törtrendu˝ diffu´ziós egyenletek numerikus...

Outline A megoldando problema Eredmenyek

Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus

megoldasa 1 dimenzioban

Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.)Munkatars: Szekeres Bela Janos

FRK Szeminarium, BME

2013. aprilis 30.

Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban


1 A megoldando problemaTortrendu diffuzioA megoldando egyenletTortrendu derivalas

2 EredmenyekMegfelelo kiterjesztes valasztasaA kapott feladat numerikus kozelıteseNumerikus pelda



A diffuzio azonosıtasa




Diszkret eset




Diszkret eset

(standard) diffuzio – Brown-mozgas:




Diszkret eset


X (t) elmozdulas t ido alatt




Diszkret eset



EX 2(t) ∼ t




Diszkret eset



EX 2(t) ∼ t

szuperdiffuzio – Levy-folyamat:




Diszkret eset



EX 2(t) ∼ t






Diszkret eset



EX 2(t) ∼ t



EX 2(t) ∼ tα

2



Konkret megfigyelesek

plazmafizika




plazmafizika

populaciodinamika (taplalekot kereso allatok mozgasa)




plazmafizika


bizonyos kemiai anyagok koncentraciovaltozasa




plazmafizika



talajvız mennyisegenek valtozasa




plazmafizika



talajvız mennyisegenek valtozasa

szennyezodes terjedese folyokban



Osszefoglalas: a standard diffuzio egyenlete

Ismeretlen: u : (0, T ) × Ω → R





A standard diffuzio eseten:

∂tu(t, x) = −∇·p(−∇u(t, x)),






∂tu(t, x) = −∇·p(−∇u(t, x)),

ahol

−∇· – anyagmegmaradas






∂tu(t, x) = −∇·p(−∇u(t, x)),

ahol

−∇· – anyagmegmaradas

p(−∇u(t, x)) – Fick-torveny (megfigyeles)



Igy kapjuk a tortrendu diffuzio egyenletet

A szuperdiffuzio modelljenek sarokpontja a p(−∇u(t, x)) tagatırasa.





Lenyeg: az egy pontban mert fluxus nem csak az azonpontbeli derivalttol, hanem a pont kornyezeteben mertkoncentraciotol fugg.





Lenyeg: az egy pontban mert fluxus nem csak az azonpontbeli derivalttol, hanem a pont kornyezeteben mertkoncentraciotol fugg.

Szabatos leıras: SIREV 2012, M3AS 2013



A vizsgalt egyenlet

Ezt az egyenletet kapjuk:

∂tu(t, x) = −(−D∆)α

2 u(t, x),

ahol



A vizsgalt egyenlet


∂tu(t, x) = −(−D∆)α

2 u(t, x),

ahol

(−D∆) megfelelo peremfeltetelekkel pozitıv



A vizsgalt egyenlet


∂tu(t, x) = −(−D∆)α

2 u(t, x),

ahol


Mindig 1 < α ≤ 2.



A vizsgalt egyenlet


∂tu(t, x) = −(−D∆)α

2 u(t, x),

ahol


Mindig 1 < α ≤ 2.

Lehetne a bal oldalon is tortrend, az anyagmegmaradas elvemiatt hasznaljuk a fenti alakot.



Definıcio, kiszamıtas

Alapgondolat: β ∈ [0, 1) eseten




Alapgondolat: β ∈ [0, 1) eseten2 − β-szoros derivalas ⇔ β-szoros integralas & 2-szeresderivalas





Tortrendu integralas: f ∈ C [a, b] eseten

aIβx f (x) =

1

Γ(β)

∫ x

a

f (s)

(x − s)1−β

es

x Iβb f (x) =

1

Γ(β)

∫ b

x

f (s)

(x − s)1−β.





Tortrendu integralas: f ∈ C [a, b] eseten

aIβx f (x) =

1

Γ(β)

∫ x

a

f (s)

(x − s)1−β

es

x Iβb f (x) =

1

Γ(β)

∫ b

x

f (s)

(x − s)1−β.

Egyoldali integralok: Riemann, Liouville, Riesz M.



Definıcio II.

Ezt a derivaltat kozelıtjuk:

∂α|x |f (x) = Cσ(∂2

x −∞I 2−αx f (x) + ∂2

x x I2−α∞ f (x)),

ahol Cσ = − σ2 cos α π

2.



Definıcio II.

Ezt a derivaltat kozelıtjuk:

∂α|x |f (x) = Cσ(∂2

x −∞I 2−αx f (x) + ∂2

x x I2−α∞ f (x)),

ahol Cσ = − σ2 cos α π

2.

Ez R-en ekvivalens a −σ(−∆)α

2 operatorral [Yang 2010].



Kozelıtesek

∂2x −∞I 2−α

x f (x) ≈1

Γ(−α)lim

M→∞

1

h2

M∑

k=0

Γ(k − 2)

Γ(k + 1)f (x − (k − p)h)

1

hα

∞∑

k=0

gk f (x − (k − p)h) := Dα,p,h−∞,GLf (x)

∂2x x I

2−α∞ f (x) ≈

1

Γ(−α)lim

M→∞

1

h2

M∑

k=0

Γ(k − 2)

Γ(k + 1)f (x + (k − p)h)

=1

hα

∞∑

k=0

gk f (x + (k − p)h) := Dα,p,h∞,GLf (x),



Kozelıtesek

∂2x −∞I 2−α

x f (x) ≈1

Γ(−α)lim

M→∞

1

h2

M∑

k=0

Γ(k − 2)

Γ(k + 1)f (x − (k − p)h)

1

hα

∞∑

k=0

gk f (x − (k − p)h) := Dα,p,h−∞,GLf (x)

∂2x x I

2−α∞ f (x) ≈

1

Γ(−α)lim

M→∞

1

h2

M∑

k=0

Γ(k − 2)

Γ(k + 1)f (x + (k − p)h)

=1

hα

∞∑

k=0

gk f (x + (k − p)h) := Dα,p,h∞,GLf (x),

ahol

gk =Γ(k − α)

Γ(−α)Γ(k + 1)= (−1)k

(

α

k

)

.



Kozelıtesek - magyarazat

Fennall, hogy minden α ∈ (1, 2] eseten

∞∑

k=0

gk = 0 es g1 = −α, gj ≥ 0, j 6= 1.





∞∑

k=0

gk = 0 es g1 = −α, gj ≥ 0, j 6= 1.

A kozelıtes rendje O(h), ha F(f ) ∈ L1(R).





∞∑

k=0

gk = 0 es g1 = −α, gj ≥ 0, j 6= 1.

A kozelıtes rendje O(h), ha F(f ) ∈ L1(R).

Az x-beli derivalt kozelıtesehez szukseges”alappontok”:



Kozelıtesek - eredmenyek

Jelolesek:




Jelolesek:δ – idolepes





un ≈ (. . . , u(nδ, x−1), u(nδ, x0), u(nδ, x0), . . . )





un ≈ (. . . , u(nδ, x−1), u(nδ, x0), u(nδ, x0), . . . )

N – reszintervallumok szama a felosztasban





un ≈ (. . . , u(nδ, x−1), u(nδ, x0), u(nδ, x0), . . . )


A fenti kozelıtesbol kapott

un+1(x) − u

n(x)

δ= Cσ(Dα,p,h

−∞,GLun+1(x) + Dα,p,h

∞,GLun+1(x))

implicit Euler tıpusu modszer stabil, ıgy konvergens is, ha aperemfeltetelekkel egyutt is pontos a tortrendu derivaltkozelıtese.





un ≈ (. . . , u(nδ, x−1), u(nδ, x0), u(nδ, x0), . . . )


A fenti kozelıtesbol kapott

un+1(x) − u

n(x)

δ= Cσ(Dα,p,h

−∞,GLun+1(x) + Dα,p,h

∞,GLun+1(x))

implicit Euler tıpusu modszer stabil, ıgy konvergens is, ha aperemfeltetelekkel egyutt is pontos a tortrendu derivaltkozelıtese.

Az igazi otlet az eltolas az egyoldali kozelıtesekben.[Meerschaert et al. 2004], aztan tobb dimenzio, magasabbrendu kozelıtes, extra advekcios tag.



A megoldando problema

Fo problema: peremfeltetelek

∂tu(t, x) = −σ(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ Ω, t > 0

u(0, x) = u0(x) adott, u(t, x) adott x ∈ ∂Ω, t > 0

nem korrekt kituzesu





∂tu(t, x) = −σ(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ Ω, t > 0



Elmelet: vegtelen sok alappont kell a szamıtashoz





∂tu(t, x) = −σ(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ Ω, t > 0




Gyakorlat: a peremfeltetelek a peremen adottak, azon kıvulsemmit sem tudunk.





∂tu(t, x) = −σ(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ Ω, t > 0




Gyakorlat: a peremfeltetelek a peremen adottak, azon kıvulsemmit sem tudunk.

Ugyanez a problema a diszkret es a folytonos esetben.



A megoldas elve

Megfelelo kiterjesztes kellene.



A megoldas elve


Valamilyen Du peremfeltetelhez tartozo kompatibilis (”jo ”)

kiterjesztes - u : R → R



A megoldas elve




∂t u = −σ(−∆)α

2 u R-en



A megoldas elve




∂t u = −σ(−∆)α

2 u R-en

Du|∂Ω = −(−∆)α

2 u R-en



A megoldas elve




∂t u = −σ(−∆)α

2 u R-en

Du|∂Ω = −(−∆)α

2 u R-en

Eddigi javaslat: homogen Dirichlet-peremfeltetel – azonosannulla kiterjesztes [Meerschaert 2004, Du 2013]



A javasolt kiterjesztesek

Egy dimenzios esetet vizsgalunk, Ω = (0, 1).





Az egyszeruseg kedveert innentol σ = 1.






Homogen Dirichlet-peremfeltetel – paratlan kiterjesztes.






Homogen Dirichlet-peremfeltetel – paratlan kiterjesztes.

Homogen Neumann-peremfeltetel – paros kiterjesztes.



Kiterjesztessel kapott feladat

A kiterjesztett feladatra vonatkozo problema

∂tu(t, x) = −(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ R, t > 0

u(0, x) = u0(x) x ∈ R, t > 0.





∂tu(t, x) = −(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ R, t > 0

u(0, x) = u0(x) x ∈ R, t > 0.

Ennek megoldasa

u(t, ·) = u0 ∗ Φα(t, ·),

amelyre





∂tu(t, x) = −(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ R, t > 0

u(0, x) = u0(x) x ∈ R, t > 0.

Ennek megoldasa

u(t, ·) = u0 ∗ Φα(t, ·),

amelyre

u(t, ·) ∈ C∞(R)





∂tu(t, x) = −(−∆)α

2 u(t, x) x ∈ R, t > 0

u(0, x) = u0(x) x ∈ R, t > 0.

Ennek megoldasa

u(t, ·) = u0 ∗ Φα(t, ·),

amelyre

u(t, ·) ∈ C∞(R)

0 6= u0 ≥ 0 ⇒ u(t, ·) > 0.



Kiterjesztesek tulajdonsagai

Allıtas

Az azonosan nulla kiterjesztes nem kompatibilis aDirichlet-peremfeltetellel.



Kiterjesztesek tulajdonsagai

Allıtas

Az azonosan nulla kiterjesztes nem kompatibilis aDirichlet-peremfeltetellel.

Allıtas

A paros es a paratlan kiterjesztesek kompatibilisek a megfeleloperemfeltetelekkel.



Az algoritmus – Neumann-peremfeltetel




1 Paros kiterjesztes.





2 A tortrendu derivaltak veges differencia kozelıtese:−(−∆)

α

2 ≈ Ah,α,∞.






α

2 ≈ Ah,α,∞.

3 A kapott implicit Euler-tıpusu sema:

un+1 − u

n

δ= Ah,α,∞u

n+1.






α

2 ≈ Ah,α,∞.

3 A kapott implicit Euler-tıpusu sema:

un+1 − u

n

δ= Ah,α,∞u

n+1.

4 Az idolepes:u

n+1 = (I − δAh,α,∞)−1u

n.



Reszletek az algoritmushoz

kiterjesztes + veges differencia → vegtelen sok alappont.





Allıtas

Az Ah,α,∞ ∈ R(N+1)×(N+1) matrix vk sajatvektorai es λk

sajatertekei k = 0, 1, . . . ,N eseten:

vk = (cos 0, cos kπh, . . . , cos Nkπh)T ,

λk = 2Cσ

(

2

h

)α

sinα kπh

2cos

(

kπh +α

2(π − kπh)

)

.





Allıtas

Az Ah,α,∞ ∈ R(N+1)×(N+1) matrix vk sajatvektorai es λk

sajatertekei k = 0, 1, . . . ,N eseten:

vk = (cos 0, cos kπh, . . . , cos Nkπh)T ,

λk = 2Cσ

(

2

h

)α

sinα kπh

2cos

(

kπh +α

2(π − kπh)

)

.

Egyszeru szamolassal:

δAh,α,∞ = I − ((1 − δλ0)v0 . . . (1 − δλN)vN)(v0 . . . vN)



Konvergenciatetelek

Tetel

A fenti modszer mindket valtozo szerint elsorendben konzisztens,azaz a pontos megoldast a semaba helyettesıtve a hibaO(δ) + O(h).



Konvergenciatetelek

Tetel


Tetel

A fenti modszer feltetel nelkul stabil az ‖ · ‖∞ normaban, vagyis haa T idopontig vegezzuk el az (I − δAh,α,∞)−1 matrixszal valoszorzast, akkor a megfelelo matrixhatvany (a h es δ fuggvenyeben)egyenletesen korlatos marad.



Konvergenciatetelek

Tetel


Tetel

A fenti modszer feltetel nelkul stabil az ‖ · ‖∞ normaban, vagyis haa T idopontig vegezzuk el az (I − δAh,α,∞)−1 matrixszal valoszorzast, akkor a megfelelo matrixhatvany (a h es δ fuggvenyeben)egyenletesen korlatos marad.

Tetel

A fenti modszer O(δ) + O(h) rendben konvergens.



Konvergenciatetelek - megjegyzesek

Konzisztencia:




Konzisztencia:

cos - Fourier-sorfejtes




Konzisztencia:


tagonkenti derivalhatosag u ∈ C∞(R) alapjan




Konzisztencia:



Stabilitas:




Konzisztencia:



Stabilitas:

gk elojeleloszlasa




Konzisztencia:



Stabilitas:

gk elojeleloszlasa

M-matrix technika



A feladat

∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)

u(0, x) = x4

4 − x2

2 x ∈ (0, 1)

∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),



A feladat

∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)

u(0, x) = x4

4 − x2

2 x ∈ (0, 1)

∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),

amely kiterjesztve

∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)

u(0, x) = x4

4 − x2

2 x ∈ R.



A feladat

∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)

u(0, x) = x4

4 − x2

2 x ∈ (0, 1)

∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),

amely kiterjesztve

∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)

u(0, x) = x4

4 − x2

2 x ∈ R.

Analitikus megoldasa (0, 1) × (0, 12)-on

u(t, x) = −14

20+

∞∑

k=1

(−1)k+1 12

kπ4e−

t4(kπ)1.2

cos(kπx) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)



Numerikus pelda - folytatas

N = 5, T = 1, δ = 0.5 eseten az A0.2,1.2,∞ matrix

−6.6872 6.2716 0.2009 0.1056 0.0753 0.03383.1358 −6.5868 3.1886 0.1381 0.086 0.03760.1004 3.1886 −6.6496 3.1696 0.1381 0.05280.0528 0.1381 3.1696 −6.6496 3.1886 0.10040.0376 0.0866 0.1381 3.1886 −6.5868 3.13580.0338 0.0753 0.1056 0.2009 6.2716 −6.6872

,



Numerikus pelda - folytatas

N = 5, T = 1, δ = 0.5 eseten az A0.2,1.2,∞ matrix

−6.6872 6.2716 0.2009 0.1056 0.0753 0.03383.1358 −6.5868 3.1886 0.1381 0.086 0.03760.1004 3.1886 −6.6496 3.1696 0.1381 0.05280.0528 0.1381 3.1696 −6.6496 3.1886 0.10040.0376 0.0866 0.1381 3.1886 −6.5868 3.13580.0338 0.0753 0.1056 0.2009 6.2716 −6.6872

,

az idolepeshez hasznalt (I − δAh,α,∞)−1 matrix

0.5112 0.3063 0.1049 0.0436 0.0242 0.00980.1532 0.5637 0.1750 0.0645 0.0316 0.01210.0524 0.1750 0.5233 0.1630 0.0645 0.02180.0218 0.0645 0.1630 0.5233 0.1750 0.05240.0121 0.0316 0.0645 0.1750 0.5637 0.15320.0098 0.0242 0.0436 0.1049 0.3063 0.5112

.



Numerikus pelda - kıserleti eredmenyek I.

A konvergenciarata becslese a log2

(

‖e2τ,2h‖∞‖eτ,h‖∞

)

formula

alapjan.

tablazat: Konvergenciarend becslese kulonbozo parameterekre.

racsparameter -h idolepes - τ hiba a ‖ · ‖∞ normaban konvergenciaseb

0.2 0.2 0.0249 ∅0.1 0.1 0.0160 0.63810.05 0.05 0.0092 0.79840.025 0.025 0.0049 0.90890.0125 0.0125 0.0026 0.91430.00625 0.00625 0.0013 1



Numerikus pelda - kıserleti eredmenyek II.

A peremfeltetel ellenorzese az alabbi kozelıtesbol

∂xu(t, 0) =1

2h(3u(t, 0) − 4u(t, h) + u(t, 2h))

azonos szamu ter- es idobeli osztopont eseten.

5 10 15 200

0.001

0.002

0.003

0.004

N

u’ h

(0)



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio

Egyszeru kiterjesztes?



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio


Ah,α,∞ eloallıtasa.



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio



Vegeselem-modszer - magasabb dimenzio



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio




Jo irany.



Tovabbi feladatok

Magasabb dimenzio




Jo irany.

Eredmenyek megertese.



Koszonom a figyelmet!


törtrendu˝ diffu´ziós egyenletek numerikus...

Documents