topologie pour economistes analyse, preuves et applications
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TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES Analyse, Preuves et Applications
Daniel Mukoko Samba
Jean Paul K. Tsasa Vangu
1ère édition
1ier draft
2012
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Avant – propos
Les grandes avancées constatées en sciences économiques ces cinquante dernières années
sont dues essentiellement à une compréhension profonde et à une utilisation intelligente de
l’outil mathématique. Depuis, l’économiste ne cesse de repousser les frontières de son
imaginaire jusqu’à faire de l’analyse mathématique, selon les termes propre de R.E. Lucas,
le seul moyen de faire de la théorie économique, tout le reste n’étant qu’images et débats !
A travers cet ouvrage, nous proposons aux économistes en herbe un arsenal d’outils
d’analyse devant les préparer à affronter les sujets et thèmes de recherche traités au
niveau de la frontière des connaissances. A l’effet de s’approcher pertinemment de cette
frontière, il faut une initiation rigoureuse et surtout méthodique. Constatant quelques
faiblesses et failles dans ce processus d’initiation au niveau national, nous avons résolu
destiner la première édition de cet ouvrage aux universités locales afin de contribuer à
l’amélioration de la qualité du capital humain, facteur important dans le développement et
le progrès de toute société qui se veut ambitieuse.
En intitulant cet ouvrage « Topologie pour économistes », nous désirons forger une nouvelle
vision sur le plan académique et motiver une mise à jour du contenu du programme dans
les facultés d’économie de nos universités locales. En effet, l’économie est une discipline
relativement jeune, cependant son développement s’est fait à grande vitesse. A ce jour,
force est de constater que la rigueur mathématique, en caractérisant la plupart de grandes
théories économiques, a renvoyé la dimension philosophique essentiellement au niveau de
la construction des hypothèses et de l’interprétation des résultats. Au regard de cette
métamorphose, il est important que le contenu du programme en économie au sein de nos
facultés soit dynamique afin de s’adapter à chaque fois à la nouvelle donne imposée par
l’actualité scientifique. Nous estimons que c’est à ce prix que nos universités seraient à
même de combler leur retard et absence sur la scène internationale.
L’ouvrage « Topologie pour économistes » s’adresse, plus particulièrement, aux étudiants
de premier et deuxième cycle en économie de nos universités locales. Il a pour objectif
d’offrir les bases solides sur quelques notions en topologie qui semblent indispensables à
une compréhension rigoureuse de nombreux concepts et notions fondamentaux utilisés
couramment par l’économiste, tels que les limites, la continuité, le voisinage, la dérivée ou
encore l’équilibre.
Au-delà de ces considérations classiques, comme le note Carl P. Simon et Lawrence Blume,
nous estimons également que pour le meilleur ou pour le pire, les Mathématiques sont
devenues le langage des analyses économiques modernes. Cependant, force est de
constater que l’attention accordée à certaines branches des Mathématiques comme la
topologie ou la théorie de la mesure et de l’intégration dès le premier cycle, voire le second
cycle en économie est trop faible et même quasi-neutre au sein des facultés de nos
universités locales.
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Comme les enseignements d’initiation à la logique, à la philosophie, au droit ou à l’éthique
qui offrent chacun dans son domaine respectif, des bases nécessaires à l’étudiant dès son
entrée à l’université, de même cet ouvrage se propose également d’initier l’étudiant au
raisonnement rigoureux et de forger en lui, le reflexe et le souci de comprendre les
fondements de différentes analyses rencontrées dans son parcours qui, pour la plupart,
exige implicitement la maîtrise de quelques concepts et notions en topologie. Le contenu de
cet ouvrage apparaît de ce fait, comme un complément indispensable aux enseignements
de mathématiques générales et de théorie des probabilités qui, à ce jour, tels que présentés
dans nos universités, apparaissent de plus en plus moins ambitieuses au regard de la
dynamique de la science économique.
Nous adressons également cet ouvrage aux enseignants et chercheurs locaux désirant
œuvrer sur la frontière de la recherche. En effet, nous estimons que sans une bonne
initiation à la manipulation des concepts et notions fondamentaux de topologie, de théorie
de la mesure et de l’intégration, les chercheurs issus de facultés d’économie de nos
universités locales et y œuvrant ne sauraient être internationalement compétitives, ou sinon
devront réaliser plusieurs tours de passe pour y parvenir.
En nommant cet ouvrage « Topologie pour économistes », une question double se pose
implicitement : quel doit être le contenu d’un tel ouvrage et comment doit–il être présenté ?
A la première phase de l’interrogation, nous estimons que le contenu d’un tel ouvrage doit
posséder les caractéristiques suivantes, être à la fois : (i) synthétique (ii) démonstratif ; (iii)
intuitif ; (iv) illustratif ; (v) facilement conciliable aux principaux concepts abordés dans la
plupart de cours d’économie au niveau des cycles inférieurs (graduat et licence). Et la
réponse à la deuxième phase de la question (cf. table des matières) permet d’atteindre les
cinq objectifs décrits précédemment.
In fine, dès les cycle inférieurs, l’économiste a intérêt à se familiariser aux concepts de
topologie, ne serait – ce pour de raisons d’ordre historique. En effet, remarquons que la
topologie a joué un rôle majeur dans l’avancée et le développement des sciences
économiques. A titre illustratif, nous citons :
(i) la dérivation formelle d’une solution en théorie des jeux à l’aide du théorème du point
fixe de Kakutani (proposée en 1954 par Nash, Prix Nobel d’économie 1994) ;
(ii) la preuve de la proposition d’existence d’équilibre général partant des équations de
Walras (démonstration rendue possible en 1953 par Arrow, Prix Nobel d’économie
1972 ; Debreu, Prix Nobel d’économie 1983 et McKenzie, 1953) ;
(iii) ou encore la transposition des équations de Bellman en analyse macroéconomique dès
les années 1970 – 80 notamment par Sargent (Prix Nobel d’économie 2011) et par
Lucas (Prix Nobel d’économie 1995).
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Remarquons au passage, que la proposition de ces différents cadres formels d’analyse
exigeait une connaissance raffinée, notamment sur le concept d’espaces et sur la
manipulation des hypothèses fondant les preuves de théorèmes du point fixe.
In fine, au regard de la place majeure qu’occupe la connaissance des concepts de topologie
dans la compréhension de grands enjeux caractérisant le développement des sciences
économiques, nous avons résolu d’intituler cet ouvrage « Topologie pour économistes », à
l’instar de nombreux intitulés rencontrés sur le marché de livres, Mathématiques pour
économistes, statistiques pour économistes, Probabilités pour économistes, etc.
Daniel Mukoko Samba Professeur d’université
Jean – Paul K., Tsasa
PhD student
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Sommaire
Introduction
Chapitre I : Eléments sur la théorie des ensembles
I.1 : Introduction à la notion d’ensemble
I.2 : Application et Fonction
Chapitre II : Structure d’espace vectoriel
II.1 : Espace vectoriel
II.2 : Produit scalaire et Métrique
Exercices
Chapitre III : Applications linéaires
III.1 : Morphisme
III.2 : Théorème de rang et Kernel
III.3 : Systèmes linéaires
III.4 : Equations différentiels
Exercices
Chapitre IV : Nombres réels et Nombres complexes
IV.1 : Ensemble des réels
IV.2 : Ensemble des complexes
Exercices
Chapitre V : Suite et Cauchy-convergence
V.1 : Suite, Métrique et Complétude
V.2 : Critère de Cauchy
V.3 : Règles de Cauchy et d’Alembert
V.4 : Règle d’Abel
Exercices
Chapitre VI : Fonctions réelles
VI.1 : Limites, Continuité et Différentiation
VI.2 : Fonctions Exponentielle, logarithmique et trigonométriques
VI.3 : concavité, Convexité et Quasi-concavité
Exercices
Chapitre VII : Espaces topologiques
VII.1 : Construction d’une topologie
VII.2 : Intérieur, Adhérence et Frontière d’une partie
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VII.3 : Espaces séparables
VII.4 : Continuité globale et continuité locale
Exercices
Chapitre VIII : Métriques et Contraction
VIII.1 : Equation de Bellman
VIII.2 : Condition de Blackwell
VIII.4 : Théorème du point fixe de Banach
Exercices
Chapitre IX : Fonction continue
IX.1 : Compacité
IX.2 : Continuité
IX.3 : Théorème d’existence d’un maximum
IX.4 : Théorème du point fixe de Brouwer
Exercices
Chapitre X : Correspondance continue
X.1 : Hémi–continuité
X.2 : Théorème du maximum de Berge
X.3 : Théorème du point fixe de Kakutani
Exercices
Chapitre XI : Espaces euclidiens
XI.1 : Orthogonalité
XI.2 : Projection orthogonale
XI.3 : Problème des moindres carrés
XI.3 : Espaces euclidiens
XI.4 : Transformation de Fourier
Exercices
Chapitre XII : Intégrale de Riemann
XII.1 : Théorie de l’intégration de Cauchy
XII.2 : Intégrales impropres
XII.3 : Lemme d’Abel
XII.4 : Intégrale de Riemann
Exercices
Chapitre XIII : Intégrale de Lebesgue
XIII.1 : Tribu, Ensemble mesurable et Espace mesurable
XIII.2 : Mesure, Espace mesuré et Fonction mesurable
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XIII.3 : Construction de l’intégrale de Lebesgue
XIII.4 : Théorèmes de Lebesgue
XIII.5 : Limites de l’intégrale de Lebesgue
Exercices
Chapitre XIV : Généralisation des Espaces Euclidiens
XIV.1 : De Euclide à Banach
XIV.2 : Espaces de Banach
XIV.3 : Bases hilbertiennes
XIV.4 : Théorème de décomposition de Wold
Exercices
Chapitre XV : Espaces linéaires
XV.1 : Espaces linéaires
XV.2 : Opérateurs et Fonctions linéaires
XV.3 : Théorème et Valeur de Shapley
XV.4 : indice de pouvoir de Shapley – Shubick
Exercices
Chapitre XVI : Initiation à la dynamique
XVI.1 : Problème de croissance optimal déterministe
XVI.2 : Problème de croissance optimal stochastique
Exercices
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Chapitre II
Structure d’espace vectoriel
II.1 : Espace vectoriel
II.1.1 : La structure de groupe
A l’âge de dix-sept ans, Evariste Galois introduit la notion de groupe, un concept
mathématique qui est à la base des notions telles que les anneaux, les corps, les matrices,
les espaces vectoriels. En effet, un groupe est un ensemble auquel est associé une
opération de la loi de composition, vérifiant quatre propriétés :
pour tout i.e. est une loi de composition interne ;
pour tout i.e. la loi est associative ;
il existe tel que et i.e. est l’élément neutre ;
pour tout il existe tel que i.e. est l’inverse de soit
Un ensemble est un groupe abélien ou groupe commutatif, du nom du mathématicien
norvégien Niels Henrik Abel, lorsque sa loi de composition interne est commutative si
:
Remarques 2.1 :
l’élément est unique ;
un élément ne possède qu’un seul inverse.
Par exemple : et sont des groupes commutatifs ; et
sont des groupes commutatifs ; et ne sont pas des groupes, où et
sont respectivement la multiplication et l’addition multiple.
Une partie est un sous-groupe de si : ; on a ; on a
Ainsi, un sous-groupe est un groupe avec la loi induite par celle de
Par exemple : est un sous-groupe de ; est un sous-groupe de
Soit un groupe et un sous-ensemble de Le sous-groupe engendré par est le
plus petit sous-groupe de contenant
Exercice 2. 1. Soit et Montrer que le sous-groupe engendré par l’ensemble
est
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Astuce : Montrer que est un sous-groupe et tel que si est un autre sous-groupe
contenant 2,
II.1.2 : La structure d’anneau
Les structures d’anneau et de corps sont des enrichissements de celle de groupe. En effet,
un anneau ou un corps est un groupe muni d’une deuxième loi interne. Alors que la
structure d’anneau est généralement rencontrée dans l’analyse des ensembles de fonctions
et de matrices, celle de corps est généralement sollicitée dans l’analyse des ensembles et
munis de leurs lois additives et multiplicatives.
Soit un ensemble possédant deux lois de composition internes et respectivement
l’addition et la multiplication. Alors, le triplet est une structure d’anneau si et
seulement :
est un groupe commutatif (groupe abélien) ;
la loi est associative ;
la loi est distributive par rapport à l’addition.
Si de plus, il existe un élément neutre dans pour la loi noté et appelé élément unité
de l’anneau, alors l’anneau est dit unitaire. Par la suite, on utilisera le mot anneau pour
anneau unitaire.
Exercice 2.2. Soient et deux éléments permutables d’un anneau c’est-à-dire tel que
Montrer que pour tout :
Remarques 2.2 :
Le neutre pour l’addition est
L’ensemble des parties d’un ensemble muni de la différence symétrique et
de l’intersection est un anneau commutatif appelé anneau de Boole.
Un anneau est di commutatif, si la deuxième loi de l’anneau est commutative.
II.1.3 : Le corps
La formalisation de la structure d’un espace vectoriel passe généralement par la prise en
compte de la notion de corps, c’est-à-dire un ensemble dont la structure comprend deux
lois de compositions interne :
la première loi de composition interne, notée associe à deux éléments et de
la composition Puisque est une loi de composition interne, possède
les propriétés suivantes :
- la loi est commutative, ;
- la loi est associative, ;
- il existe un élément neutre tel que ;
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- tout élément du corps admet un inverse, noté tel que ;
la deuxième loi de composition interne, notée associe à deux éléments et de
l’élément caractérisé par les propriétés suivantes :
- la loi est commutative, ;
- la loi est associative, ;
- il existe un élément neutre ou élément unité tel que ;
- sauf l’élément neutre de la loi de composition interne tout élément du corps
admet un inverse, noté tel que
Soient un ensemble ; et deux lois de composition internes sur Alors, le triplet
possède une structure de corps commutatif si :
a une structure d’anneau commutatif unitaire ;
a une structure de groupe abélien de neutre noté
Par exemple, et sont des corps commutatifs.
Exercice 2.3. (i) La structure est-elle un corps commutatif ? (ii) Montrer que tout
corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn).
La combinaison des lois et est commutative et distributive :
Remarques 2.3 :
Les corps classiques qui feront l’objet des analyses de la série topologie concernent
les ensembles réels et complexes avec l’addition et la multiplication,
respectivement des réels et des complexes.
Soit un corps, alors
est intègre car ne possédant pas de diviseurs de
Exercice 2.4. Montrer que si un corps n’est pas intègre, ce que la définition d’un corps n’a
plus de sens.
II.1.4 : Les suites
Une suite dans un ensemble non-vide est un ensemble ordonné, tel que chaque
terme de la suite est un élément de Généralement la suite est notée par
ou parfois et définie par la fonction telle que est
représenté par avec pour Ainsi, l’ensemble de toutes les suites
dans est égal à couramment noté
Une sous-suite d’une suite est une suite qui contient les termes de
apparaissant dans la sous-suite suivant le même ordre que dans telle que :
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où est une suite dans tel que En recourant à la notion de fonction, il
vient qu’une sous-suite d’une suite est une fonction de la forme où
est strictement croissant, i.e. pour tout avec
Par exemple,
est une sous-suite de
tel que
représente
une fonction définie par l’expression
et représente la fonction avec
pour chaque
Une suite double dans est une matrice infinie où chacun des termes est un élément de
Formellement, elle est définie à l’aide d’une fonction telle que Une suite double
dans peut également être vue comme une suite de suites dans c’est-à-dire comme une
suite dans Comme dans le cas des suites, nous représentons cette fonction par
l’expression définie par L'ensemble de toutes les suites doubles de est
égal à où est également désigné par Ainsi, une suite double peut
s’écrire comme ou encore comme
II.1.5 : Les vecteurs
Un dans est un vecteur de dimension définie par la fonction
représentée par où pour tout
Exercice 2.5. Vérifiez que
si et seulement si pour tout
Le de est donné par l’expression et De même pour l’espace des
réels, on peut noter
II.1.6 : Les matrices
Une matrice de format dans un ensemble non-vide est une fonction
où et entiers positifs. La fonction est représentée par où
pour tout et ou simplement par la notation Ainsi, une
matrice peut être considérée comme un tableau rectangulaire à lignes et colonnes, tel
que l’élément générique apparaît dans la ligne et colonne de ce tableau.
Pour tout l’expression traduit le produit de par où est un défini
comme suit :
L'ensemble de tous les dans l’ensemble est désigné par l’expression
ou plus généralement par
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II.1.7 : La structure d’espace vectoriel
Un espace vectoriel sur un corps appelé auusi est un ensemble dont
les éléments sont des vecteurs. Il s’agit d’un ensemble non-vide muni de deux lois :
une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de dans :
une loi de composition externe, c’est-à-dire une application de dans :
D’où, le triplet
Axiome 1 : la loi de composition interne qui, à deux élément et de associe l’élément
appelé vérifie les propriétés suivantes :
est commutative, ;
est associative, ;
il existe un élément neutre tel que ;
tout élément de admet un symétrique ou un opposé tel que :
Axiome 2 : la loi de composition externe de dans associe un scalaire et
pour dériver un élément (produit scalaire) caractérisé par les propriétés suivantes :
Distributivité par rapport aux scalaires, : ;
Distributivité par rapport aux vecteurs, : ;
Associativité des scalaires par rapport aux scalaires, :
;
Neutralité vis-à-vis de l’élément unité du corps :
Par exemple : (i) est un espace vectoriel sur le corps ; (ii) la ligne est un espace
vectoriel sur elle-même. (iii) De même, l’ensemble des réels ordonnés
forment un espace vectoriel sur le corps avec tel que :
où la loi est une opération de multiplication (produit
scalaire). (iv) Tout plan passant par l’origine dans est un espace vectoriel.
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Figure 2.1 : Plan passant par l’origine dans
Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des
combinaisons linéaires. Si un espace vectoriel sur un corps alors on note
La combinaison linéaire des vecteurs avec les éléments du corps est
donnée par l’expression :
où est un scalaire, c’est-à-dire un nombre réels multipliant un vecteur dans un espace
vectoriel.
Proposition 2.1. si toute combinaison linéaire avec des scalaires du corps
appartient à ; où le vecteur est une homothétie de
l’extrémité de
Démonstration.
Par l’axiome 2, si avec et avec alors par l’axiome 1, on établit
que
Soit un entier supérieur ou égal à l’unité. Posons et Un élément est
donc un avec où :
Loi de composition interne : si et
alors :
Loi de composition externe : si est un réel et alors :
L’élément neutre de la loi interne est le vecteur nul et le symétrique de
est
Exercices 2.6. (i) Vérifier les propriétés qui font de un (ii) Montrer
qu’un plan ne contenant pas l’origine n’est pas un espace vectoriel.
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Remarque 2.4 :
Un ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans est muni
d’une structure de En effet, la loi interne est l’addition de deux matrices.
La loi externe est la multiplication d’une matrice par un scalaire. L’élément neutre pour la loi
interne est la matrice nulle, et la symétrique de la matrice est la matrice
Par extension, Un ensemble des matrices à lignes et colonnes à
coefficients dans est un
II.2 : Structure des sous-espaces vectoriels
II.2.1 : Les sous-espaces vectoriels
Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel. Soit un L’ensemble
est un sous-espace vectoriel de si :
;
pour tout Ainsi, est stable pour l’addition ;
pour tout et Ainsi, est stable pour la multiplication par un
scalaire.
Par exemple, l’ensemble est un sous-espace vectoriel de En
effet : (i) ; (ii) pour tout alors et Par
conséquent : ; (iii) pour tout et on
a Donc :
Exercices 2.7. Montrer que respectivement : les ensembles (i) ;
(ii) ne sont pas des sous-espaces vectoriels du plan
Théorèmes 2.1. Soient un et un sous-espace vectoriel de
Alors est lui-même un pour les lois induites par
Démonstration.
Soit un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel La stabilité de l’ensemble
pour l’addition et le produit scalaire permet de munir cet ensemble d’une loi de
composition interne et d’une loi de composition externe, tout en restreignant à les
opérations définies dans
Ainsi, les propriétés de commutativité et d’associativité de l’addition et les axiomes
relatifs à la loi de composition externes sont vérifiés, car ils sont satisfaits dans et
donc en particulier dans puisque
L’existence d’un élément neutre découle de la définition de sous-espace vectoriel.
Montrons à présent que pour le symétrique de noté – appartient à Soit
Puisque et que est un espace vectoriel, alors il existe un élément de
noté – tel que – Etant donné que alors pour Et par
conséquent : –
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Théorèmes 2.2. Soient et un système d’équations linéaires
homogènes à variables :
alors l’ensemble des vecteurs solutions est un sous-espace vectoriel de
Démonstration.
Soit l’ensemble des vecteurs solutions de l’équation Montrons à présent que
est un sous-espace vectoriel de En effet :
le vecteur est élément de ;
est stable par addition : si et sont des vecteurs solutions, alors et
donc d’où ;
est stable par multiplication par un scalaire : si est un vecteur solution, alors il
vient que pour tout et Par conséquent,
II.2.2 : Les combinaisons linéaires
Soient un entier naturel et vecteurs d’un espace vectoriel Tout vecteur
de la forme :
est appelé combinaison linéaire des vecteurs et où les scalaires
sont appelés coefficients de la combinaison linéaire. Pour on a que et on dit
que le vecteur est colinéaire à
Par exemple, dans le le vecteur est une combinaison linéaire
des vecteurs et En effet :
Théorèmes 2.3 (Caractérisation d’un sous-espace vectoriel par la notion de
combinaison linéaire). Soient un et une sous-ensemble non-vide
de Alors est un sous-espace vectoriel de si et seulement si :
pour tout et C’est-à-dire si et seulement si toute combinaison
linéaire de deux éléments de appartient à
Démonstration.
Soient un sous-espace vectoriel, et En effet :
Par la définition de sous-espace vectoriel : et ainsi ;
Réciproquement :
- Puisque n’est pas vide, posons Alors ;
- En posant on a ;
- En posant on trouve :
Exercice 2.8. Montrer que dans le le vecteur n’est pas
colinéaire au vecteur
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II.2.3 : L’intersection de deux sous-espaces vectoriels
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un On appelle intersection
de et le sous-ensemble de noté et défini par :
Exercice 2.9. Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un Montrer
que l’intersection est également un sous-espace vectoriel de
Astuce : (i) Montrer que contient ; Montrer que est stable par addition ; (iii)
Montrer que est stable par produit externe.
Considérons à présent un sous-ensemble de l’espace vectoriel défini par :
tel qu’on a :
Montrons que est un sous-espace vectoriel de En effet, l’ensemble est l’intersection
de et deux sous-ensembles de définis respectivement par :
et
Puisque les plans et sont deux sous-espaces vectoriels de car passant par l’origine,
alors, est également un sous-espace vectoriel de C’est une droite vectorielle.
II.2.4 : La réunion et la somme de deux sous-espaces vectoriels
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un On appelle réunion de
et le sous-ensemble de noté et défini par :
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Contrairement à l’opération d’intersection, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est
un sous-espace que lorsque l'un de deux sous-espaces est inclus dans l'autre. Dans le cas
contraire, cette réunion n'est pas stable par addition.
Propositions 2.2.
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un Alors :
est un sous-espace vectoriel de
est le plus petit sous-espace vectoriel contenant à la fois et
Démonstration.
Tout d’abord, montrons que est un sous-espace vectoriel. En effet :
Puisque et donc
Soient et des éléments de Puisque il existe et tels que
Comme alors il existe et tels que Par
conséquent : car et
Soient un élément de et Il existe et tels que Alors :
car et
L’ensemble contient respectivement et En effet :
Pour tout peut s’écrire comme : où et étant un sous-espace
vectoriel, on a aussi Donc, Il en est de même pour tout élément de
Si est un sous-espace vectoriel contenant et on peut montrer que En
effet, si alors en particulier cat De même, si alors Et
puisque est un sous-espace vectoriel, alors
Soient et deux sous-espaces vectoriels du L’ensemble de tous les
éléments où est un élément de et un élément de est appelé somme des sous-
espaces vectoriels et et notée :
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Exercice 2.10. Déterminer l’expression dans le cas où et sont les sous-espaces
vectoriels de tels que et et
Par exemple, considérons et deux sous-espaces vectoriels de :
et
Montrons que
Graphiquement, on a que :
En effet, par définition de on a que tout élément de est dans
Réciproquement, si est un élément quelconque de par exemple, tel que :
avec et alors
Remarques 2.5 :
Un élément de ne s’écrit pas forcément de façon unique.
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L’intersection de deux sous-espaces vectoriels et est un sous-espace vectoriel.
La réunion de deux sous-espaces vectoriels et n’est pas en général un sous-
espace vectoriel.
Si un élément de s’écrit d’une manière unique comme la somme d’un élément
de et d’un élément de alors pour tout et et et on a :
Intéressons-nous enfin, à la notion de somme directe des sous-espaces. En effet, deux
sous-espaces vectoriels et sont en somme directe dans le si :
;
On note alors :
II.2.5 : Les sous-espaces vectoriels supplémentaires
Si les sous-espaces vectoriels et sont en somme directe, alors et sont des sous-
espaces vectoriels supplémentaires dans le
Propositions 1.3.
Soient et deux sous-espaces vectoriels du Alors et sont
supplémentaires dans si et seulement si tout élément de s’écrit de façon unique
comme la somme d’un élément de et d’un élément de
Démonstration.
Supposons :
Montrons que tout élément se décompose de manière unique. En effet :
- Soient et avec et On alors :
- Comme est un sous-espace vectoriel, alors
- De même, puisque est un sous-espace vectoriel, alors
- D’où :
- Or par définition d’espaces supplémentaires donc :
et
- Ainsi, conclut-on que et
Soit Montrons que En effet :
- Montrons que Si il peut donc s’écrire :
et
c’est-à-dire soit comme somme d’un élément de soit comme celle de
- Par l’unicité de la décomposition,
Puisque par hypothèse, tout élément se décompose en avec et
alors on a que :
Par exemple, considérons les sous-espaces vectoriels et du tels
que : et
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Déterminons si et sont supplémentaires dans
Tout d’abord, vérifions que En effet, si l’élément alors les
coordonnées de vérifient les expressions respectives suivantes :
car ;
car
D’où :
Montrons à présent que Soit un élément quelconque de Il faut
déterminer des éléments de et de tels que En effet, l’élément doit être de
la forme et l’élément de la forme Ainsi, on a : si et
seulement si et Donc :
où et
D’où,
Exercices 2.11. Soient et deux sous-espaces vectoriels du tels
que : et Montrer que
Note : Deux droites distinctes du plan passant par l’origine forment des sous-espaces
supplémentaires.
II.2.6 : Les sous-espaces engendrés
Soient sont des vecteurs du Alors, on appelle sous-espace
engendré l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs. C’est un sous-
espace vectoriel de et on le note Pour tout tel que on a :
Théorème 2.4 (Théorème de structure de l’ensemble des combinaisons linéaires).
Soit un ensemble fini de vecteurs d’un Alors :
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l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs est un sous-
espace vectoriel de
C’est le plus petit sous-espace vectoriel de (au sens de l’inclusion)
contenant les vecteurs
Démonstration.
Soit l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs Alors :
car contient la combinaison linéaire particulière
Si alors il existe tels que et tels que
Ainsi, on déduit que
De même,
D’où : est un sous-vectoriel.
Si est un sous-espace vectoriel contenant l’ensemble des combinaisons linéaires des
vecteurs alors :
Il est stable par combinaison linéaire. Donc, il contient toute combinaison linéaire des
vecteurs
D’où, est le plus petit sous-espace contenant car
Ainsi, puisque est le plus petit sous-espace de contenant les vecteurs
alors s’il existe un sous-espace vectoriel de contenant aussi les vecteurs par
conséquent
II.3 : Produit scalaire et Métrique dans un espace vectoriel
Le produit scalaire est une opération qui permet, d’une part, de conférer à l’espace vectoriel
un caractère métrique et d’autre part, de préciser les définitions d’orthogonalité et de
colinéarité. Considérons un corps noté tel que Le produit scalaire est une opération
qui associe deux vecteurs de l’espace vectoriel à un nombre réel :
De il suit que :
Des expressions et on peut dériver l’inégalité triangulaire :
Proposition. Le produit scalaire est distributif : où
et sont des scalaires indépendants.
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Démonstration.
(i) Si
;
(ii) Alors
;
(iii) Et donc, où puisque
Le produit scalaire étant distributif, on a pour :
Définissons à présent les notions d’indépendance linéaire et de base d’un espace vectoriel.
Précédemment, nous avons évoqué la nécessité de disposer d’un repère comprenant deux
vecteurs non colinéaires dans le plan :
ou par extension,
ou plus généralement,
Les vecteurs n’étant pax colinéaires :
Ainsi, éléments d’un espace vectoriel sur le corps sont linéairement indépendants si
et seulement si les forment une famille libre :
Si :
les forment une famille liée.
Parallèlement, si un seul le rang de ce système est égal à 1. Et si le rang
est alors égale à Pour tel que on obtient :
Soit une famille libre telle que :
23
La famille libre constitue une base de l’espace si et seulement si elle permet
d’engendrer tout en faisant varier les scalaires :
La base canonique d’un espace vectoriel est une famille de vecteurs à la fois libre
(linéairement indépendant) et génératrice c’est-à-dire dont les combinaisons linéaires
permettent de construire tous les autres vecteurs de l’espace.
Tableau 1 : Illustration de la base canonique
Espace Base canonique
… ;
Une base canonique de est composée de vecteurs tels que :
avec :
où désigne un symbole de Kronecker, du nom du mathématicien allemand Leopold
Kronecker.
Ainsi, la base canonique du plan comprendra deux éléments, celle de l’espace trois
éléments, ainsi de suite jusqu’à
En considérant une base telle que :
le produit scalaire peut s’écrire en fonction de leurs composantes. Ainsi, on a :
2
Si l’on considère le cas spécifique des bases orthonormées, le produit scalaire devient :
2 Le symbole * désigne la conjugaison complexe, le produit scalaire dans un espace vectoriel
sur le corps complexe étant défini par :
Il ressort donc que l’ordre, dans ces deux opérations, est de rigueur, et que par ailleurs le produit scalaire est sesquilinéaire c’est – à – dire à la fois linéaire par rapport au second vecteur du couple et antilinéaire par rapport au premier.
24
et donc :
D’où, norme de Dès lors, on peut extraire de l’analyse la notion de distance
dans l’espace vectoriel En effet, une distance est une application de dans
telle que les propriétés suivantes sont satisfaites :
(i) (symétrie) ;
(ii) (séparation) ;
(iii) (inégalité triagulaire).
Un espace vectoriel où une distance est définie, est désigné espace métrique. Lorsque ce
dernier est doté d’un produit scalaire sesquilinéaire, l’espace métrique est dit préhibertien.
De même, plus loin, nous distinguerons d’autres cas spécifiques d’espaces métriques, selon
qu’ils seront munis de telle ou telle autre caractéristique ou structure remarquable. Ainsi,
par exemple, un espace métrique sera dit proprement euclidien lorsqu’on y déterminera une
norme définie positive telle que seul le vecteur nul possède une norme nulle.
25
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