toÁn rỜi rẠc (discrete mathematics) -...

TOÁN RỜI RẠC

(DISCRETE MATHEMATICS)

Bùi Thị Thủy

Đặng Xuân Thọ

Support

TS. Đặng Xuân Thọ

Mobile: 091.2629.383

Email: [email protected]

Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/

Toán rời rạc - ĐHSPHN

2

NỘI DUNG

Chương 1. Logic mệnh đề

Chương 2. Lý thuyết tập hợp

Chương 3. Một số công thức tổ hợp

Chương 4. Suy luận và kiểm chứng chương trình

Chương 5. Đại số Boole và cấu trúc mạch logic

Chương 6. Thuật toán

Chương 7. Lý thuyết đồ thị

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

3

Chương 4. Suy luận và kiểm chứng

chương trình

Điều cần nhất cho người học CNTT là tư duy chính xác phải được hình thành ngay từ đầu.

Mục tiêu của chương là cung cấp

Những suy luận đúng đắn

Những công cụ xây dựng nên các suy luận đó

Làm thế nào để kiếm chứng 1 chương trình máy tính?

Thử với dữ liệu có sẵn?

Tính đúng đắn chỉ có thể bảo đảm được bằng chứng minh nó luôn tạo ra kết quả đúng.


4

Các quy tắc suy luận


5

Các suy diễn có cơ sở

Suy diễn trực tiếp

Ví dụ:

p: “Trời mưa”; q: “Chúng ta không đi làm”

𝑝 → 𝑞: “Nếu trời mưa thì chúng ta không đi làm”

Nếu p xảy ra, và nếu suy diễn này là đúng thì q

xảy ra


6


Luật cộng

Ví dụ:

p: “Bây giờ trời đang mưa”; q: ”Trời tối”

Luật cộng có thể nói: “Bây giờ trời đang mưa

hoặc trời tối”.


7


Luật rút gọn

Ví dụ:

p ^ q: “Bây giờ trời đang mưa và trời tối”

Thì ta có thể suy ra: “Bây giờ trời đang mưa”


8


Luật gián tiếp

Ví dụ:

p: “Trời mưa”; q: “Trời sấm chớp”

Như vậy nếu mệnh đề “Trời mưa thì trời sấm chớp” là đúng và không có “Trời sấm chớp” thì

suy ra không có “Trời mưa”.


9


Tam đoạn luận

Ví dụ:

p: “Trời mưa”; q: “Chúng ta không đi chơi ngoài trời hôm nay”; r: “Chúng ta đi chơi ngoài trời ngày mai”

Như vậy chúng ta suy ra là “Trời mưa hôm nay thì chúng ta đi chơi ngoài trời ngày mai”.


10


Luật loại trừ

Ví dụ:

p: “Tôi có mặt tại hiện trường vụ án”; q: “Anh có

mặt tại hiện trường vụ án”.

Nếu (p v q) và p là đúng thì suy ra “Anh có mặt

tại hiện trường vụ án”.


11

Các suy diễn có cơ sở 12

Các suy diễn có cơ sở 13

Luyện tập

Quy tắc suy diễn nào được sử dụng trong các lập luận sau:

1. Ai học giỏi môn Toán cũng sẽ học giỏi môn Toán hoặc môn Tin.

2. Nêu bạn giỏi cả hai môn Toán và Văn thì bạn học giỏi môn Toán.

3. Nếu trời mưa thì trận bóng đá sẽ bị hoãn lại. Hôm nay trời mưa thật, thế thì trận bóng đá chắc chắn sẽ bị hoãn lại rồi.

4. Nếu hôm nay trời mưa thì trận đá bóng sẽ bị hoãn lại. Trận bóng đá đã diễn ra, do vậy hôm nay trời không mưa.

5. Nếu bạn bơi lâu dưới nắng thì da bạn sẽ bị rám nắng. Da bạn bị rám nắng thì trông thật là đen. Vậy nếu bạn bơi lâu dứoi nắng thì trông bạn thật đen.

6. Nếu bạn làm bài tập thật chăm chỉ thì bạn có thể nắm vững giáo trình này. Nếu bạn nắm vững giáo trình thì bạn sẽ thi đỗ kỳ thi tốt nghiệp. Vậy nếu bạn làm bài tập thật chăm chỉ thì bạn sẽ thi đỗ kỳ thi tốt nghiệp.


14

Vị ngữ, lượng từ, định lý


15

Biến và vị ngữ

Ví dụ:

“x là số nguyên”

“x thuộc đoạn [0, 1]”

Biến là chủ ngữ, khẳng định tính chất của x là

vị ngữ.

Sau đây ta sẽ xét câu có dạng P(x), mệnh đề

của x, tức là câu nói mà giá trị chân lý của nó

phụ thuộc vào biến x.

Ví dụ: x = 3


16

Lượng từ với mọi

Định nghĩa: Cho trước một hàm mệnh đề P(x)

xác định trên một tập X. Khi đó câu “P(x) đúng

cho mọi giá trị x X” là một mệnh đề, kí hiệu

x P(x). Mệnh đề này gọi là lượng từ với mọi

của hàm mệnh đề P(x) cho trước.

Ví dụ:

P(x): “x tốt nghiệp”; x là biến “sinh viên”; X là miền

“sinh viên khóa 53”

xP(x):“mọi sinh viên khóa 53 đều đã tốt nghiệp”


17

Lượng từ với mọi

Chú ý:

Lượng tử với mọi sai nếu có ít nhất một giá trị

của biến làm hàm mệnh đề sai.

Nếu miền xác định của P(x) có n phần tử (1, 2,

…, n) thì xP(x) P(1) P(2) … P(n)


18

Lượng từ tồn tại

Định nghĩa: Cho trước một hàm mệnh đề P(x)

xác định trên một tập X. Khi đó câu “tồn tại x

X sao cho P(x) đúng” là một mệnh đề, kí hiệu

x P(x). Mệnh đề này gọi là lượng từ tồn tại

của hàm mệnh đề P(x) cho trước.

Ví dụ:

Cho P(x): “x2 + 1 = 0” trên miền số thực

xP(x): “tồn tại x sao cho x2 + 1 = 0” có giá trị F


19

Lượng từ tồn tại

Chú ý:

Lượng tử tồn tại chỉ sai khi mọi giá trị của biến

đều làm hàm mệnh đề bị sai.

Nếu miền xác định của P(x) có n phần tử (1, 2,

…, n) thì xP(x) P(1) P(2) … P(n)


20

Biến ràng buộc

Trong hàm logic nhiều biến, không phải biến

nào cũng được lựa chọn tự do, có những biến

có miền xác định phụ thuộc vào biến khác.

Thường được thể hiện trong phát biểu của

lượng tử tồn tại

Ví dụ: “Mọi số tự nhiên n đều có một ước

khác nó”.

Nếu gọi B(n, m) là hàm mệnh đề “m là ước của n”

thì ta có: nm((m n) B(n, m)) (m phụ thuộc n)


21

Biến ràng buộc

Cho hàm mệnh đề P(x, y) với hai biến x, y,

trong đó y ràng buộc bởi x. Có các khả năng

sau:

xyP(x, y): với mọi x, P(x, y) luôn đúng cho mọi y

xyP(x, y): với mọi x, P(x, y) đúng cho một y nào đó

xyP(x, y): tồn tại x, P(x, y) luôn đúng cho mọi y

xyP(x, y): tồn tại x, P(x, y) đúng cho một y nào đó


22

Biến ràng buộc

Quy tắc phủ định

Ví dụ:

Phủ định của lượng từ với mọi: “Với mọi x ta có x2 0”

Là lượng từ tồn tại: “Tồn tại x sao cho x2 < 0”

Phủ định của lượng từ tồn tại: “Tồn tại x sao cho x2+1=0”

Là lượng từ với mọi: “Với mọi x ta có x2+10”

( ) ( )xP x xP x

( ) ( )xP x xP x


23

Định lý và lượng từ

Chứng minh tồn tại: chứng minh cho xP(x)

Phương pháp chứng minh:

Chứng minh kiến thiết: xác định giá trị x thỏa điều kiện P(x).

Chứng minh không kiến thiết: đưa ra những lý

luận xác nhận sự tồn tại x, sao cho P(x) thỏa.


24

Định lý và lượng từ

Ví dụ: chứng minh các phương trình sau luôn có

nghiệm với các số thực a tùy ý:

a) x2 + ax – 1 = 0

b) x2003 + ax + 1 = 0

a) nghiệm cụ thể 𝑥1,2 =−𝑎± 𝑎2+4

2

b) với x > max{|a|,1} thì f=x2003+ax+1>0

với x < min{-|a|,-2} thì f=x2003+ax+1<0

do f là hàm liên tục nên tồn tại x0 sao cho f(x0)=0


25

Luyện tập


26

Cho P(x) là câu “x học ở lớp hơn 5 giờ mỗi ngày trong tuần”. Hãy diễn đạt các lượng từ sau thành các câu thông thường:

x P(x) xP(x)

x≦P(x) x≦P(x)

Dùng lượng tử diễn đạt các câu nói sau, phủ định chúng rồi dịch ngược lại:

Mọi người ai cũng thích môn Toán rời rạc.

Có một người đã học tất cả các môn Toán.

Chưa có ai nhìn thấy chiếc máy tính lượng tử.

Đệ Quy


27

Đệ Quy

Khái niệm

Đệ quy là cách định nghĩa một đối tượng qua

chính nó

Được sử dụng nhiều trong lập trình

Định nghĩa các hàm số, các tập hợp, các dãy số

Tam giác Sierpinski

28

Định nghĩa các hàm bởi đệ quy

Quy tắc xây dựng hàm dạng f(n)

Xác định giá trị của hàm tại n = 0

Xác định mối quan hệ của f(n + 1) với f(n)

Ví dụ: f(n) = n!

f(0) = 1

f(n+1) = (n+1) f(n)


29

Định nghĩa các hàm bởi đệ quy

Dãy số Fibonaci

Bài toán cổ về việc sinh sản các cặp thỏ:

Các con thỏ không bao giờ chết

Hai tháng sau khi ra đời một cặp thỏ mới sẽ sinh

ra một cặp thỏ con (một đực, một cái)

Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh ra được một cặp con mới

Giả sử bắt đầu từ một cặp mới ra đời thì đến tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp?


30

K62 – CTDL&GT

Tháng thứ 3

Tháng thứ 4

Tháng thứ 5

Tháng thứ 2

Tháng thứ 1

31

K62 – CTDL&GT

𝐹𝑖𝑏 𝑛 = 1 𝑛 ≤ 2𝐹𝑖𝑏 𝑛 − 1 + 𝐹𝑖𝑏 𝑛 − 2 𝑛 ≥ 2

Định nghĩa các tập hợp bởi đệ quy

Quy tắc xây dựng

Đưa ra tập xuất phát

Xây dựng phần tử mới từ những phần tử đã biết

Ví dụ: cho B là tập hữu hạn các chữ cái. Tập

B* là các từ xây dựng trên B là tập thỏa mãn: Từ rỗng thuộc B*

Nếu w B* và b B* thì wb B*


32

Kiểm Chứng Chương Trình


33

Kiểm chứng chương trình

Khái niệm

Các bước chứng minh tính đúng đắn của một

chương trình:

Chứng minh chương trình khi kết thúc cho kết quả

đúng

Chứng minh chương trình luôn dừng sau một thời

gian chạy hữu hạn


34


Định nghĩa. Chương trình hay đoạn chương

trình S được gọi là đúng bộ phận đối với mệnh

đề khẳng định đầu p và mệnh đề khẳng định

cuối q, nếu p là đúng với các giá trị vào của S

và nếu S kết thúc thì q đúng với các giá trị đầu

ra của S.

Kí hiệu: p{S}q


35


Ví dụ: Cho đoạn chương trình:

y := 3;

z := x * y;

Hãy chỉ ra đoạn chương trình trên đúng với khẳng

định đầu p : “x = 0” và khẳng định cuối q : “z = 0”


36


Quy tắc hợp thành

Chia nhỏ chương trình thành các đoạn chương

trình con và chứng minh mỗi đoạn chương trình là đúng.

1

2

1 2

{S }q

q{S }r

{S S }r

p

p


37


Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then S

( ){S}q

( ) q

{If r then S}q

p r

p r

p

1. CM p đúng, r đúng thì

q đúng khi S kết thúc

2. CM p đúng, r sai thì q

đúng


38


Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then

Ví dụ: CMR đoạn chương trình If x>y then y:=x

đúng với khẳng định đầu p = T và khẳng định cuối

q: “y x”

Chứng minh:

Giả sử p = T đúng và có x > y thì y được gán giá trị

của x, tức là y = x thì khẳng định q: “y x” là đúng.

Khi p = T đúng và điều kiện x > y sai, nghĩa là x ≤ y thì

khẳng định q: “y x” vẫn đúng.


39


Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then S1

else S2

1

2

1 2

( ){S }q

( ){ }q

{If r then S else S }q

p r

p r S

p

1. CM p đúng, r đúng thì

q đúng khi S1 kết thúc

2. CM p đúng, r sai thì q

đúng khi S2 kết thúc


40


Ví dụ: CMR đoạn chương trình

If (x<0) then (abs := -x) else (abs := x)

đúng với khẳng định đầu p = T và khẳng định cuối

q: “abs = |x|”.

Chứng minh:

Giả sử p = T đúng và có x<0 thì abs được gán giá trị - x, tức là abs = |x|.

Khi p = T đúng và điều kiện x<0 sai, nghĩa là x0 thì abs được gán giá trị x, nghĩa là abs = x = |x|.


41


Câu lệnh vòng lặp: While (điều kiện) r do S

S được thực hiện mãi cho tới khi r trở thành sai

Bất biến vòng lặp: là một khẳng định vẫn đúng sau khi thực hiện S

Như thế, nếu (pr){S}p đúng thì p là bất biến

vòng lặp


42



Giả sử p là một bất biến vòng lặp, thì p đúng

trước khi đoạn chương trình thực hiện và p, r đúng sau khi kết thúc.

Quy tắc suy luận:

( ){S}q

{W r do S}(p r)

p r

p hile


43

p



Ví dụ: Dùng bất biến vòng lặp CM đoạn chương trình: (n nguyên dương)

i := 1; giaithua := 1;

while (i < n) do

begin

i := i + 1;

giaithua := giaithua * i;

end;

là đúng với kết thúc: giaithua = n!


44


Giả sử p: “giaithua := i! cho mọi i n”

Với i = 1 thì giaithua = 1 = 1! Nên p đúng

Giả sử p đúng sau i vòng lặp với i < n, khi đó

giaithua = i!

Vòng lặp được thực hiện thêm lần nữa, khi i

tăng lên 1 thành i+1 và vẫn chưa vượt n. Khi

đó giaithua = i! * (i+1) = (i+1)!.

Như vậy sau vòng i+1 thì p vẫn còn đúng. Vậy

p là bất biến vòng lặp.


45

Đoạn chương trình nhiều câu lệnh

Ví dụ: hãy kiểm chứng chương trình sau đúng là chương trình tính tích của hai số nguyên

procedure multiply(m,n: integer); if n<0 then a:= - n

else a:= n; k := 0;

x := 0;

while k<a do begin

x:=x+m;

k:=k+1; end;

if n<0 then product := -x

else product := x;

S1

S2

S3

S4


46

q: “(a=|n|)”

r: “(k=0)(x=0)”

s: “x=ma và a=|n|”

t: “product = mn”

p: “m và n là các số nguyên”

Đoạn chương trình nhiều câu lệnh

Gọi p là khẳng định đầu “m và n là các số

nguyên”

q là mệnh đề “p(a=|n|)”

r là mệnh đề “q(k=0)(x=0)”

s là mệnh đề “x=ma và a=|n|”

t là mệnh đề “product = mn”

Dễ thấy p{S1}q, q{S2}r, r{S3}s, s{S4}t là đúng


47

Luyện tập

Hãy kiểm chứng đoạn chương trình

x := 3;

z := x + y;

if y>0 then z := z+1

else z := 0;

là đúng với khẳng định đầu y=3 và khẳng định

cuối z=7.


48

Luyện tập

Dùng bất biến vòng lặp chứng minh đoạn

chương trình tính lũy thừa bậc nguyên dương

n của số thực x là đúng:

luythua := 1;

i := 0;

while i < n begin

luythua := luythua * x;

i := i + 1;

end;


49

THANK YOU!

toÁn rỜi rẠc (discrete mathematics) -...

Documents