tp n°2 mym daniel

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional de Córdoba

Ingeniería Industrial – Curso 4D1

Mecánica y Mecanismos Trabajo Práctico n°2

Análisis cinemático de mecanismos con movimiento plano

TRABAJO PRÁCTICO N°2: ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MONIMIENTO PLANO

Ejercicio n° 1:

El engranaje doble de la siguiente figura, rueda sobre la cremallera inferior que no se mueve.

Determinar:a) La velocidad angular del engranajeb) Las velocidades de la cremallera R y del punto D del engranaje.

Grupo n°6: Pinchiroli Paira, Sabrina (50664)/ Vázquez, Daniel (44891) 1





Resolución del ejercicio:

Datos: vA=1,8m /s r1=210mm r2=140mm

a) Cálculo de la velocidad angular del engranaje :

Desplazamiento de translación X A del engranaje:

X A

2π r1=−θ2π

Por lo tanto

X A=−θ2 π

∙2π r1

X A=θ r1

Velocidad angular del engranaje:

vA=r1 ∙ω

Por lo tanto

ω=v A

r1

ω= 1,8m /s210×10−3m

ω=8,57 rads

2Grupo n°6: Pinchiroli Paira, Sabrina (50664)/ Vázquez, Daniel (44891)





ω=8,57 rads

La velocidad angular del engranaje es un vector cuya magnitud es de -8,57 rad/s, su dirección es perpendicular al plano formado por el vector velocidad en A (vA) y el vector de posición o radio r1 del engranaje. Y por último, el sentido del vector ω es hacia adentro de del plano anteriormente mencionado.

En el cálculo utilizamos el radio r1 porque es el punto de referencia fijo del movimiento.

b) Cálculo de la velocidad de la cremallera superior R

vR=vB=v A+v B/ A

vR=vB=v A ∙ i+ω∙k ×rB/ A ∙ j

vR=vB=(1,8ms ) ∙i+(−8,57 1s )∙ k × (140×10−3m )∙ j

vR=vB=(1,8ms ) ∙i+(1,2ms ) ∙i

vR=vB=(3ms ) ∙i

vR=vB=3ms

La velocidad de translación de la cremallera superior R es igual a la velocidad de translación del punto B del engranaje de radio r1 en ese instante. Además, la magnitud de ésta es igual a 3m/s, su dirección es tangencial al engranaje en el punto B, y su sentido es el del eje cartesiano × positivo.






Cálculo de la velocidad de translación del punto D del engranaje:

vD=v A+vD /A

vD=v A ∙ i+ω∙k×rD /A ∙ j

vD=(1,8 ms )∙ i+(−8,57 1s ) ∙ k × (210×10−3m )∙ j

vD=(1,8 ms )∙ i+(1,8 m

s ) ∙i

vD=(3,6 ms ) ∙i

vD=3,6ms

La velocidad de translación del punto D del engranaje de radio r1 tiene una magnitud de 3,6 m/s, su dirección está dada por un ángulo de 45°, y sentido positivo.

Para ilustrar de manera más correcta los cálculos realizados en la resolución del ejercicio, le presentamos una serie de gráficos que muestran ese cálculo.

El análisis cinemático de este mecanismo con movimiento plano llamado de rodadura se procede a través de la adición del movimiento de translación y movimiento de rotación de dicho mecanismo, en este caso el de dos cremalleras y dos engranajes.

Observémoslo a continuación:






Ejercicio n° 2:

En el sistema biela manivela de la figura, la manivela tiene una velocidad angular constante de 1500 rpm en el sentido de las agujas del reloj.

Determinar, para la posición de la manivela que se indica:a) Velocidad angular de la biela b) Velocidad del émbolo.


Datos: ωAB=−1500 rpm(tiene el sentido de las agujas del reloj) r=4∈¿ l=10∈¿

a) Cálculo de la velocidad angular de la biela:

Primero hacemos el cambio de unidades correspondiente

ωAB=[−1500 revmin ]∙ [ 1min

60 seg ] ∙[ 2πrad1 rev ]5

Grupo n°6: Pinchiroli Paira, Sabrina (50664)/ Vázquez, Daniel (44891)





ωAB=−157,08 [ revseg ]

Luego calculamos la velocidad de translación del punto B de la manivela AB que gira en sentido de las agujas del reloj, alrededor de un eje que pasa por el punto A y cuya velocidad angular y radio son conocidos:

vB=r ∙ωAB

vB=4 [ ¿ ] ∙157,08 [ revs ]

vB=628,32 [ ¿s ]






Finalmente hacemos el cálculo de la velocidad angular de la biela BD que gira en sentido contrario a las agujas del reloj, alrededor de un eje que pasa por el punto D, basándonos en la definición:

vB=r ∙ωBD

Y en el valor obtenido anteriormente vB, que también es la velocidad de translación del punto B (punto en común entre la manivela y la biela), teniendo en cuenta que en este caso r=l. Entonces:

ωBD=vB

l

ωBD=628,32 [¿/s ]10 [¿ ]

ωBD=62,83[ rads ]Cálculo de la velocidad del émbolo P:

Para resolver este punto decidimos describir el movimiento plano que realiza la biela, considerándolo como el resultado de la adición del mivimiento de translación y rotación que realiza ésta. Observémoslo:






Cálculo de los ángulos planteados en las gráficas anteriores:

Lamamos β al ángulo que forma el eje cartesiano × negativo y la biela. Para calcularlo nos basamos en el Teorema del Seno:

lsin 45 °

= rsin β

Despejando β:

β=arc sin[ r ∙ sin (45 ° )l ]

β=arc sin {4 [¿ ] ∙ sin (45 ° )10 [¿ ] }

β=16,43 °

Por deducción entendemos que el ángulo formado por la velocidad de translación vD /B y el eje cartesiano “y” positivo es igual a β, por lo tanto, el ángulo formado por los vectores vD y vD /B es igual a:

α=90 °−βα=90 °−16,43°α=73,57 °






Ahora bien, para determinar finalmente la velocidad de translación del émbolo, o sea, la del punto P, nos basamos en la definición:

vD=v B+vD /B

Gráficamente y en base a los ángulos calculados:

Donde el ángulo determinado por los vectores vB y vD /B fue calculado por la suma de los ángulos interiores de un triángulo:

45 °+73,57 °+γ=180 °

Por lo tanto






γ=61,43 °

Por último, planteamos nuevamente el Teorema del Seno basándonos en la gráfica anterior:

vD

sin (61,43° )=

vD /B

sin (45 ° )=

vB

sin (73,57 ° )

Despejando vD:

vD=vB ∙ sin (61,43° )sin (73,57 ° )

vD=628,32 [¿/ s ] ∙sin (61,43 ° )

sin (73,57 ° )

vD=575,30[ ¿s ]

Despejando vD /B :

vD /B=v B ∙sin (45° )sin (73,57 ° )

vD /B=628,32 [¿/s ] ∙ sin (45 ° )

sin (73,57 ° )

vD /B=463,20[ ¿s ]






La velocidad de translación del punto D que acabamos de calcular es la velocidad con la que se translada el émbolo en su movimiento alternativo y rectilíneo. Por lo que concluímos en que:

Velocidad del émbolo=v P=vD=575,30[ ¿s ]

Ejercicio n°3:

La rueda dentada A rota con una velocidad angular de 120 rpm en el sentido de movimiento de las agujas del reloj. Sabiendo que la velocidad angular del brazo AB es de 90 rpm en el sentido de movimiento de las agujas del reloj, determinar la velocidad angular correspondiente a la rueda dentada B.







Datos: ωA=120 rpm↻ ωAB=90 rpm↻ r A=178mm r B=254mm

Cálculo de la velocidad angular correspondiente a la rueda dentada B:






Para ello comenzamos por realizar los cambios de unidades correspondientes

ωA=[120 revmin ] ∙[ 1min

60 seg ] ∙[ 2 πrad1 rev ]ωA=12,57 [ radseg ]↻

ωAB=[90 revmin ] ∙[ 1min

60 seg ] ∙[ 2 πrad1rev ]ωAB=9,42[ radseg ]↻

Luego realizamos el cálculo de la velocidad de translación del punto A de la rueda dentada cuyo radio es igual a r A=178mm

vA=r A ∙ωA

vA=178×10−3 [m ] ∙12,57 [ rads ]

vA=2,24 [ ms ]

La velocidad de translación del brazo AB en ese instante es igual a:

vAB=bAB ∙ωAB

vAB=[r A+rB ] ∙ωAB

vAB=(178×10−3+254×10−3 ) [m ] ∙9,42[ rads ]13






vAB=(178×10−3+254×10−3 ) [m ] ∙9,42[ rads ]vAB=4,07 [ms ]

Ahora, basándonos en la definición:vA=vB+v AB

Podemos decir que:

vB=v A−v AB

vB=2,24 [ ms ]−4,07 [ms ]vB=−1,58 [ms ]

El signo menos en este resultado debe interpretarse como el resultado de dos mivimientos de translación en sentidos opuestos y direcciones paralelas de las ruedas dentadas A y B, donde resulta un movimiento de translación del mecanismo en el sentido negativo del eje cartesiano “y”.

Por último, llegamos al cálculo de la velocidad angular de las rueda dentada B, que fue el objetivo al plantear este problema:

Por definiciónvB=r B ∙ωB

Por lo tanto:14






ωB=vB

rB

ωB=−1,83 [m / s ]254×10−3 [m ]

ωB=7,20[ rads ]↻

La velocidad angular de esta rueda dentada tiene una magnitud de 7,20 rad/s, una dirección perpendicular al plano formado por los vectores vB yr B, o sea la velocidad de translación del punto B y el radio de la rueda. Y el sentido de esta velocidad angular es negativo, o sea, hacia adentro del plano que acabamos de definir.

Ejercicio n°4:

El collar A se mueve hacia arriba con una velocidad de 3,6 ft/s. En el instante mostrado, cuando θ=25 °, determinar:

a) La velocidad del collar B.b) La velocidad angular de la barra AB







Datos: vA=3,6 ft /s θ=25 ° l=22∈¿

a) Cálculo de la velocidad del collar B :






Para ello damos una demostración gráfica del movimiento que realiza esta barra, descomponiéndolo en un movimiento de translación y uno de rotación:

Para continuar con el cálculo de la velocidad de collar B, calculamos las magnitudes de todas las velocidades de translación que intervienen en el mecanismo que estabamos analizando cenemáticamente.

Para ello, realizamos la suma geométrica de estas velocidades:

vB=v A+v A /B






Si llamamos α al ángulo formado por los vectores vA y vA /B, para calcularlo deducimos que el ángulo formado por vA /B y el eje positivo de las “x” es igual a θ, o sea 25°

Por lo tanto

α=90 °−θα=90 °−25°α=65 °

El ángulo restante se calcula por la suma de los ángulos interiores de u triángulo:






60 °+65 °+ β=180 °

O lo que es lo mismo:

β=55 °

Para calcular las magnitudes de las velocidades de translación nos basamos en el gráfico anterior y en el Teorema de Seno:

vB

sin (65° )=

v A

sin (55 ° )=

v A /B

sin (60 ° )

De donde, despejando:

vA /B=v A ∙ sin (60° )sin (55 ° )

vA /B=3,6 [ ft /s ] ∙ sin (60 ° )

sin (55 ° )

vA /B=3,81[ fts ]

vB=vA ∙ sin (65 ° )sin (55° )

vB=3,6 [ ft /s ] ∙ sin (65° )

sin (55 ° )






vB=3,98 [ fts ]

Ésta es la velocidad con las que se translada el collar B de mecanismo analizado. Con una magnitud de 3,98 ft/s, una dirección determinada por un ángulo de 30° y sentido positivo, tal como fue ilustrado anteriormente.

b) Cálculo de la velocidad angular de la barra AB:

Por definición:vA /B=l ∙ωAB

Por lo tanto:

ωAB=v A /B

l

ωAB=3,81 [ ft /s ]1,83 [ ft ]

ωAB=2,09[ rads ]

La velocidad angular de ésta barra tiene una magnitud de 2,09 rad/s, con una dirección perpendicular al plano pormado por vA /B y l, y de sentido positivo, hacia afuera del plano mencionado.

Ejercicios n°5:Resolver el problema n°1 mediante el método del centro instantáneo de rotación.






Resolución de ejercicio:

Datos: vA=1,8m /s r1=210mm r2=140mm

a) Cálculo de la velocidad angular del engranaje






Como el engranaje rueda sobre la cremallera inferior estacionaria, el punto de contacto C del engrane con la cremallera no tiene velocidad; el pinto C es en consecuencia el centro instantáneo de rotación. Esto se expresa:

vA=r A ∙ω

Por lo tanto

ω=v A

r A

ω=1,8 [m/ s ]

210×10−3 [m ]

ω=8,57 [ rads ]↻

b) Cálculo de las velocidades de la cremallera R y del punto D de engranaje

Con respecto a las velocidades, todos los puntos del engranaje parecen girar alrededor del centro instantáneo.

Velocidad de la cremallera superior

vR=vB=r B∙ω

vR=vB=350×10−3 [m ] ∙8,57 [ rads ]

vR=vB=3[ ms ]→






Velocidad del punto D

vD=rD ∙ω

vD=297×10−3 [m ] ∙8,57 [ rads ]

vD=2,55[ ms ]∡45 °

Donde rD fue calculado:rD= (0,210m) √2=0,297m

Geometricamente:






Ejercicio n°6:Resolver el problema n°2 mediante el método del centro instantáneo de rotación


Datos: ωAB=−1500 rpm(tiene el sentido de las agujas del reloj) r=4∈¿ l=10∈¿

Movimiento de la manivela AB

En el ejercicio n°2 obtuvimos la velocidad del punto B de la siguiente manera:

vB=r ∙ωAB

vB=4 [ ¿ ] ∙157,08 [ revs ]

vB=628,32 [ ¿s ]∡−45 °






Movimiento de la biela BD

Para este cálculo primero localizamos el centro instantáneo de rotación C dibujando líneas perpendiculares a las velocidades absolutas vB y vD.

En el ejercicio n°2 también se calculo el valor del ángulo β=16,43 ° y sabiendo que BD=10∈¿, resolvemos el triángulo BCD.

Cálculo de los ángulos correspondientes:

εB=45 °+ β=45 °+16,4 °=61,4 °

εD=90 °−β=90°−16,4 °=73,6 °

Por el Teorema del Seno:

BCsin (73,6 ° )

= CDsin (61,4 ° )

= BDsin (45 ° )

Despejando:

BC=BD∙ sin(73,6 ° )sin(45 °)

BC=10 [¿ ] ∙sin (73,6 °)

sin(45 ° )

BC=13,57 [¿ ]

CD=BD ∙ sin(61,4 ° )sin(45° )

CD=10 [¿ ] ∙ sin(61,4 °)

sin (45 °)

CD=12,42 [¿ ]






Cálculo de la velocidad angular de la biela BD :

Como la biela BD parece giar alrededor del punto C, escribimos:

vB=BC ∙ωBD

Por lo tanto

ωBD=vB

BC

ωBD=628,3 [¿/ s ]13,6 [¿ ]

ωBD=46,2[ rads ]↺

Cálculo de la velocidad de translación en el punto D:

vD=CD∙ωBD

vD=12,4 [¿ ] ∙46,2[ rads ]vD=573,63[ ¿s ]→






Graficamente:






Ejercicio n°7:

Las dos barras AB y DE están conectadas como se muestra en la figura. Sabiendo que el punto D se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 600 mm/seg.

Calcular, en el instante que se indica usando el método del centro instantáneo de rotación:

a) velocidad angular de cada barrab) velocidad en el punto A






Resolución del ejercicio

Datos:

vD=600[ mms ]⟵

a) Cálculo de la velocidad angular de la barra DE

vD=ωDE ∙rCD

En este caso consideramos que rCD=CD. Por lo tanto

ωDE=vD

CD

ωDE=600 [mm /s ]360 [mm ]

ωDE=1,67[ rads ]↻Cálculo de la velocidad angular de la barra AB

Para esto calculamos primero la velocidad en el punto B, ya que es un punto en común que tienen ambas barras y los datos con los que contamos son los de la barra DE. Entonces

vB=(BC)ωDE

Donde

BC=√(180mm )2+(180mm )2

BC=254,6mm=0,255m






vB=(BC)ωDE

vB=(254,56mm)(1,67 rads )

vB=425,11[ mms ]=0,43 [ms ]↓

Así llegamos al cálculo de la velocidad angular de la barra AB

vB=(BC ')ωAB

Por lo tanto:

ωAB=v B

(BC ')

ωAB=425,11 [mm /s ]380 [mm ]

ωAB=1,12[ rads ]↻

b) Cálculo de la velocidad del punto A:

vA=(AC ' )ωAB

vA=(180mm)(1,12 rads

)

vA=201,37 [mms ]=0,2[ ms ]↓






Ejercicio n° 8:

Un automóvil viaja hacia la derecha con una velocidad contante de 70 km/h si el diámetro de la rueda es de 500mm, determinar la velocidad en los puntos B, C, D, y E, utilizando el método de centro instantáneo de rotación







Datos:

vA=70Kmh⟶

Graficamos buscando el centro instantáneo de rotación

Trabajamos en base a este gráfico






Cálculo de la aceleración angular de la rueda:

Como la rueda gira sobre el suelo, el punto de contacto C de la rueda con el suelo no tiene velocidad; el punto C es en consecuencia el centro instantáneo de rotación. Se escribe:

vA=(AC )ω

Para trabajar más cómodos, antes de continuar con nuestro cálculo, hacemos la transformación de unidades de la velocidad en el punto A de Km /h a m /s

vA=[70 Kmh ][ 1000m1Km ][ 1h

3600 s ]

vA=19,44 [ms ]→

Como lo que buscamos calcular es la velocidad angular de la rueda, deducimos que

ω=v A

AC

ω=19,44 [m /s ]250×10−3 [m ]

ω=77,76 [ rads ]↻

Aclaramos que la distancia perpendicular entre el punto A y el centro instantáneo de rotación C, usado en el cálculo que acabamos de ver es igual al radio de la rueda:






AC=r=500mm2

=250mm

Cálculo de las velocidades

En lo que se refiere a las velocidades, todos los puntos del engranaje parecen girar alrededor del centro instantáneo C

Cálculo de la velocidad en el punto B

vB=(BC )ωvB=(500×10−3m)(77,76 rads )

vB=38,88 [ms ]→

En este caso, la distancia perpendicular entre el punto B y el centro instantáneo es igual al diámetro de la rueda:

BC=∅=500mm

Cálculo de la velocidad en el punto D

vD=(DC )ωvD=(0,49m)(77,76 rads )

vD=37,82[ms ]∡30 °






Para calcular la distancia perpendicular que existe entre el punto D, en este instante, y el centro instantáneo C, buscamos en la gráfica lograr un triángulo rectángulo CDD’ haciendo la proyección ortogonal de AC cobre CB. Entonces:

A D'=r cos30 °

A D'=(0,25m)cos30 °

A D'=0,22m

Entonces, un cateto será:

C D'=r+AD '

C D'=(0,25m)+(0,22m)

C D'=0,47m

El otro cateto de nuestro triángulo será:

DD'=r sin 30 °

D D'=(0,25m)sin30 °

DD'=0,13m

Por último, la hipotenusa, o sea, la distancia perpendicular entre el punto D y el centro relativo será:

CD=√ (CD' )2+ (DD' )2






CD=√ (0,47m )2+(0,13m )2

CD=0,49m

Este último es el valor utilizado en el cálculo de la velocidad en el punto D.

Para entender mejor los cálculos que acabamos de hacer, compartimos el siguiente gráfico:

Cálculo de la velocidad en el punto E






vE=(EC)ωvE=(0,35m)(77,76 rads )

vE=27,5[ ms ]∡−45 °

La distancia perpendicular entre el punto E y el centro instantáneo C es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales al radio de la rueda, por lo tanto:

CE=√( AE )2+(AC )2

CE=√(r )2+(r )2

CE=√(250mm )2+(250mm )2

CE=350mm=0,35m






Velocidad en el punto C

En el instante en el que esta siendo analizado este mecanismo, el punto C es el punto de contacto entre la rueda y el suelo, por lo tanto existe una fuerza igual y opuesta a la velocidad en C, dada por el rozamiento, que anula dicha velocidad. Si esta fuerza no existiera, la rueda se deslizaría en vez de rodar sobre la superficie.

Entonces, la velocidad en el punto C es nula y fue por eso que decidimos tomar a éste punto como centro instantáneo de rotación.






vC=0

Ejercicio n°9

El engranaje doble de la figura rueda sobre la cremallera ingerior que no se mueve y su centro tiene una aceleración de 4,5 m/seg2 hacia la derecha. Determinar

a) la aceleración angular de engranajeb) la aceleración en los puntos B,C y D del engranaje







Datos: vA=1,8m /s r1=210mm r2=140mm ω=−8,57 rad /s

a) Cálculo de la aceleración angular del engranaje






Al resolver el ejercicio n°1 obtuvimos quex A=−r1θ vA=−r 1ω

Diferenciando esta última ecuación con respecto al tiempo, se obtienea A=−r1α

Entonces, sivA=−r 1ω

Despejando ω

ω=−v A

r1

ω=−1,8 [m /s ]210×10−3 [m ]

ω=−8,57 [ rads ]Calculamos la aceleración angular del mecanismo despejando α en la ecuación siguiente

ecuacióna A=−r1α

Entonces

α=−aA

r1

α=−4,5 [m /s2 ]210×10−3 [m ]

α=−21,43 [ rads2 ]α=α k

α=−(21,43 rad

s2 )k






b) Cálculo de las aceleración de los puntos B, C y D del engranaje

El movimiento de rodamiento del engranaje se descompone en una translación con A y una rotación alrededor de A

Translación + Rotación = Movimiento de rodadura

Aceleración del punto B:

Al sumar vectorialmente las aceleraciones correspondientes a la translación y a la rotación, se obtiene

aB=aA+aB / A

Descomponemos la aceleración relativa aB /A en sus componentesaB=aA+(aB / A )t+ (aB /A )n

aB=aA+α k ×rB /A−ω2r B/ A

aB=(4,5m /s2 ) i−(21,43 rad /s2 )k × (140×10−3m) j−(8,57 rad /s2)2 (140×10−3m) j

aB=(4,5m /s2 ) i+(3m/ s2 ) i−(10,28m / s2 ) j






aB=(7,5m /s2 ) i−(10,28m / s2 ) j

aB=12,73m

s2∡−53,9°

Geométricamente:

Aceleración del punto C:

ac=aA+aC /AaC=aA+(aC/ A )t+ (aC /A )n

aC=aA+α k×rC /A−ω2 rC /A

aC=(4,5m/ s2 ) i−(21,43 rad /s2)k × (−210×10−3m ) j− (8,57 rad / s2 )2 (−210×10−3m ) j

aB=(4,5m /s2 ) i−(4,5m / s2 ) i+ (15,42m/ s2 ) j

aB=(15,42m / s2 ) j

aB=15,42m

s2↑

Geométricamente:






Aceleración del punto D:

aD=aA+aD /AaD=aA+ (aD /A )t+(aD /A )n

aC=aA+α k×rD / A−ω2 rD /A

aC=(4,5m/ s2 ) i−(21,43 rad /s2)k × (−210×10−3m ) i−(8,57 rad /s2)2 (−210×10−3m )i

aC=(4,5m/ s2 ) i+(4,5m / s2 ) j+(15,42m /s2 ) i

aC=(19,92m /s2 )i+(4,5m /s2) j

aC=20,42m

s2∡12,7 °

Geométricamente:

Ejercicio n° 10






En el sistema biela manivela de la figura, la manivela tiene una velocidad angular constante de 1500rpm, en sentido de la agujas del reloj.

Determinar, para la posición de la manivela que se indica:

a) Aceleración angular de la barra BD b) Aceleración en el punto D


Datos: ωAB=1500 rpm(tiene el sentido de las agujas del reloj) r=4∈¿ l=10∈¿

Movimiento de la manivela

Como la manivela gira alrededor de A con una velocidad angular constante de

ωAB=1500 rpm

ωAB=[−1500 revmin ]∙ [ 1min

60 seg ] ∙[ 2πrad1 rev ]ωAB=−157,08 [ revseg ]






Tenemos que α AB=0. Por lo tanto, la aceleración de B está dirigida hacia A y tiene una magnitud de:

αB=r ωAB2

αB=( 412 ft)(157,08 rads )2

αB=8224,71ft

s2∢ 45 °

Movimiento de la biela BD:






La velocidad angular ωBD y el valor de β ya fueron calculados en el ejercicio n°2, y los valores que obtuvimos fueron los siguientes:

ωBD=62,83[ rads ]β=16,43 °

El movimiento de BD se descompone en una translación con B y una rotación alrededor de B. La aceleración relativa aD /B se descompone en las componentes normal t tangencial:

(aD /B )n=(BD )ωBD2

(aD /B )n=( 1012 ft )(62,83 rads )

2

(aD /B )n=3289,67ft

s2∡163,57 °

(aD /B )t=(BD )αBD

(aD /B )t=(1012 ft )αBD

(aD /B )t=0,83αBD∡73,57 °

Aunque (aD /B )t tiene que ser perpendicular a BD, no se conoce su sentido:






Movimiento Plano = Translación + Rotación

Como la aceleración aD debe ser horizontal, entonces:

aD=aB+aD /B

aD=aB+(aD /B )n+(aD /B ) t

[aD↔ ]= [8224,71∡45 ° ]+[3289,67∡16,43 ° ]+[0,83αBD∡73,57 ° ]

Hacemos lo mismo con las componentes x e y:

+→×componentes :

−aD=−8224,71cos 45°−3289,67cos16,43 °+0,83αBD sin 16,43°

+↑ y componentes :

0=−8224,71sin 45 °+3289,67sin 16,43 °+0,83αBD cos16,43 °

De ésta última ecuación:






0=−4885,29+0,8αBD

αBD=6106,6rad

s2↺

Y de la ecuación de las componentes x, remplazando el valor obtenido:

−aD=−8971,09+0,23αBD

−aD=−8971,09+0,23 ∙6106,6

aD=7537,5ft

s2←

Geométricamente:






Ejercicio n° 11

Los collares B y D están articulados a la barra ABD y pueden deslizar a lo largo de las varillas fijas. En el instante que se muestra en la figura, la velocidad angular de la barra ABD es cero y la aceleración de punto D es 25 ft/s2 hacia la derecha.

Determinar:

a) Aceleración angular de la barrab) Aceleración del punto Bc) Aceleración del punto A







Datos: ωABD=0

aD=24ft

s2→

a) Cálculo de la aceleración angular de la barra ABD

Como sabemos, por definición y tal como lo hemos calculado en ejercicios anteriores:

aD=α ABDr BD

Por lo tanto:

α ABD=aD

rBD

α ABD=24 [ ft /s2 ]1,5 ft

α ABD=16 [ rads2 ]↺

b) Cálculo de la aceleración del punto B

Partimos de la misma consideración realizada en el apartado anterior

aB=αABD rBD

aB=16 [ rads2 ]1,5 [ ft ]

aB=24 [ fts2 ]→






c) Cálculo de la aceleración del punto A

Continuando con el mismo análisis

a A=αABD r AC

a A=αABD r AD cos30 °

a A=16 [ rads2 ] (1,5+1,5 ) [ ft ] cos30 °

aB=41,57[ fts2 ]→






Ejercicio n° 12

En el sistema que se muestra en la figura, la velocidad angular de la rueda es de 2 rad/seg, en el sentido de movimiento de las agujas del reloj, y su aceleración angular de 3 rad/seg2, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Sabiendo que la rueda realiza un movimiento de rodadura sin deslizamiento, determinar la posición del punto de la rueda que tiene aceleración cero en el instante considerado







Datos:

ω=2[ rads ]↻

α=3 [ rads2 ]↺

Hemos decidido llamar al punto cuyas coordenadas estabamos buscando, “x”. Y tomamos a A como punto de referencia.

La aceleración absoluta ax que va atener el punto de la rueda que tiene aceleración igual a cero en el instante de tiempo analizado, y en general, cualquier punto sobre la rueda, es igual a

aX=aA+aX /A

Donde, el miembro del lado derecho representa una suma vectorial. La aceleración a A corresponde a la translación de la rueda con A, en tanto que la aceleración relativa aX /A se asocia con la rotación de la rueda en torno a A y se mide con respecto a los ejes centrados en A y de orientación fija.

La aceleración relativa aX /A puede descomponerse en dos componentes: Una componente tangencial (a X /A )t perpendicular a r x

Y una componente normal (a X /A )n dirigida hacia A

r x es el vector de posición del punto buscado “x” relativo a A






Geometricamente:

Además:

(a X /A )t=rx α

(a X /A )n=r xω2

Entonces, la primer ecuación que planteamos queda

aX=aA+aX /A

aX=aA+(aX / A )n+(aX /A )t

aX=aA+r xω2+r xα






A continuación procederemos a calcular las coordenadas del punto buscado “x” considerando de manera sucesiva las componentes x e y de los vectores mostrados en la figura anterior:

+→×componentes :

0=aA−r xω2sin θ+rx α cosθ


0=−r xω2cosθ−r xα sinθ

Donde la suma de las componentes, tanto en x como en y, son ugual a cero debido a que el punto que estamos buscando tiene aceleración cero en el instante considerado.

Además, con el objetivo de calcular la posición de dicho punto, o sea, sus coordenadas, hacemos la siguiente consideración:

x=¿ r xsin θ

y=rx cosθ

Donde x e y son las coordenadas del punto.

Entonces, las ecuaciones de las componentes quedan

+→×componentes :

0=aA−ω2 x+αy (1)


0=−ω2 y−αx (2)






Antes de continuar con estas ecuaciones, calcularemos la aceleración a A

a A=α r x

a A=(3 rads2 )( 500×10−3

2m)

a A=0,75 [ms2 ]

Remplazando este y todos los valores que ya son datos, en las ecuaciones (1) y (2):

0=(0,75ms2 )−(2 rads )

2

x+(3 rads2 ) y (1)

0=−(2 rads )2

y−(3 rads2 )x (2)

Eliminamos por un momento las magnitudes para poder trabajar más cómodos y continuamos con el cálculo:

0=0,75−4 x+3 y (1)

0=−4 y−3 x (2)

Despejamos y de la ecuación (2):

y=−34

x (3)






Remplazando este valor en la ecuación (1), obtenemos la coordenada x del punto que estamos buscando:

0=0,75−4 x+3(−34 x )−0,75=−4 x+3 (−34 x)−0,75=−25

4x

x=0,12

Por último, remplazando el valor obtenido de x en la ecuación (3), para calcular la

coordenada en y del punto:

y=−34

x

y=−340,12

y=−0,09

Por lo tanto la posición del punto de la rueda que tiene aceleración cero en el instante considerado es (0,12 ; -0,09)


tp n°2 mym daniel

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