UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE – FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C.C.

28/11/08 TÓPICOS DE MATEMÁTICA II

P.E.P.2

NOMBRE:………………………………………………………………………………………… RUT:……………………………. Observaciones :

Celulares apagados No se aceptan consultas respecto de contenidos de la prueba Las pruebas desarrolladas con lápiz de mina no tienen derecho a apelación Tiempo para el desarrollo de la prueba 90 minutos 1.- Sea C la curva abierta definida por la ecuación ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2z zz z i z i z+ + = − + + desde el punto 1z = hasta 2 2z i= +

a) Parametrizar la curva C b) Escriba la integral ( )2 2

C

z dz z dz+∫ en la forma ( , ) ( , )C

P x y dx Q x y dy+∫

c) Evalúe la integral de item b)

2.- a) Calcule la integral 3 2

2

( )

5 3

z

z

e sen z dz

z z z

π−

= − − −∫ usando fórmulas de Cauchy

b) Use teorema del residuo y calcule el valor de la integral de item a) para la curva C que es caracretizada por 4z =

3.- Use métodos de variable compleja y calcule el valor de la integral

22

20 5 3cos

sen xdxx

Iπ

+= ∫

1.- a) Sea

( )2 2

2 2

(2 2 )( ) (2 2 )( )

( ) ( )

z x iy z z i x iy i x iy x x y

con x t y t t z t t i t t

= + ⇒ + = − + + + − ⇒ = +

= ⇒ = − ⇒ = + −

[ ]1,2t∈

b)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( 2 2 ) ( 2 2 )

2( ) 4

z dz z dz x iy dx idy x iy dx idy

x ixy y x iyx y dx ix yx iy ix yx iy dy

x y dx yxdy

+ = − + + + −= − − + + − + + − − + +

= − +

entonces 2 2 2 22( ) 4C C

z dz z dz x y dx xydy+ = + +∫ ∫

c) como 2 (2 1)x t dx dt y t t dy t dt= ⇒ = = − ⇒ = − la integral queda 2 2 2 22( ) 4

C C

z dz z dz x y dx xydy+ = + +∫ ∫ =

2 2

2 2 2 2 4 3 2

1 1

2( ( ) ) 4 ( )(2 1) (6 8 4 ) 248 /15t t t dt t t t t dt t t t dt− − + − − = − + =∫ ∫

2.- a) 3 2

2

( )

5 3

z

z

e sen z dz

z z z

π−

= − − −∫ = 2

2

( )2 ( 1)

( 3)( 1)

z

z

e sen z dzi f

z z

π π−

=

′= −− +∫ donde

( )

( )3

ze sen zf z

z

π−

=−

entonces

( )( )( )

( )2

cos 3( ) ( 1)

43

z ze z sen z z e sen z ef z f

z

π π π π π− −− − −′ ′= ⇒ − =

−

Por lo tanto

3 2

2

( )

5 3

z

z

e sen z dz

z z z

π−

= − − −∫ =2

2

i eπ

b) 3 2

2

( )

5 3

z

z

e sen z dz

z z z

π−

= − − −∫ = ( )2 ( 1) ( 3)i res z res zπ = − + =

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

21

23

( 1) lim 141 3

( 3) lim 3 01 3

z

z

z

z

d e sen z eres z z

dz z z

e sen zres z z

z z

π π

π

−

→−

−

→

= − = + =

+ −

= = − =

+ −

Entonces sumando resulta3 2

2

( )

5 3

z

z

e sen z dz

z z z

π−

= − − −∫ =2

2 016 2

e i ei

π ππ + =

2

22

0

2

2

, usando análisis complejo5 3cos

Solución: El integrando en es una función racional en y cos .

se puede calcular expresando dicha integral como una in

Calcular el valor de 3. sen x

dxx

senx x

I

I

I

π

+= ∫

1

2

tegral de contorno a lo largo

de una circunferencia de radio unitario.

1Sea , 0 2 ; 1 ; ;

cos ; cos

1 1 1 1cos ( ) ; ( ) ;

2 2

1 1( )

2

i x ixz e x z dz ie dx dx dz

iz

z x isenx z x isenx

x z senx zz i z

sen x zi z

π

−

= ≤ ≤ = = =

= + = −

= + = −

= −

2 2

2

2 2 22

2 2

2

2 2

2 2

1

2 2

21

1 ( 1)

14

1 15 3 ( )

2

1 1 1 ( 1)( 2)

4 4

Reemplazando en se obtiene:

( 1)

2 (3 10 3)

El integrando presenta singularidades en los puntos tales que

(3 10

zz

z

zdz

izz

z

zz

z z

i zdz

z z z

z

z z z

I

I=

=

−−

=

+ ⋅ +

−= − + − = −

−+ +

+ +

= ∫∫

1

2

1 2,3

2 2 2 3 3 3

1 3

2

13) 0 0 ( raíz doble) 3 10 3 0 ( 5 4)

3

1 13 , 3 1, ; , 1 ,

3 3

Sólo y están en el interior de : 1

Aplicando el Teorema del Residuo, se tiene: 2 Re ( ) Rez

z z z z

z z z C z z z C

z z C z

i s f z sI π

= ⇔ = ∨ + + = ⇔ = − ±

= − = > ∉ = − = < ∈

=

= +( )

( )

3

1

3

2 2

2 2

2 2 2 22

2 2 20 0

2 2

21 1

3 3

( )

( 1)con ( ) ;

2 (3 10 3)

( 1) ( 1) 5Re ( ) lim 0 lim

2 (3 10 3) 2 (3 10 3) 9

1 ( 1) (Re ( ) lim lim

2 3 (3 10 3) 2

z

zz z

zz z

f z

i zf z

z z z

d i z i d z is f z z

dz z z z dz z z

i z is f z z

z z

→ →

→− →−

−=+ +

− −= − = = − + + + +

− = + = + +

2 2

2

2

1) 4

3 ( 3) 9

5 4 2Finalmente: 2 ( )

9 9 9

z i

z z

i iiI

ππ

− =+

− + == �