TRABAJO DE ESTATICA

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN 3 DIMENSIONES

PRESENTADO POR:

JOCSAN ALTAMAR

DAYHANNA PABON

MELISSA PEREZ

PRESENTADO A:

Ing. ARMADO ROBLEDO

GRUPO:

AN

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE

UAC.

ABRIL 15 DEL 2012

1. Una torre está sostenida por los cables AB y AC. Un trabajador amarra una cuerda de 12 m de longitud a la torre en A y ejerce una fuerza constante de 160 N sobre la cuerda, determine: a. Exprese la tensión en cada cable como una función de θ si la resultante de las

tensiones en los cables y en la cuerda está dirigida hacia abajo.

b. Grafique la tensión en cada cable como una función de α para 0⁰ ≤ θ ≤ 180⁰, y a partir de la grafica determine el rango de los valores θ para los cuales los cables permanecen en tensión.

Solución:

Grafica de la torre en CAD

Dibujo de la torre asistido por computador (CAD) nótese algo, se usara el diagrama inicial del presente trabajo con el fin de trabajar con las condiciones iníciales, debido a que el software trabaja con isometría SO, SE, NO, NE y no tiene la isometría dada por el ejercicio

DCL:

Longitud de la cuerda AD: 12 m

TD/A= 160 N

Determinamos coordenadas de los puntos: A = (0 m, 12 m, 0 m) B = (-12 m, 0 m, -6 m) C= (4 m, 0 m, -3m)

Determinamos componentes de la tensión TB/A

TB/A = 𝑇₁ −12 𝒊 − 12 𝒋 −6𝒌

122+122+ 62

TB/A = 𝑇₁ −12 𝒊 − 12 𝒋 −6𝒌

324

TB/A = 𝑇₁ −12 𝒊 − 12 𝒋 −6𝒌

18

TB/A = 𝑇₁ −0.66𝒊 − 0.66𝒋 − 0.33𝒌

TB/A = −0.66𝑇₁𝒊 − 0.66𝑇₁𝒋 − 0.33𝑇₁𝒌

Determinamos componentes de la tensión TC/A

TC/A = 𝑇₂ 4 𝒊 − 12 𝒋 −3𝒌

42+122+ 32

TC/A = 𝑇₂ 4 𝒊 − 12 𝒋 −3𝒌

169

TC/A = 𝑇₂ 4 𝒊 − 12 𝒋 −3𝒌

13

TC/A = 𝑇₂ 0.30𝒊 − 0.92𝒋 − 0.23𝒌

TC/A = 0.33𝑇₂𝒊 − 0.92𝑇₂𝒋 − 0.23𝑇₂𝒌

Determinamos componentes de la tención TD/A en función de 𝛉:

TD/A = T3 T3 = 160 N

𝑇𝑦 = 160 𝑁 cos 300 = 138.56 𝑁

𝑇 ′ = 𝟏𝟔𝟎 𝑵 𝒔𝒊𝒏30⁰ = 80 𝑁 , pero como:

T’ =

T3 = 80 𝑁 cos 𝜃⁰ 𝒊 − 138.56 𝑁𝒋 + 80 𝑁 sin 𝜃⁰𝒌

160 N= 80 𝑁 cos 𝜃⁰ 𝒊 − 138.56 𝑁𝒋 + 80 𝑁 sin 𝜃⁰𝒌

Pero recuerde que:

T’ = 𝑇₃𝑠𝑖𝑛 30⁰ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑇₃ 𝑠𝑖𝑛 30⁰ 𝑠𝑖𝑛 𝜃

80 𝑁 = 80 𝑁 cos 𝜃𝒊 + 80 𝑁 sin 𝜃𝒌

80 𝑁 = 80 𝑁(cos 𝜃𝒊 + sin 𝜃𝒌)

80 𝑁

80 𝑁= cos 𝜃𝒊 + sin 𝜃𝒌

1 = cos 𝜃𝒊 + sin 𝜃𝒌

𝑇₃𝑧 = 𝑇₃ sin 30⁰ sin 𝜃

𝑇₃𝑥 = 𝑇₃ sin 30⁰ cos 𝜃

Vectors tensions:

T1 = −0.66𝑇₁𝒊 − 0.66𝑇₁𝒋 − 0.33𝑇₁𝒌

T2 = 0.33𝑇₂𝒊 − 0.92𝑇₂𝒋 − 0.23𝑇₂𝒌

T3 = 80 𝑁 cos 𝜃⁰ 𝒊 − 138.56 𝑁𝒋 + 80 𝑁 sin 𝜃⁰𝒌

Summitries de furze’s

𝐹𝑥 = − 0.66𝑇₁ + 0.30𝑇₂ + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0 (1)

𝐹𝑦 = − 0.66𝑇₁ − 0.92𝑇₂ − 138.56 𝑁 = 𝑅𝑦 (2)

𝐹𝑧 = − 0.33𝑇₁ − 0.23𝑇₂ + 80 𝑁 sin 𝜃 = 0 (3)

Despejamos T1 en 1

−0.66𝑇₁ + 0.30𝑇₂ + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0

0.66𝑇₁ = 0.30𝑇₂ + 80 𝑁 cos 𝜃

𝑇₁ = 0.30𝑇₂ + 80 𝑁 cos 𝜃0

0.66

𝑇₁ = 0.45𝑇₂ + 121.21 𝑁 cos 𝜃 (4)

Despejamos T₂ en 3

−0.33𝑇₁ − 0.23𝑇₂ + 80 𝑁 sin 𝜃 = 0

0.23𝑇₂ = − 0.33𝑇₁ + 80 𝑁 sin 𝜃

𝑇₂ = 80 𝑁 sin 𝜃 − 0.33𝑇₁

0.23

𝑇₂ = 347.8 𝑁 sin 𝜃 − 1.43𝑇₁ (5)

Remplazamos T2 en la ecuación 1

−0.66𝑇₁ + 0.30𝑇₂ + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0

−0.66𝑇₁ + 0.30( 347.8 𝑁 sin 𝜃 − 1.43𝑇₁) + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0

−0.66𝑇₁ + 104.34 𝑁 sin 𝜃 − 0.429 𝑇₁ + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0

−1.089𝑇₁ + 104.34 𝑁 sin 𝜃 + 80 𝑁 cos 𝜃 = 0

1.089𝑇₁ = 104.34 𝑁 sin 𝜃 + 80 𝑁 cos 𝜃

𝑇₁ = 104.34 𝑁 sin𝜃 + 80 𝑁 cos 𝜃

1.089

𝑇₁ = 95.81 𝑁 sin 𝜃 + 73.46 𝑁 cos 𝜃

Remplazamos T1 en la ecuación 3

0.33𝑇₁ − 0.23𝑇₂ + 80 𝑁 sin𝜃 = 0

0.33( 0.45𝑇₂ + 121.21 𝑁 cos 𝜃 ) − 0.23𝑇₂ + 80 𝑁 sin 𝜃 = 0

0.148𝑇₂ + 39.99 𝑁 cos 𝜃 − 0.23𝑇₂ + 80 𝑁 sin 𝜃 = 0

−0.082𝑇₂ + 39.99 𝑁 cos 𝜃 + 80 𝑁 sin 𝜃 = 0

0.082𝑇₂ = 39.99 𝑁 cos 𝜃 + 80 𝑁 sin 𝜃

𝑇₂ = 39.99 𝑁 cos 𝜃 + 80 𝑁 sin 𝜃

0.082

𝑇₂ = 487.68𝑁 cos 𝜃 + 975 𝑁 sin 𝜃