 1,25 1,45 1,65 1,85

LN(Re*f^0,5*�� D)

1/f^

0,5+

0,86

*ln(��

/D)

Tubo de D=247micras y L=231mm Tubo de D=246micras y L=194mm Tubo de D=242micras y L=100mm Tubo de D=184micras y L=179,5mm

Tubo de D=181micras y L=100mm Tubo de D=177micras y L=200mm Tubo de D=101,5micras y L=200mm Tubo de D=100,5micras y L=180mm

Tubo de D=75,8micras y L=80mm Swamee-Jain 247 Swamee-Jain 246 Swamee-Jain 242

Swamee-Jain 181 Swamee-Jain 177 Swamee-Jain 101.5 Swamee-Jain 100.5

Swamee-Jain 75.8 Swamee-Jain 184 Blassius Poiseuille

58

GRÁFICA 15. Gráfica empírica similar a la gráfica de transición de Colebroke, que tiene en cuenta la longitud del tubo capilar.

1

10

6,2 6,7 7,2 7,7 8,2 8,7 9,2 9,7��

��

Tubo de D=247micras y L=231mm Tubo de D=246micras y L=194mm Tubo de D=242micras y L=100mm Tubo de D=184micras y L=179,5mm

Tubo de D=181micras y L=100mm Tubo de D=177micras y L=200mm Tubo de D=101,5micras y L=200mm Tubo de D=100,5micras y L=180mm

Tubo de D=75,8micras y L=80mm Swamme fucsia Swamee azul 242

181 184 177 101.5

100.5 75.8 BLassius

59

7.2. Modelo en Redes Neuronales

Una red neuronal artificial es una estructura computacional inspirada en la forma de trabajo de las

redes de neuronas naturales del cerebro. Esta consiste en simples unidades computacionales

llamadas neuronas, que están altamente interconectadas. Cada interconexión tiene una fuerza,

expresada como un número real llamado peso.

La capacidad básica de las redes neuronales es aprender a partir de ejemplos. Esto es logrado

ajustando los pesos de las interconexiones de acuerdo con un algoritmo de aprendizaje. En

general el aprendizaje puede ser supervisado o no supervisado. En un algoritmo de aprendizaje

supervisado, a cada patrón de entrada se asigna una clase a la cual debe pertenecer. Es decir, la

respuesta deseada de la red para cada entrada de entrenamiento, se compara con la salida

entregada por la red neuronal actual, de tal forma que se ajustan los pesos y así la red aprende.

Estos ajustes, que tienen como propósito minimizar la diferencia entre el valor de salida esperado

y actual, son hechos gradualmente. Es decir, se efectúan pequeños ajustes en los pesos en la

dirección deseada para cada pareja de entrada-salida. Esto es esencial para facilitar una solución

convergente, en la que los patrones de entrenamiento son representados con gran fidelidad. Una

vez la red neuronal a llegado a una solución, esta es capaz de clasificar cada patrón de entrada

desconocido, en datos cercanos con patrones de entrada conocidos.

En un algoritmo de aprendizaje no supervisado, la red forma su propia clasificación de patrones.

La clasificación se basa en semejanzas entre ciertos rasgos. Esto requiere que la red neuronal que

implemente este tipo de algoritmo sea capaz de reconocer ciertos rasgos comunes a lo largo de

los patrones de entrada.

El modelo a utilizar para describir el comportamiento, tal y como se puede observar es

supervisado ya que se cuenta con los valores deseados, que corresponden a los valores del factor

de fricción.

60

Existen muchas formas de estructurar una red neuronal. Para este trabajo de grado, se va a utilizar

el método Bakcpropagation, en el cual, la idea es arreglar los pesos comenzando desde la última

capa, hasta a primera capa, pasando por todas las capas ocultas. Los modelos utilizados están

programados en una red neuronal hecha en Matlab23.

Para cumplir con los objetivos de este trabajo de grado se hicieron varios perceptrones, de tal

forma que se tuvieran en cuenta todas las posibles combinaciones de variables para obtener

resultados óptimos.

Los perceptrones utilizados, se basaron en las variables independientes y las gráficas 14 y 15. A

continuación se muestran los diagramas de cada perceptrón entrenado, y un resumen de las

características más importantes.

7.2.1. Perceptrón 1. La estructura de este perceptrón se muestra en la figura 6. La tabla 2 muestra un resumen de los

diferentes datos utilizados para la calibración de cada modelo con esta estructura de perceptrón:

TABLA 2. RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DEL PERCEPTRÓN 1

Nombre

Perceptrón

Variables independientes Variables

dependientes

Función

utilizada

No. datos

calibración.

No. Datos

validación.

DRN 3 233 D, Re, v/D f Logsig 233 0


lnDRN 3 233 Ln(D), ln(Re), ln(v/D) f Logsig 233 0

lnDRN 3 80 Ln(D), ln(Re), ln(v/D) f Logsig 80 0

DRNL 3 200 D, Re, v/D, L f Logsig 200 33

DRNLD 3 200 D, Re, v/D, L/D f Logsig 200 33

23 El código fue creado por Liliana Vivas, auxiliar del grupo Hidrociencias de la Pontificia Universidad Javeriana, Facultad de Ingeniería, Carrera de Ingeniería Civil, sección Hidrotecnia y Hambiental.

61

DR 233* Ln(Re), ln(v/D), ln(f) Ecuación 18c Logsig 233 0

DR 80 Ln(Re), ln(v/D), ln(f) Ecuación 18c Logsig 80 0

DR 200 * Ln(Re), ln(v/D), ln(f) Ecuación 18c Logsig 200 33

*Se hicieron más de 1 corrida cada una con diferente error.

FIGURA 6. Esquema del perceptrón 1 para tres y cuatro variables independientes.

Capa 1, o variables independientes

Capa 2, C

apa oculta.

Capa 3, C

apa de salida.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W2-3


Capa 2, C

apa oculta.

Capa 3, C

apa de salida.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W2-3

Perceptrón 1 cuando se tienen 3 variables independientes


62

7.2.2. Perceptrón 2 La estructura de este perceptrón se muestra en la figura 7. La tabla 3 muestra un resumen de los

diferentes datos utilizados para la calibración de cada modelo con esta estructura de perceptrón:

TABLA 3. RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DEL PERCEPTRÓN 1

Nombre

Perceptrón

Variables independientes Variables

dependientes

Función

utilizada

No. datos

calibración.

No. Datos

validación.



DRNL 4 233 D,Re,v/D,L f Logsig 233 0

DRNL 4 80 D,Re,v/D,L f Logsig 80 0

DRNL 4 200 D, Re, v/D, L f Logsig 200 33

lnDRNL 4 200 Ln(D), ln(Re), ln(v/D),ln(L) f Logsig 200 33

lnDRNL 4 80 Ln(D), ln(Re), ln(v/D),ln(L) f Logsig 80 0

DRNLD 4 200 D, Re, v/D, L/D f Logsig 200 33

lnDRNLD 4

233

Ln(D), ln(Re),

ln(v/D),ln(L/D)

f Logsig 233 0

Más adelante se muestran los resultados obtenidos.

7.2.3. Perceptrón 3

La estructura de este perceptrón se muestra en la figura 8. Para este, no se hicieron varios

modelos con distintas variables, simplemente se utilizaron como variables independientes D, Re y

v/D, f como variable dependiente, se utilizaron 200 datos de calibración y 33 de validación.

La idea de este perceptrón fue observar el comportamiento con varias capas ocultas.

63

7.2.4. Perceptrón 4 y 5

Estos perceptrones, fueron utilizados para observar los cambios en la salida con esta estructura

neuronal. Se emplearon la variables independientes Ln(Re), ln(v/D), ln(f),la variable dependiente

Ecuación 21.

Para el perceptrón 4 se utilizaron todos los datos para calibración, mientras que para el perceptrón

5 se utilizaron 200 para calibración y 33 para validación. El diagrama de estos perceptrones se

muestra en la figura 9.

FIGURA 7. Esquema del perceptrón 2 para 3 y 4 variables independientes.


Capa 2, C

apa oculta.

Capa 3, C

apa de salida.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W2-3


Capa 2, C

apa oculta.

Capa 3, C

apa de salida.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W2-3



64

FIGURA 8. Esquema del perceptrón 3 para 3 variables independientes.

7.2.5. Observaciones

Las redes neuronales modeladas que tienen como variable dependiente la ecuación 21, tienen el

problema que utilizan a f, como variable independiente. Esto hace que se pierda el objetivo de

hallar el factor de fricción, ya que es necesario f como dato de entrada. Este problema, se

soluciona, después del entrenamiento del modelo neuronal, es decir, teniendo los pesos de la red,

utilizando una semilla para el factor de fricción y así, iterando hallar un valor de f, que satisfaga

la igualdad. El método de iteración que se va a utilizar es el método de Newton-Raphson.

Capa 4, C

apa oculta.

Capa 5, C

apa de salida.

Pesos 3-4 W3-4

Pesos 4-5 W4-5


Capa 2, C

apa oculta.

Capa 3, C

apa oculta.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W2-3

Perceptrón 3. Varias capas ocultas

65

Este razonamiento se utilizó por la base histórica que se tiene acerca del factor de fricción en

régimen turbulento, en el cual se tiene una ecuación implícita de f. Que es a lo que se llega con el

modelo de redes neuronales y el método de Newton-Rapston.

FIGURA 9. Esquema de los perceptrones 4 y 5 para 3 variables independientes.

7.3. Arreglo de los datos experimentales para el modelo en redes neuronales.

Para todas las redes neuronales, los datos de entrada fueron arreglados de manera lineal teniendo

en cuenta el valor mayor y menor de la variable, y haciendo una regla de tres se obtuvieron los

valores arreglados. En la tabla 4 y 5 se muestran los valores máximos y mínimos reales y

arreglados utilizados para cada corrida y variable.


Capa 2, C

apa de salida.

Pesos 1-2 W1-2


Capa 2, C

apa oculta.

Pesos 1-2 W1-2

Pesos 2-3 W3-2

Capa 3, C

apa de salida.

Perceptrón 4 Perceptrón 5

66

TABLA 4. Valores máximos y mínimos escalados utilizados para reescalar las variables

independientes y dependientes.

Nombre

Perceptrón D o Ln(D) Re o Ln(Re) v/D o ln(v/D)

L, L/D,

ln(L) o

ln(L/D)

f o ln(f) Ln K

DRN 3 233 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

DRN 3 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

lnDRN 3 233 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

lnDRN 3 80 -3 3 -3 3 -3 3 0.05 0.95

DRNL 3 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

DRNLD 3 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

LnK 233* -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95 0.05 0.95

LnK 80 -3 3 -3 3 0.05 0.95 0.05 0.95

LnK 200 * -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95 0.05 0.95

DRN 4 233 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

DRN 4 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

DRNL 4 233 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

DRNL 4 80 -3 3 -3 3 -3 3 -3 3 0.05 0.95

DRNL 4 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

lnDRNL 4 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

lnDRNL 4 80 -3 3 -3 3 -3 3 -3 3 0.05 0.95

DRNLD 4 200 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

lnDRNLD 4 233 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 -2.85 2.85 0.05 0.95

67

TABLA 5. Valores máximos y mínimos de las variables reales utilizadas para el modelo de

redes neuronales

Base de 233 datos o 200 datos Base de 80 datos

Máximo Mínimo Máximo Mínimo

Re 2903.9 1800.05 2903.90 1998.75

Ln(Re) 7.9738 7.4956 7.9738 7.6003

D 0.000247 0.0000758 0.000247 0.0001005

Ln(D) -8.3061 -9.4874 -8.3061 -9.2054

L 0.231 0.0800 0.231 0.100

Ln(L) -1.4653 -2.5257 -1.4653 -2.3026

L/D 1970.4433 413.2231 1970.4433 413.2231

Ln(L/D) 7.5860 6.0240 7.5860 6.0240

‘v/D 0.0132 0.0040 0.0100 0.0040

Ln(v/D) -4.3281 -5.5094 -4.6102 -5.5094

‘f 0.0371 0.0249 0.0371 0.0249

Ln(f) -3.2941 -3.6929 -3.2941 -3.6929

Ln(Ecuación 18c) ó

ln(K)

0.6436 -0.7827 0.6146 -0.7827

Para las variables de los perceptrones 4 y 5 se utilizaron los mismos límites del perceptrón

llamado lnDRN 3 233.

68

7.4. Resultados obtenidos por las redes neuronales

Al correr todos los modelos que se describieron anteriormente, se obtuvieron bases de datos

compuestas por valores del factor de fricción experimentales y simulados por las redes

neuronales.

Todos los resultados obtenidos se graficaron de distintas formas para ver cuál de todos los

modelos hechos se asemejaban mejor a los datos experimentales, finalmente las gráficas que se

escogieron para interpretar los resultados fueron 3, las cuales se describen a continuación:

La primera gráfica (gráfica A), obtenida directamente de Matlab muestra la forma en que el error

es reducido lo máximo posible entre el valor de salida de la Red y el valor esperado (valor

experimental de f o la ecuación 18c), Abscisas: Número de Ciclo, Ordenadas: Promedio del error

cuadrado. En todas las gráficas, el error de calibración al final siempre estuvo por encima del

error de validación. Existen gráficas que sólo tienen una línea, esto es por que sólo se tenían datos

de calibración y en consecuencia no existe error de validación.

La segunda gráfica (gráfica B), consiste en mostrar el nivel de aproximación entre el valor de

salida de la red y el valor esperado. Si la aproximación es perfecta, el resultado de esta gráfica

sería una línea de 45°. Abscisas: f experimental o ecuación 18c calculada con f experimental y

v/D experimental. Ordenadas: f de salida de la red o ecuación 18c calculada con el f de la red y

v/D experimental.

La tercera gráfica (Gráfica C), consiste en la gráfica de transición de Colebrook, la cual ha sido

anteriormente explicada.

Cuando se observaron todos los resultados en estas gráficas, se vió un comportamiento

característico en las redes neuronales, de tal forma que los resultados se pueden dividir en dos. A

69

continuación se muestran los dos tipos de resultados, si se quiere ver más detalle de los resultados

de cada red neuronal, se pueden observar en los anexos.

7.4.1. Resultados obtenidos de los modelos basados únicamente en redes

neuronales.

Como se dijo anteriormente, los resultados se caracterizaron en dos grupos. Para caracterizar este

primer grupo, se van a tomar los valores del primer perceptrón mostrado en los anexos (10.1).

El error promedio obtenido fue de 0.11 para los datos de calibración, este error no es cuadrático,

lo que es bastante alto, en el análisis se mostrará detalles de esto. Este tipo de modelos nunca

tuvieron un error menor a 0.095. A continuación se muestran las gráficas del modelo

anteriormente nombrado, que son muy parecidas a las gráficas de este grupo.

GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior

representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error.

70

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs.

Factor de fricción experimental .

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ecuación 18d

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Datos de la red neuronal Datos experimentales

GRÁFICA C para perceptrón DRN 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook.

71

7.4.2. Resultados obtenidos al utilizar las redes neuronales como una función implícita en el modelo.

Los resultados de este tipo de modelos, sin haber utilizado ningún método de resolución de

ecuaciones implícitas, dieron un error mínimo de 0.017, el cual es ostensiblemente menor que el

del primer grupo de resultados, a continuación se muestran las gráficas representativas de este

grupo.

GRAFICA A para el perceptrón DR 3 233 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea

es el respectivo error.

72

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Ecuación 18c experimental

Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada


1c

Df��

��



cDf��

��

�∈⋅+ experimental.

00.2

0.40.6

0.81

1.21.4

1.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

fa2-3 arregladoExperimental

GRÁFICA C para perceptrón DR 233 datos 3 N. Gráfica de Transición de Colebrook.

73

Este tipo de modelos, se componen de dos partes, los anteriores resultados corresponden a la

primera, en donde el factor de fricción se encuentra aún implícito, por lo que es necesario utilizar

algún método para despejar el factor de fricción. Esto se hizo por medio de un método iterativo y

además por medio del método de Newton-Raphson. A continuación se hace una breve

explicación de cada gráfica para la interpretación de estos resultados para cada tipo de solución

de la ecuación implícita de f.

Gráfica D, en esta gráfica, se muestra a f simulado vs. f experimental, con el resultado del método

iterativo programado en Matlab. Esta gráfica se muestra para algunas corridas no en todas, ya que

en algunas como se explicará más adelante el error obtenido de esta manera puede ser grande, se

grafican los mejores obtenidos.

Gráfica E, muestra la gráfica de transición de Colebrook, obtenida con los factores de fricción

calculados por el método numérico de aproximación. Esta gráfica se muestra para algunas

corridas no en todas, ya que en algunas como se explicará más adelante el error obtenido de esta

manera puede ser grande, se grafican los mejores obtenidos.

7.4.2.1. Resultados obtenidos resolviendo el modelo implícito por medio de un método iterativo simple

El método iterativo utilizado, trata de despejar una f de la ecuación implícita generada por la red

neuronal, dejando al otro lado, una función de f, es decir, se iguala f a una función de f, y de esta

manera se coloca una semilla para el f de la función y se evalúa, hallando un nuevo f, el cual es

nuevamente reemplazado en la función, este procedimiento se repite hasta que se obtiene que el f

evaluado en la función es igual al f que da como resultado de la evaluación.

Este es un método numérico sencillo, y normalmente de buenos resultados, sin embargo hay

ocasiones en que el resultado no es satisfactorio, por lo que además, se utilizó el método de

Newton-Raphson, para casos similares pero con un perceptrón simple, es decir, sin capas ocultas.

74

A continuación se muestran las gráficas obtenidas:

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.0000.005

0.0100.015

0.0200.025

0.0300.035

0.0400.045

f experimental

f sim

ulad

o

GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 3 N (2). f simulado vs. f experimental.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

ExperimentalRed neuronal

GRÁFICA E: Simulación del perceptrón DR 200 3 N (2). Gráfica de transición de Colebrook.

75

Los demás análisis con este método, no son satisfactorios por varias razones que se van a

enumerar en el análisis de resultados.

7.4.2.2.Resultados obtenidos resolviendo el modelo implícito por medio de

Newton-Raphson. Por medio del método numérico de Newton-Raphson, se resolvió el perceptrón DR 200 datos

Red simple. Ya que se quería observar el comportamiento del método aplicado a redes

neuronales, se hicieron diferentes modelos de Newton-Raphson con error admisible distinto, en la

gráfica 6 para este perceptrón se ve claramente cómo es la aproximación lograda por medio del

método de Newton-Raphson.

0.025

0.027

0.029

0.031

0.033

0.035

0.037

0.039

0.025 0.027 0.029 0.031 0.033 0.035 0.037 0.039

f experimental

f sim

ulad

o

GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 datos Red Simple (2). f simulado vs. f

experimental.

77

GRÁFICA 6. Gráfica de Transición de colebrook. Datos de Newton-Raphson con diferentes errores admisibles.

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Gráf. experimental Gráf. simulada error de .0000001Gráf. simulada error de 0.0003 Gráf. simulada error de 0.0001

78

7.4.3. Otros modelos analizados.

Además de los modelos mostrados acá, se estudiaron y analizaron 7 modelos más utilizando el

perceptrón 1 de la figura 6, diferenciada por no sacar la función sigmoidal en la capa oculta, sino

que acá solamente se hace la sumatoria de los pesos por las variables, dando resultados distintos.

Para estos 7 modelos, se utilizó como variable de salida la ecuación 18c, llegándose, al mismo

resultado obtenido en los perceptrones con la misma variable de salida, además, se utilizó

Newton-Raphson, para determinar el valor de f, acá se obtuvieron los mismos resultados que en

el perceptrón del numeral 4.4.26además, para ver el comportamiento de Newton.Raphson, se

utilizaron las variables sin escalar del lnf, lnRe y lnvD, en estos casos, la red neuronal partió los

datos de la transición por la mitad, obteniéndose los mismos resultados que los primeros modelos

basados únicamente en redes neuronales.

Además de estos modelos, se corrieron modelos en donde existían 10 capas ocultas para observar

el comportamiento, se llegó a la conclusión que lo único que cambiaba era la rapidez con que se

bajaba el error a lo mínimo, sin ninguna mejora en este error.

79

7.5. Análisis de los resultados obtenidos en los modelos de redes neuronales Como se sabe la zona de transición es muy compleja y no existe en la actualidad ningún modelo

físico que la represente, como objetivo de este trabajo de grado se tiene hallar un modelo en redes

neuronales y observar si es posible la modelación de la zona de transición por medio de este

método matemático.

En los resultados, se muestra claramente el proceso de prueba de los diferentes modelos, al

principio se identificaron las variables de entrada, las cuales se utilizaron sin ningún tipo de

operación especial, simplemente se escalaron para adaptarlas al tipo de red neuronal, como se

pudo observar, en estos modelos, no fue posible una buena aproximación en la zona de

transición, en donde el error producido por la ecuación de Poiseuille era mayor al 10%, tan sólo

se logró en la zona laminar.

Al observar la gráfica de transición de Colebrook, no existe una buena adaptación de la red a los

datos experimentales, la zona de transición es partida por la mitad, de forma que el factor de

fricción en la transición no cumple con los requerimientos. Esto, es un comportamiento, que

puede ser debido a:

• Las variables necesitan estar como logaritmo de la variable real.

• Falta una variable de entrada.

• Los datos tomados para la red, que incluyen la zona laminar están haciendo que la red

trate de simular esta zona sin tener en cuenta los datos de la transición.

• Los datos utilizados para la calibración no eran todos los puntos extremos para la buena

descripción del factor de fricción en la zona de transición.

Para lograr determinar lo que estaba ocurriendo se prosiguió a descartar cada una de las razones

nombradas anteriormente:

80

• Se eliminaron los datos de la zona de laminar (modelos que utilizaron tan sólo 80 datos)

• Se comenzó a correr modelos que utilizaban todos los datos para calibración, es decir no

existían datos de validación (modelos que utilizaron 233 datos en calibración)

• Se probaron nuevos tipos de variables, en donde se utilizaba el logaritmo natural de la

variable real (perceptrones que tienen como variables de entrada y salida el logaritmo

natural de las variable real).

De estas nuevas alternativas se hicieron combinaciones, es decir 80 datos con logaritmo,200 y

233 datos con o sin logaritmo, entre otras.

Con todos estos nuevos tipos de redes, que tan sólo se diferenciaban por las variables de entrada

y salida, y el número de datos tomados para la calibración, no se tuvieron resultados distintos: la

gráfica de transición de Colebrook, mostraba claramente que los datos de la transición estaban

siendo partidos por la mitad.

Hasta este momento se estaban utilizando, las variables que se consideraban independientes en

una ecuación explícita, sin embargo, si se observa la gráfica de transición de Colebrook, las

funciones que se hagan en este gráfico son implícitas, f se encuentra tanto en las ordenadas como

en las abscisas, este podría ser la razón por la cual, las redes neuronales partían los datos de

transición por la mitad, además el factor de fricción en flujo turbulento, fue descrito por una

ecuación implícita, lo que podría cumplirse también con flujo en la transición.

Por lo anterior, se decidió utilizar en las variables de entrada el factor de fricción, y de esta forma

obtener una gráfica satisfactoria a partir de las redes neuronales. Si se observan los resultados

obtenidos con esta nueva variable independiente, se ve claramente que los datos de transición

están siendo simulados satisfactoriamente, con errores muy bajos, sin importar que se incluyan

los datos de flujo laminar.

81

El modelo anterior, da como resultado una ecuación implícita para f, es decir, es necesario el

valor de f para hallar este mismo valor, lo que es ineficiente e inútil. Para corregir este problema,

se decidió utilizar métodos numéricos para llegar hallar f a partir de una semilla. Aquí, es donde

el resultado de las redes neuronales comienza a ser valioso, ya que a partir de los valores de

Reynolds, rugosidad relativa y una semilla del factor de fricción, se puede llegar a un resultado

interesante. Para lograr que la semilla y el método numérico funcione, se utilizó el modelo de la

red neuronal como una función derivable, y así poder utilizar Newton-Raphson y el otro método

iterativo.

Al utilizar la combinación de Redes neuronales con Newton-Raphson y el otro método numérico,

se encontró que el comportamiento de f no es el mejor si se utiliza una gran aproximación en las

redes neuronales, esto sucede, seguramente, por las propiedades de las aproximaciones numéricas

y el sobre-entrenamiento de las redes neuronales, en donde a medida que hay un mayor

entrenamiento, se tiene una mayor aproximación a los valores observados pero a la vez, para

otros valores (así sean muy cercanos a los observados), se aleja rápidamente el valor real del

valor simulado, al ser así, y emplear métodos numéricos, se tiene el problema que los errores de

ambos métodos se suman, y al hacer la aproximación, no da un valor cercano al observado, y

como resultado de la desviación generada por el sobre-entrenamiento, se tiene un resultado no

satisfactorio.

Por lo anterior, se utilizaron errores en el entrenamiento mayores al mínimo posible, de tal forma

que al utilizar el método numérico, se obtuvieran los mejores resultados en f.

Utilizando la combinación de estos dos métodos, se llegó a valores de f desfasados en un 5% en

promedio respecto al valor real en transición, sin embargo, en la zona laminar, no dio buenos

resultados.

Además de los modelos que se enumeran aquí, se hicieron otros modelos, que no llegaron a un

resultado satisfactorio, mostrando el mismo comportamiento que los primeros modelos

82

generados. Se considera, que las redes neuronales no supervisadas, pueden llegar a dar muy

buenos resultados, ya que estos tienen la propiedad de generar ecuaciones implícitas, que es lo

necesario para tratar la transición.

Con todos lo modelos estudiados e implementados para la descripción del factor de fricción, se

puede ver que la gráfica de transición de Colebrok no fue simulada aceptablemente, pero, al

observar las incertidumbres del experimento llevado a cabo por Sharp y Adrian [1], se considera

que los valores de f simulados, cumplen.

Si se observan los resultados obtenidos por los dos modelos matemáticos: los que usan

únicamente redes neuronales y redes neuronales más método numérico, es claro que el primero

representa los datos de flujo laminar mejor que la segunda, sin embargo en la zona en donde es

necesario el modelo, el segundo tipo de modelo representa mucho mejor los valores

experimentales.

En los primeros modelos el factor de fricción es casi el mismo para los datos de la zona de

transición, lo que no es cierto en la realidad, mientras que el segundo tipo de modelo, sí logra dar

diferentes valores, aproximándose mejor.

83

8. CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TRABAJO FUTURO.

Con esta investigación, se pudo observar claramente que todos los modelos simulados

basados en redes neuronales, al momento de describir la transición, toman un promedio de los

valores, partiendo en dos los datos experimentales de transición, de acuerdo con la gráfica de

transición de Colebrook. Esto se pudo dar por dos posibles causas, la primera, que los datos

experimentales no tengan la confiabilidad necesaria; y la segunda, que falte alguna variable

independiente que no se conozca, haciendo imposible la modelación..

Sin embargo, aunque no se logró una buena modelación con redes neuronales del tipo

backpropagation, utilizando modelos de redes neuronales implícitas complementados por

métodos numéricos para la resolución de funciones implícitas, se puede lograr una mejor

aproximación, para los datos de entrada disponibles para esta investigación.

La implementación del modelo con Newton-Raphson, que da la solución al modelo implícito

de las redes neuronales, no representa los datos del final de la zona laminar

satisfactoriamente, siendo de menor calidad que los modelos explícitos de redes neuronales,

sin embargo, en la zona de transición, se acerca más a los datos experimentales.

En este trabajo de grado solo se probaron redes neuronales de back-propagation supervisadas,

con esta investigación se pudo observar que es probable que al hacer nuevos modelos

utilizando redes neuronales recurrentes y no supervisadas, se logre una mejor aproximación,

ya que estas son más robustas y en cierta forma implícitas, por lo que se puede lograr un

mejor resultado, además, si se tiene una base de datos más amplia, es probable mostrarle a la

red neuronal la tendencia hacia los valores del factor de fricción en flujo turbulento.

84

Por lo anterior se recomienda hacer modelos recurrentes y no supervisados en redes

neuronales, además de ampliar la base de datos, especialmente con valores del factor de

fricción con datos para Reynolds mayores a 2700 .

85

9. BIBLIOGRAFÍA

1. K.V SHARP, R. J. ADRIAN: Transition from laminar to turbulent flow in liquid filled

microtubes. Revista Experiments in Fluids 2004 Vol. 36 pag. 741-747.

2. P. WU AND W. A. LITTLE: Measurement of Friction Factors for the Flow of Gases in Very

Fine Channels Used for Microminiature Joule-Thomson Refrigerators, Revista Cryogenics,

vol. 23, no. 5, pp. 273–277, 1983.

3. N. T. OBOT: Toward a better understanding of friction and heat/mass transfer in

microchannels – A literature review. Revista Microscale Thermophysical Engineering. 2002,

Vol 6 pág. 155-173.

4. STREETER, Victor L.: Handbook of fluid dinamics, McGraw Hill, New York, 1961.

5. CHIEN-YUH YANG, JIUNN-CHI WU, HSIN-TANG CHIEN, y SHU-RU LU: Friction

characteristics of water,r-134a,and air in small tubes. Revista Microscale Thermophysical

Engineering, 7:335–348, 2003.

6. MOTT, Robert L., Mecánica de fluidos aplicada, Ed. Prentice Hall, 1996.

7. STREETER, Victor L.: Mecánica de los fluidos. Ediciones del Castillo, S.A. 1968.

8. HAGAN, Martín T, DEMUTH, Howard B., BEALE, Mark.: Neural network design, Boston,

Massachusetts, PWS, 1996.

9. BISHOP, Christopher M.: Neural Networks for patern recognition, Oxford, Clarendon, 2002.

86

10. MORINI, Gian Luca: Laminar to turbulent flow transition in microchannels, Università degli

Studi di Ferrara, Italia.

11. REN Liqing, LI, Dongqing, QU, Weilin: Electro-Viscous effects on liquid flow in

microchannels, Revista Journal of Coloidal and interface Science Vol. 233, pág 12-22, 2001.

12. PAPAUTSKY, Ian, AMEEL, Tim, FRAZIER, A. Bruno: A review of laminar single phase

flow in microchannels, Proceedings of 2001 ASME International Mechanical Engineering

Congress and Exposition, New York, Noviembre 11-16, 2001.

13. KANDLIKAR, Satish G.: Microchannels – Short history and bright future, Revista Heat

transfer engineering Vol. 24, Número 1 pág. 1-2, 2003.

14. ROY, Subrata, RAJU, Reni, CHUANG, Helen F., CRUDEN, Bret A., MEYYAPAN M.:

Modeling gas flow through microchannels and nanopores. Revista Journal of aplied physics,

Vol 93, Número 8, pág. 4870-4877, 2003.

15. CHOI, Chang-Hwan, WESTIN, Johan A., BREUER, Kenneth S.: Apparent slip flows in

hydrophilics and hydrophobic microchannels, Revista Physics of Fluids, Vol. 15, Número 10,

pág 2897-2902, 2003.

16. CHEN, Yu Tang, KANG, Shung Wen, TUH, Wen Chian, HSIAO, Tsung Hsin: Experimental

investigation of fluid folw and heat transfer in microchannels, Revista Tamkang Journal of

Science and Engineering, Vol. 7, Número 1, pág. 11-16, 2004.

17. MORTENSEN, Niels Asger, OKELS, Fridolin, BRUNS, Henrik: Hagen-Poiseuille flow

revisited: shape-dependence of hidraulic resistance in microchannels, Department of micro

and nanotechnology, bldg. 345 esat Technical University of Denmark, DK-2800Kgs, Lyngby,

Demark. December 2 2004.

87

18. LU, Pau Chang: Introduction to the mechanics of viscous fluids, Series in thermal and fluids

engineering, Editorial Hemisphere, Washington, 1977.

19. SWINNEY, H. L., GOLLUB, J. P. Ed: Hydrodynamic Instabilities and the transition to

turbulence, Libro 45, Serie Topics in Applied Physics, Editorial Swinney, Springer-Verlag,

Berlin Heidelberg, New York, 1981.

20. MCCRACKEN, Daniel D., DORN, William S.: Métodos numéricos y programación fortran :

con aplicaciones en ingeniería y ciencias, Editorial Limusa, México, 1978.

21. APPEL, D. W., ROUSE, Hunter: Advanced mechanics of fluids, Editorial Jhon Wiley, New

York, 1959.

22. SCHLICHTING, Hermann, GERSTEN, Klaus, traducción de MAYERS , Katherine:

Boundary layer theory, Octava edición, Editorial Springer, Belin, New York, 2000.

23. CHIEN-YUH YANG, JIUNN-CHI WU, HSIN-TANG CHIEN, y SHU-RU LU: Friction

characteristics of water,r-134a,and air in small tubes. Revista Microscale Thermophysical

Engineering, 7:335–348, 2003. Copyright © Taylor & Francis Inc.

88

10. ANEXOS

10.1.1. Resultados del Perceptrón DRN 3 200

Épocas 20Función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRN.txt cuadrado del error datos de calibración 1.23E-02cuadrado del error datos de validación 1.14E-02

W1-2

-0.42919 0.43356 -0.76783 0.81799-1.3615 -1.5954 0.03767 0.69262

-0.65434 0.056986 -0.32849 0.29903

W2-3 -0.71972 -0.93889 2.3986 -2.66E-01



89

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o



0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



90


épocas 35función siglog No. de valores utilizados para la calibración 233Archivo de texto DRN.txt cuadrado del error datos de calibración 1.25E-02cuadrado del error datos de validación N/A

W1-2

1.8257 1.0932 -0.2839 -0.032207 0.7805 -0.58265 -1.1222 -0.42769

-0.85165 -1.5611 -0.60268 0.26629

W2-3 0.31613 -1.3359 -0.34284 1.43E+00



91

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o



0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



92

10.1.3. Resultados del Perceptrón lnDRN 3 233


W1-2

1.8257 1.0932 -0.2839 -0.0322070.7805 -0.58265 -1.1222 -0.42769

-0.85165 -1.5611 -0.60268 0.26629

W2-3 0.31613 -1.3359 -0.34284 1.43E+00

GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 3 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior


93

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 3 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal

vs. Factor de fricción experimental .

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón lnDRN 3 233. Gráfica de Transición de Colebrook.

94

10.1.4. Resultados del Perceptrón lnDRN 3 80


W1-2 0.80044 -0.24679 -0.41102 0.21336

-0.62287 0.73658 -0.86899 0.136860.35583 14 893 0.69092 0.53577

W2-3 0.49141 0.29611 -0.41327 -1.23E+04



95

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Ecuación 18d

Ecu

ació

n 18

c

GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 3 80. Factor de fricción simulado por la red neuronal vs.


0.025

0.525

1.025

1.525

2.025

2.525

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



96


épocas 20función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRN.txt cuadrado del error datos de calibración 1.23E-02cuadrado del error datos de validación 0.011093

W1-2

-0.8165 -1.3075 0.5218 1.253 0.18259 0.61473 -0.80429 0.81361 -0.4694 0.34333 -0.39214 0.52237 0.12465 1.3647 0.69706 -0.37904

W2-3 0.27503 1.7783 -1.231 -3.63E-01 -1.06E+00



97

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o



0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



98



W1-2

0.21706 1.2249 1.0428 0.132820.70164 0.35724 -1.0924 0.28768

-0.77297 -1.3056 0.24015 0.9308-0.19261 0.48392 -0.6114 0.25411

W2-3

0.24019 -1.0395 -0.81832 1.72E+00 -6.86E-01 GRAFICA A para el perceptrón DRN 4 233. La línea superior representa el error de los datos de

calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior

99


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o



0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



100

10.1.7. Resultados del Perceptrón DRNL 4 200

épocas 20función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRNL.txt cuadrado del error datos de calibración 1.22E-02cuadrado del error datos de validación 0.011105

W1-2

0.24156 0.19393 0.11955 -0.017183 0.72448-1.5449 -1.4538 0.12504 0.15155 0.65183-1.0121 -1.0347 -0.7663 -0.027801 -0.2698

-0.48235 0.29593 -0.57078 0.24875 0.48378

W2-1 -0.68645 -0.48695 1.6781 8.69E-01 -9.19E-01

GRAFICA A para el perceptrón DRNL 4 200. La línea superior representa el error de los datos

de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea


101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón DRNL 4 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal


0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DRNL 4 200. Gráfica de Transición de Colebrook.

102


épocas 40función siglog No. de valores utilizados para la calibración 233Archivo de texto DRNL.txt cuadrado del error datos de calibración 1.23E-02cuadrado del error datos de validación N/A

W1-2

1.0161 1.5342 0.24619 -0.11781 -0.45803-0.56661 0.6875 0.54173 -0.1597 0.41755 0.33991 -0.61093 0.53681 -0.32373 -0.47825

-0.15679 0.38287 0.10212 -0.052192 0.99582

W2-1 0.57769 -2.2225 -0.17317 9.48E-01 -5.88E-01




103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o



0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



104

10.1.9. Resultados del Perceptrón lnDRNL 4 233

épocas 20función siglog No. de valores utilizados para la calibración 233Archivo de texto lnDRNL.txt cuadrado del error datos de calibración 1.37E-02cuadrado del error datos de validación N/A

W1-2

14 393 11 686 0.67487 0.24583 0.83888-0.47217 -0.23655 0.18012 0.54961 0.543090.62768 10 869 0.1481 -0.27956 -0.096691

-0.19758 -10 003 0.43095 -0.31262 0.94023

W2-1 11 376 -11 289 0.035789 -1.01E+03 2.27E-01

GRAFICA A para el perceptrón lnDRN 4 233. La línea superior representa el error de los datos



105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón lnDRN 4 233. Factor de fricción simulado por la red neuronal


0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



106

10.1.10. Resultados del Perceptrón lnDRNL 4 80

épocas 25función siglog fecha 38470No. de valores utilizados para la calibración 80Archivo de texto lnDRNL.txt cuadrado del error datos de calibración 2.75E-02cuadrado del error datos de validación N/A

W1-2

0.85093 0.78163 0.49794 0.7922 1.0158-0.54253 0.35171 -0.29118 0.45976 1.01440.15816 0 0.087519 -0.62652 -0.036114

-0.11077 -0.92352 0.36003 -0.069666 1.0111

W2-3 -0.1246 -0.24968 0.84791 -3.89E-01 4.02E-02



107

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón lnDRNL 4 80. Factor de fricción simulado por la red neuronal


0.025

0.525

1.025

1.525

2.025

2.525

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón lnDRNL 4 80. Gráfica de Transición de Colebrook.

108

10.1.11. Resultados del Perceptrón DRNLD 4 200

Épocas 18función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRNLD.txt cuadrado del error datos de calibración 1.28E-02cuadrado del error datos de validación 1.09E-02

W1-2

-0.58491 -0.50774 0.99919 0.38832 -0.54387 0.23857 -0.18503 0.47495 -0.10316 -0.59614

-0.67279 -0.75032 -0.030869 0.33162 -0.10133 0.69417 1.5124 0.55706 -0.10366 -0.21482

W2-3

-0.092825 0.49656 0.60989 5.33E-01 -1.88E+00 GRAFICA A para el perceptrón DRNLD 4 200. La línea superior representa el error de los datos



109

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón DRNLD 4 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal


0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DRNLD 4 200. Gráfica de Transición de Colebrook.

110

10.1.12. Resultados del Perceptrón lnDRNLD 4 233

Épocas 20función siglog fecha 23/04/2005No. de valores utilizados para la calibración 233Archivo de texto lnDRNLD.txt cuadrado del error datos de calibración 1.28E-02cuadrado del error datos de validación N/A

W1-2

-0,54398 -0,75426 0,81154 0,19713 -0,90863 -0,80916 -1,2502 -0,1359 -0,21401 0,43045 0,36408 1,1862 0,061904 -0,30547 -0,46564 -0,51305 0,37822 0,5126 0,518 0,84344

W2-1

0,044489 0,73403 1,0246 -1,4521 -0,45113

GRAFICA A para el perceptrón lnDRNLD 4 233. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea


111

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón lnDRNLD 4 233. Factor de fricción simulado por la red

neuronal vs. Factor de fricción experimental .

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón lnDRNLD 4 233. Gráfica de Transición de Colebrook.

112

10.1.13. Resultados del Perceptrón DRNLD 3 200

capas ocultas 1función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRNLD.txt cuadrado del error datos de calibración 1.25E-02cuadrado del error datos de validación 1.13E-02

W1-2

1.2846 0.74297 -0.39847 -0.43139 0.17218 -1.42 -1.6191 -0.54819 0.10989 0.11709

-0.29328 -0.69086 0.5061 -1.2351 0.57723

W2-3 -0.58793 -0.95279 1.6238 5.68E-01

GRAFICA A para el perceptrón DRNLD 3 200. La línea superior representa el error de los datos



113

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón lnDRNLD 3 200. Factor de fricción simulado por la red

neuronal vs. Factor de fricción experimental .

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



114


épocas 18función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRNL.txt cuadrado del error datos de calibración 1.25E-02cuadrado del error datos de validación 1.13E-02

W1-2

1.2846 0.74297 -0.39847 -0.43139 0.17218 -1.42 -1.6191 -0.54819 0.10989 0.11709

-0.29328 -0.69086 0.5061 -1.2351 0.57723

W2-3 -0.58793 -0.95279 1.6238 5.68E-01




115

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón DRNL 3 200. Factor de fricción simulado por la red neuronal


0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.525 1.025 1.525 2.025

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DRNL 3 200. Gráfica de Transición de Colebrook.

116

10.1.15. Resultados del Perceptrón DRN 3 capas ocultas 200

épocas 20función siglog No. de valores utilizados para la calibración 200Archivo de texto DRN.txt cuadrado del error datos de calibración 0.012786cuadrado del error datos de validación 0.011476

W1-2

1.5478 1.1685 0.46412 0.49242-0.14668 1.3955 0.59695 -0.357280.14217 -0.14847 0.43961 -0.76823

-0.072303 -0.5787 0.9478 -0.41565

W2-3 0.82706 1.2333 0.96045 -0.83554 -0.806861.0696 -1.6912 -1.5028 -1.95E-01 2.58E-02

0.15106 -1.2657 -1.2878 6.59E-01 -2.27E-01

W3-4 -0.14603 -1.5737 1.1895 1.26960.35056 0.9388 -1.3611 -1.40460.6811 0.35275 0.59883 0.47978

W4-5

-0.43025 2.3429 -1.9653 5.29E-01

117

GRAFICA A para el perceptrón DRN 3 capas ocultas 200. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y

la línea es el respectivo error.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f experimental

f sim

ulad

o

GRAFICA B para el perceptrón DRN 3 Capas Ocultas 200. Factor de fricción simulado por la

red neuronal vs. Factor de fricción experimental .

118

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

1.225

1.425

1.625

1.825

2.025

0.025 0.225 0.425 0.625 0.825 1.025 1.225 1.425 1.625 1.825

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Datos red neuronal Datos experimentales


Los perceptrones mostrados de aquí en adelante, tienen la característica de tener como variable

independiente f , lo que hace a estas redes neuronales ser distintas a las pasada, además, la

variable dependiente es la ecuación 18c, en el análisis de los resultados, se explica claramente

cuál es la lógica de estos resultados y la razón por la cual es necesario el uso de un método

numérico para hallar f.

Para estos perceptrones es necesario, mostrar además de las gráficas A y B ya descritas, las

siguientes gráficas:

Gráfica D, en esta gráfica, se muestra a f simulado vs. f experimental, con el resultado del método

iterativo programado en Matlab. Esta gráfica se muestra para algunas corridas no en todas, ya que

en algunas como se explicará más adelante el error obtenido de esta manera puede ser grande, se

grafican los mejores obtenidos.

119

Gráfica E, muestra la gráfica de transición de Colebrook, obtenida con los factores de fricción

calculados por el método numérico de aproximación. Esta gráfica se muestra para algunas

corridas no en todas, ya que en algunas como se explicará más adelante el error obtenido de esta

manera puede ser grande, se grafican los mejores obtenidos.

120

10.1.16. Resultados del Perceptrón DR 233 datos 3 N

W 1-2

-1.0958000 -0.6901100 0.2017500 0.9817100 0.4080000 -0.1472100 1.2271000 0.2079900

-2.0213000 0.1299600 -0.0486740 3.3225000

W 2-3 2.0741000 -1.0866000 2.3096000 -3.6139000

Error validación N/A error calibración 0.0013025épocas 80Archivo de texto transcole233.txt

GRAFICA A para el perceptrón DR 3 233 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea


121

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada


cDf��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental.

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Datos simuladosDatos experimentales


122


W 1-2 1.3907000 0.4241300 0.0912610 -1.7491000

-0.7408400 0.0519140 -0.8071500 0.6657600 0.3017700 0.2613200 0.8073100 0.0406030

W 2-3

0.5044900 2.2845000 -1.8864000 0.5373200 Error validación 0.0042566 error calibración 0.0049491 épocas 35 Archivo de texto transcolerandom233.txt

GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos 3 N. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea


123

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación


1c

Df��

��



cDf��

��

� ∈⋅+ experimental

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

CalibraciónExperimentalesValidación


124


W 1-2 -2.6071000 -0.0341660 -0.4438500 2.8626000

W 2-3 2.5787000 -4.8384000 0.0000000 0.0000000

Error validación N/A error calibración 0.00055569 épocas 85 Archivo de texto transcolerandom233.txt



125

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación


1c

Df��

��



cDf��

��


00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Calibración Experimentales Validación


126

10.1.19. Resultados del Perceptrón DR 200 datos 3 N (2)

W 1-2

-0.4766900 0.3764100 -0.5293600 -1.8399000 -0.5671000 0.1538800 -1.1864000 -0.2828000 1.7367000 -0.0230100 0.1778300 -2.8176000

W 2-3

-0.1270600 1.2827000 -1.9782000 3.2214000 Error validación N/A error calibración 0.001268épocas 50Archivo de texto transcolerandom233.txt

GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos 3 N(2). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea

inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error.

127

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación

GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos 3 N (2). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos 3 N(2). Gráfica de Transición de Colebrook.

128


W 1-2 2.1822000 0.1210900 0.0192440 -2.9849000

-1.6408000 0.0520430 -0.4141100 1.6551000 0.5785500 -0.4428200 0.9312100 -0.0595930

W 2-3

-0.2370400 3.4957000 -3.4756000 0.9083000 Error validación N/A error calibración 0.0003093épocas 200Archivo de texto transcolerandom233.txt



129

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

GRAFICA B para el perceptrón DR 233 datos 3 N(2). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��


00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



130


W 1-2 1.8372000 0.0529790 0.1612500 -2.7678000

-1.2523000 0.0011070 -0.3337800 1.6523000 0.4342800 -0.0804340 0.7746800 -0.1092700

W 2-3

0.1698800 3.3053000 -2.9722000 0.7730900 Error validación N/A error calibración 0.00056906épocas 50Archivo de texto transcolerandom233.txt



131

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación

GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos 3 N(3). )18(ln86.0

1c

Df��

��



cDf��

��


00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)



132


W 1-2 1.6706000 0.1092300 0.0921230 -3.3726000

-0.5215600 0.3390200 -1.1009000 0.7144100 0.2173400 0.5426900 0.5624200 0.6526000

W 2-3

0.5463300 3.8185000 -2.0275000 -0.2637100 Error validación N/A error calibración 0.001207402 épocas 105 Archivo de texto transcole80.txt



133

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada


1c

Df��

��



cDf��

��


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Calibración Experimentales


134

10.1.23. Resultados del Perceptrón DR 200 datos Red Simple

W 1-2 2.2555000 0.1460100 0.4375600 -1.7485000

Error validación 0.0023721 error calibración 0.002593 épocas 15 Archivo de texto transcolerandom233.txt

GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos Red Simple. La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y

la línea es el respectivo error.

135

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación

GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos Red Simple. )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ simulado por la

red neuronal vs. )18(ln86.01

cDf��

��


00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 0.5 1 1.5 2Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos Red Simple. Gráfica de Transición de Colebrook.

136

10.1.24. Resultados del Perceptrón DR 200 datos Red Simple (2)

W 1-2 2.7011000 0.0668210 0.4471700 -2.5558000

Error validación 0.00101266error calibración 0.00095637épocas 25Archivo de texto transcolerandom233.txt

GRAFICA A para el perceptrón DR 200 datos Red simple(2). La línea superior representa el error de los datos de calibración (si sólo existe una línea, esta res la misma línea superior). La

línea inferior representa el error de validación. En la ordenadas, está el número de entrenamiento, y la línea es el respectivo error.

137

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2


Ecu

ació

n 18

c si

mul

ada

Calibración

Validación

GRAFICA B para el perceptrón DR 200 datos Red Simple(2). )18(ln86.0

1c

Df��

��

� ∈⋅+ simulado por

la red neuronal vs. )18(ln86.01

cDf��

��


138

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.21.4

1.61.8

2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)


GRÁFICA C para perceptrón DR 200 datos Red Simple(2). Gráfica de Transición de Colebrook.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.2 0.7 1.2 1.7

Ln(Re*�/D*f^0.5)

1/f^

0.5+

0.86

ln(�

/D)

Gráf. ecperimentalGráf. simulada

GRÁFICA D: Simulación del perceptrón DR 200 datos Red Simple (2). Gráfica de transición de

Colebrook. )18(ln86.01

cDf��

��

� ∈⋅+

trabajo de grado - · pdf filetrabajo de grado para optar por el título de ingeniero...

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