TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

GRUPO Nº 301301_247

LUCERO GUTIERREZ AUNCA – 1121839652ERIK YOVANNY LOZANO - 1121894539

HAROLD IVÁN GÓMEZDIANA MARÍA RODRÍGUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICAABRIL DE 2015

INTRODUCCIÓN

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

Ejercicio 1

Desarrollado por: Lucero Gutiérrez

1. De la siguiente elipse 4x2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0. Determine:

4 x2+ y2−8x+4 y−8=0

f ( x )=4 x2+ y2−8 x+4 y−8=04 (x2−2x+1 )+( y2+4 y+4 )−8−4−4=0

4 (x−1)2+( y+2)2=16

Se divide por 16:

( x−1 )4

2

+( y+2 )16

2

=1

Esta es una elipse con eje vertical principal de forma estándar:

(xh) ^ 2 / b ^ 2 + (yk) ^ 2 / a ^ 2 = 1 (a> b), con (h, k) ser el (x, y) las coordenadas del centro.

a) Centro: (1, -2) a ^ 2 = 16 a = 4 longitud de eje mayor = 2a = 8 

b) Vértices: (1, -2 ± a) = (1, -2 ± 4) = (1, -6) y (1,2) b ^ 2 = 4 b = 2 c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 = 16-4 = 12 c√12

c) Focos: (1, -2 ± c) = ( 1, -2 ± √12) = (1,1.46) y (1, -5,46)

Geogebra

Ejercicio 2

Desarrollado por: Lucero Gutiérrez

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Deducimos lo siguiente:

(x-h)^2/b^2 + (y-k) ^2/a^2 = 1

El centro de la elipse es el punto medio entre los vértices: M= (3,1) (3.9) = [(3+3)/2, (9+1)/2]M = (3,5)

El centro está en (3,5) 

Eje menor = 2b = 6 b = 3

Eje mayor = d (3,1) (3,9) √ (3-3) ^2 + (9 -1) ^2 = √64=8 2a= 8 a = 4

Ahora reemplazamos en la ecuación:( x−3 )9

2

+( y−5 )16

2

=1

Centro: (3,5) Foco: (3, -8.22876) y (3, 18.2288)Vértice: (3,-11) y (3,21)

Geogebra

Ejercicio 3

Desarrollado por: Diana María Rodríguez

De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determine: a) Centro: b) Focos: c) Vértice:

Partimos de la ecuación general y separamos los términos en x y en y

4 x2– 9 y2 –16 x –18 y –29=0

4 (x2−4 x )−9 ( y2−2 y )=29

Completamos cuadrados dentro de los paréntesis y adicionamos los mismos valores, multiplicados por el factor, en el lado derecho:

4 (x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=29+16−9

Factorizamos los términos dentro de los paréntesis:

4 (x−2)2−9 ( y+1 )2=36

Dividimos cada término de la ecuación por 36:

4 ( x−2 )2

36−9 ( y+1 )2

36=3636

( x−2 )2

9−

( y+1 )2

4=1

De donde:a) Centro: (2 ,−1)

a2=9a=3 b2=4 b=2 c2=a2+b2 c2=9+4=13 c=√13

La hipérbola es horizontal, de manera que los focos tienen la misma coordenada en y que el centro:

b) Focos: (2−√13 ,−1 )(2+√13 ,−1)c) Vértices: (2−3 ,−1 )(2+3 ,−1) es decir (−1 ,−1 )(5 ,−1)

Geogebra

Ejercicio 4.

Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano

Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).

Solución.

Tomando la información dada de los vértices:V 1(1 ,11) y V 2(1 ,−15)

Se halla las coordenadas del centro:

h=1; k=11−152

=−2

C (1 ,−2)

Ahora con la información de los focos:F1 (1,12 ) y F2(1 ,−16)

Se calcula la distancia focal:f=Dist (F1 ,C )=12−(−2 )=14

Por tanto la longitud del semieje mayor:b=Dist (V 1,C )=11−(−2 )=13

b2=169

La longitud del semieje menor:

a2=f 2−b2=142−132=27

De lo anterior se deduce la siguiente ecuación canónica de la hipérbola:

( y−k )2

b2−

( x−h )2

a2=1

Reemplazando valores:

( y+2 )2

169−

( x−1 )2

27=1

Comprobando con geogebra con ayuda del comando Hipérbola [F, G, a], Centro [<Cónica>], Foco [<Cónica> ] y Vértices[ <Cónica> ] nos arroja los siguientes resultados

Geogebra.

Ejercicio 5

Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano

Demostrar que la ecuación x2+ y2– 8 x−6 y=0es una circunferencia. Determinar:

a. Centro

b. Radio

SOLUCION

x2+ y2– 8 x−6 y=0

Completando los cuadrados

x2– 8 x+16+ y2−6 y+9=16+9

( x−4 )2+( y−3 )2=25

( x−4 )2+( y−3 )2=52

Luego el centro de la circunferencia se encuentra en:

C :(4,3)

Y el radio es:

r=5

Geogebra

Ejercicio 6

Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano

De la siguiente parábola – y2+12 x+10 y – 61=0. Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

SOLUCION

– y2+12 x+10 y – 61=0

Ordenando y completando el cuadrado

12 x – 61+25= y2−10 y+25

12 x –36=( y−5 )2

12(x – 3)=( y−5 )2

Esto nos indica que es una parábola que tiene por eje de simetría el eje x=3 y que es una parábola abierta hacia el lado positivo del eje x.

a)

Como es una parábola con vértice (h,k) su vértice está en (3, 5)

V=(3,5)

b)

Para determinar el foco se sabe que

4p=12 → p=3

Por lo que el foco será: (3+3, 5)= (6,5)

F=(6,5)

c)

Y la directriz será D=h-p=3-3=0

x=0

Geogebra

Ejercicio 7

Desarrollado por: Diana María Rodríguez

Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas: pasa por (1 ,7); paralela a la recta que pasa por (2 ,5) y (−2 ,1).

Primero debemos determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2 ,5) y (−2 ,1) ya que al ser la otra recta paralela, tendrá la misma pendiente

m=y2− y1x2−x1

m= 1−5−2−2

m=−4−4

m=1

Con la pendiente obtenida aplicamos la ecuación punto pendiente con el otro punto dado:

y− y1=m(x−x1)

y−7=1(x−1)

y−7=x−1

y=x−1+7

La ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas es:

y=x+6

Geogebra

Ejercicio 8

Desarrollado por: Harold Iván Gómez

8. Calcular las siguientes sumatorias.

A) ∑i=1

300

2 i= 2∑i=1

300

i=2[ 300(301)2 ]=90300

B) ∑i=1

3

(2 i+1)2= ∑i=1

3

¿¿¿

4[3 (4)(7)6 ]+4[ 3(4 )2 ]+356+24+3=83

Geogebra

Ejercicio 9

Desarrollado por: Diana María Rodríguez

Calcular las siguientes productorias:a)

∏i=−1

4

3 i+7

Realizando la expansión:

∏i=−1

4

3 i+7= [3 (−1 )+7 ]∗[3 (0 )+7 ]∗[3 (1 )+7 ]∗[3 (2 )+7 ]∗[3 (3 )+7 ]∗[3 (4 )+7 ]

∏i=−1

4

3 i+7= (−3+7 )∗(0+7 )∗(3+7 )∗(6+7 )∗(9+7 )∗(12+7 )

∏i=−1

4

3 i+7= (4 )∗(7 )∗(10 )∗(13 )∗(16 )∗(19)

∏i=−1

4

3 i+7=1106560

Geogebra

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÍAS