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Laurent Berger
TOPOLOGIE ET CALCULDIFFERENTIEL
Laurent Berger
UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Universite de Lyon.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/
Septembre - decembre 2012
TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFERENTIEL
Laurent Berger
TABLE DES MATIERES
Partie I. Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Espaces metriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Connexite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Completude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Topologie generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Compacite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Weierstrass et Stone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Le theoreme de Tychonoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1. Le theoreme de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Le dual d’un espace de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Partie II. Calcul differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Differentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. Fonctions reglees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Fonctions differentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Derivees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4. Differentiation d’integrales et de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5. Derivees superieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Inversion locale et geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1. Inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Le theoreme du rang constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Sous-varietes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 TABLE DES MATIERES
6.1. Equations differentielles lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Equations differentielles non lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A. Appendice : ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.1. Denombrabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2. L’axiome du choix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
PARTIE I
TOPOLOGIE
CHAPITRE 1
ESPACES TOPOLOGIQUES
1.1. Espaces metriques
La topologie est l’etude du lieu (anciennement : analysis situ). C’est le bon cadre pour
etudier les notions de limite, continuite, etc. Un espace metrique (E, d) est la donnee
d’un ensemble E et d’une application distance d : E × E → R qui satisfait :
1. d(x, y) ≥ 0, et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inegalite triangulaire).
Soit (E, d) un espace metrique. Si {xi}i≥1 est une suite de E et si x ∈ E, alors on
dit que xi converge vers x si pour tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que d(xn, x) < ε quel
que soit n ≥ N . On dit que x est la limite de la suite {xi}i≥1 et cette limite est unique.
Une valeur d’adherence (ou point d’accumulation) de {xi}i≥1 est un x ∈ E tel qu’il existe
une extraction ϕ (une fonction ϕ : Z≥1 → Z≥1 strictement croissante) telle que la suite
{xϕ(i)}i≥1 converge vers x.
La boule ouverte de centre a ∈ E et de rayon r > 0 est B(a, r) = {x ∈ E tels que
d(a, x) < r}. On dit qu’une partie U de E est ouverte si pour tout x ∈ U , il existe r > 0
tel que B(x, r) ⊂ U . L’ensemble des ouverts de E est stable par union quelconque et
intersection finie.
On dit qu’une partie F de E est fermee si E \F est ouverte, ce qui fait que l’ensemble
des fermes de E est stable par intersection quelconque et union finie.
Theoreme 1.1.1. — Si F ⊂ E, alors F est fermee si et seulement si pour toute suite
{xi}i≥1 de F qui converge vers une limite x ∈ E, on a x ∈ F .
Demonstration. — Si F est ferme et {xi}i≥1 est une suite qui converge vers x ∈ E, alors
supposons que x ∈ E \ F qui est ouvert. Il existe donc r > 0 tel que B(x, r) ⊂ E \ F et
donc xn /∈ F si n� 0.
10 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
Montrons la reciproque : si x ∈ E et si pour tout n ≥ 1, la boule B(x, 1/n) rencontre
F , alors on peut choisir xn ∈ B(x, 1/n) ∩ F et la suite {xn}n≥1 converge vers x ce qui
fait que x ∈ F . Si x ∈ E \ F , il existe donc n� 0 tel que B(x, 1/n) ⊂ E \ F .
Si P ⊂ E, alors l’adherence P de P est l’intersection des fermes de E qui contiennent
P . L’interieur◦P de P est l’union des ouverts de E contenus dans P . La frontiere de P
est ∂P = P \◦P . On dit que P est dense dans E si P = E. On dit que E est separable
s’il contient une partie denombrable et dense.
Un point a de E est dit isole s’il existe r > 0 tel que B(a, r) = {a}. L’espace E est
discret si tous ses points sont isoles. Tout ensemble E peut etre muni de la distance
donnee par d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1 si x 6= y, pour laquelle il est discret. On
dit alors que E est muni de la topologie discrete.
1.2. Fonctions continues
Soient (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces metriques. On dit qu’une fonction f : X → Y
est continue en un point x ∈ X si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si dX(x, x′) < δ,
alors dY (f(x), f(x′)) < ε. On dit que f est continue si elle est continue en tout x ∈ X.
Theoreme 1.2.1. — Les proprietes ci-dessous sont equivalentes:
1. f est continue;
2. pour toute suite {xn}n≥1 qui converge vers x, la suite {f(xn)}n≥1 converge vers f(x);
3. pour tout ouvert U de Y , f−1(U) est ouvert dans X;
4. pour tout ferme F de Y , f−1(F ) est ferme dans X.
Demonstration. — (1) implique (2) : soit {xn}n≥1 une suite qui converge vers x, ε > 0
et δ de continuite de f en x. Si d(xn, x) < δ, alors d(f(xn), f(x)) < ε et donc {f(xn)}n≥1converge vers f(x).
(2) implique (3) : si x ∈ f−1(U), montrons qu’il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ f−1(U).
Si ce n’est pas le cas, alors pour tout n, il existe xn ∈ B(x, 1/n)∩ (X \ f−1(U)). La suite
{xn}n≥1 converge vers x et donc {f(xn)}n≥1 converge vers f(x) mais f(xn) ∈ Y \ U qui
est ferme, et donc f(x) /∈ U , contradiction.
(3) implique (1) : si x ∈ X et ε > 0, alors f−1(B(f(x), ε)) est un ouvert qui contient
x. Il existe donc δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ f−1(B(f(x), ε)), ce qui implique f(B(x, δ)) ⊂B(f(x), ε).
(3) et (4) sont equivalents car les fermes sont les complementaires des ouverts.
On dit qu’une fonction f : X → Y est uniformement continue si pour tout ε > 0, il
existe δ > 0 tel que pour tous x, x′ ∈ X verifiant dX(x, x′) < δ, on a dY (f(x), f(x′)) < ε.
1.3. CONNEXITE 11
On dit qu’une fonction continue f : X → Y est un homeomorphisme si f est bijective,
et si f−1 est continue. On dit que f est une isometrie si dY (f(x), f(x′)) = dX(x, x′) quels
que soient x, x′ ∈ X.
Theoreme 1.2.2. — Si (X, d) est un espace metrique, alors il existe un espace vectoriel
norme (E, ‖ · ‖) et une isometrie i : X → E.
Demonstration. — Soit E l’espace des fonctions continues bornees sur X, muni de la
norme ‖f‖X = supx∈X |f(x)|. Si y ∈ X, posons fy(x) = d(x, y). Comme |d(x, y) −d(x, z)| ≤ d(x, y), avec egalite si x = z, on voit que si z ∈ X, alors fy − fz ∈ E et que
‖fy−fz‖X = d(y, z). Si l’on fixe a ∈ X, l’application i : X → E donnee par i(y) = fy−faest donc une isometrie.
1.3. Connexite
On dit qu’un espace metrique (X, d) est connexe si on ne peut pas ecrire X = U ∪ Vou U et V sont deux ouverts non-vides disjoints. Ceci est equivalent a dire que toute
fonction continue f : X → {0, 1} est constante.
Theoreme 1.3.1. — L’intervalle [0; 1] de R est connexe.
Demonstration. — Supposons que [0; 1] = U ∪ V ou U et V sont deux ouverts disjoints
non-vides. Les ensembles U et V sont aussi fermes. Supposons que 0 ∈ U , et soit
v = inf{x ∈ V }. Comme V est ferme, on a v ∈ V et donc v 6= 0. L’ensemble U contient
donc [0; v[ et comme il est lui-meme ferme, v ∈ U ce qui est une contradiction.
Proposition 1.3.2. — Si E est une partie connexe de X, alors E est aussi connexe.
Demonstration. — Si f : E → {0, 1} est continue, alors sa restriction a E est constante
car E est connexe. Comme E est dense dans E, f est aussi constante sur E.
Si a ∈ X, la composante connexe C(a) de a est l’union des parties connexes de X qui
contiennent a.
Theoreme 1.3.3. — Si a ∈ X, la composante connexe de a est connexe et fermee.
Demonstration. — Ecrivons C(a) = ∪P ou P parcourt l’ensemble des parties connexes
de X qui contiennent a. Si f : C(a)→ {0, 1} est continue, alors sa restriction a un tel P
est constante (car P est connexe) et egale a f(a) (car a ∈ P ). Par suite, f est constante
egale a f(a) sur C(a). Enfin, C(a) est fermee par la proposition 1.3.2.
12 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
On dit que X est totalement deconnecte si la composante connexe de tout point est
reduite a ce point.
On dit que X est connexe par arcs si pour tous a, b ∈ X, il existe une fonction continue
f : [0; 1]→ X telle que f(0) = a et f(1) = b.
Theoreme 1.3.4. — Si X est connexe par arcs, alors il est connexe.
Demonstration. — Si X = U ∪ V , soit a ∈ U et b ∈ V . Il existe un chemin continu
f : [0; 1] → X tel que f(0) = a et f(1) = b. On a alors [0; 1] = f−1(U) ∪ f−1(V ) ce qui
contredit le theoreme 1.3.1.
La reciproque n’est pas vraie. On dit que X est localement connexe par arcs si pour
tout x ∈ X, il existe un voisinage de X (un ouvert de X qui contient x) qui est connexe
par arcs.
Proposition 1.3.5. — Si X est connexe et localement connexe par arcs, alors X est
connexe par arcs.
Demonstration. — Si a ∈ X, soit G(a) la “composante connexe par arcs” de a, c’est-a-
dire l’ensemble des b ∈ X tels qu’il existe un chemin continu de a a b. Si X est localement
connexe par arcs, alors G(a) est ouvert. L’espace X est reunion disjointe des differentes
composantes connexes par arcs, qui sont ouvertes et disjointes. Si X est connexe, il n’y
a donc qu’une seule composante connexe par arcs, et X est connexe par arcs.
1.4. Completude
Si (E, d) est un espace metrique, on dit qu’une suite {xn}n≥1 est de Cauchy si pour
tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que si m,n ≥ N , alors d(xm, xn) < ε. Par exemple, si
{xn}n≥1 converge, alors elle est de Cauchy. Dans ce cas, d(xn, x) < ε si n ≥ N .
On dit que E est complet si toute suite de Cauchy admet une limite. Par exemple, Rn
est un espace metrique complet. Si E est complet et si F ⊂ E, alors F est ferme si et
seulement s’il est complet.
Theoreme 1.4.1. — Si (X, d) est un espace metrique, et si E est l’espace des fonctions
continues bornees sur X, muni de la norme ‖f‖X = supx∈X |f(x)|, alors E est complet.
Demonstration. — Soit {fn}n≥1 une suite de Cauchy d’elements de E. Montrons qu’il
existe f ∈ E telle que {fn}n≥1 converge vers f . Si x ∈ X, alors la suite {fn(x)}n≥1 est
de Cauchy et admet donc une limite dans R. On definit une fonction f : X → R par
f(x) = lim fn(x).
1.4. COMPLETUDE 13
Soient ε > 0 et N ≥ 1 tels que ‖fn − fm‖X < ε si m,n ≥ N . On a f(x) − fn(x) =
f(x)− fm(x) + fm(x)− fn(x) et comme fm(x)→ f(x), on trouve que |f(x)− fn(x)| < ε
si n ≥ N . Ceci etant vrai pour tout x ∈ X, on a ‖f − fn‖X < ε si n ≥ N : la suite
{fn}n≥1 converge uniformement vers f . En particulier, f est bornee.
Montrons que f est continue. Si ε > 0, alors il existe N tel que ‖fn − fm‖X < ε si
m,n ≥ N , et si x ∈ X, alors il existe δ > 0 tel que |fN(x)−fN(x′)| < ε si d(x, x′) < δ. On
a alors |f(x)−f(x′)| ≤ |f(x)−fN(x)|+ |fN(x)−fN(x′)|+ |fN(x′)−f(x′)|. Si d(x, x′) < δ,
alors |f(x)− f(x′)| ≤ 3ε, et f est bien continue en x.
Un espace vectoriel norme complet s’appelle un espace de Banach.
Theoreme 1.4.2. — Si (E, d) est un espace metrique complet, et si f : E → E est une
fonction telle qu’il existe 0 ≤ λ < 1 verifiant d(f(x), f(y)) ≤ λ · d(x, y), alors f admet un
unique point fixe dans E.
Demonstration. — Soit x0 ∈ E et xn+1 = f(xn) si n ≥ 0. On a
d(xn+1, xn) = d(f(xn), f(xn−1)) ≤ λd(xn, xn−1) ≤ · · · ≤ λnd(x1, x0).
Par suite, d(xn+m, xn) ≤ λn/(1−λ) · d(x1, x0) et la suite {xn}n≥0 est de Cauchy. Comme
E est complet, elle admet une limite x dans E, qui est un point fixe de f .
Si x et y sont deux points fixes de f , alors d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ λd(x, y) ce qui
fait que d(x, y) = 0 et donc que x = y.
Si (E, d) est un espace metrique, alors on peut le completer en y ajoutant les limites
des suites de Cauchy de E.
Theoreme 1.4.3. — Si (X, d) est un espace metrique, alors il existe un espace metrique
complet (X, d) et une isometrie i : X → X, tels que i(X) est dense dans X.
L’espace X est unique a isometrie pres, et si Y est complet et f : X → Y est une
fonction uniformement continue, alors f se prolonge de maniere unique en une fonction
f : X → Y qui est toujours uniformement continue.
Demonstration. — Il y a deux manieres (au moins) de construire X.
La premiere consiste a poser C = {s = {sn}n≥1 ou s est une suite de Cauchy de X}. On
definit une relation d’equivalence sur C par s ∼ t si d(sn, tn)→ 0, et on pose X = C/ ∼,
avec la distance donnee par d(s, t) = lim d(sn, tn). Il faut alors verifier que (X, d) est bien
un espace metrique complet, ce qui est un peu penible, et que l’application i : X → X
donnee par i(x) = (x, x, . . .) est une isometrie telle que i(X) est dense dans X.
La deuxieme methode consiste a utiliser le theoreme 1.2.2 : il existe une isometrie
i : X → E ou E est l’espace des fonctions continues et bornees sur X. Par le theoreme
14 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
1.4.1, l’espace E est complet ce qui fait que si l’on pose X = i(X), alors X est complet.
Par construction, on a une isometrie i : X → X telle que i(X) est dense dans X.
Montrons a present que si f : X → Y est uniformement continue, alors elle se prolonge
a X. Soient x ∈ X la limite d’une suite {xn}n≥1 d’elements de X, et ε > 0. Il existe
δ d’uniforme continuite de f , et si d(xm, xn) < δ, alors d(f(xm), f(xn)) < ε, ce qui fait
que la suite {f(xn)}n≥1 est de Cauchy et admet donc une limite dans Y . On definit
alors f(x) comme cette limite, et on verifie que f : X → Y est bien definie et toujours
uniformement continue.
Enfin, si X1 et X2 sont deux espaces munis d’isometries i1,2 : X → X1,2 d’images denses,
alors i1 se prolonge en une isometrie X2 → X1 dont l’image est dense et complete (car
elle est isometrique a X2) ce qui fait que i1 : X2 → X1 est surjective et donc bijective.
La deuxieme construction de X montre que si X est un evn, alors X est un espace de
Banach, et que l’application i : X → X est lineaire.
1.5. Topologie generale
Soit X un ensemble; une topologie sur X est un ensemble de parties de X, qu’on appelle
les ouverts de X, qui satisfait aux conditions suivantes :
1. ∅ et X sont ouverts;
2. une intersection finie d’ouverts est ouverte;
3. une reunion quelconque d’ouverts est ouverte.
La donnee d’un ensemble X muni d’une topologie est un espace topologique. Les parties
de X dont le complementaire est ouvert sont dites fermees . Une base d’ouverts est un
ensemble B d’ouverts de X tel que tout ouvert de X est reunion (quelconque) d’elements
de B.
Si X est un espace metrique, et qu’on definit les ouverts au moyen de la distance
comme au §1.1, alors X est un espace topologique. Dans ce cas, une base d’ouverts est
donnee par l’ensemble des boules ouvertes. Si X est un espace topologique et s’il existe
une distance sur X qui donne la topologie de X, alors on dit que cette topologie est
metrisable. Deux distances differentes peuvent bien sur donner la meme topologie sur un
espace.
On dit que X est separe si pour tout x 6= y ∈ X, il existe un voisinage U de x et un
voisinage V de y tels que U ∩V = ∅. Un espace metrique est toujours separe. Si X = R,
disons qu’une partie U de R est ouverte si U est vide ou bien si U est le complementaire
d’un nombre fini de points. On obtient ainsi une topologie sur R, qui n’est pas separee.
C’est un cas particulier de la topologie de Zariski .
1.5. TOPOLOGIE GENERALE 15
Si X et Y sont deux espaces topologiques, et si f : X → Y est une fonction, alors on
dit que f est continue si f−1(U) est un ouvert de X pour tout ouvert U de Y . De meme,
les definitions que l’on a vues et qui ne s’expriment qu’en termes d’ouverts se generalisent
aux espaces topologiques, par exemple les notions de connexite et de connexite par arcs.
La notion de completude est en revanche metrique, ainsi d’ailleurs que la notion de partie
bornee.
Si {xn}n≥1 est une suite d’un espace topologique X, alors on dit qu’elle converge vers
x ∈ X si pour tout voisinage U de x, il existe N tel que xn ∈ U si n ≥ N . On dit alors que
x est une limite de la suite {xn}n≥1. En general, une suite peut admettre plusieurs limites,
contrairement au cas metrique. De meme, la caracterisation sequentielle des fermes est
en generale fausse (il faut remplacer les suites indexees par Z≥1 par des suites indexees
par des ensembles ordonnes filtrants).
Si C est un ensemble de parties de X, la topologie engendree par C est celle pour
laquelle une base d’ouverts est donnee par l’ensemble des intersections finies d’elements
de C. Si X est un ensemble et si on se donne une famille de fonctions {fi : X → Yi}i∈I ,alors considerons l’ensemble des f−1i (Ui) ou Ui est un ouvert de Yi et i ∈ I. La topologie
engendree par ces parties de X est appelee la topologie initiale associee a cette famille :
c’est la topologie de X qui comporte le moins d’ouverts possibles et pour laquelle toutes
les fonctions fi sont continues.
Par exemple, si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques, alors la topologie produit
sur X =∏
i∈I Xi est la topologie qui a pour base d’ouverts les parties de X de la forme
Ui1 × · · ·Uik ×∏
i∈I,i 6=ij Xi avec Uj ouvert de Xj. C’est la topologie initiale associee a
la famille des projections {πi : X → Xi}i∈I . Le seul resultat non trivial de topologie
generale que nous verrons dans ce cours est le theoreme de Tychonoff, au §2.4.
CHAPITRE 2
ESPACES COMPACTS
2.1. Compacite
On dit qu’un espace metrique (E, d) est compact si toute suite {xn}n≥1 admet une
valeur d’adherence.
Theoreme 2.1.1. — Un espace metrique (E, d) est compact si et seulement s’il est
complet et si pour tout r > 0, E est l’union d’un nombre fini de boules de rayon r.
Demonstration. — Supposons que toute suite de E admet une valeur d’adherence. Si
{xn}n≥1 est de Cauchy, et x en est une valeur d’adherence, alors x en est la limite;
par suite, E est complet. Soit r > 0 et x1 ∈ E. On construit par recurrence xk+1 ∈E \B(x1, r)∪ . . .∪B(xk, r). Si ce n’est plus possible a l’etape k, c’est que E = B(x1, r)∪. . .∪B(xk, r) et on a termine. Sinon, la suite {xn}n≥1 n’admet pas de valeur d’adherence
car la distance entre deux termes est toujours ≥ r, contradiction.
Montrons a present la reciproque. Soit {xn}n≥1 une suite de E. L’espace E est l’union
d’un nombre fini de boules de rayon 1 et l’une d’elle, notee B1, contient donc une infinite
de termes de la suite. De meme, E est l’union d’un nombre fini de boules de rayon 1/2
et donc il en existe une, notee B2, telle que B1 ∩ B2 contient une infinite de termes de
la suite. On construit ainsi par recurrence une suite de boules Bm de rayon 1/m telles
que B1 ∩ . . . ∩ Bm contient une infinite de termes de la suite. Pour tout m, on choisit
ϕ(m) > ϕ(m− 1) tel que xϕ(m) ∈ B1 ∩ . . . ∩ Bm. La suite {xϕ(m)}m≥1 est de Cauchy, et
comme E est complet, elle admet une limite qui est alors une valeur d’adherence de la
suite de depart.
En particulier, les compacts de Rn sont les parties fermees bornees. En general, les
parties compactes d’un espace complet sont les fermes bornes qui satisfont en plus une
condition d’uniformite (voir par exemple le theoreme 2.2.2 ci-dessous).
1. Si E est compact et si F ⊂ E est fermee, alors F est compacte;
2. Si E et F sont compacts, alors E × F l’est aussi;
18 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS
3. Si E est compact, alors E est separable;
4. Si E est compact et si f : E → X est continue, alors f(E) est compact;
5. Si E est compact et si f : E → R est continue, alors f admet un maximum sur E.
Theoreme 2.1.2 (Heine). — Si X est compact, alors toute fonction continue f : X →Y est uniformement continue.
Demonstration. — Si ε > 0, on veut montrer qu’il existe δ > 0 de continuite de f valable
pour tout x ∈ X. Si ce n’est pas le cas, alors pour tout n ≥ 1, il existe xn, x′n ∈ X tels que
d(xn, x′n) < 1/n mais d(f(xn), f(x′n)) ≥ ε. Si x est une valeur d’adherence de {xn}n≥1,
alors c’est aussi une valeur d’adherence de {x′n}n≥1, et on trouve que d(f(x), f(x)) ≥ ε,
contradiction.
Theoreme 2.1.3 (Poincare). — Si X est compact et si f : X → Y est une bijection
continue, alors f est un homeomorphisme.
Demonstration. — Par le (4) du theoreme 1.2.1 applique a f−1, il s’agit de montrer que
si F est un ferme de X, alors f(F ) est ferme dans Y . Ceci resulte du fait que d’une part,
F est ferme dans X compact, et donc lui-meme compact, et d’autre part qu’une fonction
continue envoie les compacts sur les compacts.
Si E est un R-espace vectoriel, on dit que deux normes | · |1 et | · |2 sont equivalentes
s’il existe C > 0 tel que | · |1 ≤ C| · |2 et | · |2 ≤ C| · |1. Dans ce cas, l’application identite
(E, | · |1) → (E, | · |2) est un homeomorphisme; si de plus E est complet pour l’une des
normes, alors il l’est aussi pour l’autre.
Theoreme 2.1.4. — Si E est un R-espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les
normes sont equivalentes sur E.
Demonstration. — Choisissons une base {e1, . . . , en} de E et posons ‖∑xiei‖∞ =
sup |xi|. Il suffit de montrer que toute norme ‖ · ‖ est equivalente a ‖ · ‖∞. On a
‖∑xiei‖ ≤
∑|xi|‖ei‖ et donc ‖x‖ ≤ C1‖x‖∞ avec C1 =
∑‖ei‖.
Si B = {x ∈ E tels que ‖x‖∞ = 1}, alors B est compacte. L’application ‖·‖−1 : B → R
est continue et elle admet donc un maximum C2 sur B ce qui fait que ‖x‖∞ ≤ C2‖x‖.Il suffit des lors de prendre C = sup(C1, C2).
En particulier, un R-espace vectoriel de dimension finie est complet pour toute norme.
Si E est un evn et si F est un sous-espace de E de dimension finie, alors la norme de E
induit une norme sur F pour laquelle F est complet, et donc F est ferme dans E.
Lemme 2.1.5. — Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un evn E, et
si y ∈ E, alors il existe z ∈ F tel que ‖y − z‖ = d(y, F ).
2.1. COMPACITE 19
Demonstration. — On a d(y, F ) ≤ ‖y‖ et comme F est ferme dans E, l’intersection de F
avec la boule fermee de centre y et de rayon ‖y‖ est compacte. La fonction x 7→ ‖x− y‖y admet donc un minimum en un point z ∈ F .
Theoreme 2.1.6 (Riesz). — Si E est un evn et si B = {x ∈ E tels que ‖x‖ ≤ 1},alors B est compacte si et seulement si E est de dimension finie.
Demonstration. — On a deja vu que B est compacte si E est de dimension finie, reste a
voir la reciproque. Il existe x1, . . . , xn dans B tels que B ⊂ B(x1, 1/2)∪ . . .∪B(xn, 1/2).
Soit F l’espace vectoriel engendre par x1, . . . , xn et y ∈ E. Montrons que y ∈ F .
Par le lemme 2.1.5, la distance de y a F est atteinte en un point z ∈ F . Si y /∈ F , alors
‖y − z‖ > 0 et par construction des xi, il existe i tel que (y − z)/‖y − z‖ ∈ B(xi, 1/2).
On a alors ‖y − (z + ‖y − z‖xi)‖ < ‖y − z‖/2, et z + ‖y − z‖xi ∈ F , ce qui contredit
le fait que z minimise la distance de y a F . On a donc y ∈ F pour tout y ∈ E et donc
E = F est de dimension finie.
Donnons enfin une autre caracterisation des espaces compacts, c’est le theoreme de
Borel-Lebesgue. Si (E, d) est un espace metrique, alors un recouvrement ouvert de E
est un ensemble {Ui}i∈I d’ouverts de E tels que E = ∪i∈IUi. Un sous-recouvrement de
{Ui}i∈I est un ensemble {Ui}i∈J ou J ⊂ I, qui recouvre toujours E; on dit qu’il est fini si
J est fini. On dit que E a la propriete de l’intersection finie si et seulement si pour toute
famille de fermes {Fi}i∈I telle que l’intersection d’un nombre fini d’entre eux est non vide,
l’intersection de tous les fermes est elle-meme non vide. En passant aux complementaires,
on voit que E a la propriete de l’intersection finie si et seulement si tout recouvrement
ouvert de E admet un sous-recouvrement fini.
Theoreme 2.1.7 (Borel-Lebesgue). — Si (E, d) est un espace metrique, alors E est
compact si et seulement si tout recouvrement ouvert de E a un sous-recouvrement fini.
Demonstration. — Supposons que E est compact, et soit {Ui}i∈I un recouvrement ouvert
de E. Montrons qu’il existe r > 0 (un nombre de Lebesgue du recouvrement) ayant la
propriete que pour tout x ∈ E, il existe i ∈ I tel que B(x, r) ⊂ Ui. Si ce n’est pas le cas,
alors pour tout n il existe xn ∈ E tel que B(xn, 1/n) n’est contenu dans aucun des Ui.
Si x est une valeur d’adherence de la suite {xn}n≥1, alors il existe ε > 0 et i ∈ I tels que
B(x, ε) ⊂ Ui et alors B(xn, 1/n) ⊂ Ui des que d(xn, x) + 1/n < ε, contradiction.
Montrons a present que {Ui}i∈I admet un sous-recouvrement fini. Par le theoreme
2.1.1, E est la reunion d’un nombre fini de boules de rayon r. Chacune est contenue dans
un ouvert du recouvrement, et E est alors recouvert par ce nombre fini d’ouverts.
20 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS
Montrons maintenant que si E a la propriete de l’intersection finie, alors il est compact.
Si {xn}n≥1 est une suite de E et k ≥ 1, soit Fk l’adherence de {xn}n≥k. L’intersection
d’un nombre fini des Fk est non vide, et il en est donc de meme de ∩k≥1Fk. Or cet
ensemble est precisement l’ensemble des valeurs d’adherence de {xn}n≥1.
2.2. Espaces compacts
Donnons a present quelques exemples d’espaces compacts. On a vu que dans un R-
espace vectoriel norme de dimension finie, les compacts sont les fermes bornes.
L’ensemble de Cantor est un sous-ensemble de [0; 1] construit de la maniere suivante.
On part de C0 = [0; 1] et on construit un ensemble Cn par recurrence : a chaque etape, Cn
est une reunion finie d’intervalles fermes, et on obtient Cn+1 a partir de Cn en remplacant
chaque intervalle [a; b] par [a; (2a + b)/3] ∪ [(a + 2b)/3; b]. L’ensemble de Cantor C est
C = ∩∞n=1Cn. Comme Cn+1 = (1/3 · Cn) ∪ (2/3 + 1/3 · Cn) et C0 = [0; 1], C est aussi
l’ensemble des nombres reels qui peuvent s’ecrire sous la forme∑∞
n=1 an/3n avec an ∈
{0, 2}. Tout element de C s’ecrit alors de maniere unique sous cette forme (par exemple,
on a 1 =∑∞
n=1 2/3n). L’ensemble de Cantor est un espace compact qui a la propriete
d’universalite suivante.
Theoreme 2.2.1. — Si (K, d) est un espace compact, alors il existe une fonction con-
tinue surjective f : C → K.
Demonstration. — Comme K est compact, on peut l’ecrire comme une reunion finie de
parties fermees de diametre ≤ 1. Quitte a rajouter des doublons, on peut supposer
qu’il y a 2n1 parties fermees, qu’on met arbitrairement en bijection avec {0, 1}n1 . On
peut donc ecrire K = ∪S1∈{0,1}n1KS1 . Il existe n2 tel que pour tout S1, le compact KS1
est la reunion de 2n2 parties fermees de diametre ≤ 1/2, de sorte que l’on peut ecrire
KS1 = ∪S2∈{0,1}n2KS1S2 . Par recurrence sur k ≥ 1, on peut donc ecrire K = ∪KS1...Skou
S1 . . . Sk ∈ {0, 1}n1 × · · · × {0, 1}nk et KS1...Skest un ferme de diametre ≤ 1/2k.
Si x ∈ C, alors x =∑∞
n=1 an/3n et a x on peut associer la suite S(x) = {a1/2, a2/2, · · · },
qu’on decoupe en S = S1(x)S2(x) . . ., avec Si(x) de longueur ni. L’intersection des
compacts KS1(x)...Sk(x) est non-vide (car K est compact) et reduite a un point (car le
diametre de KS1...Sktend vers 0); on appelle f(x) ce point.
Si y ∈ K, alors pour tout k, on a KS1...Sk−1= ∪KS1...Sk
et on peut donc construire par
recurrence une suite Sk(y) telle que y ∈ KS1(y)...Sk(y) quel que soit k, ce qui fait que f est
surjective. Enfin si k ≥ 1 et an = a′n pour tout n ≤ n1 + · · · + nk, alors f(x) et f(x′)
appartiennent tous les deux au meme KS1...Sk. En particulier, si |x − x′| < 1/3n1+···+nk ,
alors d(f(x), f(x′)) ≤ 1/2k. Ceci montre que f est continue.
2.3. WEIERSTRASS ET STONE 21
Soit (X, d) un espace metrique compact et E l’espace des fonctions continues f : X →R. On dit qu’une partie P de E est equicontinue si pour tout ε > 0, il existe un δ > 0
de continuite, valable en tout point x ∈ X pour toute fonction f ∈ P .
Theoreme 2.2.2 (Ascoli). — Si (X, d) est un espace metrique compact et E est
l’espace des fonctions continues f : X → R, alors une partie P de E est compacte si et
seulement si elle est fermee, bornee et equicontinue.
Demonstration. — Si P est compacte, alors elle est fermee et bornee. Pour montrer
qu’elle est equicontinue, la preuve est la meme que celle du theoreme de Heine : etant
donne ε > 0, s’il n’existe pas de δ > 0 correspondant, alors pour tout n ≥ 1, il existe
fn ∈ P et xn, x′n ∈ X tels que d(xn, x
′n) < 1/n et |fn(xn) − fn(x′n)| ≥ ε. On peut alors
trouver une extraction ϕ et f ∈ P et x ∈ X tels que fϕ(n) → f et xϕ(n) → x et x′ϕ(n) → x,
ce qui fait que |f(x)− f(x)| ≥ ε en passant a la limite, contradiction.
Montrons a present qu’une partie P fermee, bornee et equicontinue est compacte.
Comme P est fermee dans E qui est complet, P est complete et il suffit par le theoreme
2.1.1 de montrer que pour tout r > 0, P est union d’un nombre fini de boules de rayon r.
Soit ε > 0 et δ > 0 d’equicontinuite pour ε. Comme X est compact, on peut ecrire
X = ∪i∈IB(xi, δ) ou I est un ensemble fini. Comme P est borne, il existe un intervalle
[a; b] de R tel que si f ∈ P et x ∈ X, on a f(x) ∈ [a; b]. On peut alors ecrire P (X) ⊂∪j∈J ]yj − ε; yj + ε[ ou J est un ensemble fini. Si σ : I → J est une application, disons
que f ∈ P est de type σ si f(xi) ∈]yσ(i)− ε; yσ(i) + ε[ (une fonction peut etre de plusieurs
types). Pour chaque σ, choisissons une fonction fσ de type σ s’il en existe une. Si f ∈ Pest de type σ et x ∈ X appartient a B(xi, δ), alors :
|f(x)− fσ(x)| ≤ |f(x)− f(xi)|+ |f(xi)− fσ(xi)|+ |fσ(xi)− fσ(x)| < 4ε,
ce qui fait que P est inclus dans ∪σ:I→JB(fσ, 4ε). Il suffit des lors de prendre ε = r/4.
Il existe plusieurs resultats de ce type. Par exemple, si `1(R) designe l’espace des suites
x = {xn}n≥1 telles que∑
n≥1 |xn| converge, muni de la norme ‖x‖1 =∑
n≥1 |xn|, alors
`1(R) est un espace de Banach, et une partie P de `1(R) est compacte si et seulement
si elle est fermee, bornee et equisommable (pour tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que∑n≥N |xn| < ε quel que soit x ∈ P ).
2.3. Weierstrass et Stone
Le theoreme de Weierstrass, et sa generalisation le theoreme de Stone concernent
l’approximation des fonctions continues sur un compact.
22 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS
Theoreme 2.3.1 (Weierstrass). — Si I = [a; b], alors toute fonction continue sur I
est une limite uniforme de fonctions polynomiales.
Demonstration. — Si n ≥ 1, alors (x+ y)n =∑n
k=0
(nk
)xkyn−k. En posant y = 1− x, on
trouve que∑n
k=0
(nk
)xk(1−x)n−k = 1; en derivant deux fois et en rearrangeant les termes,
on trouve que∑n
k=0
(nk
)xk(1− x)n−k(k − nx)2 = nx(1− x).
Pour montrer le theoreme, on se ramene tout de suite au cas ou I = [0; 1]. Soit
f : I → R continue et ε > 0. Comme f est uniformement continue, il existe δ > 0 tel
que si |x− y| < δ, alors |f(x)− f(y)| < ε. L’ensemble {(x, y) ∈ I2 tels que |x− y| ≥ δ}est compact, donc la fonction (x, y) 7→ |f(x) − f(y)|/|x − y|2 y admet un maximum
Kδ. On en deduit que |f(x) − f(y)| < ε + Kδ|x − y|2 quels que soient x, y ∈ I. Si
Bn(x) =∑n
k=0
(nk
)xk(1− x)n−kf(k/n), alors
|Bn(x)− f(x)| =
∣∣∣∣∣n∑k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k(f(k/n)− f(x))
∣∣∣∣∣<
n∑k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k(ε+Kδ|k/n− x|2)
< ε+Kδ/4n,
puisque x(1− x) ≤ 1/4, et donc il existe N ≥ 1 tel que |Bn(x)− f(x)| < ε si n ≥ N .
Le theoreme de Stone generalise ce resultat a un compact arbitraire. Si (X, d) est un
espace compact et si A est un ensemble de fonctions continues sur X a valeurs dans R,
alors on dit que A est une algebre si A est stable par addition, multiplication, et contient
les fonctions constantes. On dit que A separe les points si pour tous x, y ∈ X, il existe
f ∈ A telle que f(x) 6= f(y).
Theoreme 2.3.2 (Stone). — Si (X, d) est un espace compact et si A est une algebre de
fonctions continues a valeurs dans R qui separe les points, alors toute fonction continue
sur X est une limite uniforme de fonctions appartenant a A.
Demonstration. — Il s’agit de montrer que l’adherence A de A dans l’ensemble C0(X,R)
est C0(X,R) tout entier. Si f ∈ A, alors f(X) est un compact de R et donc inclus
dans un intervalle [a; b]. Par le theoreme de Weierstrass, la fonction x 7→ |x| est limite
uniforme de polynomes sur [a; b], et la fonction |f | appartient donc a A. Si f, g ∈ A, alors
min(f, g) = (f + g)/2− |f + g|/2 et donc min(f, g) et max(f, g) appartiennent a A.
Soit f : X → R une fonction continue et ε > 0. Si x, y ∈ X, alors il existe hx,y ∈ Atelle que hx,y(x) = f(x) et hx,y(y) = f(y). Comme hx,y(y) = f(y), il existe un ouvert Uy
contenant y tel que hx,y(z) < f(z) + ε si z ∈ Uy. En ecrivant X = ∪y∈XUy et en utilisant
le theoreme de Borel-Lebesgue, on trouve n points y1, . . . , yn tels que X = Uy1 ∪ . . .∪Uyn .
2.4. LE THEOREME DE TYCHONOFF 23
Posons hx = min(hx,y1 , . . . , hx,yn). On a alors hx(x) = f(x) et hx(z) < f(z) + ε quel
que soit z ∈ X. Pour tout x ∈ E, il existe a present un ouvert Vx contenant x tel que
hx(z) > f(z) − ε si z ∈ Vx. On utilise de nouveau le theoreme de Borel-Lebsegue pour
trouver x1, . . . , xm tels que X = Vx1∪. . .∪Vxm . Si l’on prend h = max(hx1 , . . . , hxm), alors
f(z)−ε < h(z) < f(z)+ε quel que soit z ∈ X. Ceci montre bien que A = C0(X,R).
On pourra appliquer ce theoreme aux espaces suivants : les polynomes en X1, · · · , Xn
sur [a; b]n ⊂ Rn, les polynomes trigonometriques sur S1 et sur les tores (S1)n.
2.4. Le theoreme de Tychonoff
Rappelons que si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques, alors la topologie
produit sur X =∏
i∈I Xi est la topologie qui a pour base d’ouverts les parties de X de la
forme Ui1×· · ·Uik×∏
i∈I,i 6=ij Xi avec Uj ouvert de Xj. C’est la topologie initiale associee
a la famille des projections {πi : X → Xi}i∈I . Le seul resultat non trivial de topologie
generale que nous voyons dans ce cours est le theoreme de Tychonoff .
Theoreme 2.4.1 (Tychonoff). — Si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques
compacts, alors∏
i∈I Xi muni de la topologie produit est compact.
Demonstration. — Nous allons montrer que si l’on se donne une famille F de fermes de
X =∏
i∈I Xi qui a la propriete de l’intersection finie, alors l’intersection des elements de
F est non vide. Si F ′ et F ′′ sont deux familles de parties de X qui ont la propriete de
l’intersection finie, alors disons que F ′ ≤ F ′′ si F ′ ⊂ F ′′. Le lemme de Zorn implique
qu’il existe une famille maximale G de parties de X qui a la propriete de l’intersection
finie et qui contient F . En particulier, si G1, G2 ∈ G, alors G1 ∩G2 ∈ G, et si P est une
partie de X telle que P ∩G est non vide pour tout G ∈ G, alors P ∈ G.
Pour tout i ∈ I, la famille de fermes {πi(G)}G∈G a la propriete de l’intersection finie et
contient donc un point xi ∈ Xi. Montrons que x = {xi}i∈I appartient a tout F ∈ F . Soit
J une partie finie de I et U un voisinage de x dans X de la forme U =∏
j∈J Uj×∏
i∈I\J Xi.
Chaque Uj contient xj et donc un point de πj(G), quel que soit G ∈ G par densite. Si
G ∈ G, on en deduit que π−1j (Uj) = Uj ×∏
i 6=j Xj contient un point de G, et donc que
G ∩ π−1j (Uj) est non vide. Par maximalite de G pour la propriete de l’intersection non
vide, on en deduit que π−1j (Uj) ∈ G. Ceci implique que U ∈ G et donc U ∩F est non vide
pour tout F ∈ F . Si F ∈ F est fixe, alors ceci montre que tout voisinage de x rencontre
F et donc que x ∈ F , ce qu’on voulait montrer.
CHAPITRE 3
ESPACES DE BANACH
3.1. Le theoreme de Baire
Le theoreme de Baire est un outil puissant de construction d’elements d’un espace
metrique (comme on le verra sur les applications).
Theoreme 3.1.1 (Baire). — Si (E, d) est un espace metrique complet, et si {Un}n≥1est une famille denombrable d’ouverts denses, alors ∩n≥1Un est dense dans E.
Demonstration. — Rappelons que si {Fn}n≥1 est une famille de fermes emboıtes dont le
diametre tend vers 0, alors ∩n≥1Fn est non vide car E est complet.
Si x ∈ E et ε > 0, montrons que ∩n≥1Un contient un point y tel que d(x, y) < ε.
Comme U1 est dense dans E, il existe x1 ∈ U1 et r1 > 0 tels que B(x1, r1) ⊂ B(x, ε)∩U1.
Si n ≥ 1, alors comme Un+1 est dense dans E, il existe xn+1 ∈ Un+1 et rn/2 ≥ rn+1 > 0
tels que B(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩ Un+1. La suite {B(xn, rn)}n≥1 est une famille de
fermes emboıtes dont le diametre tend vers 0, et son intersection contient donc un point
y, qui verifie alors d(x, y) < ε.
En passant aux complementaires, on trouve qu’une union denombrable de fermes
d’interieur vide est elle-meme d’interieur vide. On appelle Gδ (Gebiet Durchschnitt) une
partie de E qui est une intersection denombrables d’ouverts, et Fσ (Somme de Fermes)
une union denombrable de fermes. Le theoreme de Baire affirme donc que dans un espace
complet, l’ensemble des Gδ denses est stable par intersection denombrable.
Remarque 3.1.2. — Comme le theoreme de Baire s’enonce en termes d’ouverts et de
densite, il est aussi vrai dans des espaces metriques qui ne sont pas complets mais sont
homeomorphes a des espaces metriques complets (un tel espace est dit topologiquement
complet).
26 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH
Baire a montre le theoreme qui porte son nom afin d’etablir (entre autres) le resultat
suivant : une fonction f : [0; 1] → R est une limite simple de fonctions continues si et
seulement si la restriction de f a tout ferme de [0; 1] possede un point de continuite.
Voici un exemple d’application du theoreme de Baire.
Exemple 3.1.3. — Soit E = C0([0; 1],R) et Un = {f ∈ E telles que pour tout x ∈ [0; 1],
il existe y ∈ [0; 1] verifiant |f(y)− f(x)| > n|y − x|}. L’ensemble Un est ouvert et dense
dans E, donc ∩n≥1Un est dense dans E. On en deduit que l’ensemble des fonctions f ∈ Equi ne sont derivables en aucun point contient un Gδ dense de E.
3.2. Espaces de Banach
Les espaces de Banach sont les espaces vectoriels normes complets. Rappelons que
si E et F sont deux espaces de Banach, et si f ∈ L(E,F ), alors f est continue si et
seulement s’il existe C ≥ 0 tel que ‖f(x)‖F ≤ C‖x‖E pour tout x ∈ E. On pose alors
|||f ||| = supx 6=0 ‖f(x)‖F/‖x‖E.
Le theoreme ci-dessous, du a Banach et Steinhaus – mais aussi a Hahn, s’appelle aussi
le “principe de la borne uniforme”.
Theoreme 3.2.1 (de Banach-Steinhaus). — Soit E un espace de Banach, F un
evn, et {fi}i∈I une famille d’applications lineaires continues fi : E → F .
Ou bien il existe M tel que |||fi||| ≤ M pour tout x ∈ E, ou bien il existe un Gδ dense
A de E tel que pour tout x ∈ A, supi∈I ‖fi(x)‖ = +∞.
Demonstration. — Soit Fn = {x ∈ E tels que ‖fi(x)‖ ≤ n pour tout i ∈ I}, qui est un
ferme de E. Si ∪n≥1Fn est d’interieur vide, alors on peut prendre A = E \∪n≥1Fn qui est
un Gδ dense. Sinon, le theoreme de Baire implique que l’un des Fn est d’interieur non
vide, et contient donc une boule de centre a et de rayon r. On a alors ‖fi(a + yr)‖ ≤ n
si ‖y‖ < 1 et donc ‖fi(y)‖ ≤ 2n/r. On peut alors prendre M = 2n/r.
Exemple 3.2.2. — Soit E = F l’espace des fonctions continues f : R→ R periodiques
de periode 2π, et Sn : E → E l’operateur qui a f associe x 7→∑−n≤k≤n f(k)eikx, la
somme partielle de sa serie de Fourier. On a aussi
(Snf)(x) =1
2π
∫ π
−π
sin(n+ 1/2)t
sin(t/2)f(x− t) dt.
Chaque Sn est une application lineaire continue. En prenant
fn(x) =
sin(n+ 1/2)x 0 ≤ x ≤ π(1− 1/(2n+ 1)),
− sin(n+ 1/2)x −π(1− 1/(2n+ 1)) ≤ x ≤ 0,
0 sinon,
3.2. ESPACES DE BANACH 27
on trouve que |(Snfn)(0)| → +∞ alors que ‖fn‖ = 1, et donc que les Sn ne sont pas
uniformement bornes. Le theoreme de Banach-Steinhaus implique alors qu’il existe un
Gδ dense A de E tel que pour tout f ∈ A, on a supn≥1 ‖Sn(f)‖ = +∞.
Theoreme 3.2.3 (de l’application ouverte). — Si E et F sont deux espaces de Ba-
nach, et si f : E → F est une application lineaire continue et surjective, alors il existe
r > 0 tel que f(BE(0, 1)) ⊃ BF (0, r).
Demonstration. — Comme f est surjective, on a F = ∪n≥1f(BE(0, n)) et le theoreme de
Baire implique que l’un des f(BE(0, n)) est d’interieur non vide. Il existe donc y ∈ F
et s > 0 tels que BF (y, s) ⊂ f(BE(0, 1)). Il existe alors une suite {xn}n≥1 de BE(0, 1)
telle que f(xn) → y et si b ∈ B(0, s), alors il existe une suite {x′n}n≥1 de BE(0, 1) telle
que f(x′n) → y + b. La suite {xn − x′n}n≥1 est alors une suite de BE(0, 2) telle que
f(xn − x′n)→ b et donc BF (0, s) ⊂ f(BE(0, 2)).
Si y ∈ B(0, s/2), alors il existe x1 ∈ BE(0, 1) tel que ‖y − f(x1)‖ < s/4. Comme
y − f(x1) ∈ B(0, s/4), il existe x2 ∈ BE(0, 1/2) tel que ‖y − f(x1) − f(x2)‖ < s/8. On
construit ainsi par recurrence une suite {xn}n≥1 telle que xn ∈ BE(0, 21−n) et ‖y−f(x1)−· · · − f(xn)‖ < s/2n+1. La serie
∑n≥1 xn converge vers x ∈ BE(0, 2) tel que y = f(x) et
on peut donc prendre r = s/4.
Corollaire 3.2.4. — Si E et F sont deux espaces de Banach, et si f : E → F est une
application lineaire continue et bijective, alors f−1 : F → E est continue.
Theoreme 3.2.5 (du graphe ferme). — Si E et F sont deux espaces de Banach, et
si f : E → F est une application lineaire, alors f est continue si et seulement si son
graphe est ferme dans E ⊕ F .
Demonstration. — Si f est continue, alors G est le noyau de l’application continue f :
E ⊕ F → F donnee par (x, y) 7→ y − f(x) et est donc ferme dans E ⊕ F .
Montrons donc que si G est ferme dans E⊕F , alors f est continue. Si G est ferme dans
l’espace complet E⊕F , alors il est lui-meme complet et c’est donc un espace de Banach.
L’application π : E ⊕ F → E donnee par (x, y) → x est continue et sa restriction a G
est bijective. Son inverse est continue par le theoreme de l’application ouverte, et donc
f : E → F est continue.
Pour montrer qu’une application lineaire f : E → F est continue, il suffit donc de
verifier que pour toute suite {xn}n≥1 telle qu’il existe x et y verifiant xn → x et f(xn)→ y,
on a y = f(x).
28 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH
Exemple 3.2.6. — Soit E un sous-espace de C0([a; b],R) ferme pour ‖ · ‖∞ qui ne
contient que des fonctions C1 et soit D : f 7→ f ′. Le graphe de D : E → C0([a; b],R) est
ferme par le theoreme 4.4.3, et D est donc continue.
Il existe alors une constante C > 0 telle que ‖f ′‖ ≤ C‖f‖ et la boule unite fermee
de E est donc equicontinue. Le theoreme d’Ascoli implique qu’elle est compacte, et le
theoreme de Riesz dit alors que E est de dimension finie.
3.3. Le dual d’un espace de Banach
Rappelons qu’une forme lineaire f : E → R est continue si et seulement si elle est
bornee. Le resultat ci-dessous est le theoreme de Hahn-Banach, concernant le prolonge-
ment des formes lineaires continues.
Theoreme 3.3.1. — Si E est un evn, si V est un sous-espace de E et si f : V → R
est une forme lineaire continue sur E, alors f se prolonge en une forme lineaire continue
f : E → R, avec ‖f‖E = ‖f‖V .
Demonstration. — Quitte a multiplier f par un scalaire, on peut supposer que ‖f‖V = 1.
Soit w ∈ E \ V , de telle sorte que tout element de V + Rw s’ecrit sous la forme v + tw
avec t ∈ R. Montrons que l’on peut trouver a ∈ R tel que si l’on pose f(w) = a,
alors f : V + Rw → R ainsi definie est toujours de norme 1. Il faut pour cela que
|f(v)− a| ≤ ‖v − w‖ quel que soit v ∈ V , c’est-a-dire que
a ∈ I(v) = [f(v)− ‖v − w‖; f(v) + ‖v − w‖].
Si v, v′ ∈ V , alors f(v − v′) ≤ ‖v − v′‖ ≤ ‖v − w‖+ ‖v′ − w‖ et donc les intervalles I(v)
ont une intersection non vide quand v parcourt V , ce qui fait que l’on peut etendre f a
V + Rw comme souhaite.
Si E est separable, et si {xn}n≥1 est une sous-suite dense de E, alors posons Vn =
V + Rx1 + · · · + Rxn, de telle sorte que ∪n≥1Vn est dense dans E. Le raisonnement
precedent montre que f s’etend de Vn a Vn+1 et donc a ∪n≥1Vn en une forme lineaire qui
est toujours de norme ≤ 1, ce qui permet de montrer le theoreme en prolongeant par
uniforme continuite. Si E n’est pas separable, on remplace la recurrence par l’utilisation
du lemme de Zorn.
Corollaire 3.3.2. — Si E est un evn et si P est une partie de E, alors un point y ∈ Eappartient a l’adherence de Vect(P ) si et seulement si f(y) = 0 pour toute forme lineaire
continue f : E → R qui est nulle sur P .
Demonstration. — Si f est nulle sur P , alors elle est nulle sur l’adherence de Vect(P ) par
linearite et continuite. Supposons que y n’appartient pas a F , l’adherence de Vect(P ).
3.3. LE DUAL D’UN ESPACE DE BANACH 29
L’espace F est ferme dans F ⊕ Ry, puisqu’il est ferme dans E. La forme lineaire f :
F ⊕Ry → R donnee par f(g + ay) = a est donc continue, et par le theoreme de Hahn-
Banach, elle se prolonge en une forme lineaire continue f : E → R telle que f(y) = 1 et
f est nulle sur P .
Si E est un evn, alors le dual de E est l’espace E∗ des formes lineaires continues
f : E → R. On peut munir cet espace de la norme ‖f‖E∗ = sup‖x‖E=1 |f(x)|, ce qui fait
de E∗ un espace de Banach. Le theoreme de Hahn-Banach implique que E∗ separe les
points de E : si x1 6= x2 ∈ E, alors il existe une forme lineaire continue f : E → R telle
que f(x1) 6= f(x2). Si E est un espace de Banach et x ∈ E, alors f 7→ f(x) est une
forme lineaire sur E∗ et on en deduit une application E → E∗∗. Cette application est une
isometrie par le theoreme de Hahn-Banach. On dit que E est reflexif si cette application
est un isomorphisme. C’est par exemple le cas pour un espace de Hilbert, comme on le
verra au chapitre suivant.
Exemple 3.3.3. — Soit `∞ l’espace des suites bornees a = {an}n≥1, muni de la norme
‖a‖∞ = supn≥1 |an|, soit c0 le sous-espace de `∞ constitue des suites tendant vers 0, et
pour 1 ≤ p < +∞, soit `p l’espace des suites a = {an}n≥1 telles que∑
n≥1 |an|p < +∞,
muni de la norme ‖a‖p = (∑
n≥1 |an|p)1/p.On a alors (c0)∗ = `1, (`p)∗ = `q si 1 ≤ p < +∞ ou 1/p+ 1/q = 1, et (`∞)∗ contient `1
mais est strictement plus gros. Les espaces `p pour 1 < p < +∞ sont donc reflexifs.
Lemme 3.3.4. — Si E est un espace de Banach et si E∗ est separable, alors E est
separable.
Demonstration. — Soit {fn}n≥1 une suite dense de E∗\{0} et xn ∈ E de norme 1 tel que
|fn(xn)| ≥ 1/2 · ‖fn‖. Si f ∈ E∗ est nulle sur {xn}n≥1, alors comme la suite {fn}n≥1 est
dense dans E∗, il existe une extraction ϕ telle que fϕ(n) → f . On a alors f(xϕ(n)) = 0 et
1/2 ·‖fϕ(n)‖ ≤ |fϕ(n)(xϕ(n))| = |(f−fϕ(n))(xϕ(n))| → 0, ce qui fait que f = 0. Le corollaire
3.3.2 implique que E est l’adherence de l’espace vectoriel engendre par {xn}n≥1.Il reste a remarquer qu’un espace vectoriel est separable si et seulement s’il contient
une suite denombrable qui engendre un sous-espace dense.
L’etude du dual E∗ d’un espace de Banach E constitue une partie importante de
l’analyse fonctionnelle. Grace a E∗, on peut definir sur E une topologie dite topologie
faible. C’est la topologie initiale associee a la famille de formes lineaires continues f :
E → R. Une base d’ouverts de E pour la topologie faible est donc donnee par les
ensembles qui sont une intersection finie de parties de E de la forme U(a, b, f) = {x ∈ Etels que a < f(x) < b}, ou a < b et ou f ∈ E∗. Si E est de dimension infinie, alors toute
30 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH
intersection finie non vide de U(a, b, f) contient des espaces affines de dimension infinie,
et la topologie faible est donc tres differente de la topologie d’evn de E.
Si {xn}n≥1 est une suite de E et x ∈ E, alors on dit que {xn}n≥1 converge faiblement
vers x si {xn}n≥1 converge vers x pour la topologie faible. C’est equivalent a demander
que f(xn)→ f(x) pour tout f ∈ E∗. On note alors xn ⇀ x.
Lemme 3.3.5. — Si xn ⇀ x, alors ‖x‖ ≤ lim inf ‖xn‖.
Demonstration. — Le theoreme de Hahn-Banach nous donne une forme lineaire f ∈ E∗
de norme 1 telle que f(x) = ‖x‖. On a alors ‖x‖ = f(x) = lim f(xn) ≤ lim inf ‖xn‖.
Exemple 3.3.6. — Si E = `p(R) avec 1 < p <∞, et si xn = (0, . . . , 0, 1n, 0, . . .), alors
‖xn‖ = 1 mais xn ⇀ 0.
Theoreme 3.3.7. — Si E est un espace de Banach separable reflexif, alors B = {x ∈ Etels que ‖x‖ ≤ 1} est sequentiellement compacte pour la topologie faible.
Demonstration. — Il s’agit de montrer que si {xn}n≥1 est une suite de B, alors il existe
une extraction ϕ et x ∈ B tels que f(xϕ(n))→ f(x) quel que soit f ∈ E∗. Comme E est
reflexif, la proposition 3.3.4 implique que E∗ est separable. Soit donc {fk}k≥1 une suite
dense de E∗. Il existe une extraction ϕ1 et y1 ∈ R tels que f1(xϕ1(n)) → y1 ∈ R. De
meme, si k ≥ 1, alors il existe une extraction ϕk et yk ∈ R tels que fk(xϕ1◦···◦ϕk(n))→ yk.
Si l’on pose ϕ(n) = ϕ1 ◦ · · · ◦ϕn(n), alors fk(xϕ(n))→ yk quel que soit k ≥ 1. Par densite,
on trouve que si f ∈ E∗, alors la suite {f(xϕ(n))}n≥1 converge vers une limite, notee y(f).
L’application f 7→ y(f) est une forme lineaire de norme ≤ 1 sur E∗, et elle est donc de
la forme f 7→ f(x) pour un unique x ∈ E, verifiant ‖x‖ ≤ 1, puisque (E∗)∗ = E.
Ce resultat de compacite explique l’introduction de la topologie faible, puisqu’en pra-
tique il est commode de disposer d’autant d’espaces compacts que possible.
3.4. Espaces de Hilbert
Un espace de Hilbert est un espace de Banach E, dont la norme provient d’un produit
scalaire 〈·, ·〉, c’est-a-dire que ‖x‖ =√〈x, x〉. Rappelons l’inegalite de Cauchy-Schwarz
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖, et la loi du parallelogramme ‖x− y‖2 + ‖x+ y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).
Proposition 3.4.1 (projection orthogonale). — Si C est une partie convexe fermee
de E, et si x ∈ E \ C, alors il existe un et un seul c ∈ C tel que ‖x− c‖ = d(x,C).
3.4. ESPACES DE HILBERT 31
Demonstration. — Soit m = d(x,C) et soit {cn}n≥1 une suite de points de C tels que
‖x− cn‖ → m. Soit ε > 0 et N ≥ 0 tel que m ≤ ‖x− cn‖ ≤ m + ε si n ≥ N . La loi du
parallelogramme appliquee aux deux vecteurs cn − x et cm − x nous donne
‖cn − cm‖2 ≤ 4(m+ ε)2 − 4
∥∥∥∥x− cn + cm2
∥∥∥∥2 ≤ 8mε+ 4ε2.
La suite {cn}n≥1 est donc de Cauchy et converge vers c ∈ C tel que ‖x− c‖ = m.
Si ‖x− c1‖ = ‖x− c2‖ = m, alors la loi du parallelogramme appliquee a x− c1 et x− c2donne ‖c1 − c2‖2 ≤ 0 et donc c1 = c2.
Cette proposition est en generale fausse dans un espace de Banach qui n’est pas de
Hilbert.
Si P est une partie de E, alors P⊥ = {x ∈ E tels que 〈x, p〉 = 0 pour tout p ∈ P} est
un sous-espace vectoriel ferme de E.
Proposition 3.4.2. — Si V est un sous-espace vectoriel ferme de E, alors E = V ⊕V ⊥.
Demonstration. — Il est clair que V ∩ V ⊥ = {0} et il faut montrer que V + V ⊥ = E. Si
x ∈ E, alors par la proposition 3.4.1, il existe v ∈ V tel que ‖x− v‖ = d(x, V ). Si w ∈ V ,
alors la fonction t 7→ ‖x− (v+ tw)‖2 admet un minimum en t = 0 et donc 〈x− v, w〉 = 0.
On en deduit que x− v ∈ V ⊥ et donc que x = v + (x− v) ∈ V + V ⊥.
Cette proposition montre que tout sous-espace ferme de E admet un supplementaire
ferme. Ce resultat est faux en general dans un espace de Banach; d’ailleurs, un theoreme
de Lindenstrauss et Tzafriri dit que si tout sous-espace ferme d’un espace de Banach
E admet un supplementaire ferme, alors E est isomorphe (mais pas isometrique!) a un
espace de Hilbert.
Si y ∈ E, alors x 7→ 〈x, y〉 est une forme lineaire sur E, et on a donc une application
lineaire E → E∗. Cette application est en fait un isomorphisme.
Theoreme 3.4.3. — Si E est un espace de Hilbert, et si f ∈ E∗, alors il existe y ∈ Etel que f(x) = 〈x, y〉.
Demonstration. — Soit F = ker(f) de telle sorte que F est un sous-espace de codimension
1 de E, et z ∈ F⊥ tel que f(z) = 1. Si l’on pose y = z/‖z‖2 et g(x) = 〈x, y〉, alors
f = g = 0 sur F , et g(z) = 1 = f(z) ce qui fait que f = g sur E = F ⊕ F⊥.
En particulier, un espace de Hilbert est reflexif.
On note prV : E → V la projection orthogonale sur V parallelement a V ⊥. Si V est de
dimension finie et si v1, . . . , vn en est une base orthogonale, alors prV (x) =∑n
i=1〈x, vi〉vi.Une base de Hilbert de E est une famille orthogonale {ei}i∈I qui engendre un sous-
espace vectoriel dense de E. Si E est separable de dimension infinie, alors E admet une
32 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH
base denombrable, et le procede d’orthonormalisation de Gram-Schmidt implique que E
admet une base de Hilbert denombrable {en}n≥1. Si c’est le cas, soit Vn = Vect(e1, . . . , en)
de telle sorte que ∪n≥1Vn est un sous-espace dense de E. Si x ∈ E, alors d(x, Vn) → 0
et donc prVn(x) → x. On peut donc ecrire x =∑
n≥1〈x, en〉en et l’application x 7→{〈x, en〉}n≥1 est une isometrie entre E et `2(R). Tout espace de Hilbert separable est
donc soit de dimension finie, et isometrique a Rn muni de la norme euclidienne, soit de
dimension infinie et isometrique a `2(R).
On est loin d’avoir une telle classification des espaces de Banach!
PARTIE II
CALCUL DIFFERENTIEL
CHAPITRE 4
DIFFERENTIELLES
4.1. Fonctions reglees
Soit [a; b] un intervalle de R, et F un R-espace vectoriel de dimension finie muni
d’une norme ‖ · ‖. On dit qu’une fonction f : [a; b] → F est en escaliers s’il existe une
subdivision a = a0 < a1 < · · · < an = b telle que f est constante sur chaque intervalle
ouvert ]ai; ai+1[. Une fonction en escaliers est en particulier bornee. Si f et g sont deux
fonctions en escaliers, alors il existe une subdivision pour laquelle f ± g (et fg si F = R)
sont en escaliers. On dit qu’une fonction f : [a; b]→ F est reglee si elle est limite uniforme
de fonctions en escaliers. Notons R([a; b], F ) l’espace des fonctions reglees sur [a; b], muni
de la norme sup et R0([a; b], F ) le sous-espace des fonctions en escaliers sur [a; b], de telle
sorte que R([a; b], F ) = R0([a; b], F ).
Theoreme 4.1.1. — Les fonctions continues f : [a; b]→ F sont reglees.
Demonstration. — Montrons que si f est continue et ε > 0, alors il existe une fonction en
escaliers g : [a; b]→ F telle que ‖f−g‖[a;b] < ε. Comme [a; b] est compact, la fonction f est
uniformement continue par le theoreme de Heine. Il existe donc δ > 0 tel que si |x−y| < δ,
alors ‖f(x) − f(y)‖ < ε. Choisissons une subdivision a = a0 < a1 < · · · < an = b telle
que |ai+1− ai| < δ, et posons g(x) = f(ai) si x ∈ [ai; ai+1[ (ainsi que g(b) = b). On a bien
‖g(x)− f(x)‖ < ε quel que soit x ∈ [a; b].
Si f : [a; b] → F est une fonction en escaliers, on definit I(f) =∑n−1
i=0 (ai+1 − ai)vi
ou vi est la valeur de f sur ]ai; ai+1[. L’application lineaire I : R0([a; b], F ) → F est
uniformement continue, car ‖I(f)‖ ≤ (b − a)‖f‖[a;b], et se prolonge donc par uniforme
continuite a R([a; b], F ).
Plutot que I(f), on note∫ baf l’integrale ainsi definie de la fonction reglee f .
36 CHAPITRE 4. DIFFERENTIELLES
4.2. Fonctions differentiables
Soient E et F deux R-espaces vectoriels normes de dimension finie. Si U est un ouvert
de E et si f : U → F est une fonction, alors on dit que f est differentiable en un point
a ∈ U s’il existe une application lineaire g : E → F telle que
f(a+ h) = f(a) + g(h) + o(‖h‖).
Une telle fonction g est alors unique, car si (g1 − g2)(h) = o(‖h‖), alors g1 = g2. Si f
est differentiable en a, alors elle est continue en a. L’application g ∈ L(E,F ) s’appelle la
differentielle de f en a et est notee dfa (ou encore f ′(a) ou Df(a)).
Par exemple, si f : E → F est lineaire, alors f est differentiable en tout a ∈ E, et
dfa = f .
Remarque 4.2.1. — Si E est un espace euclidien muni d’un produit scalaire 〈·, ·〉, alors
toute forme lineaire sur E est de la forme x 7→ 〈v, x〉 pour un v ∈ E. Si f : U → R est
differentiable en a, alors il existe un unique vecteur ∇f(a) tel que dfa(h) = 〈∇f(a), h〉.Le vecteur ∇f(a) s’appelle le gradient de f en a.
Revenons au cas general.
1. Si f et g sont differentiables en a ∈ U , alors f + g aussi et d(f + g)a = dfa + dga;
2. Si f : U → F1 et g : U → F2 sont differentiables en a ∈ U , et si B : F1 × F2 → F
est une application bilineaire, alors x 7→ B(f(x), g(x)) est differentiable en a et
dB(f, g)a(h) = B(dfa(h), g(a)) +B(f(a), dga(h));
3. Si f : U → F et g : V → G sont differentiables en a ∈ U et en f(a) ∈ V ,
ou V est un ouvert de F qui contient f(U), alors g ◦ f est differentiable en a et
d(g ◦ f)a = dgf(a) ◦ dfa.
Si f : U → R est une fonction, on dit que f admet un maximum local en a ∈ U s’il
existe r > 0 tel que f(y) ≤ f(a) pour tout y ∈ B(a, r). On dit que f admet un extremum
local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.
Theoreme 4.2.2. — Si f : U → R admet un extremum local en un point a ∈ U ou elle
est differentiable, alors dfa = 0.
Demonstration. — Supposons que f a un maximum en a. Si v ∈ E, alors t−1(f(a+ tv)−f(a)) = dfa(v) + o(1) et donc dfa(v) ≤ 0 quel que soit v ∈ E, ce qui implique dfa = 0.
On dit que f : U → F est de classe C1 si f est differentiable en tout point de U et
si la fonction a 7→ dfa de U → L(E,F ) est continue. Par exemple, si f : [a; b] → F est
continue, alors l’application g : x 7→∫ xaf est C1 sur ]a; b[, et g′(x) = f(x) si x ∈]a; b[.
4.3. DERIVEES PARTIELLES 37
Proposition 4.2.3. — Si f : [a; b] → F est continue, et differentiable avec dfx = 0 en
tout x ∈]a; b[, alors f est constante.
Demonstration. — En choisissant une base de F , on se ramene au cas F = R. Si c ∈]a; b],
alors la fonction h(x) = f(x) − (f(c) − f(a))/(c − a) · (x − a) a les memes valeurs en
a et c. Elle admet donc un extremum local en un point d ∈]a; c[ ce qui fait que par le
theoreme 4.2.2, h′(d) = 0 et donc f(c) = f(a).
Corollaire 4.2.4. — Si f : [a; b]→ F est une fonction continue, et C1 sur ]a; b[, alors
f(x) = f(a) +∫ xaf ′(t) dt.
Demonstration. — Si l’on pose g(x) = f(a)+∫ xaf ′(t) dt, alors g est une fonction C1 dont
la differentielle est egale a celle de f , et on conclut par la proposition 4.2.3.
Theoreme 4.2.5. — Si f : U → F est une application de classe C1, et si x, y ∈ U sont
tels que [x; y] ⊂ U , alors f(y) = f(x) +∫ 1
0dfx+t(y−x)(y − x) dt.
Demonstration. — Posons g(t) = f(x + t(y − x)) de telle sorte que g est C1 sur [0; 1].
On a alors g(1)− g(0) =∫ 1
0g′(t) dt et g′(t) = dfx+t(y−x)(y − x).
Corollaire 4.2.6. — Si |||dfz||| ≤ M pour tout z ∈ [x; y], alors ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M‖y −x‖.
4.3. Derivees partielles
Si l’on choisit une base e1, . . . , en de E, alors tout vecteur v ∈ E s’ecrit v = x1(v)e1 +
· · ·+ xn(v)en ou les xi sont les fonctions “coordonnees”. Si f : U → R est differentiable
en a, alors fk : t 7→ f(a + tek) est une fonction fk :] − r; r[→ R qui est differentiable en
t = 0. On note ∂f/∂xk(a) = dfa(ek) la derivee de fk en t = 0, de sorte que
dfa(y1e1 + · · ·+ ynen) =n∑k=1
yk∂f
∂xk(a).
Les reels ∂f/∂xk(a) sont les derivees partielles de f en a. On prendra garde au
fait qu’une fonction f telle que ∂f/∂xk(a) existe pour tout k n’est pas necessairement
differentiable en a.
Theoreme 4.3.1. — Une fonction f : U → R est C1 si et seulement si toutes ses
derivees partielles ∂f/∂xk existent et sont des fonctions continues.
Demonstration. — Si f est C1, alors ∂f/∂xk(a) = dfa(ek) et l’assertion est evidente.
38 CHAPITRE 4. DIFFERENTIELLES
Montrons la reciproque pour n = 2, afin d’alleger les notations. Soit a ∈ U et h ∈ E,
que l’on ecrit h = h1e1 + h2e2. Par le theoreme 4.2.5, on a
f(a+ h1e1 + h2e2) = f(a+ h1e1) +
∫ 1
0
∂f
∂x2(a+ h1e1 + th2e2)h2 dt
= f(a) +
∫ 1
0
∂f
∂x1(a+ uh1e1)h1 du+
∫ 1
0
∂f
∂x2(a+ h1e1 + th2e2)h2 dt,
et donc f(a+ h1e1 + h2e2)− f(a)− h1∂f/∂x1(a)− h2∂f/∂x2(a) est majore par∫ 1
0
∣∣∣∣ ∂f∂x1 (a+ uh1e1)−∂f
∂x1(a)
∣∣∣∣h1 du+
∫ 1
0
∣∣∣∣ ∂f∂x2 (a+ h1e1 + th2e2)−∂f
∂x2(a)
∣∣∣∣h2 dt.On conclut en utilisant la continuite des derivees partielles.
Si f : U → F est differentiable en a et si l’on choisit en plus une base f1, . . . , fm de
F , alors f = (f1, . . . , fm) et la matrice de dfa dans les bases e1, . . . , en et f1, . . . , fm est
la matrice a m lignes et n colonnes donnee par (∂fj/∂xk)j,k. Dans le cas particulier ou
E = F , la matrice de dfa dans la base e1, . . . , en est la matrice Jacobienne de f en a.
Son determinant ne depend pas de la base, et intervient par exemple dans la formule de
changement de variable pour les integrales multiples (si ϕ : U → V est une bijection C1
entre deux ouverts, et si f est une fonction integrable sur V , alors∫Vf =
∫Uf◦ϕ·|det dϕ|).
On peut generaliser un peu la notion de derivee partielle. Si U = U1 × · · · ×Un est un
ouvert de E1 ⊕ · · · ⊕ En, si f : U → F est une fonction, et si x = (x1, . . . , xn) ∈ U , alors
on note difx l’application lineaire Ui → F qui est la differentielle de xi 7→ f(x1, . . . , xn).
L’analogue du theoreme 4.3.1 est alors vrai : f est C1 si et seulement si dif existe et
est continue pour tout i. Dans ce cas, dfx(v1, . . . , vn) =∑n
i=1 difx(vi).
4.4. Differentiation d’integrales et de suites
Une classe importante d’exemples de fonctions differentiables est fournie par les
integrales a parametres . Soit I = [a; b] un intervalle de R, U un ouvert de E et
f : I×U → F une fonction continue. On definit alors g : U → F par g(x) =∫ baf(t, x) dt.
Lemme 4.4.1. — La fonction g : U → F est continue.
Demonstration. — Soit x ∈ U et V un voisinage de x dont l’adherence est compacte et
contenue dans U . La restriction de f a I×V est alors uniformement continue, et si ε > 0,
alors il existe δ > 0 tel que si t1, t2 ∈ I et x1, x2 ∈ U verifient |t1−t2|+‖x1−x2‖ < δ, alors
‖f(t1, x1)−f(t2, x2)‖ < ε. On a alors ‖g(x1)−g(x2)‖ ≤∫ ba‖f(t, x1)−f(t, x2)‖ dt ≤ (b−a)ε
si ‖x1 − x2‖ < δ.
4.5. DERIVEES SUPERIEURES 39
Theoreme 4.4.2. — Soit I = [a; b] un intervalle de R, U un ouvert de E et f : I×U →F une fonction continue telle que dEf : I × U → L(E,F ) existe et est continue.
Si on definit g : U → F par g(x) =∫ baf(t, x) dt, alors g est C1 sur U et on a
dgx =∫ badEf(t,x) dt.
Demonstration. — Posons λx =∫ badEf(t,x) dt de sorte que x 7→ λx est une fonction
continue de U dans L(E,F ) par le lemme 4.4.1.
Soit x ∈ U et V un voisinage de x dont l’adherence est compacte et contenue dans
U . La restriction de dEf a I × V est alors uniformement continue, et donc si ε > 0,
alors il existe δ > 0 tel que |||dEf(t,x) − dEf(t,x′)||| < ε si ‖x− x′‖ < δ. On a f(t, x + h) =
f(t, x) +∫ 1
0dEf(t,x+uh)(h) du ce qui fait que
g(x+ h) = g(x) + λx(h) +
∫ b
a
∫ 1
0
(dEf(t,x+uh) − dEf(t,x))(h) du dt,
et donc que ‖g(x+ h)− g(x)− λx(h)‖ < (b− a)ε‖h‖ des que ‖h‖ < δ.
Theoreme 4.4.3. — Si {fn}n≥1 est une suite de fonctions fn : U → F de classe C1,
qui converge simplement vers f : U → F , et si {dfn}n≥1 converge uniformement vers une
fonction g : U → L(E,F ), alors f est C1 et df = g.
Demonstration. — Soit x ∈ U et r > 0 tels que B(x, r) ⊂ U . Si ‖h‖ < r, alors fn(x+h) =
fn(x) +∫ 1
0d(fn)x+th(h) dt. En faisant tendre n vers l’infini, on trouve que f(x + h) =
f(x) +∫ 1
0g(x+ th)(h) dt, et donc que f(x+ h)− f(x)− g(x)(h) = o(‖h‖). La fonction f
est donc differentiable en x et dfx = g(x). Ceci implique que f est differentiable sur U et
que df = g. Enfin, la fonction g est une limite uniforme de fonctions continues, et donc
elle-meme continue.
4.5. Derivees superieures
Si l’on note L2(E,F ) l’espace des applications bilineaires E×E → F , alors il existe un
isomorphisme L2(E,F ) = L(E,L(E,F )). Il est donne par B 7→ [v 7→ B(v, ·)], l’inverse
etant donne par f 7→ [(v, w) 7→ f(v)(w)].
Si f : U → F est une fonction C1, alors a 7→ dfa est une fonction continue U → L(E,F ).
On dit que f est C2 si cette fonction est C1, et on note d2fa ∈ L(E,L(E,F )) la derivee
seconde de f en a. Grace a l’isomorphisme rappele ci-dessus, on voit plutot d2fa comme
un element de L2(E,F ), c’est-a-dire une forme bilineaire sur E.
Theoreme 4.5.1 (Schwarz). — Si f : U → F est une fonction C2 et a ∈ U , alors la
forme bilineaire d2fa est symetrique.
40 CHAPITRE 4. DIFFERENTIELLES
Demonstration. — On applique le theoreme 4.2.5 a repetition. Si v, w ∈ E, alors on a
f(a + v + w) = f(a + v) +∫ 1
0dfa+v+tw(w) dt et f(a + w) = f(a) +
∫ 1
0dfa+tw(w) dt. De
meme, on a dfa+v+tw(w) = dfa+tw(w) +∫ 1
0d2fa+uv+tw(w)(v) du, de sorte que :
f(a+ v + w)− f(a+ v)− f(a+ w) + f(a) =
∫ 1
0
∫ 1
0
d2fa+uv+tw(w)(v) du dt.
Soit ε > 0. Comme f est C2, il existe δ > 0 tel que ‖d2fa − d2fb‖ < ε si ‖a − b‖ < δ
et donc ∥∥∥∥f(a+ v + w)− f(a+ v)− f(a+ w) + f(a)
‖v‖ · ‖w‖− d2fa(
w
‖w‖,v
‖v‖)
∥∥∥∥ < ε,
des que v et w sont suffisamment petits.
Comme le terme de gauche est symetrique en v et w, il en est de meme pour
d2fa(w/‖w‖, v/‖v‖) ce qui fait que la forme bilineaire d2fa est symetrique.
Traduit en termes de derivees partielles, ce theoreme dit que ∂2f/∂xi∂xj = ∂2f/∂xj∂xi.
Si f : U → R est une fonction C2 et a ∈ U , alors d2fa est une forme quadratique. Sa
matrice (d2fa(ei, ej))i,j dans une base de E est la matrice Hessienne de f en a.
Theoreme 4.5.2. — Soit f : U → R une fonction C2 et a ∈ U tel que dfa = 0. Si d2fa
est definie positive, alors f admet un minimum local strict en a.
Demonstration. — Une double application du theoreme 4.2.5 montre que
f(a+ h) = f(a) +
∫ 1
0
∫ 1
0
d2fa+tuh(h, h)t dt du.
Comme f est C2, il existe ε > 0 tel que la forme d2fa+v est > 0 pour ‖v‖ ≤ ε et alors
f(a+ h) > f(a) si ‖h‖ ≤ ε et h 6= 0.
On definit par recurrence sur n ≥ 2 la notion de fonction de classe Cn. Si f : U → F
est une fonction, on dit que f est Cn si f est C1 et si sa differentielle dfa est Cn−1. Dans
ce cas, la derivee nieme de f en a est une forme multilineaire dnfa ∈ Ln(E,F ), qui est
symetrique par le theoreme de Schwarz. L’analogue du theoreme 4.3.1 est alors vrai :
une fonction f : U → R est Cn si et seulement si toutes ses derivees partielles d’ordre
≤ n existent et sont des fonctions continues. Une fonction est dite de classe C∞ si elle
est Cn pour tout n ≥ 1.
Theoreme 4.5.3 (Formule de Taylor). — Si f : U → F est une fonction Cn et si
a ∈ U et h ∈ E sont tels que [a; a+ h] ⊂ U , alors
f(a+ h) = f(a) + dfa(h) +1
2!d2fa(h, h) + · · ·+
+1
(n− 1)!dn−1fa(h, . . . , h) +
∫ 1
0
(1− t)n−1
(n− 1)!dnfa+th(h, . . . , h) dt.
4.5. DERIVEES SUPERIEURES 41
Demonstration. — Si n = 1, on trouve que f(a+h) = f(a)+∫ 1
0dfa+th(h) dt, ce qui est le
theoreme 4.2.5. Si l’on suppose que le theoreme est vrai a l’ordre n, alors une integration
par parties donne∫ 1
0
(1− t)n−1
(n− 1)!dnfa+th(h, . . . , h) dt =
− (1− t)n
n!dnfa+th(h, . . . , h)
∣∣∣∣10
+
∫ 1
0
(1− t)n
n!dn+1fa+th(h, . . . , h) dt,
ce qui montre la formule a l’ordre n+ 1.
Toutes les formules de Taylor “avec reste” sont des consequences de celle-ci. On trouve
par exemple que si f est Cn et |||dnfx||| ≤M pour tout x ∈ [a; a+ h], alors∥∥∥∥ f(a+ h)− f(a)− dfa(h)− 1
2!d2fa(h, h)− · · · − 1
(n− 1)!dn−1fa(h, . . . , h)
∥∥∥∥ ≤ ‖h‖nn!M.
Le lemme de Hadamard est un autre resultat qui permet d’ecrire une fonction comme
une partie principale et un reste.
Theoreme 4.5.4 (lemme de Hadamard). — Si f : U ⊂ Rn → R est une fonction
Ck et a ∈ U , alors il existe des fonctions f1, . . . , fn : U → R de classe Ck−1 telles que
f(x) = f(a) + (x1 − a1)f1(x) + · · ·+ (xn − an)fn(x).
Demonstration. — Si g(t) = f(a+ t(x−a)), alors g′(t) =∑n
j=1(xj−aj)djf(a+ t(x−a))
et f(x) − f(a) = g(1) − g(0) =∫ 1
0g′(t)dt. On a f(x) = f(a) + (x1 − a1)f1(x) + · · · +
(xn − an)fn(x) avec fj(x) =∫ 1
0djf(a+ t(x− a)), et la fonction fj est de classe Ck−1 par
le theoreme 4.4.2.
Notons que les fonctions fi ne sont pas uniques. Quand n = 1, on trouve que si f est
Cn, alors la fonction (f(x)− f(a))/(x− a) se prolonge en x = a en une fonction Cn−1.
CHAPITRE 5
INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE
5.1. Inversion locale
On s’interesse desormais aux propriete locales des fonctions. On dit qu’une fonction
f : U → F de classe C1 est un C1-diffeomorphisme sur U si f(U) est un ouvert et
s’il existe g : f(U) → U de classe C1 telle que g ◦ f = Id. On dit que f est un C1-
diffeomorphisme local en x ∈ U s’il existe un voisinage V de x dans U sur lequel f est
un C1-diffeomorphisme. Dans ce cas, dgf(x) ◦ dfx = Id et donc dfx est inversible.
Theoreme 5.1.1 (inversion locale). — Si U est un ouvert, si f : U → F est C1 et
si dfx0 est inversible en un point x0 ∈ U , alors f est un C1-diffeomorphisme local en x0.
Demonstration. — Quitte a remplacer f par df−1x0 ◦ f , on peut supposer que F = E et
que dfx0 = Id. De plus, quitte a faire des translations au depart et a l’arrivee, on peut
supposer que x0 = 0 et que f(x0) = 0.
On peut ecrire f(x) = x+α(x) ou α est definie sur U et verifie dα0 = 0. Si 0 < λ < 1,
alors il existe r > 0 tel que B(0, r) ⊂ U et |||dαx||| ≤ λ pour tout x ∈ B(0, r), ce qui fait
que ‖α(x1)− α(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖ si x1, x2 ∈ B(0, r).
Commencons par construire un inverse local g de f . Fixons y ∈ B(0, r(1 − λ)) et
construisons g(y). Si x ∈ B(0, r), alors ‖y − α(x)‖ < r(1 − λ) + λr < r et on definit
une application β : B(0, r) → B(0, r) par β(x) = y − α(x). Cette application verifie
‖β(x1)− β(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖. Le theoreme du point fixe (theoreme 1.4.2) implique que
β admet un unique point fixe dans B(0, r), que l’on note g(y). On a y − α(g(y)) = g(y)
et donc f(g(y)) = y. Par ailleurs, ‖β(x)‖ < r et donc g(y) ∈ B(0, r). On a ainsi defini
une fonction g : B(0, r(1− λ))→ B(0, r) telle que f(g(y)) = y.
Si l’on pose V = g(B(0, r(1− λ))), alors V = f−1(B(0, r(1− λ)))∩B(0, r) et V est un
voisinage de 0 et f : V → B(0, r(1− λ)) est une bijection continue d’inverse g.
Si x1 = g(y1) et x2 = g(y2), alors
‖x1 − x2‖ ≤ ‖α(x1)− α(x2)‖+ ‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖+ ‖y1 − y2‖,
44 CHAPITRE 5. INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE
et donc ‖g(y1)−g(y2)‖ ≤ 1/(1−λ) ·‖y1−y2‖. La fonction g est donc continue, puisqu’elle
est lipschitzienne de constante 1/(1− λ).
Montrons finalement que g : B(0, r(1 − λ)) → B(0, r) est differentiable en tout point
y = f(x) ∈ B(0, r(1 − λ)), de differentielle dgy = df−1x , ce qui implique que g est C1.
Comme f est differentiable en x, on peut ecrire f(x + h) = f(x) + dfx(h) + η(h) avec
η(h) = o(‖h‖). En appliquant g, on trouve que g(y + dfx(h) + η(h)) = x + h. Comme g
est lipschitzienne de constante 1/(1−λ), on a ‖g(y+ dfx(h))− x− h‖ ≤ 1/(1−λ)‖η(h)‖ce qui montre que g(y + k)− g(y)− df−1x (k) = o(‖k‖) et donc que g est differentiable en
y, de differentielle dgy = df−1x .
Ce theoreme est important, car il montre comment une propriete ponctuelle de f
(“la differentielle est inversible”) se propage en une propriete locale. Il est a la base de
l’utilisation du calcul differentiel en geometrie.
Exemple 5.1.2. — Soit E = Rn et F = Rn−1[T ] l’espace des polynomes de degre
≤ n − 1. Si x = (x1, . . . , xn) ∈ E, alors Px(T ) =∏n
i=1(T − xi) = T n + Qx(T ) avec
Qx(T ) ∈ F . On definit une fonction f : E → F par f(x) = Qx(T ). Cette application
est C∞ car elle est polynomiale, et difx = −∏
j 6=i(T − xj). Si les xi sont deux a deux
distincts, alors les n vecteurs P (T )/(T − xi) sont lineairement independants, et f est un
C∞-diffeomorphisme local en x par le theoreme 5.1.1. On en deduit qu’au voisinage de
Px, les racines de P sont des fonctions C∞ des coefficients.
Le theoreme d’inversion locale admet le corollaire suivant.
Corollaire 5.1.3. — Si f : U → F est une fonction C1, injective, et telle que dfx
est inversible pour tout x ∈ U , alors f(U) est ouvert dans F et f : U → f(U) est un
C1-diffeomorphisme.
Demonstration. — Le theoreme 5.1.1 implique que pour tout x ∈ U , il existe un voisinage
Ux de x dans U tel que f(Ux) est ouvert, ce qui montre que f(U) est ouvert. Comme
f : U → f(U) est bijective, elle admet un inverse g : f(U)→ U , qui est C1 par le meme
theoreme.
Exemple 5.1.4. — Soit E = Mn(R) et f : E → E la fonction f(M) = M2. On a
dfM(H) = MH + HM et donc dfM est inversible si Sp(M) ∩ Sp(−M) = ∅. Soit G
l’espace des matrices symetriques et U l’ouvert de G constitue des matrices symetriques
definies positives. La fonction f : U → U est une bijection C∞ et le corollaire 5.1.3
implique que f : U → U est un C∞-diffeomorphisme, d’inverse note√·. Si M ∈ GLn(R),
on peut alors ecrire M = US avec S =√tMM et U = MS−1. La decomposition polaire
se fait donc de maniere C∞ sur GLn(R).
5.2. LE THEOREME DU RANG CONSTANT 45
Un autre corollaire du theoreme d’inversion locale est le theoreme des fonctions im-
plicites.
Theoreme 5.1.5 (fonctions implicites). — Soit U et V deux ouverts de E et F et
soit f : U × V → G une fonction Ck.
Si (a, b) ∈ U × V est tel que f(a, b) = 0 et si dFf(a,b) : F → G est inversible, alors
il existe un voisinage ouvert Ua de a et une fonction g : Ua → V de classe Ck telle que
g(a) = b et f(x, g(x)) = 0 si x ∈ Ua.De plus, il existe un voisinage W de (a, b) dans U × V tel que si f(x, y) = 0 avec
(x, y) ∈ W , alors y = g(x).
Demonstration. — Si ϕ : E ⊕ F → E ⊕G est donnee par ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), alors
Mat(dϕ(x,y)) =
(Id 0
dEf(x,y) dFf(x,y)
),
et donc dϕ(a,b) est inversible. Le theoreme d’inversion locale implique alors qu’il existe
un voisinage W de (a, b) dans E⊕F tel que ϕ(W ) est ouvert dans E⊕G et une fonction
ψ : ϕ(W )→ W de classe Ck telle que ψ ◦ ϕ = Id, c’est-a-dire que ψ(x, f(x, y)) = (x, y).
Quitte a retrecir W , on peut supposer que ϕ(W ) = Ua×Vb. On definit g : Ua → F par
ψ(x, 0) = (x, g(x)). La fonction g est bien Ck et on a (x, 0) = ϕ(x, g(x)) = (x, f(x, g(x))),
ce qui fait que f(x, g(x)) = 0. Si (x, y) ∈ W est tel que f(x, y) = 0, alors ϕ(x, y) = (x, 0)
et donc (x, y) = ψ(x, 0) = (x, g(x)), ce qui fait que y = g(x).
5.2. Le theoreme du rang constant
Soit f : U → F une fonction Ck et p ∈ U . On cherche a quelle condition f est locale-
ment equivalente a sa partie affine en p, c’est-a-dire qu’il existe deux diffeomorphismes
locaux ϕE et ψF tels que ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (x) = f(p) + dfp(x− p).Si l’on differentie l’equation f(x) = ψ−1F (f(p) + dfp(ϕE(x) − p)), on trouve que dfx =
(dψ−1F )f(p)+dfp(ϕE(x)−p) ◦ (dfp)ϕE(x) ◦ (dϕE)x. La differentielle dfx est donc equivalente a dfp
ce qui fait que le rang de dfx est constant pour x appartenant a un voisinage de p. Le
theoreme du rang constant dit que cette condition necessaire est aussi suffisante.
Theoreme 5.2.1 (du rang constant). — Soit f : U → F une fonction Ck telle que
le rang de dfx est constant sur U , et p ∈ U . Il existe alors deux diffeomorphismes locaux
ϕE et ψF de classe Ck, avec ϕE(p) = p et ψF (f(p)) = f(p), tels que ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (x) =
f(p) + dfp(x− p).
46 CHAPITRE 5. INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE
Demonstration. — On peut supposer que p = 0 et que f(p) = 0. Comme df0 est de rang
r, on peut ecrire E = A ⊕ B et F = A′ ⊕ C avec A et A′ de dimension r, de sorte que
df0 = ( i 00 0 ) ou i : A→ A′ est inversible (on a donc B = ker(df0) et A′ = im(df0)).
Selon cette decomposition, on peut ecrire f(a, b) = (i ◦ fA(a, b), fC(a, b)) ou fA est a
valeurs dans A et fC est a valeurs dans C (et on a pour memoire df0(a, b) = (i(a), 0)).
Soit ϕE : U ⊂ A⊕B → A⊕B donne par ϕE : (a, b) 7→ (fA(a, b), b). On a
(dϕE)0 =
((dAfA)0 (dBfA)0
0 IdB
)= IdE,
et donc par le theoreme d’inversion locale, ϕE est un Ck-diffeomorphisme local en 0 : on
a ϕE : U0 → ϕE(U0). On a ϕ−1E (a, b) = (x, b) avec fA(x, b) = a et donc f ◦ ϕ−1E (a, b) =
(i(a), g(a, b)) ou g : ϕE(U0) ⊂ A⊕B → C est une fonction Ck, et
d(f ◦ ϕ−1E )(a,b) =
(i 0
dAg(a,b) dBg(a,b)
).
Comme d(f ◦ ϕ−1E )(a,b) est de rang r, on a dBg(a,b) = 0 et donc g ne depend que de a sur
un voisinage de 0 (on peut supposer que ϕE(U0) = X0 × Y0 avec Y0 connexe).
Soit ψF : i(X0)⊕ C → A′ ⊕ C donne par ψF : (a′, c) 7→ (a′, g ◦ i−1(a′)− c). On a
(dψF )0 =
(IdA′ 0
dAg ◦ i−1 − IdC
),
et donc par le theoreme d’inversion locale, ψF est un diffeomorphisme local de classe Ck
autour de 0. On a alors ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (a, b) = ψF (i(a), g(a)) = (i(a), 0) = df0(a, b).
Si u ∈ L(E,F ), alors u est injective si et seulement s’il existe v ∈ L(F,E) telle que
vu = IdE, et u est surjective si et seulement s’il existe v ∈ L(F,E) telle que uv = IdF .
Par ailleurs, l’ensemble des applications injectives et l’ensemble des applications sur-
jectives sont deux ouverts de L(E,F ).
Corollaire 5.2.2. — Soit f : U → F de classe Ck et p ∈ U .
1. (submersions) si dfp est surjective, alors il existe un voisinage V ⊂ U de p dans E
et un Ck-diffeomorphisme g : V → E tel que f ◦ g(x) = f(p) + dfp(x− p) si x ∈ V ;
2. (immersions) si dfp est injective, alors il existe un voisinage V de f(p) dans F et
un Ck-diffeomorphisme g : V → F tels que g ◦ f(x) = f(p) + dfp(x− p).
Demonstration. — Si dfp est surjective, alors dfx est surjective dans un voisinage de p et le
theoreme du rang constant implique que l’on peut ecrire ψF ◦f◦ϕ−1E (x) = f(p)+dfp(x−p).De plus, dans les notations de la demonstration du theoreme, on a C = 0 et donc ψF = Id
ce qui fait que f ◦ g(x) = f(p) + dfp(x− p) avec g = ϕ−1E .
Le cas des immersions demande de reprendre la demonstration du theoreme du rang
constant, mais ne pose pas de probleme particulier.
5.3. SOUS-VARIETES DE Rn 47
5.3. Sous-varietes de Rn
Une sous-variete Ck de E est une partie M de E telle que pour tout p ∈ M , il existe
un voisinage U de p dans E et un diffeomorphisme ϕp : U → E de classe Ck tel que
ϕp(U ∩M) est un ouvert d’un sous-espace vectoriel F de E. Quitte a remplacer U par
un voisinage plus petit, on peut alors supposer que ϕp(U ∩M) = ϕp(U) ∩ F .
La dimension de M en p est alors la dimension de l’espace F ci-dessus. Cette dimension
est localement constante sur M .
Theoreme 5.3.1. — Si M ⊂ E, alors M est une sous-variete Ck de E si et seulement
si pour tout p ∈ M , il existe un voisinage U de p dans E, un evn G, et une submersion
f : U → G de classe Ck telle que U ∩M = f−1(0).
Demonstration. — Si M est une sous-variete Ck de E, et p, U , ϕp et F sont tels que
ϕp(U ∩M) = ϕp(U) ∩ F , alors il suffit de prendre f = π ◦ ϕp ou π est un projecteur de
noyau F et d’image G.
Si l’on a une submersion f : U → G, alors par le corollaire 5.2.2, il existe un diffeo-
morphisme g d’un voisinage V de p dans U tel que f ◦ g(x) = dfp(x − p). On a donc
f(x) = 0 si et seulement si g−1(x) ∈ p + ker dfp et donc ϕp(g(V ) ∩M) est un ouvert de
ker dfp si ϕp(x) = g−1(x)− p.
En d’autres termes, les sous-varietes de E sont les zeros de systemes non degeneres
d’equations. On montre de meme que M est une sous-variete Ck de E si et seulement si
M est localement en tout point l’image d’une immersion a valeurs dans E.
Exemple 5.3.2. — 1. Un ouvert de E, ou un sous-espace affine de E, est une sous-
variete C∞ de E. Si E = A⊕B et si f : A→ B est une fonction Ck, alors le graphe
de f est une sous-variete Ck de E, de dimension dimA.
2. La sphere Sn−1 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn tels que x21 + · · ·+x2n = 1} est une sous-variete
C∞ de Rn de dimension n−1. Le groupe orthogonal O(n,R) = {M ∈Mn(R) telles
que tMM = Id} est une sous-variete C∞ de Mn(R) de dimension n(n− 1)/2.
3. Enfin, M = {(x, y) ∈ R2 tels que xy = 0} n’est pas une sous-variete de R2, car
aucun voisinage de (0, 0) dans M n’est homeomorphe a un ouvert d’un evn.
Theoreme 5.3.3. — Si f : U → F est une fonction Ck et si le rang de dfx est constant
au voisinage de tout x ∈ f−1(0), alors M = f−1(0) est une sous-variete Ck de E.
Demonstration. — Si p ∈M , alors dans un voisinage V de p on peut ecrire f = ψ−1F ◦(x 7→f(p) + dfp(x− p)) ◦ ϕE par le theoreme du rang constant et ϕp(V ∩ f−1(0)) est alors un
ouvert de ker dfp si ϕp(x) = ϕE(x)− p.
48 CHAPITRE 5. INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE
Si M est une sous-variete de E et si p ∈ M , alors l’espace tangent a M en p est le
sous-espace vectoriel TpM de E donne par d(ϕ−1p )ϕp(p)(F ) si ϕp(M ∩U) est un ouvert de
F . Cette definition ne depend pas des choix de ϕp et de F . Notons que le “veritable”
espace affine qui est tangent a M en p est plutot p+ TpM .
Proposition 5.3.4. — Si M est localement donnee par une equation f = 0 avec f :
U → G de rang constant, alors TpM = ker dfp.
Demonstration. — Le theoreme du rang constant montre que l’on peut ecrire f = ψ−1G ◦dfp◦ϕp avec ϕp(x) = ϕE(x)−p. Il existe alors un voisinage V de p tel que ϕp(f
−1(0)∩V ) est
un ouvert de ker dfp et donc TpM = d(ϕp)−1ϕp(p)
(ker dfp). En differentiant f = ψ−1G ◦dfp ◦ϕpon trouve dfp = d(ψ−1G )0◦dfp◦d(ϕp)p ce qui implique que d(ϕp)
−1ϕp(p)
(ker dfp) = ker dfp.
Theoreme 5.3.5. — Soit M une sous-variete de E, U un voisinage de M et α : U → R
une fonction C1. Si p ∈M est un extremum local de α|M , alors dαp est nulle sur TpM .
Demonstration. — Soit V un voisinage de p et ϕp : V → E un diffeomorphisme tel que
ϕp(V ∩M) = ϕp(V )∩F . La fonction α ◦ϕ−1p est definie sur l’ouvert ϕp(V )∩F de F et y
admet un extremum local en ϕp(p). On en deduit que d(α ◦ ϕ−1p )ϕp(p) = 0 sur F et donc
que dαp est nulle sur d(ϕ−1p )ϕp(p)(F ) = TpM .
CHAPITRE 6
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
6.1. Equations differentielles lineaires
Une equation differentielle lineaire est une equation de la forme x′(t) = A(t)x(t) ou
A : I → Mn(R) est continue sur un intervalle ouvert I de R, et ou on cherche une solution
x : I → Rn de classe C1 verifiant la condition initiale x(t0) = x0 ou t0 ∈ I. Les equations
differentielles du type y(n) + an−1(t)y(n−1) + · · ·+ a1(t)y
′ + a0(t)y = 0 se ramenent au cas
precedent en posant x = t(y, y′, · · · , y(n−1)).Une resolvante est une fonction R : I → Mn(R) de classe C1 telle que R(t0) = Id et
R′(t) = A(t)R(t). S’il existe une resolvante et si x(t0) ∈ Rn, alors x(t) = R(t)x(t0) est
une solution de l’equation x′(t) = A(t)x(t) verifiant la condition initiale x(t0) = x0.
Theoreme 6.1.1. — Si I est un intervalle ouvert de R et t0 ∈ I et si A : I → Mn(R)
est continue, alors il existe une et une seule resolvante R : I → Mn(R) de classe C1 telle
que R(t0) = Id et R′(t) = A(t)R(t).
Demonstration. — L’equation est equivalente a demander que R est continue et verifie
R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s)ds. On definit une suite de fonctions Rm : I → Mn(R) par
R0(t) = Id et Rm+1(t) = Id +∫ tt0A(s)Rm(s)ds. Soit J un intervalle compact de I, et
‖ ·‖J la norme definie par ‖M‖J = sups∈J |||M(s)|||. On pose Sm(t) = Rm+1(t)−Rm(t), de
sorte que Sm+1(t) =∫ tt0A(s)Sm(s)ds. Ceci implique que |||S1(t)||| ≤ ‖A‖J · ‖S0‖J · |t− t0|,
puis que
|||S2(t)||| ≤∣∣∣∣∫ t
t0
|||A(s)||| · ‖A‖J · ‖S0‖J · |s− t0| ds∣∣∣∣ ≤ ‖A‖2J · |t− t0|22!
· ‖S0‖J ,
et par recurrence que
|||Sm(t)||| ≤ ‖A‖mJ · |t− t0|m
m!· ‖S0‖J .
La suite {Rn}n≥1 est donc une suite de Cauchy pour la norme ‖ · ‖J , et converge donc
vers une fonction R : J → Mn(R) qui satisfait l’equation R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s)ds.
50 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Si R1 et R2 sont deux solutions de cette equation, alors on pose U(t) = R1(t)− R2(t)
de sorte que U(t) =∫ tt0A(s)U(s)ds et les calculs ci-dessus impliquent que ‖U‖J = 0 et
donc que R1 = R2. En ecrivant I comme reunion croissante de sous-intervalles compacts,
on termine la demonstration du theoreme.
Remarque 6.1.2. — En dimension 1, la resolvante associee a a(t) est donnee par R(t) =
exp∫ tt0a(s) ds. On ne peut pas generaliser cette formule en dimension plus grande, car
les {A(s)}s∈I ne commutent pas necessairement entre eux.
Si u ∈ I, notons Ru la resolvante telle que Ru(u) = Id.
Lemme 6.1.3. — Si t, u, w ∈ I, alors Ru(t) = Rw(t)Ru(w).
Demonstration. — Fixons u et w et posons S(t) = Ru(t)−Rw(t)Ru(w). On a S(w) = 0
et S ′(t) = A(t)S(t) ce qui fait que S(t) = 0 pour tout t. Ceci implique le lemme.
En posant t = u, on trouve que Ru(w) est inversible quels que soient u,w ∈ I.
Nous pouvons a present montrer l’existence et l’unicite de solutions a une equation
differentielle lineaire non homogene x′(t) = A(t)x(t) + b(t) avec x(t0) = x0 fixe. Soit Rt0
la resolvante associee a A(t) et posons x(t) = Rt0(t)y(t). L’equation se traduit alors en
y′(t) = Rt0(t)−1b(t) et donc sa solution est donnee par
x(t) = Rt0(t) ·(∫ t
t0
Rt0(s)−1b(s) ds+ x0
).
Voici quelques resultats concernant la perturbation d’equations differentielles lineaires.
Lemme 6.1.4 (de Gronwall). — Soit I = [t0; t0 + T ], C > 0 et u, v : I → R≥0 deux
fonctions. Si u(t) ≤ C +∫ tt0uv pour tout t ∈ I, alors u(t) ≤ C exp
∫ tt0v pour tout t ∈ I.
Demonstration. — Si w(t) = C +∫ tt0uv, alors d/dt(w(t) exp(−
∫ tt0v)) ≤ 0, et donc
w(t) exp(−∫ tt0v) ≤ w(t0) = C.
Si A = 0, alors les solutions de l’equation x′(t) = A(t)x(t) sont constantes. Le theoreme
ci-dessous decrit ce qui se passe si l’on perturbe legerement cette situation.
Theoreme 6.1.5. — Si A : I → Mn(R) est telle que∫∞t0|||A(s)||| ds converge, alors la
resolvante associee a A admet une limite quand t→ +∞.
Demonstration. — Comme R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s) ds, on a
|||R(t)||| ≤ 1 +
∫ t
t0
|||A(s)||| · |||R(s)||| ds,
et le lemme de Gronwall donne |||R(t)||| ≤ exp∫ tt0|||A(s)||| ds ≤ K si K = exp
∫∞t0|||A(s)||| ds.
6.2. EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES 51
Soit ε > 0 et tε tel que si t1, t2 ≥ tε, alors∫ t2t1|||A(s)||| ds ≤ ε. On a |||R(t2) − R(t1)||| ≤∫ t2
t1K|||A(s)||| ds ≤ Kε et donc R(t) admet une limite quand t→ +∞.
Voici un exemple d’application; rappelons que les solutions de x′′(t) + x(t) = 0 sont
toutes de la forme x(t) = a cos(t) + b sin(t).
Corollaire 6.1.6. — Si q : [0; +∞[→ R est telle que∫∞0|q| converge, alors les solutions
de x′′(t)+x(t)(1+ q(t)) = 0 sont de la forme x(t) = a cos(t)+ b sin(t)+α(t) ou α(t)→ 0.
Demonstration. — Posons y = ( xx′ ) de sorte que l’on a y′(t) = (D+Q)y avec D = ( 0 1
−1 0 )
et Q =(
0 0−q 0
), et soit z(t) = exp(−tD)y(t). On a z′(t) = exp(−tD)Q exp(tD) · z(t) et
le theoreme 6.1.5 applique a A(t) = exp(−tD)Q exp(tD) implique que z(t) admet une
limite quand t→∞, ce qui montre le corollaire.
Terminons par un resultat concernant le cas ou A : R→ Mn(R) est periodique.
Theoreme 6.1.7 (de Floquet). — Si A : R→ Mn(R) est periodique de periode λ >
0, alors il existe une fonction P : R → Mn(R) periodique de periode λ et une matrice
F ∈ Mn(C) telles que R0(t) = P (t) exp(tF ).
Demonstration. — La matrice S(t) = R(t + λ)R(λ)−1 verifie S(0) = Id et S ′(t) =
A(t)S(t) ce qui fait que S(t) = R(t) et donc R(t+λ) = R(t)R(λ). Comme l’exponentielle
exp : Mn(C) → GLn(C) est surjective, il existe F ∈ Mn(C) telle que R(λ) = exp(λF ).
Un petit calcul montre alors que t 7→ R(t) exp(−tF ) est periodique de periode λ.
6.2. Equations differentielles non lineaires
Soit E un evn de dimension finie, U un ouvert de E, I un intervalle ouvert de R et
f : I × U → E une fonction continue. On s’interesse aux equations differentielles non
lineaires de la forme x′(t) = f(t, x(t)), la solution recherchee etant x : I → U . Dans le
cas particulier ou f(t, x) = A(t) · x, on retrouve les equations differentielles lineaires.
Soit (t0, x0) ∈ I × U ; une solution locale de l’equation differentielle, ayant (t0, x0)
pour conditions initiales, est (J, x) ou J ⊂ I est un intervalle ouvert qui contient t0 et
x : J → U est une fonction de classe C1 telle que x(t0) = x0 et x′(t) = f(t, x(t)).
Nous allons voir qu’une telle solution locale existe toujours.
Remarque 6.2.1. — Contrairement au cas lineaire, on ne peut pas forcement prendre
I = J , et on n’a pas necessairement unicite de la solution.
1. L’equation x′ = x2, avec comme condition initiale x(0) = 1, admet pour solution
x′(t) = 1/(1− t) qui n’est definie que sur ]−∞; 1[;
52 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFERENTIELLES
2. L’equation x′ =√|x|, avec comme condition initiale x(0) = 0, admet pour solution
la fonction xc definie par xc(t) = 0 pour t ≤ c et xc(t) = (t− c)2/4 pour t ≥ c, ceci
quel que soit c ≥ 0.
On dit que f est Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable s’il existe K ≥ 0
tel que pour tout t ∈ I et x1, x2 ∈ U , on a ‖f(t, x1)− f(t, x2)‖ ≤ K‖x1 − x2‖. C’est par
exemple le cas si f est de classe C1.
Theoreme 6.2.2 (de Cauchy-Lipschitz, cas local). — Si f est Lipschitzienne par
rapport a la deuxieme variable, et si (t0, x0) ∈ I × U , alors il existe une solution locale
(J, x) de l’equation x′(t) = f(t, x(t)) ayant (t0, x0) ∈ I × U comme condition initiale.
Si (J1, x1) et (J2, x2) sont deux telles solutions locales, alors x1 = x2 sur J1 ∩ J2.
Demonstration. — Choisissons r, h, K et M telles que :
1. B(x0, r) ⊂ U ;
2. [t0 − h; t0 + h] ⊂ I;
3. f est K-Lipschitz par rapport a la deuxieme variable sur [t0 − h; t0 + h]×B(x0, r);
4. f est bornee par M sur [t0 − h; t0 + h]×B(x0, r);
5. h < min(1/K, r/M).
Soit F l’espace des fonctions continues x : [t0−h; t0+h]→ B(x0, r) telles que x(t0) = x0,
muni de la distance d(x, y) = supt∈[t0−h;t0+h] ‖x(t)− y(t)‖. Si x ∈ F , soit Tx : [t0−h; t0 +
h]→ E la fonction definie par Tx(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds.
On a ‖Tx(t)− x0‖ ≤ ‖∫ tt0f(s, x(s)) ds‖ ≤ hM < r et donc Tx ∈ F . Par ailleurs,
‖Tx(t)− Ty(t)‖ ≤∫ t
t0
‖f(s, x(s))− f(s, y(s))‖ ds ≤ hK · d(x, y),
et donc T : F → F est une application contractante. Comme F est un espace complet, le
theoreme du point fixe nous dit que T admet un point fixe x, qui satisfait alors l’equation
x(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds. On en deduit que (J, x) est une solution locale de l’equation,
avec J =]t0 − h; t0 + h[.
Si (J1, x1) et (J2, x2) sont deux solutions locales, alors l’ensemble des t ∈ J1∩J2 tels que
x1(t) = x2(t) est un ferme de J1 ∩ J2 et il suffit de montrer que c’en est aussi un ouvert.
Soit t ∈ J1 ∩ J2 tel que x1(t) = x2(t). La fonction f est Lipschitzienne par rapport a la
deuxieme variable, de constante K. On a (x1 − x2)(s) =∫ stf(r, x1(r))− f(r, x2(r)) dr et
le lemme de Gronwall applique a u(s) = ‖x1(s)− x2(s)‖ avec v(s) = K et C = 0 montre
que u(s) = 0. L’ensemble des t ∈ J1 ∩ J2 tels que x1(t) = x2(t) est donc bien un ouvert
de J1 ∩ J2.
6.2. EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES 53
Montrons a present l’existence de solutions locales a l’equation differentielle x(t0) = x0
et x′(t) = f(t, x(t)) ou l’on suppose simplement que f est continue (et pas necessairement
Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable).
Lemme 6.2.3. — Si f : [a; b]×B(x, r)→ E est une fonction continue bornee par M et
si ε > 0, alors il existe g : [a; b]×B(x, r)→ E, Lipschitzienne par rapport a la deuxieme
variable et bornee par M , telle que ‖f − g‖ < ε.
Demonstration. — On peut en fait prendre g de classe C1, par exemple en passant en
coordonnees et en utilisant le theoreme de Stone-Weierstrass : les fonctions g : [a; b] ×B(x, r) → R de classe C1 separent les points et sont donc denses dans l’espace des
fonctions continues. Si ‖f −g‖ < ε/2, alors g est bornee par M + ε/2 et il suffit d’ajuster
g pour que ‖g‖ ≤M et ‖f − g‖ ≤ ε.
Theoreme 6.2.4 (de Peano). — Si f est continue, et si (t0, x0) ∈ I × U , alors il
existe une solution locale (J, x) de l’equation x′(t) = f(t, x(t)), ayant (t0, x0) ∈ I × U
comme condition initiale.
Demonstration. — Supposons tout d’abord que f est K-Lipschitzienne par rapport a la
deuxieme variable. Nous reprenons la demonstration du theoreme de Cauchy-Lipschitz
en la modifiant pour enlever la dependance en K. Fixons r et M tels que B(x0, r) ⊂ U
et f est bornee par M sur I ×B(x0, r) (quitte a retrecir I) et [t0 − r/M ; t0 + r/M ] ⊂ I,
et posons h = r/M . On definit F et T comme avant; le fait que hM ≤ r implique que
T (F ) ⊂ F . L’operateur T n’est plus necessairement contractant, mais on a (comme dans
la preuve du theoreme 6.1.1)
‖T nx(t)− T ny(t)‖ ≤ (hK)n
n!· d(x, y),
et il existe donc n � 0 tel que T n est contractant, et admet alors un unique point fixe
x ∈ F . Comme T n(Tx) = Tx, on a Tx = x par unicite. Ceci montre que l’on peut
trouver une solution locale a l’equation differentielle, sur un intervalle dont la longueur
2r/M ne depend pas de la constante de Lipschitz de f .
Passons a present au cas d’une fonction continue. Pour tout n ≥ 1, soit fn : I×U → E
une fonction Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable, bornee par M , et telle
que ‖fn − f‖ < 1/n. Soit xn ∈ F une solution locale de x′n(t) = fn(t, xn(t)) telle que
xn(t0) = x0. On a xn(t) = x0 +∫ tt0fn(s, xn(s)) ds et donc xn est Lipschitzienne de
constante M . L’ensemble des fonctions de F qui sont Lipschitziennes de constante M est
compact par le theoreme d’Ascoli, et il existe donc x ∈ F qui est une valeur d’adherence
de la suite {xn}n≥1. Cette fonction x est alors une solution de l’equation differentielle,
puisqu’elle satisfait x(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds par passage a la limite.
APPENDICE A
APPENDICE : ENSEMBLES
A.1. Denombrabilite
Si E est un ensemble, alors E est fini s’il est en bijection avec ∅ ou {1, 2, . . . , n} pour un
entier n ≥ 1. Le cardinal de E est alors 0 ou n respectivement. Si E est infini, alors on dit
que E est denombrable s’il est en bijection avec Z≥1 = {1, 2, . . .}, c’est-a-dire si l’on peut
ecrire E = {e1, e2, . . .}. Par exemple, Z est denombrable, via la fonction f : Z → Z≥1
donnee par f(0) = 1, f(n) = 2n et f(−n) = 2n+1 pour n ≥ 1. Cette definition n’est pas
vide, car il existe des ensembles infinis qui ne sont pas denombrables, comme le montre
le resultat suivant (ici P(E) denote l’ensemble des parties de E).
Theoreme A.1.1 (Cantor). — Si E est un ensemble, alors il n’existe pas de fonction
surjective f : E → P(E).
Demonstration. — Soit A l’ensemble des x ∈ E tels que x /∈ f(x). Comme f est surjec-
tive, il existe a ∈ A tel que f(a) = A. Si a ∈ A, alors a /∈ f(a) = A et si a /∈ A, alors
a ∈ f(a) = A. Dans les deux cas, on a une contradiction.
Comme corollaire, on trouve par exemple que P(Z≥1) n’est pas denombrable. On peut
montrer que R est en bijection avec P(Z≥1) et n’est donc pas non plus denombrable.
Voici quelques exemples de resultats de denombrabilite.
1. Si E est denombrable, et si F ⊂ E, alors F est fini ou denombrable;
2. Si E et F sont finis ou denombrables, alors il en est de meme pour E × F ;
3. Si E est denombrable, et si f : E → F est surjective, alors F est fini ou denombrable;
4. Si E est un ensemble, et si Ei ⊂ E en est une partie denombrable pour i = 1, 2, . . .,
alors ∪i≥1Ei est denombrable.
Si E et F sont deux ensembles, on dit qu’ils ont meme cardinal s’il existe une bijection
entre E et F . Le cardinal de Z≥1 est note ℵ0 et le cardinal de P(Z≥1) est note ℵ1.
56 APPENDICE A. APPENDICE : ENSEMBLES
A.2. L’axiome du choix
L’axiome du choix dit que si I est un ensemble et si {Ei}i∈I est une collection d’ensem-
bles non vides, alors le produit∏
i∈I Ei est non-vide, c’est-a-dire que l’on peut choisir une
suite (indexee par I) {xi}i∈I telle que xi ∈ Ei. Cela a l’air evident, mais c’est un axiome,
c’est-a-dire que c’est une proposition logiquement independante des autres axiomes de la
theorie des ensembles, comme le postulat d’Euclide est un axiome de la geometrie.
On ne peut donc qu’accepter ou refuser l’axiome du choix. De nos jours, la plupart
des mathematiciens choisissent de l’accepter, ne serait-ce que parce que c’est un outil
puissant qui permet de montrer facilement l’existence de certains objets. En pratique,
on peut souvent s’en passer.
Plutot que l’axiome du choix, on utilise generalement un enonce qui en resulte, le lemme
de Zorn. Soit E un ensemble ordonne, c’est-a-dire un ensemble muni d’une relation ≤telle que :
1. x ≤ x pour tout x;
2. si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z;
3. si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y.
On ne demande pas de pouvoir comparer tous les elements de E. On dit qu’une partie
P de E est totalement ordonnee si pour tous x, y ∈ P on a x ≤ y ou y ≤ x. Si P est
une partie de E, alors un majorant de P est un element y ∈ E tel que p ≤ y pour tout
p ∈ P . On dit que l’ensemble ordonne E est inductif si toute partie non vide totalement
ordonnee admet un majorant. Enfin, un element maximal m de E est un element de E
tel que si x ∈ E verifie x ≥ m, alors x = m.
Le lemme de Zorn est l’enonce suivant : tout ensemble ordonne inductif non vide
admet un element maximal. L’axiome du choix implique le lemme de Zorn mais la
demonstration n’est pas tres eclairante (elle se trouve par exemple dans le livre de Lang).
Grace au lemme de Zorn, on peut montrer de nombreux resultats d’existence d’objets
tres generaux. En voici quelques exemples.
Proposition. — Tout espace vectoriel V admet une base.
Demonstration. — Soit E l’ensemble des familles libres d’elements de V , ordonne par
l’inclusion. C’est un ensemble ordonne inductif : si {Fi}i∈I est un ensemble totalement
ordonne de familles libres de E, alors ∪i∈IFi est libre et est donc un majorant des Fi.
Il existe donc une famille F maximale pour l’inclusion. Soit W le sous-espace de V
engendre par F . Si W 6= V , alors on pourrait rajouter a F un element de V \W ce qui
contredirait la maximalite de F .
A.2. L’AXIOME DU CHOIX 57
Proposition. — Si A et B sont deux ensembles, alors soit il existe une injection de A
dans B, soit il existe une injection de B dans A.
Demonstration. — Considerons les triplets (X, Y, f), ou X est un sous-ensemble de A,
Y est un sous-ensemble de B, et f : X → Y est une bijection. On dit que (X1, Y1, f1) ≤(X2, Y2, f2) si X1 ⊂ X2 et Y1 ⊂ Y2 et f2 |X1= f1. L’ensemble des triplets, muni de cet
ordre, est ordonne inductif : si {(Xi, Yi, fi)}i∈I est un ensemble totalement ordonne de
triplets, alors on pose X = ∪i∈IXi et Y = ∪i∈IYi, avec la fonction f evidente. Le triplet
(X, Y, f) est un majorant des {(Xi, Yi, fi)}.Il existe donc un triplet (X, Y, f) maximal pour l’inclusion, et on verifie que dans ce
cas, soit X = A et A s’injecte dans B, soit Y = B et alors B s’injecte dans A via f−1.
Proposition. — Tout anneau A admet un ideal maximal.
Demonstration. — Soit E l’ensemble des ideaux de A distincts de A. C’est un ensemble
ordonne par la relation I ≤ J si et seulement si I ⊂ J . Si P est une partie totalement
ordonnee de E, alors ∪I∈P I est un ideal de A qui contient tous les ideaux de P , qui est
distinct de A (1 n’appartient a aucun des ideaux I ∈ P et donc a leur union non plus) et
qui est donc un majorant de P . L’ensemble des ideaux de A distincts de A est donc un
ensemble ordonne inductif, et par le lemme de Zorn, il admet un element maximal qui
est alors un ideal maximal de A.
INDEX
adherence, 10algebre de fonctions, 22axiome du choix, 56base
d’ouverts, 14de Hilbert, 31
bouleouverte, 9
completion, 13composante connexe, 11convergence faible, 30C1-diffeomorphisme, 43dense, 10derivee
partielle, 37seconde, 39
differentielle, 36dimension, 47discret, 10distance, 9ensemble
denombrable, 55de Cantor, 20
equation differentiellelineaire, 49non lineaire, 51
equicontinue, 21espace
compact, 17complet, 12connexe, 11connexe par arcs, 12de Banach, 13de Hilbert, 30dual, 29localement connexe par arcs, 12metrique, 9reflexif, 29
separe, 14separable, 10tangent, 48topologique, 14topologiquement complet, 25totalement deconnecte, 12
extraction, 9extremum local, 36ferme, 9fonction
continue, 10de classe C1, 36de classe Cn, 40differentiable, 36en escaliers, 35reglee, 35uniformement continue, 10
formulede Taylor, 40
frontiere, 10gradient, 36homeomorphisme, 11immersion, 46integrale
a parametres, 38des fonctions reglees, 35
interieur, 10isometrie, 11lemme
de Gronwall, 50de Hadamard, 41de Zorn, 56
limite, 9loi du parallelogramme, 30matrice
Hessienne, 40Jacobienne, 38
maximum local, 36
60 INDEX
nombre de Lebesgue, 19normes
equivalentes, 18ouvert, 9partie
fermee, 14ouverte, 14
pointd’accumulation, 9isole, 10
propriete de l’intersection finie, 19recouvrement ouvert, 19resolvante, 49separer les points, 22sous-recouvrement, 19sous-variete, 47subdivision, 35submersion, 46suite
convergente, 9de Cauchy, 12equisommable, 21
theoremed’Ascoli, 21d’inversion locale, 43de Baire, 25de Banach-Steinhaus, 26
de Borel-Lebesgue, 19de Cantor, 55de Cauchy-Lipschitz, 52de Floquet, 51de Hahn-Banach, 28de Heine, 18de l’application ouverte, 27de Peano, 53de Poincare, 18de Riesz, 19de Schwarz, 39de Stone, 22de Tychonoff, 23de Weierstrass, 22des fonctions implicites, 45du graphe ferme, 27du rang constant, 45
topologie, 9, 14de Zariski, 14discrete, 10engendree, 15initiale, 15metrisable, 14produit, 15
valeur d’adherence, 9voisinage, 12
BIBLIOGRAPHIE
[Dem89] M. Demazure – “Catastrophes et bifurcations”
[Lan93] S. Lang – “Real and functional analysis”
[GT96] S. Gonnord & N. Tosel – “Topologie et analyse fonctionnelle”
[GT98] S. Gonnord & N. Tosel – “Calcul differentiel”
[Rud87] W. Rudin – “Real and complex analysis”