Teorema de Tales

Prof.: Silvia Beatriz Ambroselli

Matemática

2do año

Ciclo Básico

Escuela Secundaria

de modalidad Técnica Nº 527

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Cuando miramos a nuestro alrededor o salimos a dar un paseo y en

especial cuando vamos de vacaciones, apreciamos en cada

paso que damos la cantidad de cosas que representan figuras o formas 

geométricas, sean regulares o irregulares. El conocimiento

geométrico básico es indispensable para desenvolverse en nuestra vida

cotidiana para orientarse reflexivamente en el espacio, como para hacer estimaciones de alturas, distancias a veces inaccesibles. Tal es el caso que podemos calcular la

altura de monumentos, edificios, puentes, etc. Hoy existe la tecnología

adecuada para realizar estas mediciones, entonces nos

preguntamos:

¿Cómo medían en la antigüedad? ¿Qué elementos

se utilizaban?

http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcThlx1uieriUNtaebfn_mLeZV03wcLLRm6mV44FWAThirMvDEWH

http://img230.imageshack.us/img230/8647/06torrerepsolypf119uo.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Monumento_hist%C3%B3rico_nacional_a_la_Bandera

http://www.hidro.gov.ar/ImagenesN/FotosFaros/FPuntaMogotes.jpg

Es entonces cuando también surge la pregunta: ¿Quién fue el primero en medir la altura de este tipo de construcciones?

Se cuenta que el filósofo y matemático griego , Tales de Mileto, pudo calcular la altura de la pirámide de Keops con la proyección de su sombra y la ayuda de una estaca, mediante la relación de triángulos semejantes conocida como el Teorema de Tales: "La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.".

De donde dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura."

http://matemativerso.files.wordpress.com/2010/01/piramide-tales.jpg

Rayos solares

Pirámide

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierralos triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra

Podemos, por tanto, establecer la proporción

HS

= hs

De donde H= h•Ss

y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes

Entonces, expliquemos lo que dedujo Tales:

Y ahora

El famoso Teorema de

Tales

T S

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales

determinados por las paralelas, son proporcionales”

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3

L1

L2

L3

, T y S transversales,

los segmentos a, b, c y d son proporcionales

Es decir:

aa

bb=

cc

dd

¿DE ACUERDO?

L1

L2

L3

T

S

8

24

x15

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida deltrazo x

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales

Es decir: 824 =

X

15

Y resolvemos la proporción

24 • x = 8 • 15

X =8 • 15 24

X = 5

¿Fácil no?

Veamos un ejemplo:

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD

Formamos la proporción

32 = x+4

x+1

Resolvemos la proporción

3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x= 8 - 3

X=5

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

Veamos otro ejemplo:

Y nuevamente pensando en la pirámide…..TRIÁNGULOS DE  THALES

Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.  

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide

Triángulos de Tales

En dos triángulos de Tales, sus lados, tienen la

misma razón  de semejanza 

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AEAB

=ED

O también

AEED

= AB

BC

BC

A esta forma de tomar los trazos, se le llama

“la doble L”

Aplicaciones de esta idea

Calcula la altura del siguiente edificio

x

5

3 12

Escribimos la proporción

35

=15x

Y resolvemos la proporción

3 • x = 5 • 15

x = 75 3

X = 25

Por que 3+12=15

Otro ejercicio

En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE

AB

C

x+3 x

8

12D

E

Formamos la proporción

8 X+3

= 122x+3

Resolvemos la proporción

Por que x+3+x = 2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24

4x = 12

X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

Sombra 12 m. Sombra 5 cm.

25 c

m.

Botella

Torre

X

1. Una torre tiene una sombra de 12 metros Al mediodía, mientras que una botella de 25 cm. Proyecta una sombra de 5 cm. a la misma hora. ¿Cuánto mide la torre?

a) 50 m b) 60 m c) 65 m

2. Calcular la altura de la persona de acuerdo a los datos del gráfico.

a) 1,8 cm

b) 1,9 m

c) 180 cm

Resuelve problemas con tu grupo?

4. Calcular el ancho del rio de acuerdo a los datos adjuntos del gráfico.

3. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

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