topologia-pedro jose herrero piñeyro

Topologıa deEspacios Metricos

Pedro Jose Herrero Pineyro

Murcia 2010

Foto de portada

“Banda de Mobius con tanques y excavadoras en la calle Narodni de Praga”.Obtenida enhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg

Fotos de la seccion ”Algunos nombres propios de la Topologıa“ Cap.-1

Obtenidas enThe MacTutor History of Mathematics archive.http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

Foto de la seccion ”El problema de los puentes de Konigsberg“ Cap.-1”Mapa de Konigsberg por Merian-Erben, ano 1652”

Obtenida enhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg, Map by Merian-Erben 1652.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha_Narodni_trida_Moebiova_paska_s_tanky_a_buldozery.jpg

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

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http://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg,_Map_by_Merian-Erben_1652.jpg

Indice general

-1. Un poco de historia 9

0. Conjuntos, aplicaciones y numeros 19

0.1. Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

0.1.1. Operaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

0.1.2. Otras operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

0.1.3. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

0.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

0.2.1. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

0.2.2. Composicion de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . .31

0.3. Conjuntos finitos y numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

0.3.1. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

0.3.2. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

0.4. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1. Espacios metricos 41

1.1. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

1.1.1. Subespacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

1.2. Distancia a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

1.3. Topologıa asociada a un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . .56

1.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

1.3.2. Abiertos en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

1.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

1.3.4. Cerrados en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

5

6 INDICE GENERAL

1.4. Distancias equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

1.5. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

2. Subconjuntos destacados en la topologıa metrica 75

2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2.2. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

2.2.1. Adherencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

2.3. Puntos de acumulacion (o lımite) y puntos aislados . . . . . . . .82

2.4. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

2.5. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

2.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

2.6.1. Subconjuntos densos y espacios separables . . . . . . . .93

3. Funciones continuas 97

3.1. Aplicacion continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

3.1.1. Continuidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

3.1.2. Continuidad y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . .102

3.2. Homeomorfismos y embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . .103

3.2.1. Aplicaciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . .103

3.2.2. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

3.2.3. Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

3.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

3.3.1. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

4. Espacios compactos 113

4.1. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4.2. Subconjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

4.3. Compacidad y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . .118

4.4. Compactos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

4.5. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

4.5.1. Conjuntos totalmente acotados . . . . . . . . . . . . . . .124

4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .126

4.7. Compactos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

4.8. Propiedad de la interseccion finita . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Topologıa de Espacios MetricosPedro Jos e Herrero Pineyro

INDICE GENERAL 7

5. Espacios metricos completos 135

5.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

5.2. Espacios metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

5.3. Completitud y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

5.4. Algunos resultados interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

5.5. Completado de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . .145

6. Espacios conexos 151

6.1. Conjuntos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

6.2. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

6.2.1. Subespacios conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

6.2.2. Conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

6.3. Conexos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

6.4. Conexion y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

6.4.1. Espacios producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

6.5. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

6.6. Conexion por caminos (o arcos). . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

A. Completar un Espacio Metrico 171

B. Construccion de los numeros reales. 175

OCW-Universidad de MurciaPedro Jos e Herrero Pineyro

8 INDICE GENERAL


-1

Un poco de historia

La Topologıa es basica en la formacion de cualquier matematico actual; no envano, forma parte de las materias troncales (fundamentales) de los primeros cursosde la titulacion en Matematicas en cualquier facultad. La Topologıa se encuentrapresente en casi todas las areas de las Matematicas: el Algebra, la Geometrıa, elAnalisis, etc. (y estas, como no, tambien en la Topologıa). Sus metodos y susresultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permitenabordar otros que no tienen un origen estrictamente topologico.

La Topologıa ha alcanzado, digamos su madurez, recientemente. La mayorıa delos estudiosos de la historia de las Matematicas situan su puesta de largo en lasprimeras decadas del s. XX, a partir de los trabajos de F. Hausdorff (), P.Alexandroff () y W. Sierpinski (). Cuando decimos madurez o puestade largo, queremos decir que es en esos anos, y despues de bastantes aproxima-ciones (como mas adelante veremos), cuando se fijan las definiciones fundamen-tales, cuando el perfil de su actuacion, de los problemas de los que se ocupa, etc.,quedan dibujados de manera suficientemente clara. A partir de ese momento, laTopologıa inicia (o continua) un rapido desarrollo hasta convertirse en un areaimprescindible.

Los inicios pueden situarse, sin embargo, un poco mas lejos, retrocediendo alsiglo XVIII. Hasta entonces los problemas matematicos habıan estado vinculados,en mayor o menor grado, a la idea de medida, magnitud o distancia, y en esaepoca se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tenerimportancia. Son problemas que no dependen de la distancia o el tamano, sino dellugar, de las conexiones, etc. De hecho, los primeros matematicos que los abordandan al estudio de estos problemas el nombre de Geometria situs o Analysis situs

9

10

cuya traduccion viene a ser Geometrıa o Analisis de la situacion o de la posicion.

Fue G. Leibniz (–) el primero que parece referirse a este tipo de prob-lemas y con el nombre anterior Geometria situs, como atestigua L. Euler (–) en Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis publicado en ,que constituye lo que podrıamos llamar el origen de la Topologıa y en cuyocomienzo, Euler escribe lo siguiente.

Ademas de esta parte de la geometrıa que trata de las mag-nitudes y que desde siempre ha sido cultivada con muchocelo, existe otra completamente desconocida hasta nues-tros dıas, de la que Leibniz hablo por primera vez y quellama “Geometria Situs”. Segun el, esta parte de la geo-metrıa se ocupa de determinar solamente la posicion ybuscar las propiedades que resulten de esta posicion; eneste trabajo no es necesario considerar las magnitudes porsı mismas, ni calcular; pero aun no esta muy bien estable-cido cuales son los problemas de este tipo que pertenecena la “Geometria Situs” y cual es el metodo que hay queutilizar para resolverlos; es por lo que, cuando reciente-mente se me presento un problema que parecıa ligado ala geometrıa ordinaria, pero cuya solucion no dependıa dela determinacion de las magnitudes ni del calculo de lascantidades, no he dudado en relacionarlo con la “Geome-tria Situs”, tanto por las consideraciones de posicion queunicamente entran en la solucion, como porque el calculono interviene para nada. Por tanto, he creıdo util expresaraquı, como un ejemplo de la “Geometria Situs”, el meto-do que he encontrado para resolver los problemas de estegenero.

El problema al que se refiere Euler es . . .

El problema de los puentes de Konigsberg

El rıo Pregel atraviesa la ciudad de Konigsberg formando una isla a partir de lacual el rıo continua con dos brazos como se puede apreciar en el plano de la ciudaden la epoca de Euler.



Dicha isla esta unida a la ciudad por siete puentes cuyo esquema puede verse deuna manera mas clara en el siguiente grafico:

El problema consistıa en determinar si una persona que partiera de un lugar deter-minado de la ciudad podrıa regresar al punto de partida tras cruzar cada puente unasola vez. Parece claro que en este problema son intrascendentes las dimensiones;no importa la longitud de los puentes, la anchura del rıo o el tamano de la isla o laciudad; lo que realmente caracteriza el problema es la situacion de los puentes, laciudad y la isla. Euler demostro que el problema era equivalente (topologicamenteequivalente) a recorrer el siguiente grafico con un lapiz sin levantarlo del papel,de manera que se empiece en un punto y se regrese a el recorriendo cada caminouna sola vez.


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Podemos reflexionar sobre este problema durante unos minutos; no obstante, pues-tos a jugar, y con el fin de comprender mejor estos problemas, pensemos que unafigura esta dibujada en una superficie de goma que se puede deformar: estirar,retorcer, encorvar, etc., es decir, modificaciones que llevan consigo cambios deltamano o de la forma de la figura original. No valen transformaciones como cor-tar, hacer agujeros, pegar otro trozo, etc. Las primeras son transformaciones quepodemos llamar continuas, son transformaciones que no cambian la topologıa dela figura y que dan lugar a la misma figura, topologicamente hablando; las se-gundas no son continuas, llevan consigo algun tipo de ruptura, no son topologi-cas y, consecuentemente, no dan lugar a la misma figura desde el punto de vistatopologico. Por ejemplo, dibuje un cuadrado dividido en dos regiones A y B me-diante un segmento como el de la figura:

AB

Podemos estirar o retorcer la superficie de goma, pero las dos regiones estaranseparadas por una linea y las letras A y B no podran estar nunca en la mismaregion. El cuadrado anterior es topologicamente equivalente a la figura siguiente:

AB

Sin embargo, no es topologicamente equivalente a ninguna de las situaciones quese muestran en las tres figuras siguientes:

B

AA B A

B

C



En la primera, la region B esta contenida totalmente en la region A; en la segunda,las dos regiones no tienen un “lado” en comun sino solo un punto, y en la tercerahemos hecho un agujero. (En el libro Aventuras topologicas de J.L. Carlavilla yG. Fernandez, Ed. RUBES, 1994, se pueden encontrar numerosos e interesantesproblemas “topologicos”.)

Ahora es mas comprensible por que Euler concluyo que el problema de los puentesde Konigsberg era equivalente al del grafico que proponıamos antes:

Para terminar de ilustrar estas ideas, digamos que en el clasico libro TopologıaGeneral (Ed. EUDEBA, 1975), el autor John L. Kelley escribe en una nota apie de pagina lo siguiente: “un topologo es un senor que no sabe la diferenciaentre una rosca (bizcocho en forma de anillo) y una taza de cafe”. Si pensamosque el rosco esta hecho de una masa elastica, por ejemplo plastilina, un habilmodelador podrıa efectuar una transformacion topologica para, sin hacer rupturasy respetando el agujero central de la rosca, llegar a la taza de cafe haciendo quedicho agujero sea el del asa y viceversa.

Un poco mas de historia

Antes de hacer un recorrido historico mas concreto, una nueva cita, esta vezdel profesor J.M. Rodrıguez Amilibia en el prologo del libro Introduccion a laTopologıa (J. Margalef y E. Otourelo, Ed. Complutense, 1993):

Cuando un topologo es invitado a dar una conferencia, oa escribir unas lıneas sobre el significado de la Topologıa,no es raro que comience hablando de toros y de tazas decafe; de superficies y de bandas de Mobius; de botellasde Klein y planos proyectivos; y tal vez coja una cuerda ycomience a mostrarnos practicamente la teorıa de nudos.Pero el mismo topologo, una vez en clase, no dira nada deeso, y partiendo de un metodo axiomatico, frıo y duro comoun trozo de acero, nos hablara de entornos, de abiertos, deespacios conexos, de compactificaciones, de redes, etc.


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Eso es, precisamente, lo que vamos a hacer aquı. Las razones de esto vienen acoincidir con las que el propio profesor Rodrıguez Amilibia aduce en el citadoprologo; hay que buscarlas en la evolucion historica de la Topologıa y en su vin-culacion con otras areas.

Como indicaba Euler, podrıamos decir que la Topologıa surge como una hermanapequena de la Geometrıa, pero pronto se hace mayor y permite el estudio denuevos problemas e incluso de problemas antiguos con perspectivas diferentes.Se vincula con otras ramas como el Analisis interactuando mutuamente. Una delas consecuencias es que podemos dividir la Topologıa en dos grandes ramas quetienen desarrollos paralelos y cuya vinculacion no es demasiada: la Topologıa Al-gebraica y la Topologıa General (que estudia los conjuntos de puntos). Esta ultimaes el objeto del presente curso y tiene sus primeras aproximaciones en el s. XIX.

Un breve recorrido cronologico

J.B. Listing (–) fue el primero en utilizar la palabra topologıa en unartıculo cuyo tıtulo fue Vorstudien zur Topologie (Introduccion al estudio de laTopologıa), aunque no se puede decir que este fuera el comienzo de una ramaconsolidada como tal. Listing hace un trabajo, digamos parcial, sobre la conexionde superficies. Lo cierto es que en el s. XIX hubo una gran preocupacion por labusqueda del rigor en las definiciones y conceptos (lımite, continuidad, etc.), in-tentando abandonar las ideas mas intuitivas que se habıan ido manejando hastaentonces; esto y, entre otras cosas, los trabajos de G. Cantor (–) so-bre conjuntos dan pie a plantearse la necesidad de extender conceptos, basadosesencialmente en los numeros, a otros conjuntos cuyos elementos eran diferentes:funciones, curvas, etc. Se hacen esfuerzos en la elaboracion de una teorıa de es-pacios abstractos que permita sistematizar todas estas ideas que son vislumbradaspor algunos matematicos. Hasta consolidar el tratamiento axiomatico definitivo,son numerosas las aproximaciones que se van haciendo y que resumimos a con-tinuacion.

Algun autor atribuye la paternidad de la Topologıa a B. Riemann (–),aduciendo que se acerca a la nocion actual de espacio topologico como una teorıaautonoma y que incluso concibe un programa de estudios al respecto; no obstante,sus ideas todavıa quedaban un poco lejos de lo que serıa la propia Topologıa.

Tambien H. Poincare (–) contribuye con su obra Analysis situs ()haciendo un estudio muy riguroso sobre conexion vinculado a lo que actualmentese llama Topologıa Algebraica; algun autor escribe que, de no ser por lo dispersode su quehacer matematico (Poincare estudio de casi todo), suya habrıa sido lasistematizacion a que nos venimos refiriendo; en todo caso, tambien hay que decirque Poincare mostro poco interes sobre la Topologıa conjuntista, como muestrasu intervencion en el Congreso Internacional de Matematicas de , donde se



refirio a la teorıa de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que lasgeneraciones posteriores estarıan curadas.

F. Riesz (–) y M. Frechet (–) hacen importantes trabajos quesuponen una nueva aproximacion; de hecho, Frechet introduce los espacios metri-cos en su tesis doctoral ().

Concluyamos diciendo que la primera definicion de espacio topologico en termi-nos de entornos fue dada en por F. Hausdorff (–), partiendo delos trabajos de Riesz, anadiendo la propiedad de separacion de puntos (que seconoce como propiedad T2 o de Hausdorff), que mas adelante serıa eliminada dela definicion. Las definiciones de espacios topologicos en terminos de abiertosson obra de P. Alexandroff (–) en y W. Sierpinski (–) en. A partir de entonces la Topologıa ha ido evolucionando y revelandose, comodecıamos al comienzo, como una rama fundamental en la formacion de cualquiermatematico actual.

Algunos nombres propios de la Topologıa

G. Leibniz (–)

Aunque es una figura destacada dentro delCalculo, fue el primero que se refirio comoGeometria Situs (Geometrıa de la posicion)a problemas en los que no intervenıan lasmagnitudes: estaba intentando resolver pro-blemas combinatorios de posicion. Se puedeconsiderar como un precursor de la teorıa degrafos y de la Topologıa.

L. Euler (–)

Publico en el primer trabajo sobre Geo-metrıa de la posicion, con el problema de Lospuentes de Konigsberg, donde se dio cuentade que existıa un nuevo tipo de Geometrıadonde la distancia no es relevante. En enuncio su conocido teorema que relaciona elnumero de caras C, de aristas A y de verticesV de un poliedro: C −A+ V = 2.


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J.B. Listing (–)

Es el primero en utilizar la palabra topologıaen su libro Vorstudien zur Topologie, perose trata de un trabajo parcial. En publico Der Census raumlicher Complexeoder Verallgemeinerung des Euler’schenSatzes von den Polyedern en el que estudiabadiversas generalizaciones de la formula deEuler.

B. Riemann (–)

En Riemann defendio su tesis doc-toral, que contiene importantes ideas tantotopologicas como analıticas, como porejemplo las superficies de Riemann y suspropiedades. Concibio las ideas cercanas alo que despues serıa la Topologıa como unateorıa autonoma.

G. Cantor (–)En publico su primer artıculo sobreteorıa de conjuntos, donde describıa riguro-samente la nocion de infinito y probaba elcontrovertido resultado de que casi todos losnumeros reales son trascendentes. Con susestudios sobre conjuntos dio pie a la for-mulacion de ideas “topologicas”; el mismoproporciono las primeras definiciones deconjunto derivado y punto lımite.



F. Hausdorff (–)

Figura indiscutible de la topologıa y la teorıade conjuntos, introdujo la idea de conjuntoparcialmente ordenando en . En introdujo tipos especiales de ordinales en unintento de probar la hipotesis del continuo.En publico Grundzuge der Mengen-lehre donde presento la primera definicionaxiomatica de espacio topologico.

M.R. Frechet (–)

Introdujo la idea de conjunto compacto,aunque actualmente dicho concepto se de-nomina compacidad por punto lımite o deacumulacion. Tambien introdujo en losespacios metricos y probo que las ideas deCantor de subconjuntos abiertos y cerradospodıan extenderse de manera natural a losespacios metricos.

F. Riesz (–)

Trabajo sobre las ideas de Frechet expuestasen su tesis doctoral, proporcionando unvınculo entre los trabajos de Lebesgue (sobrefunciones reales) y Hilbert (sobre ecuacionesintegrales). Introdujo el concepto de conver-gencia debil de una sucesion de funcionesy realizo una aproximacion a la definicionaxiomatica de espacio topologico.


18

W. Sierpinski (–)Comenzo a interesarse en la teorıa deconjuntos en y en 1912 publico sulibro Outline of Set Theory. En los anos 20amplio su interes a la topologıa general,realizando contribuciones importantes enel axioma de eleccion y la hipotesis delcontinuo. Particularmente famosa es la curvade Sierpinski, que llena todo el cuadradounidad.

P. Alexandroff (–)En introdujo, junto con Uryshon, losespacios numerablemente compactos, local-mente compactos y compactos, tal y comose conocen actualmente. En , estandoen la Universidad de Princeton, decidio juntocon Hopf publicar una obra, en 3 volumenes,sobre Topologıa, que no verıa la luz hasta. En ella, presento la definicion deespacio topologico en terminos de conjuntosabiertos.


0

Conjuntos, aplicaciones ynumeros

En este capıtulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teorıa de con-juntos que nos seran muy utiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lu-gar recordamos las operaciones basicas: pertenecia, union, interseccion y diferen-cia. A continuacion introducimos el producto cartesiano de 2 o mas conjuntos yel conjunto potencia. Despues recordamos el concepto de aplicacion y sus dife-rentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, ası como la composicion de apli-caciones. Dedicamos una seccion a los conjuntos finitos e infinitos, numerables yno numerables, y finalizamos con una seccion dedicada a los numeros reales y susprincipales propiedades.

0.1.Teor ıa de conjuntos

A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teorıa demasia-do formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de laasignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otraparte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, almenos una idea intuitiva bastante razonable.

Para avanzar un poco tambien supondremos conocidos algunos conceptos basicossobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en mu-chos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introduccion a laTopologıa de Espacios Metricos.

19

20 0.1. Teorıa de conjuntos

0.1.1.Operaciones b asicas

Como siempre, fijaremos una notacion basica antes de empezar. La primera opera-cion que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si unelemento a pertenece a un conjunto A escribiremos

a ∈ A,

mientras que utilizaremos el sımbolo 6∈ para indicar que el objeto a no es unelemento del conjunto A.

Utilizaremos la notacion A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A sontambien elementos de B. Entonces se dira que A es un subconjunto de B. Siexiste algun elemento de B que no esta en A, entonces diremos que A es unsubconjunto propio de B, y se representara como A ( B.

Cuando se trabaja en alguna de las areas de Matematicas, normalmente se tieneun conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto to-tal, y que nosotros denotaremos habitualmente por X . Por ejemplo, en geometrıaeuclıdea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; enotras areas de las matematicas, este conjunto puede ser el formado por todos losnumeros reales, o por todas las funciones, etc. En Topologıa de Espacios Metricossera un espacio metrico.

Dado un conjunto cualquiera A ⊂ X , definimos el complementario de A (en X),y lo denotaremos por Ac o X −A, como el conjunto

Ac = X −A = {x ∈ X : x 6∈ A}.

Es necesario recordar tambien el concepto de conjunto vacıo, que representare-mos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ningun elemento; lo consideraremosfinito y supondremos que esta contenido en cualquier otro conjunto. Ademas,satisface las siguientes igualdades:

X −X = Xc = ∅ y X −∅ = ∅c = X.

Dados dos conjuntos A y B, podemos definir tres operaciones elementales entreellos: la union, la interseccion y la diferencia.

Union de conjuntos

La union de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos quepertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo,si A = {1, 2} y B = {2, 3}, entonces A ∪B = {1, 2, 3}. Vease la Figura 1.


0. Conjuntos, aplicaciones y numeros 21��

��

��A − BA ∩ BA ∪ B

A A A

BBB

Figura 1 – Union, interseccion y diferencia de conjuntos.

Interseccion de conjuntos

La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementosque pertenecen simultaneamente a los conjuntos A y B, y se representa como

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La interseccion de dos conjuntos puede ser el conjunto vacıo. Por ejemplo, siA = {1, 2} y B = {3, 4}, entonces A ∩B = ∅. Vease la Figura 1.

Diferencia de conjuntos

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementosde A que no pertenecen a B, y se representa como

A−B = {x : x ∈ A y x 6∈ B}.

El conjunto A − B se llama a veces el complemento o el complementario de Ben A. Vease la Figura 1.

Ejemplos

Ej.0.1. Consideremos los conjuntos A y B (vease la Figura 2)definidos como:

A = {x ∈ R : (x− 1)2 < 4},B = {x ∈ R : |x| > 2}.

Observemos que A = (−1, 3) y que B = (−∞,−2) ∪ (2,+∞). Vamos adeterminar los conjuntos A∪B, A∩B y A−B (tambien graficamente). Enprimer lugar, analıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue:

A ∪B = {x ∈ R : x < −2 o x > −1}.A ∩B = {x ∈ R : 2 < x < 3} = (2, 3).A−B = {x ∈ R : (x− 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2].

Graficamente, dichos conjuntos estan representados en la Figura 2.



A:

B:

AB:

AB:

A-B:

43210-1-2-3

43210-1-2-3

43210-1-2-3

43210-1-2-3

43210-1-2-3

( )

) (

) (

( )

( ]

Figura 2 – Union, interseccion y diferencia de dos conjuntos.

Algunos conjuntos de uso habitual.

Recordemos la notacion habitual para referirnos a los conjuntos de numeros:N (numeros naturales o enteros positivos), Z (numeros enteros), Q (numerosracionales), R (numeros reales) y C (numeros complejos).

Ejercicios y Problemas

P.0.1 Pruebe que A−B = A ∩ (X −B).

P.0.2 Estudie cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso deser verdadera, demuestrela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo.

(a) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C.

(b) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C.

(c) A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C.

(d) A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C.

0.1.2.Otras operaciones

El producto cartesiano

Ya hemos visto que la union (∪), la interseccion (∩) y la diferencia son opera-ciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo con-junto. Pero tambien podemos construir el conjunto formado por todas las parejasde elementos de ambos conjuntos.



Mas precisamente, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A×B esel conjunto definido por

A×B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.

Dado que la notacion (x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto R de losnumeros reales, indica tambien el intervalo abierto de extremos x e y, es posibletambien utilizar la notacion x× y para indicar el elemento del conjunto A×B.

El conjunto potencia

¿Y que ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos?Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso dire-mos que A es una coleccion de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante,como suele ser habitual, tambien se utiliza el termino conjunto de conjuntos. Uti-lizaremos letras caligraficas para referirnos a las familias de conjuntos: A, B, etc.

El ejemplo mas inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto for-mado por todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y sedenota por P(A). Tambien se suele decir que P(A) es el conjunto de las partesde A.

Ejemplos

Ej.0.2. Si A es el conjunto de tres elementos {a, b, c}, entonces el conjunto po-tencia de A, P(A), es la coleccion de (¡todos!) los subconjuntos de A.Ası pues:

P(A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Algunas propiedades.

Leyes distributivas: Son dos: (pruebelas como ejercicio)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) y

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Leyes de De Morgan: Tambien son dos:

A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C) y

A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C).




P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A,C ⊂ X y B,D ⊂ Y . Demuestre lassiguientes igualdades y contenidos:

(a) A× (B ∩D) = (A ∩B)× (A ∩D).(b) A× (B ∪D) = (A ∪B)× (A ∪D).(c) A× (Y −B) = (A× Y )− (A×B).(d) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).(e) (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D). Encuentre un ejemplo

que muestre que la inclusion puede ser estricta.(f) (X × Y )− (A×B) = (X × (Y −B)) ∪ ((X −A)× Y ).

P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan.

P.0.5 Estudie cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Demuestre-las cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario.

(a) A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A×B) ⊂ (C ×D).(b) (A×B) ⊂ (C ×D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D

(c) (A×B) ⊂ (C×D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B sonno vacıos.

(d) (A×B) ∪ (C ×D) = (A ∪ C)× (B ∪D).

0.1.3.Familias de conjuntos

Las operaciones union e interseccion que hemos definido para dos conjuntos sepueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos.

Sea A una familia de conjuntos. Entonces la union de los elementos de A sedefine como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de losconjuntos de A y lo representaremos por⋃

A∈AA = {x : x ∈ A para algun A ∈ A}.

De modo similar, la interseccion de los elementos de A se define como el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a todos los elementos de A, es decir,⋂

A∈AA = {x : x ∈ A para todo A ∈ A}.

Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente puedenextenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos.



Proposicion 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familiaarbitraria de conjuntos y B un conjunto. Entonces:

(1) B ∪ (⋂i∈I

Ai) =⋂i∈I

(B ∪Ai).

(2) B ∩ (⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

(B ∩Ai).

DEMOSTRACION. Solo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se pruebade manera totalmente analoga.

Sea x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). Si x ∈ B, entonces x ∈ (B ∪ Ai) para todo i, por lo quex ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai). En otro caso, x ∈ ∩i∈IAi, por lo que x ∈ Ai para todo i.Entonces x ∈ B ∪Ai para todo i, por lo que estara en su interseccion.

Recıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(B ∪Ai) entonces x ∈ B ∪Ai para todo i; si x ∈ Bentonces tambien x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). En otro caso, x ∈ Ai para todo i, es decir,x ∈ ∩i∈IAi, y ası x ∈ B ∪ (∩i∈IAi).

Proposicion 0.1.2 (Leyes de De Morgan). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familiaarbitraria de subconjuntos de un conjunto dado X . Entonces:

(1) X − (⋃i∈I

Ai) =⋂i∈I

(X −Ai).

(2) X − (⋂i∈I

Ai) =⋃i∈I

(X −Ai).

DEMOSTRACION. Probaremos solo el apartado (1), pues el (2) es totalmenteanalogo.

Si x ∈ X − (∪i∈IAi) entonces x 6∈ Ai para todo i, de modo que x ∈ X − Ai

para todo i, luego x ∈ ∩i∈I(X − Ai). Recıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(X − Ai)entonces x 6∈ Ai para todo i, por lo que x 6∈ ∪i∈IAi; entonces debe estar en sucomplementario.

Para finalizar esta seccion enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferen-cia de conjuntos.

Proposicion 0.1.3. Sean A y B dos subconjuntos de X . Entonces se verifica losiguiente:

(1) A− (A−B) = A ∩B.

(2) A− (A ∩B) = A−B.


26 0.2. Aplicaciones

DEMOSTRACION. La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expues-tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1).

Si x ∈ A − (A − B) entonces x ∈ A y x 6∈ A − B. Esta segunda condicionimplica que x ∈ B. Entonces x ∈ A∩B. Recıprocamente, si x ∈ A∩B entoncesx ∈ A y x ∈ B, que implica x ∈ A y x 6∈ A−B. Y ası x ∈ A− (A−B).

0.2.Aplicaciones

En esta seccion nos proponemos recordar otro concepto igual de importante queel de conjunto: el concepto de aplicacion o funcion. Grosso modo, una aplicacionentre dos conjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjuntoA otro elemento del conjunto B.

x

X

Y

f (x) = y

f

Figura 3 – Aplicacion entre dos conjuntos X e Y .

Definicion 0.2.1. Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicacion (tambien se le lla-ma funcion) f entre X e Y es una correspondencia o regla de asignacion entreellos tal que a cada punto x de un subconjunto de X (dicho subconjunto puedecoincidir con X), se le asocia un unico punto y de Y , denominado imagen de x ydenotado por f(x). La denotaremos por

f : X −→ Y o Xf−→ Y

X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f . El subconjuntode X en el que esta definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f ); elsubconjunto de Y formado por todas las imagenes de elementos del dominio sedenomina conjunto imagen y se denota por Im(f ).

Una funcion f : X −→ Y puede ser considerada como un subconjunto del pro-ducto cartesiano X × Y con la propiedad de que cada elemento de X aparececomo la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebir fcomo el conjunto Γ(f) definido por

Γ(f) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Dom(f), y = f(x)}

y que denominaremos grafica de f o grafo de f .



Definicion 0.2.2. Sea f : X −→ Y una funcion y sea A ⊂ X . El conjuntoimagen de A por f , que denotaremos por f(A), es el subconjunto de Y formadopor todas las imagenes de los elementos de A, es decir:

f(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para algun x ∈ A}.

La aplicacion f restringida al subconjunto A se denomina la restriccion de f aA y se denota por f |A.

Ejemplos

Ej.0.3. Sean las aplicaciones f : R −→ R, y g : R −→ R+, donde R+ denotalos numeros reales no negativos definidas como f(x) = x4 y g(x) = x4.Es facil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque estandefinidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo elrecorrido de ambas funciones es distinto.

Definicion 0.2.3. Sea f : X −→ Y una funcion y sea B ⊂ Y . La imagen inversade B por f , que denotaremos por f−1(B), es el subconjunto de X formado portodos los elementos cuya imagen pertenece a B, es decir:

f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.

Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = {y}, usaremos la notacionf−1(y) para referirnos a f−1({y}).Tambien es importante tener en cuenta que f−1(B) no es mas que una notacion,y el sımbolo f−1 no indica que exista una aplicacion entre Y y X que sea inversade f .

Proposicion 0.2.4. Sea f : X −→ Y una aplicacion y consideremos los subcon-juntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisfacen:

(1) A ⊂ f−1(f(A)).

(2) f(f−1(B)) ⊂ B.

DEMOSTRACION. La demostracion de ambas propiedades es inmediata y se lepropone como ejercicio.

Las inclusiones que aparecen en la proposicion anterior no son, en general, igual-dades. Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias.



Ejemplos

Ej.0.4. A continuacion mostramos dos ejemplos de funciones f en los que lasinclusiones de la Proposicion 0.2.4 son estrictas.

(1)Consideremos f : R −→ R, f(x) = x2, y el conjunto A = [1,√2].

Entonces f(A) = [1, 2] y por tanto

f−1(f(A)) = [−√2,−1] ∪ [1,

√2] A.

(2)Consideremos f : R −→ R, f(x) = senx, y el conjunto B = [−2, 2].Entonces f−1([−2, 2]) = R pero

f(f−1(B)) = [−1, 1] ! B.

Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relacion con las inclu-siones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se leproponen, de nuevo, como ejercicio.

Proposicion 0.2.5. Sea f : X → Y y sean Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces:

(a) B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2).

(b) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).

(c) f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).

(d) f−1(B1 −B2) = f−1(B1)− f−1(B2).

Proposicion 0.2.6. Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X para i = 1, 2. Entonces:

(a) A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2).

(b) f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2).

(c) f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

(d) f(A1 −A2) ⊃ f(A1)− f(A2).

La generalizacion de los apartados (b) y (c) de la Proposicion 0.2.5 a un numeroarbitrario de subconjuntos de Y se enuncia a continuacion. Haga, como ejerciciola demostracion.

Proposicion 0.2.7. Sea {Bi ⊂ Y : i ∈ I} una familia de subconjuntos de Y .Entonces se verifica:

(1) f−1(⋃i∈I

Bi) =⋃i∈I

f−1(Bi).



(2) f−1(⋂i∈I

Bi) =⋂i∈I

f−1(Bi).

A continuacion se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposicion 0.2.6 aun numero arbitrario de subconjuntos de X . La demostracion, como en el casoanterior, se deja como ejercicio.

Proposicion 0.2.8. Sea {Ai ⊂ X : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X .Entonces se verifica:

(1) f(⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

f(Ai).

(2) f(⋂i∈I

Ai) ⊂⋂i∈I

f(Ai).

0.2.1.Tipos de aplicaciones

Definicion 0.2.9. Una aplicacion f : X → Y se dice que es inyectiva (o uno-a-uno) si para cada par de puntos distintos de X , sus imagenes por f son distintas.Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y ) si cada elemento de Yes la imagen por la funcion f de algun elemento de X . Si f es a la vez inyectivay sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama una correspondencia uno-a-uno).

Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicacion de Y en X , denominadainversa de f , que se representa por f−1 : Y −→ X , definida como f−1(y) = x,donde x es el unico elemento de X tal que f(x) = y.


P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas.

(a)¿Cu al de las siguientes funciones f : R −→ R es inyectiva?

f(x) = x3, f(x) = x2, f(x) = tan(x).

(b)¿Cu al de las siguientes funciones f : R −→ R es sobreyectiva?

f(x) = x3, f(x) = x2, f(x) = tan(x).

(c)¿Cu al de las siguientes funciones f : R −→ R es biyectiva?

f(x) = x4, f(x) = x7, f(x) = cos(x).



f(x) = x2 f(x) = x3

f(x) = cos(x) f(x) = tan(x)

Figura 4 – Graficas de algunas funciones.

Proposicion 0.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicacion y consideremos los sub-conjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisface:

(1)Si f es inyectiva entonces A = f−1(f(A)).

(2)Si f es sobreyectiva entonces f(f−1(B)) = B.

DEMOSTRACION. La demostracion de ambas propiedades es inmediata y se lepropone como ejercicio.

Para completar las propiedades indicadas en la Proposicion 0.2.6, presentamos elsiguiente resultado.

Proposicion 0.2.11. Sea f : X → Y una aplicacion inyectiva y sean Ai ⊂ Xpara i = 1, 2. Entonces:

(a) f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2).

(b) f(A1 −A2) = f(A1)− f(A2).



0.2.2.Composici on de aplicaciones

Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir losconjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otromecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas.

x

X

Y

gg(f (x ) ) = g (y ) = z

Z

f (x) = y

f

Figura 5 – Composicion entre dos aplicaciones.

Definicion 0.2.12. Sean las funciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Se definela composicion g ◦ f de f y g como la aplicacion g ◦ f : X −→ Z dada por(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Ejemplos

Ej.0.5. La composicion g ◦ f de las aplicaciones siguientes

f : R −→ R, f(x) = 3x3 + 7,

g : R −→ R, g(x) = 4x2.

es la funcion (g ◦ f)(x) = 4(3x3 + 7)2.

Proposicion 0.2.13. Sean f : X → Y y g : Y → Z. Se verifica lo siguiente:

(a)Si C ⊂ Z, entonces (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).

(b)Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

(c)Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(d)Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.

(e)Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

DEMOSTRACION. La demostracion se le propone como ejercicio.


32 0.3. Conjuntos finitos y numerables

0.3.Conjuntos finitos y numerables

En esta ultima parte del capıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados deconjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.

0.3.1.Conjuntos finitos

Dediquemos unas palabras a los conjuntos mas sencillos: los finitos.

Definicion 0.3.1. Un conjunto X se dice que es finito si existe un numero naturaln y una aplicacion biyectiva entre X y el conjunto {1, . . . , n}. El numero n sellama el cardinal de X . Si X = ∅ entonces su cardinal es 0.

Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.

Proposicion 0.3.2. (1)Si X es finito, entonces no existe una aplicacion biyec-tiva entre X y un subconjunto propio de X .

(2)El cardinal de un conjunto finito X esta unıvocamente determinado por elconjunto X .

(3)Si A es un subconjunto de un conjunto finito X , entonces A es finito. Si A esun subconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinalde X .

DEMOSTRACION. La demostracion de estas propiedades no es nada trivial, encontra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propieda-des siguientes, que enunciamos sin demostracion:

(a)Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X .Entonces existe una aplicacion biyectiva f entre el conjunto X y el conjunto{1, . . . , n + 1} si, y solo si, existe una aplicacion biyectiva del conjuntoX − {x0} con {1, . . . , n}.

(b)Sea X un conjunto y supongamos que f : X → {1, . . . , n} es una apli-cacion biyectiva para algun n ∈ N. Sea A un subconjunto propio de X .Entonces no existe biyeccion alguna g : A → {1, . . . n}, y si B 6= ∅entonces existe una aplicacion biyectiva h : A → {1, . . . ,m} para algunm < n.

Ejemplos

Ej.0.6. El conjunto N de los numeros naturales no es finito ya que la funcionf : N → N − {1}, definida por f(n) = n + 1, es una biyeccion entre N y



un subconjunto propio de sı mismo, lo que contradice el apartado (1) de laProposicion 0.3.2.

Proposicion 0.3.3. Si X es un conjunto no vacıo, son equivalentes:

(1) X es finito.

(2)Existe un n umero natural n y una aplicacion f : {1, . . . , n} −→ X so-breyectiva.

(3)Existe un n umero natural n y una aplicacion f : X −→ {1, . . . , n} inyec-tiva.

DEMOSTRACION. Se le propone como ejercicio.

Proposicion 0.3.4. Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de con-juntos finitos son finitos.

DEMOSTRACION. Lo veremos solo para el caso de dos conjuntos. La demostra-cion en el caso general es analoga y se realiza por induccion en el numero deconjuntos.

Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, tambien lo es X ∪Y .Si X o Y es vacıo no hay nada que probar. En caso contrario, existiran biyeccionesf : {1, . . . ,m} → X y g : {1, . . . , n} → Y para determinados m y n. Definimosentonces una funcion h : {1, . . . ,m + n} → X ∪ Y de la forma h(i) = f(i) sii = 1, 2, . . . ,m y h(i) = g(i −m) si i = m + 1, . . . ,m + n. Es facil ver que hes sobreyectiva, de lo que se deduce que X ∪ Y es finito.

Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y tambienes finito. Dado x ∈ X , el conjunto {x}×Y es finito, pues tiene el mismo cardinalque Y . Pero X×Y es la union de estos conjuntos, por lo que X×Y es una unionfinita de conjuntos finitos, y por tanto finito.

0.3.2.Conjuntos numerables

Definicion 0.3.5. Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. SiX es un conjunto infinito que esta en correspondencia biyectiva con N, entoncesse dice que es infinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito nonumerable. Diremos que X es numerable si es finito o infinito numerable.


34 0.3. Conjuntos finitos y numerables

Ejemplos

Ej.0.7. Todo subconjunto A ⊂ N de los numeros naturales es numerable. Supon-gamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicacion biyectiva f entreA y N. f(1) sera el menor elemento de A y, entonces llamaremos

A1 = A− {f(1)};

f(2) sera el menor elemento de A1 y ahora llamaremos

A2 = A1 − {f(2)} = A− {f(1), f(2)};

y ası sucesivamente. En general, sea f(m) el menor elemento de Am−1

y denotemos Am = Am−1 − {f(m)}. Como A no es finito, el procesoanterior no acaba y para cada m ∈ N existe f(m) > f(i), para i < m.Es facil ver que f es una aplicacion biyectiva (observemos que f(m) ≥ mpara todo m).

La siguiente propiedad es analoga a la Proposicion 0.3.3, pero en terminos de losconjuntos numerables.

Proposicion 0.3.6. Si X es un conjunto no vacıo, entonces son equivalentes:

(1) X es numerable.

(2)Existe una aplicaci on sobreyectiva f : N→ X .

(3)Existe una aplicaci on inyectiva g : X → N.

Hagamos un inciso aquı para referirnos a las aplicaciones f : N → X . Estetipo de aplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como(xn)

∞n=1 o {xn}∞n=1, donde xn = f(n). No debemos confundir una sucesion con

su conjunto imagen.

Proposicion 0.3.7. Si A es un subconjunto de un conjunto numerable X , entoncesA es tambien numerable.

DEMOSTRACION. Como X es numerable, existe una aplicacion f : N −→ Xsobreyectiva. Definimos una aplicacion g : X −→ A por la condicion g|A = 1,de modo que h = g ◦ f : N −→ A es una aplicacion sobreyectiva, lo que implicaque A es numerable.

Lema 0.3.8. El producto finito de copias de N es un conjunto numerable.

DEMOSTRACION. Lo demostraremos para el producto N× N; el caso general sehace por induccion en el numero de copias.

Ordenemos el conjunto N× N de la siguiente forma:



(1,1) (1,2) (1,3) . . .

(2,1) (2,2) (2,3) . . .

(3,1) (3,2) (3,3) . . ....

......

. . .

��

��

��

��

��

��

Es facil ver que la aplicacion f : N −→ N × N, representada por el grafico ante-rior, es una aplicacion sobreyectiva. Explıcitamente, la funcion f anterior puededefinirse como sigue. Si ponemos f(k) = (m(k), n(k)), entonces

m(k) = k − r(r − 1)

2n(k) = r + 1−m

donde r es el unico numero natural tal que

r(r − 1)

2< k ≤ (r + 1)r

2.

Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.

Proposicion 0.3.9. (1)La uni on numerable de conjuntos numerables es unconjunto numerable.

(2)El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable.

DEMOSTRACION. (1) Sea {Xi}i∈I una familia numerable de conjuntos numera-bles y supongamos, sin perdida de generalidad, que cada conjunto Xi es no vacıo.

Como cada Xi es numerable, para cada i existe una aplicacion fi : N → Xi

sobreyectiva. Pero I tambien es numerable, por lo que es posible encontrar otraaplicacion sobreyectiva g : N→ I . Ahora definimos

h : N× N→ X =⋃i∈I

Xi

mediante la ecuacionh(k,m) = fg(k)(m).

Es facil ver que h es sobreyectiva. Como N×N es numerable, podemos encontraruna aplicacion sobreyectiva de N en X , lo que concluye la demostracion.

(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vacıos. Elegimos apli-caciones sobreyectivas f : N → X y g : N → Y . Entonces, la aplicacionh : N × N → X × Y definida mediante la ecuacion h(n,m) = (f(n), g(m))es sobreyectiva y, por tanto, X × Y es numerable.

La demostracion en el caso general se realiza por induccion en el numero de fac-tores del producto.


36 0.4. Los numeros reales

Ejemplos

Ej.0.8. El conjunto Q de los numeros racionales es numerable. Observemos queel conjunto Z de los numeros enteros es numerable, ya que es la union detres conjuntos numerables:Z = N∪(−N)∪{0}. PeroQ se puede considerarincluido en Z× Z, que es numerable, y por tanto es tambien numerable.

Ej.0.9. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable. Por tanto, R tampoco es numer-able. En efecto, supongamos que [0, 1] es numerable y consideremos unaenumeracion del mismo: {x1, x2, . . . , }, es decir, supongamos que existeuna funcion sobreyectiva f : N −→ [0, 1], xn = f(n). Expresemos cadanumero xn en notacion decimal:

x1 = 0′a11a12 · · · a1n · · ·x2 = 0′a21a22 · · · a2n · · ·

· · ·

Podemos suponer que cada xn tiene infinitos decimales; en efecto, en casocontrario podemos considerar la expresion alternativa consistente en unasucesion infinita de 9. Por ejemplo, 1/2 = 0′5 se puede escribir como0′499999 · · · .

Definimos el numero y = 0′b1b2 · · · bn · · · mediante bi 6= aii y bi 6= 0. Esclaro que y 6= xi para todo i, por lo que y 6∈ [0, 1], lo cual es absurdo.


P.0.7 Demuestre que el conjunto de los numeros irracionales no es numerable.

P.0.8 Sea Xω el conjunto formado por todas las aplicaciones de N en {0, 1}, esdecir:

Xω = {f : N −→ {0, 1} : f es una aplicacion}.

Siguiendo las mismas ideas del Ejemplo Ej.0.9., demuestre que el conjuntoXω no es numerable.

0.4.Los n umeros reales

Para finalizar este capıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades delos numeros reales.



En el conjunto R de los numeros reales podemos definir dos operaciones binarias+ y ·, llamadas suma y multiplicacion, respectivamente, y una relacion de orden< sobre R, tales que se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades algebraicas

(1) (x+ y) + z = x+ (y + z),(x · y) · z = x · (y · z) para todo x, y, z en R.

(2) x+ y = y + x,x · y = y · x para todo x, y en R.

(3)Existe un unico elemento de R llamado cero, representado por 0, de formaque x+ 0 = x para todo x ∈ R.Existe un unico elemento de R llamado uno, distinto de 0 y representadopor 1, tal que x · 1 = x para todo x ∈ R.

(4)Para cada x ∈ R existe un unico y ∈ R tal que x+ y = 0.Para cada x ∈ R distinto de 0 existe un unico y ∈ R tal que x · y = 1.

(5) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) para todo x, y, z ∈ R.

Una propiedad mixta algebraica y de orden

(6)Si x > y, entonces x+ z > y + z.Si x > y y z > 0, entonces x · z > y · z.

Otras propiedades

(7)La relaci on de orden < verifica la propiedad del supremo.

(8)Si x < y, existe un elemento z tal que x < z y z < y.

La “propiedad del supremo” se puede definir tambien para un conjunto orde-nado arbitrario. En primer lugar, necesitamos algunas definiciones preliminares.Supongamos que X es un conjunto ordenado por la relacion < y sea A un sub-conjunto de X . Decimos que un elemento b es el maximo de A si b ∈ A y six ≤ b para todo x ∈ A. Es facil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un maximo.

El subconjunto A de X esta acotado superiormente si existe un elemento b deX tal que x ≤ b para todo x ∈ A; el elemento b se denomina una cota superiorpara A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un mınimo, eseelemento se denomina el extremo superior o supremo de A. Se representa porsupA y puede pertenecer o no a A. Si pertenece, es el maximo de A.

Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo.



Definicion 0.4.1. Un conjunto ordenado A se dice que tiene la propiedad delsupremo si todo subconjunto no vacıo A de X que este acotado superiormentetiene supremo.

Analogamente se pueden definir los conceptos de mınimo, conjunto acotado infe-riormente, extremo inferior o ınfimo y la propiedad del ınfimo.

Un numero real es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivosse denotaran por R+. Las propiedades (1)-(5) implican que R es un cuerpo; y lapropiedad (6) nos permite decir que es un cuerpo ordenado.

Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican solo a la relacion de orden; porsatisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal.

Otra propiedad interesante de los numeros reales es la propiedad arquimediana,de la que presentamos dos versiones.

Proposicion 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier numero realpositivo ε > 0, existe un numero natural n tal que nε > 1.

Proposicion 0.4.3 (Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de numeroreales x < y, existe un numero racional q tal que x < q < y.


P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y solo si, tiene lapropiedad del ınfimo.

P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos:

(a)⋂

n∈N(−1n ,

1n)

(b)⋃

n∈Z(n− 1, n+ 1)

(c)⋃

n∈N(−n, n)

(d)⋂

n∈N(−n, n)

P.0.11 Calcule la diferencia A−B en cada caso:(a) A = [0, 1] (b) A = (−1, 1]

B = (−1, 0) B = [−1, 1].

P.0.12 Dados los conjuntos A, B y C, exprese cada uno de los siguientes con-juntos en terminos de A, B y C, utilizando los sımbolos ∪, ∩ y −:D = {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)},E = {x : (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C},F = {x : x ∈ A y (x ∈ B ⇒ x ∈ C)}.

P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspon-dencia biyectiva. Pruebe lo siguiente:



(1) R y el intervalo (−1, 1) tienen el mismo cardinal.

(2)Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal.

(3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b).

P.0.14 Sea R el conjunto de los numeros reales. Determine si cada uno de lossiguientes subconjuntos de R × R es igual al producto cartesiano de dossubconjuntos de R.

(a) {(x, y) : x es un entero}.

(b) {(x, y) : 0 < y ≤ 1}.

(c) {(x, y) : y > x}.

(d) {(x, y) : x no es un entero e y es un entero}.

(e) {(x, y) : x2 + y2 < 1}.

P.0.15 Sea f : R→ R la funcion f(x) = x3−x. Restringiendo adecuadamenteel dominio y el rango de f , obtenga a partir de f una funcion biyectiva g.Dibuje las graficas de g y g−1 (hay diferentes elecciones posibles para g).

P.0.16 Represente graficamente los siguientes subconjuntos de R2:A = {(x, y) : x ∈ [n, n+ 1], y ∈ [n, n+ 1] para algun n ∈ Z}B = {(x, y) : 0 ≤ x− y ≤ 1}C = {(x, y) : 1 < x2 + y2 ≤ 4}D = {(x, y) : 1 < x2 ≤ 4}E = {(x, y) : (x+ 2)2 + (y − 1)2 < 16; x ≤ y}F = {(x, y) : |xy| > 1} ∪ {(0, 0)}

P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ R dadas por f(x) = 2x + 1 yg(x) = x2 − 2. Determine explıcitamente las funciones compuestas f ◦ g yg ◦ f .

P.0.18 Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f, g, h : A −→ Adefinidas por f(x) = senx, g(x) = sen(πx) y h(x) = sen(πx/2). Estudiesi estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

P.0.19 Considere la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x2. Calcule:

(a) f−1(25)

(b) f−1({x : x ≥ 0})(c) f−1({x : 4 ≤ x ≤ 25})

P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos:

(a)⋂

n∈N[0,1n ]

(b)⋂

n∈N(0,1n ]



(c)⋂

n∈N[0,1n)

(d)⋂

n∈N[n,+∞)

P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.∞⋃n=1

[0, 1− 1

n

]= [0, 1]

∞⋂n=1

(a− 1

n, b+

1

n

)= [a, b]

P.0.22 Sea A un conjunto cualquiera y, para todo x ∈ A, sea Gx un subconjuntode A tal que x ∈ Gx ⊂ A. Demuestre que A = ∪x∈AGx.

P.0.23 Considere las familias de conjuntos An = {x : x es multiplo de n},n ∈ N, y Bm = [m,m+ 1], m ∈ Z. Determine los siguientes conjuntos:

(a) A3 ∩A5

(b)⋃

i∈P Ai, donde P denota el conjunto de los numeros primos.

(c) B3 ∩B4

(d)⋃

m∈ZBm

(e) A5 ∩ (⋃

m≥7Bm)

P.0.24 Para toda aplicacion f : X −→ Y se define la aplicacion asociada f

entre los conjuntos potencia f : P(X) −→ P(Y ) como sigue:

f(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para algun x ∈ A}.

Demuestre que si f es inyectiva entonces f tambien lo es.

P.0.25 Sean f, g : R −→ R las funciones definidas como:

f(x) =

{2x− 5 si x > 2x2 − 2|x| si x ≤ 2

y g(x) = 3x+ 1.

Encuentre: (a) (g ◦ f)(1), (b) (f ◦ g)(2), (c) (f ◦ f)(3). ¿Puede determinarexplıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f?

P.0.26 Sea g : X −→ X una funcion constante g(x) = x0 para todo x ∈ X .Demuestre que para cualquier funcion f : X −→ X la composicion g ◦ fes constante e igual a x0. ¿Que puede decirse de f ◦ g?

P.0.27 Demuestre que una aplicacion f : X −→ Y es biyectiva si, y solo si,f(Ac) = [f(A)]c para todo A ⊂ X .

P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinitonumerable.


1

Espacios metricos

En este primer capıtulo, se introduce la nocion de Espacio metrico y de subes-pacio metrico, estudiando numerosos ejemplos y propiedades basicas. Se intro-duce la nocion de topologıa asociada a un espacio metrico introduciendo las bolasabiertas y a a partir de aquı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados y suspropiedades. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias especıficas:

Utilizar los conceptos basicos asociados a la nocion de espacio metrico.

Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topologıa metrica.

Construir ejemplos de espacios metricos usando las nociones de subespaciometrico y espacio metrico producto.

Se desarrollaran los contenidos siguientes:

Distancia. Espacio metrico. Distancias en R y Rn.

Ejemplos de espacios metricos.

Subespacio metrico.

Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos.

Bolas. Topologıa asociada a una metrica.

Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades.

Producto de espacios metricos.

41

42 1.1. Distancias

1.1.Distancias

Definicion 1.1.1. Dado un conjunto X , una distancia sobre X , es una aplicaciond : X ×X −→ R que a cada par de puntos x, y ∈ X le asocia un numero reald(x, y), que cumple las siguientes condiciones:

(1) d(x, y) ≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 si, y solo si, x = y (separacion).

(3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetrıa).

(4) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad triangular).

Definicion 1.1.2. Un espacio metrico es un par (X, d), donde X es un conjuntoy d es una distancia definida en X .

Ejemplos

Ej.1.1. En el conjunto de los numeros reales R podemos definir una distanciatomando el valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R×R→ R definidacomo d(x, y) = |x− y|. Las condiciones de distancia se deducen inmedia-tamente de las propiedades conocidas del valor absoluto. A esta distancia lellamaremos distancia usual de R.

Ej.1.2. El espacio metrico discreto. Sea X un conjunto no vacıo cualquiera;definimos una distancia dD como sigue:

dD(x, y) =

{0 si x = y1 si x 6= y

Esta distancia se llama distancia discreta y verificar las condiciones de dis-tancia se reduce a una mera comprobacion. Observemos ademas que cam-biando el 1 por cualquier otro valor numerico obtenemos otra distancia,tambien discreta.

Las dos siguientes desigualdades, seran utiles en el desarrollo de los dos proximosejemplos que juegan un importante papel.

Lema 1.1.3. Si a1, a2, . . . , an y b1, b2, . . . , bn son numeros reales cualesquiera,entonces, se cumplen:

(a)(Desigualdad de Cauchy-Schwarz)(n∑

i=1

aibi

)2

≤

(n∑

i=1

a2i

)(n∑

i=1

b2i

).



(b)(Desigualdad de Minkowski)(n∑

i=1

(ai + bi)2

)1/2

≤

(n∑

i=1

a2i

)1/2

+

(n∑

i=1

b2i

)1/2

.

DEMOSTRACION. Veamos en primer lugar la desigualdad (a) de Cauchy-Schwarz.Dado cualquier numero x ∈ R se verifica que

∑ni=1(aix+bi)

2 ≥ 0. Si desarrolla-mos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax2 + 2Bx + C ≥ 0, tomandoA =

∑ni=1 a

2i , B =

∑ni=1 aibi y C =

∑ni=1 b

2i .

En estos terminos, lo que queremos probar es que B2 ≤ AC. Si A = 0 entoncesai = 0 para todo i la desigualdad se verifica claramente. Si A 6= 0 podemos poner

0 ≤ Ax2 + 2Bx+ C = A

(x+

B

A

)2

+AC −B2

A

para todo x ∈ R. La ultima expresion es mınima si x = −BA y si sustituimos dicha

expresion obtenemos

0 ≤ AC −B2

A, lo cual implica AC −B2 ≥ 0

y, por tanto, B2 ≤ AC; con lo que queda demostrada la desigualdad.

Por ultimo, observemos que demostrar la desigualdad de Minkowski, es equiva-lente a demostrar la desigualdad

n∑i=1

(ai + bi)2 ≤

n∑i=1

a2i +n∑

i=1

b2i + 2

(n∑

i=1

a2i

)1/2( n∑i=1

b2i

)1/2

Si desarrollamos el binomio de la izquierdan∑

i=1

(ai + bi)2 =

n∑i=1

a2i +n∑

i=1

b2i + 2

n∑i=1

aibir

Con lo cual, solo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz(1.1.3)(a) anterior.

Sigamos con mas ejemplos de distancias y, por tanto de espacios metricos.

Ejemplos

Ej.1.3. Sea X = R2. Para los puntos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se definen lasaplicaciones:

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|,d2(x, y) =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,

d∞(x, y) = max(|x1 − y1|, |x2 − y2|).


44 1.1. Distancias

Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostracion de esto laproporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores midenla distancia de una forma distinta, y en la siguiente Figura 1.1 se puede veruna representacion grafica de cada una ellas:

x

y

x

y

d1(x, y) d2(x, y)

x

y

x

y

d∞(x, y) con |x2 − y2| > |x1 − y1| d∞(x, y) con |x1 − y1| > |x2 − y2|

Figura 1.1 – Graficos de d1, d2 y d∞.

Las tres distancias son generalizaciones de la distancia usual que hemosdefinido en R y las tres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia deltaxi, d2 se llama la distancia euclıdea o usual y d∞ se llama la distanciadel ajedrez o del maximo.

Ej.1.4. El Ejemplo Ej.1.3. anterior se puede generalizar facilmente a Rn comosigue. Sean los puntos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de Rn. Sedefinen:

d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|,

d2(x, y) =

(n∑

i=1

(xi − yi)2

)1/2

,

d∞(x, y) = max{|xi − yi|; i = 1, . . . , n}.

La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobacion. Enefecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas; ademas como|xi − yi| = 0 y (xi − yi)

2 = 0 si, y solo si, xi = yi se cumple la condicion



(2) de distancia. Ademas |xi−yi| = |yi−xi| y (xi−yi)2 = (yi−xi)

2, conlo que obtenemos la condicion (3). Para la desigualdad triangular solo hayque tener en cuenta la desigualdad triangular del valor absoluto para cada i

|xi − yi| ≤ |xi − zi|+ |zi − yi|,

con lo que en el caso d1 tenemos:

d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi| ≤n∑

i=1

(|xi − zi|+ |zi − yi|) =

n∑i=1

|xi − zi|+n∑

i=1

|zi − yi| = d1(x, z) + d1(z, y);

y para d∞:

d∞(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1, . . . , n}≤ max{|xi − zi|+ |zi − yi| : i = 1, . . . , n} ≤≤ max{|xi − zi| : i = 1, . . . , n}+max{|zi − yi| : i = 1, . . . , n}= d∞(x, z) + d∞(z, y).

(1.1)

Lo mismo sucede con las propiedades (1), (2) y (3) para la distancia usuald2; no ası con la propiedad (4) en la que hay que utilizar la desigualdad deCauchy-Schwarz 1.1.3(a).

Sean x, y, z ∈ Rn y consideremos

(d2(x, z) + d2(z, y))2 =

( n∑i=1

(xi − zi)2

) 12

+

(n∑

i=1

(zi − yi)2

) 12

2

=

=

n∑i=1

(xi−zi)2+

n∑i=1

(zi−yi)2+2

(n∑

i=1

(xi − zi)2

n∑i=1

(zi − yi)2

) 12

= (∗)

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.1.3(a) al ultimo sumandode la expresion anterior:

(∗) ≥n∑

i=1

(xi − zi)2 +

n∑i=1

(zi − yi)2 + 2

n∑i=1

(xi − zi)(zi − yi) =

n∑i=1

[(xi − zi)

2 + (zi − yi)2 + 2(xi − zi)(zi − yi)

]=


46 1.1. Distancias

n∑i=1

[(xi − zi) + (zi − yi)]2 =

n∑i=1

(xi − yi)2 =

( n∑i=1

(xi − yi)2

)1/22

= (d2(x, y))2,

de donde se deduce la desigualdad triangular.

Ej.1.5. El conjunto C de los numeros complejos es un espacio metrico con ladistancia dada por el modulo de la diferencia:

d(z1, z2) = |z1 − z2| con z1, z2 ∈ C.

Compruebe como ejercicio, que se verifican las condiciones de distancia.

Ej.1.6. Se pueden considerar otros conjuntos que no son numericos, como el con-junto de las funciones reales acotadas

X = A([a, b],R) = `∞([a, b]) = {f : [a, b] → R : |f(x)| ≤ M, M > 0}.

Dadas dos funciones f, g ∈ X definimos

d∞(f, g) = supx∈[a,b]

{|f(x)− g(x)|}.

Puede comprobar, a partir de las propiedades del valor absoluto, que d∞es una distancia, denominada la distancia del supremo; en la Figura 1.2 serepresenta la distancia del supremo entre dos funciones f y g.

Figura 1.2 – Distancia del supremo en el espacio A([a, b],R).

Ej.1.7. Tambien podemos considerar el conjunto C([a, b],R), de las funcionesreales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. La aplicacion d dada por

d(f, g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx



Figura 1.3 – La distancia es el area comprendida entre dos curvas.

es una distancia, que viene dada por el area comprendida entre funcionescontinuas. En la Figura 1.3 se representa tal distancia. Sabemos que sif(x) ≥ 0, entonces

∫ ba f(x)dx ≥ 0 para cada x ∈ [a, b] y tambien que∫ b

a f(x)dx = 0 si, y solo si, f ≡ 0; por tanto se cumplen las dos primerascondiciones de distancia.

De la simetrıa del valor absoluto (|f(x) − g(x)| = |g(x) − f(x)|), se ob-tiene la tercera condicion; y por ultimo, de la desigualdad triangular delvalor absoluto, de la aditividad de la integral y de que f(x) ≤ g(x) implica∫ ba f(x)dx ≤

∫ ba g(x)dx, se deduce

d(f, g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx ≤

∫ b

a(|f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|)dx

=

∫ b

a|f(x)− h(x)|dx+

∫ b

a|h(x)− g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).

Ej.1.8. O bien el conjunto de las sucesiones reales acotadas

`∞ ={(xn)∞n=1 : sucesion acotada con xn ∈ R}= {x : N −→ R : x esta acotada}

(1.2)

Dadas dos sucesiones (xn)∞n=1, (yn)∞n=1 ∈ `∞, definamos

d∞((xn)n, (yn)n) = supn∈N

{|xn − yn|}.

Pruebe que d∞ es una distancia en `∞.

Ej.1.9. Tambien se pueden construir espacios metricos a partir de otros conoci-dos. En efecto, sean (X1, d) y (X2, d

′) dos espacios metricos. Para puntos


48 1.1. Distancias

x = (x1, x2) e y = (y1, y2) de X1 ×X2 se define:

d1(x, y) = d(x1, y1) + d′(x2, y2),

d2(x, y) = (d(x1, y1)2 + d′(x2, y2)

2)1/2,

d∞(x, y) = max{d(x1, y1), d′(x2, y2)}.

Entonces d1, d2 y d∞ son distancias en el espacio producto X1 ×X2.

Verificar que d1, d2 o d∞ son distancias es un proceso similar al del Ejem-plo Ej.1.3. anterior y es recomendable que, como ejercicio, concrete losdetalles.

Este es un procedimiento, digamos estandar, para definir distancias en es-pacios que son el producto cartesiano de una coleccion finita de espaciosmetricos. Ası, si (X1, d1) . . . (Xn, dn) son n espacios metricos, se puedendefinir en X1 × · · · ×Xn las distancias:

ρ1(x, y) =n∑

i=1

di(xi, yi),

ρ2(x, y) =

(n∑

i=1

di(x1, y1)2

)1/2

,

ρ∞(x, y) = max{di(xi, yi) : i = 1, . . . , n},

con x = (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ X1 × · · · ×Xn.

La siguiente, es una propiedad que nos sera util, junto con el resultado que apareceen el Problema P.1.2.

Proposicion 1.1.4. Sea (X, d) un espacio metrico. Para todo x, y, z ∈ X severifica:

|d(x, z)− d(z, y)| ≤ d(x, y).

DEMOSTRACION. Aplicando la desigualdad triangular y la simetrıa de la distan-cia, tenemos

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(z, y),

por lo que d(x, z)− d(z, y) ≤ d(x, y).

De forma analoga podemos poner d(z, y) ≤ d(z, x)+d(x, y) = d(x, z)+d(x, y)y tendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z)− d(z, y).

Usando estas dos desigualdades tenemos

−d(x, y) ≤ d(x, z)− d(z, y) ≤ d(x, y)

lo que concluye la demostracion.



Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. Demodo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes.


P.1.1 Sea d : N × N −→ R definida por d(m,n) = |m2 − n2|. ¿Es (N, d) unespacio metrico? Justifique la respuesta. [I]

P.1.2 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que se cumple

|d(x, y)− d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t)

para todo x, y, z, t ∈ X . [I] [R]

P.1.3 Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicacion d : X ×X −→ R esuna distancia si, y solo si, para x, y, z ∈ X , se verifican

(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). [I]

P.1.4 Sea (X, d) un espacio metrico. Se definen δ, y ρ y η como sigue:

δ(x, y) = kd(x, y), k ∈ R+

ρ(x, y) = mın{1, d(x, y)}η(x, y) = [d(x, y)]2

Demuestre que δ y ρ son distancias sobre X , pero que η no tiene por que sernecesariamente una distancia. [I]

P.1.5 Sea X un conjunto y f : X −→ R una aplicacion inyectiva. Demuestreque la aplicacion d(x, y) = |f(x)− f(y)| es una distancia sobre X . [I]

P.1.6 Sea f : R −→ R una funcion estrictamente creciente. Demuestre qued(x, y) = |f(x)− f(y)| es una distancia sobre R. [I] [R]

P.1.7 Considere el conjunto C([0, 1]) de las funciones reales continuas en elintervalo [0, 1]. Sean f(x) = x(1 − x) y g(x) = x. Calcule d∞(f, g) yd(f, g) segun las definiciones de los Ejemplos Ej.1.6. y Ej.1.7.. [I]


http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos/ejercicios-proyectos-y-casos-1/prob-cap-1.pdf









50 1.1. Distancias

1.1.1.Subespacio m etrico

El siguiente resultado nos permite definir un subespacio metrico, simplementecomo un subconjunto A ⊂ X y la distancia d restringida a A.

Proposicion 1.1.5. Sea (X, d) un espacio metrico y sea A ⊂ X un subconjuntode X . Sea la funcion dA : A × A −→ R definida por dA(x, y) = d(x, y), paracada x, y ∈ A. Entonces dA es una distancia sobre A, que se denomina distanciainducida por d. El par (A, dA) se dice que es un subespacio metrico de X .

La demostracion se reduce a una mera comprobacion que puede realizar, sin difi-cultad, como ejercicio.

Esta claro que cualquier subespacio metrico, considerado de forma aislada es unespacio metrico y, por supuesto, todo espacio metrico es un subespacio de sı mis-mo. Esta es una nueva forma de construir nuevos espacios metricos, a partir deotros conocidos.

Senalaremos que, si A ⊂ Rn, cuando se hable de A como de un espacio metrico,supondremos que su distancia es la distancia inducida por la distancia euclıdea deRn, salvo que se diga lo contrario.

Veamos algunos ejemplos de subespacios para afianzar este concepto.

Ejemplos

Ej.1.10. [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespaciometrico de R.

Ej.1.11. El conjunto C([a, b],R) de las funciones reales continuas en [a, b], con ladistancia inducida por d∞, es subespacio metrico del conjunto A([a, b],R)de las funciones acotadas en dicho intervalo.

Ej.1.12. El espacio co de las sucesiones reales con lımite 0 es un subespaciometrico del espacio de las sucesiones acotadas `∞, con la distancia delsupremo.

Ej.1.13. Veamos las distancias que se inducen en algunos conjuntos. Podemosidentificar desde el punto de vista conjuntista, la recta real R y el subcon-junto de R2, definido como R × {0} = {(x, 0) : x ∈ R}, mediante laaplicacion x 7→ (x, 0). Es evidente que se trata de una biyeccion ¿verdad?.Nos podemos plantear la cuestion siguiente. ¿Que relacion hay entre la dis-tancia euclıdea, d2 y la distancia del valor absoluto en R?; veamoslo.

Si calculamos la distancia entre dos puntos de (x, 0), (y, 0) ∈ R × {0},tenemos

d2((x, 0), (y, 0)) =√

(x− y)2 = |x− y| = d(x, y), (1.3)



y esta ultima es la distancia usual de R. Esto significa que, en cierto modopodemos considerar la recta real como un subespacio metrico del plano R2.

Observe que ocurre lo mismo con las distancias d1 y d∞; compruebelo taly como se le sugiere en el Problema P.1.8.

Podemos practicar un poco mas, de nuevo por nuestra cuenta.


P.1.8 Estudie las distancias que, sobre R, inducen d1 y d∞ consideradas sobreR2. ¿Y si considera las distancias d1, d2 y d∞ sobre Rn e intenta calcularlas que inducen, respectivamente, sobre Rn−k, con 1 < k < n?

P.1.9 Sea A ⊂ R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2}. Calculeexplıcitamente las distancias inducidas sobre A por d1, d2 y d∞.

1.2.Distancia a un conjunto

Nos planteamos ahora la posibilidad de medir distancias entre un punto y un con-junto, o entre dos conjuntos, a partir de la distancia definida en un espacio metrico.Parece que de forma intuitiva podrıamos pensar, por ejemplo, que la distancia en-tre un punto y un conjunto, serıa la distancia entre tal punto y el punto del conjuntomas cercano a aquel. Esto no es tan sencillo como puede parecer a primera vista.Veamos en esta seccion algunas de las cosas que podemos saber sobre estas ideas.

Definicion 1.2.1. Sea (X, d) un espacio metrico, A ⊂ X un subconjunto de X yx0 un punto de X . La distancia de x0 al subconjunto A se define como

d(x0, A) = ınf{d(x0, x) : x ∈ A}.

Recordemos que el ınfimo de un conjunto de numeros reales acotado inferior-mente siempre existe, de modo que la definicion es buena.

Definicion 1.2.2. Sean A y B dos subconjuntos de X . La distancia del subcon-junto A al subconjunto B se define como

d(A,B) = ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Observemos que si a ∈ A, entonces d(a,A) = 0 o si A ∩ B 6= ∅, d(A,B) = 0,pero sin embargo ...


52 1.2. Distancia a un conjunto

Ejemplos

Ej.1.14. Consideremos los conjuntos A = (0, 1) y B = (1, 2), en R con ladistancia usual, tenemos que

1. d(0, A) = 0 y, sin embargo 0 /∈ A; y

2. d(A,B) = 0 y A ∩B = ∅.

En efecto, el primer caso, supongamos que d(0, A) = ε > 0, es claro queε < 1; entonces existe un numero real entre 0 y ε, por ejemplo, ε/2, por loque ε no serıa el ınfimo.

Respecto al segundo caso, si suponemos que d(A,B) = ε > 0 (tambien hade ser ε < 1), tenemos que 1− ε/3 ∈ A y 1 + ε/3 ∈ B y

d(1− ε/3, 1 + 3ε) = |1− ε/3− (1 + 3ε)| = 2ε/3 < ε,

en contra de que ε es el ınfimo.

Ej.1.15. Si d es la metrica discreta sobre X , x ∈ X y A,B ⊂ X . Entonces six ∈ A, d(x,A) = 0; por el contrario, si x /∈ A, entonces d(x, y) = 1 paratodo y ∈ A y, en consecuencia, d(x,A) = 1. En resumen:

d(x,A) =

{1 si x /∈ A

0 si x ∈ A

Veamos que pasa con la distancia entre dos conjuntos A,B ⊂ X . Tenemosque d(A,B) = ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}; entonces si existe x ∈ A∩B,d(A,B) = d(x, x) = 0; pero si A∩B = ∅ entonces d(x, y) = 1 para todox ∈ A y todo y ∈ B, con lo que d(A,B) = 1. Por tanto:

d(A,B) =

{1 si A ∩B = ∅0 si A ∩B 6= ∅

Ej.1.16. En (R2, d2) consideremos los subconjuntos

A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

B = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 2}.

Vamos a calcular la distancia d(A,B). La Figura 1.4 siguiente ayuda a vi-sualizar que la distancia que queremos calcular es la diferencia entre lalongitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es

√2, y el radio del

cırculo A que es 1, por tanto, la distancia buscada es d(A,B) =√2− 1.



Figura 1.4 – La distancia d(A,B) es√2.

Proposicion 1.2.3. Si (X, d) es un espacio metrico y dos subconjuntos A,B ⊂ X ,se verifican:

(a) d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A), para todo x, y ∈ X

(b) |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y), para todo x, y ∈ Xy

(c) d(A,B) ≤ d(x,A) + d(x,B), para todo x ∈ X

DEMOSTRACION. Para demostrar la desigualdad (a), tenemos que, si x ∈ X ,para todo a ∈ A, entonces d(x,A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a); y como esto espara todo a ∈ A, la desigualdad (a) se cumple.

Respecto a la desigualdad (b), si en la desigualdad (a) intercambiamos los papelesde x e y, tenemos la desigualdad d(y,A) ≤ d(x, y)+d(x,A) de donde se deduceque −d(x, y) ≤ d(x,A) − d(y,A); mientras que de la desigualdad (a) de formadirecta, se obtiene d(x,A) − d(y,A) ≤ d(x, y) y combinando estas dos ultimasdesigualdades obtenemos la buscada.

Por ultimo, para ver la desigualdad (c), si alguno de los dos conjuntos A o B es novacıo, el resultado es evidente. Supongamos, entonces que A y B son no vacıos.Sea ahora ε > 0, y A ∈ A de manera que d(x, a) ≤ d(x,A) + ε/2 y b ∈ B talque d(x, b) ≤ d(x,B) + ε/2. Entonces

d(A,B) ≤ d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ d(x,A) + d(x,B) + ε,

como esto se puede hacer para todo ε > 0, deducimos la desigualdad buscada.

Un ultimo concepto para terminar esta seccion.


54 1.2. Distancia a un conjunto

Definicion 1.2.4. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto acota-do. El diametro de A, representado por diam(A) = δ(A), se define como

diam(A) = δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Ejemplos

Ej.1.17. Los diametros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R conla distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2.

En efecto, en el caso de [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisa-mente, la longitud del intervalo. En el caso del intervalo [1, 2), supongamosque δ([1, 2)) = r < 1, entonces 1 + r ∈ [1, 2), y existe ε > 0 tal que1 + r + ε ∈ [1, 2) con lo que

d(1, 1 + r + ε) = |1 + r + ε− 1| = r + ε > r,

en contra de que δ([1, 2)) = r. De forma similar se prueba el ultimo caso.Intentelo como ejercicio.

Ej.1.18. Consideremos el subconjunto A = [0, 1] × [0, 1] de R2, es decir, elcuadrado unidad, y veamos su diametro para cada una de las distancias d1,d2 y d∞ (es conveniente que repase el Ejemplo Ej.1.3.).

Figura 1.5 – Diametro del cuadrado unidad para d1, d2 y d∞.

En el caso de d1 el diametro es

diam1(A) = δ1(A) = 2,

pues se trata del maximo del las sumas de los valores absolutos de las di-ferencias entre las coordenadas, a saber, la suma de dos lados del cuadrado.En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decirla longitud de la diagonal

diam2(A) = δ2(A) =√2.



Por ultimo, en el caso d∞, se trata del mayor valor absoluto de la diferenciaentre coordenadas, es decir la longitud de uno de los lados

diam∞(A) = δ∞(A) = 1.

Vea para cada caso, la Figura 1.5; y ademas, observe que el diametro de unconjunto, como era de esperar, depende de la distancia.

De nuevo podemos practicar de forma que profundicemos un poco.


P.1.10 Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = |x − y| y el conjun-to A = (1, 2] ⊂ R. Responda las siguientes cuestiones justificando lasrespuestas:

1.¿Cu anto vale d(32 , A)? 0, −12 o 1

2 .

2.¿Cu anto vale d(1, A)? 12 , 0 o 1

4

3.¿Cu anto vale d(0, A)? 1, 12 o 0

P.1.11 Si (X, d) es un espacio metrico y A,B ⊂ X no vacıos, demuestre que

d(A,B) = ınf{d(y,A) : y ∈ B} = ınf{d(x,B) : x ∈ A}.

P.1.12 Considere R con la distancia usual y A = {1/n + (−1)n : n ∈ N}.Calcule d(1, A) y d(−1, A). [I]

P.1.13 Sea (X, d) un espacio metrico. En el Problema P.1.4 hemos visto que laaplicacion ρ : X × X −→ R definida por ρ(x, y) = mın{1, d(x, y)}, esuna distancia. Considere el espacio (R2, ρ) con ρ(x, y) = mın{1, d2(x, y)}y el conjunto

A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Halle los puntos de R2 que verifican d(x,A) = 1.

P.1.14 Sea (R2, d2) y A = {(x, y) ∈ R2 : x+ y < 1, x > 0, y > 0}. Calculeel diametro de A.



56 1.3. Topologıa asociada a un espacio metrico

1.3.Topolog ıa asociada a un espacio metrico

A continuacion vamos a estudiar los subconjuntos, quizas mas importantes, de unespacio metrico: las bolas. Se trata de una generalizacion del concepto conocidode intervalo abierto centrado en un punto de R.

Definicion 1.3.1. Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X un punto y r > 0 unnumero real. La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto

B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}.

Al conjuntoB(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r},

se le llama bola cerrada. Si se necesita especificar con que distancia se esta tra-bajando, se representara por Bd(a, r).

Las bolas juegan un papel muy importante a lo largo del desarrollo del presentecurso, de modo que vamos a detenernos en estudiar algunas de ellas.

Ejemplos

Ej.1.19. En (R, | |) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abiertode extremos a− r y a+ r:

B(a, r) = {x ∈ R : |x− a| < r} = (a− r, a+ r)

Ej.1.20. Este ejemplo justifica el nombre de bola. En (R2, d2) tenemos que

B(a, r) = {(x, y) ∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 < r2},

que es el interior del cırculo (es decir sin la circunferencia) de radio r cen-trado en el punto (a, b).

Figura 1.6 – Bola abierta para la distancia d2.



En el espacio tridimensional (R3, d2) se tiene

B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r2}

que es el interior de la bola solida (sin la esfera) de radio r centrada ena = (a, b, c).

Ej.1.21. Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentesy no tener la apariencia de una esfera, como se muestra en los siguientescasos. En (R2, d∞) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado de centro 0 yde lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud 2r. En este casola bola es

B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 : d∞((0, 0), (x, y)) < r},

es decir, los puntos del plano que verifican max{|x|, |y|} < r. Por tanto hade cumplirse que |x| < r e |y| < r; en definitiva, las coordenadas x e y hande estar en el intervalo (−r, r), de modo que la bola sera

B((0, 0), r) = (−r, r)× (−r, r).

De la misma forma se obtiene que para cualquier punto (a, b) ∈ R2 (veasela Figura 1.7),

B((a, b), r) = (a− r, a+ r)× (b− r, b+ r).

Figura 1.7 – Las bolas metricas en las distancias d∞ y d1.

Ej.1.22. En (R2, d1) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado centrado en el pun-to (0, 0) y con vertices en los puntos (0, r), (0,−r), (r, 0), (−r, 0). Ahoratenemos

B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 : d1((0, 0), (x, y)) < r},

es decir, los puntos del plano que verifican |x| + |y| < r. Si suponemosque x, y ≥ 0 se debe cumplir x + y < r, es decir, se trata de los puntos



del plano cuyas coordenadas son no negativas y verifican y < r − x; endefinitiva, los puntos del primer cuadrante que estan por debajo de la rectay = r − x. Razonando de la misma manera sobre los posibles signos delas coordenadas se obtiene el cuadrado a que nos referıamos antes (vease laFigura 1.7).

Ej.1.23. Sea un espacio metrico discreto (X, dD). La bola B(a, r) es el conjunto

B(a, r) =

{{a} si r ≤ 1X si r > 1

Ej.1.24. Sea H = [0, 1] ⊂ R con la distancia dH inducida por la distancia d deR.Entonces en R con la distancia usual la bola Bd(1, 1) es el intervalo (0, 2)mientras que, para la distancia inducida en H , BdH (1, 1) es el intervalo(0, 1], que es precisamente (0, 2) ∩ [0, 1].

Ej.1.25. Sea una funcion f0 ∈ (C([0, 1],R), d∞). La bola B(f0, r) es el conjunto

B(f0, r) = {f ∈ (C([0, 1],R) : sup{|f0(x)− f(x)| ≤ r : x ∈ [0, 1]}

de todas las funciones continuas f en [0, 1] cuya grafica se encuentra entrelas graficas de las funciones f0 − r y f0 + r (vease la Figura 1.8).

Figura 1.8 – Las bolas metricas en la distancia d∞ sobre C([0, 1],R).

Otra vez, puede ser un buen momento para pensar por su cuenta.


P.1.15 Definimos la aplicacion d : R2 × R2 −→ R como sigue:

d[(x1, x2), (y1, y2)] =

{|x2 − y2| si x1 = y1|x2|+ |x1 − y1|+ |y2| si x1 6= y1



Pruebe que d es una distancia sobre R2. Determine y represente grafica-mente las bolas B((0, 0), 1), B((1, 0), 1), B((0, 1), 1) y B((2, 3), 1). [R]

P.1.16 Se define la parte entera de un numero real x ∈ R como [x] = el mayornumero entero menor o igual que x. Sea la aplicacion ρ : R × R −→ Rdefinida como

ρ(x, y) = |[x]− [y]|+ |(x− [x])− (y − [y])|.

(a)Pruebe que ρ es una distancia en R.

(b)Estudie c omo son las bolas Bρ(0, 1) y Bρ(32 , 1) ¿Como son las bolas

abiertas?

(c)Pruebe que ρ y la distancia d(x) = |x−y| inducen la misma distanciaen el conjunto Z de los numeros enteros.

P.1.17 Pruebe que la aplicacion definida como

d(x, y) = max{|x1 − x2|, dD(y1, y2)}, con x = (x1, y1), y = (x2, y2),

es una distancia en R2. Determine como son las bolas. [R]

P.1.18 Sea d : R× R −→ R definida por

d(x, y) =2|x− y|

1 + 3|x− y|.

Compruebe que es una distancia y determine la bola Bd(0, r). [I]

P.1.19 Sea d : R× R −→ R la distancia definida por

d(x, y) =

{0 si x = ydD(x, 0) + dD(0, y) si x 6= y

siendo dD la distancia discreta. Determine analıtica y geometricamente lasbolas Bd(x, r). [I]

P.1.20 Sea C([0, 2π]) con la distancia del supremo. Describa analıtica y grafica-mente como son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f(x) = senxy g(x) = 2 + cosx, respectivamente.







1.3.1.Conjuntos abiertos

Definicion 1.3.2. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Diremos que A es unconjunto abierto, si para cada punto a ∈ A, existe una bola B(a, ra) contenidaen A. Entenderemos que ∅ es abierto.

Proposicion 1.3.3. En un espacio metrico, cada bola abierta es un conjuntoabierto.

DEMOSTRACION. Sea la bola abierta B(a, r) y veamos que si x ∈ B(a, r), existeδ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ B(a, r). En efecto, tomemos δ = r − d(x, a) > 0, ycomprobemos que si y ∈ B(x, δ), entonces y ∈ B(a, r).

Tenemos que d(x, y) < δ y segun la desigualdad triangular

d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + δ = r,

lo que significa que y ∈ B(a, r) y por tanto que B(x, δ) ⊂ B(a, r) (vease laFigura 1.9).

Figura 1.9 – Las bolas abiertas, son conjuntos abiertos.

Teorema 1.3.4 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio metrico y dospuntos distintos x, y ∈ X . Entonces existen rx, ry > 0 tales que

B(x, rx) ∩B(y, ry) = ∅.

DEMOSTRACION. Sea r = d(x, y), entonces las bolas B(x, r/2) y B(y, r/2)abiertas, tienen interseccion vacıa. En efecto, veamos que ningun punto de laprimera puede estar en la segunda.

Si z ∈ B(x, r/2), entonces, por la desigualdad triangular

d(z, y) ≥ d(x, y)− d(z, x) = r − d(z, x) > r − r/2 = r/2,

con lo que z /∈ B(y, r/2). Para la otra bola se hace de la misma forma.

Lema 1.3.5. La interseccion de dos bolas abiertas en un espacio metrico (X, d),es un abierto.



DEMOSTRACION. Si la interseccion de ambas bolas es vacıa, no hay nada queprobar. Supongamos entonces que x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y veamos que tal inter-seccion es un entorno de x. Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s; tomemosδ < mın{r−d(x, a), s−d(x, b)} y comprobemos que B(x, δ) ⊂ B(a, r)∩B(b, s)(vease la Figura 1.10). En efecto, si y ∈ B(x, δ), entonces

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < δ + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r,

y por tanto y ∈ B(x, a). De la misma forma se prueba que B(x, δ) ⊂ B(b, s).Con esto hemos probado que la interseccion de las dos bolas contiene una bolacentrada en cada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.

Figura 1.10 – La interseccion de bolas abiertas es abierto.

El siguiente resultado es de gran trascendencia.

Teorema 1.3.6. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces se cumplen las propiedadessiguientes:

(a) X y ∅ son abiertos.

(b)La uni on de una familia cualquiera de conjuntos abiertos, es abierto.

(c)La intersecci on de una coleccion finita de conjuntos abiertos, tambien esabierto.

DEMOSTRACION. -

(a) No hay nada que probar.

(b) Sea {Ai}i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos del espacio X; six ∈ ∪i∈IAi, entonces x ∈ Ai0 para algun i0 ∈ I . Como Ai0∈I es abierto, exister0 > 0 tal que B(x, r0) ⊂ Ai0 ⊂ ∪i∈IAi y por tanto este ultimo conjunto esabierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.

(c) Si la interseccion es vacıa no hay nada que probar. Supongamos entonces, queA1 y A2 son dos conjuntos abiertos cuya interseccion es no vacıa. Si x ∈ A1∩A2,existen r1, r2 > 0 de modo B(x, r1) ⊂ A1 y B(x, r2) ⊂ A2; entonces segun el



Lema 1.3.5, hay una bola centrada en x contenida en la interseccion de ambasbolas, lo que implica que dicha bola tambien esta en A1 ∩ A2 y que este ultimoconjunto es abierto. Mediante un sencillo proceso de induccion se prueba que lainterseccion de cualquier familia finita de abiertos es un abierto.

A la familia de todos los conjuntos abiertos de un espacio metrico (X, d) se lellama topologıa asociada a la distancia d y la designaremos mediante Td, o sim-plemente T si no hay ambiguedad respecto de la distancia. Como era de esperar,teniendo en cuenta el nombre de la asignatura, estas familias seran las protago-nistas de nuestro estudio.

En general, si tenemos un conjunto X , a cualquier familia de subconjuntos de Xque verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 se le llama topologıa sobre X .En este curso, nos limitaremos a estudiar topologıas asociadas a espacios metricosaunque hay espacios topologicos que no son metricos, como se muestra en elEjemplo Ej.1.26.

Ejemplos

Ej.1.26. Si X es un conjunto con mas de un punto, la familia formada por el con-junto vacıo y el propio X es una topologıa TI = {∅, X} sobre X , pues veri-fica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 facilmente y no proviene de unadistancia pues no verifica la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. Esta topologıase llama topologıa gruesa o indiscreta.

Ej.1.27. Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es unsubconjunto abierto con la distancia usual. Tambien lo son las uniones deintervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no loson. Realice, como ejercicio, los detalles.

Ej.1.28. Un conjunto abierto no tiene por que ser una bola abierta. Ası, el sub-conjunto de R2:

A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 2}

no es una bola abierta de R2 para la distancia euclıdea y, sin embargo, sı esun subconjunto abierto. Se ve facilmente que el conjunto A es el rectanguloabierto (sin “bordes”) (−1, 1) × (−2, 2) (vease la Figura 1.11 (a)). Paraver que es abierto, comprobemos que contiene una bola, de radio adecuado,centrada en cada uno de sus puntos. Sea (a, b) ∈ A , es decir a ∈ (−1, 1) yb ∈ (−2, 2); si tomamos r < {1−|a|, 2−|b|} se tiene que B((a, b), r) ⊂ A.En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) se tiene (x − a)2 + (y − b)2 < r2, de



(a) (b)

Figura 1.11 – No todo conjunto abierto es una bola.

donde se deduce que |x− a| < r < 1− |a| y, por tanto,

−1 + |a|+ a < x < 1− |a|+ a,

de modo que si |a| = a (a ≥ 0) queda −1 + 2a < x < 1 y x ∈ (−1, 1); ysi |a| = −a (a < 0) queda −1 < x < 1 + 2a, y tambien es x ∈ (−1, 1).De forma similar se comprueba que y ∈ (−2, 2).

Por el contrario, el conjunto siguiente no es abierto

B = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2}.

Ahora B es el rectangulo (−1, 1)×[−2, 2]. Para comprobar que no es abier-to basta con encontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro enese punto tenga puntos fuera de B. Tomemos el punto (0, 2); entonces paratodo r > 0 el punto (0, 2 + r/2) /∈ B y, sin embargo, esta en la bolaB((0, 2), r) (vease la Figura 1.11 (b)).

Ej.1.29. Sea (X, TD) un espacio metrico discreto (TD es la topologıa inducidapor la distancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto comose deduce del Ejemplo Ej.1.23..

Ej.1.30. La interseccion arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. Masaun, la interseccion no finita de bolas concentricas, no es, necesariamente



una bola. Si consideramos la familia de abiertos {(− 1n ,

1n) : n ∈ N} en

(R, | |), su interseccion es

∞⋂n=1

(− 1

n,1

n

)= {0},

que no es abierto (por cierto ¿sabrıa demostrar que la interseccion anteriores, precisamente {0}?).

Ej.1.31. La condicion de ser abierto depende naturalmente de la distancia y delespacio total. (a) El subconjunto {0} ⊂ R es abierto para la distancia dis-creta, pero no lo es para la distancia euclıdea.

Proposicion 1.3.7. En un espacio metrico (X, d), un conjunto es abierto si, y solosi, se puede expresar como union de bolas abiertas.

DEMOSTRACION. “⇒” Si A ⊂ X es un abierto, para cada x ∈ A, existe rx > 0tal que B(x, rx) ⊂ A, de modo que ∪x∈AB(x, rx) ⊂ A, pero como cada puntode A esta en una de estas bolas, tambien se cumple A ⊂ ∪x∈AB(x, rx), con loque A es union de bolas abiertas. El recıproco es evidente.

1.3.2.Abiertos en subespacios

Vamos a ver ahora como son los abiertos en los subespacios. Evidentemente, con-siderados como espacios metricos en sı mismos, los abiertos tienen las propiedadesdescritas en la seccion anterior. Pero nos planteamos estudiar su relacion con losabiertos del espacio total.

Proposicion 1.3.8. Sea (X, d) un espacio metrico y un subconjunto H ⊂ X .

(a)Las bolas abiertas del subespacio m etrico (H, dH) son la interseccion debolas abiertas en el espacio total, con el subconjunto; es decir,

BdH (a, r) = Bd(a, r) ∩H.

(b)Un subconjunto de H es abierto en (H, dH) si, y solo si, es interseccion deun abierto en X con H .

DEMOSTRACION. -

(a)Efectivamente, observemos

BdH (a, r) ={x ∈ H : dH(x, a) = d(x, a) < r} =

{x ∈ X : d(x, a) < r} ∩H = Bd(x, r) ∩H.(1.4)



(b)Veamos la condici on directa. Supongamos que A ⊂ H es abierto para ladistancia inducida, entonces, segun la Proposicion 1.3.7 A es union de bolasabiertas en H , luego tenemos, aplicando el apartado (a)

A =⋃a∈A

BdH (a, ra) =⋃a∈A

(Bd(a, ra)⋂

H) =

(⋃a∈A

(Bd(a, ra)

)⋂H.

(1.5)y queda demostrado.

Para ver la condicion inversa solo hay que invertir correctamente el razo-namiento anterior.

Ejemplos

Ej.1.32. Observemos que, aunque los abiertos en el subespacio, son intersec-cion de abiertos del espacio con el subconjunto en cuestion, los abiertosdel subespacio no son necesariamente, abiertos en el espacio; en efecto, elintervalo [0, 1) es abierto en ([0, 2], d[0,2]), pues se puede expresar como(−1, 1) ∩ [0, 2] (interseccion del abierto (−1, 1) en R con el subespacio),pero no lo es en R con la distancia usual.

Proposicion 1.3.9. Sea (X, d) un espacio metrico y un sunconjunto H ⊂ X .Entonces son equivalentes:

(a)Todo abierto en (H, dH) es tambien abierto en (X, d).

(b) H es abierto en (X, d).

DEMOSTRACION. -

(a)⇒(b) Esta claro puesto que H es abierto en (H, dH).

(b)⇒(a) Segun la Proposicion 1.3.8(b), si A ⊂ H es abierto en H , entoncesA = B ∩ H para algun abierto B ⊂ X; entonces A es interseccion de dosabiertos en X y, por tanto tambien es abierto (vease el Teorema 1.3.6).

Hace demasiado tiempo que no pensamos en algunos problemas.




P.1.21 Justifique si son abiertos los siguientes conjuntos en (R2, d2):

A= {(x, y) ∈ R2 : xy = 0}B= {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q}C= {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1}D= {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

⋃{(x, y) ∈ R2 : x2+y2 = 0}

[I]

P.1.22 Demuestre que el intervalo H = [a, b] es abierto en (H, dH), pero queno lo es en el espacio total R con la distancia euclıdea.

P.1.23 Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X y r > 0. Demuestre que el con-junto {x ∈ X : d(a, x) > r} es abierto. [I] [R]

1.3.3.Conjuntos cerrados

Los que llamaremos conjuntos cerrados juegan, en los espacios metricos, o siqueremos, en la topologıa metrica, un papel tan importante como los conjuntosabiertos y, en cierto sentido dual.

Definicion 1.3.10 (Conjunto cerrado). Sea (X, d) un espacio metrico y C ⊂ Xun subconjunto; diremos que C es un conjunto (o subconjunto) cerrado si sucomplementario X − C = Cc es un abierto.

Esta claro, a partir de la definicion anterior, que tanto X como ∅ son cerrados.

La siguiente Proposicion 1.3.11 ofrece una primera caracterizacion de los conjun-tos cerrados.

Proposicion 1.3.11. Un subconjunto C de un espacio metrico (X, d) es cerradosi, y solo si, para todo x /∈ C existe una bola abierta, de centro x y radio r > 0tal que B(x, r) ∩ C = ∅.

DEMOSTRACION. -

⇒ Si C ⊂ X es cerrado quiere decir que Cc es abierto; por tanto, para todox /∈ C (x ∈ Cc) existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Cc y por tanto se cumple queB(x, r) ∩ C = ∅.

⇐ Si para todo x /∈ C (x ∈ Cc) existe r > 0 tal que B(x, r)∩C = ∅, entoncesB(x, r) ⊂ Cc y ası Cc es abierto, luego C es cerrado.






Proposicion 1.3.12. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados.

DEMOSTRACION. -

Solo hay que ver que su complementario es abierto; y esto es, precisamente lo quepropone el Problema P.1.23.

Ejemplos

Ej.1.33. En R, con la distancia usual, los intervalos cerrados son subconjuntoscerrados (pruebelo); tambien lo son las semirrectas cerradas [a,+∞) o(−∞, b] (pruebelo tambien).

No son cerrados, los intervalos de la forma [a, b), (a, b], pero observe quetampoco son abiertos (pruebelo), lo que significa que hay conjuntos que noson ni abiertos ni cerrados.

Sin embargo, un intervalo (a, b) es abierto y no es cerrado.

Ej.1.34. En (R2, d2), el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2} no escerrado, pero B = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2} sı lo es, lo cual sepuede comprobar razonando de forma similar al Ejemplo Ej.1.28..

Ej.1.35. Cualquier recta en (R2, d2) es un conjunto cerrado. Basta ver que sucomplementario es abierto. Si un punto esta fuera de la recta, la bola decentro este punto y radio menor que la distancia de dicho punto a la rec-ta esta contenida en el complementario de la recta, lo que prueba que esabierto.

Ej.1.36. Los conjuntos unipuntuales, tambien son cerrados en un espacio metrico,basta aplicar la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. ¿Y los conjuntos finitos?

Los conjuntos cerrados juegan un papel simetrico respecto de los abiertos, dehecho, observe el siguiente resultado y comparelo con el Teorema 1.3.6.

Teorema 1.3.13. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces se cumplen las propie-dades siguientes:

(a) X y ∅ son cerrados.

(b)La intersecci on de cualquier familia de conjuntos cerrados, es cerrado.

(c)La uni on de una coleccion finita de conjuntos cerrados, tambien es cerrado.



DEMOSTRACION. La propiedad (a) es evidente (ya lo hemos comentado antes).Respecto a la propiedad (b), sea la familia de cerrados {Ci}i∈I , Si la intersecciones vacıa no hay nada que probar, de modo que supongamos ∩i∈ICi 6= ∅. Veamosque el complementario es abierto, para esto aplicamos las leyes de De Morgan

X −⋂i∈I

Ci =⋃i∈I

(X − Ci),

como cada uno de los Ci es cerrado, entonces X − Ci es abierto; lo que implicaque la union de todos ellos lo es, lo que demuestra que la interseccion ∩i∈ICi escerrado.

Para finalizar veamos que la union finita de conjuntos de la familia en cuestion,es cerrado. De nuevo veremos que su complementario es abierto. Sea ∪n

i=1Ci launion de una cantidad finita de conjuntos; entonces, aplicando las leyes de DeMorgan otra vez

X −n⋃

i=1

Ci =n⋂

i=1

(X − Ci)

y esta ultima interseccion es abierto por ser interseccion finita de abiertos, con loque concluye la prueba.

Ejemplos

Ej.1.37. La union arbitraria de cerrados no es, necesariamente, un cerrado. Con-sideremos la familia {

[0, 1− 1

n

]: n ∈ N} de intervalos cerrados en R; su

union es el conjunto no cerrado⋃n∈N

[0, 1− 1

n

]= [0, 1).

Ej.1.38. Cualquier subconjunto en la distancia discreta es cerrado y tambien abier-to. Observe entonces que puede darse el caso de conjuntos que son, a la vez,abiertos y cerrados.

1.3.4.Cerrados en subespacios

Al igual que hacıamos en la seccion 1.3.2, nos planteamos estudiar como son loscerrados en los subespacios, y su relacion con el espacio total.

Proposicion 1.3.14. Sea (X, d) un espacio metrico y sea H un subconjunto deX . Entonces:



(a)Las bolas cerradas del subespacio m etrico (H, dH) son interseccion debolas cerradas en el espacio total, con el subconjunto; es decir,

BdH (x, r) = Bd(x, r) ∩H.

(b)Un subconjunto de H es cerrado en (H, dH) si, y solo si, es interseccion deun cerrado en X con H .

DEMOSTRACION. -

(a). En efectoBdH (a, r) = {x ∈ H : dH(a, x) ≤ r} =

{x ∈ X : d(a, x) ≤ r} ∩H = B(x, r) ∩H.

(b). Sea C ⊂ H un cerrado en (H, dH), entonces H −C es abierto en H y segunla Proposicion 1.3.8 H−C = A∩H con A un abierto, esta vez en X; pero comoC ⊂ H , C ⊂ X − A (si c ∈ C ∩ A, c ∈ H luego c ∈ A ∩H , en contra de quec ∈ H) y por tanto (X −A) ∩H = C. El recıproco es evidente.


P.1.24 Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X y r > 0. Demuestre que el con-junto {x ∈ X : d(a, x) ≥ r} es un conjunto cerrado.

P.1.25 Considere el espacio metrico de las sucesiones reales acotadas (`∞, d∞).Pruebe que el conjunto A = {(xn)∞n=1 ∈ `∞ : lımn→∞ xn = 0} escerrado. [I] [R]

1.4.Distancias equivalentes

Nos planteamos en esta seccion la posibilidad de comparar las topologıas quesobre un mismo conjunto, generan distancias diferentes, en el sentido de que sean,o no, iguales, es decir, que tengan los mismos abiertos.

Definicion 1.4.1. Dos distancias d y d′ sobre un mismo conjunto X son equiva-lentes si dan lugar a la misma topologıa metrica, es decir, si Td = Td′ , es decir,generan los mismos conjuntos abiertos.

Proposicion 1.4.2. Sean d y d′ dos distancias definidas sobre un conjunto X .Entonces d y d′ son equivalentes si, y solo si, para todo x ∈ X y para todo r > 0existe δ > 0 tal que

Bd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r)




70 1.4. Distancias equivalentes

y existe δ′ > 0 tal queBd′(x, δ

′) ⊂ Bd(x, r).

DEMOSTRACION. -

⇒ Supongamos que d y d′ son equivalentes. Dados x ∈ X y r > 0, Bd′(x, r)es un abierto de Td′ y, por tanto, tambien esta en Td; entonces existe δ > 0 tal queBd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r). Analogamente se demuestra la segunda afirmacion.

⇐ Recıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones, veamosque d y d′ son equivalentes. Sea A un abierto de Td y sea x ∈ A. Entonces exister > 0 tal que Bd(x, r) ⊂ A. Aplicando la segunda propiedad, existira δ′ > 0 talque Bd′(x, δ

′) ⊂ Bd(x, r), y, como esto es para todo x ∈ A, tenemos que A ∈ Td′y es, por tanto, abierto en esta topologıa. De forma analoga se demuestra que todoabierto de Td′ lo es tambien de Td.

Teorema 1.4.3. Dos distancias d y d′ sobre un conjunto X son equivalentes siexisten constantes m,M > 0 tales que para todo par de puntos x, y ∈ X sesatisface

m d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ M d(x, y).

DEMOSTRACION. Sean x ∈ X y r > 0. Entonces tomando δ = r/M se tieneque d(x, y) ≤ δ implica que

d′(x, y) ≤ Md(x, y) ≤ Mδ = r,

con lo que Bd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r). De forma analoga, tomando δ′ = mr se tieneque Bd′(x, δ

′) ⊂ Bd(x, r).

Ejemplos

Ej.1.39. No todas las distancias definidas en un conjunto son equivalentes. Porejemplo, la distancia euclıdea y la distancia discreta sobre R2 no son equi-valentes, ya que los puntos no son abiertos en la topologıa usual (generadapor la distancia euclıdea) y sı lo son en la topologıa discreta (generada porla distancia discreta).


P.1.26 Demuestre que las tres distancias d1, d2 y d∞ en Rn son equivalentes,de modo que generan la misma topologıa metrica (que coincide con latopologıa usual). En particular, en el caso n = 1, las tres distancias soniguales a la distancia usual de R, que viene dada por el valor absoluto. [I]




P.1.27 En C([0, 1]) consideremos la distancia d∞ y la distancia del area:

d(f, g) =

∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx.

Sea 0 < r ≤ 2 y consideremos las funciones f y g definidas por

f(x) = 2 para todo x ∈ [0, 1] y g(x) =

{−4x

r+ 4 si 0 ≤ x ≤ 1

2r

2 si 12r ≤ x ≤ 1

Pruebe que g ∈ Bd(f, r) pero g /∈ B∞(f, 1). Deduzca que d y d∞ no sonequivalentes.

1.5.Espacios normados

Vamos a ver una clase de espacios metricos interesantes e importantes en otrasramas de las matematicas.

Definicion 1.5.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K (R o C). Unaaplicacion ‖.‖ : V −→ R, es una norma sobre V si verifica:

(i) ‖x‖ ≥ 0.

(ii) ‖x‖ = 0 si, y solo si, x = 0.

(iii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖.

(iv) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Diremos entonces, que (V, ‖.‖) es un espacio vectorial normado.

Proposicion 1.5.2. Un espacio normado (V, ‖.‖) es un espacio metrico, con ladistancia d : V × V −→ R definida como d(x, y) = ‖x− y‖.

DEMOSTRACION. Es una consecuencia directa de la definicion de norma.

Ejemplos

Ej.1.40. ‖x‖ = |x| es una norma sobre R (considerado R como espacio vectorialsobre sı mismo).

Ej.1.41. Considerando Rn como espacio vectorial sobre R, las siguientes, sonnormas sobre Rn, con x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn


72 1.5. Espacios normados

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi|.

‖x‖2 =

(n∑

i=1

x2i

)1/2

.

‖x‖∞ = max{|xi| : i = 1, . . . ,m}.

Observe que estas tres normas dan lugar, respectivamente, a las distanciasd1, d2 y d∞ que hemos estudiado con detalle.


P.1.28 Sea (X, d) un espacio metrico. Definimos

δ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

(a)Demuestre que se trata de una distancia.

(b)Una distancia d es acotada, si existe M > 0 tal que d(x, y) ≤ M paratodo x, y. Demuestre que tanto δ como ρ(x, y) = mın{1, d(x, y)}(vease el Problema P.1.4), son acotadas.

(c)Demuestre que d, δ y ρ son equivalentes.

(d)Si d es la distancia usual de R, determine las bolas en (R, ρ) y en(R, δ).

P.1.29 Si X es un conjunto e (Y, d) es un espacio metrico, sea A(X,Y ) el con-junto de las aplicaciones acotadas de X en Y , es decir f ∈ A(X,Y ) sif(X) ⊂ Y es un conjunto acotado. Demuestre que si definimos la apli-cacion d∞ : A(X,Y )×A(X,Y ) −→ R, como

d∞(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) :∈ X},

se trata de una distancia (distancia del supremo).

P.1.30 Sea f : [0,+∞) −→ [0,+∞) una funcion estrictamente creciente veri-ficando:

(a) f(0) = 0;

(b)Si x, y ≥ 0 ⇒ f(x+ y) ≤ f(x) + f(y).

Si (X, d) es un espacio metrico, pruebe que la aplicacion d′ = f ◦ d, esdecir, d′(x, y) = f(d(x, y)), es tambien una distancia sobre X . [I] [R]





P.1.31 Sea (R2, d2) y consideremos el subconjunto A dado por

A = {(x, y) ∈ R2 : (x−2)2+y2 ≤ 2}⋃

{(x, y) ∈ R2 : (x+2)2+y2 ≤ 2}.

Determine en (A, d2|A) la bola cerrada de centro (0, 0) y radio 1.

P.1.32 De muestre que en R con la topologıa usual, se verifican:

(a)Un conjunto es abierto, si y s olo si, se puede expresar como union deintervalos abiertos.

(a)M as aun, un conjunto es abierto si, y solo si, es union de una coleccionnumerable de intervalos abiertos disjuntos.

P.1.33 Consideremos el conjunto

`2 = {(an)n sucesion real :

∞∑n=1

a2n es convergente}.

Entonces

‖(an)n‖ =

( ∞∑n=1

|an|2)

es una norma, y por tanto `2 es un espacio metrico.

P.1.34 Si, en la definicion de distancia, la condicion (2) se cambia por (2’) “six ∈ X , entonces d(x, x) = 0” (admitimos la posibilidad de la existenciade x, y ∈ X distintos con d(x, y) = 0), entonces se dice que d es unapseudometrica.

Sea, entonces d una pseudometrica sobre un conjunto X . Definimos la si-guiente relacion:

x ∼ y, si, y solo si d(x, y) = 0

1.Demuestre que se trata de una relaci on de equivalencia.

2.Demuestre que la siguiente aplicaci on es una distancia sobre el con-junto cociente X/ ∼= {x : x ∈ X} (x es la clase de equivalencia dex); ρ(x, y) = d(x, y). [I] [R]




74 1.5. Espacios normados


2

Subconjuntos destacados en latopologıa metrica

En este capıtulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a con-juntos que por el importante papel que juegan en la topologıa metrica, llamamosdestacados; como son los entornos, la adherencia de un conjunto, los puntos aisla-dos, de acumulacion, interiores, exteriores y frontera, presentando relaciones entreellos. Cuando entra en juego un subespacio, es necesario estudiar la adherencia, elinterior y la frontera relativos. Finalizamos con una seccion dedicada a las suce-siones, ya que juegan un importante papel en los espacios metricos. Se pretendenalcanzar las siguientes competencias especıficas:

1.Utilizar los conceptos b asicos asociados a la nocion de espacio metrico.

2.Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog ıa metrica.

3.Saber calcular la adherencia, el interior y la frontera de subconjuntos dealgunos espacios metricos, en particular, de los espacios euclıdeos.

4.Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol ogicos medianteel uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los sub-conjuntos cerrados y los subconjuntos compactos.

Los contenidos desarrollados son los siguientes:

Adherencia, interior y frontera.

75

76 2.1. Entornos

Puntos aislados y de acumulacion.

Adherencia, interior y frontera relativos.

Sucesiones. Convergencia.

Caracterizacion mediante sucesiones de los puntos adherentes y puntos fron-tera.

Conjuntos densos y espacios separables.

2.1.Entornos

Definicion 2.1.1. Si (X, d) es un espacio metrico, diremos que un subconjuntoU ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X si verifica que x ∈ U y existe un abiertoA ∈ T , tal que x ∈ A ⊂ U . A la familia de entornos de un punto x ∈ X ladenotaremos por Ux.

Proposicion 2.1.2. Si (X, d) es un espacio metrico, son equivalentes:

(a) U ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X .

(b)Existe r > 0, tal que B(x, r) ⊂ U .

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)” Por ser U entorno de x, existe A abierto con x ∈ A ⊂ U , luego paraalgun r > 0, B(x, r) ⊂ A y por tanto B(x, r) ⊂ U .

“(b)⇒(a)” Como B(x, r) es abierto, es consecuencia de la definicion.

Ejemplos

Ej.2.1. En un espacio discreto, un subconjunto U es entorno de un punto x si, ysolo si, x ∈ U ; en particular un conjunto unipuntual es entorno del puntoen cuestion, pues segun hemos visto en el Ej.1.23., todos los subconjuntosde un espacio discreto son abiertos (y tambien cerrados).

Ej.2.2. EnR con la distancia usual, el intervalo [0, 2] es entorno del 1 (¿por que?).En consecuencia un entorno no es necesariamente, un conjunto abierto.

Ej.2.3. Una bola abierta es entorno de todos sus puntos, pues segun hemos vis-to en la Proposicion 1.3.3, contiene una bola centrada en cada uno de suspuntos.



Proposicion 2.1.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Son equivalentes:

(a) A ⊂ X es abierto.

(b) A es entorno de todos sus puntos.

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)” Si x ∈ A y A es abierto, entonces x ∈ A ⊆ A, es decir, A ∈ Ux.

“(a)⇒(b)“ Si A es entorno de cada uno de sus puntos, para cada uno de ellos,existe Ax ∈ Td abierto, tal que x ∈ Ax ⊂ A, lo que significa que A = ∪x∈AAx

que es abierto por ser union de conjuntos abiertos.

Proposicion 2.1.4. Sea (X, d) un espacio metrico y un punto x ∈ X . La familiade entornos de x, Ux verifica las siguientes propiedades:

(1) Si U ∈ Ux, entonces x ∈ U .

(2) Si U ∈ Ux y U ⊂ V , entonces V ∈ Ux.

(3) Si U, V ∈ Ux, entonces U ∩ V ∈ Ux.

(4) Si U ∈ Ux, existe V ∈ Ux tal que x ∈ V ⊂ U y V ∈ Uy para todo y ∈ V .

DEMOSTRACION. -

(1)Por la propia definici on de entorno.

(2)Como U ∈ Ux, entonces existe un abierto A de modo que x ∈ A ⊂ U , peroentonces x ∈ A ⊂ V ; por tanto, V ∈ Ux.

(3)Si U, V ∈ Ux existen abiertos A, B, tales que x ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V .Esto implica que x ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V , y como A ∩ B es abierto por serinterseccion de dos abiertos, tendremos que U ∩ V ∈ Ux.

(4)Como U ∈ Ux, existe un abierto A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U ; basta tomarA = V , ya que al ser abierto es entorno de todos sus puntos.

La familia de todos los entornos es habitualmente muy grande y, con frecuencia,difıcil de manipular. Incluso en el caso de R, con la topologıa usual, los entornospueden no ser sencillos, lo que se resuelve trabajando con los intervalos. En el casogeneral introduciremos un concepto que facilitara el trabajo de forma semejante.

Definicion 2.1.5. Sea (X, d) un espacio metrico, un punto x ∈ X y una subfa-milia Bx ⊂ Ux de la familia de entornos de x. Bx es una base de entornos de x,o base local de x en (X, d), si se verifica que para todo entorno U ∈ Ux existeV ∈ Bx tal que V ⊂ U .


78 2.1. Entornos

Ejemplos

Ej.2.4. En un espacio metrico, las bolas abiertas centradas en un punto son basede entornos de dicho punto, como consecuencia de la Proposicion 2.1.3 yde que todo abierto es union de bolas abiertas (Proposicion 1.3.7).

En concreto, en R con la distancia usual, una base de entornos para cadapunto x ∈ R es la familia formada por los intervalos abiertos de centro x yradio r > 0, es decir, {(x− r, x+ r) : r > 0}.

Ej.2.5. Si (X, dD) es un espacio metrico discreto, {x} es un entorno de x, paratodo x ∈ X . Entonces la familia formada solo por este entorno Bx = {{x}}es claramente una base de entornos de x.

Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. Demodo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes. Por otra parte,la parte correspondiente al estudio de los entornos en los subespacios presenta dosresultados basicos que se enuncian en los Problemas P.2.1 y P.2.2, a los que debeprestar atencion.


P.2.1 Sea (X, d) un espacio metrico y sea H ⊂ X . Dado x ∈ H , un subconjun-to V ⊂ H es un entorno relativo de x, es decir, en (H, dh) ( V ∈ UH

x ) si,y solo si, existe U entorno de x en el espacio total ( U ∈ Ux) de forma queV = U ∩H . [I] [R]

P.2.2 Sea (X, d) un espacio metrico y sea x ∈ H ⊂ X . Si Bx es una base deentornos de x en (X, d), la familia BH

x = {B ∩H : B ∈ Bx} es una basede entornos para la distancia relativa. [I] [R]

P.2.3 Demuestre que, en un espacio metrico, todo punto tiene una base de en-tornos numerable. [I]

P.2.4 En R con la topologıa (distancia) usual, estudie si los siguientes intervalosson entornos de 0 o no lo son:

(−1

2 ,12

]; (−1, 0];

[0, 12); (0, 1].

P.2.5 Considere el espacio metrico (R2, d2). Estudie cuales de los siguientesconjuntos son entornos del origen de coordenadas:

(−12 ,

12 ]× (−1

4 ,14 ]

(−12 , 0]× (−1, 0]

[0, 12)× (0, 14 ]

(0, 1]× (0, 12 ].








2.2.Adherencia

Definicion 2.2.1. Sea (X, d) un espacio metrico y sea A un subconjunto de X . Sedice que x ∈ X es un punto adherente de A si todo entorno U de x cumple queU ∩A 6= ∅, es decir, no hay ningun entorno de x totalmente contenido en X−A.El conjunto de puntos adherentes de A se llama la adherencia o la clausura deA y se representa por A.

Observacion 2.2.2. Tal y como hemos definido la adherencia de un conjunto A,es evidente que A ⊂ A.

Proposicion 2.2.3. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un conjunto. En-tonces, x ∈ X es x ∈ A si, solo si, para todo r > 0, se cumple B(x, r)∩A 6= ∅.

DEMOSTRACION. Es consecuencia inmediata de las definiciones de entorno y depunto adherente.

Teorema 2.2.4. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Entonces:

(a)El conjunto A es cerrado.

(b) A es el menor cerrado que contiene a A, es decir, si B es un conjuntocerrado tal que A ⊂ B, entonces A ⊂ B.

DEMOSTRACION. -

(a)Veamos que el complementario de A es abierto. Si x ∈ X −A, de acuerdocon la Proposicion 2.2.3 existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅, lo quesignifica que B(x, r) ⊂ X−A; veamos que, ademas, B(x, r) ⊂ X−A conlo que este ultimo conjunto sera abierto. En efecto, para todo y ∈ B(x, r),la bola B(x, r) es un entorno de y que no corta a A, luego y /∈ A. Es decir,B(x, r) ⊂ X −A, como deseabamos probar.

(b)Razonaremos por reducci on al absurdo. Sea B un cerrado tal que A ⊂ By supongamos que A 6⊂ B, es decir, que existe un punto x ∈ A tal quex /∈ B. Entonces X −B es un abierto que contiene al punto x y como queA ⊂ B, se cumple que (X − B) ∩ A = ∅. Por tanto, x no es un puntoadherente de A, lo cual es una contradiccion.

Corolario 2.2.5. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Se verifican:

(a) A es el conjunto interseccion de todos los conjuntos cerrados en X quecontienen a A.


80 2.2. Adherencia

(b) A es cerrado si, y solo si, A = A.

DEMOSTRACION. Ambas son consecuencia inmediata del Teorema 2.2.4.

Proposicion 2.2.6. Sea (X, d) un espacio metrico, A y B subconjuntos de X .Entonces se cumplen las propiedades siguientes:

(a)Si A ⊂ B entonces A ⊂ B.

(b) A ∪B = A ∪B.

DEMOSTRACION. -

(a)Si x ∈ A, entonces para todo U ∈ Ux se cumple que U ∩ A 6= ∅. ComoU ∩A ⊂ U ∩B, se cumple tambien que U ∩B 6= ∅. Por tanto, x ∈ B.

(b)“ ⊂” Tenemos que A ⊂ A ∪B y B ⊂ A ∪B, luego por la propiedad (a) secumple que A ⊂ A ∪B y B ⊂ A ∪B. Por tanto A ∪B ⊂ A ∪B.

“⊃” Para ver la inclusion contraria, sea x ∈ A ∪B. Si x no es adherentea A ni a B, existiran dos entornos U1, U2 ∈ Ux tales que U1 ∩ A = ∅ yU2 ∩B = ∅.

Por otra parte, U1∩U2 es entorno de x tal que (U1∩U2)∩(A∪B) = ∅; peroesto es contradictorio con el hecho de que x ∈ A ∪B pues todo entorno dex deberıa cortar a A ∪B.

Veamos algunos ejemplos que ayuden a asimilar estos ultimos resultados.

Ejemplos

Ej.2.6. ConsideremosR con la distancia usual. Si A = (0, 1] entonces A = [0, 1],ya que cada entorno del numero 0 interseca a A, mientras que cada puntofuera de [0, 1] tiene un entorno disjunto con A. En efecto, si (−r, r), conr > 0, es un entorno de 0, esta claro que (−r, r) ∩ (0, 1] 6= ∅, con lo que0 ∈ A y, por tanto, [0, 1] ⊆ A. Para comprobar que la anterior inclusiones una igualdad, supongamos que x ∈ A pero x /∈ [0, 1]; si x > 1 existeδ > 0 tal que 1 < x − δ, por lo que (x − δ, x + δ) es un entorno de x queverifica (x− δ, x+ δ) ∩A = ∅, en contra de que x es un punto adherente.Analogamente se comprueba que si x < 0 entonces x /∈ A.

Ej.2.7. En un espacio discreto, un punto x es adherente a un conjunto si, y solosi, pertenece a dicho conjunto, ya que los conjuntos unipuntuales son bolasabiertas.



Proposicion 2.2.7. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.Entonces un punto x ∈ A si, y solo si, la distancia de x a A es d(x,A) = 0. Enotras palabras A = {x ∈ X : d(x,A) = 0}.

DEMOSTRACION. -

“⇒“ Supongamos que x ∈ A y que, sin embargo, d(x,A) = λ > 0; entoncesB(x, λ/2) ∩ A = ∅, ya que si y ∈ B(x, λ/2) ∩ A, entonces d(x, y) < λ/2 < λy λ no serıa el ınfimo. Esto contradice el hecho de que x es un punto adherente deA.

“⇐“ Recıprocamente, si 0 = d(x,A) = ınf{d(x, y) : y ∈ A}, entonces paracualquier n ∈ N existe un punto y ∈ A tal que d(x, y) < 1/n, de modo queB(x, 1/n) ∩A 6= ∅. Por tanto, x ∈ A

Practique por su cuenta.


P.2.6 Determine la clausura de los siguientes subconjuntos de R, justificandoadecuadamente su respuesta:

(1) B = {1/n | n ∈ Z+}.(2) C = {0} ∪ (1, 2).(3) Q (el conjunto de los numeros racionales).(4) N (el conjunto de los numeros enteros).(5) R+ (el conjunto de los numeros reales positivos).

P.2.7 Demuestre que si A es un cerrado en un espacio metrico y x /∈ A, entoncesd(x,A) > 0. [I]

P.2.8 Demuestre que una bola cerrada, en un espacio metrico, es la adherenciade la correspondiente bola abierta.

P.2.9 Encuentre en R con la topologıa usual (o en R2), ejemplos de conjuntosA y B, de manera que los conjuntos siguientes sean distitntos

A ∩B, A ∩B, A ∩B y A ∩B.

P.2.10 Si A y B son dos subconjuntos de un espacio metrico, demuestre que

(A ∩B) ⊆ A ∩B.

El ejercicio P.2.9 anterior le habra proporcionado un ejemplo que muestreque la inclusion puede ser estricta.



82 2.3. Puntos de acumulacion (o lımite) y puntos aislados

2.2.1.Adherencia relativa

Veamos cual es el comportamiento de los subespacios con respecto a la adheren-cia. Si tenemos un espacio metrico (X, d) y un subconjunto H ⊂ X , se puedeestudiar la adherencia de un subconjunto A ⊂ H , tanto en H , AH , como en X ,A. ¿Cual es la relacion entre ambas? Vamos a estudiarla a continuacion.

Proposicion 2.2.8. Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X . Consideremos elsubespacio metrico (H, dH) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces

AH

= A ∩H.

DEMOSTRACION. -

“⊂” Como A es cerrado en X , segun la Proposicion 1.3.14, el conjunto A ∩ Hes cerrado en H . Ademas, como A ⊂ H , tenemos que A ⊂ A ∩ H y comola adherencia de A en H es el menor de los cerrados de H que contiene a A,tendremos que A

H ⊂ A ∩H .

“⊃” Recıprocamente, sea x ∈ A∩H . Para ver que x ∈ AH , hay que ver que toda

bola BH(x, r) tiene interseccion no vacıa con A. En efecto, segun la Proposicion1.3.8, BH(x, r) = B(x, r)∩H; y como x ∈ A, tenemos que B(x, r)∩A 6= ∅, ypor tanto BH(x, r)∩A = B(x, r)∩H∩A 6= ∅, lo que significa que x ∈ A

H .

Ejemplos

Ej.2.8. La adherencia de (0, 1) en (0,+∞) (considerado este ultimo como sube-spacio topologico de R con la topologıa usual) es (0, 1], ya que, aplicandola Proposicion 2.2.8 anterior

(0, 1)(0,+∞)

= (0, 1) ∩ (0,+∞) = [0, 1] ∩ (0,+∞) = (0, 1].

2.3.Puntos de acumulaci on (o lımite) y puntos aislados

Definicion 2.3.1. Sea (X, d) un espacio topologico y A ⊂ X . Diremos que unpunto x ∈ X es un punto de acumulacion (o punto lımite) de A si cualquierentorno U de x contiene un punto de A distinto de x. Es decir, si

(U − {x}) ∩A 6= ∅.

El conjunto de todos los puntos de acumulacion de A se llama conjunto derivadode A, y se representa por A′.



Proposicion 2.3.2. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.Entonces x ∈ X es un punto de acumulacion de A si, y solo si, para todo r > 0se cumple que (B(x, r)− {x}) ∩A 6= ∅

DEMOSTRACION. Se trata unicamente de aplicar la definicion de abierto en unespacio metrico.

Un concepto dual, en cierto sentido, es el de punto aislado.

Definicion 2.3.3. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Diremos que un puntox ∈ A ⊂ X es un punto aislado de A si existe un entorno U de x tal queU ∩A = {x}.

Proposicion 2.3.4. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.Entonces x ∈ X es un punto de aislado de A si, y solo si, existe r > 0 de modoque que B(x, r) ∩A = {x}

DEMOSTRACION. Se trata unicamente de aplicar la definicion de abierto en unespacio metrico.

El siguiente resultado proporciona una relacion entre puntos adherentes, puntosde acumulacion y puntos aislados.

Proposicion 2.3.5. Sea (X, d) un espacio topologico y A ⊂ X . Entonces:

(a) El conjunto de puntos aislados de A es A−A′.

(b) A = A ∪A′.

DEMOSTRACION. -

(a) Si x ∈ A es un punto aislado, tambien es un punto adherente puesto queA ⊂ A, pero, sin embargo, no puede ser punto de acumulacion puesto que exister > 0 con B(x, r) ∩A = {x}.

Recıprocamente, si x ∈ A − A′, significa que toda bola centrada en x corta alconjunto A, pero como x /∈ A′, existe una bola B(x, r) − {x} = ∅, es decirB(x, r) ∩A = {x}, luego x es un punto aislado de A.

(b) “⊃” Si x ∈ A′, cada bola de centro x interseca a A en un punto distinto de x,luego x ∈ A, luego A′ ⊂ A y, como A ⊂ A, se sigue que A ⊃ A ∪A′.

“⊂” Supongamos ahora que x es un punto de A. Si x ∈ A, es claro que x ∈ A∪A′.Supongamos que x /∈ A; como x ∈ A, cada bola B(x, r) interseca a A, perocomo x /∈ A, dicha bola tener en comun con A un punto distinto de x y, por tantox ∈ A′; en definitiva, x ∈ A ∪A′.

Veamos algunos ejemplos.


84 2.3. Puntos de acumulacion (o lımite) y puntos aislados

Ejemplos

Ej.2.9. Consideremos la recta real R.

(a) El punto 0 es un punto de acumulacion de A = (0, 1] , puesto que todabola B(0, r) = (−r, r) cumple (−r, r) ∩ (0, 1] 6= ∅. De hecho, cada puntodel intervalo [0, 1] va a ser un punto de acumulacion de A, pero ningun otropunto de R es un punto de acumulacion de A. En efecto, si x < 0 entoncesexiste δ > 0 tal que x+ δ < 0, de modo que (x− δ, x+ δ)∩A = ∅, por loque x /∈ A′. Analogamente se prueba que si x > 1 entonces x /∈ A′.

(b) El conjunto derivado de B = {1/n : n ∈ Z+} es B′ = {0}, pues 0es un punto de acumulacion de B y cualquier otro punto x de R tiene unentorno que, o no llega a intersecar a B, o interseca a B solo en el propiopunto x.

En efecto, 0 ∈ B′ pues para todo r > 0, el intervalo (−r, r) es un entornode 0 y existe m ∈ N tal que 1/m < r con lo que [(−r, r)− {0}] ∩B 6= ∅.Para comprobar que ningun otro numero real esta en B′ vamos a contem-plar varios casos. Primero, supongamos que x = 1/m para algun m ∈ N;entonces si tomamos r < 1/m − 1/(m + 1) esta claro que el intervalo(1/m − r, 1/m + r) corta a B en un unico punto que es, precisamente,1/m; segundo, si x /∈ B y x > 1 basta tomar r < x − 1 para que(x − r, x + r) ∩ B = ∅; de forma analoga se razona si x < 0. Porultimo si, para algun m ∈ N es 1/(m + 1) < x < 1/m, tomamosr < mın{x − 1/(m + 1), 1/m − x} y entonces (x − r, x + r) ∩ B = ∅.Con esto queda probado que B′ = {0}.

(c) Si C = {0} ∪ (1, 2), entonces C ′ es igual a [1, 2]. La demostracion esanaloga a la del apartado anterior.

Ej.2.10. Vamos a determinar los conjuntos derivados deQ,N yR+ en (R, du). Enprimer lugar, es facil ver que cada punto de R es un punto de acumulacionde Q, pues en cualquier intervalo abierto existen numeros racionales.

En cuanto a N, ningun punto de R es un punto de acumulacion de N. Enefecto, si x /∈ N entonces existe un numero natural n tal que n < x < n+1.Sea δ < mın{x − n, n + 1 − x}. Entonces (x − δ, x + δ) ∩ N = ∅, porlo que x /∈ N (y, por tanto, x 6∈ N′). Pero si ahora suponemos que x ∈ Nentonces (x− 1, x+ 1) ∩ N = {x}, por lo que x 6∈ N′.

Finalmente, si R+ es el conjunto de los reales positivos, entonces cada pun-to de {0} ∪R+ es un punto de acumulacion de R+, y ningun otro punto deR es un punto de acumulacion. El razonamiento es analogo al Ej.2.9. (a).

Ej.2.11. En R con la topologıa usual, todo numero natural n ∈ N es un puntoadherente deN pero no es de acumulacion; es decir, los naturales son puntosaislados en (R, du). En efecto, la bola (B(n, 1/2)− {n}) ∩ N = ∅.



2.4.Interior de un conjunto

Definicion 2.4.1. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto. Dire-mos que x ∈ A es un punto interior de A, si A es un entorno de x. El conjunto

de los puntos interiores de A se denomina el interior de A y se representa por◦A

o IntA.

Un punto x /∈ A se dice que es exterior a A si x ∈ Int(X − A), y el conjunto depuntos exteriores de A se denomina exterior de A y se representa por ExtA.

Observacion 2.4.2. Es obvio que para cualquier conjunto A ⊂ X se satisface

◦A ⊂ A ⊂ A.

Observacion 2.4.3. Si A es un subconjunto de un espacio metrico, entonces◦A

es, obviamente, un conjunto abierto.

Ejemplos

Ej.2.12. En R con la topologıa usual, Int[0, 1) = (0, 1). En efecto, como (0, 1)es abierto, es entorno de todos sus puntos y, por tanto, se da la inclusion(0, 1) ⊂ Int[0, 1). Por otra parte, 0 /∈ Int[0, 1), pues para todo δ > 0,se tiene claramente que (−δ, δ) ∩ [0, 1)c 6= ∅, luego la inclusion es unaigualdad.

Ej.2.13. En R con la topologıa usual,◦Q = ∅ pues para todo q ∈ Q y todo

r > 0, el entorno (q−r, q+r) contiene irracionales. De la misma manera secomprueba que el exterior deQ, es decir, el interior de R−Q (irracionales),tambien es vacıo.

Proposicion 2.4.4. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X , entonces

◦A = X −X −A.

DEMOSTRACION. -

Tenemos que x ∈◦A, si, y solo si, existe r > 0, tal que B(x, r) ⊂ A , es decir

B(x, r) ∩ (X −A) = ∅, lo que es equivalente a que x /∈ X −A.

Una importante caracterıstica del interior de un conjunto es que se trata del mayorabierto contenido en dicho conjunto.


86 2.4. Interior de un conjunto

Proposicion 2.4.5. Un subconjunto A de un espacio metrico (X, d) es abierto si,

y solo si, A =◦A.

DEMOSTRACION. -

Como◦A ⊂ A, solo hay que probar la inclusion en sentido contrario. Si x ∈ A,

como A es abierto, se tiene que el propio A es entorno de x, por tanto x ∈◦A, de

donde se deduce que A ⊂◦A.

Las propiedades que se recogen en los tres Problemas P.2.11, P.2.12 y P.2.13siguientes son importantes y conviene que les preste atencion.


P.2.11 Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Entonces un punto x ∈ A esun punto interior de A si, y solo si, d(x,X −A) > 0. [I] [R]

P.2.12 El interior posee las siguientes propiedades, que son duales de las corre-spondientes de la adherencia, probadas en la Proposicion 2.2.6.

Sea (X, d) un espacio metrico, y sean A1 y A2 subconjuntos de X . En-tonces:

(a)Si A1 ⊂ A2, entonces◦A1 ⊂

◦A2

(b)◦A1 ∩

◦A2 = (A1 ∩A2)

◦.

(c) (A1 ∪ A2)◦ ⊇

◦A1 ∪

◦A2. Encuentre un ejemplo en el que se muestre

que la inclusion puede ser estricta. [I] [R]

P.2.13 Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X . Consideremos el subespaciometrico (H, dH) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces

IntH A ⊃◦A ∩H.

[I] [R]

P.2.14 Compruebe que la inclusion anterior puede ser estricta considerando Qcomo subespacio de R con la topologıa usual; para ello compare el interiorde Q en R y el interior de Q en el subespacio Q









2.5.Frontera de un conjunto

Definicion 2.5.1. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto. Dire-mos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo entorno U de x se cumpleque U ∩A 6= ∅ y U ∩ (X −A) 6= ∅. El conjunto de los puntos frontera de A sedenomina la frontera de A, y se representa por Fr(A), o tambien como ∂A.

Como consecuencia de la definicion, el siguiente resultado es obvio.

Proposicion 2.5.2. Si (X, d) es un espacio metrico y A ⊂ X , entonces x ∈ Fr(A)si, y solo si, para todo r > 0, B(x, r) ∩A 6= ∅ y B(x, r) ∩ (X −A) 6= ∅.

Ademas se cumplen las dos propiedades recogidas en la siguiente proposicion.

Proposicion 2.5.3. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.Entonces:

(a) Fr(A) = A ∩X −A.

(b) Fr(A) es cerrado.

DEMOSTRACION. -

El apartado (a) es una consecuencia inmediata de las definiciones de frontera yadherencia (asegurese de que para usted es inmediato). El apartado (b) se deducedel (a), ya que la interseccion de dos cerrados es un cerrado.

Algunos ejemplos nos ayudaran a ilustrar los ultimos conceptos y resultados.Vea-mos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ej.2.14. La frontera de (0, 1) en (R, du) es el conjunto de dos elementos {0, 1}.En efecto, utilizando la Proposicion 2.5.3 se tiene

Fr(0, 1) = (0, 1) ∩ R− (0, 1) = [0, 1] ∩ {(−∞, 0] ∪ [1,+∞)} = {0, 1}.

Ej.2.15. Todos los numeros reales son puntos frontera deQ, es decir, Fr(Q) = R,ya que si q ∈ Q entonces el entorno (q−r, q+r), para todo r > 0, contienenumeros racionales e irracionales.


88 2.5. Frontera de un conjunto

Corolario 2.5.4. Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X . Consideremos elsubespacio metrico (H, dH) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces, si FrH(A) es lafrontera de A relativa a H ,

FrH(A) ⊂ Fr(A) ∩H.

DEMOSTRACION. -

La frontera de A en H esta dada, segun la Proposicion 2.5.3, por

FrH(A) = AH ∩H −A

H= (A ∩H) ∩ (H −A ∩H)

= A ∩H −A ∩H ⊂ A ∩X −A ∩H = Fr(A) ∩H.

Ejemplos

Ej.2.16. En general, la inclusion del Corolario 2.5.4 es estricta ya que

FrQQ = ∅ ⊂ FrQ ∩ R = Q ∩ R = Q.

Para finalizar veamos una bonita relacion entre los conjuntos interior, clausura yfrontera.

Proposicion 2.5.5. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.

Entonces Fr(A) = A−◦A.

DEMOSTRACION. -

La Proposicion 2.5.3 implica que Fr(A) = A ∩ X −A. Entonces usando laProposicion 2.4.4 tenemos

A ∩X −A = A ∩ (X −◦A) = A−

◦A,

El Problema P.2.15 siguiente, corresponde, de nuevo, a una interesante propiedada la que debe prestar atencion.


P.2.15 Sea (X, d) un espacio topologico y A ⊂ X . Entonces A es abierto si, ysolo si, Fr(A) ∩A = ∅. [I] [R]





P.2.16 En (R, du) se consideran los subconjuntos

A = [0, 1), B = Q ∩ [1, 2], C = (2, 3] ∪ {4}, D = A ∪B ∪ C.

Calcule las adherencias de A, B y C relativas a D, es decir AD, BD y CD.

P.2.17 En (R2, d2) calcule el interior, el exterior y la frontera de los conjuntossiguientes:A = {(x, y) ∈ R2 : x = 1/n, n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1},B = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1},C = {(x, y) ∈ R2 : x = n, y = 1/n, n ∈ N}

P.2.18 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que si A ⊂ B, entonces todopunto de acumulacion de A es un punto de acumulacion de B, es decir,A′ ⊂ B′.

P.2.19 Demuestre que un conjunto A es abierto en un espacio metrico (X, d) si,y solo si, para todo M ⊂ X tal que A ∩ M = ∅, tambien se cumple queM ∩A = ∅. [I] [R]

2.6.Sucesiones

En esta seccion vamos a estudiar el concepto de sucesion en un espacio metrico.Estos subconjuntos juegan un papel importante en la topologıa de los espaciosmetricos.

Definicion 2.6.1. Sea (X, d) un espacio metrico, una sucesion en X es un sub-conjunto de X definido mediante una aplicacion x : N −→ X , de tal modo quex(n) = xn ∈ X; denotaremos a la sucesion mediante (xn)n∈N, o (xn)

∞n=1 o

simplemente (xn)n; y a los elementos de la sucesion les llamaremos terminos.

Observacion 2.6.2. la aplicacion que define la sucesion no ha de ser necesaria-mente inyectiva, lo que significa que puede haber terminos repetidos en una suce-sion; por ejemplo ((−1)n)n es la sucesion {−1, 1,−1, 1, . . . }.

Definicion 2.6.3. Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1 una sucesion de pun-

tos de X . Diremos que (xn)∞n=1 converge a x en (X, d), y lo denotaremos por

xn → x o lımn xn = x, si

para todo ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que si n ≥ n0, entonces d(xn, x) < ε.

En otras palabras si




90 2.6. Sucesiones

para toda bola B(x, ε), existe n0 ∈ N, tal que si n ≥ n0, entonces xn ∈ B(x, ε).

En este caso se dice que la sucesion es convergente hacia el punto x, o que x esel lımite de la sucesion.

Ejemplos

Ej.2.17. Si (X, dD) es un espacio discreto una sucesion (xn)∞n=1 converge a un

punto x si, y solo si es constante igual a x a partir de un termino (a estassucesiones se les llama de cola constante, ya que las bolas de centro x yradio menor que 1 coinciden con el conjunto unipuntual {x}.

Ej.2.18. El concepto de convergencia que acabamos de definir coincide con elya conocido de convergencia en R con el valor absoluto, es decir, en latopologıa usual. Recordemos que una sucesion (xn)

∞n=1x ⊂ R converge a

x ∈ R si para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0, entonces |xn−x| < ε.

Fijemonos que si |xn − x| < ε, entonces

−ε < xn − x < ε y x− ε < xn < x+ ε,

lo que significa que xn ∈ (x−ε, x+ε) y tenemos la definicion en terminosde bolas.

En los espacios metricos, en caso de existir, el lımite de una sucesion es unico.

Teorema 2.6.4. Si (xn)∞n=1 es una sucesion convergente en un espacio metrico(X, d), su lımite es unico.

DEMOSTRACION. - Supongamos que (xn)∞n=1 tiene dos lımites distintos x 6= y.

Segun el Teorema 1.3.4, X es un espacio de Haussdorff y, por tanto existe r > 0tal que B(x, r) ∩B(y, r) = ∅.

Por otra parte, como (xn)∞n=1 converge a x, tenemos que dado r > 0, existe n1

tal que si n ≥ n1, entonces xn ∈ B(x, r); ademas como (xn)∞n=1 converge a y,

dado r > 0, existe n2 tal que si n ≥ n2, entonces xn ∈ B(y, r); si tomamosn ≥ n1 y a la vez n ≥ n2 se verifican ambas condiciones a la vez y xn ∈ B(x, r)y xn ∈ B(y, r), lo que contradice que la interseccion de estas dos bolas es vacıa.


P.2.20 Considere R con la distancia usual.



(a)Demuestre que la sucesi on de numeros reales (1/n)n, con la distanciausual, converge a cero.

(b)Demuestre que si (xn)n es una sucesion de numeros reales no nega-tivos tal que xn ≤ 1/n para cada n ∈ N, entonces lımn xn = 0.

P.2.21 Toda sucesion convergente en un espacio metrico (X, d), es un conjuntoacotado. [I]

El siguiente resultado caracteriza la convergencia de sucesiones en espacios metri-cos, a traves de la convergencia de sucesiones de numeros reales no negativos delsiguiente modo.

Teorema 2.6.5. Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1 una sucesion en X .

Entonces (xn)∞n=1 converge a x si, y solo si, la sucesion (d(xn, x))

∞n=1 de las

distancias, converge a 0 en (R, | |).

DEMOSTRACION. - Se trata de una consecuencia directa de la definicion de suce-sion convergente.

La convergencia de sucesiones, en los espacios metricos, caracteriza algunos delos conjuntos destacados que se han estudiado en las secciones anteriores, ası co-mo otros conceptos topologicos. De ahı su importancia.

Proposicion 2.6.6. Sea (X, d) un espacio metrico y sea A ⊂ X . Entonces x ∈ Asi, y solo si, existe una sucesion (xn)

∞n=1 ⊂ A tal que xn → x.

DEMOSTRACION. -

“⇒” Supongamos que x ∈ A. Entonces tenemos que B(x, 1/n) ∩ A 6= ∅, paracada n ∈ N. Podemos construir entonces una sucesion de la siguiente forma:

Para n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1) ∩A.

Para n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 1/2) ∩A.

Y ası sucesivamente: para cada n tomamos xn ∈ B(x, 1/n) ∩A.

De esta manera obtenemos una sucesion (xn)∞n=1 de puntos de A que converge a

x puesto que para cada n ∈ N es d(xn, x) < 1/n. Por tanto segun hemos visto enel Problema P.2.20, la sucesion (d(xn, x))n converge a cero lo que implica por elTeorema 2.6.5 que xn −→ x.

“⇐” Si existe una sucesion (xn)∞n=1 en A tal que lımn xn = x, entonces para todo

ε > 0, n0 tal que n > n0 implica que xn ∈ B(x, ε), es decir, B(x, ε) ∩ A 6= ∅.Por tanto, x ∈ A.



92 2.6. Sucesiones

Proposicion 2.6.7. Sea (X, d) un espacio metrico, y A ⊂ X entonces x ∈◦A si,

y solo si dada una sucesion (xn)∞n=1 en X tal que lımn xn = x, existe n0 ∈ N tal

que si n > n0, entonces xn ∈ A.

DEMOSTRACION. -

“⇒” Si x ∈◦A, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A; y si (xn)∞n=1 es una sucesion

que converge a x, dado r > 0, existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces se tiene quexn ∈ B(x, r) ⊂ A.

“⇐” Recıprocamente, si para cada sucesion (xn)∞n=1 que converge a x todos los

terminos a partir de un xn0 estan en A y, razonando por reduccion al absurdo,

suponemos que x /∈◦A, significa que cualquier bola de centro x contiene puntos

que no son de A. Podemos construir entonces una sucesion

Para n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1), x1 /∈ A.

Para n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 1/2), x2 /∈ A.

Sucesivamente, para n, tomamos xn ∈ B(x, 1/n) y xn /∈ A

La sucesion (xn)∞n=1 ası construida, converge a x puesto que d(x, xn) < 1/n para

cada n pero sin embargo no tiene ninguno de sus terminos en A, lo que nos llevaa una contradiccion.

Como consecuencia inmediata de los dos ultimos resultados tenemos el siguientecorolario donde se caracterizan los abiertos y los cerrados.

Corolario 2.6.8. Sea (X, d) un espacio metrico. Se cumplen:

(a)Un subconjunto A ⊂ X es cerrado si, y solo si (xn)∞n=1 ⊂ A es unasucesion convergente, entonces limnxn ∈ A.

(b) A ⊂ X es abierto si, y solo si para cada sucesion (xn)∞n=1 en X que

converge a un punto x ∈ A, existe n0 tal que n ≥ n0 implica que xn ∈ A.

Respecto a los puntos de acumulacion y los puntos frontera, los resultados corre-spondientes estan enunciados en los dos siguientes ejercicios, cuya demostraciondebe hacer con detalle.


P.2.22 Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Un punto x ∈ X es x ∈ FrAsi, y solo si, existen sucesiones (xn)∞n=1 en A e (yn)∞n=1 en X−A tales quexn → x e yn → x. [I]




P.2.23 Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Un punto x ∈ X es x ∈ A′ si,y solo si, existe una sucesion (xn)

∞n=1 ⊂ A de terminos distintos dos a dos

convergente a x. [I] [R]

2.6.1.Subconjuntos densos y espacios separables

Concluimos este capıtulo con la definicion de conjunto denso y el estudio de algu-nas de sus propiedades. Este tipo de conjuntos desempenan un papel importanteen la topologıa de los espacios metricos y dan motivo para definir el concepto deespacio separable.

Definicion 2.6.9. Sea (X, d) un espacio metrico. Diremos que un subconjuntoA ⊂ X es denso en X si A = X .

Los subconjuntos densos pueden ser caracterizados de la siguiente forma.

Proposicion 2.6.10. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X . Entonces A esdenso en (X, d) si, y solo si, B ∩A 6= ∅ para todo abierto B ∈ X .

DEMOSTRACION. -

“⇒” Supongamos que A ⊂ X es denso, es decir, A = X y sea B 6= ∅ un abierto.Si x ∈ X , como x ∈ A = X y B es entorno de x se cumple, por la definicion deadherencia, que B ∩A 6= ∅.

“⇐” Supongamos ahora que todo abierto B 6= ∅ satisface B ∩ A 6= ∅. Enparticular ocurre que para cada x ∈ X , cualquier bola abierta B(x, r) verificaB(x, r) ∩A 6= ∅, lo que signitica que x ∈ A; es decir A = X .

Ejemplos

Ej.2.19. El conjunto de los racionales Q es denso en R con la distancia usualsegun la Proposicion 2.6.10, pues cualquier intervalo abierto no vacıo (a, b)contiene numeros racionales. Por tanto, R contiene un subconjunto numer-able denso.

Por la misma razon los irracionales R − Q tambien son un subconjuntodenso en R.

Ej.2.20. En R con la distancia usual, podemos considerar el subespacio (0, 1); elconjunto de los racionales contenidos en (0, 1), es decir Q ∩ (0, 1), es den-so en (0, 1). En efecto, segun la Proposicion 2.2.8, se obtiene el resultadobuscado puesto

Q(0,1)= Q ∩ (0, 1) = R ∩ (0, 1) = (0, 1).




94 2.6. Sucesiones

Las sucesiones nos permiten caracterizar los subconjuntos denso de la siguientemanera.

Proposicion 2.6.11. Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto.Entonces A es denso en X si, y solo si, para todo x ∈ X existe una sucesion(xn)

∞n=1 en A tal que xn → x.

DEMOSTRACION. Simplemente hay que tener en cuenta la Definicion 2.6.9 deconjunto denso y la Proposicion 2.6.6.

Los subconjuntos numerables densos juegan en la topologıa un papel importante,de hecho los espacios que poseen un conjunto de este tipo reciben un nombrepropio.

Definicion 2.6.12. Un espacio metrico (X, d) es separable si contiene un sub-conjunto numerable denso.

Ejemplos

Ej.2.21. La recta real R con la distancia usual es separable, puesto que Q esnumerable y denso, como hemos visto.

Teorema 2.6.13. Sea (X, d) un espacio metrico separable; entonces toda familiade abiertos disjuntos entre sı es numerable.

DEMOSTRACION. Como el espacio es separable, existe un conjunto A ⊂ X nu-merable y denso. Si {Bi}i∈I es una familia de abiertos en X que son disjuntosentre sı, se tiene que A∩Bi 6= ∅ segun la Proposicion 2.6.10; y ademas A∩Bi esnumerable. Por otra parte, para cada i, j ∈ I se tienen (A∩Bi)∩ (A∩Bj) = ∅.Entonces, como A es numerable, tambien lo es la familia {A ∩ Bi}i∈I y esta fa-milia se puede poner, claramente en correspondencia biyectiva con {Bi}i∈I , loque significa que tambien esta ultima familia es numerable.


P.2.24 Demuestre que dos distancias d y d′ sobre un conjunto X son equiva-lentes si, y solo si, se verifica la propiedad siguiente:

Una sucesion (xn)∞n=1x ⊂ X converge a x ∈ X en (X, d) si, y solo si

converge a x en (X, d′). [I] [R]





P.2.25 Considere en R2, con la distancia usual el conjunto

M = {(1/n, y) ∈ R2 : n = 1, 2, . . . ; y ∈ [0, 1]}.

Calcule el interior y la adherencia de M (con la adecuada justificacion).

P.2.26 Sea C ⊂ R cerrado y acotado con la topologıa usual. Entonces C esta con-tenido en un intervalo [a, b] de manera que a, b ∈ C. [I] [R]

P.2.27 Considere el siguiente subconjunto de la recta real

A = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5},

con la topologıa TA inducida por la usual de R.

(a)Estudie si {5} es abierto o cerrado en A.(b)Estudie si (1, 3) es abierto o cerrado en A.(c)Calcule la adherencia de [0, 1) en A.(d)Estudie si [0, 1/2] es un entorno de 0 en A.

P.2.28 Sean A y B dos subconjuntos cerrados disjuntos en un espacio metrico(X, d). Entonces existen dos abiertos disjuntos G y H tales que A ⊂ G yB ⊂ H . [I] [R]

P.2.29 Sean (X, d) un espacio metrico y A un subconjunto de X . Se dice que

A es fronterizo cuando A ⊂ Fr(A) y que A es raro cuando◦A = ∅.

(a)¿Es cierto que A es fronterizo si, y solo si,◦A = ∅?

(b)¿Es cierto que A es fronterizo si, y solo si, el complementario de A esdenso en X?

(c)Encuentre en (R, du) dos ejemplos de conjuntos fronterizos.

(d)Encuentre en (R, du) dos ejemplos de conjuntos raros.

(e)¿Todo conjunto raro es fronterizo?

(f)¿Todo conjunto fronterizo es raro?

(g)¿ A abierto implica que Fr(A) es raro?

(h)¿Todo conjunto cerrado y raro es la frontera de un conjunto abierto?[I]

P.2.30 Sea (X, d) un espacio metrico:

(1)Demuestre que D ⊂ X es denso en X si, y solo si, X − D tieneinterior vacıo.







96 2.6. Sucesiones

(2)Pruebe que un subconjunto A ⊂ R con la topologıa usual es denso enR si, y solo si, todo punto de R es lımite de una sucesion de puntos deA.

(3)Sea la sucesi on (1/n)∞n=1 en R. Pruebe que R−{(1/n)∞n=1} es densoen R y que la sucesion no es densa en R.

P.2.31 Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos y el producto X × Y dotadode la distancia d((x, y), (x′, y′)) = max{d(x, x′), d′(y, y′)}. Si (xn)∞n=1

y (yn)∞n=1 son dos sucesiones en X e Y respectivamente, demuestre que

la condicion necesaria y suficiente para que la sucesion (xn)∞n=1 conver-

ja a x ∈ X y la sucesion (yn)∞n=1 converja a y ∈ Y es que la sucesion

(zn)∞n=1 = (xn, yn)

∞n=1 en X × Y , converja a z = (x, y) ∈ X × Y .

P.2.32 Considere los siguientes subconjuntos deR y calcule su interior, exterior,frontera y adherencia primero considerando la distancia discreta y despuesla distancia usual.

(0, 1), [0, 1],

{(−1)n

n: n ∈ N

}, Q


3

Funciones continuas

De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios metrico,las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es funda-mental no solo en topologıa, sino tambien en analisis, geometrıa diferencial y engeneral, en la mayorıa de ramas de las matematicas.

En este capıtulo estudiamos la continuidad de funciones entre espacios metricos.Caracterizamos las continuidad a traves de sucesiones, de conjuntos abiertos ode conjuntos cerrados, y presentamos las principales propiedades de las aplica-ciones continuas. Estudiamos algunas aplicaciones especiales: abiertas, cerradasy homeomorfismos. Finalizamos estudiando la continuidad uniforme en espaciosmetricos.

Se pretenden alcanzar las siguientes competencias especıficas:



Determinar cuando una funcion entre espacios metricos es continua y, enparticular, cuando es un homeomorfismo.

Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topologicos medianteel uso de sucesiones, particularmente la continuidad.


Continuidad de funciones entre espacios metricos. Continuidad en un pun-to. Continuidad global.

97

98 3.1. Aplicacion continua

Caracterizacion de la continuidad mediante sucesiones.

Principales propiedades de las aplicaciones continuas.

Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos.

Aplicaciones continuas en subespacios.

Continuidad uniforme.

Isometrıas.

3.1.Aplicaci on continua

Definicion 3.1.1. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos y f : X −→ Y unaaplicacion. Diremos que f es continua en a ∈ X , si

para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ, implica d′(f(x), f(a)) < ε;

en otras palabras

para cada BY (f(a), ε), existe BX(a, δ) tal que f(BX(a, δ)) ⊂ BY (f(a), ε).

Observacion 3.1.2. Logicamente, coincide con la definicion, ya conocida, de fun-cion f : R −→ R continua en un punto a ∈ R, es decir, f es continua en a si

para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que |x− a| < δ, implica |f(x)− f(a)| < ε;

que en terminos de entornos (bolas) es:

para cada ε > 0, existe (a−δ, a+δ) tal que f((a−δ, a+δ)) ⊂ (f(a)−ε, f(a)+ε).

Ejemplos

Ej.3.1. Toda aplicacion constante entre dos espacios metricos (X, d) y (Y, d′) escontinua. En efecto, si f(x) = y0 para todo x ∈ X , es evidente que todabola BY (y0, r) contiene a f(X) = {y0} y por tanto cumple la definicion.

Ej.3.2. La aplicacion identidad 1X : (X, d) −→ (X, d), de un espacio en sı mis-mo, es continua en cada punto x ∈ X , pues B(1X(x), r) = B(x, r). ¿Y silas distancias son diferentes, es decir, si ahora consideramos la aplicacion1X : (X, d) −→ (X, d′) con d′ 6= d?

Ej.3.3. Si (X, dD) es un espacio discreto e (Y, d) es un espacio metrico cualquiera,entonces toda aplicacion f : X −→ Y es continua en cada punto x ∈ X , yaque si consideramos una bola Bd(f(x), r), basta con que tomemos la bolaBdD(x, 1/2) = {x} para que f(BdD(x, 1/2)) ⊂ Bd(f(x), r). ¿Ocurre lomismo si la aplicacion es f : Y −→ X?



Ej.3.4. El concepto de continuidad es conocido en R, lo que nos proporcionanumerosos e interesantes ejemplos de aplicaciones f : (R, | |) −→ (R, | |)continuas como son las funciones elementales xa, sen(x), cos(x), ex y susinversas en sus dominios de definicion. De la misma forma sabemos que lasuma y el producto de funciones continuas da como resultado una funcioncontinua; ası como la inversa de una funcion continua no nula.

Las sucesiones caracterizan la continuidad en los espacios metricos, convirtiendoseası, en una herramienta frecuentemente util. Lo vemos en el siguiente Teorema.

Teorema 3.1.3. Sean dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), f : X −→ Y unaaplicacion entre ellos y a ∈ X . Entonces son equivalentes:

(a) f es continua en a.

(b) Si (xn)∞n=1 es una sucesion en X con lımite a, entonces (f(xn))∞n=1 es

convergente y su lımite es f(a).

DEMOSTRACION. -

“⇒” Supongamos que (f(xn))∞n=1 converge a f(a) y f no es continua en a. Esto

significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 hay un punto xδ ∈ X tal qued(xδ, a) < δ y d′(f(xδ), f(a) ≥ ε. Entonces:

Dado δ = 1 existe x1 con d(x1, a) < 1 tal que d′(f(x1), f(a)) ≥ ε.

Dado δ = 12 existe x2 con d(x2, a) <

12 tal que d′(f(x2), f(a)) ≥ ε.

Y ası sucesivamente:

dado δ = 1n existe xn con d(xn, a) <

1n tal que d′(f(xn), f(a)) ≥ ε.

Hemos obtenido una sucesion (xn)∞n=1 en X que converge hacia a, puesto que

la sucesion de terminos positivos (d(xn, a))∞n=1 converge a 0; sin embargo, la

sucesion (f(xn))∞n=1 no converge a f(a), ya que siempre es d′(f(xn), f(a)) ≥ ε,

para cada n ∈ N, con lo que llegamos a una contradiccion.

“⇐” Recıprocamente, supongamos que f es continua en a ∈ X y que una suce-sion (xn)

∞n=1 es xn → a. Para demostrar que f(xn) → f(a), tenemos que probar

que para todo ε > 0 existe n0 tal que si n > n0 entonces f(xn) ∈ BY (f(a), ε).Como f es continua en a, dada BY (f(a), ε), existe δ > 0 tal que

f(BX(a, δ)) ⊂ BY (f(a), ε).

Por otra parte, como (xn)∞n=1 converge hacia a, dado BX(a, δ), existe n0 tal que

si n > n0 entonces xn ∈ BX(a, δ), con lo que

f(xn) ∈ f(BX(a, δ)) ⊂ BY (f(a), ε),

que es lo que querıamos probar.



Ejemplos

Ej.3.5. La funcion f : R −→ R, definida por f(x) ={

1x−1 si x 6= 1

1 si x = 1

Figura 3.1 – Grafica de la funcion f(x) del Ejemplo Ej.3.5..

considerando la distancia usual en ambos casos (vease la Figura 3.1), no escontinua en x = 1, pues la sucesion xn = 1 + 1

n tiene por lımite 1 y, sinembargo,

lımn

f(xn) = lımn

11n + 1− 1

= lımn

n 6= f(1).

La composicion de aplicaciones continuas es tambien una aplicacion continua.Encontramos, por tanto, un interesante metodo para construir numerosas aplica-ciones de este tipo.

Proposicion 3.1.4. Sean (X, d), (Y, d′) y (Z, d′′) tres espacios metricos, y seandos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z tales que f es continua en a ∈ X yg es continua en f(a) ∈ Y . Entonces g ◦ f es continua en a.

DEMOSTRACION. -

Sea ε > 0; como g es continua en f(a), existe δ > 0 tal que si d′(f(a), y) < δ,entonces d′′(g(f(a)), g(y)) < ε. Por otra parte, como f es continua en a, da-do el δ > 0 anterior, existe η > 0 de modo que si d(x, a) < η, entoncesd′(f(a), f(x)) < δ. Para concluir la prueba solo hay que combinar las dos afir-maciones anteriores.



3.1.1.Continuidad global

Definicion 3.1.5. Sean dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′) y sea f : X −→ Yuna aplicacion. Diremos que f es continua si lo es en todo punto de X .

La Proposicion siguiente una caracterizacion de la continuidad global en terminosde los conjuntos abiertos y de los conjuntos cerrados. Se trata de un importanteresultado que, ademas sera de utilidad frecuente.

Proposicion 3.1.6. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos y f : X −→ Yuna aplicacion. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua.

(b) Para todo abierto A ⊂ Y , el conjunto f−1(A) es abierto en X .

(b) Para todo cerrado F ⊂ Y , el conjunto f−1(F ) es cerrado en X .

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)” Supongamos que f es continua y que A ⊂ Y es un abierto. Veamosque f−1(A) es abierto. Sea x ∈ f−1(A), entonces f(x) ∈ A y como A es abierto,existe ε > 0 tal que BY (f(x), ε) ⊂ A. Por otra parte, como f es continua, paraeste ε > 0 existe δ > 0, tal que f(BX(x, δ)) ⊂ BY (f(x), ε) ⊂ A, lo quesignifica que BX(x, δ) ⊂ f−1(A). Como esto es para cada x ∈ f−1(A), tenemosque f−1(A) es abierto en X .

“(b)⇒(c)” Si F ⊂ Y es cerrado, entonces su complementario Y − F es abierto ypor tanto X−f−1(F ) = f−1(Y −F ) es abierto, de donde se deduce que f−1(F )es cerrado en X .

“(c)⇒(a)” Consideremos f(x) ∈ Y y una bola abierta BY (f(x), ε); entonces elconjunto Y −BY (f(x), ε) es cerrado en Y , por tanto

X − f−1(BY (f(x), ε)) = f−1(Y −BY (f(x), ε))

es cerrado en X , lo que significa que f−1(BY (f(x), ε)) es abierto en X y en-tonces, para algun δ > 0 se tienen que BX(x, δ) ⊂ f−1(BY (f(x), ε)); de dondededucimos que f(BX(x, δ)) ⊂ BY (f(x), ε) y f es continua en x.

Aunque las anti-imagenes, mediante una aplicacion continua, de un abierto o deun cerrado, son a su vez, abierto o cerrado respectivamente, las imagenes de abier-tos o de cerrados no son, en general, abiertos o cerrados. Veamos un ejemplo.

Ejemplos

Ej.3.6. La funcion f : R −→ R, dada por f(x) = senx, es continua parala topologıa usual y, sin embargo no transforma abiertos en abiertos puesf((−2π, 2π)) = [−1, 1] no es un abierto en R.



Ej.3.7. En el Ejemplo Ej.3.3., hemos visto que toda aplicacion entre un espaciodiscreto y cualquier otro espacio metrico es siempre continua. En particular,la aplicacion identidad 1X : (R, dD) −→ (R, | |), es continua. Cualquiersubconjunto de R es cerrado para la topologıa discreta, por ejemplo (0, 1);y sin embargo, 1X(0, 1) = (0, 1) no es cerrado en R con la topologıa usual,de modo que esta aplicacion no transforma cerrados en cerrados.


P.3.1 Si A es un subespacio de un espacio metrico (X, d), demuestre que lafuncion inclusion j : (A, dA) −→ (X, d) (j(x) = x) es continua. [I] [R]

P.3.2 Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) una aplicacion.

(a)Demuestre que f es continua en un punto a ∈ X si, y solo si, paratodo entorno U de f(a) se cumple que a ∈ [f−1(U)]◦

(b)Demuestre que f es continua en X si, y solo si, para todo conjuntoB ⊂ Y se cumple

f−1(◦B) ⊂ [f−1(B)]◦.

[I] [R]

P.3.3 Sea (X, d) un espacio metrico y x0 ∈ X un punto. Demuestre que laaplicacion f : (X, d) −→ (R, | |) definida como f(x) = d(x, x0), escontinua. [I]

P.3.4 Sea (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto no vacıo determi-nado. Demuestre que g : (X, d) −→ (R, | |) definida como g(x) = d(x,A),es continua. [I]

P.3.5 Sea (X, d) un espacio metrico y f1, . . . , fn : X −→ R, una coleccion den funciones continuas (considerando R con la distancia usual). Entonces lafuncion f : X −→ Rn (Rn tambien con la distancia usual) definida comof(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) continua.

3.1.2.Continuidad y subespacios

Proposicion 3.1.7. Si f : (X, d) −→ (Y, d′) es continua y A es un subespacio deX , entonces la funcion restringida f |A : (A, dA) −→ (Y, d′) es continua.









DEMOSTRACION. -

Como en el ejercicio (3.1) hemos visto que la inclusion j es continua y la fun-cion f |A se puede expresar como f |A = f ◦ j, es composicion de aplicacionescontinuas y, por tanto, f |A es continua.

Definicion 3.1.8. Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) una aplicacion y A ⊂ X un subcon-junto. Diremos que f es continua en A si f |A : (A, dA) −→ (Y, d′) es continua.

3.2.Homeomorfismos y embebimientos

3.2.1.Aplicaciones abiertas y cerradas

Hemos visto que aunque la imagen inversa de un conjunto abierto, mediante unafuncion continua, es un abierto (lo mismo ocurre para cerrados), las imagenesde abiertos o de cerrados no son, necesariamente, abiertos o cerrados respectiva-mente. Las aplicaciones que transforman abiertos en abiertos o cerrados en cerra-dos, juegan un papel importante.

Definicion 3.2.1. Sean dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′) y f : X −→ Yuna aplicacion. Diremos que f es abierta si para todo abierto A ⊂ X , f(A) esabierto en Y y diremos que f es cerrada si para todo C ⊂ X cerrado, f(C) ⊂ Yes cerrado.

Ejemplos

Ej.3.8. Consideremos R con la topologıa usual y [0, 1] con distancia inducida porla usual de R. Entonces la aplicacion inclusion j : [0, 1] −→ R es cerradapuesto que al ser cerrado [0, 1], todos los cerrados en este espacio tambienson cerrados en R (vea la Proposicion 1.3.14) y, sin embargo no es abiertapues [0, 1/2) es abierto (¿por que?) en [0, 1] pero no en R.

Ej.3.9. Las aplicaciones pueden ser abiertas y cerradas a la vez; en efecto la apli-cacion f : R −→ R (en ambos casos con la distancia usual), definida comof(x) = kx con k ∈ R, no nulo, es continua, es abierta y cerrada.

Ej.3.10. Las aplicaciones abiertas y/o cerradas no son, necesariamente, conti-nuas. Consideremos el espacio X = {a, b}, formado por dos unicos puntoscon la distancia discreta dD; y sea la aplicacion f : (R, | |) −→ X , definidacomo

f(x) =

{a si x ≥ 0

b si x < 0


104 3.2. Homeomorfismos y embebimientos

Es facil (¿?) ver que es abierta y cerrada. Sin embargo no es continua, puesel conjunto {a} es abierto y cerrado en X y f−1({a}) = [0,∞) no esabierto en R, con lo que la Proposicion 3.1.6 no se verifica.

Ej.3.11. La proyeccion π : (R2, d2) −→ (R, du) del plano sobre el eje de abcisas,

Figura 3.2 – Las proyecciones son aplicaciones abiertas pero no cerradas.

π(x, y) = x, es una aplicacion abierta puesto que la proyeccion de cualquierbola abierta B((a, b), r) es un intervalo abierto (a − r, a + r). Pero no escerrada, puesto que la proyeccion del conjunto cerrado

C = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, xy ≥ 1}

es el intervalo (0,+∞), que no es cerrado (vease la Figura 3.2).

3.2.2.Homeomorfismos

Vamos a estudiar ahora unas importantes aplicaciones continuas entre espaciosmetricos.

Definicion 3.2.2. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos. Un homeomorfis-mo entre X e Y es una aplicacion biyectiva f : X → Y tal que tanto f comosu inversa f−1 son continuas. Diremos que dos espacios topologicos son homeo-morfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

Diremos que una propiedad en un espacio topologico es una propiedad topologi-ca si es invariante por homeomorfismos.

La siguiente proposicion proporciona una caracterizacion de los homeomorfis-mos.

Proposicion 3.2.3. Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva entre dos espaciosmetricos (X, d) e (Y, d′). Son equivalentes:



(a) f es un homeomorfismo.

(b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto si, y solo si, f(A) es abierto.

(c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y solo si, f(C) es cerrado.

DEMOSTRACION. -

Es consecuencia directa de la definicion y de la Proposicion 3.1.6.

Veamos ejemplos de homeomorfismos entre espacios topologicos. Algunos nosvan a resultar utiles e incluso, quizas, hasta sorprendentes.

Ejemplos

Ej.3.12. Dos espacios metricos discretos son homeomorfos si, y solo si, existeuna biyeccion entre ellos.

Ej.3.13. La aplicacion sen : (0, π/2) → (0, 1) es un homeomorfismo, ya que res-tringida a estos intervalos es biyectiva, y tambien es continua su aplicacioninversa arcsen : (0, 1) → (0, π/2) (vease la Figura 3.3).

Figura 3.3 – El senx es un homeomorfismo entre (0, π/2) y (0, 1).

Ej.3.14. La funcion f : R −→ R dada por f(x) = 3x+ 1 es un homeomorfismo(vease la Figura 3.4). Si definimos g : R→ R mediante la ecuacion

g(y) =1

3(y − 1)

entonces se puede comprobar facilmente que, para todos los numeros realesx e y, f(g(y)) = y y que g(f(x)) = x. Se sigue que f es biyectiva y queg = f−1; la continuidad de f y g es un resultado conocido de analisis.

Ej.3.15. La funcion f : (−1, 1) → R definida por

f(x) =x

1− x2



Figura 3.4 – Homeomorfismo en la recta real.

Figura 3.5 – Ejemplo de homeomorfismo entre un intervalo abierto y R.

es un homeomorfismo (vease la Figura 3.5).

En primer lugar, observemos que f es una correspondencia biyectiva queconserva el orden; su inversa es la funcion g definida por

g(y) =2y

1 + (1 + 4y2)1/2.

El hecho de que f sea un homeomorfismo se puede probar usando la con-tinuidad de las funciones algebraicas y la funcion raız cuadrada. En efecto,tanto f como g son continuas al ser composicion de funciones continuas.

Ej.3.16. El hecho de ser acotado no es una propiedad topologica. El intervalo(−1, 1) y R son topologicamente equivalentes (como se prueba en el Ejem-plo (3) anterior) pero el primero de ellos esta acotado y el segundo no.



Ej.3.17. Una funcion biyectiva puede ser continua sin ser un homeomorfismo.Denotemos por S1 a la circunferencia unidad

S1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1}

considerado como subespacio del plano R2, y sea

f : [0, 1) −→ S1

la aplicacion definida por f(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Entonces f es biyecti-va y continua (vease el Problema P.3.5), pero no es un homeomorfismo.

El hecho de que f sea biyectiva y continua se sigue de propiedades fami-liares de las funciones trigonometricas, que ya suponemos conocidas. Perola funcion f−1 no es continua ya que, por ejemplo, la imagen mediantef = (f−1)−1 del conjunto abierto U = [0, 14) del dominio no es abierta enS1, puesto que el punto p = f(0) no pertenece a ningun conjunto abiertoV de R2 tal que V ∩ S1 ⊂ f(U) (vease la Figura 3.6).

Figura 3.6 – Ejemplo de aplicacion biyectiva que no es homeomorfismo.


P.3.6 Sea la aplicacion f : (R, du) −→ (R, du) definida por

f(x) = − 1

1 + x2.

¿Es abierta? ¿Es cerrada? Justifıquelo.

P.3.7 Estudie la continuidad de la funcion “valor absoluto” | | : R −→ R (dis-tancia usual). ¿Es homeomorfismo?

P.3.8 Encuentre un homeomorfismo entre el intervalo (a, b) de R y el propio R,con las topologıas usuales. Idem para los intervalos [a, b] y [0, 1]. [I] [R]





P.3.9 Sea (a, b) ∈ X × Y . Demuestre que la “rebanada horizontal” X × b eshomeomorfa a X , y que la “rebanada vertical” a × Y es homeomorfa a Ycon la topologıa usual definida para el producto de espacios (vea el EjemploEj.1.9.).

P.3.10 Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos y f : X −→ y una apli-cacion. Demuestre:

(a) f es cerrada si, y solo si, f(A) ⊂ f(A) para todo A ⊂ X .

(b) f es abierta si, y solo si, f(◦A) ⊂ [f(A)]◦ para todo A ⊂ X . [I] [R]

P.3.11 Pruebe que las siguientes son propiedades topologicas: (i) punto de acu-mulacion; (ii) interior; (iii) frontera; (iv) desidad y (v) entorno. [I] [R]

P.3.12 Sean (X, d), (Y, d′) y (Z, d′′) tres espacios metricos y dos funcionescontinuas f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Si g ◦ f : X −→ Z es unhomeomorfismo, demuestre:

(a)Si g es inyectiva, entonces f y g son homeomorfismos.(b)Si f es sobreyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. [I] [R]

3.2.3.Embebimientos

Ahora supongamos que f : (X, d) −→ (Y, d′) es una aplicacion continua e in-yectiva. La f funcion f : X −→ f(X), donde f(X) ⊂ Y tiene la topologıainducida, obtenida al restringir el rango de f , es biyectiva. Si ocurre que f es unhomeomorfismo de X con f(X), decimos que la aplicacion f : X → Y es unembebimiento topologico, o simplemente un embebimiento, de X en Y .

Ejemplos

Ej.3.18. La aplicacion sen : (0, π/2) −→ R es claramente un embebimiento.

Ej.3.19. La aplicacion f : (0,+∞) −→ R, dada por f(x) = 1/x, es un embe-bimiento, ya que f : (0,+∞) → (0,+∞) es un homeomorfismo.

Ej.3.20. Consideremos la funcion g : [0, 1) −→ R2 obtenida a partir de la fun-cion f del Ejemplo Ej.3.17. al extender el recorrido. La aplicacion g es unejemplo de una aplicacion continua e inyectiva que no es un embebimiento.









3.3.Continuidad uniforme

En la Definicion 3.1.1 de continuidad que venimos manejando, el numero real δdepende de ε y, en general, tambien depende del punto en el que estamos “estu-diando” la continuidad. No obstante, hay casos en los que esto ultimo no ocurre yδ solo de pende de ε. Observemos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ej.3.21. Consideremos la conocida parabola. Se trata de una funcion f : R −→ R(distancias usuales), definida como f(x) = x2. Sabemos que esta apli-cacion es continua y si tomamos ε = 10−2 y estudiamos la continuidad ena = 0, basta tomar |x| <

√10−2 = 10−1, para que |x2| < ε = 10−2. Sin

embargo si pensamos en a = 3 y tomamos el mismo valor ε = 10−2, tene-mos que si x = 3 + 10−1/2 = 3 + 1/20, entonces |x− 3| = 1/20 < 1/10y, sin embargo,

|x2−33| = |x2−9| = |x−3||x+3| = (1/20)(6+1/20) = 121/400 > 10−2.

Es decir el valor de δ tomado para a = 0 no es valido para el punto a = 3.

Ej.3.22. Consideremos ahora la aplicacion f(x) = x+3, y sea ε > 0 observemosque para x = a, para que

|f(x)− f(a)| = |x+ 3− a− 3| = |x− a| < ε,

basta tomar δ = ε, y esto es valido para cualquier punto x = a.

Las aplicaciones que tienen esta ultima, digamos, “peculiaridad” reciben un nom-bre particular.

Definicion 3.3.1. Una aplicacion entre espacios metricos f : (X, d) → (Y, d′)es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todox, y ∈ X con d(x, y) < δ se verifica que d′(f(x), f(y)) < ε.

Observacion 3.3.2. Es facil probar que toda aplicacion uniformemente continuaes continua, pero el recıproco no es cierto: basta considerar la funcion f(x) = x2

del ejemplo anterior. No obstante lo podemos hacer de forma mas general. Enefecto, dado ε > 0, para todo δ > 0 siempre podemos encontrar dos numeros x ey en R tales que |x− y| < δ y, sin embargo, |x2 − y2| > ε. Observemos que

x2 − y2 = (x− y)(x+ y).

Dados ε y δ, tomamos x e y tales que |x− y| = δ/2 y |x+ y| > 2ε/δ, entonces

|x2 − y2| = |x− y| |x+ y| > ε.


110 3.3. Continuidad uniforme

3.3.1.Isometr ıas

Definicion 3.3.3. Dados dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), diremos que unaaplicacion biyectiva f : X → Y es una isometrıa si conserva la distancia, esdecir, d(x1, x2) = d′(f(x1), f(x2)) para todo x1, x2 ∈ X . En este caso decimosque (X, d) e (Y, d′) son espacios isometricos.

Proposicion 3.3.4. Una isometrıa es una aplicacion uniformemente continua.

DEMOSTRACION. -

Se trata de una consecuencia directa de la definicion.

Proposicion 3.3.5. Si dos espacios metricos son isometricos, entonces tambienson homeomorfos.

DEMOSTRACION. -

De nuevo, no es mas que una consecuencia de las definiciones de isometrıa yhomeomorfismo.

Ejemplos

Ej.3.23. El recıproco de la ultima proposicion no es cierto, en general; es decirno todo homeomorfismo es isometrıa. Si consideramos R con la distanciadiscreta dD y con la distancia

d(x, y) =

{2 si x 6= y

0 si x = y

entonces la aplicacion identidad Id : (R, dD) → (R, d) es un homeomorfis-mo que no es isometrıa, pues si x 6= y entonces dD(x, y) = 1 mientras qued(Id(x), Id(y)) = d(x, y) = 2.

Ej.3.24. Vimos en el Ejemplo Ej.1.5., que C es un espacio metrico con la distan-cia d(z1, z2) = |z1 − z2|. La aplicacion f : (R2, d2) −→ (C, d) definidacomo f(x, y) = x+iy, es una isometrıa entre ambos espacios. Demostrarlose reduce a una mera comprobacion.




P.3.13 Se dice que una aplicacion f : (X, d) → (Y, d′) es de Lipschitz si existeun numero real k > 0 tal quep, para todo x, y ∈ X ,

d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y).

Demuestre que una aplicacion de Lipschitz es uniformemente continua.

P.3.14 Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) continua y sobreyectiva. Demuestre que siD ⊂ X es un conjunto denso, entonces f(D) tambien es denso en Y .

P.3.15 Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) y a ⊂ X . Demuestre que si f es continua enA y constante en A, entonces es constante en A. [I] [R]

P.3.16 Demuestre que la aplicacion f : (0, 1) −→ R, f(x) = 1/x, es continuaen (0, 1] con la distancia usual relativa, pero no es uniformemente continua.

P.3.17 Sea (X, d) un espacio metrico y (R, du).

(a)Si a ∈ X , demuestre que la aplicacion f : X −→ R, f(x) = d(a, x)es uniformemente continua.

(b)Si A ⊂ X , demuestre que la aplicacion g : X −→ R, g(x) = d(A, x)es uniformemente continua. [I]

P.3.18 Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos y f, g : X −→ Y una apli-cacion continua. Demuestre:

(a)El conjunto {x ∈ X : f(x) = g(x)} es cerrado en X .

(b)El conjunto {x ∈ X : f(x) = a}, con a ∈ Y fijo, es cerrado en X .

(c)Si {x ∈ X : f(x) = g(x)} es denso en X , entonces f = g.

P.3.19 Sean (Y1, ρ1), . . . , (Yn, ρn) y (X, d) espacios metricos y una aplicacionf : X −→ Y1 × · · · × Yn. Demuestre que f es continua en a ∈ X si, y solosi, fi = πi ◦ f : X −→ Yi es continua en a ∈ X para cada i = 1, . . . , n. [I]

P.3.20 Sea f : (X, d) −→ (R, du). Demuestre que f es continua si, y solo si,para cada a ∈ R, son abiertos los conjuntos

Aa = {x ∈ X : f(x) < a} y Ba = {x ∈ X : f(x) > a}.

P.3.21 Sea la funcion f : R −→ R definida como

f(x) =

{x si x ≤ 2

x2 si x > 2






112 3.3. Continuidad uniforme

Si du es la distancia usual, dD es la distancia discreta y ρ(x, y) = 2|x− y|,estudie la continuidad de la funcion en los siguientes casos

f : (R, du) −→ (R, du), f : (R, du) −→ (R, dD),

f : (R, dD) −→ (R, ρ), f : (R, ρ) −→ (R, du).

P.3.22 Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X cerrados (o abiertos) talesque X = A ∪ B. Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas. Demuestreque si f(x) = g(x) para cada x ∈ A∩B, entonces es continua la aplicacionh : X −→ Y definida como

h(x) =

{f(x) si x ∈ A

g(x) si x ∈ B.

Estudie la continuidad de las siguientes funciones deR enR con la topologıausual:

f(x) =

{x si x ≤ 0

x/2 si x ≥ 0, g(x) =

{x− 2 si x ≤ 0

x+ 2 si x ≥ 0,

h(x) =

{x− 2 si x < 0

x+ 2 si x ≥ 0.


4

Espacios compactos

En este capıtulo introducimos los conceptos de espacio y subespacio compacto.Se estudian propiedades de los conjuntos compactos, ası como relacion entre lacompacidad y las funciones continuas. Analizamos como son los subconjuntoscompactos de la recta real y del espacio euclıdeo Rn y, en general en los espaciosmetricos, la compacidad secuencial y la compacidad por punto lımite o propiedadde Bolzano-Weierstrass, hasta el teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Finalizamosprobando que la compacidad esta caracterizada por la propiedad de la interseccionfinita.

La estandarizacion del concepto de compacidad tardo muchos anos en producirse.Desde principios del siglo XX se fueron introduciendo distintas definiciones decompacidad, que pretendıan extender a espacios topologicos arbitrarios algunaspropiedades conocidas de los intervalos cerrados y acotados [a, b] de la recta real,cruciales en la demostracion de ciertos teoremas, tales como el teorema del valormaximo y el teorema de la continuidad uniforme.

Surgieron ası los distintos “tipos” de compacidad: compacidad numerable, com-pacidad por punto lımite, compacidad secuencial, etc. Posteriormente, los mate-maticos asumieron que era posible encontrar una definicion en terminos masdebiles y generales; de hecho, en terminos de recubrimientos del espacio por con-juntos abiertos.




113

114 4.1. Compacidad

Identificar los subconjuntos compactos de la recta real y, en general, de losespacios euclıdeos.

Relacionar los conceptos de compacidad y continuidad en un espacio metri-co.

Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topologicos medianteel uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los sub-conjuntos cerrados y los subconjuntos compactos.


Espacio y subespacio compacto.

Relacion entre la compacidad y las funciones continuas.

Subconjuntos compactos de la recta real y del espacio euclıdeo Rn.

Compacidad secuencial.

Propiedad de Bolzano-Weierstrass.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue.

Propiedad de la interseccion finita.

4.1.Compacidad

Definicion 4.1.1. Sea X un conjunto y sea A ⊂ X . Un cubrimiento o recubri-miento de A es una familia A = {Ai}i∈I de subconjuntos de X de manera queA ⊂ ∪i∈IAi. Un subcubrimiento o subrecubrimiento es una subfamilia B ⊂ Aque es tambien un recubrimiento de A. Un recubrimiento es finito si esta formadopor una cantidad finita de conjuntos. Cuando (X, d) es un espacio metrico y cadaAi es un abierto de X , se dice que A es un recubrimiento abierto de A.

Ejemplos

Ej.4.1. Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞n=1 constituye un re-cubrimiento de R, pero no es un recubrimiento abierto para la distanciausual. Un ejemplo de un subrecubrimiento de A es D = {[−2n, 2n]}∞n=1,pues solo contiene los intervalos cuyos extremos son numeros pares.

La familia {(−n, n)}∞n=1 tambien es un recubrimiento, esta vez abierto, deR, pero no es un subrecubrimiento de A, pues estos intervalos son abiertosy aquellos son cerrados.



Definicion 4.1.2. Un espacio metrico (X, d) es compacto si todo recubrimientoabierto de X admite un subrecubrimiento finito.

Ejemplos

Ej.4.2. La recta real R no es compacta, pues el recubrimiento de R por intervalosabiertos

A = {(n, n+ 2) : n ∈ Z}no contiene ningun subrecubrimiento de R. En efecto, si suponemos que lafamilia {(n, n + 2) : n ∈ H}, con H ⊂ Z finito, es un subrecubrimientofinito, entonces tomando n1 = mın{n : n ∈ H} y n2 = max{n : n ∈ H}tenemos que

⋃n∈H(n, n+ 2) ⊂ (n1, n2 + 2), que no coincide con R.

Ej.4.3. Cualquier espacio X que contenga a un numero finito de puntos es com-pacto, pues de cualquier recubrimiento por abiertos de X se puede extraerclaramente un subrecubrimiento finito.

Ej.4.4. El intervalo (0, 1], con la topologıa inducida por la usual de R, no escompacto; el recubrimiento abierto

A = {(1/n, 1] : n ∈ N, n ≥ 2}

no contiene ningun subrecubrimiento finito. En efecto, si suponemos quela coleccion {(1/n, 1] : n ∈ H,n ≥ 2}, con H ⊂ N finito, es un subre-cubrimiento finito de (0, 1], tomamos n0 = max{n : n ∈ H} de modoque ⋃

n∈H(1/n, 1] = (1/n0, 1]

que, evidentemente, no es (0, 1]. Aplicando un argumento analogo se de-muestra que tampoco es compacto el intervalo (0, 1) con la topologıa usualinducida.

Ej.4.5. Cualquier conjunto infinito con la distancia discreta (X, dD) no es com-pacto, puesto que {{x} : x ∈ X} es un recubrimiento abierto de X del queno se puede extraer ningun subrecubrimiento finito.

4.2.Subconjuntos compactos

Definicion 4.2.1. Sea (X, d) un espacio metrico y K ⊂ X un subconjunto. Di-remos que K es un conjunto compacto en (X, d) si (K, dK), con la topologıarelativa, es un espacio compacto. En este caso se dice que (K, dK) es un subes-pacio compacto.


116 4.2. Subconjuntos compactos

Ejemplos

Ej.4.6. El siguiente subespacio de R es compacto con la distancia usual inducida,

X = {0} ∪ {1/n : n ∈ N}.

Esta claro que se trata de la sucesion convergente {1/n}∞n=1 junto a sulımite 0. Para todo recubrimiento abierto A de X , existe un elemento A0 deA que contiene al 0. Como A0 es abierto, contiene una bola B(0, ε); y como1/n −→ 0, existe n0 tal que si n > n0, entonces 1/n ∈ B(0, ε) ⊂ A0; esdecir, el conjunto A0 contiene a todos los puntos de la forma 1/n exceptoa un numero finito de ellos; elijamos para cada uno de estos puntos queno estan en A0 un elemento de A que lo contenga. La coleccion de estoselementos de A, junto con el propio A0, constituyen un subrecubrimientofinito de X .

Proposicion 4.2.2. Sea K un subespacio de un espacio metrico (X, d). EntoncesK es compacto si, y solo si, para toda familia {Ai}i∈I de abiertos en X tal queK ⊂ ∪i∈IAi, existe una subfamilia finita {Ai}ni=1 tal que K ⊂ ∪n

i=1Ai.

DEMOSTRACION. -

”⇒”Supongamos que K es compacto y sea K ⊂ ∪i∈IAi, donde {Ai}i∈I es unafamilia de abiertos de (X, d). Entonces, segun la definicion de topologıa relativa,la familia {Ai ∩K}i∈I es un recubrimiento de K por abiertos de (K, dK). Comoeste subespacio es compacto, se puede extraer un subrecubrimiento finito de modoque

K = (Ai1 ∩K) ∪ · · · ∪ (Ain ∩K).

De aquı se deduce que K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain .

”⇐”Veamos que (K, dK) es compacto. Para ello, sea {Ai}i∈I una familia deabiertos de (K, dK) que recubren K. Entonces cada abierto Ai se puede escribirde la forma Ai = Bi ∩ K, donde Bi es un abierto en (X, d) y ası se tiene queK ⊂ ∪i∈IBi. Por hipotesis, existiran Bi1 , . . . , Bin tales que K ⊂ Bi1 ∪ · · ·∪Bin

de forma que

K = (Bi1 ∪ · · · ∪Bin) ∩K = (Bi1 ∩K) ∪ · · · ∪ (Bin ∩K) = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain

y, por tanto, K es compacto.

A partir de este ultimo resultado hablaremos de subconjuntos compactos en ge-neral, obviando que se trata de la topologıa relativa. Veamos a continuacion algu-nas propiedades sobre subconjuntos compactos.



Observacion 4.2.3. Observe que si d y d′ son distancias equivalentes (vea laDefinicion 1.4.1), (X, d) y (X, d′) tienen los mismos subconjuntos compactos, yaque la definicion de compacidad esta dada en terminos de los abiertos.

Teorema 4.2.4. En un espacio metrico compacto (X, d), todo subconjunto ce-rrado C ⊂ X es compacto.

DEMOSTRACION. -

Sea A = {Ai}i∈I un recubrimiento abierto de C en (X, d). Entonces Cc es abier-to y A ∪ Cc es un recubrimiento abierto de X , del cual se puede extraer un sub-recubrimiento finito; si este subrecubrimiento finito no contiene a Cc, estara for-mado unicamente por una cantidad finita de conjuntos de A y como C ⊂ X yaestarıa probado. Si Cc esta en el recubrimiento finito, dicho recubrimiento sera dela forma {Ai1 , . . . , Ain , C

c} y como C ⊂ X = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ Cc, tenemosque C ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain .

Teorema 4.2.5. Sea (X, d) un espacio metrico y K ⊂ X un subconjunto com-pacto. Entonces se verifican:

(a) K es cerrado.

(b) K es acotado.

DEMOSTRACION. -

(a) Probaremos que si K ⊂ X es compacto, su complementario Kc es abiertodemostrando que es entorno de todos sus puntos. Sea a /∈ K; si x ∈ K, x 6= a,la propiedad de Hausdorff, que cumplen los espacios metricos, nos asegura queexisten bolas abiertas disjuntas B(a, rx) y B(x, rx).

Entonces la familia {B(x, rx)}x∈K obtenidas de esta manera, son un recubrimien-to abierto del compacto K, por tanto, se puede extraer un subrecubrimiento finitoB(x1, rx1),. . . ,B(xn, rxn), para ciertos puntos x1, . . . , xn ∈ K (recordemos quepara cada i ∈ {1, . . . , n}, se cumple B(xi, rxi) ∩ B(a, rxi) = ∅). Entonces sitomamos ra = mın{rxi : i = 1, . . . , n}, la bola B(a, ra) esta contenida en cadaB(a, rxi) y tiene interseccion vacıa con K =

⋃ni=1B(xi, rxi), lo que significa

que B(a, ra) ⊂ Kc y, por tanto, que Kc es entorno de a ∈ K. Como esto sepuede hacer para todo a ∈ Kc, entonces Kc es abierto.

(b) Si a ∈ K la coleccion de bolas {B(a, n)}n∈N es un recubrimiento abiertode K que, como es compacto, admite un subrecubrimiento finito {B(a, ni)}ki=1.Como se trata de bolas concetricas, si m = max{n1, . . . , nk} se tiene

K ⊂k⋃

i=1

B(a, ni) = B(a,m),

por lo que K esta acotado.


118 4.3. Compacidad y funciones continuas


P.4.1 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre:

(a)La intersecci on de cualquier familia de subconjuntos compactos es unsubconjunto compacto.

(b)La uni on de una familia finita de subconjuntos compactos es un con-junto compacto. ¿Y la union de una familia arbitraria?

P.4.2 (a)Pruebe que, en (R, | |), no son compactos los intervalos (a, b), [a, b),(a,+∞), [a,+∞).

(b)Estos conjuntos le proporcionan contraejemplos del Teorema 4.2.4 (siel espacio no es compacto, un cerrado no es en general, compacto); delTeorema 4.2.5(b) (un conjunto acotado, en general, no es compacto).Identifıquelos con las explicaciones adecuadas.

4.3.Compacidad y funciones continuas

Teorema 4.3.1. Si f : X → Y es una aplicacion continua entre espacios metri-cos y K ⊂ X es compacto, entonces f(K) es compacto en Y .

DEMOSTRACION. -

Supongamos que {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de f(K) en Y . Entonces

{f−1(Ai)}i∈I

es un recubrimiento abierto de K. Por la compacidad de K, existe un subre-cubrimiento finito:

K ⊂ f−1(A1) ∪ · · · ∪ f−1(An) = f−1(A1 ∪ · · · ∪ An),

lo que implica que {A1, . . . , An} es un subrecubrimiento finito de f(K).

Corolario 4.3.2. Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) continua y X un espacio compacto.Entonces f es una aplicacion cerrada.

DEMOSTRACION. - Supongamos que C ⊂ X es cerrado, por el Teorema 4.2.4,C es compacto, luego segun el Teorema anterior 4.3.1, como f es continua, f(C)es compacto en Y , que es cerrado segun el Teorema 4.2.5.



Ejemplos

Ej.4.7. La compacidad del espacio de partida en el Corolario 4.3.2 anterior esimprescindible. En efecto, R, con la distancia usual no es compacto; la apli-cacion

f : R −→ R definida como f(x) =1

1 + x2,

es continua y la imagen de [0,+∞) (cerrado) es f([0,+∞)) = (0, 1], queno es cerrado (vease la Figura 4.1).

Figura 4.1 – La imagen de un cerrado, en general no es cerrado.

Proposicion 4.3.3. Sea K ⊂ X un subconjunto compacto de un espacio metrico(X, d). Entonces toda funcion continua f : (X, d) → (Y, d′) esta acotada en K,es decir f(K) es un conjunto acotado en Y ..

DEMOSTRACION. -

Por el Teorema 4.3.1, f(K) es compacto en Y , luego es un segun el Teorema 4.2.5f(K) conjunto acotado, lo que equivale a decir que la funcion f esta acotada.

Corolario 4.3.4 (Teorema de Weierstrass). Sea K ⊂ X un subconjunto com-pacto de un espacio metrico (X, d). Entonces toda funcion continua f : X → Ralcanza sus extremos en K.

DEMOSTRACION. -

Si K es compacto entonces f(K) es un subconjunto compacto de R y, por tanto,es cerrado y acotado. Luego segun el Problema P.2.26, f(K) esta contenido en unintervalo [a, b] ⊂ R con a, b ∈ f(K), de modo que existiran x, y ∈ K tales quef(x) = a y f(y) = b.

Proposicion 4.3.5. Toda aplicacion continua f : (X, d) → (Y, d′) entre espaciosmetricos, donde (X, dd) es compacto, es uniformemente continua.

DEMOSTRACION. -

Como f es continua, dado x ∈ X y


120 4.4. Compactos en R.

dado ε > 0, existe δx > 0 tal que si d(x, y) < δx entonces d′(f(x), f(y)) < ε/2.

Fijado ε > 0, la coleccion de bolas {B(x, δx/2)}x∈X constituye un recubrimientoabierto de X que admite un subrecubrimiento finito {B(xi, δi/2)}ni=1 ya que Xes compacto. Tomemos δ = mın{δi/2 : i = 1, 2, . . . , n}. Tomemos x, y ∈ Xarbitrarios cumpliendo d(x, y) < δ; tendremos que x ∈ B(xk, δk/2) para algunk ∈ {1, . . . , n}. Entonces

d(y, xk) ≤ d(y, x) + d(x, xk) < δ +δk2

≤ δk,

lo que implica qued′(f(y), f(xk)) <

ε

2,

y entonces

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(xk)) + d′(f(xk), f(y)) <ε

2+

ε

2= ε.

Por tanto, f es uniformemente continua.

Corolario 4.3.6. Toda funcion continua f : [a, b] → R, ambos espacios con ladistancia usual, es uniformemente continua.

DEMOSTRACION. Es una aplicacion inmediata de la Proposicion 4.3.5.

Los Problemas P.4.3 y P.4.4 son importantes resultados y conviene que les presteatencion.


P.4.3 Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) una aplicacion biyectiva y continua, con (X, d)compacto. Demuestre que f es un homeomorfismo. [I] [R]

P.4.4 Demuestre que la compacidad es una propiedad topologica. Es decir, de-muestre que si f : (X, d) −→ (Y, d′) es un homeomorfismo. Entonces Xes compacto si, y solo si, Y es compacto.

4.4.Compactos en R.

Vamos a estudiar es esta seccion una clase de conjuntos compactos de R con latopologıa usual, que juegan un importante papel: los intervalos cerrados y acota-dos [a, b]. Para esto veamos en primer lugar una caracterizacion de los intervalosde numeros reales que nos sera util.





Lema 4.4.1. Sea (R, du) y un subconjunto I ⊂ R. Son equivalentes:

(a) I es un intervalo.

(b)Para cada x, y ∈ I , x ≤ y, se verifica que [x, y] ⊂ I .

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)” Se trata de una consecuencia inmediata de la definicion de intervalo.

“(b)⇒(a)” Supongamos que se satisface (b). Llamemos

a = ınf I y b = sup I,

teniendo en cuenta que si I no esta acotado inferiormente entonces a = −∞ ysi I no esta acotado superiormente entonces b = +∞. Vamos a ver que ha deocurrir que (a, b) ⊂ I ⊂ [a, b]. En los casos a = −∞ y/o b = +∞ estaremoscometiendo un pequeno abuso de notacion.

Si z ∈ (a, b), tenemos que a < z y por la definicion de ınfimo, existe x ∈ I tal quex < z; de la misma manera tenemos que z < b y por la definicion de supremo,existe y ∈ I tal que z < y. Entonces, como x < y con x, y ∈ I , por la hipotesis(b), z ∈ [x, y] ⊂ I , luego (a, b) ⊂ I . El contenido I ⊂ [a, b] es por la propiadefinicion de a y de b, de donde se deduce que I es un intervalo.

Teorema 4.4.2 (Heine-Borel). Todo intervalo cerrado y acotado [a, b] en R conla topologıa usual es compacto.

DEMOSTRACION. -

Supongamos que {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de [a, b]. Vamos a ver quese puede extraer un subrecubrimiento finito. Consideremos el conjunto siguiente:

G = {x ∈ [a, b] : [a, x] se recubre con una subfamilia finita de {Ai}i∈I}.

Paso 1. G 6= ∅. Ademas existe δ > 0 tal que [a, a+ δ) ⊂ G.En efecto, como a ∈ [a, b] ⊂ ∪i∈IAi, existira un ındice j ∈ I tal que a ∈ Aj .Como Aj es abierto, existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ Aj y, por tanto,[a, a+ δ) ⊂ Aj . Esto implica que si x ∈ [a, a+ δ), [a, x] ⊂ [a, a+ δ) ⊂ Aj , quees un subrecubrimiento finito. Por tanto, [a, a+ δ) ⊂ G.

Paso 2. G es un intervalo.Si x, y ∈ G, entonces [x, y] ⊂ G ya que para todo z ∈ [x, y] se satisface

[a, z] ⊂ [a, y] ⊂ G.

Aplicando el Lema 4.4.1, G debe ser un intervalo.

Paso 3. b ∈ G.Consideremos c = sup{G}, y veamos que c = b. Como a es cota inferior de G,


122 4.5. Compacidad secuencial

entonces a < c. Supongamos, razonando por reduccion al absurdo, que c < b.Como [a, b] ⊂ ∪i∈IAi, entonces c ∈ Ak para algun k ∈ I . Ak es abierto, luegoes entorno de c y, por tanto, existe ε > 0 tal que (c− ε, c + ε) ⊂ Ak. Pero comoc = sup{G} entonces c−ε ∈ G. Por tanto, [a, c−ε] ⊂ Ai1∪· · ·∪Ain , con lo cualtenemos que c+ ε tambien esta en G, ya que [a, c+ ε] tiene un subrecubrimientofinito de la forma

[a, c+ ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪Ak,

y esto es una contradiccion con el hecho de que c = sup{G}.

Por tanto, c = b ∈ G y [a, b] tiene un subrecubrimiento finito.

Proposicion 4.4.3. En(R, | |) un conjunto K es compacto si, y solo si, es cerradoy acotado.

DEMOSTRACION. Realice la demostracion como ejercicio.


P.4.5 Demuestre la Proposicion 4.4.3. [I]

P.4.6 Sea [c, d] ⊂ R y x ∈ R. Demuestre que S = {x} × [c, d] es compacto enR2 con la topologıa usual (vease la Figura 4.2). [I]

Figura 4.2 – El conjunto S = {x} × [c, d] es compacto.

4.5.Compacidad secuencial

Vamos a estudiar ahora un nuevo concepto de compacidad ligado a la idea desucesion convergente.





Definicion 4.5.1. Sea (X, d) un espacio metrico y x : N −→ X , una sucesion(xn)

∞n=1 ⊂ X y sea τ : N −→ N una aplicacion monotona estrictamente cre-

ciente. La aplicacion x ◦ τ : N −→ X es otra sucesion contenida en la anterior yse dice que es una subsucesion; que se denota (xnk

)k∈N = (xτ(k))k∈N.

Ejemplos

Ej.4.8. Cualquier sucesion es subsucesion de sı misma.

Ej.4.9. Si (xn)∞n=1 = (x(n))∞n=1 es una sucesion en un espacio metrico (X, d),entonces si tomamos τ : N −→ N definida como τ(n) = 2n, tenemos unaaplicacion estrictamente creciente y (x ◦ τ)(n) = x(2n) = x2n. De modoque hemos obtenido una subsucesion (x2n)

∞n=1, formada por los terminos

de (xn)∞n=1 que ocupan lugar par.

Teorema 4.5.2. Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1x ⊂ X una sucesion.

Entonces (xn)∞n=1 converge a x ∈ X si, y solo si, cada subsucesion (xnk)k∈N de

(xn)∞n=1, converge a x.

DEMOSTRACION. -

“⇒” Supongamos que xn → x, entonces para cada ε > 0 existe n0 ∈ N talque si n > n0 se cumple d(xn, x) < ε. Esto quiere decir que xn ∈ B(x, ε) y,por tanto, solo hay una cantidad finita de terminos de la sucesion que no estanen dicha bola. En consecuencia, ninguna subsucesion (xnk

)k puede tener infinitosterminos fuera de la bola, luego debe ser convergente a x.

“⇐” Es evidente puesto que cualquier sucesion es subsucesion de sı misma.

Ejemplos

Ej.4.10. Si una sucesion no converge, no quiere decir que ninguna subsucesionsea convergente. Por ejemplo, la sucesion ((−1)n)∞n=1 no es convergentepero tiene al menos dos subsucesiones convergentes: (1, 1, . . . ) que con-verge a 1 y la de los terminos impares (−1,−1, . . . ) que converge a −1.En general, una subsucesion arbitraria de ((−1)n)∞n=1 sera convergente si,y solo si, a partir de un cierto valor n0 todos los terminos son iguales, esdecir, es una sucesion de “cola constante”.

Ej.4.11. La sucesion (n)n∈N en R con la distancia usual, no posee ninguna sub-sucesion convergente.


124 4.5. Compacidad secuencial

Definicion 4.5.3. Sea (X, d) un espacio metrico y K ⊂ X un subconjunto. Dire-mos que K es secuencialmente compacto si cada sucesion (xn)

∞n=1 en K posee

una subsucesion (xnk)k convergente a un punto de K.

Ejemplos

Ej.4.12. En el Ejemplo Ej.4.3. hemos visto que cualquier espacio metrico finitoes compacto. Ademas tambien es secuencialmente compacto pues cualquiersucesion solo puede tener una cantidad finita de terminos distintos, luego lasubsucesion constante, formada por los infinitos terminos iguales es con-vergente.

Ej.4.13. El intervalo abierto (0, 1), con la topologıa inducida por la usual de R,no es secuencialmente compacto: la sucesion (1/n)∞n=2 ⊂ (0, 1) converge a0 en R y, por tanto, cualquier subsucesion suya tambien converge a 0; pero0 /∈ (0, 1).

4.5.1.Conjuntos totalmente acotados

Definicion 4.5.4. Dado un espacio metrico (X, d) y T ⊂ X un subconjunto,diremos que T es totalmente acotado si para cada r > 0 existe un numero finitode puntos x1, . . . , xn ∈ T tales que T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪B(xn, r).

Proposicion 4.5.5. Sea (X, d) un espacio metrico y T ⊂ X . Se verifican:

(a) Si T es compacto, entonces T es totalmente acotado.

(b) Si T es totalmente acotado, T es acotado.

DEMOSTRACION. -

(a) Supongamos que T es compacto y sea r > 0. Entonces {B(x, r) : x ∈ T}es un recubrimiento abierto de T del que se puede extraer un subrecubrimientofinito T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪ B(xn, r) con x1, . . . , xn ∈ T , lo que significa que Tes totalmente acotado.(b) Sea r > 0 y supongamos que T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪B(xn, r). Definamos

R = max{d(x1, xi) : i = 2, . . . , n}

Entonces T ⊂ B(x1, R+r), lo que significa que esta acotado. En efecto, si x ∈ T ,entonces x ∈ B(xi, r) para algun i = 1, . . . , n, de modo que

d(x, x1) ≤ d(x, xi) + d(xi, x1) < r +R.



Los recıprocos de los dos apartados de la Proposicion 4.5.5 no se cumplen, comose pone de manifiesto en el siguiente ejemplo.

Ejemplos

Ej.4.14. Ya hemos visto que el intervalo (0, 1) ⊂ R, con la distancia usual, noes ni compacto, ni secuencialmente compacto, sin embargo, es totalmenteacotado.

En efecto, si r ≥ 1, entonces (0, 1) ⊂ (−r, r) y no hay nada que probar;si 0 < r < 1, sea n el menor numero natural tal que nr ≥ 1, entonces lafamilia de bolas(r2− r,

r

2+ r), (r − r, r + r),

(3r

2− r,

3r

2+ r

), . . . , (nr − r, nr + r)

contiene a (0, 1), es decir, (0, 1) es union de una cantidad finita de bolas deradio r.

Ej.4.15. R con la distancia discreta es acotado pues B(0, 2) = R, pero no estotalmente acotado puesto que B(x, 1/2) = {x} y, por tanto, no se puedeexpresar como union de un numero finito de bolas de radio 1/2.

Proposicion 4.5.6. Si (X, d) es un espacio metrico y K ⊂ X es secuencialmentecompacto, entonces K es totalmente acotado.

DEMOSTRACION. -

Supongamos que K es secuencialmente compacto y no es totalmente acotado.Existira un numero r > 0 de modo que K no se puede expresar como una unionfinita de bolas de radio r con centro en puntos de K. Vamos a construir una suce-sion de la siguiente manera.

Sea x1 ∈ K un punto arbitrario. Escogemos los puntos de la siguiente forma:x2 ∈ K tal que d(x1, x2) ≥ r, que existe pues de lo contrario B(x1, r) serıa unrecubrimiento finito de K.

Tomamos x3 ∈ K tal que d(x1, x3) ≥ r y d(x2, x3) ≥ r, que existe pues en casocontrario {B(x1, r), B(x2, r)} serıa un recubrimiento finito de K. Y ası sucesi-vamente.

Obtenemos una sucesion (xn)∞n=1 en K que verifica que d(xn, xm) ≥ r si n 6= m

y que no tiene ninguna subsucesion convergente en K, pues si tuvieramos (xnk)k

con lımk xnk= x ∈ K, dado r > 0 existirıa kr ∈ N tal que si nk > nkr entonces

d(xnk, x) < r/2, con lo que tendrıamos que si nk, nm > nkr distintos,

d(xnk, xnm) ≤ d(xnk

, x) + d(x, xnm) <r

2+

r

2= r,


126 4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass

en contra de que d(xnk, xnm) ≥ r. Entonces K no serıa secuencialmente com-

pacto.

Lema 4.5.7 (de Lebesgue). Sea (X, d) un espacio metrico, K ⊂ X un sub-conjunto secuencialmente compacto y {Ai}i∈I un recubrimiento abierto de K.Entonces existe r > 0 tal que para cada x ∈ K existe i ∈ I de modo queB(x, r) ⊂ Ai. Este numero r > 0 se llama numero de Lebesgue del recubri-miento.

DEMOSTRACION. -

Supongamos que {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de K para el que no existeningun numero de Lebesgue. Entonces para cada n ∈ N existira xn ∈ K tal queB(xn, 1/n) no esta contenida en ningun Ai para todo i ∈ I , y de esta manerahemos construido una sucesion (xn)

∞n=1.

Como K es secuencialmente compacto, ha de existir una subsucesion (xnk)k con-

vergente a un punto x ∈ K. Ademas, como {Ai}i∈I es un recubrimiento de K,entonces x ∈ Aj para algun j ∈ I . Pero Aj es abierto, luego existe nj ∈ N talque B(x, 2/nj) ⊂ Aj .

Como la subsucesion anterior converge a x, dado nj > 0 existira r0 ∈ N tal quesi nr ≥ nr0 entonces xnr ∈ B(x, 1/nj).

Tomemos ahora nr ≥ nr0 tal que tambien sea nr ≥ nj . Entonces se verifica queB(xnr , 1/nr) ⊂ B(x, 2/nj) ya que si y ∈ B(xnr , 1/nr) tendrıamos

d(x, y) ≤ d(x, xnr) + d(xnr , y) <1

nj+

1

nr≤ 2

nj.

De aquı se deduce que B(xnr , 1/nr) ⊂ Aj , en contradiccion con la hipotesis.

4.6.Propiedad de Bolzano-Weierstrass

Existen otras formulaciones de compacidad equivalentes y que son frecuente-mente utilizadas. En esta seccion introducimos la mas debil, en general, aunquecoincide cuando se trata de espacios metricos.

Definicion 4.6.1. Sea (X, d) un espacio metrico; diremos que X tiene la propie-dad de Bolzano-Weierstrass o que es compacto por punto lımite o por punto deacumulacion si cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulacion.

Veamos ahora que las tres definiciones que hemos dado de compacidad son equiva-lentes en el caso de los espacios metricos.

Teorema 4.6.2 (de Heine-Borel-Lebesgue). Sea (X, d) un espacio metrico y unsubconjunto K ⊂ X . Las siguientes condiciones son equivalentes:



(a) K es compacto.

(b) K tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

(c) K es secuencialmente compacto.

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)” Supongamos que A ⊂ K es un subconjunto infinito que no tieneningun punto de acumulacion. Entonces para cada x ∈ K existe una bola B(x, rx)que no corta a A o bien solo lo corta en el propio punto x.

La familia {B(x, rx)}x∈K es un recubrimiento abierto del conjunto compactoK y, por tanto, admite un subrecubrimiento finito. Este subrecubrimiento finitotambien recubre a A, con lo que A serıa finito, en contra de la hipotesis.

“(b)⇒(c)” Si (xn)∞n=1 es una sucesion en K con un numero finito de terminosdistintos, entonces a partir de un cierto termino es constante, por lo que convergea dicho termino y no hay nada que probar. Supongamos entonces que (xn)

∞n=1 es

una sucesion en K con infinitos terminos distintos. Segun (b), dicha sucesion tieneun punto de acumulacion x ∈ K y por la Proposicion 2.6.6 existe una subsucesionde (xn)

∞n=1 convergente a x. Por tanto, K es secuencialmente compacto.

“(c)⇒(a)” Supongamos que K es secuencialmente compacto y que {Ai}i∈I esun recubrimiento abierto de K. Por el Lema de Lebesgue 4.5.7 existe un numerode Lebesgue r > 0 para este recubrimiento. Por la Proposicion 4.5.6, K es to-talmente acotado, de modo que existe un recubrimiento finito de X por bolasde radio r, {B(x1, r), . . . , B(xn, r)}. Pero por el Lema de Lebesgue cada bolaB(xi, r) ha de estar contenida en un abierto Aj del recubrimiento {Ai}i∈I , por loque {A1, . . . , An} es un subrecubrimiento finito de X .


P.4.7 Sea K un subconjunto compacto de un espacio metrico (X, d) y un puntoa ∈ X , a /∈ K. De uestre que existen en X dos conjuntos abiertos A y Btales que a ∈ A, K ⊂ B y A ∩B = ∅. [I] [R]

P.4.8 Sea K un subconjunto compacto de un espacio metrico (X, d). Demuestreque si a ∈ X−K, entonces, existe un abierto A tal que a ∈ A ⊂ Kc. Utiliceeste resultado para demostrar que todo compacto en un espacio metrico, escerrado. [I]

P.4.9 Sean K y H dos compactos disjuntos en un espacio metrico (X, d). De-muestre que existen dos abiertos disjuntos A,B ⊂ X tales que K ⊂ A yH ⊂ B. [I] [R]







128 4.7. Compactos en Rn

4.7.Compactos en Rn

Vamos a ver en esta seccion que los rectangulos, o primas, generalizados

[a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn],

son compactos en Rn con la topologıa usual (vease la Figura 4.3.

Figura 4.3 – Los prismas generalizados son compactos en Rn.

Haremos la prueba en R2 y con un procedimiento similar por induccion se pruebaen Rn. Ademas, como las tres distancias d1, d2 y d∞ en Rn son equivalentes, porcomodidad en el razonamiento utilizaremos d∞, teniendo en cuenta tambien quela topologıa inducida por estas distancias sobre R es la usual.

Lema 4.7.1. Sea un intervalo [c, d] ⊂ R, x ∈ R y {Ai}i∈I un recubrimientoabierto del conjunto {x}× [c, d] en R2. Entonces existe r > 0 tal que el producto(x − r, x + r) × [c, d] esta recubierto por una cantidad finita de elementos de{Ai}i∈I .

DEMOSTRACION. -

Sea {Ai}i∈I un recubrimiento abierto de {x} × [c, d]. Por el Problema P.4.6 esteconjunto es compacto, y por tanto, admite un subrecubrimiento finito {Aj}nj=1.

Para cada y ∈ [c, d], el punto (x, y) ∈ Ak para algun k ∈ {1, 2, . . . , n}; y comoestos conjuntos son abiertos, existe ry > 0 tal que (recuerde como son las bolaspara d∞, Ejemplo Ej.1.21.)

(x, y) ∈ B∞((x, y), ry) = (x− ry, x+ ry)× (y − ry, y + ry) ⊂ Ak.

Entonces que {(y − ry, y + ry)}y∈[c,d] es un recubrimiento abierto de [c, d], quees compacto. Luego existe un subrecubrimiento finito {(yj − ryj , yj + ryj )}mj=1.



Ahora tomamos r = mın{ryj : j = 1, . . . ,m}, de modo que

(x− r, x+ r) =m⋂j=1

(x− ryj , x+ ryj ).

Se concluye entonces que

(x− r, x+ r)× [c, d] ⊂m⋃j=1

{(x− r, x+ r)× (yj − ryj , yj + ryj )} ⊂

⊂m⋃j=1

{(x− ryj , x+ ryj )× (y − ryj , y + ryj )} ⊂n⋃

k=1

Ak,

obteniendo el subrecubrimiento finito buscado.

Proposicion 4.7.2. Un rectangulo [a, b]× [c, d] ⊂ R2 es compacto.

DEMOSTRACION. -

Si {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de [a, b] × [c, d], tambien es un recubri-miento de {x} × [c, d], para cada x ∈ [a, b]. Por el Lema 4.7.1, para cada x existerx > 0 tal que el conjunto (x − rx, x + rx) × [c, d] admite un subrecubrimientofinito. Pero {(x − rx, x + rx)}x∈[a,b] es un recubrimiento abierto de [a, b]. Porla compacidad de [a, b], dicho recubrimiento admite un subrecubrimiento finito{(xk − rxk

, xk + rxk)}mk=1. Entonces tenemos que

[a, b]× [c, d] ⊂m⋃k=1

{(xk − rxk, xk + rxk

)× [c, d]}

y cada uno de los conjuntos (xk − rxk, xk + rxk

) × [c, d] esta recubierto porun numero finito de elementos de {Ai}i∈I . Luego el rectangulo [a, b] × [c, d]esta contenido en una union finita de elementos Ai.

Corolario 4.7.3. Los rectangulos generalizados [a1, b1]× [a2, b2]×· · ·× [an, bn]son compactos en Rn.

DEMOSTRACION. -

La demostracion es un proceso de induccion a partir de la Proposicion 4.7.2 ante-rior.

Teorema 4.7.4 (de Heine-Borel en Rn). Sea K ⊂ Rn con la topologıa usual.Entonces K es compacto si, y solo si, K es cerrado y acotado.


130 4.7. Compactos en Rn

DEMOSTRACION. -

“⇒” Se trata del Teorema 4.2.5.

“⇐” Si K esta acotado, hay alguna bola cerrada tal que K ⊂ B∞(a, r), paraalgun a ∈ Rn. Esta bola es un rectangulo cerrado que, por el Corolario 4.7.3, escompacto. Como K es cerrado y esta contenido en un compacto, el Teorema 4.2.4implica que K es compacto.

Ejemplos

Ej.4.16. La esfera unidad Sn−1 = {(x1, . . . , xn) : x21 + · · · + x2n = 1} y labola cerrada unidad Bn = {(x1, . . . , xn) : x21 + · · · + x2n ≤ 1} en Rn soncompactos, pues son cerrados y acotados.

Ej.4.17. El conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x, 1 ≤ y ≤ 2} es cerrado en R2, pero noes compacto porque no esta acotado (vease la Figura 4.4(a)).

Figura 4.4 – Subconjunto de R2 no compacto: no acotado y cerrado.

Ej.4.18. El conjunto A = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} esta acotado en R2,pues A ⊂ [0, 1] × [0, 1] (vease la Figura 4.5), pero no es compacto porqueno es cerrado ya que (0, 0) /∈ A pero (0, 0) ∈ A.

Figura 4.5 – Subconjunto de R2 no compacto: acotado pero no cerrado.



Despues de los resultados que hemos demostrado en los espacios metricos referi-dos a la compacidad, podemos completar el Teorema 4.7.4 de Heine-Borel.

Teorema 4.7.5 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue en Rn). Sea K ⊂ Rn con latopologıa usual. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) K es compacto.

(b) K es cerrado y acotado.

(c)Todo subconjunto S ⊂ K infinito tiene un punto lımite en K.

(d) K es secuencialmente compacto.


P.4.10 ¿Cuales de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? Justi-fique la respuesta.

1. Q ∩ [0, 1]

2. D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}3. E = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}4. F = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}5. G = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x}

P.4.11 Sea (R, d) el espacio metrico de los numeros reales con la distancia

d(x, y) =|x− y|

1 + |x− y|.

Sea A = [1,+∞). Estudie si A es cerrado, acotado o compacto en dichoespacio.

P.4.12 Demuestre que un triangulo, incluidos sus lados, es compacto en R2. [I]

P.4.13 Demuestre que, en un espacio metrico, el conjunto formado por unasucesion convergente junto con su lımite, es compacto. [I] [R]

4.8.Propiedad de la intersecci on finita

Definicion 4.8.1. Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto X . Se diceque F tiene la propiedad de la interseccion finita si la interseccion de cualquiersubfamilia finita de F es no vacıa.





132 4.8. Propiedad de la interseccion finita

Ejemplos

Ej.4.19. La familia {(0, 1/n)}n∈N de subconjuntos de R tiene claramente la pro-piedad de la interseccion finita.

Ej.4.20. La familia {[n, n + 1]}n∈N de subconjuntos de R no tiene la propiedadde la interseccion finita, pues, por ejemplo, [2, 3] ∩ [4, 5] = ∅.

Proposicion 4.8.2. Sea X un espacio metrico. Entonces X es compacto si, y solosi, toda familia {Fi}i∈I de cerrados en X que tiene la propiedad de la intersec-cion finita tiene interseccion no vacıa.

DEMOSTRACION. -

“⇒” Supongamos que X es compacto y que {Fi}i∈I es una familia de subconjun-tos cerrados de X con la propiedad de la interseccion finita tal que ∩i∈IFi = ∅.Si tomamos complementarios tendremos que ∪i∈IF

ci = X , luego obtenemos un

recubrimiento abierto de X que, por ser compacto, admite un subrecubrimientofinito, F c

1∪· · ·∪F cn = X . Tomando de nuevo complementarios F1∩· · ·∩Fn = ∅,

en contra de que la familia {Fi}i∈I tiene la propiedad de la interseccion finta.

“⇐” Sea {Ai}i∈I un recubrimiento abierto de X; entonces (∪i∈IAi)c = ∅. Por

tanto ∩i∈IAci = ∅, con lo que tenemos una familia de cerrados {Ac

i}∈I que notiene la propiedad de la interseccion finita; luego debe existir una subfamilia finitacuya interseccion es vacıa: Ac

i1∩ · · · ∩ Ac

in= ∅. Tomando complementarios

obtenemos que Ai1 ∪ · · · ∪ Ain = X y ası hemos obtenido un subrecubrimientofinito.

Ejemplos

Ej.4.21. (R, du) no es compacto, cosa que ya sabemos porque no es acotado.Pero esto mismo puede deducirse de otra forma. La familia de cerrados{[m,+∞)}m∈Z tiene la propiedad de la interseccion finita y, sin embargo,la interseccion de todos los elementos de esta familia es vacıa. Ahora bastaaplicar la Proposicion 4.8.2.


P.4.14 ¿Cuales de las siguientes familias de subconjuntos de R satisfacen lapropiedad de interseccion finita? Justifique la respuesta en cada caso.

1. {(n, n+ 2)}n∈N



2.{(

n−1n , n+1

n

)}n∈N

3. {(−n, n)}n∈N

P.4.15 Demuestre que un espacio metrico (X, d) es compacto si, y solo si, paratoda familia de cerrados {Ci}i∈I tales que

⋂i∈I Ci = ∅, existe una subfa-

milia finita {Ci1 , . . . , Cik} que cumple Ci1 ∩ · · · ∩ Cik = ∅.

P.4.16 Demuestre que si (X, d) e (Y, d′) son dos espacios metricos e Y es com-pacto, entonces la proyeccion π1 : X × Y → X es una aplicacion cerrada.

P.4.17 Sea (X, d) un espacio metrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

(a)Si f : X → Y es continua, ¿Tiene f(X) la propiedad de Bolzano-Weierstrass?

(b)Si A es un subconjunto cerrado de X , ¿es A compacto por puntolımite?

P.4.18 Un espacio (X, d) es numerablemente compacto si cada recubrimientonumerable de abiertos de X contiene una subcoleccion finita que recubre aX . Demuestre que para un espacio metrico, la condicion numerablementecompacto equivale a la de compacto por punto lımite. [I]

P.4.19 Demuestre que X es numerablemente compacto si, y solo si, cada suce-sion encajada C1 ⊃ C2 ⊃ · · · de conjuntos cerrados no vacıos de X tieneinterseccion no vacıa.

P.4.20 Dado un espacio metrico (X, d), se dice que un subconjunto M ⊂ X esrelativamente compacto si M es compacto. Pruebe:

(a)Todo conjunto compacto es relativamente compacto. Busque un ejem-plo en R con la topologıa usual que muestre que el recıproco no escierto en general.

(b)Todo conjunto relativamente compacto y cerrado es compacto.(c)Todo conjunto relativamente compacto es acotado.(d)Todo conjunto relativamente compacto es totalmente acotado. ¿Es cier-

to el recıproco?(e)Todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativa-

mente compacto. Deduzca que todo subconjunto de un conjunto com-pacto es relativamente compacto.

P.4.21 Sea K un conjunto compacto en un espacio metrico (X, d). Demuestreque para todo subconjunto B ⊂ X , existe un punto x0 ∈ K tal qued(x0, B) = d(K,B). [I] [R]

P.4.22 Sea K un conjunto compacto en un espacio metrico (X, d) y B ⊂ X uncerrado tal que K ∩B = ∅. Demuestre que d(K,B) > 0. [I] [R]







134 4.8. Propiedad de la interseccion finita

P.4.23 Sea K y H dos conjuntos compactos en un espacio metrico (X, d). De-muestre que existen x ∈ K e y ∈ H tales que d(x, y) = d(K,H). [I]

P.4.24 Sea K un conjunto compacto en un espacio metrico (X, d). Demuestreel conjunto derivado K ′ es compacto. [I] [R]

P.4.25 Demuestre que toda sucesion {Cn}n∈N decreciente (Cn+1 ⊂ Cn) de ce-rrados no vacıos, contenidos en un subconjunto compacto K de un espaciometrico, tiene interseccion no vacıa.

P.4.26 Demuestre el Teorema de Bolzano-Weierstrass: EnR, toda sucesion aco-tada posee una subsucesion convergente. [I]






5

Espacios metricos completos

Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con lassucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio metri-co completo. Estudiamos los espacios euclıdeosRn y relacionamos la completitudy la compacidad. Se estudian algunas interesantes propiedades como el teoremade encaje de Cantor y un teorema de Baire.

El concepto de completitud en R suele aparecer en los libros de textos de analisismatematico: es un concepto basico para todos los aspectos del analisis. La com-pletitud es una propiedad metrica, mas que una propiedad topologica, pero mu-chos teoremas que implican a los espacios metricos completos son de naturalezatopologica.

El ejemplo mas familiar de espacio metrico completo es el espacio euclıdeo concualquiera de sus distancias usuales. Con este capıtulo solo pretendemos intro-ducir al lector en este tema.




Conocer las propiedades mas sencillas de los espacios metricos completos.

Relacionar los conceptos de completitud y compacidad en los espaciosmetricos.


135

136 5.1. Sucesiones de Cauchy

Sucesiones de Cauchy.

Los espacios euclıdeos (Rn).

Relacion entre la completitud y la compacidad.

Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, un teoremade Baire, teorema del punto fijo.

Completado de un espacio metrico.

5.1.Sucesiones de Cauchy

Definicion 5.1.1. Sea (X, d) un espacio metrico y una sucesion (xn)∞n=1 ⊂ X .

Diremos que es una sucesion de Cauchy si

dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que, si n,m ≥ n0, entonces d(xn, xm) < ε.

Observacion 5.1.2. Observe que lo que viene a decir la definicion es que, a partirde un termino, todos los demas, estan tan cerca uno de otro, como se desee.

Ejemplos

Ej.5.1. Las unicas sucesiones de Cauchy en un espacio metrico discreto X sonlas de cola constante, es decir, aquellas sucesiones (xn)

∞n=1 para las que

existe un punto a ∈ X y un numero natural n0 de tal manera que xn = apara todo n ≥ n0. En efecto, si la sucesion es de cola constante, entonceses claramente de Cauchy. Recıprocamente, si (xn)∞n=1 es una sucesion deCauchy en un espacio discreto, tenemos que para todo ε0 existe n0 tal quesi n,m > n0 entonces dD(xn, xm) < ε. Si tomamos ε < 1 se tiene quexn = xm para todo n,m > n0, lo que implica que la sucesion es de colaconstante.

Ej.5.2. La sucesion (1/n)∞n=2 es de Cauchy tanto en (R, | |) como en ((0, 1), | |).En efecto, dado ε > 0 existe n0 tal que 1/n < ε para todo n ≥ n0. Entoncessi n,m > n0 se verifica

d

(1

n,1

m

)=

∣∣∣∣ 1n − 1

m

∣∣∣∣ < max

{1

n,1

m

}< ε.

Ej.5.3. La sucesion (n)∞n=1 no es de Cauchy en (R, | |). Observemos que paratodo ε > 0 y todo numero natural n0 siempre existen numeros n,m > n0

tales que |n−m| > ε.



Proposicion 5.1.3. Toda sucesion de Cauchy (xn)∞n=1, en un espacio metrico

(X, d), esta acotada.

DEMOSTRACION. -

Sea (xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy y consideremos ε = 1. Por la condicion de

Cauchy existe n0 tal que si m,n > n0 se tiene que d(xn, xm) < 1, de modo quesi n > n0, entonces xn ∈ B(xn0+1, 1). Solo quedan un numero finito de terminosque pueden estar fuera de esta bola. Sea

r = max{d(x1, xn0), . . . , d(xn0 , xn0+1)}.

Para todo n se cumple que d(xn, xn0+1) ≤ r. Ası deducimos

(xn)∞n=1 ⊂ B(xn0+1, r + 1),

como querıamos.

Proposicion 5.1.4. Toda sucesion convergente en un espacio metrico es una suce-sion de Cauchy.

DEMOSTRACION. -

En efecto, si (xn)∞n=1 es una sucesion tal que xn → x, entonces para todo ε > 0existe n0 tal que si n > n0 se cumple que d(xn, x) < ε/2. Ası pues, para todon,m > n0 se tiene

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) <ε

2+

ε

2= ε,

lo que concluye la demostracion.

Ejemplos

Ej.5.4. El recıproco de la Proposicion 5.1.4 no es cierto en general. La sucesion(1/n)∞n=2 es de Cauchy en ((0, 1), | |) y, sin embargo, no converge. Estojustificara la introduccion de los espacios metricos completos.

Proposicion 5.1.5. Sea (X, d) un espacio metrico. Si (xn)∞n=1 es una sucesionde Cauchy que contiene una subsucesion (xnk

)∞k=1 que converge a x, entonces lasucesion (xn)

∞n=1 converge a x.

DEMOSTRACION. -

Como (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy, dado ε > 0 existe n1 tal que para todo

n,m > n1 se cumple qued(xn, xm) <

ε

2.


138 5.2. Espacios metricos completos

Por otra parte, la subsucesion (xnk)k es convergente a x, luego existe k0 tal que si

nk > nk0 se cumple qued(xnk

, x) <ε

2.

Consideremos n0 = max{n1, nk0} y tomemos n > n0 y k tal que nk > n0,entonces

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk

, x) <ε

2+

ε

2= ε,

de modo que la sucesion (xn)∞n=1 converge a x.


P.5.1 Demuestre que, si (xn)∞n=1 e (yn)∞n=1 son dos sucesiones de Cauchy en

R (topologıa usual), entonces las sucesiones (xn + yn)∞n=1 y (xnyn)

∞n=1

tambien son de Cauchy. [I] [R]

P.5.2 Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1 ⊂ X una sucesion de Cauchy

que posee un punto de acumulacion x; entonces la sucesion converge a x.[I] [R]

P.5.3 Sean d y d′ dos distancias definidas sobre un mismo conjunto X . De-muestre que si d y d′ son equivalentes, entonces toda sucesion de Cauchyen (X, d) es tambien de Cauchy en (X, d′) y viceversa. [I] [R]

P.5.4 Demuestre que, en R con la distancia usual, una sucesion es de Cauchy si,y solo si, es convergente. [I]

5.2.Espacios m etricos completos

Definicion 5.2.1. Un espacio metrico (X, d) es completo si toda sucesion deCauchy en X es convergente.

Ejemplos

Ej.5.5. R con la distancia usual es completo despues del Problema P.5.4 anterior.

Ej.5.6. Todo espacio metrico discreto es completo, como se deduce del EjemploEj.5.1..

Ej.5.7. (0, 1) no es completo con la distancia usual (vease el Ejemplo Ej.5.4.).










Ej.5.8. Si (X, d) es completo, entonces X es completo con la distancia acotada

d(x, y) = mın{d(x, y), 1},

y recıprocamente, dado que una sucesion (xn)∞n=1 es de Cauchy para la

distancia d si, y solo si, es una sucesion de Cauchy para la distancia d (veaseel Problema P.5.3). Y una sucesion converge en la distancia d si, y solo si,converge en la distancia d.

Ej.5.9. (Q, | |) no es un espacio completo. En efecto, vamos a construir una suce-sion de Cauchy de numeros racionales que no es convergente en Q. Paracada n ∈ N sea kn el mayor natural tal que k2n ≤ 22n+1. Definimos, paracada n ∈ N, la sucesion

xn =kn2n

,

que es una sucesion de numeros racionales y verifica las afirmaciones si-guientes:

(A) La sucesion (xn)∞n=1 verifica que xm ≤ xn si m ≤ n.

En efecto, por definicion de kn se tiene

(2kn)2 ≤ 2222n+1 = 22(n+1)+1,

y como kn+1 es el mayor natural que verifica k2n+1 ≤ 22(n+1)+1, se deduceque 2kn ≤ kn+1. Por tanto

xn =kn2n

≤ kn+1

2 · 2n= xn+1,

y de aquı se obtiene de forma inmediata la afirmacion (A).

(B) Para todo m ≤ n se verifican

x2m ≤ 2 <

(xn +

1

2n

)2

y xn ≤ xm < xn +1

2n.

Observemos que se cumple

x2n =k2n22n

≤ 22n+1

2n= 2 para todo n ∈ N. (5.1)

Por otra parte, por la definicion de kn tenemos que (kn + 1)2 > 22n+1, dedonde se obtiene que para todo m,n ∈ N se cumple(

xn +1

2n

)2

=

(kn2n

+1

2n

)2

=(kn + 1)2

22n>

22n+1

22n= 2. (5.2)


140 5.2. Espacios metricos completos

Combinando las desigualdades (5.1) y (5.2) se deduce

x2m ≤ 2 <

(xn +

1

2n

)2

, para todo m,n ∈ N.

Teniendo en cuenta que (xn)∞n=1 es una sucesion de racionales positivos, seobtiene

xm < xn +1

2n

y, por tanto, se cumple

xn ≤ xm < xn +1

2nsi m ≥ n.

(C) La sucesion (xn)∞n=1 es de Cauchy en (Q, | |).

En efecto, dados n ∈ N, p ≥ n y q ≥ n, tendremos, segun (B):

xn ≤ xp < xn +1

2ny xn ≤ xq < xn +

1

2n,

de modo que, por un lado, tenemos

xp − xq < xn +1

2n− xq ≤ xn +

1

2n− xn =

1

2n,

y, por otra parte,

xp − xq > xp − xn − 1

2n= − 1

2n.

Combinando las dos desigualdades anteriores, llegamos a

|xp − xq| ≤1

2n.

A partir de aquı es facil deducir que la sucesion es de Cauchy, pues dadoε > 0 racional, existe n0 tal que 1

2n0 < ε ya que ( 12n )

∞n=1 es una sucesion

de racionales que converge claramente a 0. Por tanto, basta tomar p, q ≥ n0

para obtener

|xp − xq| ≤1

2n0< ε.

(D) La sucesion (xn)∞n=1 no es convergente en Q.

Para demostrar esta ultima afirmacion, supongamos que lımn xn = x, conx ∈ Q. Como la sucesion { 1

2n }∞n=1 converge a cero tenemos

lımn

x2n = x2 = lımn

(xn +

1

2n

)2

,



pero en (B) hemos visto que

x2n ≤ 2 <

(xn +

1

2n

)2

para todo n ∈ N,

lo que nos lleva a que

x2 ≤ 2 ≤ x2.

Por tanto, x2 = 2, pero esto no es posible ya que no hay ningun racionalcuyo cuadrado sea 2.

Proposicion 5.2.2. Sea (X, d) un espacio metrico completo y A ⊂ X un subcon-junto cerrado. Entonces A es completo.

DEMOSTRACION. -

Toda sucesion de Cauchy en A tambien es una sucesion de Cauchy en X y, portanto, converge en X . Como A es cerrado en X , el lımite de la sucesion perteneceal conjunto A.

Como consecuencia inmediata de la Proposicion 5.1.5 tenemos el siguiente Coro-lario.

Corolario 5.2.3. Un espacio metrico X es completo si toda sucesion de Cauchytiene una subsucesion convergente.

Teorema 5.2.4. Rm, con la topologıa usual, es un espacio completo .

DEMOSTRACION. -

Sea (x(n))∞n=1 = ((x1(n), . . . , xm(n)))∞n=1 una sucesion de Cauchy en Rm. En-tonces cada coordenada es una sucesion de Cauchy en R, puesto que

du(xj(n), xj(k)) = |xj(n)− xj(k)| ≤

m∑j=1

(xj(n)− xj(k))2

1/2

.

Lo que significa que (vease el Ejemplo Ej.5.5.) que cada sucesion (xj(n))∞n=1 es

convergente a un xj ∈ R para cada j = 1, . . . ,m. Por tanto, (x1, . . . , xm) ∈ Rm

es lımite de la sucesion (x(n))∞n=1.


142 5.3. Completitud y compacidad

Ejemplos

Ej.5.10. El intervalo abierto (−1, 1) de R con la distancia d(x, y) = |x − y| noes completo. En este espacio, la sucesion (xn)

∞n=1 definida por

xn = 1− 1

n

es una sucesion de Cauchy ya que en R converge a 1; y sin embargo, noconverge a ningun punto del intervalo (−1, 1).

Lo que demuestra que la completitud no es una propiedad topologica, esdecir, no se conserva por homeomorfismos, ya que el intervalo (−1, 1) eshomeomorfo a la recta real R (ambos con la distancia usual) que es com-pleto.

Proposicion 5.2.5. Todo subespacio completo de un espacio metrico es cerrado.

DEMOSTRACION. -

Sea (X, d) un espacio metrico y sea H ⊂ X tal que (H, dH) es completo. Veamosque H es cerrado comprobando que H = H . Si x ∈ H , entonces existe unasucesion (xn)

∞n=1 en H que converge a x y, por tanto, es de Cauchy, tanto en X

como en H . Como (H, dH) es completo la sucesion (xn)∞n=1 converge en H a un

punto x′. Pero (X, d) es un espacio metrico y, por tanto, de Hausdorff, de modoque x = x′. Es decir, x ∈ H , de donde se deduce que H = H .

5.3.Completitud y compacidad

Proposicion 5.3.1. Todo espacio metrico compacto es completo.

DEMOSTRACION. -

Sea (X, d) un espacio metrico compacto y sea (xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy

en X . Como X es compacto, tambien es secuencialmente compacto, luego exis-te una subsucesion (xnk

)∞k=1 de (xn)∞n=1, convergente. Como consecuencia de la

Proposicion 5.1.5 la sucesion inicial (xn)∞n=1 tambien es convergente.

La implicacion recıproca no es cierta, en general, como muestra el hecho de queR es completo, y sin embargo, no es compacto. No obstante, sı se cumple si seconsidera una hipotesis adicional, la de ser totalmente acotado. El siguiente resul-tado, que sirve de puente entre los espacios completos y los compactos, justificaque los espacios metricos totalmente acotados reciban tambien el nombre de pre-compactos.



Proposicion 5.3.2. Todo espacio metrico completo y totalmente acotado es se-cuencialmente compacto.

DEMOSTRACION. -

Sea (X, d) un espacio metrico completo y totalmente acotado y sea (xn)∞n=1 una

sucesion en X . Vamos a construir una subsucesion de Cauchy que, por ser Xcompleto, sera convergente y por tanto, X sera secuencialmente compacto.

En efecto, si la sucesion solo tiene un numero finito de terminos distintos, no haynada que probar, pues a partir de un determinado n0 todos los terminos seraniguales y ya tenemos la subsucesion convergente. Supongamos entonces que lasucesion S = (xn)

∞n=1 tiene infinitos terminos distintos. Como X es totalmente

acotado y S ⊂ X , S tambien es totalmente acotado. Por tanto, dado 1/2 existe unnumero finito de bolas con este radio que recubren S. Como S es infinito, una deestas bolas contendra infinitos puntos de la sucesion S; llamemos a esta bola B1.

Consideremos ahora B1∩S. Este conjunto es tambien totalmente acotado, de mo-do que si consideramos 1/22, entonces B1 ∩ S estara recubierto por un numerofinito de bolas de radio 1/22. De entre todas ellas habra al menos una, que lla-maremos B2, que contendra una cantidad infinita de terminos de la sucesion.

Ası sucesivamente vamos construyendo una sucesion de bolas Bk de radio 1/2k,cada una de las cuales tiene infinitos terminos de la sucesion y que, segun se hanconstruido, dos a dos tienen interseccion no vacıa.

Vamos a construir la subsucesion de la siguiente manera.

El primer termino sera un termino arbitrario de la sucesion que este en B1 y le lla-mamos xn1 . Como en B2 hay infinitos terminos de la sucesion, existe un terminode la sucesion xn2 6= xn1 y con n2 > n1; procediendo de esta manera construimosuna subsucesion (xnk

)k, tal que cada xnk∈ Bk. Veamos que esta subsucesion es

de Cauchy. Sean p, q ∈ N con p < q. Como Bp ∩ Bq 6= ∅, si y ∈ Bp ∩ Bq

tendremos que

d(xnp , xnq) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq) ≤1

2p+

1

2q<

1

2p+

1

2p=

1

2p−1.

Por tanto, dado ε > 0 existe m tal que 1/2m−1 < ε, y si p, q > m (con p > q porejemplo), entonces

d(xnp , xnq) <1

2p−1<

1

2m−1< ε,

lo que prueba que la subsucesion es de Cauchy.

Teniendo en cuenta que todo espacio metrico es compacto si, y solo si, es se-cuencialmente compacto, podemos expresar los dos resultados anteriores en elsiguiente teorema.


144 5.4. Algunos resultados interesantes

Teorema 5.3.3. Un espacio metrico (X, d) es compacto si, y solo si, (X, d) escompleto y totalmente acotado.

5.4.Algunos resultados interesantes

Teorema 5.4.1 (Teorema de encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio metricocompleto y sea {Cn}∞n=1 una sucesion decreciente de cerrados en X , no vacıos ytales que la sucesion de sus diametros converge a 0. Entonces ∩∞

n=1Cn es exacta-mente un punto.

DEMOSTRACION. -

Que la sucesion de cerrados sea decreciente quiere decir que

C1 ⊃ C2 ⊃ · · · ⊃ Cn ⊃ · · · .

Sea (xn)∞n=1 una sucesion en X de manera que xn ∈ Cn para cada n ∈ N. Veamosque esta sucesion es de Cauchy.

Como los diametros de {Cn}∞n=1 forman una sucesion que tiende a 0, tendremosque dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n > n0, entonces diam(Cn) < ε. Portanto, como la sucesion de cerrados es decreciente, si n,m > n0, con m > n,tenemos que xn, xm ∈ Cn. Entonces d(xn, xm) < diam(Cm) < ε y la sucesiones de Cauchy.

Como X es completo, la sucesion (xn)∞n=1 es convergente a un punto x ∈ X .

Veamos que x ∈ ∩n∈NCn.

Supongamos que no fuera ası. Entonces existirıa k ∈ N tal que x /∈ Ck; como Ck

es cerrado, tenemos que d(x,Ck) = r > 0, con lo que la bola B(x, r/2) y Ck notienen puntos comunes. Pero si n > k, entonces xn ∈ Ck (pues la sucesion decerrados es decreciente), lo que implica que xn /∈ B(x, r/2), lo cual es imposiblepuesto que xn → x.

Veamos, finalmente, que este punto es el unico en la interseccion. Supongamosque existe otro punto y ∈ ∩n∈NCn, entonces d(x, y) ≤ diam(Cn) para todon ∈ N y como lımn diam(Cn) = 0 ha de ser d(x, y) ≤ 0. Pero d es una distancia,luego d(x, y) = 0. Por tanto, x = y.

Teorema 5.4.2 (Teorema de Baire). Sea (X, d) un espacio metrico completo ysea {An}∞n=1 una sucesion de abiertos de X tales que An es denso en X paracada n ∈ N. Entonces se cumple que ∩∞

n=1An es denso en X.

DEMOSTRACION. -

Es suficiente probar que todo abierto no vacıo de X corta a ∩∞n=1An. Sea A ⊂ X

un abierto. Como A1 es denso, A ∩ A1 es no vacıo y, por tanto, x1 ∈ A ∩ A1.Como A∩A1 es abierto, existe r1 < 1 tal que la bola cerrada B(x1, r1) ⊂ A∩A1.



La bola B(x1, r1) es abierta no vacıa y A2 es denso, luego B(x1, r1) ∩ A2 es novacıo. Por tanto, existe x2 ∈ B(x1, r1) ∩ A2; esta interseccion es abierta, luegoexiste r2 < 1/2 tal que

B(x2, r2) ⊂ B(x1, r1) ∩A2 ⊂ A ∩A1 ∩A2.

Ası, por induccion, se puede construir una sucesion de bolas {B(xn, rn)}∞n=1 talesque rn < 1/n para cada n ∈ N y B(xn, rn) ⊂ A ∩A1 ∩ · · · ∩ An.

Si consideramos las bolas cerradas, la familia {B(xn, rn)}∞n=1 cumple la hipotesisdel Teorema 5.4.1 de encaje de Cantor y, por tanto, su interseccion es un unicopunto:

∩∞n=1B(xn, rn) = {x}, x ∈ X.

En consecuencia, x ∈ A ∩ (∩∞n=1An) por lo que ∩∞

n=1An es denso.

5.5.Completado de un espacio m etrico

Definicion 5.5.1. Diremos que un espacio metrico (X, ρ) es un completado deun espacio metrico (X, d), si X es completo y X es isometrico a un subconjuntodenso de X

Ejemplos

Ej.5.11. R con la distancia usual es un completado de Q, puesto R es completo yQ es denso en R.

Teorema 5.5.2. Sea (Y, d) un espacio metrico y X un conjunto. Entonces sonequivalentes:

(a) (Y, d) es completo.

(b) El espacio de las funciones acotadas (A(X,Y ), d∞) es completo (vease elProblema P.1.29) .

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)“ Sea (fn)∞n=1 una sucesion de Cauchy en (A(X,Y ), d∞). Entonces

para cada x ∈ X la sucesion (fn(x))∞n=1 es una sucesion de Cauchy en (Y, d); en

efecto, dado ε > 0, como (fn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy en A(X,Y ), existe

n0 tal que si n,m ≥ n0, entonces d∞(fn, fm) < ε y por tanto, para todo x ∈ X ,tenemos d(fn(x), fm(x)) < ε .


146 5.5. Completado de un espacio metrico

Como (Y, d) es completo, para cada x ∈ X la sucesion (fn(x))∞n=1 converge a un

punto en Y que llamaremos f(x). A partir de estos lımites definimos la funcionf : X → Y tal que a cada x ∈ X le hace corresponder el lımite de la sucesion(fn(x))

∞n=1.

Veamos que la sucesion (fn)∞n=1 converge a f . Como la sucesion es de Cauchy,

para todo ε > 0, existe n0 tal que si m,n > n0 entonces d∞(fn, fm) < ε. Enparticular, si tomamos n > n0 fijo y p ∈ N, tendremos que d∞(fn, fn+p) < ε.Entonces para todo x ∈ X se cumple que

d(fn(x), fn+p(x)) < ε.

Si ahora tomamos lımites cuando p → ∞, para todo x ∈ X se tiene

d(fn(x), fn+p(x)) → d(fn(x), f(x)),

lo que implica que d(fn(x), f(x)) < ε. Concluimos que si n > n0 entoncesd∞(fn, f) < ε, lo que implica que (fn)

∞n=1 converge a f .

Lo anterior tambien implica que f ∈ A(X,Y ), es decir, esta acotada. En efecto,como (fn)

∞n=1 es de Cauchy tambien esta acotada (vease la Proposicion 5.1.3),

luego existe M > 0 de manera que (fn)∞n=1 ⊂ B∞(g,M) para alguna funcion

g ∈ A(X,Y ), es decir, d∞(g, fn) < M para todo n ∈ N. Como (fn)∞n=1 con-

verge a f , existe un n1 tal que si n > n1, entonces d∞(fn, f) < 1. Por tanto,

d∞(g, f) ≤ d∞(g, fn) + d∞(fn, f) < M + 1,

si n > n1, de modo que f ∈ A(X,Y ).

”(b)⇒(a)” Supongamos que (Y, d) no es completo. Por tanto, existe una sucesion(yn)

∞n=1 en Y que es de Cauchy pero no converge. Consideremos la sucesion de

funciones constantes fn : X → Y definidas como fn(x) = yn para cada x ∈ X ycada n ∈ N; claramente (fn)

∞n=1 ⊂ A(X,Y ) y, ademas, es de Cauchy; en efecto,

dados n,m ∈ N tenemos

d∞(fn, fm) = d(yn, ym).

La sucesion (yn)∞n=1 es de Cauchy, por tanto, para todo ε > 0 existe n0 tal

que si n,m ≥ n0 entonces d(yn, ym) < ε y ası, tambien d∞(fn, fm) < ε.Como A(X,Y ) es completo por hipotesis, (fn)∞n=1 converge a cierta funcionf ∈ A(X,Y ), lo que significa que la sucesion (fn(x))

∞n=1 = (yn)

∞n=1 converge a

f(x) en Y , para cada x ∈ X , lo cual es imposible.

Corolario 5.5.3. El espacio de las funciones reales acotadas A(X,R) es com-pleto para cualquier conjunto X .

DEMOSTRACION. Es una consecuencia inmediata del teorema anterior, ya que Res un espacio completo.



Veamos ahora un resultado clasico, el cual afirma que todo espacio metrico sepuede embeber isometricamente en un espacio metrico completo, es decir, todoespacio metrico “se puede completar”.

Teorema 5.5.4. Sea (X, d) un espacio metrico. Existe un embebimiento isometri-co de X en un espacio metrico completo.

DEMOSTRACION. -

Sea A(X,R) el conjunto de todas las funciones acotadas de X en R. Sea x0 unpunto fijo de X . Dado a ∈ X , definamos φa : X → R mediante la ecuacion

φa(x) = d(x, a)− d(x, x0).

Aseguramos que φa esta acotada. Efectivamente, de las desigualdades

d(x, a) ≤ d(x, b) + d(a, b),

d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b),

se deduce que|d(x, a)− d(x, b)| ≤ d(a, b).

Poniendo b = x0, concluimos que |φa(x)| ≤ d(a, x0), para todo x.

Definamos Φ : X → A(X,R) por

Φ(a) = φa.

Vamos a probar que Φ es un embebimiento isometrico de (X, d) en el espaciometrico completo (A(X,R), d∞). Es decir, vamos a probar que, para todo par depuntos a, b ∈ X ,

d∞(φa, φb) = d(a, b).

Por definicion,

d∞(φa, φb) = sup{|φa(x)− φb(x)| : x ∈ X}= sup{|d(x, a)− d(x, b)| : x ∈ X}.

Por tanto, concluimos que

d∞(φa, φb) ≤ d(a, b).

Por otro lado, esta desigualdad no puede ser estricta, ya que si x = a entonces

|d(x, a)− d(x, b)| = d(a, b),

y ası concluye la prueba.




P.5.5 Demuestre que toda sucesion de Cauchy en un espacio metrico es total-mente acotada. [R]

P.5.6 El teorema de encaje de Cantor necesita de todas las hipotesis:

(a) El espacio metrico ha de ser completo. El espacio (0, 1) con la dis-tancia inducida por la usual de R no es un espacio completo y ademas{(0, 1/n]}∞n=2 es una familia de cerrados que verifican las hipotesisdel teorema cuya interseccion es vacıa.

(b) Los conjuntos han de ser cerrados. Demuestre que {(0, 1n)}

∞n=1 es una

familia de conjuntos “no cerrados” enR (que es completo) que verificael resto de las hipotesis del teorema y, sin embargo, su interseccion esvacıa.

(c) La sucesion de los diametros ha de ser convergente a 0. {[n,∞)}∞n=1

es una familia decreciente de conjuntos cerrados en R cuya sucesionde diametros no converge a 0 y tiene interseccion vacıa.

P.5.7 (Teorema del punto fijo de Banach) Si (X, d) es un espacio metrico, unaaplicacion f : X → X se dice que es una contraccion si existe un numeroα < 1 tal que

d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y),

para todos x, y ∈ X . Demuestre que si f es una contraccion de un espaciometrico completo, entonces existe un unico punto x ∈ X tal que f(x) = x.[I] [R]

P.5.8 Sea (xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy en un espacio metrico (X, d) y sea

(yn)∞n=1 una sucesion tal que d(xn, yn) < 1/n para todo n ∈ N. De-

muestre:

(a) (yn)∞n=1 es tambien una sucesion de Cauchy.

(b) (yn)∞n=1 converge a un punto y ∈ X si, y solo si, (xn)∞n=1 converge al

punto y. [R]

P.5.9 Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos; considere el espacio X × Ycon cualquiera de las distancias del Ejemplo Ej.1.9. (d∞ sin ir mas lejos).Demuestre:

(a)Una sucesi on (xn, yn)∞n=1 es de Cauchy en X × Y si, y solo si, las

sucesiones (xn)∞n=1 y (yn)

∞n=1 son de Cauchy en X e Y respectiva-

mente.

(b) X e Y son completos si, y solo si, X × Y es completo.







P.5.10 Sea (X, d) un espacio metrico en el que toda bola cerrada es compacta.Demuestre que X es completo y que los subconjuntos compactos de X sonlos cerrados y acotados. [R]



6

Espacios conexos

En este capıtulo estudiamos los espacios conexos y su relacion con otras propieda-des ya estudiadas. Despues de presentar unos resultados de los espacios conexos,estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuacion relacionamosconexion y continuidad y estudiamos la conexion de los productos cartesianos.Estudiamos las componentes conexas y finalizamos el capıtulo con la conexionpor caminos, que implica la conexion ordinaria.

La definicion de conexion para un espacio metrico es muy natural. Ası, se diceque un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” endos conjuntos abiertos con interseccion vacıa. En caso contrario, diremos que elespacio es conexo.




Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de losespacios euclıdeos.

Relacionar los conceptos de conexion y continuidad en un espacio metrico.


Espacios metricos conexos. Propiedades.

151

152 6.1. Conjuntos separados

Los subespacios conexos de la recta real.

Conexion y continuidad.

Componentes conexas.

Conexion por caminos.

6.1.Conjuntos separados

Definicion 6.1.1. Dado un espacio metrico (X, d) y dos subconjuntos A,B ⊂ X ,diremos que A y B estan separados si A ∩B = A ∩B = ∅.

Es evidente que si A y B estan separados, entonces son disjuntos. Sin embargo,el recıproco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ej.6.1. En R con la topologıa usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) estan separados,pero los intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo estan, a pesar de que son disjuntos,pues (0, 1) = [0, 1] y [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}.

Ej.6.2. En (R2, d2) el exterior de la bola abierta de centro el origen de coorde-nadas y radio 1

ExtB((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}

y la propia bola abierta

Figura 6.1 – ExtB((0, 0), 1) y B((0, 0), 1) estan separados.

B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

estan separados puesto que

ExtB((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1} y



B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}

y es evidente que que

ExtB((0, 0), 1) ∩B((0, 0), 1) = ExtB((0, 0), 1) ∩B((0, 0), 1) = ∅

(vease la Figura 6.1).

Ej.6.3. En R con la topologıa usual, los conjuntosQ y R−Q no estan separados,pues Q = R ⊃ R−Q.

Ej.6.4. Los conjuntos A = {(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1} y

B = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1}

no estan separados, pues todos los puntos de A son adherentes a B (veasela Figura 6.2).

Figura 6.2 – Subconjuntos de R2 no separados.

6.2.Espacios conexos

Definicion 6.2.1. Diremos que un espacio metrico (X, d) es conexo si X no esunion de dos subconjuntos no vacıos y separados. En caso contrario diremos queX es no conexo.

Proposicion 6.2.2. Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X dos subconjuntosdisjuntos tales que X = A ∪B. Son equivalentes:

(a) X es no conexo (A y B estan separados).

(b) A y B son cerrados.


154 6.2. Espacios conexos

(c) A y B son abiertos.

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)“ Supongamos que los conjutos A y B estan separados, es decir, queA ∩B = A ∩B = ∅ y veamos que A es cerrado. Podemos poner

A = A ∩X = A ∩ (A ∪B) = (A ∩A) ∪ (A ∩B) = A ∪∅ = A.

Por tanto, A es cerrado. Analogamente se prueba que B tambien es cerrado.

”(b)⇒(c)” Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X yA∩B = ∅ entonces A = Bc y B = Ac. Por tanto, A y B son abiertos (pues soncomplementarios de cerrados).

“(c)⇒(a)“ Supongamos que A y B son abiertos disjuntos tales que A ∪ B = X .Procediendo como en la implicacion anterior podemos probar que A y B soncerrados (pues son complementarios de abiertos). Entonces A∩B = A∩B = ∅y A ∩B = A ∩B = ∅, luego A y B estan separados.

La conexion se puede formular de otro modo, como muestra el siguiente corolariocuya demostracion es consecuencia de la Proposicion 6.2.2.

Corolario 6.2.3. Un espacio metrico (X, d) es conexo si, y solo si, los unicossubconjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados son X y ∅.

DEMOSTRACION. -

Si A ⊂ X , A 6= X , abierto y cerrado, entonces Ac tambien es abierto y cerrado,y X = A ∪Ac, con lo que X serıa no conexo.

La Proposicion 6.2.2 nos permite introducir un nuevo concepto.

Definicion 6.2.4. Sea X un espacio metrico. Una separacion de X es un parA,B de abiertos (o cerrados) disjuntos no triviales de X cuya union es X .

6.2.1.Subespacios conexos.

Definicion 6.2.5. Sea un espacio metrico (X, d) y un subconjunto S ⊂ X . Di-remos que S es un subespacio conexo o un subconjunto conexo si (S, dS) esconexo.

Proposicion 6.2.6. Un subconjunto S de un espacio metrico (X, d) es conexo si,y solo si, no existen dos subconjuntos A,B ⊂ X separados tales que A∪B = S.

DEMOSTRACION. Es una consecuencia inmediata de la definicion de topologıarelativa y la Proposicion 6.2.2.



Ejemplos

Ej.6.5. Sea Y el subespacio [−1, 0) ∪ (0, 1] de la recta real R. Los conjuntos[−1, 0) y (0, 1] son no vacıos y abiertos en Y (aunque no en R); de esta for-ma, constituyen una separacion de Y . Por otra parte, observese que ningunode estos conjuntos contiene puntos de acumulacion del otro.

Ej.6.6. Sea X el subespacio [−1, 1] de la recta real. Los conjuntos [−1, 0] y (0, 1]son disjuntos y no vacıos pero no forman una separacion de X ya que elprimer conjunto no es abierto en X . Por otro lado, observese que el primerconjunto contiene un punto de acumulacion, el 0, del segundo. De hecho,probaremos enseguida que no existe una separacion del espacio [−1, 1].

Ej.6.7. El conjunto de los numeros racionalesQ no es conexo. Es mas, los unicossubespacios conexos de Q son los conjuntos unipuntuales: si Y es un sub-espacio de Q conteniendo dos puntos p y q, es posible elegir un numeroirracional a entre p y q y escribir Y como la union de los abiertos

Y ∩ (−∞, a) e Y ∩ (a,+∞).


P.6.1 Sean A, B y C tres subconjuntos de un espacio metrico. Demuestre:

(a)Si A y B estan separados y C ⊂ A, entonces C y B estan separados.

(b)Si C y A estan separados y C y B tambien estan separados, entoncesC y A ∩B estan separados.

(c)Si A y B estan separados, entonces A ∩ C y B ∩ C estan separados.[I] [R]

P.6.2 Demuestre que un espacio discreto con mas de un punto, es no conexo.

P.6.3 Demuestre que si A y B son dos subconjuntos disjuntos de un espaciometrico y ambos son abiertos o ambos son cerrados, entonces estan separa-dos. [I] [R]

P.6.4 Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X separados. Pruebe:

(a)Si A ∪B es abierto, entonces A y B son abiertos.

(b)Si A ∪B es cerrado, entonces A y B son cerrados. [I] [R]

P.6.5 Demuestre que si A es un subconjunto conexo de un espacio metrico,entonces A es infinito.








156 6.2. Espacios conexos

P.6.6 ¿Es conexa la interseccion de dos subconjuntos conexos? En caso afirma-tivo demuestrelo y en caso negativo encuentre un contraejemplo.

6.2.2.Conjuntos conexos.

Lema 6.2.7. Sea (X, d) un espacio metrico y sea S ⊂ X un subconjunto conexo.Si A,B ⊂ X son una separacion de X , entonces bien S ⊂ A, bien S ⊂ B.

DEMOSTRACION. -

Supongamos, por reduccion al absurdo, que S ∩ A 6= ∅ y S ∩B 6= ∅; entonces,como A ∪B = X , tenemos

S = (S ∩A) ∪ (S ∩B).

Por tanto S ∩A y S ∩B son abiertos disjuntos en S, no vacıos y verificando

(S ∩A) ∩ (S ∩B) = ∅,

con lo cual ambos conjuntos constituyen una separacion de S, en contra de que Ses conexo.

Teorema 6.2.8. La union de una coleccion de subespacios conexos de X quetienen un punto en comun es conexa.

DEMOSTRACION. -

Sea {Ai}i∈I una coleccion de subespacios conexos de un espacio X y sea p unpunto de

⋂i∈I Ai. Probemos que el espacio Y =

⋃i∈I Ai es conexo. Supongamos

que Y = C ∪D es una separacion de Y . El punto p esta, o bien en C, o bien enD, pero no en ambos; supongamos que p ∈ C. Como cada Ai es conexo y p ∈ C,segun el Lema 6.2.7 anterior, Ai ⊂ C. Por tanto,

⋃i∈I Ai ⊂ C, contradiciendo el

hecho de que D era no vacıo.

Teorema 6.2.9. La union de una coleccion de subespacios conexos de X talesque no estan separados dos a dos es conexa.

DEMOSTRACION. -

Supongamos que {Ai}i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X no se-parados dos a dos, y supongamos que su union A = ∪i∈IAi es no conexo; en-tonces segun el Corolario 6.2.3, existe B ( A no vacıo que es abierto y cerradoen (A, dA).

Como B 6= ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B 6= A, existe y ∈ A, y /∈ B.Por tanto, para ciertos ındices ix, iy ∈ I tenemos x ∈ Aix e y ∈ Aiy . Entonces



B∩Aix 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aix , dix) que es conexo por hipotesis, luegoB ∩Aix = Aix lo que implica que Aix ⊂ B.

De la misma forma (A−B) ∩ Aiy 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aiy , diy), luego(A−B) ∩Aiy = Aiy , lo que implica que Aiy ⊂ B −A.

Pero A y A − B estan separados en (A, dA), pues son dos abiertos y cerradosno vacıos cuya union es A, lo que lleva consigo que Aix y Aiy tambien estanseparados, en contra de la hipotesis, lo que concluye la prueba.

La demostracion del siguiente corolario es consecuencia del Teorema 6.2.9 y sele propone como ejercicio.

Corolario 6.2.10. Sea (X, d) un espacio metrico y {Ai}i∈I una familia de sub-conjuntos conexos no vacıos de X tales que Ai ∩Aj 6= ∅ para cada par i, j ∈ I .Entonces A = ∪i∈IAi es conexo.

Teorema 6.2.11. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces se verifican:

(a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo y S ⊂ X tal que H ⊂ S ⊂ H ,entonces S es conexo.

(b) Si S es un subconjunto conexo de X , entonces S es conexo.

DEMOSTRACION. -

(a) Si x ∈ H , entonces H ∪ {x} es conexo puesto que H y {x} son conexos noseparados (H ∩ {x} = {x}). Entonces podemos poner S =

⋃x∈S(H ∪ {x}) y,

teniendo en cuenta que H ⊂ S ⊂ H , S es union de conexos no disjuntos, lo queimplica que S es conexo.

(b) Es una consecuencia inmediata de (a).


P.6.7 Sea {An}n∈N una sucesion de subespacios conexos de X que verificanAn ∩An+1 6= ∅ para cada n. Demuestre que

⋃n∈NAn es conexo. [I] [R]

P.6.8 Sean {Aα}α∈J una coleccion de subespacios conexos de X y A un sub-espacio conexo de X . Demuestre que si A∩Aα 6= ∅ para todo α, entoncesA ∪

(⋃α∈J Aα

)es conexo.

P.6.9 Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X una separacion de X , es decirX = A ∪B y A y B estan separados. Demuestre que si S ⊂ X es conexo,entonces esta contenido unicamente, o bien en A, o bien en B.




158 6.3. Conexos en R.

6.3.Conexos en R.

Teorema 6.3.1. Un subconjunto S R, con la distancia usual, es conexo si, ysolo si, es un intervalo o un conjunto unitario.

DEMOSTRACION. -

”⇒” Supongamos que S es conexo. Si S es unitario no hay nada que probar.Supongamos entonces que ni es unitario ni es un intervalo; entonces segun elLema 4.4.1 existen x, y ∈ S tales que [x, y] no esta contenido en S, es decir,existe z ∈ (x, y) tal que z /∈ S. Consideremos los conjuntos

A = (−∞, z) ∩ S y B = (z,+∞) ∩ S.

Entonces A y B estan separados y S = A ∪B, en contra de que S es conexo.

”⇐” Si S es unitario no hay nada que probar. Supongamos entonces que S es unintervalo y que es no conexo. Esto quiere decir que existen A,B ⊂ R no vacıos yseparados tales que S = A ∪ B. Sean x ∈ A, y ∈ B y supongamos que x < y.Como S es un intervalo, el Lema 4.4.1 implica [x, y] ⊂ S.

Consideremos el conjunto C = [x, y]∩A, que es no vacıo (x ∈ A) y esta acotadosuperiormente por y; por tanto, existe α = supC.

Tenemos entonces que x ≤ α ≤ y, es decir, α ∈ [x, y] ⊂ S. Luego, o bienα ∈ A, o bien α ∈ B, pero no a los dos. Supongamos que α ∈ A, esto implicaque α < y. Como A es abierto en S, por definicion de topologıa relativa existira Gabierto en R tal que A = G ∩ S. Luego α ∈ G, de modo que existe ε > 0 tal que(α− ε, α+ ε) ⊂ G. Ademas, α < y, de modo que podemos tomar ε > 0 tal queα+ ε < y, luego α+ ε ∈ S y, por tanto, α+ ε ∈ G∩ S = A, en contra de que αes supremo. De forma analoga se ve que α no puede estar en B.

Corolario 6.3.2. R con la topologıa usual es un espacio conexo.

DEMOSTRACION. Es una aplicacion directa del Teorema 6.3.1 anterior.

Ejemplos

Ej.6.8. Q no es conexo puesto que no es un intervalo. Ya habıamos visto que Qes no conexo en el Ejemplo Ej.6.7. utilizando otros argumentos.

Ej.6.9. A partir del Corolario 6.3.2, concluimos que en (R, | |), los unicos con-juntos abiertos y cerrados a la vez son R y ∅.



6.4.Conexi on y continuidad.

Teorema 6.4.1. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos, f : X → Y unaaplicacion continua y S ⊂ X un subconjunto conexo en X . Entonces f(S) esconexo en Y .

DEMOSTRACION. -

Supongamos que f(S) es no conexo, entonces existen A,B ⊂ Y no vacıos yseparados tales que f(S) = A ∪ B. Como f : S → f(S) es continua y A y Bson abiertos y cerrados en f(S) con la topologıa relativa, tendremos que f−1(A) yf−1(B) seran abiertos y cerrados en S con la distancia dS inducida por d. Ademasson no vacıos, disjuntos y cumplen

S = f−1(f(S)) = f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B),

con lo que S serıa no conexo, en contra de la hipotesis.

La conexion es una propiedad topologica.

Corolario 6.4.2. Sean (X, d) y (Y, d′) dos espacios metricos homeomorfos. En-tonces X es conexo si, y solo si, Y es conexo.

DEMOSTRACION. Se trata de una aplicacion directa del Teorema 6.4.1 anterior.

Los dos Problemas siguientes P.6.10 y P.6.11 corresponden a dos importantesproposiciones a las que debe prestar especial atencion y cuya sencilla demostracion,a partir del Teorema 6.4.1, se le propone como ejercicio.


P.6.10 Un espacio metrico (X, d) es conexo si, y solo si, cualquier aplicacioncontinua entre X y el espacio discreto {0, 1} es constante, es decir, o bienf(x) = 0 para todo x ∈ X , o bien f(x) = 1 para todo x ∈ X .

P.6.11 Si (X, d) es un espacio metrico no conexo, entonces existe una apli-cacion f : X → {0, 1} continua y no constante.

P.6.12 Demuestre que si (X, d) es conexo y f : (X, d) → (R, du) es una apli-cacion continua, entonces f(X) es un intervalo.


160 6.4. Conexion y continuidad.

Teorema 6.4.3 (del valor intermedio). Un espacio metrico (X, d) es conexo si, ysolo si, cada aplicacion continua f : X → R cumple que si x, y ∈ X y c ∈ R estal que f(x) ≤ c ≤ f(y), entonces existe z ∈ X tal que f(z) = c.

DEMOSTRACION. -

”⇒” Si X es conexo, entonces f(X) es conexo en R y, por tanto, es un intervalo,de modo que contiene todos los puntos intermedios.

”⇐” Supongamos que X es no conexo, entonces X = A∪B con A y B no vacıosy separados. Consideramos una funcion g : X → {0, 1} continua tal y como laproporciona el Problema P.6.11 y tal que g(A) = {0} y g(B) = {1}.

Sea la inclusion i : {0, 1} −→ R, que es continua (observe que la distanciausual de R induce sobre {0, 1} la distancia discreta y revise el Problema P.3.1),y consideremos la composicion h = i ◦ g : X −→ R que, al ser composicionde funciones continuas, tambien es continua. Entonces h no cumple las hipotesis,pues 0 < 1/2 < 1 y, sin embargo, no hay ningun punto de X cuya imagen por hsea distinta de 0 o de 1, en contra de la hipotesis.

6.4.1.Espacios producto.

Teorema 6.4.4. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos conexos. Entonces elproducto X × Y es conexo. (Con cualquiera de las distancias d1, d2 o d∞ delEjemplo Ej.1.9.).

DEMOSTRACION. -

Tomemos un punto (a, b) ∈ X×Y . La “rebanada horizontal” X×{b} es conexa,ya que es homeomorfa a X , y tambien lo es cada “rebanada vertical” {x} × Ypara cada x ∈ X ya que estas son homeomorfas a Y (vease el Problema P.3.9).

Por otra parte, para cada x ∈ X la interseccion de los conjuntos X×{b} y {x}×Yes no vacıa, en concreto es precisamente (X × {b})∩ ({x} × Y ) = {(x, b)}. Portanto, el conjunto (X × {b})∪ ({x} × Y ) es conexo por ser union de conexos nodisjuntos (vease la Figura 6.3).

Entonces la union ⋃x∈X

{(X × {b}) ∪ ({x} × Y )}

de todos estos conjuntos es precisamente X×Y y es conexo pues todos tienen encomun al conjunto X × {b} (vease de nuevo la Figura 6.3).

Corolario 6.4.5. El producto cartesiano de una cantidad finita de espacios metri-cos conexos, es un espacio conexo.



Figura 6.3 – Conexion en el espacio producto.

DEMOSTRACION. La prueba para cualquier coleccion finita de espacios conexospuede realizarse por induccion, utilizando el hecho (¿facilmente demostrable?) deque X1 × · · · ×Xn es homeomorfo a (X1 × · · · ×Xn−1)×Xn.

Ejemplos

Ej.6.10. Rn con cualquiera de las distancias d1, d2 o d∞ es conexo.

6.5.Componentes conexas

Definicion 6.5.1. Sea (X, d) un espacio metrico y C ⊂ X un subconjunto, di-remos que C es una componente conexa de X si C es conexo y no hay ningunsubconjunto conexo y propio de X que contenga a C.

Observacion 6.5.2. -

(a)Obviamente si X es conexo, tiene una unica componente conexa que coin-cide con todo el espacio.

(b)Cualquier espacio, conexo o no, tiene componentes conexas no vac ıas.

Definicion 6.5.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Se llama componente conexaC(x) de un punto x ∈ Xa la union de todos los subconjuntos conexos de X quecontienen al punto x.

Observacion 6.5.4. Es obvio que C(x) es el mayor conjunto conexo que contienea x y que C(x) es la componente conexa de X que contiene a dicho punto.


162 6.6. Conexion por caminos (o arcos).

Teorema 6.5.5. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces las componentes conexasde X constituyen una particion de X , es decir son disjuntas entre sı y la union detodas ellas es X .

DEMOSTRACION. - Sean x, y ∈ X veamos que si C(x) y C(y) son sus com-ponentes conexas respectivas, entonces o bien coinciden ,C(x) = C(y), o bienC(x) ∩ C(y) = ∅. En efecto, supongamos que C(x) ∩ C(y) 6= ∅, entonces setrata de dos conjuntos conexos no separados, lo que significa que C(x)∪C(y) esconexo, pero la componente conexa es el mayor conexo que contiene al punto, demodo que C(x) = C(x) ∪C(y) = C(y). Por otra parte, es evidente que la unionde todas las componentes conexas es todo X .

Como en ocasiones anteriores, los Problemas siguientes recogen importantes re-sultados sobre componentes conexas, cuya demostracion se le propone como ejer-cicio. Debe prestarles la necesaria atencion.


P.6.13 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que cada subconjunto conexode X esta contenido en una unica componente conexa.

P.6.14 Cada subconjunto conexo de un espacio metrico que es a la vez abiertoy cerrado, es una componente conexa.

P.6.15 Cada componente conexa de un espacio metrico es un cerrado.

P.6.16 Considere en (R, | |), el conjunto C = {0} ∪ {1/n : n ∈ N} con la dis-tancia inducida por la usual. Pruebe que {0} es una componente conexa deC y concluya que las componentes conexas no son, necesariamente abier-tos.

6.6.Conexi on por caminos (o arcos).

La conexion de los intervalos en R nos conduce a la condicion de que cualquierpar de puntos de X pueda unirse mediante un camino o un arco en X . Y esto noslleva a la conexion por caminos (tambien llamada conexion por arcos).

Definicion 6.6.1. Sea (X, d) un espacio metrico y dos puntos x, y ∈ X:

Un camino o un arco en X , que une el punto x con el punto y, es unaaplicacion continua f : [a, b] −→ X , donde [a, b] ⊂ R es intervalo cerradocon la distancia usual, tal que f(a) = x y f(b) = y.



Un espacio X se dice que es conexo por caminos o conexo por arcos sicada par de puntos de X se pueden unir mediante un camino en X .

Observacion 6.6.2. Dado que cualquier intervalo cerrado [a, b] es homeomorfoal intervalo [0, 1] (vease el Problema P.3.8). Por composicion, la definicion decamino se puede establecer diciendo que la aplicacion continua esta definida enel intervalo [0, 1]; de hecho en numerosas ocasiones, y por comodidad, ası loharemos.

Ejemplos

Ej.6.11. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une x e y, entonces La apli-cacion f : [0, 1] −→ (X, d) definida como f(t) = f(1 − t), es un caminoque une y con x (digamos, que cambia el sentido del camino).

Ej.6.12. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que va del punto x al punto y yg : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une y con z, definimos la aplicacion

(f ∗ g)(t) =

{f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2

g(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

f ∗g es un camino (es continua) que une x con z siguiendo el camino que vade x a y y, a continuacion de forma continua, el que une y con z. El caminof ∗ g recibe el nombre de yuxtaposicion de f y g.

Ej.6.13. La bola cerrada de radio unidad, centrada en cualquier punto de Rn, esdecir

Bn = B(x, 1) = {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1},

donde ‖x‖2 = ‖(x1, . . . , xn)‖2 = (x21 + · · ·+ x2n)1/2 es la norma euclıdea

(vease el Ejemplo Ej.1.41.), es conexa por caminos. En efecto, dados dospuntos x, y ∈ Bn, el segmento f : [0, 1] → Rn definido por

f(t) = (1− t)x+ ty

es continuo y esta contenido en Bn ya que

‖f(t)‖2 = ‖(1− t)x+ ty‖2 ≤ (1− t)‖x‖2 + t‖y‖2 ≤ 1.

Ej.6.14. Rn con la distancia usual es conexo por caminos.

Teorema 6.6.3. Todo espacio metrico conexo por caminos es tambien conexo.



DEMOSTRACION. -

Supongamos que X un espacio conexo por caminos pero no conexo. Por tantoexisten dos conjuntos no vacıos {A,B ⊂ X} que constituyen es una separacionde X , es decir X = A∪B y A y B estan separados. Sea f : [0, 1] → X un caminoen X . Como [0, 1] es conexo y f es continua, por el Teorema 6.4.1, el conjuntof([0, 1]) es conexo y, en consecuencia, debe estar contenido enteramente o bienen A, o bien en B (vease el Problema P.6.9). Por tanto, no existen caminos en Xque unan puntos de A con puntos de B lo cual es contrario con el hecho de queX sea conexo por caminos.

Teorema 6.6.4. Sea (X, d) un espacio metrico conexo por caminos, e (Y, d′) unespacio metrico. Si f : X −→ Y es una aplicacion continua, entonces f(X) esconexo por caminos.

DEMOSTRACION. - Si y1, y2 ∈ f(X), entonces f−1(y1), f−1(y2) ∈ X y como

X es conexo por caminos, existe g[0, 1] −→ X continua tal que g(0) = f−1(y1)y g(1) = f−1(y2). Entonces f ◦ g es un camino que conecta y1 con y2.

El recıproco del Teorema 6.6.3 anterior no es cierto en general, es decir, un espacioconexo no es necesariamente conexo por caminos; ası lo muestra el siguienteejemplo.

Ejemplos

Ej.6.15. Sean los subconjuntos de R2 siguientes:

A = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}, Bn = {( 1n, y) : 0 ≤ y ≤ 1} para cada n ∈ N.

Consideremos el punto P (0, 1) y el conjunto

C = A ∪ (∪n∈NBn) ∪ {p}

dotado con la topologıa inducida por la usual de R2 y cuya representaciongrafica puede ver el la Figura 6.4. Entonces X es conexo pero no es conexopor caminos.

(1) X es conexo. En efecto, tanto A como cada uno de los Bn es conexo porcaminos puesto que se trata segmentos y, por tanto segun el Teorema 6.6.3tambien son conexos. Ademas, para cada n ∈ N, A ∩ Bn = {(1/n, 0)},lo que implica que el conjunto A ∪ (∪n∈NBn) es union de conexos noseparados, y por tanto es conexo. Por ultimo P es un punto adherente aA ∪ (∪n∈NBn) ya que para todo ε > 0 existe n ∈ N con 1/n < ε porlo que, (1/n, 1) ∈ B(P, ε), entonces, segun el Teorema 6.2.11 (a), C esconexo.



Figura 6.4 – El Conjunto C es conexo pero no es conexo por caminos.

(2) C es no conexo por caminos. Para demostrar esto vamos a comprobarque cualquier camino f : [a, b] → C que comience en P , cumple quef(t) = P para todo t ∈ [a, b] y, por tanto, no existe ningun camino queuna P con otro punto de C. Esto ultimo sera consecuencia, a su vez, de quef−1(P ) es abierto y cerrado en [a, b] que es conexo, con lo cual tendremosque f−1(P ) = [a, b].

Como f es una aplicacion continua y {P} es un conjunto cerrado, f−1(P )es cerrado. Vamos a ver que f−1(P ) tambien es abierto. Consideremos unabola abierta centrada en P en el subespacio C. Esta bola sera la interseccionde una bola en R2 con C, B(P, r)∩C; y tomemos r < 1, de manera que nocorte al eje de abscisas. Sea un punto x0 ∈ f−1(B(P, r)∩C), entonces co-mo consecuencia de la continuidad de f , existe, en [a, b], una bola centradaen x0, B(x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(B(x0, δ)) ⊂ (B(P, r) ∩ C).Como B(x0, δ) es un intervalo, es conexo y, por tanto, f(B(x0, δ)) tam-bien lo es, por lo que no puede contener ningun punto distinto de P . De locontrario, si existe (1/m, s) ∈ (B(P, r)∩C) (0 < s ≤ 1), tomamos α ∈ Rtal que se cumpla 1/(m+ 1) < α < 1/m con lo que tenemos que

(−∞, α)× R y (α,+∞)× R

son dos abiertos disjuntos en R2, por lo que

[(−∞, α)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C) y [(α,+∞)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C)

constituyen una separacion de (B(P, r) ∩C. Como f(B(x0, δ)) es conexoy contiene a P , se tiene que

f(B(x0, δ)) ⊂ [(−∞, α)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C),



por lo que no contiene a

(1

m, s) ∈ [(α,+∞)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C)

y, por tanto, f(B(x0, δ)) = {P} lo que significa B(x0, δ) ⊂ f−1(P ) yf−1(P ) es abierto, que es lo que querıamos demostrar.

Ej.6.16. El espacio euclıdeo agujereado es Rn − {0}, con la distancia usual in-ducida; donde 0 es el origen en Rn. Si n > 1, este espacio es conexo porcaminos (y por tanto conexo): dados x, y ∈ Rn − {0} , podemos unir x e ymediante el segmento que ambos determinan, si este segmento no pasa porel origen. En caso de que ası ocurriera, podemos elegir otro punto z que noeste contenido en la recta que determinan x e y y a continuacion considerarel “segmento quebrado” que determinan x, z e y y ya tenemos un caminoque une los puntos x e y.

Sin embargo, si n = 1, entonces R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞) no esconexo, pues esta union es una separacion de R− {0}.

Ej.6.17. A partir del Ejemplo Ej.6.16. anterior, podemos concluir que R y R2,con las distancias usuales, no son homeomorfos. En efecto si existiera unhomeomorfismo f : R2 −→ R; y f(0, 0) = a; entonces la restriccion de fa R2 − {(0, 0)}, serıa un homeomorfismo entre este conjunto y R − {a},pero R2 − {(0, 0)} es conexo y, sin embargo R − {a} no lo es, en contradel Corolario 6.4.2.

Ej.6.18. La esfera unidad Sn−1 en Rn, o (n− 1)-esfera es la frontera de la bolade centro el origen y radio 1

Sn−1 = {x ∈ Rn : ‖x‖ = 1}.

Si n > 1, la (n − 1)-esfera Sn−1 es conexa por caminos ya que la apli-cacion g : (Rn − {0}) −→ Sn−1 definida por g(x) = x/‖x‖ es continua ysobreyectiva; y segun el Teorema 6.6.4, conexo por caminos.


P.6.17 Estudie si son homeomorfos la recta real y la circunferencia, con la dis-tancia usual. [I]

P.6.18 Sean An = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, , y = x/n} para cada n ∈ N; yB = {(x, 0) ∈ R2 : 1/2 ≤ x ≤ 1}.




(a)Haga una representaci on grafica del conjunto A = ∪n∈NAn y estudiesi es conexo por caminos y/o conexo.

(b)Idem para el conjunto A ∪B. [I]

P.6.19 Sea (X, d) un espacio metrico, M ⊂ X un subconjunto conexo y unaaplicacion continua f : M → R.

(a)Pruebe que si a ∈ M y α ∈ R es tal que f(a) < α entonces existeU ∈ Ua tal que f(x) < α para todo x ∈ M ∩ U .

(b)Supongamos que para todo entorno U ∈ Ua existen x, y ∈ U∩M talesque f(x) y f(y) son de signos opuestos; demuestre que f(a) = 0.

(c)Pruebe que si para a, b ∈ M , f(a) y f(b) tienen signos opuestos,existe c ∈ M tal que f(c) = 0. [I] [R]

P.6.20 Sea X un espacio metrico y A ⊂ X un subconjunto. Demuestre que todosubconjunto conexo P ⊂ X que corte a A y Ac, tambien corta a la fronterade A. [I] [R]

P.6.21 Sea X un espacio metrico, A,B ⊂ X dos cerrados tales que A ∩ B yA ∪ B son conexos. Pruebe que, entonces, A y B son conexos. Busque uncontraejemplo en R, con la topologıa usual, mostrando que la exigencia deque A y B sean cerrados es necesaria. [I] [R]

P.6.22 Sean A un subconjunto propio de X y B un subconjunto propio de Y .Si X e Y son conexos, demuestre que el conjunto (X × Y ) − (A×B) esconexo. [I] [R]

P.6.23 Un espacio metrico (X, d) es totalmente disconexo si para cada par depuntos distintos x, y ∈ X existen dos subconjuntos G,H ⊂ X separados,tales que x ∈ G e y ∈ H .

(a)Demuestre que el conjunto Q de los numeros racionales con la distan-cia inducida por la usual de R, es totalmente disconexo.

(b)Demuestre que las componentes conexas de un espacio totalmente dis-conexo son los conjuntos unipuntuales.

P.6.24 (Teorema del punto fijo). Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una aplicacion con-tinua. Demuestre que existe x0 ∈ [0, 1] tal que f(x0) = x0. [R]

P.6.25 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] −→ R continua, de manera quef(a) · f(b) < 0. demuestre que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

P.6.26 Si (X, d) es un espacio metrico, demuestre que X es conexo si, y solosi, para todo A X no vacıo, se cumple que Fr(A) 6= ∅. [I]














P.6.27 Sea (R2, du) y consideremos el conjunto

A = ((0, 1)× (0, 1)) ∪ {(0, q) : q ∈ Q, 0 ≤ q ≤ 1}.

¿Es A conexo? Justifique la respuesta.


Apendices

169

A

Completar un Espacio Metrico

Un procedimiento, digamos estandar, permite “completar” un espacio metricocualquiera. En este apendice vamos a desarrollar dicho procedimiento.

Sea (X, d) un espacio metrico. En el conjunto C de todas las sucesiones de Cauchyen X , definimos la siguiente relacion:

(xn)∞n=1 ∼ (yn)

∞n=1 si lım

nd(xn, yn) = 0.

Lema A.0.5. La relacion “∼” es una relacion de equivalencia.

DEMOSTRACION. -

La relacion es, claramente, reflexiva; es simetrica como consecuencia de la simetrıade la distancia; y se comprueba, facilmente, que es transitiva aplicando la de-sigualdad triangular. En efecto, si (xn)∞n=1 ∼ (yn)

∞n=1 e (yn)

∞n=1 ∼ (zn)

∞n=1, se

tiene lımn d(xn, yn) = lımn d(yn, zn) = 0; aplicando la desigualdad triangular

d(xn, zn) ≤ d(xn, yn) + d(yn, zn), para todo n ∈ N.

Como los terminos que forman las sucesiones de las distancias son positivos, setiene lımn d(xn, zn) = 0, lo que implica que (xn)

∞n=1 ∼ (zn)

∞n=1 y, en conse-

cuencia, la relacion es transitiva.

Consideremos el conjunto cociente X = C/∼, cuyos elementos denotaremos por[xn], indicando la clase de equivalencia de la sucesion (xn)

∞n=1; y definamos la

aplicacion ρ : X × X −→ R mediante

ρ([xn], [yn]) = lımn

d(xn, yn).

171

172

Lema A.0.6. La aplicacion ρ esta bien definida y es una distancia sobre X .

DEMOSTRACION. -

En primer lugar, senalemos que este lımite siempre existe, puesto que dado ε > 0,como (xn)

∞n=1 e (yn)∞n=1 son de Cauchy, existe n0 (podemos tomar el mismo para

las dos sucesiones) tal que si m,n ≥ n0 se tiene

d(xn, xm) ≤ ε

2y d(yn, ym) ≤ ε

2.

Por tanto, si tomamos n,m ≥ n0 y aplicamos una propiedad conocida de ladistancia, se tiene

|d(xn, yn)− d(xm, ym)| ≤ d(xn, xm) + d(yn, ym) <ε

2+

ε

2= ε,

lo que nos permite concluir que (d(xn, yn))∞n=1 es una sucesion de Cauchy en R.

La completitud de R nos garantiza que dicha sucesion es convergente.

Para terminar de comprobar que la definicion es consistente, queda demostrarque no depende de los representantes elegidos. Supongamos que [xn] = [x′n],[yn] = [y′n] y veamos que lımn d(xn, yn) = lımn d(x

′n, y

′n). Podemos poner

d(xn, yn) ≤ d(xn, x′n) + d(x′n, y

′n) + d(y′n, yn),

y como lımn d(xn, x′n) = lımn d(yn, y

′n) = 0 tenemos que

lımn

d(xn, yn) ≤ lımn

d(x′n, y′n).

De la misma forma

d(x′n, y′n) ≤ d(x′n, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y

′n),

lo nos lleva a quelımn

d(x′n, y′n) ≤ lım

nd(xn, yn).

De las dos desigualdades podemos concluir que

lımn

d(x′n, y′n) = lım

nd(xn, yn).

Por ultimo, tal y como se ha definido ρ, es claro que ρ es una funcion no negativay simetrica: ρ([xn], [yn]) ≥ 0 y ρ([xn], [yn]) = ρ([yn], [xn]). La desigualdadtriangular es una mera comprobacion a partir de la desigualdad triangular de ladistancia d.

Proposicion A.0.7. (X, d) es isometrico a un subespacio Y de (X, ρ).


A. Completar un Espacio Metrico 173

DEMOSTRACION. - Tomemos Y como el subconjunto de X formado por los ele-mentos que tienen por representante una sucesion constante y definimos la apli-cacion f : X −→ Y como f(x) = [x], donde [x] denota la clase de equivalenciaque tiene por representante la sucesion constante cuyos terminos son iguales a x.f es claramente una biyeccion y la siguiente igualdad

ρ([x], [y]) = lımn

d(x, y) = d(x, y)

implica que tambien es una isometrıa.

Observacion A.0.8. A partir de aquı podemos identificar X con Y .

Proposicion A.0.9. Se verifican:

(a) Toda sucesion (xn)∞n=1 de Cauchy en X es convergente en X y su lımite es,

precisamente, x = [xn], es decir, la clase de equivalencia determinada por(xn)

∞n=1.

(b) X es denso en X .

DEMOSTRACION. -

(a) Podemos identificar la sucesion (xn)∞n=1 con la sucesion (xn)

∞n=1 en X , donde

cada xn es la sucesion constante cuyos terminos son todos iguales a xn. Si proba-mos que para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 entonces ρ(xn, x) < ε,habremos probado que la sucesion (xn)

∞n=1 converge a x en X y, mediante la

identificacion de la Observacion A.0.8 anterior, habremos probado (a).

En efecto, como (xn)∞n=1 es de Cauchy en X , existe n0 tal que si m,n ≥ n0

entonces d(xn, xm) < ε/2. Tengamos en cuenta que, tal y como se ha definido larelacion, la clase de equivalencia de (xn)∞n=1 es la misma que la sucesion (xn)

∞n=m

que resulta de suprimir los m − 1 primeros terminos. Por tanto, fijado n ≥ n0,tenemos

ρ(xn, x) = lımm

d(xn, xm) ≤ ε

2< ε, para todo n ≥ n0,

luego (xn)∞n=1 converge a x.

(b) Segun el apartado (a) anterior, para todo x = [xn] ∈ X , la sucesion (xn)∞n=1

es de Cauchy en X y converge a x. Entonces x es un punto adherente a X y, portanto, X es denso (X = X).

Teorema A.0.10. (X, ρ) es un espacio metrico completo.

DEMOSTRACION. -

Tenemos que demostrar que toda sucesion de Cauchy en X es convergente en X .Sea (xn)

∞n=1 una sucesion de Cauchy en X , de modo que para todo ε > 0 existe


174

n0 tal que si n,m ≥ n0, se tiene que ρ(xn, xm) < ε/3. Observemos que podemostomar n0 > 3/ε para que se cumpla

1

n<

ε

3y

1

m<

ε

3.

Como X es denso en X , para cada xn existe un elemento xn ∈ X tal queρ(xn, xn) < 1

n (identificando xn, una vez mas, con la clase de equivalencia de-terminada por la sucesion constante cuyos terminos son todos iguales a xn). Deeste modo obtenemos una sucesion (xn)

∞n=1 en X que es de Cauchy; en efecto, si

n,m ≥ n0 tenemos

d(xn, xm) = ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, xn)+ρ(xn, xm)+ρ(xm, xm) ≤ 1

n+ε

3+

1

m< ε.

Entonces (xn)∞n=1 converge a un punto x ∈ X que es precisamente x = [xn].

Veamos que lımn xn = x, con lo que habra terminado la demostracion. Como(xn)

∞n=1 converge a x, existe m0, que podemos tomar mayor o igual que n0, tal

que si n ≥ m0 se tiene ρ(xn, x) < ε/3. Entonces tomando n,m ≥ m0 tendremos

ρ(xn, x) ≤ ρ(xn, xn) + ρ(xn, xm) + ρ(xm, x) <1

n+

ε

3+

ε

3<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε,

con lo que lımn xn = x, concluyendo la demostracion.

Teorema A.0.11. Sea (X, d) un espacio metrico y (X, ρ) el completado de X .Entonces cualquier otro espacio (Y, δ) completado de X es isometrico a X .

DEMOSTRACION. -

Podemos contemplar X como un subespacio de Y , X = Y , luego para todoy ∈ Y existe una sucesion (xn)

∞n=1 ⊂ X convergente a y que es, por tanto, de

Cauchy. Definimos entonces la aplicacion f : Y −→ X como f(y) = [xn],la clase de equivalencia determinada por la sucesion (xn)

∞n=1. La aplicacion f

esta bien definida pues si (zn)∞n=1 es otra sucesion en X que converge a y, setiene lımn d(xn, zn) = 0 por lo que [xn] = [zn].

Por otra parte, f es sobreyectiva pues si [zn] ∈ X , entonces (zn)∞n=1 es una suce-sion de Cauchy en X ⊂ Y que, por la completitud de Y , converge a algun puntoz ∈ Y , de modo que f(z) = [zn]. Por ultimo, veamos que f es una isometrıa.Sean y, z ∈ Y , que seran lımites de dos sucesiones en X , (yn)∞n=1 y (zn)

∞n=1

respectivamente; entonces

ρ(f(y), f(z)) = ρ([yn], [zn]) = lımn

d(xn, yn) = lımn

δ(yn, zn)

= δ(lımn

yn, lımn

zn) = δ(y, z),

con lo que concluye la prueba.


B

Construccion de los numerosreales.

En el conjunto C de las sucesiones de Cauchy de numeros racionales definimos larelacion siguiente: si (xn)∞n=1 e (yn)

∞n=1 son dos sucesiones de C entonces

(xn)∞n=1 ∼ (yn)

∞n=1, si lım

n(xn − yn) = 0.

Esta relacion es de equivalencia. En efecto, claramente es reflexiva y simetrica.Tambien es transitiva pues si (xn)∞n=1 ∼ (yn)

∞n=1 y (yn)

∞n=1 ∼ (zn)

∞n=1 tenemos

lımn(xn − yn) = lım

n(yn − zn) = 0,

y aplicando propiedades conocidas de las sucesiones:

lımn(xn − zn) = lım

n(xn − yn + yn − zn) = lım

n(xn − yn) + lım

m(yn − zn) = 0,

lo que implica que (xn)∞n=1 ∼ (zn)

∞n=1.

El conjunto cociente C/ ∼ sera denotado por R. Si x ∈ R es una clase de equiva-lencia y (xn)

∞n=1 es un representante de dicha clase, escribiremos x = [xn].

Vamos a ver que R es un cuerpo ordenado, arquimediano y completo. En primerlugar establezcamos un resultado “tecnico” que utilizaremos mas adelante.

Lema B.0.12. Si (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy de numeros racionales queno converge a 0 entonces existe un racional ε0 > 0 y n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 secumple que |xn| > ε0.

175

176

DEMOSTRACION. -

Como (xn)∞n=1 no converge a 0, existe un numero racional ε0 > 0 tal que para

todo n ∈ N se puede encontrar un numero m ≥ n tal que |xm| > 2ε0. Por otraparte, (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy, luego para dicho ε0 existe n0 ∈ N talque si n,m ≥ n0 se tiene |xn − xm| < ε0, es decir

xm − ε0 < xn < xm + ε0.

Tomemos m ≥ n0 de tal modo que |xm| > 2ε0, lo cual implica que o bienxm > 2ε0, o bien xm < −2ε0. Si n ≥ n0 y se da la primera posibilidad, tenemos

ε0 = 2ε0 − ε0 < xm − ε0 < xn;

por el contrario, si ocurre lo segundo, nos queda

xn < xm + ε0 < −2ε0 + ε0 = −ε0,

y de las dos ultimas desigualdades se deduce que |xm| > ε0.

Suma y producto

Dados dos elementos x = [xn], y = [yn] ∈ R, definimos las siguientes opera-ciones:

· Suma: x+ y = [xn + yn]

· Producto: xy = [xnyn]

Veamos que las definiciones son consistentes. En efecto, si [x′n] e [y′n] son otrosrepresentantes de x e y respectivamente, comprobemos que [x′n + y′n] define lamisma clase de equivalencia que [xn + yn]. Como [xn] = [x′n] e [yn] = [y′n] secumple

lımn(xn − x′n) = lım

n(yn − y′n) = 0,

luego

lımn(xn + yn − (x′n + y′n)) = lım

n(xn − x′n) + lım

n(yn − y′n) = 0,

lo que implica que x+ y = [xn + yn] = [x′n + y′n].

De forma similar para el producto podemos poner

xnyn − x′ny′n = xnyn − xny

′n + x′nyn − x′ny

′n = xn(yn − y′n) + x′n(yn − y′n)

y como toda sucesion de Cauchy es acotada y el producto de una sucesion conver-gente a 0 por otra acotada, converge a 0, tenemos que lımn(xnyn − x′ny

′n) = 0,

con lo que xy = [xnyn] = [x′ny′n].



Proposicion B.0.13. R con las operaciones suma y producto es un cuerpo.

DEMOSTRACION. -

Es facil comprobar queR con la suma es un grupo abeliano aditivo cuyo elementoneutro es 0 = [0], la clase de equivalencia de la sucesion constante con todos susterminos iguales a 0. Tampoco ofrece dificultad probar que R con el productoes un grupo abeliano multiplicativo cuyo elemento neutro es 1 = [1], la clasede equivalencia de la sucesion constante cuyos terminos son iguales a 1. Soloveremos que todo elemento x ∈ R distinto de 0, tiene un inverso que denotaremospor x−1. Si x = [xn] la sucesion (xn)

∞n=1 es de Cauchy y no converge a 0; segun

el Lema B.0.12 existe un numero racional ε0 > 0 y un numero n0 ∈ N tales que sin ≥ n0, entonces |xn| > ε0, es decir, xn 6= 0, de tal modo que para todo n ≥ n0

existe x−1n = 1/xn. Definimos entonces la sucesion (xn)

∞n=1y como

yn =

0 si n < n0

x−1n =

1

xnsi n ≥ n0

Esta sucesion verifica:

(A) (yn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy.En efecto, dado un numero racional ε > 0, por ser (xn)

∞n=1 una sucesion de

Cauchy, existe m0 ∈ N, que podemos tomar m0 ≥ n0, tal que |xp − xq| < ε20ε sip, q ≥ m0; por tanto, podemos escribir

|yp − yq| =∣∣∣∣ 1xp − 1

yq

∣∣∣∣ = |xp − xq||xp||xq|

<|xp − xq|

ε20<

ε20ε

ε20= ε.

(B) [yn] es el inverso de [xn].Para probar que [xnyn] = [1] vamos a demostrar que lımn(xnyn − 1) = 0. Sin ≥ n0 tenemos que xnyn − 1 = xnx

−1n − 1 = 0, es decir, (xnyn)∞n=1 es la

sucesion constante 1 a partir del termino n0.

El resto de propiedades de cuerpo son de comprobacion inmediata.

Diremos que un elemento x = [xn] ∈ R es positivo si existe un racional ε0 > 0y un numero n0 ∈ N tales que si n ≥ n0 se verifica xn > ε0; en este casoescribiremos x > 0. Esta definicion no depende del representante elegido; enefecto, si [x′n] = x es otro representante de x y consideramos ε0 > 0, existe m0,que podemos tomar m0 > n0, tal que si n > m0 entonces |xn − x′n| < ε0/2, dedonde se deduce que

x′n = xn − (xn − x′n) > ε0 −ε02

= ε0,

con lo que queda clara la independencia del representante elegido.


178

Proposicion B.0.14. R es un cuerpo totalmente ordenado.

DEMOSTRACION. -

Dados x, y ∈ R, definimos la siguiente relacion:

x ≤ y si, y solo si, x− y ≥ 0,

entendiendo que “x− y ≥ 0” si x− y es positivo o 0.

Veamos que es una relacion de orden total. En primer lugar, es claramente re-flexiva. En cuanto a la antisimetrıa, si x ≤ y e y ≤ x, podemos suponer quex − y > 0, pues si x − y = 0, entonces x = y (por ser R un cuerpo) y no habrıanada que probar. Entonces existe ε0 > 0 y n0 tales que si n ≥ n0, se tiene quexn − yn > ε0. Analogamente, si suponemos y − x > 0, existe ε′0 > 0 racional yn′0 tales que si n ≥ n′

0 se tiene que yn − xn > ε′0. Si tomamos ε′′0 = mın{ε0, ε′0}y n ≥ max{n0, n

′0}, se verifican ambas desigualdades a la vez, es decir

xn − yn > ε′′0 e yn − xn > ε′′0,

y la segunda desigualdad es equivalente a xn − yn < −ε′′0 , lo cual es una con-tradiccion, con lo que tendremos x = y.

Tambien satisface la propiedad transitiva; supongamos x ≤ y e y ≤ z. Si x = yno hay nada que probar y lo mismo sucede si y = z, de modo que supongamosque y − x > 0 y que z − y > 0. Entonces

existen ε0 > 0 racional y n0 tales que n ≥ n0 implica yn − xn > ε0 y

existen ε′0 > 0 racional y n′0 tales que n ≥ n′

0 implica zn − yn > ε′0;

si, como en el caso anterior tomamos ε′′0/2 = mın{ε0, ε′0} y n ≥ max{n0, n′0} se

verifican ambas desigualdades a la vez y tendremos

zn − xn = zn − yn + yn − xn >ε′′02

+ε′′02

= ε′′0,

con lo que z − y > 0 y por tanto x ≤ z.

Solo nos resta demostrar que el orden es total, es decir, que si x, y ∈ R entoncesbien x ≤ y, bien y ≤ x. Si uno de ellos es 0 o son iguales, no hay nada queprobar. Supongamos entonces que x e y son distintos y ninguno de ellos es 0. Six = [xn] e y = [yn], se tiene que [yn − xn] 6= [0] y (xn − yn)

∞n=1 es una sucesion

de Cauchy que no converge a 0. Por el Lema B.0.12 se tiene que bien x ≤ y, bieny ≤ x. Con lo que termina la demostracion de la proposicion.

Proposicion B.0.15. El cuerpo ordenadoQ de los numeros racionales es isomor-fo a un subcuerpo de R. Es decir, existe un subcuerpo R ⊂ R y una aplicacionf : Q −→ R que verifica:



(a) f es biyectiva.

(b) f(p+ q) = f(p) + f(q) para todo p, q ∈ Q.

(b) f(pq) = f(p)f(q) para todo p, q ∈ Q.

(d) Si p ≤ q, entonces f(q) ≤ f(q).

DEMOSTRACION. -

Si tomamos R el subconjunto de R formado por los elementos que tienen porrepresentantes a sucesiones constantes, es facil ver que es un subcuerpo. De mo-do que definimos f : Q −→ R como f(p) = (p) la sucesion constante p; esinmediato probar que f es biyectiva. La demostracion del resto de propiedades sereduce a una mera comprobacion. Veamos, por ejemplo, la propiedad (d). Si p ≤ qtenemos que bien p = q, y no hay nada que probar, bien q − p es positivo; en estecaso, las sucesion constante f(q) − f(p) tambien es positiva, lo que implica quef(p) ≤ f(q).

A partir de aquı podemos identificar Q con el subcuerpo R. Tambien podemosdefinir el valor absoluto como

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

Se comprueban, tambien facilmente, las propiedades conocidas del valor absolutoy que (R, | |) es un espacio metrico. Antes de demostrar que se trata de un espaciometrico completo, veamos dos resultados interesantes.

Proposicion B.0.16. Sean x, y ∈ R tales que x < y. Entonces existe q ∈ Q demanera que x < q < y.

DEMOSTRACION. -

Sean x = [xn] e y = [yn]. Como x < y, existen un racional ε > 0 y un natural n0

tales que si n ≥ n0 se cumple que yn − xn > ε.

Por otra parte, las sucesiones (xn)∞n=1 e (yn)∞n=1 son de Cauchy, por lo que existem0 ≥ n0 (que podemos tomar el mismo para las dos), tal que si m,n ≥ m0, secumplen las desigualdades:

|xn − xm0 | <ε

4y |yn − ym0 | <

ε

4,

que es equivalente a

xm0 −ε

4< xn < xm0 +

ε

4y ym0 −

ε

4< yn < ym0 +

ε

4.


180

Tomemos q = 12xm0+ym0 y veamos que este racional verifica la tesis del teorema.

Si n ≥ m0 se verifica

q − xn =1

2xm0 + ym0 − xn >

1

2xm0 + ym0 − xm0 −

ε

4

=1

2(ym0 − xm0)−

ε

4>

ε

2− ε

4=

ε

4,

lo que significa que [xn] < [q]. De forma analoga se comprueba que si n ≥ m0

entonces yn − q > ε/4, con lo que [q] < [yn].

Proposicion B.0.17. Se verifican:

(a) Toda sucesion (xn)∞n=1 de Cauchy en Q es convergente en R y su lımite es

precisamente x = [xn], es decir, la clase de equivalencia determinada por(xn)

∞n=1.

(b) Q es denso en R.

DEMOSTRACION. -

(a) Tenemos que demostrar que para todo numero real ε > 0 existe n0 tal que sin ≥ n0, entonces |xn − x| < ε.

Segun la Proposicion B.0.16, existe un racional ε′ > 0 cumpliendo 0 < 2ε′ < ε.Como (xn)

∞n=1 es de Cauchy en Q, existe n0 tal que si m,n ≥ n0 se cumple

|xn − xm| < ε′, lo que es equivalente a que −ε′ < xn − xm < ε para todon,m ≥ n0. Tomemos k ≥ n0 fijo. Entonces si m ≥ n0 podemos escribir

2ε′ − (xk − xm) > 2ε′ − ε′ = ε′,

lo que significa que los numeros reales [xk − xm] = [xk]− [xm] y [2ε′] cumplen[xk−xm] = [xk]−[xm] < [2ε′] (se entiende que, al haber fijado k, (xk) representala sucesion constante con todos sus terminos iguales a xk y [xm] es la clase deequivalencia de (xn)

∞n=1, ya que (xm) representa la sucesion (xn)

∞n=1 a partir del

termino n0). Por tanto, [xk − xm] = [xk] − [xm] es un representante del numeroreal xk − x, y ası tenemos xk − x < 2ε′. Teniendo en cuenta que esto se puedehacer para todo k ≥ n0 concluimos que

xn − x < 2ε′ < ε, para todo n ≥ n0.

De nuevo fijando k ≥ n0 y tomando m ≥ n0 obtenemos que

2ε′ − (xm − xk) > 2ε′ − ε′ = ε′,

y con un razonamiento similar al anterior se concluye que

x− xn < 2ε′ < ε, para todo n ≥ n0,



lo que significa que

|xn − x| < ε para todo n ≥ n0,

y concluye la demostracion.

(b) Segun el apartado (a) anterior, para todo x = [xn] ∈ R, la sucesion (xn)∞n=1 es

de Cauchy en Q y converge a x, con lo que tenemos que x es un punto adherentea Q. Por tanto, Q es denso (Q = R).

Teorema B.0.18. (R, | |) es un espacio metrico completo.

DEMOSTRACION. -

Sea (xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy en R. Entonces para todo real ε > 0, existe

n0 tal que si n,m ≥ n0 se tiene que |xn − xm| < ε/3. Observemos que podemostomar n0 > 3/ε para que se cumpla 1/n < ε/3 y 1/m < ε/3.

Por otra parte, para cada n ∈ N se tiene xn < xn + 1/n de modo que, segun laProposicion B.0.16, existe un racional qn tal que xn < qn < xn + 1/n, con loque tenemos definida una sucesion (xn)

∞n=1q que es de Cauchy en Q. En efecto,

si n,m ≥ n0 tenemos

|qn− qm| ≤ |qn−xm|+ |xm−xn|+ |xn− qn| <1

m+

ε

3+

1

n<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

Entonces la Proposicion B.0.17 asegura que (xn)∞n=1q es una sucesion de Cauchyen R que converge a x = [qn]. Vamos a probar que la sucesion (xn)

∞n=1 tambien

tiene por lımite a x. Como lımn qn = x, para todo ε′ > 0 real existe m0 (de nuevolo podemos tomar m0 > 2/ε′) tal que si n > m0 se cumple que |qn − x| < ε′/2.Entonces tomando n > m0 podemos poner

|xn − x| ≤ |xn − qn|+ |qn − x| < 1

n+

ε′

2<

ε′

2+

ε′

2= ε′,

y, por tanto, lımn xn = x.


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topologia-pedro jose herrero piñeyro

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