tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (Trong các kỳ thi Đại Học Toàn Quốc )

-----------��&��------------ A- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: 1) (ĐHB-02) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x- = - Gợi ý: TXĐ: D R= Dùng công thức hạ bậc:

( )

1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12(1) cos6 cos8 cos10 cos122 2 2 2

cos 0 2cos7 .cos 2cos11 .cos 2cos cos11 cos7 0

cos11 cos7

- + - +Û - = - Û + = +

=éÛ = Û - = Û ê =ë

x x x x x x x x

xx x x x x x x

x x

2) (Dự bị 02) 4 4sin cos 1 1cot25sin2 2 8sin2x x x

x x+

= -

Gợi ý: TXĐ: \2

D R k pì ü= í ýî þ

Dùng kết quả 4 4 21sin cos 1 sin 22

x x x+ = -

( )

22

2 2

11 sin 2 cos2 12(1) 8 4sin 2 20cos2 55sin2 2sin2 8sin2

4 1 cos 2 20cos2 13 0 4cos 2 20cos2 9 0

-Û = - Û - = -

Û - + - = Û - + - =

x x x xx x x

x x x x

3) (Dự bị 02) 2

44

(2 sin )sin3tan 1cos

x xxx

-+ = hay

24

4

(2 sin 2 )sin3tan 1cos

x xxx

-+ =

Gợi ý: TXĐ: \2

D R kp pì ü= +í ýî þ

Sử dụng công thức nhân ba: 3sin3 3sin 4sinx x x= - 4 2

4 4 24 4

4 4 2 3

4 2 2 2 3

sin (2 sin )sin3(1) 1 sin cos (2 sin )sin3cos cos

sin cos (2 sin )(3sin 4sin )sin (1 sin ) (2 sin )(3sin 4sin )

x x x x x x xx x

x x x x xx x x x x

-Û + = Û + = -

Û + = - -

Û + - = - -

4) (Dự bị 02) 2tan cos cos sin (1 tan tan )2xx x x x x+ - = +

Gợi ý: TXĐ: \ ; 22

D R k kp p p pì ü= + +í ýî þ

2

2

2(1) . .

2

22 . . .2 2

2

sinsintan cos cos sin sin

cos cos

sinsintan cos cos sin sin cos

cos cos

Û + - = +

Û + - = +

xxx x x x x xx

xx x xx x x x xx

http://www.vietmaths.com/



2 22 (1 )2

2sin .sin cos sin tan cos cos sin tan cos cos sin

cos cos

-Û + - = + Û + - = +

x x x xx x x x x x x xx x

2

2 2

. (1 )

00

1

sin cos cos sin tan cos cos

coscos (lo¹i)

tan cos cos tan cos coscos

+ -Û + - =

=éÛ + - = Û - = Û ê =ë

x x x xx x xx

xx x x x x x

x

5) (Dự bị 02) 2

1 sin8cos

xx

=

Gợi ý: TXĐ: \2


22

00 0 20 2(1) 1 1 228 . 1

8 4 222

2 22

sin

sin sinsin sinsin sinsin cos

cossin

xx xx x

x xx xx

x

³ìï³ ³ éì ì ï³ìï ï ï =êÛ Û Û Ûí í í íê= ==îï ï ïêîî ï = -êïëî

* Với 2 82328

sinx k

xx k

p p

p p

é = +ê= Û ê

ê = +êë

Đối chiếu điều kiện 0sinx ³ ta nhận được các nghiệm là: 32 ; 28 8

x m x mp pp p= + = +

Tương tự, với trường hợp 222

sin x = - .

6) (ĐHA-03) 2cos2 1cot 1 sin sin21 tan 2

xx x xx

- = + -+

Gợi ý: TXĐ: \ ;2 4

D R k kp p pì ü= - +í ýî þ

( ) ( )

( )

2

2

2

cos2 .cos 1(1) cot 1 sin sin2sin cos 2

cos sin cos sin .coscos sin 1 sin sin2sin sin cos 2

cos sin 1 cos sin 1 cos sin .cos sin sin2 1 sin .cos sin2sin 2 sin 2

cos sin sin

Û - = + -+

- +-Û = + -

+- -

Û = - + - Û = - -

-Û

x xx x xx x

x x x x xx x x xx x x

x x x xx x x x x x x xx x

x xx

( )

( ) ( )

21 sin 2 cos sin cos sin sin

cos sin cos sin sin 1 0

= - Û - = -

Û - é - - ù =ë û

x x x x x x

x x x x x 7) (Dự bị 03) 3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x- + + =

Gợi ý: TXĐ: \ ;2 4

D R k kp p pì ü= - +í ýî þ




( ) ( ) ( )

( ) ( )22

sin 1 2cossin 2sin cos(1) 3 6cos tan . 0 3 1 2cos tan 0cos cos

1 2cos 01 2cos 3 tan 0

3 tan 0

++Û + - = Û + - =

+ =éÛ + - = Û ê - =ë

x xx x xx x x xx x

xx x

x

8) (Dự bị 03) 2cos2 cos (2tan 1) 2x x x+ - =

Gợi ý: TXĐ: \2


2 2

2 3 2

1 2(1) cos2 cos 2 1 1 2 cos2 cos 3 2cos cos

22cos 1 3cos 2 2cos 3cos 3cos 2 0cos

é ùæ ö æ öÛ + - - = Û + - =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

Û - + - = Û - - + =

x x x xx x

x x x x xx

9) (ĐH B-03) 2cot tan 4sin2sin2

x x xx

- + =

Gợi ý: TXĐ: \2


( )

( )

2

2

2

2 cos 2(1) 4 2 4 22 cos 2

cos 2 2cos 2 24 2 4 2.cos 2 2 2

2cos 2 4 2 2 cos 2 2 1 cos 2 1 0

cos 2 12cos 2 cos 2 1 0

x xx x x xx x x x

x x xx xx x x x x

x x x x

xx x

æ öÛ - + = Û - + =ç ÷è ø

-Û + = Û + =

Û + = Û + - - =

=Û - + + = Û

2

2

sincot tan sin sin

sin sin sin

sinsin sin

sin sin sin sin

sin

( lo¹i )

1cos 22

x

éêê = -ë

10) (Dự bị 03) 6 23cos4 8cos 2cos 3 0x x x- + + = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

(1) 3 1 cos4 2cos 1 4cos 0 6cos 2 2cos 1 2cos 1 2cos 0

6cos 2 2cos 1 2cos cos2 0 2cos2 3cos2 2cos 1 2cos 0

cos2 0 cos2 0

3cos2 2cos 1 2cos 0 3 2cos 1 2cos 1 2cos 0

Û + + - = Û + - + =

é ùÛ - + = Û - + =ë û= =é é

Û Ûê ê- + = - - + =ê êë ë

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

11) (Dự bị 03) ( ) 22 3 cos 2sin

2 4 12cos 1

xx

x

pæ ö- - -ç ÷è ø =

-

Gợi ý: ĐK: 2

32cos 1 02

3

x kx

x k

p p

p p

ì ¹ +ïï- ¹ Û íï ¹ - +ïî

(1) (2 3)cos 1 cos 2cos 1 3cos sin 02

tan 33

p

p p

é ùæ öÛ - - - - = - Û - + =ç ÷ê úè øë û

Û = Û = +

x x x x x

x x k




Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 4 23

x kp p= +

12) (ĐHD-03) 2 2 2sin tan cos 02 4 2

pæ ö- - =ç ÷è ø

x xx

Gợi ý: TXĐ: \2


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

22

2

1 1 sin(1) 1 cos tan 1 cos 0 1 sin . 1 cos 02 2 2 cos

1 cos 1 cos 1 cos1 sin . 1 cos 0 1 cos 1 0

1 sin 1 sin 1 sin

1 cos 0cos 1 cos

1 cos1 0 1 cos 1 sin

1 sin

pé ùæ öÛ - - - + = Û - - + =ç ÷ê úè øë ûé ù- + -

Û - - + = Û + - =ê ú- + -ë û+ =é

= - =éêÛ Û Û- êê - = - = -ëê -ë

xx x x x xx

x x xx x x

x x x

xx x

xx x

x

1tan 1

-éê =ë x

13) (Dự bị 03) 2cos (cos 1) 2(1 sin )

sin cosx x xx x

-= +

+

Gợi ý: TXĐ: \ 24

D R kp pì ü= - +í ýî þ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 ( 1) 1 ( 1)(1) 2(1 ) 0 (1 ) 2 0

1 0 11 ( 1) 2 1 2

11 0

sin sin cos sin cossin sin

sin cos sin cos

sin sin

sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos

sin

sin cos sin cos (P

- + - é - - ùÛ - + = Û + - =ê ú+ +ë û

+ = = -é éÛ Ûê ê- - = + - + + - = +ë ë

= -Û

+ - + =

x x x x xx x

x x x x

x xx x x x x x x x x x

xx x x x h¬ng tr×nh ®èi xøng)

éêë

14) (Dự bị 03) 2cos4cot tansin2

xx xx

= +

Gợi ý: TXĐ: \2


( )

2 4 2 4(1)2 2

2 4 2 4 2 4. 2 . 2 2

2 4 2 1

12 1 0

2 2

2

2

cos cos sin coscot tan

sin sin cos sin

cos sin cos cos2 cos 2cos2 cos

sin cos sin sin cos sin sin2 sin

cos cos2 cos 2 cos2

cos2 cos 2 cos2

Û - = Û - =

-Û = Û = Û =

Û = Û - =

=Û - - = Û

x x x xx xx x x x

x x x x x x xx x x x x x x xx x x x

xx x 1

2

(Tháa ®k)

cos2 (Tháa ®k)

éêê = -ë

x

15) (ĐHB-04) 25sin 2 3(1 sin )tanx x x- = -

Gợi ý: TXĐ: \2





( ) ( )

2 2

2

22

sin sin(1) 5sin 2 3(1 sin ) 5sin 2 3(1 sin )cos (1 sin )(1 sin )

sin5sin 2 3 5sin 2 1 sin 3sin(1 sin )

Û - = - Û - = -- +

Û - = Û - + =+

x xx x x xx x x

xx x x xx

16) (ĐHD-04) (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x- + = - Gợi ý: TXĐ: D R=

[ ]

(1) (2cos 1)(2sin cos ) 2sin .cos sin(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)(2cos 1) (2sin cos ) sin 0

2cos 1 0(2cos 1)(sin cos ) 0

sin cos 0

Û - + = -Û - + = -

Û - + - =

- =éÛ - + = Û ê + =ë

x x x x x xx x x x xx x x x

xx x x

x x

17) (ĐHA-05) 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x- = Gợi ý: TXĐ: D R=

( )

1 1 2(1) . 2 0 . 2 1 02 2

1 1 0 2 02

cos6 coscos cos6 cos

cos8 cos4 cos8 cos4

+ +Û - = Û - =

Û + - = Û + - =

x xx x x

x x x x

12 1 2 0 2 3 0 3

2

2 2

cos4cos 4 cos4 cos 4 cos4

cos4 (lo¹i)

=éêÛ - + - = Û + - = Ûê = -ë

xx x x x

x

18) (ĐHB-05) 1 sin cos sin2 cos2 0x x x x+ + + + = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

(1) 1 sin2 sin cos cos2 0

sin cos sin cos cos sin cos sin 0

sin cos sin cos 1 cos sin 0

sin cos 0sin cos 2cos 1 0

2cos 1 0

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x xx x x

x

Û + + + + =

Û + + + + + - =

Û + é + + + - ù =ë û+ =é

Û + + = Û ê + =ë

19) (ĐHD-05) 4 4 33 04 4 2

x x x xp pæ ö æ ö+ + - - - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

cos sin cos sin

Gợi ý: TXĐ: D R=

( )

1 3(1) 1 3 02 4 4 2

1 11 02 2 21 1 1 1 1 11 0 1 1 2 02 2 2 2 2 2

x x x

x x x

x x x x x x

p p

p

æ ö æ ö æ öÛ - + - - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

é ùæ ö æ öÛ - + - + =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûæ öÛ - - + = Û - - - + =ç ÷è ø

2

2

2 2 2

sin 2 sin cos

sin 2 sin 4 sin2

sin 2 cos4 sin2 sin 2 sin 2 sin2

20) (Dự bị 05) 32 2cos 3cos sin 04

x x xpæ ö- - - =ç ÷è ø





( ) ( )

3

3

(1) 2 3 04

3 0

x x x

x x x x

pé ùæ öÛ - - - =ç ÷ê úè øë û

Û + - - =

cos cos sin

sin cos cos sin Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3

21) (Dự bị 05) 2 2 34sin 3cos2 1 2cos2 4x x x pæ ö- = + -ç ÷

è ø


( ) 3(1) 2 1 cos 3cos2 1 1 cos 22

3cos2 2cos sin2 sin2 3cos2 2cos

1 3sin2 cos2 cos sin 2 cos sin 2 sin2 2 6 6 2

p

p p p

é ùæ öÛ - - = + + -ç ÷ê úè øë û

Û - = - Û - =

æ ö æ ö æ öÛ - = Û - = Û - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

22) (Dự bị 04) sin4 sin7 cos3 cos6x x x x= Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )1 1(1) cos11 cos3 cos9 cos32 2

cos11 cos3 cos9 cos3 cos11 cos9

x x x x

x x x x x x

Û - = -

Û - = - Û =

23) (Dự bị 04) 1 sin 1 cos 1x x- + - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )(1) 1 sin 2 1 sin . 1 cos 1 cos 1Û - + - - + - =x x x x

( ) ( ) ( )2 1 sin 1 cos sin cos 1 (*)Û - - = + -x x x x

Đặt sin cos 2 2t x x t= + Þ - £ £

Lúc đó:( )

22

2

1 212 1 1 12 4 1 1

2(*)tt:

ì £ £ï-

- - = - Û í æ ö-- - = -ç ÷ï

è øî

ttt t tt t

22 2

1 21 2 1

3 2 5 04 4 2( 1) 2 1 53

1: 1 2 14

(lo¹i)

sin cos sinp

ì £ £ïì £ £ï ï =éÛ Ûí í ê+ - = Û- - - = - +ï ïî ê = -ï ëî

æ ö= + = Û + =ç ÷è ø

tt t

t tt t t tt

t x x x

24) (Dự bị 05) 22

cos2 1tan 3tan2 cos

xx xx

p -æ ö+ - =ç ÷è ø

Gợi ý: TXĐ: \2


22 2 2

2

2 2 3

2sin(1) cot 3tan cot 3tan 2tancos

1cot tan tan tan 1 tan 1tan 4

p p

-Û - - = Û - - = -

Û - = Û - = Û = - Û = - Û = - +

xx x x x xx

x x x x x x kx

25) (Dự bị 05) 2 2 3sin cos2 cos (tan 1) 2sin 0x x x x x+ - + =




Gợi ý: TXĐ: \2


( )( )

2 22 2 3

2

2 2 2 2

2

sin cos(1) sin 1 2sin cos . 2sin 0cos

sin sin cos 0 sin sin 1 sin 0

sin 12sin sin 1 0 1sin

2

x xx x x xx

x x x x x x

xx x

x

-Û - + + =

Û + - = Û + - - =

= -éêÛ + - = Ûê =ë

26) (Dự bị 05) 3 sintan 22 1 cos

xxx

pæ ö- + =ç ÷ +è ø

Gợi ý: ĐK: 1 cos 0

sin 0sin 0

xx x k

xp

+ ¹ìÛ ¹ Û ¹í ¹î

( ) ( )

( )

2

sin cos sin(1) cot 2 21 cos sin 1 cos

cos 1 cos sin 2sin 1 cos11 cos 2sin 1 cos 2sin 1 sin2

x x xxx x x

x x x x x

x x x x x

Û + = Û + =+ +

Û + + = +

Û + = + Û = Û =

27) (Dự bị 05) sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + - - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( )2(1) 2sin .cos 2cos 1 3sin cos 2 0Û + - + - - =x x x x x

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

2 22

2sin .cos 2cos 3sin cos 3 02cos 2sin 1 cos 3sin 3 0 (*)

2sin 1 8 3sin 3 4sin 20sin 25 2sin 5

1 2sin 2sin 5cos 1

4(*)1 2sin 2sin 5

cos 1 sin4

Û + + - - =

Û + - + - =

D = - - - = - + = -

é - + -= = -ê

êÛ- - -ê

= = -êë

x x x x xx x x x

x x x x x

x xx

x xx x

28) (ĐHA-06) ( )6 62 cos sin sin cos

02 2sin

x x x x

x

+ -=

-

Gợi ý: ĐK: 2

42 2sin 03 24

x kx

x k

p p

p p

ì ¹ +ïï- ¹ Û íï ¹ +ïî




( )6 6 2 2

2 2

2

(1) 2( ) 0 2 1 3sin 0

3 1 3 12 1 sin 2 sin 2 0 2 sin 2 sin 2 04 2 2 2

sin 2 13sin 2 sin 2 4 0 4sin 2

3

sin 2 1 .4

x x x x x x x x

x x x x

xx x

x

x x kp p

Û + - = Û - - =

æ öÛ - - = Û - - =ç ÷è ø

=éêÛ + - = Ûê = -ë

= Û = +

cos sin sin cos cos sin cos

(lo¹i)

Ta cã:

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta5 24

x kp p= + cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:

29) (Dự bị 06) 3 3 2 3 2cos3 cos sin3 sin8

x x x x +- =

Gợi ý: Dùng công thức nhân ba

( ) ( )

( ) ( )2 2

3cos cos3 3sin sin3 2 3 2(1) cos3 sin34 4 8

2 3 2cos3 3cos cos3 sin3 3sin sin32

2 3 2cos 3 sin 3 3 cos cos3 sin sin32

2 3 2 3 2 2 81 3cos2 3cos2 cos22 2 2

8

p p

p p

+ - +Û - =

+Û + - - =

+Û + + - =

é = +ê+Û + = Û = Û = Û ê

ê = - +êë

x x x xx x

x x x x x x

x x x x x x

x kx x x

x k

30) (Dự bị 06) 2sin 2 4sin 1 06

x xpæ ö- + + =ç ÷è ø


3 1(1) 2 sin2 cos cos2 sin 4sin 1 0 2 sin2 cos2 4sin 1 06 6 2 2p p æ öæ öÛ - + + = Û - + + =ç ÷ç ÷

è ø è øx x x x x x

( )

( )2

3sin2 cos2 4sin 1 0 2 3sin cos 1 cos2 4sin 0

2 3sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3cos sin 2 0

sin 0 sin 0

3cos sin 2 0 3cos sin 2

Û - + + = Û + - + =

Û + + = Û + + =

= =é éÛ Ûê ê

+ + = + = -ë ë

x x x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x

31) (ĐHD-06) cos3 cos2 cos 1 0x x x+ - - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )

( )

2(1) cos3 cos 1 cos2 0 2sin 2 sin 2sin 0

sin 02sin sin 2 sin 0

sin 2 sin

Û - - - = Û - =

=éÛ - = Û ê =ë

x x x x x x

xx x x

x x

32) (Dự bị 06) 3 3 2cos sin 2sin 1x x x+ + = Gợi ý: TXĐ: D R=




( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 3 2(1) 1 2 1

1

1

1 0

01 0

2 2

cos sin sin cos sin cos sin cos2

cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin cos sin

cos sin

cos sin sin cos (Ph¬ng

Û + = - Û + - =

Û + - = -

Û + - = + -

Û + é - - - ù =ë û+ =

Û- + - =

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x xx x x x tr×nh ph¶n xøng)

éêë

33) (Dự bị 06) 3 24sin 4sin 3sin2 6cos 0x x x x+ + + = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

22

(1) 4sin sin 1 6cos sin 1 0 sin 1 4sin 6cos 0

sin 1sin 1 4 1 cos 6cos 0

4cos 6cos 4 0

Û + + + = Û + + =

= -éé ùÛ + - + = Û êë û - + + =ë

x x x x x x x

xx x x

x x

34) (ĐHB-06) cot sin (1 tan .tan ) 42xx x x+ + =

Gợi ý: ĐK: sin 0cos 0 sin2 0

2cos 0

2

p

ìï ¹ï

¹ Û ¹ Û ¹íïï ¹î

xx x x kx

( )2

sincos sin 2(1) sin sin . 4sin cos cos

2

sin .2sin sin . 1 coscos 2sin 4 cot sin 4sin cos cos

sin sin coscot sin 4 cot sin tan sin 4 cot tan 4cos

2 14 sin2sin2 2

Û + + =

-Û + + = Û + + =

-Û + + = Û + + - = Û + =

Û = Û =

xx xx x xx x

xx x xx x x xx x x

x x xx x x x x x x xx

xx

Hoặc: Biến đổi cos .cos +sin .sinsinsin 2 22sin (1 tan .tan ) sin 1 . sin

2 cos cos cos .cos2 2

æ öæ ö ç ÷ç ÷ è ø+ = + =ç ÷ç ÷è ø

x xx x xx xx x x xx xx x

cos cos sin2 2sin sincoscos .cos cos .cos

2 2

æ ö-ç ÷è ø= = =

x xxxx xx x xx x

35) (Dự bị 06) ( ) ( )2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x- + - =

Gợi ý: TXĐ: \2


( )2 22

cos2 0(1) cos2 .tan 2 3cos2 0 cos2 tan 2 3 0

tan 2 3=é

Û - + = Û - + = Û ê =ë

xx x x x x

x




36) (Dự bị 06) cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x+ + - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( )

[ ] ( )

2 2(1) cos sin (1 2cos )(sin cos ) 0

(cos sin )(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0(cos sin ) (cos sin ) (1 2cos ) 0 (cos sin ) sin cos 1 0

cos sinsin cos 1

Û - + + - =

Û - + + + - =

Û - + - + = Û - - - =

=éÛ ê - =ë

x x x x x

x x x x x x xx x x x x x x x x

x xx x

37) (ĐHD-07) 2

sin cos 3cos 22 2x x xæ ö+ + =ç ÷

è ø

Gợi ý: TXĐ: D R= 2 2(1) sin 2sin .cos cos 3cos 2 1 sin 3cos 2

2 2 2 21 3 1 1sin 3cos 1 sin cos sin2 2 2 3 2

p

Û + + + = Û + + =

æ öÛ + = Û + = Û + =ç ÷è ø

x x x x x x x

x x x x x

38) (ĐHB-07) 22sin 2 sin7 1 sinx x x+ - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( )( )

2(1) sin7 sin 1 2sin 2 0

2cos 4 sin3 cos 4 0 cos 4 2sin3 1 0

cos 4 02sin3 1 0

x x x

x x x x x

xx

Û - - - =

Û - = Û - =

=éÛ ê - =ë

39) (ĐHA-07) 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x+ + + = + Gợi ý: TXĐ: D R=

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2

(1) 1 2 0

0

1 0

01 0

cos sin cos sin cos sin sin

sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos

sin cos

sin cos sin cos (Ph¬ng tr×nh ®èi xøng)

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x xx x x x

Û + + + - + =

Û + + + - + =

Û + é + - + ù =ë û+ =é

Û ê + - + =ë

40) (Dự bị 07) 1 1sin2 sin 2cot22sin sin2

x x xx x

+ - - = .

Gợi ý: ĐK: sin 0

sin2 0sin2 0 2

xx x k

xp¹ì

Û ¹ Û ¹í ¹î

(1) Û - cos22x - cosxcos2x = 2cos2x vì sin2x ¹ 0

Û =é

ê+ + =êë ( v« nghiÖm )2

cos2 0

2cos cos 1 0

x

x x

Û cos2x = 0 Û p p pp= + Û = +22 4 2

x k x k

41) (Dự bị 07) 2

3cos242

cos42

5sin xxx=÷

øö

çèæ --÷

øö

çèæ -

pp





5 3(1) sin sin 2 cos2 4 2 2 4 2

5 3 3 5 3 3sin sin 2 cos sin sin 2 cos 02 4 4 2 2 2 4 2 4 23 3 32sin cos 2 cos 0 2cos cos 2 cos2 2 4 2 2 4

p p p

p p p p

p p p

é ùæ ö æ öÛ - - - - =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûæ ö æ ö æ ö æ öÛ - - - = Û - + - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è øæ ö æ ö æ öÛ - + - = Û - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

x x x

x x x x x x

x x xx x 3 02

3cos 023cos 2cos 2 0

2 4 2cos 2 04

pp

=

é =êé ùæ ö êÛ - + + = Ûç ÷ê ú æ öè ø êë û + + =ç ÷ê è øë

x

xx x

x

42) (Dự bị 07) 1cos12

sin22 =÷øö

çèæ - xx p


(1) 112

sin12

2sin2 =úû

ùêë

é-÷

øö

çèæ -Û

ppx

p pæ öÛ - - =ç ÷è ø

1sin 2 sin12 12 2

x

12

cos6

sin212

sin4

sin12

2sin ppppp=+=÷

øö

çèæ -Û x

125sin

12cos

122sin ppp

==÷øö

çèæ -Û x

( )p p p pp pÛ - = + - = + Î5 72 2 hay 2 2

12 12 12 12x k x k k Z

( )p pp pÛ = + = + Îhay 4 3

x k x k k Z

43) (Dự bị 07) ( )+ + = +22cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x


44) (Dự bị 07) sin 2 cos 2 tan cotcos sin

x x x xx x

+ = -

Gợi ý: TXĐ: \2


( ) ( )( )

( ) ( )( )

cos

cos

2 2 2

2 2

2 2

2

(1) 2 2 3 cos .sin sin cos 3(sin 3 cos )

3 2 3 cos .sin sin 3(sin 3 cos )

3 cos 2 3 cos .sin sin 3(sin 3 cos )

3 cos sin 3(sin 3 cos )

(sin 3 cos )(sin 3 cos 3) 0

sin 3 cos 0

sin 3

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

Û + + + = +

Û + + = +

Û + + = +

Û + = +

Û + + - =

+ =Û

+ 2 (V« nghiÖm do: 12 2cos 3 3 4 3 )x

éêê = + = <ë




2 2sin 2 sin cos 2 cos cos sin(1)cos sin sin cos

2cos cos 2 cos 2 cos 2cos sin cos sin

3

2 22 ;3 3

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:

pp

p pp

+ -Û =

=éêÛ = Û = Ûê =ë

= + = - +

x x x x x xx x x x

x kx x x x kx x x x x

x k x k2p

45) (Dự bị 07) ( ) ( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x- + = +

Gợi ý: TXĐ: \2


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2cos sin cos sin(1) sin coscos cos

sin cos cos sin sin cos 1 0

sin cos 0sin cos cos 1 0

cos 1 0 (Tháa ®k)

(Tháa ®k)

- +Û + =

Û + é - + - ù =ë û+ =é

Û + - = Û ê - =ë

x x x xx xx x

x x x x x x

x xx x x

x

46) (ĐHA-08) 1 1 74sin3sin 4sin2

xx x

pp

æ ö+ = -ç ÷æ ö è ø-ç ÷è ø

Gợi ý: TXĐ: \2


( )

( ) ( ) ( )

1 1 4sin 2sin cos 4

1 1 1 1 14sin 4. sin cossin cos 4 sin cos 2sin cos 2 2 sin cos 0 sin cos 1 2 2 sin .cos 0sin .cos

tan 1sin cos 021 2 2 sin .cos 0 sin 2

2

pp

p

æ öÛ + = - -ç ÷è øæ öÛ + = - + Û + = - +ç ÷è ø

+Û + + = Û + + =

= -é+ =é êÛ Ûê ê+ = = -ë êë

xx x

x x xx x x xx x x x x x x xx x

xx x

x x x

47) (ĐHB-08) 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x- = - Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

2 2 2 2

2 2

(1) sin 3sin cos 3cos sin cos 0

sin sin 3cos cos 3cos sin 0 sin 3cos sin cos 0

sin 3cos 0 tan 3cos2 0sin cos 0

Û + - + =

Û + - + = Û + - =

é é+ = = -Û Ûê ê

=- =ê ëë

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x xxx x

48) (ĐHD-08) ( )2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x+ + = + Gợi ý: TXĐ: D R=




( ) ( ) ( )

( ) ( )

2(1) 2sin .2cos 2sin cos 1 2cos 0 2sin cos 2cos 1 1 2cos 0

12cos 1 0 cos2cos 1 2sin cos 1 0 2

2sin cos 1 0 sin2 1

Û + - + = Û + - + =

é+ = = -é êÛ + - = Û Ûê ê- =ë =ë

x x x x x x x x x

x xx x x

x x x

49) (Dự bị 08) 2tan cot 4cos 2= +x x x

Gợi ý: TXĐ: \2


2 22 2

2

sin cos sin cos(1) 4cos 2 4cos 2cos sin cos sin

2cos 2 14cos 2 2cos 2 2cos 2 0sin 2 sin 2

-Û - = Û =

- æ öÛ = Û + =ç ÷è ø

x x x xx xx x x xx x x x

x x

cos 2 0 cos 2 01 2sin 2 cos 2 12cos 2 0

sin 2

(Tháa ®k)

(Tháa ®k)

=é =éêÛ Û êê = -+ = ëë

x xx xx

x

50) (Dự bị 08) 2sin 2 sin4 4 2

x xp pæ ö æ ö- = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2

2

(1) 2 sin 2 2 sin 1 sin 2 cos 2 sin cos 14 4

cos sin cos 2 1 sin 2 0 cos sin cos sin cos sin 0

cos sin cos sin cos sin cos sin 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

p pæ ö æ öÛ - = - + Û - = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø

Û - - - - = Û - - - - - =

Û - - - + - - =

Û - é - + - - ù =ë û

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

( )( )tan 1cos sin 0

cos sin 1 2cos 0 11 2cos 0 cos2

=é- =é êÛ - - = Û Ûê ê- = =ë ë

xx xx x x

x x

51) (Dự bị 08) 12sin sin 23 6 2p pæ ö æ ö+ - - =ç ÷ ç ÷

è ø è øx x

Gợi ý: TXĐ: D R= 1(1) 2sin sin 2 2sin sin 2 sin

3 6 2 3 6 6

2sin 2sin .cos 2sin 2sin .sin3 6 3 2 6

2 2sin .sin 2si3

p p p p p

p p p p p

p

æ ö æ ö æ ö æ öÛ + = - + Û + = - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

é ùæ ö æ ö æ ö æ öÛ + = - Û + = - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è ø è øë û

æ ö= - =ç ÷è ø

x x x x

x x x x x x

x x n .sin 2sin .sin3 3p ppé ùæ ö æ ö- + = +ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

x x x x

52) (Dự bị 08) 23sin cos2 sin 2 4sin cos2

+ + =xx x x x





( )

2

(1) 3sin cos 2 sin 2 2sin 1 cos 3sin cos 2 sin 2 2sin sin 2 3sin cos 2 2sin cos 2 sin 0

sin 1 2sin sin 1 0 1sin

2

x x x x xx x x x xx x x x x

xx x

x

Û + + = +

Û + + = +Û + = Û + =

=éêÛ - + + = Ûê = -ë

53) (Dự bị 08) ( )4 44 sin cos cos 4 sin 2 0x x x x+ + + =


( ) ( )2 2 2 2

2

1(1) 4 1 sin 2 1 2sin 2 sin 2 0 4 2sin 2 1 2sin 2 sin 2 02

sin 2 14sin 2 sin 2 5 0 5sin 2

4 (Lo¹i)

æ öÛ - + - + = Û - + - + =ç ÷è ø

= -éêÛ - + + = Ûê =ë

x x x x x x

xx x

x

54) (ĐHA-2009) ( )( ) ( )

1 2sin cos3

1 2sin 1 sinx x

x x-

=+ -

Gợi ý: ĐK:

26

1 2sin 0 5 21 sin 0 6

x k

xx k

xx k

p p

p p

p

ì ¹ +ïï+ ¹ì ïÛ ¹ +í í- ¹î ï

¹ïïî

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

(1) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin cos sin 2 3 sin 1 2sin

cos sin 2 3 sin cos 2 3sin cos sin 2 3 cos 2

3 1 1 3sin cos sin 2 cos 2 sin sin 22 2 2 2 6 3

p p

Û - = + -

Û - = - + - Û - = + -

Û - = + Û - = - -

æ ö æ öÛ - = - - Û - = - +ç ÷ çè ø è ø

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

sin sin 26 3p p

÷

æ ö æ öÛ - = - -ç ÷ ç ÷è ø è ø

x x

55) (ĐHB-2009) ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = +


( )( )

( )

3

3

2

(1) sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )

sin 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin cos 2 cos sin 2 3 cos3 2cos 4 sin 3 3 cos3 2cos 4

1 3sin 3 cos3 cos 4 sin 32 2 3

p

Û + + = +

Û - + + =

Û - + + =

Û + + = Û + =

æÛ + = Û +è

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x cos 4 sin 3 sin 43 2p pö æ ö æ ö= Û + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷

ø è ø è øx x x

56) (ĐHD-2009) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0- - =x x x x




Gợi ý: TXĐ: D R= ( )(1) 3 cos5 sin 5 sin sin 0 3 cos5 sin 5 2sin

3 1cos5 sin 5 sin sin 5 sin2 2 3

pÛ - + - = Û - =

æ öÛ - = Û - =ç ÷è ø

x x x x x x x

x x x x x

57) (ĐH A- 2010)( )1 sin cos2 sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

pæ ö+ + +ç ÷è ø =

+

Gợi ý: TXĐ: \2


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(1) 1 2 2 14

1 2 1 2

1 2 1 0 2 0

tan 102 0

sin cos sin cos tan

sin cossin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos

cos

sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos

sin cos

pæ öÛ + + + = +ç ÷è ø

+Û + + + = Û + + + = +

Û + é + + - ù = Û + + =ë û

= -+ =éÛ Ûê + =ë

x x x x x

x xx x x x x x x x x x xx

x x x x x x x x

xx xx x

tan 11

2 1 012

2

(Tháa)

sin (Lo¹i)sin sin

sin (Tháa)

éê = -

é êÛ =ê ê- + + =ë ê

= -êë

xx

x xx

58) (ĐH B- 2010) ( )sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( ) ( )2

(1) sin2 cos cos2 cos 2cos2 sin 0

2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0

Û + + - =

Û - + + =

x x x x x x

x x x x x x

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

sin sin 2 1 cos2 cos 2 0

sin cos sin cos sin cos sin cos 2 0

cos sin sin cos sin cos sin cos 2 0

cos sin sin cos sin cos 2cos sin cos 2sin 0

coscos sin 1 cos sin 0

Û - + + =

Û - - + - + + =

Û - é- - + + + ù =ë û

Û - - + + + + + =

Û - é + + ù = Ûë û

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x xtan 1

sin 02 sin 1cos sin 1

4p

=é- =é êÛ æ öê ê + = -+ = -ë ç ÷ê è øë

xx x

xx x

59) ( ĐH D-2010) sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x- + - - = Gợi ý: TXĐ: D R=

( )( ) ( )

( ) ( )

2(1) 2 2sin 1 3 1 0

2 1 2 1 4 2 0

2 1 02 1 2 0

2 0

x x x x x

x x x x x

xx x x

x x

Û - + - + - =

Û - + - + - =

- =éÛ - + + = Û ê + + =ë

sin cos cos sin

cos sin sin sin sin

sin sin cos sin

cos sin (V« nghiÖm)

60) (Dự bị B1 2010) ( )cos2 2cos sin cos cos2 sin2x x x x x x+ + = -




61) (Dự bị B2 2010) ( )2 1cos 2 cos 2 sin cos2 14 4 4

x x x xp pæ ö æ ö+ - + + =ç ÷ ç ÷è ø è ø

với p pé ùÎ -ê úë û;

4 4x

62) ( ĐH A-2011) 2

1 sin2 cos2 2sin sin21 cot

x x x xx

+ +=

+

Gợi ý: ĐK: sin 0x x kp¹ Û ¹ ( )

( )( )

( )

2 2

2

(1) 1 sin2 cos2 sin 2 2sin cos

1 sin2 cos2 2 2cos ( do sin 0 )

sin2 1 cos2 2 2cos 0

2sin cos 1 cos2 2 2cos 0

2sin cos 2cos 2 2cos 0 cos sin cos 2 0

cos 02

sin cos 2 2sin4

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x x x x

x x k

x x x

p p

p

Û + + =

Û + + = ¹

Û + + - =

Û + + - =

Û + - = Û + - =

= Û = +Û

æ+ = Û +è

2 sin 1 24 4

x x kp p p

éêê

ö æ öê = Û + = Û = +ç ÷ ç ÷ê ø è øë

63) ( ĐH B-2011) sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + + Gợi ý: TXĐ: D R=

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

sin2 cos sin cos cos2 sin cos(1) sin 1 cos2 sin cos cos2 sin cos

cos2 sin 1 cos sin 1 0 sin 1 cos2 cos 0

sin 1 22

2cos2 cos cos3 3

x x x x x x xx x x x x x x

x x x x x x x

x x k

x x x x k

p p

p pp

+ = + +

Û + + = + +

Û - + - = Û - + =

é = Û = +êÛ ê

ê = - = - Û = +êë

64) ( ĐH D-2011) sin2 2cos sin 1 0tan 3

x x xx

+ - -=

+

Gợi ý: TXĐ: cos 0 2tan 3

3

x kx

x x m

p p

p p

ì ¹ +ï¹ìï ïÛí í¹ -ïî ï ¹ - +

ïî

( ) ( )

( ) ( )

(1) 2 1 0 2 1 1 0

1 01 2 1 0 1

2

x x x x x x

x xx x

x

Û + - - = Û + - + =

= - ¹éêÛ + - = Ûê =ë

sin2 cos sin cos sin sin

sin ( lo¹i do ®k cos )sin cos

cos

Ta xét: '2

1 32 '2

3

x kx

x k

p p

p p

é = +ê= Û ê

ê = - +êë

cos

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: 23

x kp p= +




B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG: 1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2p của:

cos3 sin35 sin cos2 31 2sin2

x xx xx

+æ ö+ = +ç ÷+è ø.

2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ ]0;14 nghiệm đúng : cos3 4cos2 3cos 4 0x x x- + - = .


tổng hợp câu lượng giác trong đề thi đại học 2002-2016 co loi giai

Education