tomo1 - electromagnetismo

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Page 1: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Fundamentos de la Teor��a del

Campo Electromagn�etico Cl�asico�

Tomo I�

Bernardo Garc��a Olmedo �

��� de octubre de �����

�Dpto� de Electromagnetismo y F��sica de la Materia �Universidad de Granada

Page 2: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO
Page 3: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

�Indice General

I Campo electromagn�etico en el vac��o� Fundamentos �

� Campo el�ectrico y campo magn�etico �

��� Descripci�on de las magnitudes electromagn�eticas � � � � � � � � � � � � � �

����� Espacio de observaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Descripci�on microsc�opica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Descripci�on macrosc�opica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Conservaci�on de la carga ecuaci�on de continuidad � � � � � � � � � � � � ��

����� Corrientes estacionarias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Ley de fuerzas de Lorentz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Trabajo sobre una carga en movimiento � � � � � � � � � � � � � � ��

�� El campo electromagn�etico en el marco de la relatividad de Galileo � � � ��

���� Relatividad de Galileo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

������ Vectores y escalares� Invariantes galileanos � � � � � � � ��

������ Leyes de transformaci�on de los campos � � � � � � � � � �

��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Campos est�aticos ��

��� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Campo electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Ley de Coulomb � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Fuentes del campo electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Potencial electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Energ��a potencial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Ecuaciones de Poisson y Laplace � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Estructuras simples del campo el�ectrico � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Campo magn�etico producido por corrientes estacionarias � � � � � � � � � ��

����� Campos y fuerzas magn�eticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Fuentes del campo magn�etico� Potencial vector � � � � � � � � � � ��

����� Estructuras simples del campo magn�etico � � � � � � � � � � � � � ��

�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

i

Page 4: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

ii

� Fuentes del campo din�amico� Leyes de Maxwell ��

��� Ley de inducci�on de Faraday � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Ley de Faraday para caminos en movimiento � � � � � � � � � � � ��

��� Corriente de desplazamiento en el vac��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Potenciales del campo electromagn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ecuaciones de Maxwell en el vac��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell �

�� Energ��a electromagn�etica� Vector de Poynting � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Energ��a de sistemas de cargas y corrientes estacionarias � � � � � ��

�� Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales � � � � � � � � � � ��

���� Propagaci�on de ondas electromagn�eticas planas en el vac��o � � � ��

�� Potenciales retardados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Relaci�on de las ondas electromagn�eticas con sus fuentes� Emisi�on de ra�diaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

II Multipolos ��

� Campos Multipolares est�aticos �

��� Expansi�on multipolar de una distribuci�on est�atica de cargas � � � � � � � ��

����� Expansi�on multipolar de la energ��a de interacci�on de un sistemade cargas con un campo externo � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Multipolos puntuales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� Energ��a� par y fuerza de un dipolo � � � � � � � � � � � � �

����� Densidades dipolares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Desarrollo multipolar de una distribuci�on de corrientes estacionarias � �

����� El dipolo magn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� Potencial magn�etico escalar � � � � � � � � � � � � � � � �

������� Relaci�on entre el momento magn�etico y el momento an�gular � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

������� Fuerzas� pares y energ��a potencial de un dipolomagn�etico en campo externo � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Movimiento de part��culas en un campo electromagn�etico ���

��� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Movimiento de una carga en campos uniformes � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Campo el�ectrico constante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Campo el�ectrico lentamente variable � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Campo magn�etico constante� Movimiento ciclotr�onico � � � � � � ���

���� Campo magn�etico lentamente variable � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Campo el�ectrico y magn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Page 5: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

iii

��� Movimientos de cargas en campos no homog�eneos � � � � � � � � � � � � � ���

����� Optica electr�onica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Difusi�on �scattering� de part��culas en fuerzas centrales � � � � � � ��

����� Botellas magn�eticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� Precesi�on de un dipolo en un campo magn�etico � � � � � � � � � � � � � � ���

III Campo electromagn�etico en los medios materiales ���

� Medios polarizables ���

��� Mecanismos de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Polarizaci�on diel�ectrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Mecanismos de magnetizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Cargas y corrientes de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Expresi�on de la densidad de carga de polarizaci�on en funci�on dela polarizaci�on diel�ectrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Corrientes de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Expresi�on de de la densidad de corriente de magnetizaci�on enfunci�on de la imanaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Potencial magn�etico escalar� Formalismo de polos magn�eticos � � ��

��� Desplazamiento el�ectrico e intensidad magn�etica � � � � � � � � � � � � � ��

����� Susceptibilidades� constante diel�ectrica y permeabilidad magn�etica �

�� Campos est�aticos en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Electrost�atica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� Magnetost�atica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Conductores ���

��� Mecanismos de conducci�on� Medios �ohmicos � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Relajaci�on en medios �ohmicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Conductores est�aticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� Tubos de corriente estacionaria � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Resistencias y generadores de corriente continua � � � � � � � � � � � � � ���

��� Asociaci�on de elementos� Leyes de Kirchho� � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Disipaci�on de energ��a� Ley de Joule � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Ecuaciones de Maxwell para medios materiales Consecuencias ���

�� Ecuaciones de Maxwell � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� Condiciones de continuidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

������ Refracci�on de las l��neas de campo y corriente � � � � � � ��

���� Condiciones de contorno � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

������ Teorema de unicidad para campos irrotacionales � � � � ���

������ Teorema de unicidad para campos solenoidales � � � � � ���

������ Teorema de unicidad en el caso general � � � � � � � � � ���

Page 6: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

iv

�� Energ��a electromagn�etica en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � ��

���� energ��a de un sistema de cargas y corrientes de conducci�on esta�cionarias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� Ecuaciones de onda en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� Ondas monocrom�aticas y monocrom�aticas planas � � � � � � � � � � �

������ Polarizaci�on de ondas electromagn�eticas � � � � � � � � � � �

������ Energ��a en ondas planas monocrom�aticas� Vector dePoynting complejo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

A Resoluci�on de las ecuaciones de Poisson y de Laplace a��

A�� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A�� Soluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Poisson � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A���� Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace � � � � � � � � � � � a��

A���� Principio de superposici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A���� Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson � � � � � � � � � � � � a��

A��� M�etodo de Green � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A���� M�etodo de las im�agenes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A������ Im�agenes sobre un plano conductor funci�on de Green � a��

A������ Im�agenes sobre una esfera � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A������ Im�agenes sobre super�cies cil��ndricas � � � � � � � � � � a���

A�� Resoluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Laplace � � � � � � � � � � � � � � � a���

A���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A� Soluci�on general en coordenadas cartesianas � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A��� Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A�� Soluci�on en coordenadas cil��ndricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A���� Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A�� Soluci�on en coordenadas esf�ericas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A������ Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A�� Soluci�on de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones mediante el usode transformaciones complejas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A�� Soluci�on aproximada de las ecuaciones de Poisson y Laplace � � � � � � � a���

A���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A���� M�etodos experimentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A� M�etodos gr�a�cos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A��� M�etodos num�ericos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A����� M�etodo de diferencias �nitas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���

A������� Resoluci�on iterativa del sistema de ecuaciones � � � � � a��

A����� M�etodo de Montecarlo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A����� Principios variacionales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A������� M�etodo de Rayleigh�Ritz � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

A������� M�etodo de los elementos �nitos � � � � � � � � � � � � � � a��

A��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��

Page 7: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

v

B Campo magn�etico terrestre b��

B�� Estructura b�asica de la Tierra � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��

B�� Morfolog��a del campo magn�etico super�cial � � � � � � � � � � � � � � � � b��

B�� Campo fuera de la super�cie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��

B� Variaciones temporales del campo magn�etico terrestre � � � � � � � � � � b��

B�� Principio de la dinamo autoinducida � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��

B�� Campo magn�etico de otros objetos celestes � � � � � � � � � � � � � � � � b��

C Sistemas de conductores y espiras c��

C�� Sistemas de conductores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C���� Coe�cientes de potencial y de capacidad � � � � � � � � � � � � � � c��

C���� Teorema de reciprocidad de Green � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C���� Propiedades fundamentales de los coe�cientes � � � � � � � � � � � c�

C��� Apantallamiento� Condensadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C���� Fuerzas y pares en sistemas de conductores � � � � � � � � � � � � c��

C�� Sistemas de espiras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���

C���� Coe�cientes de inducci�on de un sistema de tubos de corriente oespiras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���

C���� Fuerza electromotriz inducida� Generadores y transformadores � c���

C���� Asociaci�on de inductores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C��� Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras � � � � � � � � � � � c���

C���� Sistemas de espiras con n�ucleo magn�etico � � � � � � � � � � � � � c���

C������ El transformador ideal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C���� Circuitos magn�eticos lineales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���

C���� Circuitos magn�eticos no lineales � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���

C�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

C� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��

D Corrientes cuasiestacionarias Teor��a de Circuitos d��

D�� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��

D�� Conexi�on entre la teor��a de campos y la de Circuitos � � � � � � � � � � � d��

D�� Elementos fundamentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��

D���� Elementos reales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d�

D���� Elementos de cuatro terminales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D���� Leyes de Kirchho� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D� Caracter��sticas generales de la respuesta de un circuito � � � � � � � � � � d���

D��� Ecuaciones de un circuito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D�� Respuesta transitoria y estacionaria de un sistema lineal � � � � � � � � � d���

D���� Respuesta a una excitaci�on arm�onica � � � � � � � � � � � � � � � � d��

D������ Representaci�on fasorial impedancias y admitancias � � d���

D���� Diagrama de Bode � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D�� M�etodos de an�alisis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D���� Equivalencia entre fuentes reales de tensi�on y de intensidad � � � d���

D���� An�alisis de mallas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

Page 8: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

vi

D��� An�alisis de nudos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��D���� Circuitos con fuentes dependientes � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D�� Teoremas fundamentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���D���� Teorema de superposici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���D���� Teoremas de Thevenin y Norton � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

D���� Potencia en corriente alterna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��D������ Teorema de la m�axima transferencia de potencia � � � � d��

D�� Estudio de los circuitos de primero y segundo orden � � � � � � � � � � � d�

D���� Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden � � � � d�D���� Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden � � � � � d���D���� Transitorios en circuitos de segundo orden � � � � � � � � � � � � � d���D��� Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden � � � � � � d���

D� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���

E Modelos lineales de transistores bipolares y de efecto de campo e��

F Introducci�on hist�orica f��

G Sistemas de unidades g��

H Teor��a de campos h��

H�� Campos escalares y vectoriales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��

H�� Representaci�on gr�a�ca de los campos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H���� Base vectorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H���� Sistemas de referencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��

H���� Producto vectorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H�� Operaciones diferenciales e integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h�

H���� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h�

H���� Flujo y divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h� H���� Circulaci�on y rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���H��� Operador Laplaciana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���

H� Teoremas integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���

H��� Teorema de la divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���H��� Teorema del rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���

H�� Fuentes de un campo vectorial� Teorema de Helmholtz � � � � � � � � � � h���

H�� Clasi�caci�on de los campos seg�un sus fuentes � � � � � � � � � � � � � � � h���H�� Coordenadas curvil��neas ortogonales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���

H���� Sistemas Coordenados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���

H�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��

I La Delta de Dirac i��

I�� De�nici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��

I�� Propiedades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��I�� Ejemplos de sucesiones de funciones cuyo l��mite es la delta de Dirac � � i�I� Otras expresiones �utiles de la � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��I�� Ecuaciones de continuidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��

Page 9: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

vii

J Desarrollo en serie y Transformada de Fourier j��

J�� Desarrollo en serie de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J�� Transformada de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J�� Ejemplos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��

J���� Desarrollo en serie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J���� Transformada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j�

J� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��

K Resumen de formulario k��

K�� Constantes f��sicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Conversi�on de unidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Relaciones vectoriales y di�adicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��

K���� Productos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Laplaciano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Teoremas integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��

K� Coordenadas cuvil��neas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Cuadro resumen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Vector de posici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Vector diferencial de l��nea � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Elemento de volumen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K��� Rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K��� Laplaciana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�

K�� La Delta de Dirac � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K���� de�niciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K���� Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac � � � � k��K���� Propiedades b�asicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��

K�� Series y transformadas de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Series � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Transformadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��

Page 10: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

viii

Page 11: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Pr�ologo

En este Fundamentos de la Teor��a del Campo Electromagn�etico Cl�asico se funden dostextos cuyas versiones fueron escritas en tiempos muy distantes� La versi�on actual deuno y otro se presenta en sendos tomos que a�un conservan restos de sus primitivos� ydistintos� estilos y notaciones� as�� como un cierto grado de redundancia� Ambos contienenunos cap��tulos centrales con el n�ucleo de la teor��a y una serie de ap�endices� parte delos cuales desarrolla dicho n�ucleo y el resto resume elementalmente la herramienta y lanotaci�on matem�atica utilizada�El primer tomo parte de las experiencias fundamentales para postular las ecua�

ciones de Maxwell� en el vac��o y en los medios materiales� desde los puntos de vistamicrosc�opico y macrosc�opico� y desarrolla con preferencia los problemas est�aticos y lateor��a de circuitos de par�ametros localizados� El segundo repostula dichas ecuaciones enel marco relativista y pone el �enfasis en los aspectos din�amicos� como los de propagaci�ony radiaci�on� as�� como en la teor��a de circuitos de par�ametros distribuidos�Los contenidos que aqu�� se ofrecen son� hasta cierto punto� provisionales no pre�

tenden ser completos� bajo ning�un criterio� ni tampoco se proponen como texto� otextos� curriculares� aunque pueden servir para este �n�La bibliograf��a no es exhaustiva� ni tan siquiera rese�na las �ultimas ediciones� contiene

una relaci�on de textos de los que� de una forma u otra� se ha tomado conscientemente ma�teriales� muy especialmente los libros �Br�edov et al�� Lorrain y Corson� G�omez� Jackson�Konopinski� Landau y Lifchitz FT� Panofsky y Phillips� Stratton� Reitz et al�� con losque este texto tiene una relaci�on de dependencia muy directa�Debo a muchas personas� lejanas y pr�oximas� la posibilidad de presentar esta obra

sin un n�umero excesivo de erratas y errores pero� aunque algunas me han prestado unaparte considerable de sus conocimientos y de su tiempo� s�e que no es necesario que lascite aqu�� nominalmente� Para todas ellas� mi profundo agradecimiento�

Granada � de octubre de ����

ix

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x

Page 13: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Coplas hechas sobre un �extasis de

harta contemplaci�on

Entr�eme donde no supe�y qued�eme no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�

Yo no supe d�onde entraba�pero� cuando all�� me v���sin saber d�onde me estaba�grandes cosas entend��no dir�e lo que sent���que me qued�e no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�

De paz y de piedadera la sciencia perfecta�en profunda soledadentendida �via recta�era cosa tan secreta�que me qued�e balbuciendo�toda sciencia trascendiendo�

Estaba tan embebido�tan absorto y ajenado�que se qued�o mi sentidode todo sentir privadoy el esp��ritu dotadode un entender no entendien�do�

toda sciencia trascendiendo�

El que all�� llega de vero�de s�� mismo desfallescecuanto sab��a primeromucho bajo le parescey su sciencia tanto cresce�que se queda no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�

Cuanto m�as alto se sube�

tanto menos se entend��a�que es la tenebrosa nubeque a la noche esclarec��apor eso quien la sab��aqueda siempre no sabiendotoda sciencia trascendiendo�

Este saber no sabiendoes de tan alto poder�que los sabios arguyendojam�as le pueden vencerque no llega su sabera no entender entendiendo�toda sciencia trascendiendo�

Y es de tan alta excelenciaaqueste sumo saber�que no hay facultad ni scienciaque le puedan emprenderquien se supiere vencercon un no saber sabiendoir�a siempre trascendiendo�

Y si lo quereis o��r�consiste esta suma scienciaen un subido sentirde la divinal Esenciaes obra de su clemenciahacer quedar no entendiendo�toda sciencia trascendiendo�

Fray Juan de la Cruz

xi

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xii

Page 15: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Parte I

Campo electromagn�etico en el

vac��o� Fundamentos

Page 16: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO
Page 17: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Introducci�on

El objetivo fundamental de esta disciplina es el estudio de las interacciones que tienenlugar entre cargas y entre corrientes� No obstante� estas interacciones� como la gravi�tatoria y otras que aparecen en la F��sica� se estudian m�as c�omodamente expres�andolascomo el encadenamiento de dos procesos� seg�un se muestra en la �gura �

F’

Cargas fuente

Cargas testigoCampo

Interaccion= Creacion de campo + Deteccion de fuerza

F F

Figura ��

En el primero� un grupo de cargas� que consideramos como Fuentes primarias ocausa de la interacci�on� perturba el espacio que lo rodea dot�andolo de propiedades que�antes de la existencia de dichas cargas� no pose��a diremos que las cargas fuente hancreado un campo� En el segundo� otro grupo de cargas� que llamaremos Testigo� sufreuna fuerza neta en virtud de la interacci�on con el campo previamente creado�

Seg�un este esquema� la teor��a que estructura a estas interacciones debe contener leyesque relacionen a los campos con sus fuentes� Leyes de campo� y leyes que relacionen alos campos con las fuerzas� Leyes de fuerza�

El problema de relacionar a los campos con sus fuentes es mucho m�as complejo yrico que el c�alculo de las fuerzas� por lo que �esta ser�a esencialmente una teor��a del campoelectromagn�etico �EM�� Este campo� que puede ser expresado como tal por medio deun solo tensor tetradimensional de segundo orden� ser�a descrito por ahora� de formasencilla� como la suma de dos campos tridimensionales acoplados entre s��� el el�ectrico yel magn�etico� Todo esto justi�ca que dediquemos un ap�endice a revisar� aunque breve�mente� las caracter��sticas generales de los campos vectoriales tridimensionales� Se re�comienda la lectura de este ap�endice� antes de abordar la primera parte del texto� conobjeto de consolidar y establecer los conceptos y la nomenclatura que se utilizar�a a lolargo del mismo�

El campo EM� que acabamos de presentar como mero auxiliar para describir lainteracci�on entre cargas� adquiere� seg�un se desarrolla la teor��a� personalidad propia� Elfen�omeno de radiaci�on posibilita la creaci�on de campos EM aislados� automantenidos�que se independizan de sus fuentes primarias y que� mientras no interaccionen con la

Page 18: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

materia� transportan cantidades �jas de energ��a� masa� momento y momento angular�En de�nitiva el campo EM tiene todas las propiedades de la materia� sus movimientos�redistribuciones� obedecen a leyes an�alogas a las de los �uidos de materia ordinaria�Podemos decir que el campo EM es algo m�as que un concepto auxiliar realmente cons�tituye la manifestaci�on m�as simple de la materia�Esta primera parte comprende cuatro cap��tulos y en ella pretendemos exponer� con

relativa rapidez� el esquema b�asico de la teor��a electromagn�etica en el vac��o� El t�erminoVac��o no se entender�a literalmente sino que admitiremos la presencia de cargas enmovimiento que describiremos� en su totalidad� por medio de funciones densidad decargas y de corrientes� En principio se adopta un modelo de tipo microsc�opico� limitadopero simple� en el que las cargas que crean el campo se consideran como puntuales ydesprovistas de spin�Las densidades microsc�opicas expresan con detalle la magnitud� posici�on y velocidad

de cada una de las cargas y son� por lo tanto� r�apidamente variables en el espacioy en el tiempo� Para vol�umenes macrosc�opicos� este tipo de descripci�on es inviabledada la enorme cantidad de informaci�on que es necesario manejar� Suele tomarse comodimensi�on m��nima de un volumen macrosc�opico� a aquel que contiene a un n�umero decargas de orden de N� � ��

�� lo que corresponde a un cubo de materia ordinaria cuya

arista sea del orden de L� � ���oA� El seguimiento de la evoluci�on de un sistema

de cargas con N � N� no es factible� ni siquiera mediante la simulaci�on num�erica enordenador� En estas circunstancias es posible y conveniente recurrir a una descripci�onmacrosc�opica en la que las densidades se promedian en el espacio y en el tiempo � en todocaso� los instrumentos ordinarios de medida proporcionan un promedio espacio�temporalde las magnitudes� Este proceso de promedio es delicado desde el punto de vista te�oricoy� al reducir dr�asticamente la informaci�on con la que se describe al sistema de cargasy campos� reduce tambi�en la capacidad de predicci�on de las ecuaciones resultantes� Enesta primera parte� se har�a uso de una versi�on simple de las ecuaciones macrosc�opicas enla que la densidad macrosc�opica de carga� junto con la de corriente� describe a todas lascargas o� al menos� a todas aquellas que tienen un efecto signi�cativo sobre los camposmacrosc�opicos� Esto excluye a la materia organizada dipolarmente a nivel molecularcuyo tratamiento se dejar�a para m�as adelante�

�Para ciertas aplicaciones solo es necesario promediar espacialmente porque� si el movimiento de laspart��culas no est�a correlacionado� el promedio espacial elimina las �uctuaciones temporales�

Page 19: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Campo el�ectrico y campo

magn�etico

��� Descripci�on de las magnitudes electromagn�eticas

Como ya se ha comentado� caben dos formas b�asicas de enmarcar al electromagnetismo�Una microsc�opica� altamente detallada y te�oricamente potente� pero limitada en lapr�actica� y otra macrosc�opica� en la que se elimina gran parte de la informaci�on peroque es de mayor utilidad pr�actica�

��� Espacio de observaci�on

Pretendemos describir la interacci�on entre dos sistemas de cargas a uno de los cualesconsideramos como fuente y al otro como testigo� Aqu�� tambi�en� como en la Mec�anicaNewtoniana� es necesario elegir cuidadosamente el sistema de referencia desde el que seenuncian las leyes� por lo que� salvo excepciones� haremos siempre uso de un sistemainercial S� �gura ����

x

z

r

r ’R

v ( r )

S

v ’ ( r ’)

R = r - r ’= (x-x’,y-y’,z-z’)

r =(x, y, z)

r ’=(x’,y’,z’)

V’

y

V

^

Figura ����

Fijaremos� pues� con respecto a este sistema� las coordenadas de las fuentes por �r ��las de las cargas testigo� o puntos de observaci�on� por �r y la distancia mutua entre las

Page 20: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

fuentes y puntos de observaci�on por �R�Tenemos� pues� un espacio de seis dimensiones �x �� y �� z �� x� y� z�� dentro del cual

deberemos especi�car tanto las cargas existentes ���r �� y ���r�� como sus movimientos�v��r �� y �v��r�� Veremos m�as adelante que �estas� las fuentes primarias� no ser�an las �unicasfuentes del campo sino que los propios campos act�uan como verdaderas fuentes� en elsentido que se deduce del teorema de Helmholtz� en paridad con las anteriores� Even�tualmente� dado que la acci�on electromagn�etica se propaga con velocidad �nita� ser�anecesario conocer estas magnitudes en instantes distintos al de observaci�on�

��� Descripci�on microsc�opica

En la descripci�on microsc�opica se especi�ca con detalle tanto a las cargas como a loscampos� por lo que �estos vienen representados por magnitudes r�apidamente variables�Aunque m�as adelante se matizar�a de alguna forma lo que a continuaci�on se expone� des�de el punto de vista cl�asico cabe representar a todas y cada una de las cargas presentescomo puntuales o� al menos� a todas aquellas cuya aportaci�on al campo es importante�Esta representaci�on puede hacerse formalmente de dos maneras� especi�cando las posi�ciones y velocidades de cada una de las cargas o de�niendo unas densidades pseudo�continuas por medio de la delta de Dirac� Ser�a esta �ultima opci�on la que tomaremosaqu��� Este modelo� como todos los modelos f��sicos� tiene limitaciones de orden te�orico ypr�actico que se subsanar�an parcialmente m�as adelante cuando se aborde el tratamientofenomenol�ogico de la materia� En primer lugar� aunque desde el punto de vista cl�asicoes posible �jar simult�aneamente posiciones y velocidades� sin limitaci�on alguna� a dis�tancias at�omicas las leyes cl�asicas dejan de ser v�alidas� y� en segundo lugar� no es posiblehacer una descripci�on detallada de una porci�on macrosc�opica de materia porque �estollevar��a consigo la utilizaci�on de una cantidad excesiva de informaci�on�

Densidad de carga�

La Densidad de carga � se de�ne como una funci�on que� integrada sobre un volumenarbitrario� da la medida de la carga total encerrada en el mismo�

Q �

ZV� dv

Una carga puntual q� cuya trayectoria es �r��t�� puede ser descrita por medio de unafunci�on densidad haciendo uso de la delta de Dirac � v�ease el ap�endice correspondiente��

���r� t� � q ���r � �r��t�� �����

Efectivamente� esta densidad describe con propiedad el contenido de carga en elentorno de �r��t��

���r� t� �

���� �r �� �r��t�

�� �r � �r��t�

�Cada part��cula lleva consigo� aparte de su propia identidad de part��cula� masa� energ��a� carga�cantidad de movimiento� etc�� por lo que las de�niciones que se contemplan para describir a las cargasy sus �ujos son an�alogas a las que se de�nen para el resto de dichas magnitudes�

Page 21: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

y cualquier volumen elemental que contenga al punto �r� contiene una carga total� �gura����

r

Δ v ρ=0

y

x

z

r 0(t)

r 0(t)q

-r o

Figura ����

q �

Z�V��r��t�

���r� t�dv

Si lo que queremos describir detalladamente es una colectividad de N cargas pun�tuales qi situadas cada una en �ri�t�� i � �� � � �N � la densidad correspondiente es la sumade las densidades de cada una de las part��culas

���r� t� �

NXi��

�i��r� t� �

NXi��

qi ���r � �ri�t�� �����

y la carga contenida en un volumen V� de acuerdo con las propiedades de integraci�onde la delta de Dirac� ser�a

Q �

ZV� dv �

N�V�Xj��

qj

donde el ��ndice j � �� � � �N�V� recorre a todas las part��culas contenidas en V�De forma an�aloga� pueden de�nirse otras densidades� como la de part��culas

n��r� t� �

NXi��

���r � �ri�t�� �����

cuya intregral sobre un volumen proporciona el n�umero de part��culas que contiene

N�V� �ZVndv

o la densidad de la velocidad de las part��culas

��part��r� t� �

NXi��

�vi ���r � �ri�t�� ����

Page 22: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

cuya integral proporciona la suma de las velocidades de las part��culas contenidas en elvolumen ��

�vV �ZV��part dv �

N�V�Xj��

�vj

Estas densidades nos permiten tambi�en hallar el valor medio� sobre las part��culasencerradas en V� de las magnitudes asociadas a las mismas� como la carga� la velocidad�etc�

hqi �PN�V�

j�� qj

N�V� � � �u � h�vi �PN�V�

j�� �vj

N�V� �����

En la �gura ��� se muestra como se obtiene el promedio espacial �u��r� de la velocidadde un sistema de part��culas sobre un volumen V centrado en el punto ��r��

V

^

x

z

v 2

v 3

v 5

v 7

v 1

v 2

v 5v 4

v 6

v 3

v 7

v iu

r

v iΣ

v iΣ

v 1

v 8

v 6v 4

=(1/8)

(a) (c)

8v

(b)

=< >y

Figura ����

En ����a se muestra al sistema de part��culas y al volumen sobre el que se realizael promedio y sobre el cual se integra la densidad de part��culas� El resultado de estaintegraci�on es el que se detalla en ����b y el promedio �nal en ����c�

Intensidad� Densidad de corriente�

Se de�ne como Intensidad de corriente� �gura ��� a la carga total que atraviesa a

�Como se deducir�a de lo que sigue� ��part puede tambi�en interpretarse como la densidad de �ujo � odensidad de corriente de part��culas y su �ujo a trav�es de una super�cie nos da el n�umero de part��culasque la atraviesan en la unidad de tiempo�

Page 23: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

una super�cie� cerrada o abierta� en la unidad de tiempo

I ��dQ

d t

�S

�����

La unidad de intensidad es la fundamental del electromagnetismo en el sistemaMKSA� Esta recibe el nombre de Amperio �A�� La unidad de carga en el mismo sistemaes el Culombio y sus dimensiones �Q� � �A � s� se deducen de la de�nici�on anterior�Para realizar la integral de �ujo ser�a necesario seguir los convenios que de�nen la

direcci�on de la normal a la super�cie�

n

n

j

nj .V

L

SSj

Figura ���

La Densidad de corriente � de carga�� o densidad de �ujo de carga� se de�ne comouna funci�on vectorial cuyo �ujo a trav�es de dicha super�cie es la intensidad que laatraviesa�

I �

ZS�� � d�s �

ZS�� � �n ds

La densidad de corriente correspondiente a un solo portador� con carga q y velocidad�v�t�� puede expresarse como

����r� t� � q ���r � �r��t���v � ���r� t��v �����

En la �gura ��� se representa a la carga en el interior del volumen �V � �S ��v � �n��cuya generatriz es �v� cuya base es �S y cuya altura es la proyecci�on de �v sobre ladirecci�on �n� Si la part��cula� como se muestra en la �gura� se encuentra en el interior deeste volumen� saldr�a del mismo a trav�es de �S antes de transcurrido un segundo� porlo que la intensidad correspondiente a esta carga ser�a q A si la carga est�a dentro y �Asi est�a fuera�Para un sistema de N cargas puntuales qi� situadas cada una en �ri�t� y con veloci�

dades respectivas �vi�t�� i � �� � � �N � la densidad de corriente resultante es la suma delas densidades de corriente aportadas por cada una de las part��culas

����r� t� �NXi��

��i��r� t� �NXi��

qi ���r � �ri�t���vi �NXi��

�i��r� t��vi �����

Tambi�en es razonable la representaci�on microsc�opica de los iones y mol�eculas comodistribuciones continuas de carga y corriente� de acuerdo con la mec�anica cu�antica� lacual describe a los electrones orbitales mediante nubes de densidad de probabilidad�

Page 24: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

n

v

vq .V

d s

Δ

v

Figura ����

�� Descripci�on macrosc�opica

La descripci�on macrosc�opica pude llevarse a cabo por caminos diversos y con distintosobjetivos� todos los cuales llevan consigo la realizaci�on de operaciones de promedio yla asunci�on de hip�otesis simpli�cadoras� A pesar de que �esto implica la reducci�on de lainformaci�on que se utiliza para obtener las ecuaciones que predicen los comportamientosde las cargas y los campos y� en consecuencia� la disminuci�on del poder predictivo de lasmismas� el electromagnetismo macrosc�opico conserva una gran potencia para el an�alisisde la mayor��a de las situaciones pr�acticas�En ��� se de�ne una forma simple de obtener promedios espaciales de magnitudes

asociadas a part��culas discretas� Ahora extenderemos esta operaci�on� la m�as simple entrelas posibles� para aplicarla a funciones continuas o pseudocontinuas� Estos promediosse realizar�an sobre vol�umenes �V e intervalos �t Submacrosc�opicos� Se de�ne comovol�umen submacrosc�opico a todo aquel que contiene un n�umero su�cientemente elevadode cargas� como se puso de mani�esto en la introducci�on de esta primera parte� perocuya dimensi�on L � �

p�V es muy inferior a la longitud caracter��stica de los problemas

que queremos estudiar y �t es muy inferior a la m��nima constante de tiempo de dichosproblemas por ejemplo� si se quiere estudiar la propagacci�on� en un medio determinado�de ondas monocrom�aticas con longitud de onda � y periodo T � deben cumplirse lascondiciones L � � y �t � T � Debido a �esto� la descripci�on microsc�opica limita lafrecuencia m�axima que pueden contener los espectros de los campos estudiados�

Para funciones continuas� o pseudocontinuas� ���r� t�� de�niremos la operaci�on depromedio

h�i��r� t� � �

�V�tZ�V��t

���r � ��� t� �� d� d� ��� �

donde a la funci�on a promediar se le asigna el mismo peso en todo el dominio deintegraci�on � La variable de integraci�on �� recorre al volumen �V y la � al intervalo �t�Esto equivale a de�nir la funci�on macrosc�opica h�i en un punto ��r� t� como el prome�

dio de la microsc�opica �� realizado dentro de los intervalos submacrosc�opicos �V y �tcentrados en dicho punto �

�Desde el punto de vista te�orico es conveniente introducir una funci�on peso y de�nir el promedio�por ejemplo� el correspondiente a la coordenada x� de la forma h�i�x

R���

f����x� � d�� donde

f�� es una funci�on peso de area unitaria� es decir�R��

f�� d� �� y pendiente suave y continua�

Page 25: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

De esta forma� la funci�on microsc�opica ���r � ��� t� �� puede descomponerse en dost�erminos� su media h�i��r� t� en el entorno de ��r� t� y su Valor aleatorio ����r� ��� t� ���

���r � ��� t� �� � h�i��r� t� � � ���r � ��� t� �� h��i��r� t� � � ������

donde se pone de mani�esto que la media de la parte aleatoria de la funci�on es nula�Como ejemplo� la velocidad de una de las part��culas contenidas en �V puede expresarsecomo

�vi � �u� ��vi � � h��vii � �la velocidad media �u� sobre el volumen submacrosc�opico� es la Velocidad de arrastre del�uido de part��culas y ��vi es la desviaci�on sobre la media de la velocidad de la part��cula�i��Si la funci�on � es el producto de otras dos� �� y ��

h�� ��i � h��i h��i� h� �� � ��i ������

Los t�erminos del tipo h� �� � ��i son promedios del producto de magnitudes de medianula� Su importancia depende del grado de correlaci�on existente entre � �� y � ��� siendonulos cuando dicha correlaci�on no existe� Su evaluaci�on requiere en general la emisi�onde alguna hip�otesis de tipo f��sico�Una propiedad importante para obtener las ecuaciones macrosc�opicas del campo

electromagn�etico es la siguiente� derivando en �� bajo el signo integral es f�acil compro�bar que la media de la derivada con respecto a � � t� x� y� z� es igual a la derivadade la media�

h �

i �

h�i ������

Se discute la necesidad o no de efectuar el promedio temporal� El espacial� si afectaa un n�umero elevado de part��culas� reduce grandemente tanto las �uctuaciones espa�ciales como las temporales y� cuando el sistema estudiado est�a relativamente cerca delequilibrio� la hip�otesis erg�odica hace innecesaria a la media temporal� Si los medios sonfuertemente din�amicos la eliminaci�on de esta �ultima media es dudosa� En cualquier ca�so� la temporal solo a�nade un �ltrado de este tipo al ya efectuado por la espacial� loque no afecta al tratamiento gen�erico aqu�� empleado� Adem�as� todos los instrumentosmacrosc�opicos necesitan de un tiempo �nito para efectuar las medidas por lo que� dehecho� realizan la media en cuesti�on�Cuando la media es aplicada a una magnitud asociada a las part��culas� las integrales

pueden tambi�en interpretarse como sumatorias� As�� pues� para distribuciones discretas�la media de la densidad de part��culas es

hni��r� t� � hXi

���r � �ri�t��i � ������

��

�t

Z�t

��

�VZ�V

Xi

���r � ��� �ri�t� ��� d�

�d� �

��

�t

Z�thni��r� t� �� d� � hni��r� t�

�Para simpli�car� se prescindir�a del argumento ��r� t�

Page 26: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

donde� vease ����

hni��r� t� �� ��

�VZ�V

Xi

���r � ��� �ri�t� ��� d� �N�V�t� ��

�Ves el n�umero de part��culas que hay� por unidad de volumen� en el entorno de �r y en elinstante t � � � mientras que hni��r� t� es la Densidad macrosc�opica de part��culas� � eln�umero de part��culas por unidad de volumen que hay en el entorno de ��r� t��� Como ya seha comentado� la integraci�on sobre el volumen implica una reducci�on de las �uctuacionestemporales que es tanto mayor cuanto m�as numerosas son las part��culas contenidas en�V� La integral sobre � asigna al punto ��r� t� el valor promedio de hni��r� t � �� a lolargo del intervalo � �t��t��� t��t���� lo que lleva consigo un �ltrado adicional� oalisamiento� de la dependencia temporal� En la �gura ��� se representan las densidadesresultantes de promediar� en la dimensi�on espacial x y haciendo uso de intervalos deintegraci�on de distinta anchura �x� a la densidad microsc�opica de part��culas� La l��neahorizontal a trazos corresponde al valor medio de la densidad �part��culas por unidad deintervalo� dentro del intervalo m�aximo x ��� ����

x

x=0.5

x=1

x=5

Δ

Δ

Δ

1

2

0 5 10 15

n

20

Figura ���� Valores medios de la densidad de part��culas con distintas ventanas

Si consideramos por separado a los distintos tipos de portadores de carga y se supone�para simpli�car� que solo existen dos de ellos� uno con carga �e y otro con �e� ladensidad neta de carga puede obtenerse como la suma de las densidades parciales

h��i � e hn�i

h��i � �e hn�i

� h�i � h��i� h��i � e fhn�i � hn�ig �����

donde �� y �� son las densidades de carga positiva y negativa y n� y n� las densidadesde part��culas cargadas positiva y negativamente�

Page 27: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Normalmente se podr�a tambi�en escribir �

h���i � e hn�i �u�

h���i � �e hn�i�u�

� h��i � h���i� h���i � e fhn�i �u� � hn�i �u�g ������

En adelante� a menos que sea absolutamente necesario� escribiremos con la mismanotaci�on a las magnitudes microsc�opicas y a las macrosc�opicas�

��� Conservaci�on de la carga� ecuaci�on de continuidad

La experiencia establece que la carga puede crearse y destruirse pero siempre en parejasde carga positiva y negativa� Existe una gran variedad de mecanismos por los que� tantodesde el punto de vista microsc�opico como desde el macrosc�opico� se crea y se destruyecarga� pero todos ellos veri�can la condici�on de neutralidad neta� creaciones de pares�ionizaciones� recombinaciones� etc�� En consecuencia� se considera que el Universo esglobalmente neutro� Esta realidad experimental se eleva a postulado con el nombre dePrincipio de neutralidad del Universo�

Este principio se traduce en una ecuaci�on de continuidad� o conservaci�on� de la carganeta que liga a � con �j� Su deducci�on para las magnitudes microsc�opicas puede verseen el ap�endice de la Delta de Dirac� Aqu�� lo haremos directamente para las magnitudesmacrosc�opicas�

Podemos expresar el principio de conservaci�on de la carga neta en forma integral�

d

dt

ZV� dv � �

IS�j � d�s ������

donde ZV� dv � Q

es la carga encerrada en V� dQdt es el aumento de la carga almacenada en V por unidadde tiempo� y

I �

ZS�j � d�s � �dQ

dt

la carga que� en la unidad de tiempo� abandona el volumen V a trav�es de su super�cie�Con ���� expresamos la conservaci�on de la carga neta a�rmando que si hay un

incremento neto de la carga almacenada en V se debe a un intercambio de carga con elexterior a trav�es de la super�cie�

Para obtener una expresi�on diferencial� ecuaci�on de continuidad� supongamos que Ves un volumen �jo encerrado en la super�cie SZ

V

tdv � �

IS�j � d�s � �

ZVr ��j dv

�Esto es cierto para la media espacial y aproximadamente cierto para la temporal si la velocidadu� L

�t�

Page 28: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

lo cual es v�alido para todo V� Por lo tanto� la Ecuaci�on de continuidad de la carga neta

es

r ��j � �

t� � ������

como puede deducirse de su hom�ologa microsc�opica hallando su promedio�

��� Corrientes estacionarias

Un caso particular de corriente� que es de inter�es para nosotros� es la corriente esta�cionaria� de�nida por

r ��j � �

t� �

���IS�j � d�s � �� � �� ��t�

Para corrientes estacionarias tiene sentido hablar de la intensidad I que circulapor un tubo de corriente� Aplicando el teorema de la divergencia al segmento de tuborepresentado en la �gura ����a

j

n 2

n 1

nn

n

n

j

S lat

S1

S 2

I

I

(a) (b)

Figura ����

I �

ZS��j � d�s �

ZS��j � d�s � cte ������

ya que el �ujo de corriente �S��j�� a trav�es de la super�cie total S es nulo� Efectivamente�S � S��S��Slat y� tomando S� y S� tales que �n � ��n� � �n�� �S � �S���S���lat � ��donde el �ujo sobre la super�cie lateral del tubo �lat � � porque en dicha super�cie�j � �n � ��

Los tubos de corriente deben ser cerrados y �nitos� v�ease la �gura ����b� dada laimposibilidad de reunir in�nitos portadores para construir el tubo y de in�nita energ��apara moverlos� En el caso de los superconductores falla el argumento de la energ��apuesto que� como veremos� los portadores pueden moverse inde�nidamente sin cesi�onde energ��a�

Page 29: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Ley de fuerzas de Lorentz

Las cagas pueden sentir fuerzas cuyo origen no es electromagn�etico cl�asico� como lagravitatoria� las cu�anticas� etc� En su momento ser�an tenidas en cuenta pero en estaprimera parte solo nos ocuparemos de las fuerzas del primer tipo�

La ley de fuerza fundamental del electromagnetismo es la ley de Lorentz� que pode�mos enunciar� para cargas que se mueven con velocidades arbitrarias �v� o para cargas ycorrientes distribuidas sobre un volumen� mediante las siguientes expresiones �

�Fq��r� � qh�E��r� � �v � �B��r�

i���� �

�Fv �d�F

dv� � �E ��j � �B ������

A continuaci�on las analizaremos con detalle�

En primer lugar� en ��� se postula la existencia de unas entidades que llamaremoscargas� y cuya magnitud q mediremos comparando las fuerzas ejercidas sobre distintascargas situadas en condiciones id�enticas�

La fuerza detectada puede descomponerse en dos t�erminos� uno independiente dela velocidad� que llamaremos Fuerza el�ectrica� y otro dependiente de la misma� quellamaremos Fuerza magn�etica�

�Fq � �Fe � �Fm � � �Fe��r� � q �E��r� � � �Fm��r� � q�v � �B��r�

La fuerza el�ectrica tiene las siguientes propiedades

�Fe � q �E

���� q

�e� signo�q� � �e � direcci�on �ja en el espacio

y la magn�etica

�Fm � q �v � �B

������������ q

� v

�v � �b� signo�q� � �b � direcci�on �ja

En esta ley se da por supuesto que existe una perturbaci�on en el espacio que puedeser descrita mediante los campos �E y �B�

Desde el punto de vista operacional� podemos de�nir al campo el�ectrico como

�E � limq��

�v��

�Fq

q

�La ley est�a expresada en el Sistema Internacional de unidades �SI que� en el electromagnetismo�coincide con el Giorgi o MKSA �v�ease el ap�endice sobre unidades�

Page 30: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

donde q � � para que no perturbe las fuentes iniciales del campo�As�� como el campo el�ectrico puede determinarse por una sola medida� para determi�

nar el campo magn�etico es necesario realizar dos medidas� Efectivamente� si un vectordesconocido �X est�a relacionado con otros dos conocidos� �A y �C por la relaci�on

�C � �A � �X

multiplicando vectorialmente por �A� desarrollando y despejando�

�X ��C � �A

A��K �A

donde

K ��A � �XA�

De forma que� haciendo dos medidas con �v���v�� tomando

�C ��F

q� �A � �v �B �

q

�F� � �v�v��

�K��v� ��

q

�F� � �v�v��

�K��v�

y multiplicando escalarmente por �v�

K� ��

q

�F� � �v�v��v

��

� �v�

�� Trabajo sobre una carga en movimiento

(b)

d l

v

F

2

1

vd l

E

B

Fπ/2

π/2

2

1

q

π/2

e

m

q

(a)

Figura ����

El trabajo que un campo electromagn�etico realiza sobre una carga en movimientoque se traslada del punto � al � es�

W�� �

Z �

�Fq � d�l �Z �

�Fq � �v dt �Z �

�Fe � d�l � q

Z �

�E � d�l

Page 31: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

La contribuci�on del campo magn�etico a este trabajo es nula� v�ease la �gura ����puesto que� seg�un la ley de Lorentz� la fuerza magn�etica es perpendicular a la trayectoria�Esto no quiere decir que el campo magn�etico sea incapaz de transmitir energ��a a lascargas seg�un hemos apuntado en otro lugar� los campos magn�eticos variables puedenproducir un campo el�ectrico que� a su vez� puede trabajar sobre las cargas�

��� El campo electromagn�etico en el marco de la relativi

dad de Galileo

Las leyes de Newton se completan con el principio de relatividad de Galileo� seg�un elcual� �estas tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales� Aunque este principiono es v�alido para el electromagnetismo� en el primer tomo se utilizar�an las reglas detransformaci�on de los campos que se deducen del mismo� dejando la resoluci�on de esteproblema para el tomo segundo �

��� Relatividad de Galileo

El principio de relatividad de Galileo puede enunciarse de la siguiente manera�

� Las leyes de Newton presentan la misma forma para todos los obser�

vadores inerciales�

Partiendo de las leyes de Newton� de la concepci�on absoluta e independiente delespacio y del tiempo� del postulado de relatividad y de los principios de homogeneidade isotrop��a� seg�un los cuales el espacio es is�otropo y homog�eneo y el tiempo homog�eneo�se deducen las Transformaciones de coordenadas de Galileo� que en su forma Est�andarse expresan como sigue�

(x’,y’,z’)

V t

r’

r

y

z

x

S’

SO

O’

^

^

x’

^ y’

z’

P = (x,y,z)

Figura �� �

�r � � �r � �V t � � �V � �cte ������

En el ap�endice de relatividad del segundo tomo puede encontrarse un tratamiento m�as amplio deesta cuesti�on�

Page 32: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

t� � t ������

donde� �gura �� � �r � es el vector de posici�on� o coordenado� del punto P con respec�to al sistema de referencia S �� �r y �V t los vectores coordenados� del mismo punto ydel origen O� de S �� con respecto del sistema S� Como consecuencia de la ley de iner�cia� el movimiento relativo entre sistemas inerciales es de traslaci�on uniforme� es decir�se mueven entre s�� con velocidades relativas �V uniformes� Las expresiones anteriorescorresponden a la versi�on est�andar� o usual� de las transformaciones� la cual no es com�pletamente general� los sistemas de referencia S y S � tienen el mismo origen temporaly las mismas escalas� �� Adem�as suelen utilizarse los mismos vectores unitarios de baseen ambos sistemas� � � � � � � x� y� z�

� � � � Vectores y escalares Invariantes galileanos

De acuerdo con lo expuesto en el ap�endice sobre vectores� �estos se caracterizan porlas leyes de transformaci�on de sus componentes con respecto a los cambios de basey no porque �estas se transformen �como las coordenadas�� El vector de posici�on esefectivamente un vector porque sus componentes se transforman como tales frente a uncambio de los vectores unitarios de la base permanece invariante frente a los cambiosde los vectores de la base pero no frente a las transformaciones de Galileo que sontransformaciones de coordenadas� desde un sistema S a otro S � �� En este caso� el car�actertensorial de una magnitud f��sica no garantiza su invarianza galileana�Derivando con respecto al tiempo las coordenadas de la trayectoria de una part��cula

�r�t� se obtiene la ley de Composici�on de velocidades de Galileo

�v � � �v � �V ������

donde �v y �v �� las velocidades de la part��cula con respecto a cada uno de los sistemas dereferencia� son vectores no invariantes frente a las transformaciones de Galileo� Esta leyes incompatible con las leyes de Maxwell puesto que de ellas se deduce que las ondaselectromagn�eticas se propagan con una velocidad cuyo m�odulo c es un escalar invariante�hecho que hoy en dia est�a con�rmado hasta un precisi�on del orden del cm � s���Volviendo a derivar se deduce que la aceleraci�on de la part��cula

�a � � �a �����

si es un Invariante vectorial frente a las transformaciones de Galileo� Se entiende queun invariante vectorial �tensorial� no se ve afectado por la traslaci�on� solo cambian suscomponentes si en la transformaci�on se cambia la base vectorial � Esto implica que elcuadrado del m�odulo �a � �a � a�x � a�y � a�z � a� es un escalar invariante galileano� Sede�ne como cuerpo inercial a aquel cuya aceleraci�on con respecto a un sistema inerciales nula ��a � ��� por lo que el car�acter inercial es invariante�

Pueden desplazarse los or��genes incluyendo en el segundo miembro de la transformaci�on los t�erminosiniciales �r� y t� e introducirse factores de escala� por ejemplo� escribiendo t� k t�

�Adem�as del cambio de base� las transformaciones de coordenadas llevan consigo una traslaci�on delorigen� En el caso de las de Galileo �esta es dependiente del tiempo�

Page 33: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Puesto que el principio de relatividad implica la invarianza de las leyes de Newton��F es un invariante vectorial

�F � m�a

y� dado que la aceleraci�on tambi�en lo es� m� la masa inerte� es un invariante escalar� esdecir� al cambiar de sistema inercial�

�F � � �F � � m� � m ������

Debemos tambi�en puntualizar que la ley de acci�on y reacci�on requiere que la trans�misi�on de las interacciones se realice a velocidad in�nita� lo que no es compatible conlas leyes del electromagnetismo ya que de ellas se deduce que esta velocidad debe ser�nita�

� � � � Leyes de transformaci�on de los campos

Las leyes de transformaci�on de los campos al cambiar de sistema inercial se deducen dela ley de Lorentz ���

�Fq��r� � qh�E��r� � �v � �B��r�

iAl escribir de esta forma la ley de fuerza se sobreentiende que la carga q de la

part��cula es invariante q � q�� puesto que la expresi�on se da por v�alida para cualquiervelocidad �v de la misma� Por otra parte� como se ha visto anteriormente� la fuerza es uninvariante vectorial �F � �F �� luego �E��v� �B � �E ���v �� �B �� Cada uno de los sumandos esun vector que� como se ver�a a continuaci�on� no es invariante frente a las transformacionesde Galileo� A partir de lo anterior y de la ley de composici�on de velocidades se deducenlas Leyes de transformaci�on de los campos utilizadas en el contexto galileano y quese cumplen aproximadamente en la pr�actica para V �� c y c � �� Efectivamente�de acuerdo con la ley de composici�on de velocidades y considerando solo sistemas dereferencia � a derechas�� para simpli�car�

�E � �v � �B �

� �E � �v � � �B � �V � �B �z ��a�

� �E � � �v � � �B � �z ��b�

Puesto que el campo el�ectrico �E � ���F ��q

��v ���

� haciendo �v � � � en la ecuaci�on

�a� � �b�� se obtiene�E � � �E � �V � �B ������

y� eliminando �E� de la misma ecuaci�on �a� � �b��

�v � � �B � � �v � � �B

Page 34: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Dado que �v � es un vector� aunque no invariante� que puede tomar valores arbitrarios��B es un pseudovector invariante ��� ��

�B � � �B ������

Pero estas leyes de transformaci�on� aunque aplicables y �utiles en el rango ya men�cionado de bajas velocidades� no dejan de presentar di�cultades conceptuales porqueson el resultado de imponer a los campos un principio de relatividad que las ecuacionesde Maxwell necesariamente incumplen�

�� Problemas

���� Hallar � R� x y � R

� x� � Demostrar que rR � �r �R� donde r es el operador gradiente

con respecto a las coordenadas del punto de observaci�on y r � el mismo operador

con respecto a las coordenadas del punto fuente�

���� Expresar como densidades continuas de carga las distribuciones puntuales de la

gura ����

b

a

+q -q

(b)

a

a

ba

a

(c) (d)

a

(a)

Figura �����

���� Expresar como densidades de volumen las siguientes distribuciones de carga�

a� Una carga distribuida� con densidad uniforme �s� sobre la supercie de un

cilindro que est�a centrado en el eje z�

b� Una carga distribuida uniformemente� con densidad lineal �� sobre una recta

denida por las ecuaciones� en cil��ndricas� � � a� � b�

��En las transformaciones en las que el orden c��clico de los vectores de base se invierte� �B � � �B��Si se aproxima hasta el primer orden en � � V�c a la ley de Einstein para la transformaci�on del

campo magn�etico � se obtiene �B� � �B ��Vc�� �E � v�ease el tomo segundo para obtener el resultado

galileano es necesario� adem�as� suponer que c��� No se debe olvidar que las ecuaciones de Maxwellno son compatibles con las transformaciones de Galileo� Esto hace que� en el l��mite de baja velocidad�sea a veces m�as apropiada la utilizaci�on de esta expresi�on que la galileana�

Page 35: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

c� Una l��nea circular� uniformemente cargada con densidad �� cuyas ecuacionesen esf�ericas son r � a� � b�

���� En el sistema MKS� la unidad el�ectrica fundamental es el amperio A pero� sin

embargo� la carga suele expresarse en culombios C� el campo el�ectrico en voltiospor metro V �m�� y el magn�etico en webers por metro cuadrado W �m��� Hallarlas dimensiones fundamentales del culombio� del voltio y del weber�

���� Una esfera de radio a�t� se expande con velocidad constante v en una regi�on car�

gada uniformemente con densidad �� Aplicar a �esta situaci�on la ecuaci�on de con�

tinuidad�

���� Las densidades de electrones portadores en diel�ectricos� semiconductores y conduc�

tores son del orden de �� � ���� y ���� electrones por metro c�ubico respectivamente�

Supuesto un hilo de cada uno de �estos materiales� con una secci�on de � cm�� que

transportase un amperio� estimar las densidades de carga portadora� las veloci�

dades de arrastre de los electrones y el n�umero de ellos que se transporta a trav�es

de una secci�on dada en cada segundo�

���� Una carga est�atica siente en un punto del espacio una fuerza� por unidad de carga��F�q � � bxN � C��� cuando la carga se mueve con velocidad �v� � � bxm � s����F�q � � �bx� bz�N � C�� y cuando la velocidad es �v � � by m � s��� �F � �F�� Hallar

�E y �B

���� Un electr�on incide con velocidad �v� � �v�� �� �� en una regi�on en la que coexiste un

campo el�ectrico con otro magn�etico� ambos uniformes y paralelos al eje z� Hallarlas ecuaciones de la trayectoria y describir las propiedades fundamentales de la

misma�

���� Demostrar que si� adem�as de los campos especicados en el problema anterior�

existe una fuerza perpendicular al eje z� la trayectoria del electr�on sufre un arrastre

con velocidad constante vF �

Un plasma esta constituido por electrones de carga �e y masa m e

iones positivos de carga �e y masa M � Las densidades de part��culas

respectivas� en estado de equilibrio� son ne � ni � n��

Hallar la densidad de corriente inducida cuando la fuerza se debe a un campo

el�ectrico �E o a un campo gravitatorio �g�

���� Un magnetr�on de placas paralelas esta formado por dos placas� met�alicas� planas�

indenidas� situadas en x � � e x � a y sometidas a una diferencia de potencial

de la que resulta un campo el�ectrico uniforme �E � �E� bx� Entre ellas� adem�as�

se establece un campo magn�etico uniforme �B � B� bz� De la placa inferior se

emiten electrones con velocidad despreciable� � Cu�al es el m��nimo campo el�ectrico

necesario� en funci�on del magn�etico� para que los electrones alcancen a la otraplaca�

Page 36: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

����� Hallar el trabajo realizado para desplazar a una carga unitaria desde el innito

hasta la posici�on �r si est�a en presencia del campo el�ectrico producido por una

carga puntual situada en el origen

�E � K�r

r

Page 37: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Campos est�aticos

��� Introducci�on

Empezamos aqu�� la b�usqueda de las fuentes del campo electromagn�etico en el vac��o�Esto lo llevaremos a cabo de forma paulatina� respetando en cierto modo el desarrollohist�orico de la asignatura y partiendo de los casos m�as simples hasta los m�as generales�En este cap��tulo se tratar�a de los campos est�aticos� producidos por cargas quietas y cor�rientes estacionarias� Aunque la parte el�ectrica del campo electromagn�etico tiene fuentesescalares y vectoriales� nos limitaremos en este tema al estudio del campo electrost�atico�producido por distribuciones de carga invariantes con el tiempo� En el pr�oximo cap��tulose postular�an sus fuentes vectoriales� Por lo que respecta al campo magn�etico� este s�olotiene fuentes vectoriales que pueden ser de tipo diverso� Siguiendo la misma pauta quepara el campo el�ectrico� nos restringiremos en �este al estudio del campo magn�etico pro�ducido por corrientes estacionarias� dejando para el cap��tulo siguiente el estudio de loscampos din�amicos�

��� Campo electrost�atico

El campo electrost�atico es aquel que no depende del tiempo y que est�a producido por dis�tribuciones de carga que no dependen del tiempo� Desde el punto de vista microsc�opicosupondremos que todas las cargas del Universo est�an quietas con respecto al observador�Desde el punto de vista macrosc�opico� basta con que las corrientes sean estacionaria� esdecir� que � �

� t � � � � cte�

��� Ley de Coulomb

Aunque Coulomb postul�o la interacci�on completa� nosotros expondremos su ley comorelaci�on entre las fuentes del campo y el propio campo�Para cargas puntuales� el campo el�ectrico producido por un sistema de N cargas

puntuales qi en el punto P � cuyo vector de posici�on es �r� puede expresarse de la forma

�E��r� � C

NXi��

qibRi

R�i

�����

��

Page 38: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

donde� de acuerdo con la �gura ���� los �Ri son los vectores de posici�on del punto deobservaci�on con respecto a las caragas qi�

i

^

x

z R iq 1

q Nr

P

q

y

Figura ����

Es decir� el campo electrost�atico� campo el�ectrico generado por cargas qi est�aticas�cumple el principio lineal de superposici�on vectorial� es proporcional a las cargas fuente�sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia� su direcci�on viene regida por losvectores que ligan a las cargas con el punto de observaci�on y su sentido est�a determinadopor el signo de qi� No se tiene constancia de la existencia de no�linealidades� dentro dela teor��a cl�asica� no cu�antica� incluso para los campos extremadamente fuertes que sedan en los n�ucleos pesados�La ley del cuadrado se cumple con gran precisi�on

F � �

R�

��

Rn� n � �� �� �����

�En el sistema cgs electrost�atico C � �� por lo que q es una magnitud derivada de

las mec�anicas� �V�ease el ap�endice �����En el MKSA ��

C ��

���� � ���� �� � ����� ����� �F �m���� �F �m��� � �m �Kg�� � s � A��

Es f�acil comprobar que la relaci�on entre la fuerza el�ectrica Fe y la de gravitaci�on Fgentre electrones es�

FeFg�

Ce�

Gm�� ��

Sin embargo� en contra de la opini�on de William Gilbert� no es una cierta clase de

magnetismo lo que gobierna la trayectoria de los planetas y los astros� sino la fuerzagravitatoria� No obstante� los campos magn�eticos juegan un papel importante en elmovimiento y la estructuraci�on de los plasmas del universo y en el de las galaxias�En general� para distribuciones continuas de cargas� v�ease la �gura ���� la ley de

Coulomb se genealiza substituyendo la sumatoria por una integral

�E��r� ��

���

ZV �

���r ���R

Rdv � �����

�La unidad F es la de capacidad� el Faradio�

Page 39: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

^

x

z

rr ’

R

dq= dv’ρ

P

y

V’

Figura ����

��� Fuentes del campo electrost�atico

La expresi�on anterior puede escribirse de la forma �

�E��r� ������

ZV �

���r ��r��

R

�dv � � �r

��

���

ZV �

���r ��R

dv � �K

�donde K es una constante� De aqu�� se deduce que

�E � �rV �����

Es decir� �E deriva de un Potencial escalar V que puede obtenerse mediante una inte�graci�on sobre el volumen V � en el que la densidad de carga ���r �� es distinta de cero�

V ��r� ��

���

ZV �

���r ��R

dv� �K ����

De esta expresi�on se deduce� seg�un el teorema de Helmholtz� que las fuentes escalaresy vectoriales del campo electromagn�etico son�

r � �E � �

�������

r� �E � � �����

Estas son las ecuaciones de Maxwell para el campo electrost�atico� La primera es�peci�ca las fuentes escalares del campo y presenta su forma de�nitiva para los camposdin�amicos en el vac��o� La segunda expresa que el campo electrost�atico no tiene fuentesvectoriales habr�a de ser modi�cada para incluir a otras fuentes vectoriales que generanal campo el�ectrico no est�atico� Puesto que son ecuaciones diferenciales� tienen car�acterlocal� ligan a las derivadas del campo en un punto del espacio con el valor de las fuentesen ese mismo punto�Haciendo uso de los teoremas de la divergencia y del rotacional� se pueden expresar

estas leyes en forma extensiva�IS�E � d�s � �

��

ZV� dv �

Q

�������

�r sale fuera de la integral porque no opera sobre las coordenadas de integraci�on�

Page 40: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

donde S es la super�cie que encierra al volumen V en el que se encuentra una cargatotal Q� Esta ley es conocida con el nombre de Ley de Gauss y relaciona al �ujo delcampo el�ectrico a trav�es de una super�cie cerrada con la carga total contenida dentrode la misma�

Por otra parte� puesto que �E no posee fuentes vectoriales ������ se cumple que� paracualquier L� I

L�E � d�l � � �����

Esta es una manifestaci�on del car�acter conservativo del campo electrost�atico� el campoelectrost�atico realiza un trabajo nulo sobre cargas que describen trayectorias cerradas�

�� Potencial electrost�atico

Ya hemos visto que �E deriva de un potencial escalar cuya relaci�on con las densidades decarga viene dada por ��� Para una carga q puntual situada en el origen� esta densidades ���r �� � q ���r �� y

V ��r� ��

���

q

R�K ��� �

M�as adelante veremos que esta expresi�on es v�alida para distribuciones de carga queest�en de�nidas en vol�umenes �nitos� a distancia �nita del origen y observadas desdegrandes distancias al mismo �R � ��� q ser��a la carga total de dicho volumen y K �V ��� el potencial del in�nito que� en este caso� puede hacerse igual a cero�

2

V

V >V

V

Ε

1

2

Figura ����

El campo el�ectrico �E � �rV � v�ease la �gura ���� tiene la direcci�on y el senti�do del m�aximo decrecimiento de V � Los incrementos elementales de potencial puedenexpresarse como

dV � rV � d�r dV � � �E � d�r

Las super�cies equipotenciales� dV � �� son las generadas por desplazamientos d�rperpendiculares a las l��neas de campo� Para V � cte� � �E � d�r� � �� luego� �E�d�r�

Page 41: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Energ��a potencial

La realizaci�on de un balance energ�etico detallado� para un sistema f��sico real� suele sercompleja puesto que existen mecanismos muy diversos de almacenamiento y transfor�maci�on de energ��a� Empezaremos abordando los casos m�as simples�

Energ��a potencial de una carga en campo externo �

El balance energ�etico m�as simple que podemos imaginar en un sistema el�ectrico esel siguiente� imaginemos un proceso reversible en el que un carga se traslada desde unaposici�on �r� a otra �r� en presencia de un campo externo �Ee creado por cargas que per�manecen inalterables durante el proceso� Bajo estas circunstancias� en el vac��o� la �unicafuente de irreversibilidad posible reside en los fen�omenos de radiaci�on que se producencuando una carga es acelerada� por lo que� aunque las p�erdidas por radiaci�on suelenser normalmente peque�nas� ser�a necesario asegurarse que durante la transformaci�on lasaceleraciones sufridas por la carga son peque�nas� Equilibraremos pues las fuerzas que elcampo externo ejerce sobre la carga con otra fuerza igual y contraria�

�Fcc � ��Fc

����Fcc � fuerza contra el campo

�Fc � fuerza del campo

El trabajo realizado por el campo en la transformaci�on� que es igual y de signocontrario al realizado por las fuerzas establecidas en contra del campo� ser�a

W�� �

Z �r�

�r�

�Fc � d�r � q

Z �r�

�r�

�Ee � d�r � �qZ �r�

�r�

rVe � d�r

� �qZ �r�

�r�

dV � q �Ve��r��� Ve��r���

De�niremos como energ��a potencial de una carga en un campo externo a�

Wp��r� �

Z �

�r

�Fc � d�r � q �Ve��r�� Ve���� ������

que� en el caso de que el in�nito pueda tomarse como origen de potenciales� Ve��� � ��

Wp��r� � q Ve��r�

Como ya hemos apuntado� esto ser�a siempre posible si las cargas que crean �Ee est�an enun volumen �nito a distancia �nita del observador�

La energ��a potencial ser��a� por lo tanto� el trabajo realizado por el campo para llevarla carga hasta el in�nito o� de otra forma� la m�axima energ��a que puede extraerse de lacarga al trasladarla de su posici�on inicial� en reposo� hasta el in�nito� tambi�en en reposo�Si el proceso se realizara de forma no reversible� con aceleraciones notables� parte deltrabajo realizado por el campo se perder��a como energ��a radiada�

Page 42: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Si en vez de una sola carga puntual quisi�eramos contabilizar la energ��a potencial deun sistema de N cargas puntuales y de una distribuci�on continua contenida en V� en uncampo producido por otro sistema externo de cargas� tendremos�

Wp �

NXi��

qi Ve �

ZV�Ve dv ������

expresi�on que excluye a la energ��a de interacci�on de las cargas testigo entre s���A continuaci�on trataremos a estos t�erminos de energ��a potencial en campo interno�

Energ��a portencial de un sistema de cargas �En el apartado anterior hemos considerado la interacci�on de una carga con un campo

creado por un sistema de cargas externo� Consideraremos ahora la energ��a total deinteracci�on de un sistema deN cargas puntuales� �gura ��� situadas a distancias mutuas�nitas �Rij �

j

^

x

z R i

q 1

q N

r

q i

q

i

j

y

Figura ���

Esta energ��a de interacci�on ser��a la m�axima que podr��a ser extra��da del sistema en unproceso en el que� partiendo de las posiciones iniciales� se llevara a las cargas al in�nito�de tal forma que las distancias mutuas �nales fuesen in�nitas y� en consecuencia� laenerg��a de interacci�on fuese nula�De�niremos como Energ��a potencial del sistema de cargas puntuales al trabajo que

tendr��amos que realizar en contra del campo para trasladar a las cargas� de formareversible� desde sus posiciones en el in�nito hasta sus posiciones �nales �ri�Puesto que el proceso es reversible� el trabajo total ser�a independiente del camino

y del orden en que se transporten las cargas� Trasladaremos a las cargas en el ordenj � �� ���� N � una a una�

W �

NXj��

Wj

donde Wj es el trabajo que cuesta traer a la carga j en contra del campo de las j � �que han sido trasladadas previamente�Podemos escribir� seg�un el p�arrafo anterior�

Wj � qj

j��Xi��

Vi��rj� � qj

j��Xi��

���

qirij

Page 43: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

donde Vi��rj� es el potencial que la carga i produce en la posici�on �nal de la carga j�

Luego�

W �

NXj��

j��Xi��

���

qi qjrij

A este mismo resultado podemos llegar invirtiendo el orden del transporte� dando aj los valores j � N� ���� �

W ��X

j�N

W �j �

NXj��

NXi�j��

���

qi qjrij

Expresi�on en la que se ha tenido en cuenta que W �j es el trabajo que cuesta traer a la

carga qj cuando previamente se han traido las cargas qN � ���� qj���

Sumando ambas expresiones

W ��

NXj��

qj

NXi��ji��

���

qirij��

NXj��

qj Vj ������

donde Vj es el potencial creado por el resto de las cargas del sistema �i �� j� en laposici�on �rj ocupada por la part��cula j�

Aqu�� aparece un factor �� � a diferencia del resultado obtenido en el p�arrafo anterior�

porque el campo contra el que hay que trabajar es el propio de las cargas del sistema yno un campo externo�

Es necesario resaltar que en esta expresi�on no se incluye la energ��a necesaria paraformar a las cargas puntuales o Autoenerg��a de dichas cargas� La autoenerg��a de unacarga puntual es singular� como puede comprobarse si intentamos construir una cargapuntual Q �

Pqj� a partir del sistema de cargas puntuales� haciendo rij � �

limrij��

��

Si en vez de una distribuci�on discreta de carga construimos una distribuci�on contin�ua� se obtiene

W ��

ZV���r�V ��r� dv ������

Expresi�on que da cuenta de toda la energ��a necesaria para formar la distribuci�on sinexcluir los t�erminos de autoenerg��a� Podemos construir la distribuci�on �nal de cargacontinua a partir de la carga totalmente dispersa� en el in�nito� de forma que la energ��ainicial de interacci�on sea nula� Si� de acuerdo con la �gura ���� vamos incrementandogradualmente la densidad de cada punto de la distribuci�on� trasladando desde el in�nitoelementos de carga ��q � �� dv� el potencial� V ��r�� que guarda una relaci�on lineal con susfuentes� var��a proporcionalmente a ���r�� lo que� de forma an�aloga al proceso analizadopreviamente en base a cargas puntuales� hace aparecer el factor �

� en la expresi�on�

Page 44: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

^

x

z ( r )ρ

V( r )r

δ2 =δρ dvq

y

V

Figura ����

��� Ecuaciones de Poisson y Laplace

Buscaremos las ecuaciones locales que ligan al potencial electrost�atico y a las densidadesde carga�El campo electrost�atico es conservativo � r� �E � � �E � �rV � pero� en general�

no es solenoidal� r � �E � �

��� por lo que

r�V � � �

��Ecuaci�on de Poisson �����

que� en el caso en que � � �� se convierte en

r�V � � Ecuaci�on de Laplace ������

V�eanse los problemas y el ap�endice para la soluci�on de estas ecuaciones�

�� Estructuras simples del campo el�ectrico

Dada una distribuci�on de cargas determinada� disponemos de varias alternativas parael c�alculo del campo el�ectrico resultante� Ciertas distribuciones� por poseer un altogrado de simetr��a� permiten soluciones anal��ticas simples� lo que realza su importancia�En general� las soluciones anal��ticas exactas no son posibles y hay que recurrir a laobtenci�on de soluciones anal��ticas aproximadas o a soluciones num�ericas�Un an�alisis de la simetr��a de las leyes del campo electrost�atico permiten simpli�car

el c�alculo de campos producidos por distribuciones que� a su vez� posean un alto gradode simetr��a�As�� pues� una distribuci�on con simetr��a plana� por ejemplo una en la que � � ��x��

�gura ����a� es vista por un observador desde P��x�� y�� z�� exactamente de la mismaforma que desde P��x�� y�� z��� S�olo es capaz de discernir los detalles de las fuentes enla direcci�on x�

� � ��x� V

y�

V

z� � V � V �x� �E � E�x� bx

De la misma forma� para distribuciones con simetr��a cil��ndrica o esf�erica� �guras����b y ����c�

Page 45: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

ρ

(c)

ρ=ρ( ρ)

(b)

P (x ,y ,z )1 22 2

P (x ,y ,z )1 1 11

E=E(x) x^

ρ=ρ( )xz

y

x ρ=ρ( )

(a)

r

r

Figura ����

� � ���� V

V

z� � V � V ��� �E � E��� b�

� � ��r� V

��

V

� � V � V �r� �E � E�r� br

A pesar de que las distribuciones con alto grado de simetr��a carecen de generalidad�su sencillez les presta una gran importancia te�orica y pr�actica�

��� Campo magn�etico producido por corrientes esta

cionarias

�� Campos y fuerzas magn�eticas

El campo magn�etico que produce una corriente estacionaria viene dado por la Ley de

Biot y Savart� Podr��amos presentar esta ley en detalle� como hemos hecho con la deCoulomb� pero nos limitaremos a resaltar que la estructura del campo magn�etico esm�as compleja que la del el�ectrico� porque el integrando es un producto vectorial� peroque tambi�en sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia� En el sistemaMKSA

�B��r� ����

ZV ��j �

�R

Rdv� ������

V � es el volumen del tubo de corriente estacionaria� La expresi�on

d �B �����j �

bRR�

dv�

s�olo tiene sentido como integrando� puesto que un elemento de corriente �j dv� no cons�tituye por s�� mismo una corriente estacionaria � �gura �����

Page 46: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

dv’I

j

Π

d B Π

R

Figura ����

�B� � tesla � weber �m�� � �� gauss�MKSA�

La constante ��� Permeabilidad del vac��o� se de�ne num�ericamente como

�� � � � ��� N � A��

Un caso particular interesante de corriente estacionaria es la Espira� tubo de corrientecerrado y con secci�on despreciable� �gura ����

I

dv’

j

d l d s ’’

Figura ����

Es interesante expresar la ley de Biot y Savart para este caso particular� Si la secci�ones peque�na pueden tomarse d�s � �j d�l �� con lo que dv � � d�s � � d�l � e I � �j � d�s ��Substituyendo en ����

�B��r� ����

ZV ��j �

bRR��d�s � � d�l �� � ��

ZV �

d�l � ��R

R��j � d�s ��

luego

�B��r� ���I

IL

d�l � � �R

R������

Page 47: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

que es la expresi�on� para espiras� de la ley de Biot y Savart�

Podemos comprobar� �gura �� � que la fuerza �d�F � que un elemento de corrienteI � d�l� ejerce sobre otro I d�l no cumple el principio de acci�on y reacci�on� Esto es debidoa la asimetr��a del triple producto vectorial�

d�F ����

I I � d�l � �d�l � � �R�

R� d �F� d�l� d �B �

d�F � ����

I I � d�l � ���d�l � ���R�

R

�� d �F �� d�l �� d �B

d B

d F’ ⊥ Σ ’

d F ⊥ Σd B’ ⊥ Π ’

ΠΣ

⊥ Π

I d l

I’ d l’

R

Σ

-R

’Π ’

Figura �� �

Esto carece de trascendencia puesto que la ley de Biot y Savart s�olo es v�alida paracorrientes estacionarias y puede comprobarse que el principio de acci�on y reacci�on s��se cumple para la interacci�on de dos corrientes estacionarias� No obstante� las accionesdel campo electromagn�etico variable se propagan con velocidad �nita por lo que en elcaso de corrientes din�amicas no cabe esperar que el principio de acci�on y reacci�on secumpla a distancia�

�� Fuentes del campo magn�etico Potencial vector

Busquemos las fuentes escalares�

r � �B��r� � ���

ZV �r �

��j��r �� �

�R

R

�dv�

y� teniendo en cuenta que

r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��b�V�ease Lorrain�Corson

Page 48: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

r ���j��r �� �

�R

R

��

�R

R� r ��j��r �� �z �

��

��j��r �� � r ��

�R

R

� �z �

��

� �

donde se ha tenido en cuenta que r opera sobre las coordenadas x� y� z� mientras que�j��r �� depende de las x �� y �� z �� y que �R

R� � r � �R�� Luego

r � �B � � IS

�B � d�s � � ������

El campo magn�etico producido por una corriente estacionaria es solenoidal� lo queimplica que las l��neas de campo deben ser cerradas� aunque no necesariamente de lon�gitud �nita � Aunque te�oricamente cabe esperar la existencia de monopolos o cargasmagn�eticas� no han sido detectados hasta la fecha por lo que este car�acter solenoidalse har�a extensivo a los campos magn�eticos en general� dando por de�nitiva la forma deesta ecuaci�on de Maxwell�

�B puede derivarse� por lo tanto� de acuerdo con el teorema de Helmholtz� de un solopotencial� el potencial vector �A�

�B � r� �A ���� �

Efectivamente�

�B��r� � ����

ZV ��j��r �� �r

��

R

�dv�

que� teniendo en cuenta que

r� �f�a� � fr� �a�rf � �a

r���j��r ��R

�� �

R r��j��r �� �z ���

�r��

R

���j��r ��

�B��r� � r���o�

ZV �

�j��r ��R

dv��

de donde deducimos que�

�A��r� ����

ZV �

�j��r ��R

dv� �r ��r� ������

donde ��r� es cualquier funci�on de buen comportamiento� r ��r� juega el mismo papelque la constante aditiva del potencial escalar� puesto que r�r � ��Por otra parte� acudiendo al teorema de Helmholtz� obtenemos la expresi�on de las

fuentes vectoriales� o ley de Amp!ere�

�Una sola l��nea de campo de longitud in�nita puede formar una Super�cie magn�etica�

Page 49: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

r� �B � ���j IL�B � d�l � ��

ZS�j � d�s � �o I ������

donde S es una super�cie arbitraria cuyo contorno es L�Las corrientes estacionarias tienen sus fuentes� vectoriales en todo caso� en las den�

sidades de corriente� Esta ecuaci�on ser�a modi�cada m�as adelante con la adici�on� princi�palmente� de la corriente de desplazamiento del vac��o�

Por �ultimo� el �ujo del campo magn�etico �� �B�� que se mide en Webers� puedeexpresarse de las formas�

�� �B� �ZS�B � d�s �

ZL�A � d�l ������

donde S es una super�cie abierta cualquiera y L su contorno�Efectivamente� para probar la segunda opci�on basta con tener en cuenta que �B �

r� �A y hacer uso del teorema del rotacional�

� Estructuras simples del campo magn�etico

Aqu�� podemos hacer consideraciones parecidas a las que se hicieron en la secci�on enla que se estudiaron las estructuras simples del campo el�ectrico� S�olo analizaremos� amodo de ilustraci�on� la simetr��a del campo producido por un hilo recto inde�nido� Comose muestra en la �gura ����� las l��neas de campo son circulares� tienen por eje al hilo�tienen direcci�on azimutal y el sentido lo marca la regla del tornillo a derechas� o de lamano derecha�

I

d l

B=B( )ρ ϕ

NS

R

Figura �����

Page 50: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Problemas

���� Realize un dibujo cuantitativo� con la escala espacial que le parezca conveniente�

de l��neas de campo y supercies equipotenciales para los siguientes casos�

a� Una carga puntual aislada de un �C microculombio��

b� Dos cargas puntuales de un �C situadas a un cm de distancia�

c� Dos cargas puntuales de ��C y ���C separadas por un cm�

���� Cuatro cargas puntuales de un nC se hallan situadas en los v�ertices de un cuadrado

de un cm de lado� Hallar�

a� La fuerza que cada una de ellas siente debido a la acci�on de las dem�as�

b� La energ��a que ceder��a o ganar��a una de ellas al desplazarse hasta el innito

con velocidad despreciable�

c� Supuesto que toda la energ��a potencial pudiera convertirse en energ��a cin�etica�

calcular la velocidad que tendr��a en el innito cada una de las cargas si a todas

se les permitiera moverse libremente a partir del mismo instante�

���� La constante de gravitaci�on universal tiene el valor G � �� �������� N �m� �Kg��

y la aceleraci�on de la gravedad tiene un valor local de g � ��m � s��� Hallar� a� El campo el�ectrico que iguala la fuerza el�ectrica a la gravitatoria sufrida por

un electr�on�

b� La relaci�on entre las fuerzas el�ectrica y gravitatoria entre dos electrones�

c� La distancia aproximada a la que se igualan las interacciones el�ectrica y

gravitatoria entre dos sistemas de part��culas compuestos� cada uno de ellos�

por un electr�on y un prot�on separados una distancia de unoA� Sup�ongase que

las cuatro part��culas est�an alineadas y raz�onese sobre la preponderancia de

la fuerza gravitatoria en la determinaci�on del movimiento planetario�

���� Por un conductor� que posee una densidad de portadores � y tiene dimensiones

transversales a � b� circula una corriente de intensidad I� Perpendicularmente a

�esta corriente y a las caras� separadas entre s�� por la distancia b� se aplica un

campo magn�etico uniforme �B� Hallar la diferencia de potencial Hall que apareceentre las caras que est�an separadas por la distancia a�

El efecto Hall consiste esencialmente en la redistribuci�on de cargas

dentro de un conductor como consecuencia de la acci�on de la fuerza

magn�etica de manera que� en equilibrio estacionario� la carga neta

depositada en las paredes crea un campo el�ectrico que contrarresta

a la fuerza magn�etica�

���� Dos cargas puntuales de signo contrario se encuentran separadas por una distancia

a y la raz�on entre sus magnitudes es k� Demostrar que la supercie equipotencialV � � es esf�erica y determinar su radio y la posici�on del centro�

Page 51: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

���� Un p�endulo est�a formado por un hilo sin masa� de longitud l� y una part��cula

puntual de masa m y carga q� � Cu�al ser�a su periodo para peque�nas oscilaciones

en presencia de un campo el�ectrico paralelo al gravitatorio�

1-- ++

a

b

L

d

V V0

Figura �����

���� En un tubo de rayos cat�odicos� gura ����� se forma un punto luminoso en el lu�

gar de la pantalla sobre el que incide un no haz de electrones� Dichos electrones

son emitidos con velocidad despreciable y acelerados a trav�es de una diferencia de

potencial ja V�� Posteriormente son de�ectados por un campo el�ectrico� uniforme

y perpendicular a la trayectoria inicial� que esta producido por dos placas equipo�

tenciales separadas por una distancia a y cuya longitud es b� Entre dichas placas

se establece una diferencia de potencial V�� Si la distancia desde el centro de las

placas de�ectoras hasta la pantalla es L� hallar la relaci�on entre la distancia d a

que se desv��a el haz en la pantalla y el potencial de de�exi�on V��

���� Sea una supercie plana e indenida cargada con una densidad �s uniforme� Hal�

lar�

a� El campo el�ectrico y el potencial a cualquier distancia z del plano�

b� La contribuci�on al campo total de un c��rculo de radio a� en el plano� en un

punto a distancia k a del centro del disco y situado sobre su eje� Razonar los

resultados para los l��mites k � � y k � ��

���� Hallar y representar gr�acamente� haciendo uso de los diversos m�etodos conocidos�

el campo el�ectrico y el potencial producidos en cualquier punto del espacio por las

siguientes conguraciones de carga�

a� Un hilo recto indenido cargado uniformemente con una densidad ��

b� Una distribuci�on cil��ndrica de carga con densidad �� para � � a� y � � �para � � a�

���� Hallar el campo y el potencial producidos por una carga uniformemente distribuida

Page 52: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

sobre una esfera de radio a�

��r� �

����� para r � a

� para r � a

SOLUCION �

Trataremos el problema con diversas herramientas y comprobaremos

que la simplicidad de unos procedimientos es mucho mayor que la de

otros� sin que de esto debamos inferir que el m�etodo m�as sencillo en este

caso lo sea tambi�en en general Para cada problema deberemos buscar

el m�etodo m�as adecuado Las partes no desarrolladas por completo se

proponen como ejercicio

Uso del m�etodo de Gauss

Seg�un el teorema de GaussZS�E � d�s � �

��

ZV� dv

Esta expresi�on es �util para el c�alculo del campo siempre que el grado

de simetr��a del problema permita encontrar una super�cie S tal que

� �E � �n�S � cte� donde �n es la normal a la super�cie de la esfera Tal

super�cie la llamaremos Supercie de Gauss ZS�E � �n ds � En

ZSds � En S � Q

��

donde

En � �E � �n � � Q �

ZV� dv En �

Q

�� S

En nuestro caso �E � E�r� br� por lo que elegiremos super�cies esf�ericas

de radio r y distinguiremos dos regiones�

En la regi�on ���� para r � a� �gura � ���a�

E��r� r�

Z �

���

Z ��

���sen� d� d �

����

Z r

r��

Z �

���

Z ��

���r� sen � dr d� d

�E� �Q

� �� ar br � � Q � ��

�� a ������

En la regi�on ���� para r � a�

�E� �Q

� �� r�br �����

Page 53: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

(b)

^

x

z

rP

a y

x

z

r

P

a

(a)

y

Figura �����

Tanto � �� como � �� pueden escribirse de la forma

�E �Qint�r�

� �� r�br

Es decir� el campo que produce esta distribuci�on� como cualquiera consimetr��a esf�erica� corresponde al que producir��a la carga Qint� encerrada

en la esfera de Gauss� como si estuviera concentrada en el centro de

simetr��a Es f�acil comprobar que las expresiones � �� y � �� coinciden

para r � a� como se muestra en la �gura � ��

r

a

E

E

max

Figura �����

Para calcular el potencial dV � � �E � d�l� eligiendo d�l � dr br y tomando el

origen de potenciales en el �

V �r� � �Z r

�E�r� dr

Page 54: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

que� para r � a�

V��r� �

Z �

r

r�dr �

Q

� �� r

Para r � a

V��r� �

Z a

�dV �

Q

� �� a

Z a

rr dr �

Q

�� �� a

��� r�

a�

Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace

Aunque m�as adelante trataremos con mayor amplitud la soluci�on de

estas ecuaciones y la aplicaci�on de las condiciones de contorno� en los

primeros cap��tulos abordaremos este problema� y otros similares� uni�

dimensionales� de una forma bastante simple

Dado que� en nuestro caso� � � ��r� � V � V �r�� la ecuaci�on de Poisson

en coordenadas esf�ericas puede escribirse de la forma

r�d

d r

�r�

dV

d r

��

������

�para r � a Poisson

� para r � a Laplace

������

La soluci�on de esta ecuaci�on de segundo orden se obtiene f�acilmente

siguiendo las siguientes etapas�

�o�Se integra dos veces para cada regi�on del espacio donde ��r� es con�tinua� regiones ��� y ���

V� � � ��� ��

r� � A�

r�B�

V� � �A�

r�B�

Estas soluciones generales dependen de constantes indeterminadascuyos valores habr�a que determinar haciendo uso de condiciones de

contorno adecuadas

��� Se aplican condiciones de contorno en r � �� r � a y r � � M�as

adelante analizaremos las condiciones de contorno con m�as detalle Por

ahora nos bastar�a con establecerlas intuitivamente

Tomaremos el in�nito como origen de potenciales

v�r ��� � � ������

Page 55: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

En r � a supondremos que tanto el potencial como el campo son con�

tinuos

V��a� � V��a� ������

E��a� � E��a� �dV�d r

�r�a

�dV�d r

�r�a

������

La continuidad del potencial es necesaria porque si no� su derivada�

que es el campo� se har��a in�nita El campo debe ser continuo pues�como veremos m�as adelante� solo puede ser discontinuo a trav�es de una

super�cie cuando en la misma existe una densidad super�cial de carga

Por �ultimo

V ��� � V� � �nito ���� �

ya que en el origen no hay cargas puntuales� en cuyas posiciones se dan

las singularidades del campo

Las cuatro ecuaciones � �� � ��� � � y � �� �jan los valores de las

cuatro constantes con lo que el problema queda planteado

C�alculo directo del campo

El c�alculo para la regi�on ��� es prolijo No se har�a en este lugar pero

puede verse en Lorrain y Corson

αθ ’

r ’

r = dE r dE

(1) (2)

RαP

dv’

r

dE

Figura ����

Para la regi�on ���� v�ease la �gura � ��

dEr � dE cos � k ��dv �

r�cos � k ��

r �� sen � � dr � d��� d �

r�cos

Page 56: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Para integrar haremos un cambio de las coordenadas �r �� � �� �� a las

�r �� R� ��

dr � d� � d � � J�r �� �� � �

r �� R� �

�dr � dR d �

donde

J�r �� �� � �

r �� R� �

��

�B�� r �

� r �� r �

� R� r �

� � �� � �

� r �� � �

� R� � �

� � �� � �

� r �� � �

� R� � �

� � �

�CA � �

���r � � r �

� � � f�r �� R� � � �

es el jacobiano de la transformaci�on

J � � �

R

Tenemos pues que expresar � � y en funci�on de R y �r � Haciendo uso

de la expresi�on para los lados opuestos a un �angulo

R� � r �� � r� � � r �r cos � � cos � � � r ���r��R�

� r �r � � sen � � � ��

� R � � Rr r �

r �� � R� � r� � � r R cos cos � R��r��r ��� r �r

El c�alculo del m�odulo del campo el�ectrico se completa realizando la

integral

E �

ZV �

dEr � k ���

� r�

Z � ����

� ���

Z r ��a

r ���

Z R�r�r �

R�r�r �r ��� �

r� � r ��

R�

�dr � dR d �

C�alculo directo del potencial

Para la regi�on ���

dV � k ��r ��

Rsen � �

� �

Rdr � dR d �

����� Sean las siguientes distribuciones de carga� Una supercie esf�erica� de radio a�

con densidad uniforme �s y una esfera� de radio a� cargada uniformemente con

densidad de volumen ��� Se pide�

a� Hallar y representar el campo el�ectrico y el potencial producido por cada una

de las distribuciones�

b� Los valores m�aximos de las cargas que� en cada caso� podr��an almacenarse

en esferas de radio a�� cm que est�an en presencia de aire a condiciones

normales� El aire� en �estas condiciones� no soporta campos superiores a unos�� ��� V �m�� Campo de ruptura o rigidez diel�ectrica del aire��

Page 57: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c� El radio del electr�on� supuesto que su carga se distribuya en las formas in�

dicadas al principio y que su masa est�e relacionada con su energ��a potencial

mediante la relaci�on de Einstein W � mc��

����� Demostrar que una distribuci�on de carga con simetr��a esf�erica� � � ��r�� produceen un punto �r un campo el�ectrico igual al que producir��a la carga encerrada en la

esfera de radio r concentrada en el origen� � A que conclusiones se llega en los

casos de simetr��a plana y simetr��a cil��ndrica�

����� Hallar el campo el�ectrico y el potencial producidos por la siguiente distribuci�on de

carga� � � �� para � � x � a y �a � x � �a� � � � fuera de �estos dos intervalos�

Representarlos gr�acamente�

����� Dado un hilo circular con una densidad lineal uniforme � y radio a� hallar�

a� El potencial producido en cualquier punto de su eje�

b� Los primeros t�erminos de los desarrollos en serie de potencias� para el po�

tencial anterior� validos para distancias r � a y r � a del centro�

c� El campo el�ectrico�

����� Hallar el campo el�ectrico producido en cualquier punto del espacio por un hilo que

forma un cuadrado de lado a y que est�a cargado uniformemente con densidad ��

����� Calcular el campo el�ectrico producido por un disco plano de radio a y cargado

uniformemente con densidad �s� Deducir a partir del resultado cual ser�a el cam�

po el�ectrico producido por un plano indenido de carga con la misma densidad

supercial�

����� La distribuci�on de carga en los n�ucleos ligeros puede aproximarse mediante la

expresi�on� � � �� ��� r�

a�� para r � a y � � � para r � a� Apl��quese este modelo al

Calcio tomando los valores a � � � fm fm � femt�ometro � fermi � �����m�

y �� � �� ���� C �m�� Hallar�

a� La carga total comp�arese con el valor real��

b� El campo el�ectrico y el potencial�

c� Representar ��E y V en funci�on de x � ra �

����� Un conductor� en situaci�on electrost�atica� es un cuerpo que reac�ciona ante los campos externos movilizando cargas y situ�andolas en

su superficie de forma que el campo total en su interior sea nulo�

Demostrar que todos los puntos del conductor est�atico est�an al mismo potencial�

que el campo el�ectrico en su supercie es perpendicular a la misma y que �este

�ultimo es proporcional a la densidad supercial� Raz�onese� para simplicar� sobre

un conductor de supercie plana�

����� Se define al condensador ideal como el conjunto de la superficieinterna de un conductor en cuyo interior� hueco� se encuentra un

Page 58: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

segundo conductor� la superficie externa del segundo conductor y

el espacio que media entre ambas superficies �v�ease figura�� Asimismo

se define como capacidad de un condensador a la relaci�on C � QV � en

valor absoluto� entre la carga depositada en cualquiera de las dos

caras� o placas� del condensador y la diferencia de potencial que se

establece entre las mismas�

Se pide�

a� Demostrar que en las dos placas se depositan cargas iguales y contrarias�

b� Hallar la capacidad de un condensador esf�erico fornado por un conductor

con un hueco de radio a dentro del cual hay otro conductor� en posici�on

conc�entrica� cuyo radio externo es b � a gura ������

ba

Figura ����� �

���� En un condensador real� el primer conductor no puede envolver totalmente al se�

gundo puesto que� en caso contrario� �este �ultimo no ser��a accesible� En la pr�actica�

pues� el espacio Interior de un condensador tiene comunicaci�on con el exterior me�

diante una abertura peque�na a trav�es de la cual algunas l��neas de campo accedendesde las cargas interiores a las exteriores� d�andose el denominado efecto de bordes

que� normalmente� hace que la capacidad real diera algo de la que se calcular��a

suponiendo al condensador como ideal�

Despreciando el efecto de bordes� calcular las capacidades de�

a� Un condensador plano compuesto por dos placas met�alicas de supercie S �a� y separadas una distancia b �� a�

b� Un condensador cil��ndrico compuesto por dos placas cil��ndricas conc�entricas

de radios respectivos a y b y altura c� donde b� a �� a� c�

����� Hallar el campo magn�etico producido por un hilo recto e indenido� recorrido por

una intensidad I� Realizar el c�alculo por

a� Integraci�on directa�

b� Aplicando la ley de Amp�ere�

c� A trav�es del potencial vector�

Page 59: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

����� Dados dos hilos rectos� indenidos� paralelos entre s�� y recorridos por intensidades

iguales a I� hallar�

a� Campo magn�etico producido en cualquier punto del espacio�

b� Fuerza ejercida por cualquiera de ellos sobre la unidad de longitud del otro�

Determinar la condici�on necesaria para que la fuerza sea de atracci�on o de

repulsi�on�

SOLUCION �

�a� � Seg�un se muestra en la �gura � ��b� el campo que produce la

corriente I puede calcularse f�acilmente haciendo uso la ley de Amp�ere

Efectivamente� si elegimos como camino de integraci�on L a una circun�

ferencia de radio �� conc�entrica con el hilo� y suponiendo a �este en la

direcci�on del eje z

I 1 I 2

-a/2 y^ a/2 y

y

x

z

B

B

d l

d B

z

(a) (b)

21

P

ρ

ρρ

I

I’

d F

ρ

2

1

a

Figura �����

�B � �B��� �

I��cte

�B � d�l � B L � �� � B � �� I

�B ��� I

�� �b

Para hallar el campo que producen los dos hilos en cualquier punto

del espacio� los situaremos� como se muestra en la �gura � ��a� en ladirecci�on bz y en las posiciones �a

� by Superponiendo en P los campos

Page 60: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

producidos por cada uno de los hilos

�B � �B� � �B� ��� I

��

��

��b � � �

��b ��

Teniendo en cuenta que b � bz�b��B �

�� I

��bz�� �

������ �

������

�donde

��� � ����

�a by � � ��� � ��� �

�a by � � �� � x bx� y by

�b� � De acuerdo con la �gura � ��b� la fuerza que la corriente que

produce el campo ejerce sobre la unidad de longitud de la corriente

testigo es�

d�F

dl� I d�l � �B �

�� I I �

�� abz � b

� � �����

I I � b�atractiva para corrientes en el mismo sentido y repulsivas para corrien�

tes en sentido contrario

����� Dado un haz de electrones� de secci�on cil��ndrica� de radio a y densidad de

part��culas n�� que se mueven a lo largo del eje de la distribuci�on con la misma

velocidad v�� hallar�

a� Campo el�ectrico y magn�etico en cualquier punto del espacio�

b� Fuerza electromagn�etica que act�ua sobre cada electr�on�

c� Condici�on que habr��a de cumplirse para que el haz fuera estable desde el

punto de vista din�amico� Discutir el resultado�

����� Definimos como espira a un tubo cerrado de corriente cuya sec�

ci�on transversal es despreciable�

Demostrar que la interacci�on entre espiras de corriente estacionaria cumple el

principio de acci�on y reacci�on�

����� Calcular el campo magn�etico producido por una espira circular de radio a�

a� En cualquier punto de su eje�

b� Repetir el apartado anterior suponiendo a la espira como el limite de otra

poligonal regular de �n lados�

c� En cualquier punto del espacio lejano� es decir� para r �� a�

Page 61: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

����� Se define como coeficiente de Inducci�on mutua entre dos espiras a

la relaci�on existente entre el flujo que corta una de ellas� debido

al campo producido por la otra� y la intensidad que circula por

la espira productora del campo� Seg�un se demuestra en otro lugar� �este

coeciente tiene car�acter sim�etrico�

Hallar el coeciente de inducci�on mutua para cada una de las siguientes parejas

de espiras�

a� Un hilo recto indenido y una espira coplanaria cuadrada� cuyos lados miden

a y tal que el lado m�as pr�oximo al hilo es paralelo y est�a situado a distanciaa del mismo�

b� Entre una espira de radio a y otra peque�na de radio b �� a cuyo centro

se encuentra sobre el eje de la primera pero cuya posici�on y orientaci�on es

arbitraria�

����� Los carretes de Helmholtz pueden considerarse como formados por

dos espiras paralelas y coaxiales� de radio a� separadas una distancia�b de forma que el campo magn�etico que producen en su eje tienesus dos primeras derivadas� en el punto medio entre las dos y en

direcci�on axial� iguales a cero�

Hallar la relaci�on entre las corrientes que recorren a cada una de las espiras� su

direcci�on relativa as�� como la raz�on ab necesarias para que se cumplan las condi�

ciones anteriores�

����� Hallar el campo magn�etico producido en el centro de su eje por una espira heli�

coidal� recorrida por una intensidad I� de radio a� paso constante b y n�umero par

de vueltas N �

����� Cuando en una espira como la del problema anterior el n�umero de

vueltas por unidad de longitud n � �b �� �

a � es decir� el paso b esmucho menor que el radio a� a la espira se le denomina Solenoide

recto de secci�on circular� Cada una de las vueltas es en la practica casi

cerrada y� en consecuencia� se le considera como espira� se dice que el solenoide

tiene n espiras por unidad de longitud� De forma an�aloga se denen solenoides de

formas y estructuras m�as complejas� Se pide�

a� Hallar el campo magn�etico producido por un solenoide recto� de radio a� lon�gitud L y n�umero de espiras N � efectuando el l��mite n �� a sobre el resultadodel problema anterior�

b� Hallar al campo magn�etico producido en cualquier punto del espacio por un

solenoide recto� de radio a� longitud innita y n espiras por unidad de longitud

recorridas por una intensidad I�

���� Hallar el campo magn�etico en el interior de un solenoide toroidal� de secci�on

cuadrada a � a� radio interior b� numero total de espiras N y recorrido por unaintensidad I� � Cu�al ser��a su autoinducci�on�

Page 62: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

����� Hallar el campo electromagn�etico producido por las siguientes distribuciones de

carga con simetr��a axial y que giran con velocidad � alrededor de su eje en un

punto cualquiera del mismo�

a� Un disco de radio a con densidad supercial de carga �s�

b� Una supercie esf�erica de radio a con una densidad supercial de carga � ��� cos ��

����� Sea un tubo de corriente� de secci�on circular y radio a� que est�a recorrido por una

densidad de corriente uniforme j� salvo en una cavidad cil��ndrica� de radio b� cuyoeje se encuentra a una distancia c del eje del tubo� a � b � c� Hallar el campo

magn�etico en cualquier punto del espacio�

����� Hallar el campo magn�etico producido por un cable coaxial como el de la gura����� recorrido por una intensidad I uniformemente distribuida a trav�es de las

secciones del conductor interno y del externo� El conductor interno tiene radio ay el externo� radio interior b y exterior c�

I

I

Figura �����

Page 63: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Fuentes del campo din�amico�

Leyes de Maxwell

En este cap��tulo se completan las fuentes del campo din�amico� variable con el tiempo�las cuales se resumen en las ecuaciones de Maxwell� Aparte de considerar corrientes noestacionarias� � �

� t �� � � � ��t�� �� � ���t�� se ver�a que las variaciones temporalesde los campos tambi�en act�uan como fuentes� las del campo magn�etico del el�ectrico�ley de Faraday� y las del campo el�ectrico� corriente de desplazamiento del vac��o� delcampo magn�etico� Estas �ultimas fuentes son responsables de la existencia de las ondaselectromagn�eticas�

��� Ley de inducci�on de Faraday

El fen�omeno de la inducci�on electromagn�etica fue descubierto de forma independientepor Faraday y por Henry� Como se apunta en la introducci�on hist�orica� Faraday encuen�tra este efecto cuando busca conscientemente la analog��a� entre corrientes� del fen�omenode inducci�on electrost�atica� Aunque dicha analog��a no existe� en sentido literal� las ex�periencias de Faraday ponen de mani�esto que en una espira cerrada puede inducirseuna corriente haciendo variar el �ujo magn�etico cortado por la misma� y que �esta estanto m�as notable cuanto mayor es la rapidez de dicha variaci�on� Faraday experimentacon campos producidos por corrientes y por imanes� comprobando que sus efectos sonid�enticos�

Aunque� dentro del marco � galileano� establecido para este primer tomo� la formu�laci�on tradicional de la ley de inducci�on es aplicable en un �ambito m�as amplio� nosotrosrestringiremos su enunciado limit�andonos a los casos en los que los cambios de �ujo sondebidos a la variaci�on expl��cita del campo magn�etico con el tiempo� y no al movimientode la propia espira� Acto seguido� comprobaremos que� en conjunci�on con las leyes detransformaci�on de los campos� �este enunciado puede extenderse para el caso de espirasm�oviles�

Fijaremos nuestra atenci�on en una experiencia como la representada en la �gura���� en la que colocamos una espira L�� en reposo con respecto al sistema inercial dellaboratorio S� en presencia de un campo magn�etico que var��a con el tiempo�

Page 64: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

x

z

0L

0S

B(t)Φ( )

n

B(t)

yS

^

Figura ����

Seg�un Faraday� en la espira detectar��amos el paso de una corriente� a menos que enella interpongamos una resistencia in�nita� En este �ultimo caso� medir��amos lo que m�asadelante de�niremos como fuerza electromotriz�

Es evidente que si los portadores de carga se mueven es porque sienten sobre s�� lapresencia de un campo el�ectrico� o fuerza por unidad de carga� que las impulsa y que�si sienten dicho campo� es porque �este existe con independencia de que una carga est�edisponible para dar testimonio� Las espiras y las cargas que en ellas residen son� por lotanto� meros testigos de la existencia del campo� La detecci�on de una corriente en unaespira cerrada indica que estos campos no son conservativos�

Enunciamos� pues� la Ley de inducci�on de Faraday para caminos cerrados y en reposoL�� Este camino puede coincidir o no con una espira y podr�a ser trazado arbitrariamenteen el espacio�

IL�

�E � d�l � � d

dt

ZS�

�B � d�s

E� � � d

dt�S�� �B�

�����

donde E� �IL�

�E � d�l � Fuerza electromotriz del camino L��

La ley de inducci�on de Faraday se leer�a� por lo tanto� diciendo que � sobre cualquier

camino L� se mide una fuerza electromotriz proporcional y de signo contrario a la raz�on

temporal de cambio de �ujo magn�etico cortado por la misma�� En el sistema MKS� lacontante de proporcionalidad resulta igual a la unidad�

Para obtener la expresi�on diferencial de esta ley haremos uso del teorema del rota�cional y se tendr�a en cuenta que al introducir el operador d

d t dentro de la integral

sobre una super�cie est�atica� �este debe ser substituido por el de derivaci�on parcial �� t

Page 65: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

� volveremos sobre esta cuesti�on cuando se consideren super�cies en movimiento��

E� �IL�

�E � d�l �ZS�r��E � d�s � �

ZS�

�B

t� d�s �����

y� como L� y S� son arbitrarios� los dos integrandos de las integrales de super�cie debenser iguales�

r��E � ��B

t�����

Esta ley de Maxwell es la forma diferencial de la ley de inducci�on de Faraday ynos dice que el campo el�ectrico tiene fuentes vectoriales� Las variaciones temporales delcampo magn�etico aparecer�an como las �unicas fuentes vectoriales de �E� por lo que la leyanterior tiene ya su forma de�nitiva�

Por primera vez en nuestra exposici�on nos encontramos con un t�ermino expl��cito deacoplamiento entre los campos� M�as adelante veremos que esta interrelaci�on es rec��proca�

Tambi�en hemos comprobado que la existencia de una fuerza electromotriz en circuitocerrado implica la existencia de campos el�ectricos de rotacional no nulo� es decir� noconservativos� As��� pues� si descomponemos arbitrariamente al campo el�ectrico total endos sumandos� de forma que uno sea conservativo� �EC � y otro rotacional� �ER�

�E � �EC � �ER � r��EC � � � r��ER �� �

E� �IL�

�ER � d�l ya que

IL�

�EC � d�l � �

Luego la fuerza electromotriz puede calcularse haciendo uso exclusivo del sumandono conservativo� es decir� del campo rotacional�

S 01

S02L 0

n 2n

n 1

n

Figura ����

En el segundo miembro de la expresi�on ��� de la ley de inducci�on aparece el �ujo de�B�

�� �B� �

ZS�

�B � d�s

Page 66: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

que no depende de la super�cie que utilicemos para integrar porque� al ser r � �B � ���B � r� �A y

�� �B� �

ZL�

�A � d�l ����

luego �� �B� es solo funci�on de L��

De otra manera� seg�un la �gura ���� tomando un volumen cerrado V�� limitado porS� � S�� � S�� cuya normal hacia afuera es �n � �n� � ��n��Z

V�

r � �B dv �

ZS�

�B � d�s �ZS��

�B � d�s� �ZS��

�B � d�s� � �

�S�� � �S�� �� �B� es independiente de S�

�� Ley de Faraday para caminos en movimiento

Adem�as de la experiencia descrita en el apartado anterior� otra serie de experiencias�como las que se representan esquem�aticamente en la �gura ���� muestran que tambi�ense detecta corriente en espiras que se mueven en campos independientes del tiempo�

B( r )

S(t)

1 2

B 0

vS(t)

B 0

ωS(t)

(a) (b) (c)

v

Figura ����

En la �gura �a�� que representa al rotor de un motor o generador� una espira r��gida eindeformable gira en presencia de un campo constante y homog�eneo� En �b�� una espiracompuesta por una horquilla conductora ��� y un segmento m�ovil ���� que se deslizaen contacto el�ectrico con la horquilla� se deforma de manera que la super�cie S�t� esfunci�on del tiempo� Por �ultimo� la espira de la �gura �c� se traslada sin deformarse enpresencia de un campo magn�etico no homog�eneo� En estos casos el �ujo cortado var��acon el tiempo debido al movimiento� con o sin deformaci�on� de la espira y sobre ellapuede tambi�en detectarse una fuerza electromotriz�

El enunciado tradicional es v�alido para caminos con movimiento no relativista� esdecir� tales que v � c � c � �� La fuerza electromotriz resultante tendr�a un origenmixto en las variaciones expl��citas del campo y en el movimiento de deformaci�on de laespira� Para medir las fuerzas electromotrices� sobre caminos L�t�� y los �ujos a trav�esde super�cies S�t�� es necesario tener en cuenta que los elementos de l��nea y de super�ciesobre los que se miden los campos est�an en movimiento� Dentro del marco galileano�

Page 67: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

estos campos� �E � y �B �� vienen dados por ���� y ����

�E � � �E � �v� �B�B � � �B

en funci�on de los campos �E y �B que se miden en el sistema S del laboratorio�

S(t)

S(t+ t)

n(t)

n

n(t+ t)

d l

lat

Δ

Δ

v tΔ L(t+ t)

L(t)

ΔSlat

Figura ���

Luego� �gura ��� la fuerza electromotriz sobre un camino en movimiento L�t� ser�a�en un momento dado�

EL�t� �IL�t�

�E � � d�l �IL�t�

�E � d�l �z ��E�

IL�t�

�v� �B � d�l �z ��Em

�����

donde E� es la Fuerza electromotriz est�atica� la que se mide en el sistema S sobre la curvaque coincide con L�t� en el instante t� y Em la Fuerza electromotriz de movimiento� debidaa la deformaci�on del camino a lo largo del tiempo� Haciendo uso de las propiedades delproducto mixto� esta �ultima puede escribirse como

Em�t� �IL�t�

�B�t� � d�l��v �����

o� seg�un la �gura ���

Em�t� � lim�t��

�t

IL�t�

�B�t� � d�slat �����

donded�slat � �d�l��v��t

Teniendo en cuenta que r� �B�t� � �� el �ujo total de �B�t� a trav�es de una super�ciecerrada es nulo� Tomando el volumen que se representa en la �gura� envuelto por las

Page 68: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

super�cies S�t��t�� �S�t� � y la super�cie lateral que completa el cierre entre L�t� yL�t��t��

Em�t� � � lim�t��

�t

�����������ZS�t��t�

�B�t� � d�s �z ��A�

�ZS�t�

�B�t� � d�s

���������Desarrollando en serie �B�t� en la integral �A�

�B�t� � �B�t��t�� �B

t�t

y

Em�t� � lim�t��

�t

ZS�t��t�

�B�t�

t� d�s �z �

�B�

� lim�t��

�t

�ZS�t��t�

�B�t��t� � d�s�ZS�t�

�B�t� � d�s�

�z ��C�

De acuerdo con ���� �B� � �E� y� por otra parte� �C� es la derivada total del �ujo de�B�t� cortado por el camino L�t�� Substituyendo en ��� se obtiene la Ley de inducci�on

de Faraday para caminos en movimiento

EL�t� �IL�t�

�E ��t� � d�l � � d

dt

ZS�t�

�B�t� � d�s

� � d

dt�� �B��t� �����

El campo el�ectrico es medido en los sistemas solidarios con cada punto de L�t��mientras que el campo magn�etico puede medirse en el sistema del laboratorio�Esta forma de la ley es de gran utilidad para la resoluci�on de muchos problemas

pr�acticos en los que el movimiento de las espiras suele ser muy lento con respecto a lavelocidad de la luz�

��� Corriente de desplazamiento en el vac��o

Hemos completado las ecuaciones de Maxwell� salvo la correspondiente a la ley deAmp!ere� en la que s�olo aparece como fuente la densidad de corriente de carga �j

r� �B � �� �� ��� �

Esta ecuaci�on no tiene validez general� Si tenemos en cuenta que r �r��a � � y que

r ��j � ��t

������

�La super�cie �S�t coincide con S�t� pero su normal tiene sentido opuesto a la de esta �ultima� yaque debe estar orientada hacia afuera del volumen en cuesti�on�

Page 69: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

�aplicando la divergencia a ambos miembros de �� � se tiene que

r � �r� �B�� � ���r ��j �� �Pero la divergencia de la densidad de corriente solo es nula cuando �estas son esta�

cionarias� Es evidente que� para que el segundo miembro sea tambi�en solenoidal� habr�aque a�nadirle� mediante postulado� un t�ermino corrector con las mismas dimensiones�Aunque Maxwell introdujo dicho t�ermino como consecuencia de postulados previos so�bre las propiedades mec�anicas del Ether� aqu�� lo introduciremos de forma m�as directa�Si bien �j no es solenoidal� teniendo en cuenta que

r � �E � �

��

podemos escribir ���� de la forma�

r ���j � ��

�E

t

�� �

es decir� si a�nadimos a �j el t�ermino �jD� � �� �E

t� que llamaremos Corriente de des�

plazamiento del vac��o� obtenemos una corriente total� �j � �j � �jD� � que siempre ser�aestacionaria� r ��jT � ��Aunque esta no es la �unica forma de obtener los resultados que buscamos� postulamos

como fuentes de �B� en el vac��o�

r� �B � ��

��j � ��

�E

t

�Esta corriente de desplazamiento completa el acoplo entre el campo el�ectrico y el

campo magn�etico e implica la existencia de ondas electromagn�eticas que se propaganen el vac��o�

��� Potenciales del campo electromagn�etico

Una vez que se ha completado la b�usqueda de las fuentes del campo electromagn�etico�analizaremos las relaciones generales entre este �ultimo y sus potenciales �Levich�I��Por lo pronto� hemos visto que� en general� el campo magn�etico es solenoidal y el

el�ectrico no conservativo� Seg�un el terorema de Helmholtz� el campo magn�etico� por sersolenoidal� puede derivarse de un potencial vector

r � �B � � �B � r� �A�A es el Potencial magn�etico vector�Por otra parte

r��E � ��B

t r�

��E �

�A

t

�� � �E �

�A

t� �rV

Page 70: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

lo que quiere decir que� si bien �E no es conservativo� s�� lo es �E � �A

t� V es el Potencial

el�ectrico escalar� Las relaciones entre los potenciales y los campo son� pues�

�E � �rV � �A

t������

�B � r� �A ������

Como consecuencia de lo anterior� el campo EM puede derivarse� a trav�es de estasecuaciones� de un potencial escalar V y uno vectorial �A� No es necesario utilizar unpotencial vector independiente para �E porque �E y �B est�an acoplados y constituyen enesencia un solo campo�

Ahora s�� disponemos de un criterio para descomponer signi�cativamente al campoel�ectrico en una componente conservativa y otra rotacional

�E � �EE � �EM tales que� �EE � �rV y �EM � ��A

t

�E es un campo conservativo de tipo electrost�atico y �EM es un campo no conservativoasociado a la existencia de campos magn�eticos variables�

Ya hemos apuntado que� dado que �E y �B se deducen de los potenciales a trav�es deoperaciones diferenciales� existe un cierto grado de indeterminaci�on en estos �ultimos�Para calcular �B� son equivalentes todos los potenciales �A � tales que �A � �A ��r ��r� t��porque r��rf� � � y� por lo tanto� r� �A � r� �A �� Es f�acil comprobar que� si susti�

tuimos V por V �� tal que V � V � � ��r� t�

t� tambi�en �E permanece invariante� Las

transformaciones de �A y V en �A � y V � se llaman Transformaciones de contraste oGauge

�A � �A � �r ��r� t�

V � V � � ��r� t�

t

������

Estas transformaci�ones permiten imponer a los potenciales condiciones restrictivas�Condiciones de contraste� compatibles con las mismas� que facilitan el tratamiento dealgunos problemas importantes como el de la propagaci�on de los potenciales�

Podemos demostrar que condiciones de constraste del tipo

r � �A � � Contraste de Coulomb

r � �A� ����V

t� � Contraste de Lorenz para el vac��o

�����

son compatibles con las transformaciones de contraste�

Esto quiere decir� por ejemplo� que� si los potenciales �A y V no cumplen el contrastede Lorenz� es posible encontrar unos nuevos �A � y V � que s�� lo satisfagan�

Page 71: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Sea

r � �A� ����V

t� ���r� t� �� �

Haciendo uso de las transformaciones de contraste� se obtiene

r � �A � � ����V �

t� ��r� � ����

t�

por lo que basta con buscar una funci�on ��r� t� que sea soluci�on de la ecuaci�on deD"Alembert

r� � �����

t�� �

lo cual siempre es posible� como se ver�a al estudiar la soluci�on de la ecuaci�on de onda�

��� Ecuaciones de Maxwell en el vac��o

Las ecuaciones de Maxwell ligan a los campos con sus fuentes escalares y vectoriales�

r � �E � �

��������

r� �E � ��B

t������

r � �B � � ������

r� �B � ��

��j � ��

�E

t

�������

Como ya hemos visto� de ���� y ���� se deduce la ecuaci�on de continuidad

r ��j � �

t� �

En resumen� sin tener en cuenta a las constantes de proporcionalidad� el campoel�ectrico tiene por fuentes escalares a las densidades de carga y por fuentes vectoriales alas variaciones temporales del campo magn�etico� El campo magn�etico carece de fuentesescalares y tiene por fuentes vectoriales a la densidad de corriente de carga y a la dedesplazamiento del vac��o� Para distiguirlas de las dem�as� llamaremos Fuentes primarias

a � y ���

Como se vi�o en su momento

h f

i �

hfi � � � x� y� z� t

por lo que en estas ecuaciones �E� �B� � y �� pueden intrepretarse como magnitudesmicrosc�opicas o macrosc�opicas� seg�un convenga� M�as adelante emplearemos la mismanotaci�on � y �� para designar a otro tipo de cargas y corrientes macrosc�opicas� las de� conducci�on��

Page 72: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

La resoluci�on de las ecuaciones de Maxwell nos permite calcular las fuerzas sobrelas cargas haciendo uso de la ley de Lorentz�

d�F

dv� � �E ��j � �B

Si bi�en en este tomo la utilizaremos tambi�en en el caso macrosc�opico� la extensi�ona este caso no es general y requiere un an�alisis que queda fuera de nuestros objetivos�Para m�as detalles� v�ease la bibliograf��a� por ejemplo� el Jackson�

�� Problemas

���� Un generador simple de corriente alterna puede estar constituido por un carrete

plano de N espiras rectangulares� de lados a y b� que gira con velocidad angularconstante � alrededor de un eje contenido en el plano del carrete� perpendicular

a los lados a y centrado sobre ellos� en presencia de un campo magn�etico B�

uniforme y perpendicular al eje de giro� Se pide�

a� Hallar la fuerza electromotriz inducida en el carrete�

b� Averiguar si el resultado anterior puede justicarse haciendo uso de la ley de

fuerza de Lorentz�

c� Determinar en que forma se perturba el resultado obtenido en el apartado

anterior si la perpendicularidad entre el campo magn�etico y el eje de giro no

es perfecta al existir un peque�no error angular ��

���� Una espira rectangular tiene dimensiones a � b y es coplanaria con un hilo rec�

to e indenido� recorrido por una intensidad I� que se encuentra inicialmente a

una distancia x� del lado de longitud a� A partir de t � �� la espira se desplaza

en el plano con una velocidad constante v� alej�andose del hilo� Hallar la fuerza

electromotriz inducida por el hilo sobre la espira�

���� Supuesta una componente vertical del campo magn�etico terrestre de �� � gauss�hallar la fuerza electromotriz inducida sobre las ruedas de un tren que circula a

��� km�hora por una v��a de �� �m de ancho�

���� La rueda de Barlow es una rueda conductora que gira alrededor de su eje en

presencia de un campo magn�etico constante� uniforme y paralelo a dicho eje� Si�

mediante dos contactos deslizantes� tocamos en el centro y el borde de la rueda

con un dispositivo para medir fuerzas electromotrices� un volt��metro� � cu�al ser�ala medida obtenida por el mismo�

���� Hallar la corriente de desplazamiento I� que circula entre las placas de un conden�

sador cil��ndrico� de radio interior a y exterior b� al que se le aplica una diferenciade potencial v�t� � V� sen�t� Comprobar que la corriente de conducci�on sumi�

nistrada por los cables de conexi�on es igual a I��

���� Demostrar que si los potenciales �A y V no cumplen el contraste de Coulomb�siempre es posible encontrar otros �A � y V � que si lo cumplan�

Page 73: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���� En la teor��a de la Relatividad Especial un punto del Universo espacio�temporal

puede ser descrito mediante el vector de posici�on tetradimensional

�s� �x� y� z� j c t�

los potenciales electromagn�eticos mediante un solo potencial vector tetradimen�

sional �A� �Ax� Ay� Az� j c V �

y la densidad de corriente� junto con la densidad de carga� por el vector

�j� �jx� jy� jz � j c ��

donde j es la unidad imaginaria� c la velocidad de la luz y c t � c� t la coordenada

temporal un tratamiento distinto puede encontrarse en el segundo tomo��

Demostrar que�

a� El campo electromagn�etico� en forma tensorial� se obtiene a partir del poten�

cial mediante el rotacional tetradimensional

�F�� � ROT ��A� de otra forma� F� �

A�

x� A

x�� � x� x� � x� y� z� ct

b� Las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas de la forma Se hace uso del

convenio de ��ndices repetidos�

DIV �F�� � ���j �

F� x

� �� j�

Page 74: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Page 75: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Consecuencias de las Ecuaciones

de Maxwell

Este �ultimo cap��tulo se dedicar�a al an�alisis de las consecuencias fundamentales delas ecuaciones del campo EM � Se comenzar�a ampliando el principio de conservaci�onde la energ��a para incluir t�erminos que� en el balance energ�etico� representen alos propios campos� Asimismo� estudiaremos la propagaci�on de ondas planas comomanifestaci�on m�as simple del transporte radiativo de energ��a y la emisi�on de ra�diaci�on por una carga puntual lenta como ejemplo primario de emisi�on de radiaci�on�Panofsky y Phillips� Reitz et al�� G�omez��

��� Energ��a electromagn�etica� Vector de Poynting

Consideremos que en una determinada regi�on del espacio coexisten cargas de distintostipos� con densidades �i y velocidades de arrastre �vi y que sobre ellas act�ua un campoelectromagn�etico� Queremos realizar un balance energ�etico entre las cargas y los campos�

Sobre la especie i act�ua una fuerza por unidad de volumen

d�Fcidv

� �i� �E � �vi � �B�

de donde se deduce que el campo electromagn�etico realiza un trabajo sobre las cargas�por unidad de volumen y unidad de tiempo� igual a

d�Wci

dvdt� �i�vi � �E � �ji � �E

Expresi�on en la que� como hemos visto anteriormente� no aparece ning�un t�erminoasociado al campo magn�etico porque la fuerza magn�etica de Lorentz es perpendiculara la velocidad�

Sumando a todas las especies

d�Wc

dvdt� �j � �E

��

Page 76: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Esta es� pues� la potencia� positiva o negativa� que el campo electromagn�etico cedea las cargas encerradas en la unidad de volumen y que �estas podr�an emplear de muydiversas formas� como puede ser almacenando energ��a cin�etica� transform�andola en calor�etc�Si queremos seguir disponiendo de un principio de conservaci�on de la energ��a apli�

cable a las interacciones electromagn�eticas� no habr�a m�as remedio que equilibrar estet�ermino mec�anico con otros de tipo electromagn�etico�Teniendo en cuenta que

�j ��

��r� �B � ��

�E

t �j � �E � �

���r � �B� � �E � ��

�E

t� �E

Por otra parte

r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��br � � �E � �B� � �B � r � �E � �E � r � �B

La substituci�on de esta expresi�on en la ecuaci�on anterior y el uso de la ley deinducci�on

r� �E � ��B

t

nos permite expresar el Teorema de Poynting de la forma

d�Wc

dvdt� �j � �E � �r � �P � �em

t����

En esta ecuaci�on se han de�nido los t�erminos

�P � �

���E � �B ����

que denominamos Vector de Poynting y cuyas dimensiones son de energ��a por unidadde super�cie y tiempo� y

�em ��

���E

� ��

���B� � �e � �m ����

cuyas dimensiones corresponden a una densidad de energ��a y que denominaremos Den�sidad de energ��a electromagn�etica�La ecuaci�on ���� ser��a por lo tanto una ecuaci�on de continuidad� o de conservaci�on�

para la energ��a electromagn�etica�Si comparamos esta ecuaci�on con la de continuidad de la carga

r ��j � �

t� �

vemos que ambas son formalmente id�enticas� salvo que en la de la energ��a existe unt�ermino adicional que tiene en cuenta la posibilidad de que la energ��a electromagn�eticase transforme en energ��a mec�anica a raz�on de �j � �E watios por unidad de volumen ytiempo� Dentro de la analog��a entre estas dos ecuaciones� �em representa a la densidadde energ��a electromagn�etica� como � representa a la densidad de carga� y �P a la densidad

Page 77: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

de �ujo de energ��a en paralelismo con la densidad de �ujo de carga �j� No obstante� lainterpretaci�on literal de �P como densidad de �ujo local� es decir como

��P � �em�vem� � ��j � ��v�

donde �vem ser��a una � velocidad de arrastre de la energ��a� no es rigurosamente v�alida�

Estrictamente� la extensi�on del principio de conservaci�on de la energ��a al caso elec�tromagn�etico implica interpretar la ecuaci�on �� de la siguiente forma�

a� La energ��a que� en forma de trabajo� se le comunica a las cargas que hay en elentorno del punto P � procede del campo electromagn�etico�

b� Esta energ��a puede obtenerse� en primer lugar� haciendo disminuir la energ��a

almacenada en el propio entorno del punto� a trav�es del t�ermino ��emt

� �o� en segundo�

extray�endola del exterior a trav�es del t�ermino �r � �P �En principio� las expresiones �� y �� no son la �unica opci�on para de�nir �P y �em

puesto que� si a�nadimos un vector solenoidal al primero y una constante al segundo� laecuaci�on �� sigue siendo v�alida� Con la opci�on elegida� �em � � en ausencia de camposy �P � � cuando alguno de ellos se anula�Para �jar un poco m�as el signi�cado y la razonabilidad de esta interpretaci�on� expre�

saremos �� en forma integral� Sea un volumen �jo V� El trabajo realizado por unidadde tiempo sobre las cargas contenidas en �el ser�a

dWc

dt�

ZV�j � �E dv � �

ZS�P � d�s� d

dt

ZV�em dv ���

donde� haciendo uso del teorema de la divergencia� se ha pasado a integral super�cialel t�ermino asociado al vector de Poynting�

dWc

dt� ����P�� dWem

dt

������������P� �

ZS�P � d�s

Wem �

ZV�em dv

Luego� la potencia que los campos suministran a las cargas encerradas en V procedeen parte de la raz�on de disminuci�on de la energ��a Wem almacenada en V y� en parte�de los campos externos� en la cantidad determinada por el �ujo ����P� del vector dePoynting hacia el interior de V�Consideremos los siguientes casos particulares�

� Sea un sistema cerrado de campos y cargas�

En principio� los campos asociados a un sistema de cargas se extender�an hastael in�nito� F��sicamente es posible imponer a dichos campos el mismo tipo de condi�ciones impuestas al enunciar el teorema de Helmholtz� suponemos que las fuentes est�ande�nidas en un volumen �nito V�� a distancia �nita del origen de coordenadas� y quelos campos son nulos en el in�nito o bien decrecen a grandes distancias seg�un r���

Page 78: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Si integramos sobre una esfera de radio r���

���P� � limr��

ZS

���E � �B � d�s � lim

r���

r�� �

por lo que

dWc

dt�

ZV��

�j � �E dv �

ZV��j � �E dv � � d

dt

ZV��

�em dv � �dWem

dt

Luego� al desaparecer el t�ermino de �ujo� se iguala el trabajo realizado por loscampos sobre todas las cargas del Universo con la disminuci�on de la energ��a total Wem

asociada a todos los campos existentes en el mismo�

Es conveniente hacer notar que� aunque la cesi�on de energ��a parece tener lugar enV�� de hecho� dudar��amos poco en calcular cuanta se lleva cada carga en particular� elc�omputo de la energ��a cedida puede extenderse a V � �� es decir� a todos aquellospuntos en los que

�emt

�� �� En este caso lo que se conserva es la suma de las dos

energ��asd

dt�Wc �Wem� � � Wc �Wem � cte

por lo que es lo mismo calcular una u otra de estas energ��as� No conviene olvidar quelas cargas est�an indisolublemente asociadas a un campo del que son singularidades�

� Sea un volumen V �nito y sin carga�

Bajo estas condiciones

����P� � dWem

dt

el �ujo hacia dentro del vector de Poynting induce un aumento de la energ��a almacenada�

� Supongamos que dentro de V hay cargas en movimiento pero que los campos son

est�aticos�

dWem

dt� � dWc

dt� ����P�

Luego� en este caso� la energ��a se comunica a las cargas desde el exterior a V y secontabiliza por medio del �ujo negativo del vector de Poynting�

Es de notar que ���P� es un �ujo a trav�es de una super�cie cerrada y como talinterviene en el balance energ�etico� Esto no nos autoriza a interpretar de forma generalal vector �P como un vector densidad de �ujo� es decir� como el �ujo de energ��a porunidad de super�cie y de tiempo a trav�es de un elemento de super�cie perpendicularal movimiento de la energ��a� Para los campos radiantes� �P s�� jugar�a el papel de vectordensidad de corriente de energ��a� en concordancia con la representaci�on cuanti�cada dela energ��a electromagn�etica en forma de fotones�

Page 79: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Podr��amos hacer el mismo tipo de balance para extender el principio de conservaci�onde la cantidad de movimiento a los campos electromagn�eticos� pero� por tratarse de unamagnitud vectorial� el desarrollo es m�as prolijo y se dejar�a para otra ocasi�on� �

Nos contentaremos con apuntar que podemos seguir haciendo uso del principio deconservaci�on de la cantidad de movimiento si asignamos al campo una Densidad de

cantidad de movimiento

�g � d �G

dv��

c��P

donde �G es la cantidad de movimiento contenida en V�La consiguiente ecuaci�on de continuidad es de tipo vectorial por lo que la contabi�

lidad del momento trasvasado a trav�es de la super�cie S hay que realizarla por mediode un tensor � el de esfuerzos de Maxwell� y no de un vector como �P � No abordaremosaqu�� el problema en su forma general� pero� en el p�arrafo �� lo trataremos en relaci�oncon las ondas planas�

��� Energ��a de sistemas de cargas y corrientes estacionarias

Dada la importancia de los campos electrost�atico y magnetost�atico� investigaremos laposibilidad de asociar directamente la energ��a electromagn�etica de estos campos con lascargas y las corrientes que los producen�

En el caso de campos electrost�aticos

We ��

���

ZV��

E� dv � �����

ZV��

�E � rV dv

y� teniendo en cuenta que r � �E � ��y r � �f�a� � fr � �a� �a � rf

�E � rV � r � �V �E�� Vr � �E � r � �V �E�� �V

��

por lo que� substituyendo en la integral y haciendo uso del teorema de la divergenciapara el primer t�ermino

We ��

ZV��

�V dv � ����

ZS��

V �E � d�s �z ���

La segunda integral� por razones an�alogas a las aducidas en ocasiones anteriores� seanula en el l��mite r � �� La primera se extiende solamente al volumen V� donde ladensidad de carga es distinta de cero�

We ��

ZV��V dv �

ZV��

�e dv ����

De esta forma recobramos la expresi�on ���� de la energ��a potencial�

�V�ease el segundo tomo�

Page 80: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Algo parecido podemos hacer con respecto a la energ��a magn�etica�

Wm ��

���

ZV��

B� dv ��

���

ZV��

�B � r � �Adv

��

ZV�

�A ��j dv ����

donde� siguiendo un procedimiento an�alogo al anterior� hemos tenido en cuenta que�para corrientes estacionarias r� �B � ���j� hecho uso de la expresi�on

r � � �A � �B� � �B � r � �A� �A � r � �B �B � r � �A � r� �A � �B� � �� �A ��j

y� tras aplicar el teorema de la divergencia� hemos anulado en el l��mite la integral desuper�cie� V� es en este caso el volumen en el cual la densidad de corriente es distintade cero�Un caso de gran inter�es es el de las espiras� bast�andonos para obtener la expresi�on

correspondiente con substituir� como en ocasiones anteriores� �j dv por Id�l� Luego

Wm ��

�I

ZL�

�A � d�l � ��I� ����

Para escribir la segunda igualdad hemos hecho uso de ����� seg�un la cual la cir�culaci�on del potencial vector a lo largo de una espira es igual al �ujo cortado por lamisma�Vemos� pues� que es posible calcular la energ��a electromagn�etica asociada a los cam�

pos de dos formas alternativas� en la primera� integrando una densidad de energ��a sobretodo el volumen a donde se extienden dichos campos y� en la segunda� integrando sobreel volumen de las fuentes�

��� Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales

Veremos en esta secci�on que los campos y los potenciales cumplen ecuaciones de onda�Parte de las soluciones de estas ecuaciones tienen caracter de onda viajera� es decir�implican la propagaci�on de los campos y las magnitudes asociadas a ellos� como laenerg��a y la cantidad de movimiento� con una velocida �nita� la velocidad de la luzc � � � ��� ms��� que es una constante universal �� Este hecho� no concorde con elprincipio de relatividad de Galileo� ser�a el punto de partida de la teor��a de la Relatividadde Einstein�En el caso de los campos� nos limitaremos a demostrar que� incluso en ausencia de

fuentes primarias � y ��� existe la posibilidad de establecer campos automantenidos yque �estos tienen la estructura de las ondas� En el de los potenciales� se tendr�a en cuentala existencia de cargas y corrientes y se comprobar�a que los potenciales lorenzianoscumplen ecuaciones an�alogas a las de los campos�

�En la actualidad� el metro se de�ne en funci�on del segundo y de la velocidad de la luz� El segundose relaciona a una transici�on hiper�na del Cesio ��� y a la velocidad de la luz se le asigna el valor exactoc � �� �������� ��m s�� �

Page 81: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Ecuaciones de onda para los campos �En ausencia de cargas y corrientes� las ecuaciones de Maxwell toman la forma

sim�etrica�r � �E � � ����

r� �E � ��B

t�� �

r � �B � � �����

r� �B ��

c� �E

t� c �

�p����

�����

en las que� como �unicas fuentes del campo� aparecen las ��t de los propios campos�

Hallando el rotacional a � �

r� �r� �E� � �

tr� �B

y teniendo en cuenta ��� y �� y que r�r � �a � r�r � �a��r��a

r� �E � �

c�� �E

t�� � �����

r� �B � �

c�� �B

t�� � �����

Cada componente cartesiana de los campos � cumple la Ecuaci�on de D�Alembert�

r��� �

c���

t�� �

Si bien ��� y ��� se deducen de las ecuaciones de Maxwell por un proceso dediferenciaci�on� la inversa no es cierta debido a que en esta diferenciaci�on se ha perdidoinformaci�on sobre los campos� No todas las soluciones de las ecuaciones de onda sonv�alidas por lo que habr�a que comprobar que las soluciones obtenidas son compatiblescon las ecuaciones de Maxwell�

Ecuaciones de onda para los potenciales �Prodediendo de forma an�aloga para los potenciales pero haciendo uso de las ecua�

ciones ���� a ����� se tiene que�

� Partiendo de r� �B � ����� ���� �E

ty expresando a los campos en funci�on de los

potenciales

r�r � �A � ����� ����

t

��rV � �A

t

�� r � �r � �A��r� �A

o� de otra forma�

r� �A� ����� �A

t�� r

�r � �A� ����

V

t

�� ���� ����

Page 82: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

� Partiendo de r� �E � ��y expresando al campo el�ectrico en funci�on de los potenciales

r�V � �r � �At

� �

�������

Haciendo uso del contraste de Coulomb r � �A � � en �� y ��� se obtienen lasecuaciones de onda para los potenciales culombianos

r�V � � �

�������

r� �A� ����� �A

t�� ����rV

t� ���� �����

El potencial el�ectrico escalar responde a la misma ecuaci�on� la de Poisson� que elelectrost�atico es un potencial de � tipo electrost�atico� aunque dependiente del tiempo�La propagaci�on de la onda viene descrita exclusivamente por el potencial magn�eticovector� cuya ecuaci�on de onda es no�homog�enea� Las ecuaciones de onda se caracterizanpor incluir� al menos� derivadas segundas espaciales y temporales�

El uso del contraste de Lorenz r � �A � ����V

t� � nos lleva a las ecuaci�ones de

onda de los potenciales lorenzianos

r�V � �����V

t�� � �

�������

r� �A� ����� �A

t�� ����� ��� �

Luego� como los campos� los potenciales de este tipo responden ecuaciones del tipo

�� � f � � � � r� � �

c��

t������

Vemos� pues� que el potencial el�ectrico escalar no tiene por qu�e cumplir una ecuaci�onde onda pero es evidente que� junto con el potencial vector� debe dar cuenta del car�acterpropagativo de los campos�

��� Propagaci�on de ondas electromagn�eticas planas en el vac��o

En la secci�on anterior vimos c�omo las componentes de los campos cumpl��an en el vac��o laecuaci�on de onda de D"Alembert ���� De entre las posibles soluciones de esta ecuaci�onbuscaremos las que tengan car�acter de onda plana�

Entendemos� en un principio� por Onda plana� una soluci�on de la ecuaci�on de ondaen la que � s�olo depende de una coordenada espacial � que es la distancia de un plano�que llamaremos frente de onda� a otro� paralelo al anterior� que tomamos como origen�v�ease la �gura ��� En un instante determinado� � es constante en todos los puntos deun determinado frente de onda�

Page 83: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

n

r

O

n

ξ

Figura ���

Como puede verse en la �gura

� � �r � �n � nx x� ny y � nz z �����

donde�n � nx bx� ny by � nz bz � n�x � n�y � n�z � �

es el vector normal al frente de onda o Vector unitario de propagaci�on�Para no introducir nueva notaci�on� sin p�erdida de generalidad� rotemos los ejes

coordenados de forma que

�n bx � � � xr � bx

x� �r � �n

�� �����

La ecuaci�on de onda quedar�a reducida a

���x� t�

x�� �

c����x� t�

t�� � �����

la cual admite soluciones del tipo f�x � ct� y g�x � ct�� donde f y g son funci�onesarbitrarias y derivables� De�niendo u � x� ct

f

x�

df

du�

�f

x��

d�f

du��

f

t� �c df

du�

�f

t�� c�

d�f

du�����

Substituyendo en ��� con�rmamos que f�x � ct� es soluci�on y por el mismo pro�cedimiento comprobamos que g�x� ct� tambi�en lo es�Dado que la ecuaci�on es de segundo orden y que las funciones f�u� y g�w� son

linealmente independientes� la soluci�on general es del tipo

��x� t� � f�x� ct� � g�x� ct� �����

En la �gura �� vemos c�omo la funci�on f se propaga sin deformarse en el sentidopositivo del eje x� mientras que g lo hace en el negativo� con una Velocidad de fase

vf �

�dx

dt

�u�cte

� c �����

Page 84: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Efectivamente� para

u � cte du � dx� cdt � �

-t 1) c ( t 2-t 1)

f 1(x- ct ) f 2(x- ct ) g 2( ct )x+g 1( ct )x+g(w)f(u)

x

+c

c

-c

( t 2

Figura ���

Limit�andonos a ondas que viajan en la direcci�on �bx�� � f�x� ct� �����

Ahora bien� no todas las soluciones de la ecuaci�on de onda son f��sicamente v�alidaspuesto que hemos de comprobar si son compatibles con las ecuaciones de Maxwell�

r � �E � � bx � �Ex

� � �����

r� �E � ��B

t bx � �E

x� �

�B

t��� �

r � �B � � bx � �Bx

� � �����

r� �B ��

c� �E

t bx � �B

x��

c� �E

t�����

De la ecuaci�on ��� se deduce que

Ex

x� �

y de ���Ex

t� � Ex � cte

Ex no puede depender ni de x ni de t� Es� pues� una constante trivial que de ahoraen adelante consideraremos nula�

Haciendo uso de �� y ��� llegamos a la misma conclusi�on para Bx� con lo que� siacotamos la de�nici�on de onda plana de forma que se excluyan estas posibles compo�nentes longitudinales y constantes de los campos� �esta tendr�a car�acter Transversal�

Page 85: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Por otra parte� haciendo uso de ��� la ecuaci�on �� se reduce a

bx � �E

u� c

�B

u

ecuaci�on que integrada� anulando la constante de integraci�on por las mismas razonesque nos han llevado a eliminar las componentes longitudinales� conduce a la Relaci�onde estructura de una onda plana que se propaga en el sentido ��n � bx

�B ��

c�n � �E �����

n

P

E

B

Figura ���

Esta relaci�on� v�ease la �gura ��� junto con el car�acter transversal de la onda� nos in�dica que los campos �E y �B forman� con la direcci�on de propagaci�on� un triedro rect�anguloa derechas y que la relaci�on entre las amplitudes de los campos es

E�x� t� � cB�x� t� �����

La onda plana� por extenderse hasta el in�nito y transportar� como veremos a con�tinuaci�on� una potencia in�nita� es una idealizaci�on y� por tanto� no es f��sicamenterealizable� Sin embargo� mediante la superposici�on de ondas planas pueden construirsepaquetes de ondas localizados espacialmente que transportan una cantidad �nita deenerg��a�

El balance energ�etico� en un volumen V� para una onda progresiva en el vac��o� enausencia de cargas y corrientes� es

���P� � �dWem

dt

En nuestro caso� las densidades de energ��a el�ectrica y magn�etica son iguales� comopuede comprobarse haciendo uso de la relaci�on ����

�em � �e � �m ��

���E

� ��

��B�

�� ��E

� �B�

��

�e � �m

����

Page 86: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Multiplicando vectorialmente la expresi�on ��� por�E

��y desarrollando el triple pro�

ducto�P � �

���E � �B �

��cE��n �����

donde se ha tenido en cuenta que �n � �E � ��En consecuencia� el vector de Poynting de una onda plana progresiva admite las

expresiones

�P � c��E��n � c � B

���n � �em�c � �c � c�n �����

Es decir� el vector de Poynting� en un instante dado� es constante dentro de cadafrente de onda� ya que �E y �B tambi�en lo son� y su direcci�on y sentido coinciden conel de propagaci�on� Aparece adem�as formalmente como un vector densidad de �ujo deenerg��a� donde �c representa la velocidad de arrastre� o transporte� de dicha energ��a� Esf�acil comprobar� integrando sobre un frente de onda� que la energ��a que transporta unaonda plana es in�nita�Aunque no vamos a tratar en su forma general el problema de la conservaci�on de la

cantidad de movimiento� vamos a comprobar que una onda plana es capaz de comunicar�a una carga� cantidad de movimiento en la direcci�on de propagaci�on�La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es

�F � q� �E � �v � �B� � q� �E � �� � ��n � �E�� � �� ��v

c

por lo que la fuerza magn�etica es normalmente� para cargas con velocidades no rela�tivistas� muy inferior a la fuerza el�ectrica

j�Fmjj�Fej

� vB

E� � � �

Este peque�no t�ermino de fuerza magn�etica es sin embargo el que posibilita el inter�cambio de momento� en la direcci�on de propagaci�on� entre la onda y la carga�Desarrollando el triple producto

�F � q��� �n � ��� �E � q��� � �E��ncon lo que la componente longitudinal de la fuerza Fn� provocar�a un incremento de lacantidad de movimiento en la direcci�on de propagaci�on

�Fn � q��� � �E� � dpndt

��

c

dW

dt

dondedW

dt� q�v � �E es la potencia que el campo el�ectrico suministra a la carga� Luego�

el momento transferido por el campo a la carga en un intervalo de tiempo arbitrario� enla direcci�on de propagaci�on� es

�pn ��W

cLo que nos con�rma que la onda� adem�as de transportar energ��a� transporta mo�

mento�

Page 87: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Potenciales retardados

Consideremos� como se muestra en la �gura �� el problema de determinar cual es elpotencial creado en un punto P por una carga elemental oscilante �q�t� situada en�r ��� Haremos uso de potenciales que cumplan el contraste de Lorenz� Con este objetose hallar�a en primer lugar una soluci�on de tipo general para el potencial� pero con lasimetr��a propia del problema� y se buscar�an las soluciones compatibles con la existenciade la carga puntual dependiente del tiempo y con el principio de causalidad� Aqu�� setratar�a el tema de la forma m�as simple posible� dejando para el tomo II un tratamientom�as amplio�

Para puntos de observaci�on que no coincidan con la posici�on de la carga � R �� ��

q(t) R

r

y

x

z P

0

Δ

r ’

Figura ��

r�RV � ����

�V

t�� �

donde rR opera sobre las componentes de �R

Dado que el problema es sim�etrico alrededor de la posici�on de �q�t�� existir�an solu�ciones del mismo con dicha simetr��a

V � V �R� para R �� � � r�RV �

R

R��RV �

por lo que� de�niendo una nueva funci�on � � RV �

��

R�� ����

��

t�� �

cuya soluci�on general ya se ha encontrado en la secci�on anterior y puede escribirse dela forma

� � fR�t� R

c

�� fA

�t� R

c

�V �r� t� �

RfR

�t� R

c

���

RfA

�t�

R

c

�� VR�r� t� � VA�r� t�

Page 88: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

VR recibe el nombre de Potencial retardado y VA el de Potencial adelantado� Si nosquedamos con el t�ermino retardado

VR ��

RfR �t� ��R�� � � �

R

c

En particular� si la tasa de variaci�on temporal es �nita

limR��

fR �t� �� � fR�t�

Es decir� la soluci�on para puntos cercanos a la carga es independiente del retraso� Porotra parte� sabemos que la soluci�on correspondiente a cargas est�aticas� es

V ��q

���R

siendo el caso est�atico una idealizaci�on de otro real en el que dichas cargas varian muylentamente con el tiempo� En este �ultimo caso� admitiremos que

V �t� � �q�t�

���R

Obviamente� debemos considerar a este potencial como un caso particular del re�tardado cuando la variaci�on es muy lenta y el retraso despreciable� Teniendo en cuentaque t � �t� ������ la soluci�on general buscada debe tener la forma

VR �t� �� ��q �t� ��

���R

El potencial en ��r� t� es el que crean las cargas que hab��a en �r �� un tiempo � �Rc

anterior a t� Es decir� el tiempo que tarda la luz en llegar desde el elemento de cargahasta P �De la misma forma obtendr��amos un potencial adelantado VA� que estar��a relaciona�

do con las cargas que existir��an en un instante del futuro� � posterior a t� Aunque el temamerece una discusi�on m�as precisa� diremos� en general� que la aceptaci�on del principiode causalidad nos permite prescindir de los potenciales adelantados �Para una distribuci�on de carga continua� los potenciales retardados ser�an

VR��r� t� ��

���

ZV ����r �� t� R

c

�R

dv� �����

y� de forma similar�

�AR��r� t� ����

ZV �

�j��r �� t� R

c

�R

dv� �����

Haciendo uso de la notaci�on para potenciales retardados ���r �� t� R

c

� � � ���r � ��VR��r� t� �

���

ZV �� � �

Rdv� ��� �

�AR��r� t� ����

ZV ���j �

Rdv� ����

�V�ease el tratamiento que se le da en el segundo tomo a este problema�

Page 89: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Relaci�on de las ondas electromagn�eticas con sus

fuentes� Emisi�on de radiaci�on

Queremos� por �ultimo� poner de mani�esto el proceso b�asico por el cual las cargas enmovimiento pueden dar lugar al fen�omeno de radiaci�on neta de energ��a� Por ahora noscontentaremos con un an�alisis simpli�cado del problema�

r

y

x

z

v (t)

P

0r

q

V’

R

Figura ���

Consideremos a una carga puntual q� �gura ��� que se mueve en las cercan��as delorigen de coordenadas con velocidad �v�t�� Esta carga en movimiento equivale a unadensidad de corriente

�j��r �� t� � q ���r � � �r��t���v�t�

de forma que el potencial vector retardado producido en �r ser�a

�A��r� t� ����

ZV �

�j��r �� t� R

c

�R

dv� ��oq

ZV ��v�t� R

c

�R

��r � � �r�

�t� R

c

��dv�

En general� esta integral requiere m�as elaboraci�on porque �r� es funci�on de R �j�r � �r �j� donde las componentes de �r � son las variables de integraci�on� y no es posiblela aplicaci�on directa del teorema integral de Dirac� No obstante� puede ser resuelta singrandes di�cultades si suponemos que la part��cula se aleja poco del origen durante eltiempo que la luz tarda en llegar desde la carga al punto P y que P es un punto alejadodel origen� tal que r � r�� Luego

v � rc� r � r� r� � � � y R � r

y

�A��r� t� � �o q

�v�t� r

c

�r

ZV ��h�r � � �r�

�t� r

c

�idv� �z �

��

�V�ease el segundo tomo�

Page 90: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

donde la integral es igual a la unidad porque �r� est�a contenico en V �� En de�nitiva

�A��r� t� ��� q

r�v�t� r

c

�A partir de aqu�� podemos deducir el campo magn�etico de radiaci�on

�B � r� �A ���q

��������

rr� �v

�t� r

c

��r

��

r

� �z ���

��v�t� r

c

������Desechamos el t�ermino en que aparece r

��

r

�� porque al ser � r�� ser�a despreciable

frente al primero para r � �� Adem�as� como veremos� el fen�omeno de radiaci�on est�aasociado a campos con dependencia radial r���De acuerdo con esto� llamaremos campo magn�etico de radiaci�on a

�BR ��oq

rr� �v

�t� r

c

�Para calcular el rotacional haremos uso de la identidad

r� �a�u� � ru � d�a

dur� �v

�t� r

c

���

c

�v�t� r

c

�� �r

�BR��r� t� ���q

�c

r�a�t� r

c

�� br � ��q

�c

ra�t� r

c

�sen � b ����

donde �a�t � rc � �

�v �t � r

c � es la aceleraci�on de la part��cula� evaluada en un instanteretardado � � t� r

c y se ha supuesto que la part��cula se acelera en la direcci�on z� Vemospues que el fen�omeno radiativo aparece asociado a la aceleraci�on de las cargas�

Es interesante hacer notar que la aplicaci�on del rotacional al potencial vector� esdecir� la diferenciaci�on espacial del mismo en el punto de campo� se traduce en unadiferenciaci�on temporal en el punto de fuentes� como se ilustra en la �gura ���

=τ+Δτ

τ =t-r/c

τ ’ Δ r

Δ rt

x

z

y

|

r

r+

P

P’

=t- | r + /c

Δ r

Figura ���

Page 91: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

La diferenciaci�on espacial en el punto de campo P � implica comparar el potencialen ese punto� en un instante t� con el potencial existente en un punto pr�oximo P � en esemismo instante� La comparaci�on de �A��r� t� y �A��r ���r� t� implica la comparaci�on en elpunto de origen de �v��� y �v�� �����De aqu�� se deduce la necesidad de imponer la condici�on � � �� ya que� en caso

contrario� cuando la luz ha recorrido ��r la part��cula habr�a recorrido una distanciasimilar�

x

oo

r

a

B

E

y

r

r

P

ϕ

z

θ

^

Figura ���

Aunque de forma m�as laboriosa� podr��amos calcular �ER� a partir de los potencialesescalar y vector� despreciando los t�erminos cuya dependencia radial sea superior a r���Sin embargo� puede suponerse que los campos de radiaci�on cumplen� aproximadamente�la misma relaci�on de estructura que las ondas planas�

�ER��r� t� ���q

r

h�a�t� r

c

�� bri � br � ��q

ra�t� r

c

�sen � b� ����

Esta suposici�on� que puede ser comprobada haciendo el c�alculo apuntado� es adem�asrazonable puesto que� para r � �� un observador podr�a asimilar� en el entorno de �r�a la super�cie esf�erica del frente de onda con su plano tangente y ver�a a �BR como uncampo de onda plana � �gura ����El vector de Poynting ser�a� pues� como en el caso de ondas planas

�P � cB�

��br � ��q

����c

r�a� sen�� br � � �P �r ����

El vector Poynting es el �ujo de potencia a trav�es de la unidad de super�cie� Unamagnitud equivalente es la Intensidad de radiaci�on I�r� t� �� � que se de�ne como lapotencia radiada por unidad de �angulo s�olido� Considerando la super�cie esf�erica deradio r� su super�cie es � r� mientras que el �angulo s�olido que subtiende es �� luego

I � P r� ���q

����ca� sen�� ���

Puesto que �P es paralelo y tiene el mismo sentido que br� representa en todo casoun �ujo neto de energ��a que abandona a la carga que radia� La potencia radiada es

Page 92: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

θ

x

zE/E

I/Imax

max

x

z

y

(a) (b)

Figura ���

pues proporcional al cuadrado de la aceleraci�on y depende marcadamente de �� En la�gura ���a se representa el diagrama polar de radiaci�on para j�P��Pmaxj � I�Imax yj �B� �Bmaxj � j �E��Emaxj� en funci�on de � y � para un punto a distancia arbitraria r delorigen� En la �gura ���b se representa una secci�on del mismo diagrama en un plano � cte�

Vemos de esta forma que las cargas pierden energ��a en el proceso de radiaci�on� Sellama Potencia de radiaci�on a la potencia total radiada por la part��cula

P �

ZS�P � d�s �

Z �

���

Z ��

���

�P r� sen� d�d ��� q

��ca� ����

expresi�on que debemos escribir en detalle

P ��r� t� ��o q

��ca��t� r

c

�����

y que nos dice que la potencia que� en el instante t� atraviesa una super�cie esf�ericade radio r� depende exclusivamente del valor de la aceleraci�on en el instante retardado� � t � r�c� Esto quiere decir que toda la potencia emitida por la carga en � llega ala super�cie en el instante t� con velocidad �c � cbr� Los campos con dependencia radialsuperior a r�� no pueden dar lugar a radiaci�on porque para ellos el vector de Poyntingdecaer��a con la distancia m�as r�apidamente que r��� lo que� como es f�acil comprobar�implica que la energ��a asociada a estos campos no puede ser transmitida a distanciasarbitrariamente grandes de la carga radiante�

�� Problemas

���� Dos cargas puntuales� de igual magnitud y signo opuesto� est�an unidas por un

conductor de longitud d por el que circula una corriente tal que q � q� ej �t�

Hallar los potenciales retardados bajo las condiciones r �� d� d �� cT � dondeT � ��

� �

Page 93: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���� Una espira circular� de radio a� esta recorrida por una intensidad i�t� � I� ej �t�

Hallar el potencial vector retardado bajo las condiciones R�a� a�cT�

���� Sea una l��nea coaxial� gura ��� compuesta por dos conductores cil��ndricos� huecos�

de radios respectivos a y b y longitud L �� a� b� Se supone que la geometr��a de loscilindros es tal que� al conectarlos como se indica en la gura� la ca��da de potencial

a lo largo de cada uno de los cilindros es la misma y por ellos circula una intensidad

I� Despreciando los efectos de bordes� calcular la energ��a almacenada en la l��nea

y el �ujo de vector de Poynting a trav�es de las distintas supercies signicativas�

Discutir los resultados�

I

I+

-V

2a 2b

L>>a,b

Figura � �

���� Una onda electromagn�etica plana que se propaga en el vac��o� en la direcci�on z�tiene el campo el�ectrico dirigido en la direcci�on x y su valor en z � � es E �E�

�e��t � e�t

�para t � � y E � � para t � �� donde E��� ����V�m

�� �Hallar�

para cualquier z � ��

a� El campo electromagn�etico�

b� El vector de Poynting�

c� La energ��a total que atraviesa un casquete hemisf�erico de radio a � �m cuyo

eje es paralelo al z�

���� Demostrar que los siguientes campos el�ectricos pueden corresponder a ondas elec�

tromagn�eticas planas en el vac��o� que se propagan seg�un el eje z� y calcular los

campos magn�eticos asociados j es la unidad imaginaria��

a��E � E� e

�j � z�c e j � t bx b�

�E � E� cos ��z

c� cos �� t� by

Equip�arese cada una de �estas ondas con las que pueden darse en un hilo

tenso�

���� Demostrar que la onda plana �E � E� cos k�z � ct� bx puede ser descrita con soloun potencial vector que� adem�as� cumpla la condici�on de Culomb�

Page 94: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

���� Sean dos cargas� �q y �q� situadas en d� bz y �d

� bz respectivamente� d � d� cos � t�Hallar�

a� Campos de radiaci�on�

b� Potencia radiada� Sup�ongase r �� d� d �� cT �

���� Hallar la potencia que radiar��a un electr�on cl�asico girando alrededor de un n�ucleo

de hidr�ogeno� en una �orbita de radio a y con velocidad angular uniforme ��

���� Hallar la energ��a total radiada en la colisi�on frontal de dos part��culas cargadas de

distinto signo�

Page 95: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Parte II

Multipolos

��

Page 96: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO
Page 97: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Introducci�on

A lo largo de la parte I se ha expuesto el cuerpo b�asico de la teor��a del campo electro�magn�etico en el vac��o� Los sistemas de cargas han sido descritos� dentro de este contexto�bien sea por la enumeraci�on de las cargas puntuales que lo componen y sus velocidades�o bien por la de�nici�on de las funciones densidad apropiadas� Este planteamiento funda�mental del problema es su�ciente� en principio� para tratar la interacci�on entre sistemasde cargas arbitrarios� Sin embargo� muchos sistemas de carga naturales y arti�cialespresentan una estructura cuya descripci�on requiere la introducci�on de conceptos auxil�iares�En esta parte trataremos de la caracterizaci�on multipolar de las distribuciones de

cargas est�aticas y de corrientes estacionarias�En general� el c�alculo de los campos creados por una distribuci�on localizada de

cargas� o corrientes� s�olo es factible con el auxilio de m�etodos num�ericos� siendo posiblela obtenci�on de soluciones anal��ticas �unicamente en casos en los que la simetr��a de lamisma es elevada� No obstante� vista desde lejos� dicha distribuci�on crea campos �C quepueden descomponerse en suma de contribuciones multipolares �C�n de la forma

�C � �Cm � �Cd � �Cc � � � �� �C�n � � � �

donde cada uno de estos �C�n t�erminos � �n polares� tiene expresi�on anal��tica en funci�on

de una serie de par�ametros� que llamaremos Momentos multipolares� y de la posici�onrelativa �r del punto de observaci�on con respecto a un punto origen que se toma co�mo centro de la distribuci�on� El campo asociado a �C�n decrece gen�ericamente con ladistancia seg�un la ley r��n����El t�ermino �Cm� correspondiente a n � �� es la contribuci�on monopolar� Veremos que

el momento monopolar el�ectrico coincide con la carga neta de una distribuci�on �� �Cd es lacontribuci�on dipolar� La materia neutra� gases� l��quidos y s�olidos� se comporta con granprecisi�on� desde el punto de vista el�ectrico� como si se tratara de una distribuci�on dedipolos� Desde el punto de vista magn�etico hay que tener en cuenta que la inexistenciade monopolos magn�eticos coloca en primer plano al dipolo magn�etico� part��culas elemen�tales� como el electr�on� en virtud de su momento angular o esp��n� poseen un momentodipolar magn�etico intr��nseco� Aunque los momentos de orden superior tienen menosincidencia pr�actica� tambi�en son importantes� As��� pues� en la interacci�on nucle�onicainterviene de forma signi�cativa el momento cuadrupolar� las estructuras radiantes cor�respondientes a multipolos oscilantes son de gran inter�es� etc�En la parte III� dedicada al tratamiento fenomenol�ogico de la materia� veremos

c�omo� efectivamente� los materiales diel�ectricos y magn�eticos se estudian de forma ade�cuada en funci�on de una densidades de momento dipolar el�ectrico �P y magn�etico �M �respectivamente�

�Ya se ha rese�nado en la primera parte que� desde el punto de vista cl�asico� no es necesario tener encuenta la existencia de monopolos magn�eticos�

Page 98: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Page 99: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Campos Multipolares est�aticos

�� Expansi�on multipolar de una distribuci�on est�atica de

cargas

Supongamos �Lorrain y Corson� Reitz et al�� Jackson� Landau y Lifchitz FT� que� comose indica en la �gura ���� se requiere calcular el campo que una distribuci�on acotadade carga ���r ��� encerrada en un volumen V � �nito y a distancia �nita del origen decoordenadas� produce en un punto externo a la distribuci�on�

x

z

y

r ’

R

maxr ’

ρ (r ’)

O

dv’

r

P

V’

Figura ����

Hemos elegido el origen de coordenadas O de forma que r � r�max� siendo r�max la

m�axima distancia de la distribuci�on V � al origen� El c�alculo riguroso del potencial nosllevar��a a resolver la integral

V ��r� ��

���

ZV ����r ��R

dv� �����

La expansi�on multipolar del potencial electrost�atico� v�alida para puntos tales quer � r�max� se obtiene desarrollando alrededor del origen� �r

� � �� la funci�on

R�

j�r � �r �j

��

Page 100: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Aunque esta expansi�on encuentra su expresi�on m�as cerrada en funci�on de losarm�onicos esf�ericos� desarrollaremos R�� en cartesianas si bien los t�erminos multi�polares de orden superior al cuadrupolar son engorrosos de tratar en este sistema coor�denado� los tres primeros t�erminos� que son los m�as importantes� se estudian f�acilmenteen el mismo�

R�

�Xi��

�xi � x�i��

�� ��

��

r �z��A�

���r � � r���

R���

� �z �

�B�

��

�#��r � � r���

��

R���

� �z �

�C�

� � � � �����

donder � R��� � �R��r ����

��r � � r���

R���

��

Xi��

x�i

x�i

��

R

���r ���

��r � � r����

R���

��Xi

Xj

x�ix�j

��

x�ix�j

��

R

���r ���

Este desarrollo permite expresar al potencial como suma de una serie de potencialesmultipolares

V ��r� � Vm��r� � Vd��r� � Vc��r� � � � �

Momento monopolar �

Substituyendo el t�ermino �A� de ��� en ���

Vm �Q

���

r� Q �

ZV ����r �� dv� �����

Q es la carga neta o momento monopolar de la distribuci�on� El potencial monopolar esequivalente al que crear��a toda la carga del sistema concentrada en el origen�

Momento dipolar �

En �B� aparecen los coe�cientes�

x�i

��

R

���r ���

�xi � x�iR

��r ���

�xir

lo que nos permite expresar el Potencial dipolar el�ectrico como

Vd��r� ��

���

r��p � br ����

en el que

�p �

ZV ��r ����r �� dv� �����

Page 101: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

recibe el nombre de Momento dipolar el�ectrico del sistema� Es f�acil demostrar que� siQ � �� el momento dipolar del sistema de cargas es independiente del origen� S�olo eneste caso puede hablarse� pues� del momento dipolar sin hacer referencia al origen�Es de notar que� si bien el potencial monopolar decrece con la distancia seg�un r���

como el potencial de una carga puntual� del dipolar decrece como r���

Momentos cuadrupolares �El potencial cuadrupolar se obtiene introduciendo el tercer t�ermino del desarrollo

de R��

�C� ��

Xi

Xj

x�ix�j

��

x�ix�j

��

R

���r ���

en la integral ��� del potencial

Vc ��

����

Xi

Xj

Pij

��

x�ix�j

��

R

���r ���

donde los coe�cientes

Pij �

ZV �x�ix

�j ���r

�� dv�

son los momentos de segundo orden de la densidad de carga de la distribuci�on� Es�tos constituyen una matriz sim�etrica que� como tal� puede ser diagonalizada� lo quepermitir��a expresar a todos los elementos en funci�on de tres de ellos�A continuaci�on buscaremos una expresi�on m�as compacta para el potencial cuadrupo�

lar y demostraremos que� en realidad� s�olo dos de los coe�cientes son independientes�Veamos c�omo puede expresarse �C�� Teniendo en cuenta que� para puntos externos aV �� R �� � �

r� ���

R

���r ���

�Xi

Xj

�ij

��

x�ix�j

��

R

���r ���

� �

podemos restar�

�r� �

�r� �

��

R

���r ���

a �C�� con lo que

�C� ��

Xi

Xj

��x�ix�j � �ijr

� ��

��

x�ix�j

��

R

���r ���

y como� a su vez� ��

x�ix�j

��

R

���r ���

��

r���x�ix

�j � �ijr

��

substituyendo en la integral del potencial� obtenemos

Vc ��

���

r�

��

���xixj � �ijr

��Qij

������

donde

Qij �

ZV ���x�ix

�j � �ijr

� �����r �� dv� �����

Page 102: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

recibe el nombre de tensor de momentos cuadrupolares� Es f�acil comprobar queXi

Qii � � � Qxx �Qyy �Qzz � �

Es decir� la suma de los momentos de la diagonal principal es nula� Esto implica que�efectivamente� s�olo dos elementos son independientes�

Puesto que en la expresi�on ��� el t�erminoXi

Xj

�ijr�Qij � r�

Xi

Qii � �

el potencial cuadrupolar puede expresarse de la forma

Vc ��

����

r�

Xi

Xj

xixj Qij �����

Si el sistema tiene un eje de simetr��a� por ejemplo el eje z�

Qxx � Qyy � Qzz � ��Qxx � Q

Q ser�a el momento cuadrupolar del sistema y� en coordenadas polares�

Vc �Q

�����r�� cos� � � ��

��� Expansi�on multipolar de la energ��a de interacci�on de un sistemade cargas con un campo externo

Extendiendo los resultados obtenidos en el p�arrafo ���� para cargas puntuales� la energ��ade interacci�on de un sistema de cargas� ���r ��� de�nido en V �� con un campo que derivede un potencial V ��r �� creado por cargas externas a V �� puede escribirse como

W �

ZV ����r ��V ��r �� dv�

Si V ��r �� var��a lentamente dentro de V �� podemos desarrollarlo en serie de Tayloralrededor de un origen situado cerca de la distribuci�on�

V ��r �� � V ��� � �r � � �r�V ��r ��� ��

�#

Xi

Xj

x�ix�j

��

x�ix�j

V

��r ���

� � � �

que� teniendo en cuenta que �E � �rV �

V ��r �� � V ���� �r � � �E���� �

�#

Xi

Xj

x�ix�j

x�ix�j

�Ej

x�i

��r ���

Page 103: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Dado que �E es externo y� por lo tanto� �r� � �E��r ��� � �� podemos restar�

�r� ��r� � �E��r ���� con lo que

V ��r �� � V ��� � �r � � �E���� ��

Xi

Xj

x�ix�j��x

�ix�j � r� ��ij�

�Ej

x�i

��r ���

� ���

y

W � QV ���� �p � �E � ��

Xi

Xj

Qij

�Ej

x�i

��r ���

� � � � ��� �

Vemos� pues� que la interacci�on de un sistema de cargas con un campo externo�excluyendo la energ��a de interacci�on de las cargas del sistema entre s��� o autoenerg��a�puede descomponerse en sumandos independientes asociados a los sucesivos momentosmultipolares�

W �Wm �Wd �Wc � ���

En particular� la energ��a de interacci�on de un dipolo con un campo externo es

Wd � ��p � �E ������

Esta energ��a est�a asociada al campo el�ectrico y no al potencial�Para el momento cuadrupolar

Wc��r� � ���

Xi

Xj

QijEj

xi

energ��a asociada a la dependencia espacial de las componentes de los campos� De estamanera se da lugar al desdoblamiento de niveles de energ��a nuclear por interacci�on delmomento cuadrupolar del n�ucleo con el campo molecular cristalino�

��� Multipolos puntuales

Los multipolos puntuales de orden �n son distribuciones puntuales de carga que presen�tan momentos multipolares nulos hasta el orden �n��� siendo el �n el primero distinto decero� Aunque pueden tener momentos de orden superior� vistos a distancias r � r�max

producen un potencial con estructura �n$polar�Hemos visto que una carga puntual� como la de la �gura ���� puede ser descrita por

la densidad de carga���r �� � q���r � ��l�

El momento monopolar ser�a pues�

Q � q

ZV ��q

���r � ��l� dv� � q

y el momento dipolar

�p � q

ZV ��q

�r ����r � ��l� dv� � q�l

Page 104: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

^

x

z

qV’

y

l

Figura ����

que� evidentemente� depende del origen�Los multipolos puntuales de orden �n se obtienen� a partir de los de orden �n���

desplazando el multipolo original a una distancia arbitraria �dn y situando en la posici�onde partida a un multipolo de signo opuesto� v�ease la �gura ���� �

Octupolo

^

x

z

q

l

y

x

z

l

d 1

-q

+q

y

x

z

l

d 1

d 2+q

-q +q

-q

y

x

z

l

d 1

d 2

d 3

-q +q

-q+q

-q +q

-q

Monopolo Dipolo Cuadrupolo

y

Figura ����

Vistos desde lejos� l� dn � r y los multipolos generan un potencial

V�n��r� � lim�dn��

�l��

hV�n����r��l � �dn�� V�n����r��l�

i

V�n��r� � r� �V�n����r� �r ����r ��� � �dnAs�� pues� el momento dipolar del dipolo puntual ser�a

�p � q

Zv���

�r �h���r � � �d� ��l�� ���r � ��l�

idv� � q

h�d� ��l ��l

i� q �d�

momento que� por corresponder a una distribuci�on neutra� es independiente del origen�

�V�ease Panofsky Classical Electricity and Magnetism�

Page 105: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Dada la importancia del dipolo� es conveniente detenernos en su estudio� A partirdel potencial �� podemos hallar el campo que produce

�Ed��r� � �rVd � �

���

r����p � br� br � �p � ������

que� como ya hab��amos anunciado� decrece globalmente con la distancia seg�un r� yno� como en el monopolo� seg�un r���Si elegimos el eje z en la direcci�on del dipolo� �p � p bz� y escribimos la expresi�on del

campo y del potencial en coordenadas esf�ericas�

Vd��r� �p

���

cos �

r�������

�Ed �p

���r

h� cos � br � sen � b�i ������

Las super�cies equipotenciales vendr�an dadas por la ecuaci�on

r� � Acos �

y las l��neas de campo por

dr

� cos ��

r d�

sen � dr

r� �

d sen �

sen ����

r � B sen ��

� cte

La �gura �� representa a las l��neas de campo y a las super�cies equipotenciales�

p

E

V=ctez

Figura ���

Page 106: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� � � � Energ��a� par y fuerza de un dipolo

La energ��a de interacci�on de un dipolo en un campo externo� seg�un hemos visto� es

Wd � ��p � �E

luego� sus valores extremos ser�an���Wmin � �pE �p �E

Wmax � pE �p � �E

lo que implica que el dipolo tratar�a de alinearse con el campo aplicado�

Razonando sobre dipolos puntuales no es dif��cil comprobar que este alineamiento esinducido por un par

�T � �p � �E �����

Seg�un la �gura ���

E(r )

^

x

z F-

F+d r

r

y

Figura ����

�T �X

�ri � �Fi � �r � ��q �E� � ��r � d�r� � q �E � �p � �E

Cuando el campo con que interacciona el dipolo es el de otro dipolo� la energ��a deinteracci�on ser�a

Wpp ��

���r

��p� � �p� � ���p� � �r���p� � �r�

r�

�������

cuyo m��nimo corresponde a �p� �p�jj�r�Adem�as de este par que tiende a alinear los dipolos con el campo aplicado� �estos

sentir�an una fuerza

�F �X

�Fi � �F� � �F� � q �E��r � d�r�� q �E��r�

Desarrollando Ex alrededor de �r

Fx � qEx��r� � q d�r � �rEx��r��� qEx��r� � �p � rEx

Page 107: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

por lo que �F podr�a expresarse como

�F �

�px

x� py

y� pz

z

��Exbi�Ey

bj �Ezbk� �

� ��p � r� �E ������

Dado que r� �E � �

�F � r��p � �E� � �r�Wd� ������

�� Densidades dipolares

Por �ultimo� mencionaremos que� de la misma forma que se han de�nido densidades decarga� se de�ne la densidad de momento dipolar el�ectrico �P o Vector de polarizaci�on

el�ectrica� De forma gen�erica

�P �d�p

dv������

A nivel microsc�opico puede de�nirse como �

�P ��r� t� �

NXi��

�pi ���r � �ri�t�� ���� �

donde �pi es el momento dipolar el�ectrico de cada una de las part��culas� Jugar�a un papelfundamental en la descripci�on de los diel�ectricos�

Tambi�en es �util la de�nici�on de densidades super�ciales de momento dipolar� conlas que pueden ser descritas el�ectricamente estructuras tan importantes como las mem�branas celulares�El potencial el�ectrico producido por una distribuci�on de dipolos en un punto� �r�

externo a la misma� es decir en un punto en el que la polarizaci�on �P ��r� es nula� seobtiene por integraci�on

V ��r� ��

���

ZV �

�P ��r �� � �RR

dv�

Esta integral es singular para puntos internos� pero ya hemos visto que la descripci�onde sistemas de cargas por sus momentos multipolares s�olo es v�alida para puntos externos�

Una distribuci�on super�cial de dipolos interesante es la doble capa� constituida pordos distribuciones monopolares super�ciales� muy pr�oximas� con densidades de cargade igual magnitud y distinto signo en cada punto de la super�cie� Se describen ade�cuadamente� como se muestra en la �gura ��� mediante una distribuci�on super�cial demomento dipolar tal que

�Ps �d�p

ds� Ps �n

donde �n es la normal a la super�cie en el sentido de los dipolos�

�M�as adelante se ver�a que � bajo ciertos supuestos� tambi�en puede de�nirse a ambos niveles micro ymacrosc�opico� como una funci�on continua ���r� �

Page 108: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

R

rr ’

Ps

Ps

-------

+++++++

S’

P

V(x)

x

(a) (b)

-R

Figura ����

Podemos comprobar que al pasar de un lado a otro de la super�cie el potencial es dis�continuo� como se ilustra en la �gura ����a� el potencial producido por una distribuci�ondipolar extensa ser�a

V ��r� ��

���

ZS�Ps

�n � �RR

ds� � � �

���

ZS�Ps���R� � d�s �

R� � �

���

ZSPs d%

donde se ha substituido �R por ���R�� que es el vector que sit�ua a un punto de la super�ciecon respecto al punto P � y se ha hecho uso de la de�nici�on de �angulo s�olido

d% ����R� � d�s �

R

En el l��mite en que P tiende a situarse sobre la super�cie� casi toda la contribuci�onal potencial se deber�a a los dipolos cercanos� por lo que podremos considerar a Ps � cte�Luego

V ��r�R�� � � Ps���

%

donde % es el �angulo s�olido subtendido por la super�cie desde el punto P � por lo que� alpasar desde justamente debajo hasta justamente arriba de la super�cie� el �angulo s�olidosufre una discontinuidad �% � ��� y

�V � Ps���

En la �gura ����b se ilustra este salto de potencial en una doble capa de espesor �x�

�� Desarrollo multipolar de una distribuci�on de corrien

tes estacionarias

Para distribuciones de corrientes estacionarias aplicaremos �Jackson�Panofsky y Phillips� un tratamiento bastante similar al que acabamos de hacer

Page 109: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

para las distribuciones est�aticas de cargas� No obstante� por ser la estructura del campomagn�etico m�as compleja que la del el�ectrico� detendremos nuestro desarrollo en elt�ermino dipolar�

x

z

y

r ’

R

maxr ’

j (r ’)

O

dv’

r

P

V’

Figura ����

Supondremos que� como se indica en la �gura ���� se desea observar una distribuci�onde corrientes estacionarias

r� ��j � �desde una distancia r � r�max� Para ello introducimos el desarrollo

R��

r� ��r � � r��

��

R���

�� � � �

en la integral del potencial vector

�A��r� ����

ZV �

�j��r ��R

dv�

lo que nos llevar�a a la expansi�on multipolar

�A��r� � �Ad � �Ac � � � �en la que falta el t�ermino monopolar porque �este es nulo para corrientes estacionarias�

Ausencia de monopolos �Efectivamente

�Am ����r

ZV ��j��r �� dv�

pero� si

r� ��j��r �� � �ZV ��j dv� � � ������

Para demostrarlo� basta con tener en cuenta que la integral sobre el volumen V � quecontiene a toda la distribuci�on de corrientesZ

V �r� � �x�i�j� dv� �

ZV �x�i r� ��j �z �

��

dv� �ZV ��j � r�x�i dv

� �ZV �ji dv

Page 110: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Pero� haciendo uso del teorema de la divergencia para el primer miembro de laecuaci�on anterior�Z

V �r� � �x�i�j� dv� �

ZS�x�i�j � d�s � �

ZV �ji dv

� � �

porque� como S � contiene todas las corrientes estacionarias� ��j � d�s�S� � �� De esta formase comprueba ���� y la nulidad del momento monopolar�

Momento dipolar �Para obtener la expresi�on del potencial dipolar� introduciremos el segundo t�ermino

del desarrollo de R�� en la integral� Ya hemos visto que

��r � � r���

R���

���r � � �rr

luego

�Ad ����

r

ZV ���r � �r ���j dv� ������

expresi�on que� a�un siendo muy compacta� no es la m�as conveniente� Podemos demostrarque

�Ad��r� ����

�m � �rr

� ����

�m �r��

r

�������

donde

�m ��

ZV ��r � ��j dv� ������

es el Momento dipolar magn�etico de la distribuci�on�Volviendo a la primera expresi�on del potencial ����

�I �

ZV ���r � �r ���j dv� �

Xi

xi

ZV �x�i�j dv

� �Xi

Xj

xi

�ZV �x�i jj dv

�� bej

Analicemos la integral

Iij �

ZV �x�i jj dv

� ��

ZV ���x�i jj � x�j ji� � �x

�i jj � x�j ji�

�dv� �����

No es dif��cil comprobar que� para corrientes estacionarias� el t�ermino sim�etrico seintegra a cero

Is �

ZV ��x�i jj � x�j ji� dv

puede ser escrito como

Is �

ZV ��j � r��x�i x

�j� dv

y� puesto que r � �f�a� � fr�a� �a � rf �

Is �

ZV �

� r� � �x�i x�j �j�� x�i x�j r� ��j �z ���

!" dv� � �

Page 111: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

donde se ha anulado el segundo t�ermino dado que r� � �j��r �� � � para corrientes esta�cionarias y el primero se anula al integrarlo sobre la super�cie del tubo de corriente�Queda� pues�

Iij ��

ZV ��x�i jj � x�j ji� dv

e

�I ��

Xi

Xj

xi

�ZV ��x�i jj � x�j ji� dv

�� bej � �

�ZV ��r � ��j dv�

�� �r

��� El dipolo magn�etico

El t�ermino dipolar aparece� seg�un hemos visto� como el primero signi�cativo en el de�sarrollo multipolar del potencial externo producido por una distribuci�on de corrientesestacionarias�De la misma forma que la carga puntual nos serv��a en el tema anterior como ar�

quetipo del monopolo el�ectrico a partir del cual� por un simple proceso de diferenciaci�on�se obten��an los arquetipos multipolares� podemos utilizar como representante del dipolomagn�etico a una peque�na espira plana�

r ’’

a

r ’I

Π

O’

O

dl ’

ds ’ds ’

n

Figura ����

En la �gura ��� se representa a una espira plana contenida en el plano & cuyanormal es �n� El sentido de la normal ha sido elegido seg�un la referencia de la circulaci�onde la intensidad I� Si observamos esta espira desde una distancia r � r�max� el potencialresultante ser�a del tipo dipolar y podr�a ser expresado en funci�on del momento dipolar�m

�m ��

�I

I�r � � d�l � �

�I

I��a� �r ��� � d�l � �

�I�a �

Id�l � �z �

��

��

�I

I�r �� � d�l �

El primer t�ermino se ha anulado porque

Id�l � � �� El segundo� teniendo en cuenta

que�

��r �� � d�l � � ds � �n� toma la forma

�m � I S �n ������

Page 112: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

expresi�on an�aloga a la del momento dipolar de una dipolo puntual�

Como es f�acil comprender� podemos generar multipolos de orden superior por elmismo mecanismo de diferenciaci�on empleado para los dipolos puntuales� desplazandoel dipolo elemental y colocando en la posici�on original� como se muestra en la �gura �� �al mismo dipolo cambiado de signo�

^

x

z

y

x

z

l

m

-m

Dipolo Cuadrupolo

l

1d

m

y

Figura �� �

En cuanto al campo creado por un dipolo magn�etico� podemos demostrar que tienela misma estructura que el campo dipolar el�ectrico�

Como sabemos

�Bd � r� �Ad � ����r�

��m �r

��

r

��Dado que

r� ��a ��b� � �a�r ��b���b�r � �a� � ��b � r��a� ��a � r��b

tomando �a � �m� �b � r��

r

�y teniendo en cuenta que �m � cte y r�

��

r

�� �

� �r �� ��� podemos escribir

�Bd ������m � r�r

��

r

�Situando al dipolo en el origen y orient�andolo en la direcci�on z

�Bd ����

r����m � br� � br � �m� �

��m

r

�� cos � br � sen � b�� ������

campo que coincide formalmente con �Ed si substituimos �m� �p y �� � �������

Page 113: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� � � � Potencial magn�etico escalar

La analog��a puesta de mani�esto en el p�arrafo anterior nos sugiere la posibilidad dehacer uso de un potencial escalar para el campo producido por distribuciones dipolaresmagn�eticas� An�alogamente al potencial dipolar el�ectrico �� tendr��amos un Potencial

dipolar magn�etico escalar del que derivar��a� mediante la aplicaci�on de gradiente� el campodipolar magn�etico�

Ud��r� ��

r��m � br� �Bd � ���rUd ������

Este potencial no tiene el car�acter fundamental de la funci�on potencial escalar pre�conizada por el teorema de Helmholtz� puesto que s�olo es v�alido en la zona externa alos dipolos� Diremos que el potencial magn�etico escalar es un pseudopotencial�

As�� pues� en general� el campo magn�etico no es irrotacional

r� �B � ���j �� �

Podemos imaginar� de acuerdo con la �gura ����� una situaci�on en la que todas lasfuentes est�en en un volumen V � y que en V sea �j � ��

z

y

r ’

j (r ’)

Rj ( r )V’

Vr

x

=0

^

Figura �����

en V���r � �B � �

r� �B � �

��B � ���rUd

r� Ud � �

A pesar de las limitaciones impuestas� vemos que el potencial magn�etico escalarpuede ser de gran utilidad para resolver problemas magnetost�aticos� ya que permiteabordarlos con las mismas t�ecnicas utilizadas en electrost�atica�

El car�acter de pseudopotencial lleva consigo la necesidad de tomar precauciones enla elecci�on de volumen V� lo que puede ser puesto en evidencia extendiendo el conceptode potencial magn�etico a espiras �nitas�

Como se indica en la �guras �����a� podemos substituir una espira� recorrida por unaintensidad I� por una distribuci�on super�cial de dipolos magn�eticos� Sea S una super�cieque se apoya sobre la espira L y hagamos una partici�on de la misma en elementos d�sque� si la super�cie es suave� podr�an ser considerados planos� Si asociamos al contorno

Page 114: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

-R

R

rr ’

dm=I d s

(a) (b)

I

P

sM =I nS

L

S’

Figura �����

de cada elemento de super�cie una espira elemental� recorrida por la corriente I� �estastendr�an un momento dipolar

d�m � I d�s

Puesto que todas las espiras est�an recorridas por la misma corriente� las contribucionesde espiras contiguas se anulan� salvo en el contorno L� por lo que este conjunto de espiraselementales equivale a la espira macrosc�opica L� Podemos� pues� substituirla por unadistribuci�on super�cial de dipolos de densidad�

�Ms �d�m

ds� I �n

Para un punto de observaci�on �r� r � r�max� tendr��amos un potencial escalar

Ud��r� ��

ZS

�Ms � bRR�

ds� �I

ZS

bR � �nR�

ds�

Substituyendo al vector �R por �R� � ��R� como ya se hizo en la secci�on ������

Ud��r� � � I

ZSd% � �I%

donde % es el �angulo s�olido con que la espira L se ve desde P �De lo dicho anteriormente se deduce que Ud no es funci�on de punto y� por lo tanto�

dUd � rUd � d�r � ��B

��� d�r

no tiene validez general�As��� pues� aplicando la ley de Amp!ere sobre los caminos que unen a los puntos A y

B de la �gura �����I�a�c�

�B � d�l � �� I �� �Z B

A a�

dUd ��Z B

A b�

dUd

lo que no es de extra�nar� puesto que la expresi�on �B � ���rUd no es v�alida para elcamino �b� ya que �este se introduce en la distribuci�on de dipolos �Velayos��

Page 115: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

IL

(b)(c)

(a)

B

A

Figura �����

� � � � Relaci�on entre el momento magn�etico y el momento angular

Sabemos que la carga debe tener siempre una cierta inercia� es decir� que debe estarasociada siempre a una masa� Esto implica tambi�en que el momento dipolar debe estarasociado a un momento angular� Trataremos esta cuesti�on de forma simpli�cada�Por de�nici�on� el momento dipolar de una distribuci�on de carga encerrada en un

volumen V es�m �

ZV ��r � ��j dv� � �

ZV ���r � � �u dv�

donde � es la densidad de portadores de carga y �u la velocidad de arrastre�Si� por ejemplo� todas las part��culas son del mismo tipo� con carga q y masa m� las

densidades de carga y de masa ser�an� respectivamente�

� � N q � �M � N m

donde N es la densidad de part��culas�

�m ��

�q

ZV �N�r � � �u dv�

y� para el momento angular�

�L �

ZV ��M �r � � �u dv� � m

ZV �N�r � � �u dv�

lo que permite escribir

�m �q

�m�L

expresi�on que es v�alida� por ejemplo� para el electr�on orbital�Para sistemas de cargas m�as generales� aquellos que est�en compuestos de varias

especies o aquellos en los que se consideren contribuciones de esp��n� escribiremos

�m � ' �L � � ' � gq

�m������

donde ' es la raz�on giromagn�etica y g el factor de Land�e�

Page 116: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

En general� incluso para un sistema cl�asico� ' tendr�a car�acter tensorial� puesto que �my �L no tienen por qu�e tener la misma direcci�on� Aunque al electr�on orbital le correspondeg � �� de acuerdo con los c�alculos simples que acabamos de realizar� para el momentoangular de esp��n g � ��

� � � � Fuerzas� pares y energ��a potencial de un dipolo magn�etico en campo

externo

y

r ’

maxr ’

z

j (r ’)

V’

x

Figura �����

Trataremos ahora la interacci�on de un dipolo magn�etico estacionario en el seno deun campo externo� es decir� en el seno de un campo cuyas fuentes residen fuera de lazona donde est�an las corrientes que constituyen el dipolo� Supondremos� �gura �����que el dipolo corresponde a un peque�no tubo de corriente estacionaria

r� ��j��r �� � �

cercano al origen� y que interacciona con un campo externo que var��a lentamente dentrode la esfera de radio igual a r�max�

Por ser �B externo� en la zona de inter�es

r� � �B � �

y por ser lentamente variable� cualquiera de sus componentes podr�a desarrollarse alrede�dor del origen

Bx � Bx��� � �r � � �r�Bx��r ��� � � � �lo que nos permite escribir

�B��r� ����

�B� �a�

�B� � ��r� � r�� �B� �b�

���� �

donde r� ser��a un operador que actuar��a s�olo sobre �B� reduciendo despu�es el resultadoal origen� y que� por lo tanto� tomar��a como constantes a las coordenadas �r ��

Page 117: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Si nos quedamos con la aproximaci�on ��� �a veremos que el campo externo inter�acciona primariamente con el dipolo ejerciendo un par� Para que el dipolo sienta unafuerza neta ser�a necesario que el segundo t�ermino de la aproximaci�on ��� �b sea distintode cero� Veremos que� tanto de la expresi�on del par como de la de la fuerza� podemosdeducir la energ��a de interacci�on de un dipolo r��gido con un campo externo�

Par �

El par vendr�a dado por

�T �

ZV ��r � � d�F

dv�dv�

que� con la aproximaci�on �B��r �� � �B��

�T �

ZV ��r � �

��j��r �� � �B�

�dv� �

ZV ��j��r �� � �B� dv

� � �B�

ZV ��r � ��j dv� �z ��A���

A continuaci�on comprobaremos que

�A� �

ZV ��r � ��j dv� � �

para corrientes estacionarias� haciendo uso del teorema de la divergencia

I �

ZV �r� � �r� ��j� �z �

�B�

dv� �ZS�r� ��j � d�s � �

puesto que� como hemos visto en secciones anteriores� la componente normal de ladensidad de corriente es nula en S ��Por otra parte� desarrollando �B��

I �

ZV �r� �r� ��j �z �

��

dv� �ZV �r��r� �� ��j dv� � �

ZV ��r � ��j dv� �z ��A�

� �

De acuerdo con �esto

�T �

ZV �� �B� � �r ���j dv�

y� por analog��a con la integral ����

�T � �m � �B ������

Page 118: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Fuerza �Para calcular la fuerza

�F �

ZV ��j��r �� � �B��r �� dv�

haremos uso de la aproximaci�on ��� �b

�F �ZV ��j � �B� dv

� �z ���

ZV ��j �

h��r � � r�� �B�

idv�

La primera integral es nula para corrientes estacionarias�ZV ��j � �B� dv

� ��Z

V ��j dv�

� �z �

��

� �B� � �

de acuerdo con �����Para la segunda� haremos uso de la expresi�on

r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a� �a � �r ��b� ��b � �r� �a�

r���r� � �B�� � ��r

� � r�� �B� � � �B� � r���r� �z �

��

��r � � �r� � �B�� �z ���

� �B� � �r� � �r �� �z ���

donde se han anulado los t�erminos en los que �r � aparece a la derecha del operador r�

y se ha tenido en cuenta que� por ser �B externo� su rotacional es nulo�Por otra parte

r� �f�a� � fr� �a�rf � �a

�j �r���r� � �B�� � ��r

� � �B��r� ��j���r �� �z ���

�r� �h��r � � �B���j

ilo que nos permite� sacando r� fuera de la integral� expresar la fuerza como

�F � �r� ��Z

V �� �B� � �r ���j dv�

�� r� �

����

ZV ��r � ��j dv�

�� �B�

�y� �nalmente� como

�F � r� � �B � �m� � �r� �T ������

Pero todav��a podemos expresar la fuerza de otras formas� Puesto que r � �B � � y

r� ��a ��b� � ��b � r��a� ��a � r��b� �r ��b��a� �r � �a��b

se tiene que

�F � ��m � r� �B ������

Page 119: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Por �ultimo� dado que el campo �B es externo� r� �B � � Bi

xj�

Bj

xiy

�F � r��m � �B� � �rWd ������

donde Wd � ��m � �B es la energ��a potencial o de interacci�on del dipolo �m en presenciadel campo magn�etico externo �B� como comprobaremos a continuaci�on�

Energ��a potencial �

Efectivamente� podemos ver que la energ��a potencial de un dipolo �m� de�nida en elsentido de la secci�on ����� puede expresarse como

Wd � ��m � �B �����

Para obtener este resultado deberemos calcular el trabajo realizado por el campo �Ben una transformaci�on reversible que nos lleve al dipolo� desde la posici�on �r y formandoun �angulo � con �B� hasta el in�nito� donde la interacci�on ser�a nula� Se supone que lamagnitud j�mj del dipolo permanece �ja en la transformaci�on o� de otra forma� que eldipolo es r��gido� y que el campo magn�etico converge a cero en el in�nito� En la �gura��� se proponen dos formas de realizar esta transformaci�on� En la primera� ����a� eldipolo se transporta a lo largo de camino Lmanteniendo constante el �angulo � que formael dipolo con el campo� En la segunda� primero se rota al dipolo� en su posici�on inicial�hasta formar un �angulo recto con el campo y� a continuaci�on se le transporta a lo largode L manteniendo su �ultima orientaci�on con respecto al campo� Si la transformaci�ones reversible� el resultado ser�a independiente del camino elegido y de la orientaci�on deldipolo a lo largo del mismo�

L

de campo

oo

B

oo

/2πθm

(b)(a)

lineas

Figura ����

En la opci�on �a� se mantiene �jo el �angulo que forma el dipolo con el campo� por loque el par no trabaja� El trabajo realizado debe ser imputado a la fuerza���

� � cte

m cos � � cte

�Wd �

Z �

�r����cte�r��m � �B� � d�r �

h�m � �B

i��r� ��m � �B��r�

puesto que �B��� � ��

Page 120: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

T

m

B

d θ

θ

Figura �����

En la opci�on �b�� �gura ����� primero rotamos al dipolo de la posici�on � a la ��� ydespu�es lo desplazamos con � � ���� En el desplazamiento� �m � �B � �� luego la fuerzaes nula� En este caso el trabajo se realiza en el giro inicial y es imputable al par

Wd �

Z ��

����r�cte�

�T � d�� � �Z �

�mB sen � d� � �mB cos �

resultado id�entico al anterior que con�rma la expresi�on dada en ��� a la energ��a po�tencial�

Es f�acil comprobar que el par puede tambi�en expresarse en funci�on de la energ��apotencial

�T � �r�Wd ������

donde

r� �Xi��

bei

�i

y �i es el �angulo de giro alrededor del eje bei�Veremos m�as adelante que� en el caso de los sistemas de espiras� todo �esto se enmar�

ca en el c�alculo de fuerzas y pares a partir de procesos virtuales en los que se mantienenconstantes las intensidades que circulan por dichas espiras� En nuestro caso hemos con�siderado �m � cte� lo que implica que la densidad de corriente del tubo permaneceinvariante en la transformaci�on�

�� Problemas

���� Demostrar que� si el momento monopolar de una distribuci�on es nulo� el momento

dipolar no depende del origen y que si� adem�as� el momento dipolar es nulo� el

momento cuadrupolar tampoco depende del origen�

���� Demostrar que el momento dipolar de una distribuci�on de carga� cuya carga total

es nula� es igual a �p � q �d� donde �d es la distancia del centro de la carga positivaal de la carga negativa y q es la carga positiva total�

Page 121: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

���� Hallar� mediante integraci�on directa� el primer momento multipolar signicativo

de las distribuciones puntuales de carga del problema ���� Deducir previamente�

por inspecci�on� cual ser�a� en cada caso� el primer momento no nulo�

���� Una esfera de radio a est�a dividida en dos casquetes hemisf�ericos con densidades

superciales de carga � �s uniformes� Hallar el campo el�ectrico producido en unpunto �r lejano� es decir� tal que r �� a�

���� Dos coronas circulares id�enticas� con densidades superciales de carga ��s uni�

formes� de radio interior a y exterior b� est�an situadas coaxialmente y a una

distancia mutua d� Hallar�

a� El campo el�ectrico producido en un punto de su eje para distancias r �� b�H�aganse las aproximaciones pertinentes a partir de valor exacto del campo�

b� La aproximaci�on dipolar del campo para cualquier punto del espacio y� en

particular� para los puntos del eje�

���� Hallar el potencial producido a una distancia r �� a por la siguiente distribuci�on

de carga�

En la regi�on x� � y� � a� � �s �

����s� para x � �

��s� para x � �

���� Dada una distribuci�on de carga con momento monopolar nulo y dipolar distinto

de cero� hallar�

a� El �ujo del campo el�ectrico a trav�es de una supercie cerrada arbitraria�

b� Comprobar lo anterior por integraci�on directa a trav�es de una supercie

esf�erica de radio r �� r �max�

���� Demostrar que el potencial cuadrupolar debido a la asociaci�on de dipolos de la

gura ���� es�

Vc ��

� �� r

h� ��p � br���d � br�� �p � �d�

i

-p pd

Figura �����

���� Dados dos dipolos coplanarios� p� y p�� situados a una distancia �r� hallar la orien�taci�on de m��nima energ��a�

Page 122: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

a� En el caso de que solo uno sea libre de girar�

b� Si los dos pueden hacerlo�

���� Se define como polarizabilidad de una mol�ecula a la constante de

proporcionalidad entre el momento dipolar el�ectrico de la misma

y el campo aplicado �p � �E�

Sup�ongase que un �atomo no polar est�a constituido por una nube electr�onica in�

deformable� de densidad uniforme ��� radio a� y carga total �Z e� que rodea a

un n�ucleo puntual de carga �Z e� Hallar la polarizabilidad para campos uniformes

y peque�nos� tales que la separaci�on de los centros de carga positiva y negativa

� x �� a��

����� Para el �atomo no polar cuyo modelo acabamos de describir� hallar�

a� Si es atra��do o repelido por una carga puntual externa�

b� � Cu�al es el momento dipolar inducido por dicha carga en el �atomo�

c� El valor cuantitativo de la fuerza de interacci�on�

d� La representaci�on gr�aca del potencial de interacci�on�

����� Hallar la raz�on giromagn�etica de una part��cula esf�erica con la masa distribuidauniformemente en su volumen y la carga distribuida uniformemente sobre su su�

percie� � Podr��a este modelo corresponder a un electr�on�

����� Calcular aproximadamente� a partir de la expresi�on exacta� el potencial y el cam�

po magn�etico producidos por una espira circular� de radio a y recorrida por una

intensidad I� en un punto lejano� Comprobar que los resultados concuerdan con

los predichos por la aproximaci�on dipolar�

����� Demostrar que� en general� ZV�� dv �

�p

t

Rep�asese la teor��a del desarrollo multipolar para el caso particular de corrientes

estacionarias��

����� Dos espiras id�enticas� de radio a y recorridas por una intensidad I� est�an situadas

en posici�on paralela antiparalela� a una distancia r �� a� Hallar la fuerza de

interacci�on�

����� Un solenoide� de longitud L y radio a� est�a constituido por un n�umero grande de

espiras N � uniformemente distribuidas y recorridas por una intensidad I� En el

eje del solenoide se encuentra un peque�no im�an cuyo momento magn�etico es �m y

que puede girar alrededor de un eje perpendicular al del solenoide� Calcular�

a� El par m��nimo y m�aximo que experimenta el im�an cuando se encuentra situa�

do en el centro del solenoide�

b� La fuerza que act�ua sobre el im�an cuando se le sit�ua� orientado seg�un el ejedel solenoide� en el centro de una de sus caras extremas�

Page 123: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

����� Determinar el potencial magn�etico escalar y� a partir de �este� el campo magn�etico

producido en su eje por una espira circular de radio a recorrida por una intensidad

I�

����� Calcular el campo magn�etico producido por la espira de la gura ���� en un puntolejano�

I^

y

z

-a

-a

a

I

x

Figura �����

Page 124: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Page 125: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo

Movimiento de part��culas en un

campo electromagn�etico

�Velayos� Golant et al�� Reitz et al�� Artsimovich y Loukianov�

��� Introducci�on

Hemos visto que una part��cula puede poseer una estructura electromagn�etica intr��nsecaque le con�ere un n�umero de grados de libertad mayor que tres� Esto se traduce enla posible aparici�on de momentos multipolares y la consiguiente complicaci�on de lasecuaciones del movimiento de esta part��cula� Basta con que nos ocupemos aqu�� delas caracter��sticas esenciales del movimiento no relativista de monopolos el�ectricos ydipolos magn�eticos� Para cargas puntuales� las ecuaciones del movimiento se deducende la fuerza de Lorentz� Para dipolos tendr��amos que hacer uso de las expresiones de lasfuerzas y los pares obtenidos en los cap��tulos anteriores y tener en cuenta que� a pesarde las similitudes� el dipolo magn�etico est�a siempre asociado a un momento angular�cosa que no ocurre con el dipolo el�ectrico�

Es importante comprender los aspectos b�asicos del movimiento individual depart��culas en el campo electromagn�etico puesto que en ellos reside el fundamento� oparte del fundamento� de muchos sistemas f��sicos naturales y arti�ciales� Incluso parasistemas que� por sus dimensiones o velocidades� requieren un tratamiento cu�antico orelativista� la descripci�on cl�asica no relativista ayuda a �jar ideas e im�agenes cuali�tativas� Muchas facetas de la F��sica de Plasmas� de nuestra propia Magnetosfera� delcomportamiento magn�etico de la materia� y de sistemas tales como el tubo de rayoscat�odicos� el espectr�ometro de masas� el microscopio electr�onico� el Tokamak y otrasm�aquinas de con�namiento magn�etico� requieren para su estudio un amplio conocimien�to del comportamiento din�amico individual de part��culas en el seno de campos el�ectricosy magn�eticos�

���

Page 126: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

��� Movimiento de una carga en campos uniformes

�� Campo el�ectrico constante

Una carga sometida a un campo el�ectrico uniforme y constante sufre una aceleraci�onuniforme en la direcci�on de dicho campo

�a �d�v

dt�

q

m�E � �v � �v� �

q

m�Et �����

Por unidad de tiempo va adquiriendo una energ��a cin�etica

dW

dt� m�v � �a

igual a la energ��a potencial que pierde

dWp

dt� �q �E � �v

�� Campo el�ectrico lentamente variable

Si el campo el�ectrico es variable con el tiempo� �E � �E�t�� se generar�a un campomagn�etico tal que

r� �B � ���� �E�t�

t��

c� �E

t

Para hacer una estimaci�on de la importancia de B� supongamos que L es una lon�gitud caracter��stica de la variaci�on espacial de B� y T es un tiempo caracter��stico de lavariaci�on temporal de E� Los �ordenes de magnitud de los dos miembros de la ecuaci�onanterior pueden estimarse

B

L� �

c�E

T

Por lo que la relaci�on entre la fuerza magn�etica y la el�ectrica ser�a

FmFe

� vB

E� v �L�T �

c�

de forma que� para

v

�L

T

�� c�

la fuerza magn�etica ser�a despreciable y tendremos� aproximadamente� un movimientoacelerado no uniformemente en la direcci�on del campo el�ectrico

�a�t� � q

m�E�t� � �v � �v� �

q

m

Z t

�E�t� dt

Page 127: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

� Campo magn�etico constante Movimiento ciclotr�onico

Si la part��cula est�a sometida exclusivamente a un campo magn�etico uniforme y con�stante� la aceleraci�on sufrida ser�a perpendicular a la velocidad

�a �q

m�v � �B d�v

d t� �% � �v �����

ecuaci�on que pone de mani�esto que el vector velocidad tiene un movimiento de prece�si�on con velocidad angular �%� o Frecuencia ciclotr�onica��

�% � �q�B

m� � q

mBbb � bb � �B

B�����

Como puede verse en la �gura ����b� la frecuencia ciclotr�onica %e de los electrones tieneel mismo sentido del campo magn�etico� mientras que la %i de los iones positivos tiene elsentido contrario� los electrones giran a derechas alrededor del campo magn�etico y losiones lo hacen a izquierdas�

Ω

v||

−−|v

v(t)

v(t+dt)

dv

θ

ϕ

B

cer

cir

Ωi

Ωe

(a) (b)

+

dtΩB

Figura ����

En la �gura ����a se representa la precesi�on del vector velocidad� para un electr�on�y se observa que� al ser d�v

d t��v� la componente de velocidad paralela al campo aplicado��vjj� es constante� mientras que la componente perpendicular al mismo� �v� es de m�oduloconstante y gira en el plano con velocidad �%e�Lo primero puede comprobarse multiplicando escalarmente la ecuaci�on ��� por �%

con lo qued�vkd t

� � �vk � �cte

�Esta frecuencia guarda una relaci�on estrecha con la de Larmor� la cual trataremos m�as adelante�

Page 128: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

luego el movimiento a lo largo del campo magn�etico es con velocidad uniforme� Lavelocidad con que se mueve el centro de giro� o Velocidad del centro de gu��a� es� por lotanto�

�vCG � �vjj � ��v �bb�bb ����

Lo segundo se deduce multiplicando escalarmente la misma ecuaci�on por �v� con loque

�v � d�vd t

d v�d t

� � v � j�vj � cte

El movimiento es� por lo tanto� la superposici�on de un giro en un plano perpendiculara �B y una translaci�on uniforme a lo largo del mismo� Se trata� pues� de un movimientohelicoidal de paso constante�Por otra parte� como el campo magn�etico ejerce una fuerza que es perpendicular a

la trayectoria� �este no realiza trabajo sobre la carga cuya energ��a cin�etica permanececonstante�

dW

dt� m�v � �a � m�v � ��% � �v� � �Wc � cte �����

Adem�as

Wc ��

�m�v� � v�jj

��W �Wjj

y hemos visto que vjj � cte y v � cte� por lo que

Wjj � cte � W � cte �����

Para calcular el radio de giro de la part��cula en el plano perpendicular� recordemosque� en el movimiento circular�

�v � �% � ��

donde �� es el Radio de giro ciclotr�onico�Multiplicando vectorialmente por �%

�% � �v� � �% � ��% � ��� � �%��% � ���� ��%�

y� como �%������ �

�v � �%

%�� � �

v%

�����

Si comparamos el movimiento de un electr�on y de un monoi�on positivo� ambosincidentes con la misma velocidad �para una misma energ��a cin�etica del electr�on tendr��amucha mayor velocidad que el ion�� el electr�on girar��a en el sentido de la regla deltornillo� alrededor de �B� con una gran velocidad angular �%e � ��m� y un peque�noradio de giro ��e � ��%e�� y el ion lo har��a en sentido contrario con gran radio de giroy peque�na velocidad angular� v�ease la �gura ����b�Cuando la velocidad del centro de gu��a es peque�na comparada con la velocidad

de rotaci�on de la part��cula� la trayectoria puede considerarse como una espira cerra�da� circular� que se mueve a lo largo de la l��nea de campo magn�etico� Este efecto deatrapamiento de las cargas en las l��neas del campo tiene una gran transcendencia en nu�merosos procesos naturales y arti�ciales� como el con�namiento magn�etico de plasmaspara la fusi�on nuclear y la protecci�on de la biosfera del viento solar�

Page 129: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

La espira antes mencionada tiene un momento magn�etico

�� � I �S � I � q%

��� �S � ��� bn � bn �

���bb para electrones

�bb para iones positivos

I es la intensidad equivalente� es decir� la carga que pasa por un punto determinado enla unidad de tiempo� y S la super�cie de la trayectoria� Substituyendo

�� � �WBbb �����

Luego� el momento magn�etico inducido en una part��cula por el campo magn�eticoes de sentido contrario al del campo aplicado� Debido a este comportamiento� diremosque un medio constituido por part��culas cargadas libres es un medio Diamagn�etico nolineal�El �ujo � cortado por la trayectoria de la part��cula es proporcional al momento

magn�etico a trav�es de una constante independiente del campo y de la energ��a cin�eticade la misma�

� � ���B � �Bv�%����m

q

�WB

��

���m

q� ��� �

�� Campo magn�etico lentamente variable

Supongamos que la carga est�a sometida a un campo uniforme �B�t� que var��a lentamentey que es perpendicular al movimiento� Entenderemos por campo lentamente variable auno que cumpla la condici�on� en valor absoluto�

�B � dB

dtT � B � T �

��

%

es decir� un campo que var��e relativamente poco en un periodo de giro ciclotr�onico T �Bajo estas circunstancias podemos considerar que las �orbitas son cerradas� cuasi�

circulares� Sin embargo� el campo el�ectrico� generado por la variaci�on temporal delcampo magn�etico� incrementar�a la energ��a cin�etica de la part��cula en una peque�na can�tidad que obtendremos integrando a lo largo de la �orbita L�

�W � q

IL�E � d�l � �q d

dt

ZS�B � d�S � q � ��

dB

dt

donde se ha supuesto que � � cte� lo que� bajo las condiciones impuestas� puede de�mostrarse que es una hip�otesis v�alida�Puesto que� para campos lentamente variables� las variaciones del campo y de la

energ��a cin�etica en un giro son

�B � dB

dt

��

% �W �

WB�B

Page 130: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

μ

B

L

Figura ����

Dado que �B y �W son de peque�na magnitud

�WB

�� �

B�W � �

B��B � �

�� � � ������

El momento magn�etico �� permanece pr�acticamente invariable� por lo que se diceque es un Invariante adiab�atico��

�� Campo el�ectrico y magn�etico

Cuando la part��cula sufre la acci�on conjunta de un campo el�ectrico y uno magn�eticouniformes y constantes� las ecuaciones del movimiento pueden ser escritas de la forma

�a �q

m�E �% � �v ������

En este caso� existe una aceleraci�on uniforme en el sentido del campo el�ectrico

�ajj � �ba �bb�bb � q

mEjjbb

que da lugar a una velocidad paralela

�vjj � �v�jj �q

m�Ejjt

La aceleraci�on en el plano perpendicular ser�a

�a � �a� �ajj �q

m�E �% � �v � q

m�E �% � �v

Comprobaremos que el movimiento en el plano perpendicular puede seguir vi�endosecomo un giro de frecuencia % si observamos desde un sistema adecuado que se muevacon velocidad uniforme�

�Para una exposici�on del concepto de invariante adiab�atico� v�ease Jackson�

Page 131: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Escribiremos�v � �vE � �v�

donde �vE � �cted�vdt

�d�v�dt�

q

m�E �% � �vE �% � �v�

y daremos a �vE un valor tal que

q

n�E � �% � �vE � q

m�B � �vE

�vE puede despejarse de la ecuaci�on anterior multiplicando vectorialmente por �B�teniendo en cuenta que �B � �Ek � � y que �vE� �B� y desarrollando el triple productoresultante

�B � �E �

��������B � � �B � �vE� � �B � �B � �vE� �z �

��

��vE B�

� �B � �E

porque�Tenemos� pues� que

�vE ��E �bbB

������

yd�v�dt� % � �v�

v

B

E- =v E+E

Figura ����

En la �gura ��� vemos que la part��cula gira alrededor de �B pero es arrastradaperpendicularmente a los campos con una velocidad de arrastre �vE que s�olo depende delos campos y� por tanto� es independiente del signo de la carga�Es f�acil comprobar que� si substituimos la fuerza el�ectrica por la gravitatoria� o

cualquier otra fuerza independiente de la carga� la velocidad de arrastre resultante vieneafectada por el signo de la carga�

Page 132: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Los sistemas para enfocar part��culas cargadas hacen uso de campos magn�eticos yel�ectricos paralelos� lo que da lugar a una velocidad de arrastre nula y un movimientohelicoidal de paso uniformemente variable en la direcci�on de los campos�

L

Figura ���

Si la velocidad inicial de una carga es �v�� la velocidad paralela ser�a

vjj � v� cos � �q

mE t

y el espacio recorrido en un periodo de revoluci�on� T ���

%

L��� � v� cos � T �q

mE T � � v� T �

q

�mE T � � L

Si � es lo su�cientemente peque�no� v�ease la �gura ��� para poderse realizar la aprox�imaci�on cos � � �� la longitud recorrida por part��culas monoenerg�eticas emitidas desdeun punto� con una ligera dispersi�on angular alrededor de la direcci�on de los campos� esla misma� ya que T tambi�en lo es� por lo que coinciden en el mismo punto de enfoque� Enlos enfoques magn�eticos se utiliza un diafragma para eliminar a los electrones emitidoscon valores grandes de ��

��� Movimientos de cargas en campos no homog�eneos

� Optica electr�onica

Las leyes del movimiento de una carga en un campo el�ectrico no homog�eneo suelen serdif��ciles de integrar debido a la estructura complicada de los campos� Frecuentemente� enlos casos de inter�es� no se dispone de una expresi�on cerrada de los campos y es necesariorecurrir a la integraci�on num�erica� No obstante� como apuntaremos a continuaci�on� elmovimiento de una part��cula cargada en un potencial no uniforme sigue leyes an�alogasa las de la marcha de un rayo en un medio �opticamente no homog�eneo� lo que permiteaplicar� en gran medida� las t�ecnicas de la �optica de rayos al movimiento de cargas encampos electrost�aticos� Esto da lugar a lo que se conoce como Optica electr�onica�

Page 133: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Ps

V

V2

1S

θ

θv

v

v

t1

vn1

vn2

t2

2

1v

2

1

Figura ����

Nos limitaremos aqu�� a establecer la ley que gobierna la refracci�on de la trayecto�ria de una carga al atravesar la super�cie de separaci�on de dos semiespacios equipo�tenciales� Te�oricamente podr��amos representar esta discontinuidad mediante una dis�tribuci�on dipolar uniforme sobre la super�cie S o� en la pr�actica� mediante dos l�aminasmet�alicas� lo bastante �nas para ser transparentes a las cargas incidentes� separadas unapeque�na distancia �x y puestas a unos potenciales convenientes V� y V�� Por simetr��a�v�ease la �gura ���� la componente tangencial del movimiento no se ver��a afectada

vt� � v� sen �� � vt� � v� sen �� ������

mientras que la componente normal adquirir��a un impulso de energ��a� correspondienteal incremento de energ��a potencial�

Si �jamos el origen de potenciales en el punto en que los electrones est�an en reposo

�mv� � q V � � v �

r�q V

�m

donde V � V� � V�� con lo que� teniendo en cuenta la expresi�on �����

pv� sen �� �

pv� sen ��

Expresi�on an�aloga a la ley de Snell en la que las dos regiones equipotenciales jueganel papel de medios con diferentes densidades �opticas�

� Difusi�on �scattering� de part��culas en fuerzas centrales

Un problema b�asico en F��sica At�omica es el de la interacci�on individual entre part��culas�La energ��a de interacci�on suele presentar simetr��a radial

Wp�r� � r�n

Page 134: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

lo que corresponde a una fuerza central�

Estas fuerzas de interacci�on pueden ser de diversos tipos� La m�as importante es lacoulombiana� entre dos part��culas cargadas� para la cual n � ��

Cuando una part��cula cargada se acerca a un �atomo neutro� lo polariza� ya que elcampo producido por �esta

�Eq �k

r�br

separa ligeramente a los centros de carga positiva y negativa del neutro� induci�endoseun momento dipolar que es� muy aproximadamente� proporcional a dicho campo

�p � �E

lo que se traduce en una energ��a de interacci�on� de tipo atractivo entre la carga y eldipolo� que puede expresarse como

Wp � q Vd � ��p � �E � �C

r

donde C es una constante�

Entre neutros tienen lugar las fuerzas de tipo Van der Waals� atractivas� con n ��� y de origen diverso� como puede ser la interacci�on entre dos dipolos permanentes�entre dipolos permanentes e inducidos e� incluso� entre dos dipolos inducidos� Estas�ultimas� que se conocen como fuerzas de London y que son las m�as importantes� puedeninterpretarse como la interacci�on entre el dipolo instant�aneo de una mol�ecula� que port�ermino medio no es polar� con el dipolo inducido en la otra�

Por �ultimo� cuando las distancias entre part��culas son lo su�cientemente peque�naspara que exista un solapamiento substancial de nubes electr�onicas� aparecen fuerzascu�anticas de variaci�on muy r�apida y generalmente repulsivas�

Trataremos solamente la difusi�on el�astica de part��culas en un potencial coulombiano�En este caso� la integraci�on de las ecuaciones del movimiento constituye el problemacl�asico de Kepler �Goldstein� y como resultado se obtienen trayectorias hiperb�olicas�parab�olicas o el��pticas� seg�un la energ��a total W� � Wc � Wp� suma de la energ��acin�etica Wc m�as la potencial Wp� sea respectivamente � �� � � �o � ��

En el problema de difusi�on� �gura ��� se supone que las part��culas est�an inicialmentea distancia in�nita� acerc�andose con W� � Wc��� � � y nos interesamos solamentepor el balance �nal de la interacci�on� o colisi�on� Es decir� nos preguntamos cu�antaenerg��a y cu�anto momento han intercambiado las part��culas y cu�anto han desviado sustrayectorias� Estas ser�an hiperb�olicas y el centro de masas ser�a el foco interno parafuerzas atractivas y el externo para las repulsivas�

Consideraremos la interacci�on repulsiva de una part��cula ligera� de masa m� conotra pesada� de masa M � m� lo que nos permite considerar a �esta �ultima quieta� en elcentro de masas� actuando como centro dispersor de la primera� Elegimos como eje y alque une al centro de dispersi�on O con el punto de m�aximo acercamiento P � De�niremoscomo Par�ametro de impacto a la distancia b entre las as��ntotas de la hip�erbola y laparalela que pasa por O� y como Angulo de difusi�on el �angulo � que forman la as��ntotade acercamiento con la de fuga�

Page 135: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

oov

ooW

v0

y

x

r

b

FF

FF

ϕ

ϕ

θ

x

y

F

F

0

x

y

P

O

M

m

W0

Figura ����

Puesto que la colisi�on es el�astica� la energ��a cin�etica se conserva

Wc� �P ��

�m�Wc� �

P ���m

P� � P�

y el m�odulo de la cantidad de movimiento� P� y P� tambi�en�

^

ϕ0

ϕ0

θ /2θ /2

x

Δ P

P0 ooP

y

Figura ����

En la �gura ��� se muestra como las cantidades de movimiento inicial y �nal tienenla misma magnitud pero la segunda ha girado un �angulo � con respecto a la primera�Luego

�P � �P� sen�

������

Page 136: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Para hallar el �angulo de difusi�on� integramos la fuerza

��P �

Z �

���F dt � � by Z �

�Fy dt

donde se ha tenido en cuenta que� dada la simetr��a de la trayectoria� Fx�x� y� ��Fx��x� y�� por lo que �Px � ��Cambiando la variable de integraci�on a

�P ��q� q�� ��

Z ��

cos

r�dt �

�q� q�� ��

Z ��

cos

r�

d

Pero� en un campo central� el momento angular es constante

d�L

dt� �T � �r � �F � �r � �r � � �L � m�r � �v � cte r�

� cte

0 dt

y

x

ϕ0

ϕ-

ϕ0

ϕ-

ϕ0

r (t+dt)

r (t)

M

dl

ϕ

b

O

Bv

A

Figura ����

Este t�ermino r� � cte puede sacarse fuera de la integral� Para calcularlo� supong�

amos a la part��cula lejos del origen con velocidad inicial vo� Como puede verse en la�gura ���� la part��cula� que est�a lejos del origen recorre una distancia AB � v� dt en elintervalo de tiempo dt� por lo que a la distancia r� el vector de posici�on gira un �angulo

d �dl

r�

vo dt sen � � � �

r�

vob

r�dt r�

� vob

y� substituyendo en la expresi�on anterior de �P �

�P ��q� q�� ��

sen �v� b

Teniendo en cuenta que � � � � � � y la expresi�on ���� el �angulo de difusi�on resultaser

tan�

��

q� q��� ��

W� b������

En una colisi�on frontal� b � �� la part��cula invertir�a su trayectoria� � � �� sufriendoun incremento de cantidad de movimiento� de acuerdo con ���� �P � �P�� En lacolisi�on lejana� b��� � � � y �P � ��

Page 137: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Botellas magn�eticas

De entre los aspectos caracter��sticos e interesantes del movimiento de part��culas en cam�pos magn�eticos no homog�eneos� estudiaremos el principio de con�namiento en botellasmagn�eticas� Para aislar este efecto de otros posibles� como las derivas por curvaturas�etc�� supondremos que tenemos una part��cula atrapada en una l��nea de campo recta alo largo de la cual el campo var��a� En la �gura �� se muestra un campo con simetr��acil��ndrica alrededor de dicha l��nea�

Lineas de campoTrayectoria

Figura �� �

Si la convergencia o divergencia de las l��neas de campo es peque�na� dentro del �areabarrida por la �orbita� y la velocidad paralela� vjj � vz� es lo bastante lenta como parapoder considerarla como cerrada� la fuerza que act�ua sobre el dipolo

�m � �WB

bz ������

ser�a �F � ��� � r� �B � �� Bz

zbz y la variaci�on de la energ��a cin�etica en la direcci�on del

campoWjjdt� Fz vz � �� Bz

z

z

t� �� dBz

dt������

donde ddt es la derivada total a lo largo de la trayectoria del dipolo�

Por otra parte� el campo magn�etico no trabaja directamente sobre la part��cula porlo que

dW

dt�

d

dt�Wjj �W� � � �

dWjjdt

� � dWdt

Teniendo en cuenta la expresi�on ����� dado que W � ��

W � �Bz

y� seg�un la expresi�on �����

�� dBz

dt� � d

dt��Bz� � �� dBz

dt�Bz

d�

dt � � cte

Page 138: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Aqu��� como en el caso de variaci�on temporal lenta del campo� el momento magn�eticopermanece constante y tambi�en el �ujo cortado por la trayectoria de la espira� Luego�la trayectoria� seg�un se indica en la �gura anterior� estar�a situada sobre la super�ciede un tubo de �ujo� Adem�as� podemos ver que si el campo aumenta en la direcci�on z�es decir� las l��neas de campo convergen en la direcci�on z� la fuerza que se ejerce sobreeste dipolo r��gido ser�a negativa� por lo que una part��cula que se desplace hacia valorescrecientes de B ver�a disminuirWjj en bene�cio de W� pudiendo ver invertido el sentidodel movimiento�En la �gura ���� se representa una con�guraci�on b�asica de botella magn�etica�

0

v

B 0 B max

B

B

v

v

v

vz

v 0

||0

0

max

B

z

(a)

(b)

||

θ 0

Figura �����

Puesto que W � cte� v � cte� Por otra parte� V � v sen � yWB

� cte por lo que

sen ��

B� cte� Si en la regi�on de campo m��nimo B�� � � ��� en la de campo m�aximo

Bmax� � � �max ysen ��

B�

sen ���B�

�sen ��max

Bmax

La velocidad vjj se anular�a y las part��culas estar�an atrapadas en la botella si

sen �� �

rB�

Bmax

Una botella magn�etica tiene� pues� un Cono de fugas� de apertura �F � por el que seescapan todas las part��culas con �� � �F

sen �F �

rB�

Bmax

Este efecto de Espejo magn�etico� que es utilizado actualmente para el con�namientode plasmas arti�ciales� aparece en la naturaleza asociado al campo magn�etico terrestre�

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���

Los cinturones de Van Allen� �gura ����� no son sino grandes bolsas de part��culas car�gadas� atrapadas por el campo magn�etico terrestre� que fueron detectadas por primeravez por los contadores Geiger instalados a bordo del Pioner � �� �� y Lunik � �� � ��

1 2 3 4 5

N

Cuentaspor

segundo1.000

10.000

Cinturon interno Cinturon externo

eje

geom

agne

tico

Radios terrestres

Ecuadormagnetico

Figura �����

��� Precesi�on de un dipolo en un campo magn�etico

Por �ultimo analizaremos� desde el punto de vista cl�asico� el movimiento de un dipolomagn�etico bajo la acci�on de una campo magn�etico uniforme y constante� Olvidaremosque los casos m�as interesantes exigen� en general� un tratamiento cu�antico�

Si� en principio� suponemos que el dipolo es r��gido� como el que corresponde almomento magn�etico de esp��n de un electr�on� podemos plantear la ecuaci�on que igualael par aplicado al sistema con la variaci�on temporal del momento angular

d�L

dt� �T

y tener en cuenta que

�L ��m

'y �T � �m � �B

lo que permite escribird�m

dt� �%L � �m � �%L � �' �B

ecuaci�on an�aloga a la que describe el giro ciclotr�onico y que indica que el momentomagn�etico �m posee un movimiento de precesi�on alrededor de �B con la Frecuencia de

Larmor �%L�

En el caso de un electr�on orbital� cuyo momento magn�etico se ve afectado ligeramentepor el campo magn�etico aplicado� la ecuaci�on anterior sigue siendo aplicable con granprecisi�on� pudi�endose despreciar los efectos de nutaci�on �Velayos� Konopinski��

Page 140: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

As�� pues� si un dipolo magn�etico es sometido a un campo que var��e de � a �B��adquirir�a una energ��a potencial Wp � �mB� cos � y una velocidad de precesi�on �%L �

�' �B��Estos estados de movimiento se detectan generalmente por la emisi�on de radiaci�on

que acompa�na a la transici�on entre los mismos�

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Parte III

Campo electromagn�etico en los

medios materiales

���

Page 142: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO
Page 143: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Introducci�on

Los medios materiales� naturales y arti�ciales� son muy diversos y tambi�en lo sonlas respuestas de los mismos al campo electromagn�etico� Un esquema simple de clasi��caci�on de dicha respuesta agrupa a los medios m�as comunes en las grandes familiasde los diel�ectricos� los medios magn�eticos y los conductores� aunque� normalmente� unmaterial determinado presenta al mismo tiempo� en mayor o menor grado� propiedadesde conducci�on y polarizaci�on el�ectrica y magn�etica� El estudio de los mecanismos porlos cuales un medio responde al campo electromagn�etico es muy complejo y est�a en�cuadrado en el dominio del estado s�olido y la teor��a cin�etica o� m�as concretamente� en elde las � propiedades electromagn�eticas de la materia�� Aqu�� solo se abordar�a este temade forma marginal y� particularmente� desde el punto de vista fenomenol�ogico�

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

=

+

Medio

cargas de conducción cargas de polarización

Figura ����� Esquema de un medio conductor y polarizable

En la �gura ���� se representa una instant�anea simpli�cada de un medio denso�parte de cuyas mol�eculas han perdido a un electr�on quedando cargadas positivamente�Una forma conveniente de modelar a este tipo de medios es mediante la partici�on desus cargas en dos sistemas que en adelante se denominar�an de Cargas de conducci�on yde Cargas de polarizaci�on � aunque� como se ver�a� ninguna de las dos acepciones estotalmente apropiada� Las cargas de conducci�on son las de los electrones libres m�as lasexcedentes de las mol�eculas ionizadas� Parte de ellas� como en los conductores s�olidos�o todas ellas� como en los gases ionizados� puede ser transportada a trav�es del medioa distancias macrosc�opicas� Al resto de las cargas del medio se les de�ne como de

�Las cargas que aqu�� cali�camos como de conducci�on y de polarizaci�on se denominan en otros textoscomo cargas libres y ligadas �

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���

polarizaci�on� Este �ultimo sistema es neutro a nivel molecular y sus cargas solo se muevendentro de distancias microsc�opicas�

En la pr�actica� la anterior forma de partici�on de las cargas es hasta cierto puntoambig(ua pero facilita la modelaci�on de los medios y no presentan di�cultades te�oricas�No puede considerarse que las cargas de polarizaci�on sean las polarizables y las de con�ducci�on las no polarizables� De hecho� una onda monocrom�atica linealmente polarizada�de frecuencia � y amplitud �E�� provoca una oscilaci�on lineal de los electrones de con�ducci�on cuya amplitud es �r� � e �E���m���� Para campos moderados y frecuencias noexcesivamente altas �r� puede ser comparable al radio de Bohr� Este movimiento gen�era una polarizaci�on el�ectrica oscilante y una corriente de polarizaci�on equivalente� Deforma an�aloga� una onda monocrom�atica circularmente polarizada har��a girar a dichoselectrones con un radio de la misma magnitud r� creando una corriente solenoidal y unapolarizaci�on magn�etica equivalente� Por �ultimo� no cabe decir que las cargas de conduc�ci�on sean las que conducen� porque parte de ellas pueden estar tan ligadas como las depolarizaci�on y� adem�as� cuando el campo oscila a una frecuencia elevada� las cargas deconducci�on libres est�an tambi�en con�nadas dentro de regiones microsc�opicas�

Hasta ahora se ha supuesto que las densidades microsc�opicas describen las posi�ciones y las velocidades de todas y cada una de las cargas contenidas en el medio�Esto no es totalmente necesario puesto que parte de ellas pueden no ser signi�cati�vas en cuanto a la generaci�on de campo macrosc�opico� Cada carga aporta en principiouna contribuci�on al campo que en el caso est�atico� sin contar con el esp��n� es monopo�lar el�ectrica y� en general� contiene t�erminos variables con el tiempo� en particular elde radiaci�on� No obstante� cuando la materia posee una organizaci�on interna a nivelmolecular� las aportaciones de cargas pr�oximas� iguales y de signo contrario� se cance�lan parcialmente con lo que a nivel macrosc�opico solo son notables las contribuciones detipo multipolar� Aunque una demostraci�on m�as rigurosa queda fuera de nuestro alcance�Jackson� Robinson� Landau y Lifchitz MC�� veremos que las �unicas que es necesarioconsiderar en la pr�actica son las contribuciones dipolares el�ectrica y magn�etica� lascuales son proporcionales a la densidad de dipolos y pueden ser ignoradas en mediospoco densos�

Aunque� como ya se ha dicho� la respuesta de un medio es siempre mixta� se diceque� bajo ciertas circunstancias� un medio es conductor� diel�ectrico o magn�etico� si en surespuesta predomina la conducci�on� la polarizaci�on el�ectrica o la polarizaci�on magn�etica�

Los representantes m�as caracter��sticos de los conductores son los metales� los cualespresentan una alta conductividad� lo que di�culta grandemente la penetraci�on de loscampos el�ectricos en su interior� Por esta raz�on son apenas polarizables el�ectricamentey poseen una constante diel�ectrica pr�oxima a la del vac��o ��� Los campos magn�eticos debaja frecuencia penetran en los conductores� pero son apantallados a frecuencias su��cientemente elevadas� por lo que pueden polarizarse magn�eticamente en mayor o menorgrado aquellos que no poseen momentos magn�eticos en ausencia de campo externo res�ponden d�ebilmente como diamagn�eticos y los que si los poseen lo hacen de forma algom�as signi�cativa� como paramagn�eticos� o muy fuertemente como los ferromagn�eticos �

�En los medios paramagn�eticos el campo aplicado ordena a los momentos magn�eticos orbitales y enlos ferromagn�eticos a los de esp��n� El efecto diamagn�etico es universal aunque suele quedar enmascaradopor el paramagn�etico� de signo contrario� o el ferromagn�etico� Solo es notable en �atomos en los que las

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���

Los diel�ectricos carecen de cargas de conducci�on y su respuesta a los campos externoses fundamentalmente diel�ectrica� adquieren un momento dipolar apreciable� � �� �� yun momento magn�etico d�ebil� � � ���

La respuesta de un gas no ionizado a la presencia de un campo electromagn�eticoaplicado es debida a su polarizaci�on es� por lo tanto� un diel�ectrico� En condicionesnormales� la aportaci�on del medio al campo total es peque�na pero medible� Cuando estegas se ioniza� de forma que una de cada ��� o ��� mol�eculas ha perdido a uno de suselectrones� su comportamiento var��a substancialmente al convertirse en lo que se conocecomo un plasma� En la naturaleza y en el laboratorio se encuentran frecuentemente

plasmas poco densos� con una distancia media entre part��culas �d� �oA� muy superior

a las dimensiones moleculares� que pueden ser representados mediante el modelo simplecuyo esquema se indica en la �gura ����� Dicho plasma estar��a constituido por electroneslibres� de carga �e� iones positivos� de carga �e y mol�eculas neutras en el lenguaje deuso com�un en la teor��a de plasmas se dir��a que lo componen �uidos de electrones� ionesy neutros� Aparte de las cargas netas de los iones y las de los electrones libres� elresto de las mismas no contribuyen apreciablemente a la respuesta electromagn�etica delplasma puesto que �este es de baja densidad� En este caso las ecuaciones macrosc�opicasde Maxwell pueden deducirse de unas densidades en las que solo se tenga en cuenta alas cargas electr�onicas libres y a las netas de los iones� todas ellas representadas comopuntuales ��

Electrón NeutroIon

Figura ����� Esquema de la composici�on de un plasma

En esta parte se proponen dos versiones macrosc�opicas equivalentes de las ecuacionesde Maxwell� En la primera� todas aquellas cargas cuya aportaci�on al campo macrosc�opicoes signi�cativa est�an descritas por medio de las densidades totales de carga y corriente�Esta versi�on es la ����� postulada en la primera parte�

r � �E � �T��

������

r� �E � ��B

t���� �

r � �B � � ������

r� �B � ��

���T � ��

�E

t

�������

capas electr�onicas est�an cerradas y� como consecuencia� las contribuciones paramagn�eticas se cancelan��Esto no quiere decir que el �uido de neutros juegue un papel pasivo dado que puede tener una

in�uencia importante en el movimiento del medio�

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���

escrita en este lugar con la notaci�on � � �T y �� � ��T�� La ecuaci�on de continuidad

correspondiente se escribir�a de la forma

r � ��T � �Tt

� � ������

Esta primera versi�on de las ecuaciones de Maxwell es apropiada para el estudio de losplasmas en los que la polarizaci�on tiene una in�uencia inapreciable sobre el campo�En caso contrario es preferible el uso de otra versi�on en la que estas aportaciones

aparecen de forma expl��cita� La segunda versi�on� que es la m�as utilizada� se deduce dela primera desglosando las cargas y las corrientes totales en los t�erminos

�T � �� �pol � � ��T � ��� ��pol � ��� ��p � ��M ������

donde � es la densidad de carga de conducci�on� �pol la de polarizaci�on� �� la densidad decorriente de conducci�on y ��pol la densidad de corriente total de las cargas de polarizaci�onque� a su vez� se desglosa en ��p� la de polarizaci�on diel�ectrica� y ��M � la de magnetizaci�on ode polarizaci�on magn�etica� Sus expresiones en funci�on de las densidades de polarizaci�onson

�pol � �r � �P ����a�

��pol � ��p � ��M � � ��p � �P

t� � ��M � r� �M ����b�

Los pr�oximos cap��tulos se dedican principalmente a la b�usqueda de esta segundaversi�on de las ecuaciones de Maxwell y al estudio de sus consecuencias fundamentales�

�Las notaciones � y �� se reservar�an en adelante para las cargas y corrientes de conducci�on�

Page 147: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo

Medios polarizables

�� Mecanismos de polarizaci�on

��� Polarizaci�on diel�ectrica

Como acabamos de decir� la teor��a fenomenol�ogica renuncia a la explicaci�on de losmecanismos de respuesta de la materia ante la aplicaci�on de un campo electromagn�etico�No obstante� nos ser�a �util hacer aqu�� alguna referencia a estos mecanismos�

Si sometemos un cuerpo a la acci�on de un campo el�ectrico� podemos distinguir dostipos de respuestas ideales� En el conductor ideal se genera un r�apido transporte decarga neta de forma que �esta se distribuye sobre la super�cie apantallando a su interior�es decir� anulando el campo interno y circunscribiendo la acci�on del campo aplicado adicha super�cie� En el diel�ectrico ideal no existen portadores� o cargas capaces de darlugar a un transporte neto� lo que impide el apantallamiento total interno� permitiendola penetraci�on del campo aplicado� Este campo act�ua sobre cada una de las mol�eculasdel material� redistribuyendo las cargas que lo constituyen y dando lugar a la aparici�onde un momento dipolar�

De�niremos como diel�ectricos a aquellos materiales cuya respuesta a un campoel�ectrico consiste en la creaci�on de un momento dipolar� aunque debemos hacer no�tar que existen sustancias naturales� los ferroel�ectricos� y naturales� los electretes� en losque la polarizaci�on persiste en ausencia de campo externo�

Para comprender c�omo un medio material puede responder diel�ectricamente� ilus�traremos los mecanismos m�as simples de polarizaci�on� v�ease la �gura ���� Se dice queun gas es apolar cuando sus mol�eculas� en ausencia de campo externo� no presentanmomento dipolar permanente� Bajo estas condiciones� el centro de cargas de la nubeelectr�onica de la mol�ecula coincide con la posici�on nuclear�

La aplicaci�on de un campo externo da lugar a fuerzas contrarias sobre los centrosde carga positiva y negativa� que tiende a separarlos� Estas fuerzas son contrarrestadaspor la atracci�on entre las cargas separadas� la carga �Ze y la negativa encerrada en laesfera de radio �x�

En el equilibrio ambos centros de carga se han separado una distancia ��x� gene�r�andose un momento dipolar

�pm � Ze��x

���

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��

a 0

Ze

-ZexΔ

Q( Δ x)

x<<aΔ 0

E

Figura ����

Este mecanismo recibe el nombre de polarizaci�on por deformaci�on� Dado que loscampos asociados al n�ucleo son muy elevados� comparados con los que se pueden con�seguir en el laboratorio� el desplazamiento �x es peque�no comparado con las dimen�siones moleculares� y el fen�omeno es aproximadamente lineal e independiente de otrosfactores� como pueden ser la temperatura o la presi�on del gas�

�pm � �E

donde es la Polarizabilidad de la mol�ecula�

Los diel�ectricos polares� por el contrario� est�an constituidos por mol�eculas con mo�mento dipolar permanente �p�� A una temperatura distinta del cero absoluto y en ausen�cia de campo aplicado� los momentos dipolares de cada mol�ecula est�an orientados alazar� lo que macrosc�opicamente se traduce en una polarizaci�on nula�

/E=0 , pm =0 E=0 , pm =0

p

T=T 0

0

/

Figura ����

La aplicaci�on de un campo el�ectrico tiende a alinear a los dipolos� en la direcci�ondel campo� bajo la acci�on de un par� lo que se ve contrarrestado por la tendenciadesordenadora de los choques moleculares� A una determinada temperatura se alcanzaun equilibrio entre estas dos tendencias contrapuestas� dando lugar a una polarizaci�onneta en la direcci�on del campo� Este mecanismo es no lineal� puesto que la polarizaci�ondel medio se satura� cuando todos los dipolos se alinean con el campo� situaci�on que sealcanza en la pr�actica cuando predomina la energ��a el�ectrica sobre la t�ermica� pE � KT �

Page 149: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Sin embargo� en situaciones normales �KT � pE� la polarizaci�on del medio sigue unaley lineal�

Sin extendernos en este tema� nos basta por ahora con suponer que� bajo la acci�onde un campo el�ectrico� los medios diel�ectricos responden con una polarizaci�on que� deahora en adelante� mediremos con el vector densidad macrosc�opica de momento dipolarel�ectrico o� vector Polarizaci�on diel�ectrica

�P �d�p

dv� n h�p i � polarizaci�on el�ectrica

donde d�p es el momento dipolar del elemento de volumen dv� n es el n�umero de mol�eculaspor unidad de volumen y h�p i es la contribuci�on media de cada mol�ecula a la polarizaci�onde la unidad de volumen�

��� Mecanismos de magnetizaci�on

La respuesta de los medios materiales frente a la aplicaci�on de un campo magn�etico esm�as variada que la respuesta diel�ectrica� La mayor��a de los materiales responden muyd�ebilmente� por lo que se les suele denominar materiales no magn�eticos� mientras queotros� los ferromagn�eticos� responden de forma notable y no linealmente�

Los materiales no magn�eticos se dividen en diamagn�eticos y paramagn�eticos� Losprimeros responden adquiriendo un momento dipolar magn�etico en la direcci�on delcampo aplicado pero en sentido contrario� mientras que los paramagn�eticos se polarizanen el mismo sentido de dicho campo�

El mecanismo de polarizaci�on diamagn�etica tiene car�acter universal� si bien apareceenmascarado por otros contrarios y m�as potentes en los materiales para y ferro�magn�eticos� En un material diamagn�etico el establecimiento de un campo magn�eticoacelera o retarda el giro de los electrones orbitales� seg�un la ley de Lenz� de forma que elcampo magn�etico inducido se opone al aplicado� Como los materiales diel�ectricos� quedisminuyen o expulsan al campo el�ectrico �E de su interior� los diamagn�eticos expulsanal campo magn�etico �B� Este efecto se pone de mani�esto en sustancias con estruc�turas electr�onicas sim�etricas� no polares y� como el de polarizaci�on por deformaci�on� esindependiente de la temperatura�

Los materiales paramagn�eticos poseen momento dipolar permanente de forma queel establecimiento de un campo magn�etico induce en estos dipolos un movimiento deprecesi�on� Los choques intermoleculares tienden a distribuir los dipolos con orienta�ciones al azar� mientras la energ��a de interacci�on del dipolo con el campo favorece laorientaci�on de los dipolos con proyecci�on en el sentido del campo� El momento dipolarmedio resultante en la direcci�on del campo crece con �este y se satura cuando la energ��ade interacci�on de los dipolos con el campo se hace mucho mayor que la energ��a t�ermica�

Los mecanismos de polarizaci�on ferromagn�etica son m�as complejos y esencial�mente no lineales� En este tipo de materiales� los momentos de esp��n se ordenanespont�aneamente debido a la existencia de un fuerte campo interno� denominado campode Weiss�

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���

La polarizaci�on de los medios materiales la describiremos por el vector macrosc�opicoImanaci�on� o Magnetizaci�on�

�M �d�m

dv� n h�m i

donde h�m i es el momento magn�etico medio de las mol�eculas y n la densidad demol�eculas� �M es� pues� la densidad de momento dipolar magn�etico del medio�

�M tiene car�acter auxiliar� como �P � y nos servir�a para describir macrosc�opicamentelas corrientes moleculares� asociadas a las cargas de polarizaci�on�

�� Cargas y corrientes de polarizaci�on

Cada una de las mol�eculas que constituyen el sistema de cargas de polarizaci�on� descritopor las densidades de carga �pol y de corriente ��pol� crean campos el�ectricos y magn�eticosque pueden expresarse en funci�on de sus polarizaciones el�ectrica y magn�etica�

��� Expresi�on de la densidad de carga de polarizaci�on en funci�on dela polarizaci�on diel�ectrica

Sup�ongase que tenemos una distribuci�on de cargas de polarizaci�on �pol��r��� cuya polar�

izaci�on diel�ectrica es �P ��r ��� contenida en un volumen �nito V�� a distancia �nita delorigen� y que queremos calcular el campo total producido en un punto P externo� esdecir� tal que r � r�max�La contribuci�on de las cargas de polarizaci�on al potencial de un elemento de volumen

dv� ser�a

dVp ��

���

�polR

dv� � �

���

�P � �RR

dv�

Al hacer la aproximaci�on dipolar se supone que� dada la de�nici�on de las cargas depolarizaci�on� en el exterior de la distribuci�on� lejos de cada mol�ecula concreta� la �unicacontribuci�on que debe tenerse en cuenta es la dipolar� Para distribuciones est�aticas�esto es cierto dado que las mol�eculas son neutras� su momento monopolar nulo� y losmomentos superiores al dipolar convergen r�apidamente a cero lejos de la mol�ecula� Enel caso general� en el que la distribuci�on est�a constituida por corrientes no estacionarias�la justi�caci�on de lo que sigue ser��a mas compleja� Siguiendo el camino emprendido�deben utilizarse las densidades retardadas� como se vio en la primera parte� y limitar lavelocidad de las cargas a valores muy inferiores a la velocidad de la luz� Por ahora nosremitiremos a la bibliograf��a suministrada en la anterior introducci�on y daremos validezgeneral a estos resultados�A continuaci�on comprobaremos que �pol puede ser expresada en funci�on del vector

polarizaci�on diel�ectrica� Para ello escribamos

dVp��r� ��

����P ��r �� � r�

��

R

�dv�

y dividamos el volumen de integraci�on V� en V � y V� � V �� donde V � � V�� Es evidenteque

Vp �

ZV�

dVp �

ZV �

dVp �

ZV��V �

dVp � limV ��V�

ZV �

dVp

Page 151: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Luego� dando por supuesto que V � � V��

Vp��r� ��

���

ZV ��P ��r �� � r�

��

R

�dv�

que� haciendo uso de la expresi�on

r � �f�a� � fr � �a� �a � rf r� ���P

R

���

Rr� � �P � �P � r�

��

R

y aplicando el teorema de la divergencia para el t�ermino

��P

R

Vp��r� ��

���

�ZV ���r� � �P �

Rdv� �

ZS�

�P � �nR

ds��

expresi�on que tiene la estructura integral de potencial� seg�un el teorema de Helmholtz�Luego

�pol � �r � �P ����a�

�sp � �P � �n ����b�

tienen el car�acter de densidades monopolares de carga� de volumen y de super�cie�respectivamente� y las llamaremos Densidades de carga de polarizaci�on� Luego� en elinterior del diel�ectrico la densidad de carga de polarizaci�on viene representada por unadensidad de volumen� pero en las discontinuidades es necesario tener en cuenta unadensidad super�cial�El potencial producido fuera de la distribuci�on es� por lo tanto�

Vp��r� ��

���

�ZV ��pol��r

��R

dv� �ZS��sp��r

��R

ds��

�����

Podemos� pues� como en la �gura ���� representar el diel�ectrico por un conjunto decargas de polarizaci�on de volumen y de super�cie�

ρpol ρpol

ρ sp

Figura ����

Aunque para llegar a una expresi�on de tipo monopolar hemos supuesto que P eraun punto externo� puede demostrarse �Lorrain y Corson� que el resultado es v�alido paradescribir el campo macrosc�opico en el interior del medio�

Page 152: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Puesto que la carga de polarizaci�on total del diel�ectrico debe ser nula� Es f�acildemostrar que Z

V ��pol dv

� �ZS��sp ds � �

Esta carga de polarizaci�on no es �cticia en ning�un sentido e interviene en la gen�eraci�on de campo el�ectrico en paridad con la carga de conducci�on� Podemos visualizarsu aparici�on en la super�cie de un diel�ectrico con polarizaci�on solenoidal� as�� como enel interior de un diel�ectrico cuando la polarizaci�on no es solenoidal� en las �guras ���ay ���b�

dp

dx=0 ρ p=0, dp

dx>0 ρ p<0,

ρ sp=-P ρ sp=+P

n n

P

(a) (b)

x

Figura ���

��� Corrientes de polarizaci�on

La carga de polarizaci�on� como la total o la de conducci�on� debe cumplir una ley deconservaci�on� El diel�ectrico� en su totalidad� es neutro� por lo que la aparici�on de unacarga neta en el interior de un volumen determinado V debe venir compensada por un�ujo a trav�es de la super�cie que envuelve a dicho volumen�As��� pues� la ecuaci�on de continuidad de la carga de polarizaci�on puede expresarse

como sigue

r � ��pol ��polt

� �

y� substituyendo �pol � �r � �P �

r � ���pol � ��p� � r � ��M � �

donde ��p se de�ne como la Densidad de corriente de polarizaci�on diel�ectrica

��p � �P

t�����

y ��M como la Densidad de corriente de polarizaci�on magn�etica

��M � ��pol � ��p ����

Page 153: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

De acuerdo con lo anterior� la densidad de corriente de polarizaci�on diel�ectrica ��p esla parte no solenoidal del la corriente de polarizaci�on ��pol y la densidad de corriente depolarizaci�on magn�etica ��M � la parte solenoidal de la misma�

��pol � ��p � ��M

�����r � ��p � �

�polt

r � ��M � �

�����

Cada una de estas corrientes son fuentes vectoriales del campo magn�etico� Veremosque la de magnetizaci�on puede expresarse en funci�on de la imanaci�on del medio�

�� Expresi�on de de la densidad de corriente de magnetizaci�on enfunci�on de la imanaci�on

Procederemos en este apartado con el mismo tipo de precauciones y connotaciones queen la secci�on ����� por lo que ahorraremos detalles en la exposici�on� Solo recordaremosque la corriente ��M es solenoidal y� por lo tanto� el potencial que produce admite undesarrollo multipolar cuyo primer t�ermino no nulo es el dipolar magn�etico�La contribuci�on de un elemento de volumen del material magnetizado al potencial

magn�etico ser�a

d �AM ��o�

��MR

dv� ��o�

�M � �R

Rdv� �

���

�M �r���

R

�dv�

que� haciendo uso de la expresi�on

r� �f�a� � fr� �a�r f � �a �M �r���

R

��r� �M

R�r� �

��M

R

e integrando sobre v�� nos da

�AM ����

ZV �r� � �M

Rdv� � ��

ZV �r� �

��M

R

�dv�

La segunda integral puede transformarse en integral de super�cie haciendo uso delteorema Z

Vr� �a dv � �

ZS�a � d�s

donde S es la super�cie que contiene a V� por lo que podemos escribir

�AM ��r� ����

ZV ���M ��r

��R

dv� ����

ZS���sM ��r

��R

ds� �����

donde se han de�nido las densidades de corriente de magnetizaci�on� de volumen y su�per�ciales

Page 154: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��M � r� �M ����a�

��sM � �M � �n ����b�

Esto permite representar a un material magnetizado por el conjunto de las corrientesde magnetizaci�on�Como en el caso de los diel�ectricos� puede demostrarse � que la expresi�on obtenida

para la contribuci�on al potencial vector en un punto externo es v�alida tambi�en para unpunto interior�La corriente ��pol no es estacionaria� por lo que el primer t�ermino del desarrollo

multipolar� �Am��r� de la secci�on ���� que se anulaba por ser las corrientes estacionarias�corresponde a la aportaci�on de las corrientes de polarizaci�on diel�ectrica�

j

j

M

nsm

M =0

Figura ����

Podemos visualizar intuitivamente la aparici�on de estas corrientes analizando elesquema de la �gura ���� Si el material est�a uniformemente magnetizado� podemosimaginar al material compuesto por espiras elementales id�enticas� recorridas por unaintensidad

�I �M

�s�v

Si el material est�a magnetizado uniformemente� las corrientes de espiras contiguasse compensar�an� quedando s�olo la contribuci�on a la corriente super�cial� Si los dipoloscontiguos no fueran id�enticos� la compensaci�on no ser��a total y aparecer��a una corrientede volumen�

��� Potencial magn�etico escalar Formalismo de polos magn�eticos

El formalismo que proponemos en esta secci�on expresa la contribuci�on de un mediomagnetizado al campo magn�etico en funci�on de una densidad de monopolos magn�eticos

�V�ease Lorrain�Corson�

Page 155: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

�M � Aunque este planteamiento no sea tan coherente desde el punto de vista te�oricocomo el utilizado en la secci�on anterior� es de gran utilidad pr�actica� Dicha contribuci�ones

�BM � r� �AM � ����r�

�ZV �

�M��r �� �r��

R

�dv��

� ����

ZV �r�

��M��r �� �r

��

R

��dv�

Haciendo uso de

r� ��a ��b� � �a�r ��b���b�r � �a� �z ���

���b � r��a �z ���

���a � r��b

donde tomaremos �a � �M��r �� y �b � r��

R

�� se obtiene�

�BM ��r� � ����

ZV �

�M��r ��r�

��

R

�dv� �z � �

���

ZV �� �M��r �� � r�r

��

R

�dv� �z �

� ��

Substituyendo r�

��

R

�� �� ���R� en �� tenemos � � �� �M��r�� y� teniendo en

cuenta que

r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a �z ���

��a � �r��b� �z ���

��b � �r � �a� �z ���

donde �a y �b toman los mismos valores que en la expresi�on anterior y se han anuladono s�olo los t�erminos donde �M��r �� aparece a la derecha del operador r� sino tambi�en elr�

�r��

R

��� Luego

�� � ���r��

ZV �

�M � �rR

dv��

por lo que escribiremos

�BM ��r� � �B� � �B� � �� �M��r�� ��rUM ��r� �����

Es decir� �BM ��r� puede descomponerse en dos t�erminos� uno proporcional a laimanaci�on y otro derivable de un potencial escalar que tiene la misma estructura dipolardel descrito en el p�arrafo �������

UM ��r� ��

ZV �

�M��r �� � �rR

dv� ��� �

Si� adem�as de existir medios magnetizados� existieran corrientes de conducci�on�habr��a que sumar a �BM el campo producido por �estas�

Page 156: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Aplicando ahora a UM un tratamiento an�alogo al aplicado a Vp en el p�arrafo ������obtenemos

UM ��r� ��

ZV ��MR

dv� ��

ZS��sMR

ds� ������

donde

�M � �r � �M y �sM � �M � �n ������

UM es un pseudopotencial de �B� con la misma estructura que el potencial elec�trost�atico� pero veremos que es un verdadero potencial escalar para �H� campo quede�niremos en la pr�oxima secci�on�

�M y �sM son densidades de volumen y super�cie de Polos magn�eticos� No debemosconfundir estos polos magn�eticos� que en realidad son polos o fuentes escalares de �H�con los monopolos postulados en las teor��as de gran uni�caci�on y que ser��an fuentes de�B� Insistimos en que estos monopolos� que habr��an sido creados en grandes cantidadesen las primeras etapas del universo� durante la Gran Explosi�on �Big�Bang�� y que�teniendo dimensiones at�omicas ser��an billones de veces m�as pesados que un prot�on� sontan escasos� si es que existen� que no obligan a modi�car la expresi�on r � �B � ��El formalismo de polos magn�eticos es de utilidad pr�actica� puesto que permite aplicar

los mismos m�etodos a los problemas magn�eticos que a los el�ectricos�

Seg�un se muestra en la �gura ���� el c�alculo del campo magn�etico producido por unacorriente I que recorre un carrete arrollado a un material magn�etico� podr��a tratarseseg�un las dos alternativas siguientes�

MjsM

ρsM

Mμ0

I I

(a)

(b)S N

Figura ����

En ambas alternativas� habr�a que calcular por separado la contribuci�on del carrete�como si estuviera en el vac��o� La contribuci�on del material magnetizado se calcula subs�tituyendo al n�ucleo magnetizado� en �a�� por un conjunto de corrientes super�ciales� y�en �b�� por dos super�cies de polos magn�eticos� Sur ��� y Norte ���� y a�nadiendo� dentrodel material� el t�ermino �� �M � Para que� en teor��a� podamos resolver el problema� noshace falta conocer la ecuaci�on constitutiva que expresa c�omo se magnetiza el medio enfunci�on del campo aplicado�

Page 157: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

�� Desplazamiento el�ectrico e intensidad magn�etica

En las secciones anteriores se han expresado las fuentes escalares y vectoriales del campoelectromagn�etico en funci�on de la polarizaci�on diel�ectrica y de la imanaci�on

�T � ��r � �P �����a�

��T � ��� �P

t�r� �M �����b�

por lo que las ecuaciones de Poisson y Amp!ere toman la forma

r � �E � �

��

���r � �P

������a�

r� �B � ��

����

�P

t�r� �M � ��

�E

t

������b�

Los segundos miembros de las ecuaciones anteriores pueden simpli�carse de�niendounos nuevos campos vectoriales

�D � �� �E � �P ����a�

�H ��B

��� �M ����b�

�D recibe el nombre de Desplazamiento el�ectrico y �H el de Intensidad magn�etica�Ambas de�niciones tienen un car�acter h��brido al sumar a un vector que representaal valor medio del campo microsc�opico con otro que representa a la densidad de depolarizaci�on� Las ecuaciones ����� escritas en funci�on de estos nuevos campos� se reducena

r � �D � � �����a�

r� �H � ��� �D

t�����b�

De esta forma podemos expresar las ecuaciones de Maxwell en su forma tradicional�pero lo aplazaremos hasta el pr�oximo cap��tulo�En cualquier caso� las ecuaciones anteriores no son �utiles a menos que conozcamos

como se polariza el medio en funci�on de los campos aplicados� El problema es complejoy corresponde a la disciplina de � Propiedades electromagn�eticas de la materia� elresolverlo� Aqu�� nos limitaremos a plantearlo el desde el punto de vista fenomenol�ogicoy limit�andonos� casi exclusivamente� a los medios lineales simples�

Page 158: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

�� Susceptibilidades� constante diel�ectrica y permeabilidadmagn�etica

La polarizaci�on de las cargas que constituyen la materia� as�� como el de conducci�onde las mismas� es un proceso autoconsistente seg�un el cual el campo electromagn�etico�en conjunci�on con las fuerzas moleculares y cristalinas de origen cu�antico� las redis�tribuye de forma que �estas� a su vez� modi�can al campo inicial� Este es� pues� un dif��cilproblema din�amico que solo es resoluble aproximadamente y bajo ciertas limitaciones�Afortunadamente� muchos materiales� dentro de un amplio rango de variaci�on de loscampos� se comportan como lineales� Consideraremos aquellos medios de este tipo enlos que �P es proporcional� a trav�es de una constante� al campo el�ectrico aplicado y �Mal magn�etico �� Escribiremos estas constantes de proporcionalidad de la forma

�P � �� �e �E �����a�

�M � �m �H �����b�

donde �e es la Susceptibilidad el�ectrica y �m la Susceptibilidad magn�etica �Substituyendo en ���� se puede escribir

�D �

������ �� �� � �e� �E

� � �E

� �� �r �E

�����a�

�B �

������ �� �� � �m� �H

� � �H

� �� �r �H

�����b�

donde se han de�nido la Constante diel�ectrica � y la Permeabilidad magn�etica del medioy sus valores relativos

� � �� �� � �e� � � �r � �

��� �� � �e� �����a�

� � �� �� � �m� � � �r � �

��� �� � �m� �����b�

Las relaciones ���� y ���� son distintas versiones de las Ecuaciones constitutivas

de los medios� las cuales podr�an ser determinadas te�orica o experimentalmente� Comoya hemos apuntado� estas � constantes� son aproximaciones de leyes complicadas y�en general son funciones� no solo del campo� sino de un cierto n�umero de variables�tales como la temperatura� la velocidad de variaci�on de los campos� etc� Por ahora�

�Este no es el caso m�as general de medio lineal� V�ease el segundo tomo��De acuerdo con la l��nea de razonamiento seguida en este texto� ser��a m�as coherente expresar a �M en

funci�on de �B� pero tradicionalmente se hace en funci�on de �H� Tambi�en suele de�nirse la susceptibilidadel�ectrica de la forma �P �e� �E�

Page 159: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

consideraremos la dependencia� en campos est�aticos� de la polarizaci�on con el campoel�ectrico y la posici�on� En la mayor��a de los casos pr�acticos� los diel�ectricos y los mediosmagn�eticos pueden considerarse lineales� homog�eneos e is�otropos� A estos medios� parasimpli�car� los cali�caremos como de Clase A� Los gases no polares son de clase Adentro de un rango de variables muy extenso� Los polares s�olo presentan no linealidadesen condiciones extremas de temperatura o campo aplicado�Los materiales no homog�eneos son muy frecuentes� Los que est�an compuestos por un

conjunto de regiones homog�eneas� como los sistemas de lentes y otros muchos sistemasde importancia pr�actica� pueden ser tratados como homog�eneos� en cada una de las re�giones� y aplicar condiciones de continuidad en las super�cies o interfacies de separaci�onentre ellas� Otros� como las atm�osferas planetarias en su conjunto� o� a menor escala� laprimera capa de aire sobre un suelo caliente� etc� deben ser tratados directamente comono homog�eneos� por lo que

� � ���r � � � � � ���r �

Muchos materiales cristalinos� o sometidos a tensiones� presentan una distinta ca�pacidad de polarizaci�on seg�un la direcci�on en que se aplique el campo� teniendo� pues�un comportamiento anis�otropo� El vector �D � �B� tiene� en general� una direcci�on distintaa �E � �H�� v�ease la �gura ��� y � ��� tiene la estructura de un tensor cuyas componentesson ��ij� ���ij���

�D � ��ij� �E � Di � �ij Ej

�B � ��ij� �H � Bi � �ijHj

E

D

Figura ����

Otros materiales� como lo ferroel�ectricos y los ferromagn�eticos� son esencialmente nolineales�Para medios no lineales puede generalizarse el concepto de constante diel�ectrica�

escribiendo

� � �� �E � � � � � �� �H �

La dependencia de � y � con el campo puede ser complicada y presentar fen�omenosde hist�eresis� como el representado en el Ciclo de hist�eresis de la �gura ����Mientras que los diel�ectricos no lineales juegan un papel marginal� aunque im�

portante� los materiales magn�eticos no lineales tienen una importancia pr�actica pre�dominante� hasta el punto de� como ya hemos apuntado� cali�carlos de Materiales

magn�eticos con la exclusi�on de los dia� y paramagn�eticos� que se cali�can de Materiales

no magn�eticos�

�En general� �� puede ser funci�on tambi�en de �H � �E�

Page 160: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

-1

-2 ) ,Bs(Hs )

(Hc ,0)

(0,Br )

0.5

1.5

20 100

Curvadeprimeraimanacion

Ciclodehisteresis

H (A.m )

B (W . m

Figura ����

Tambi�en en este caso puede extenderse el concepto de permeabilidad en varios sen�tidos� En particular� podemos de�nir una permeabilidad total

�B � �� �H� �H

aunque �� �H� es una funci�on muy complicada no expresable de forma anal��tica y quedepende no s�olo de �H sino de la historia previa de la imanaci�on� De entre las posiblestrayectorias que pueden seguirse en el plano B�H� destacaremos las que se denominanrespectivamente Curva de primera imanaci�on y Curva de hist�eresis principal�La curva de primera imanaci�on se recorre a partir del origen� o Estado desmagneti�

zado� aumentando H lentamente hasta alcanzar el Punto de saturaci�on �Hs� Bs��Si seguimos aumentando H� la magnetizaci�on del medio permanece casi constante

puesto que� a partir de aqu��� todos los espines est�an pr�acticamente alineados y s�olopuede haber aportaciones paramagn�eticas�El ciclo de hist�eresis principal se recorre a partir de �Hs� Bs�� disminuyendo H para�

pasando por los puntos ��� Br� y �Hc� ��� ir a la saturaci�on negativa� Br se llama Campo

remanente y Hc� Campo coercitivo� M�as adelante trataremos algunos aspectos te�oricosy pr�acticos relacionados con los materiales ferromagn�eticos�En lo sucesivo� salvo que se indique lo contrario� supondremos que los medios son

de case A�

�� Campos est�aticos en medios materiales

Como se ha visto en las secciones anteriores� el tratamiento del campo en medios ma�teriales es considerablemente m�as complejo que el expuesto en la primera parte para elvac��o� No obstante en el caso de los medios de clase A� las ecuaciones del campo son

Page 161: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

muy similares a las del vac��o y la soluci�on de los problemas puede hacerse en gran partecon las mismas t�ecnicas� Por esta raz�on� una vez establecidas las diferencias de ambassituaciones y las leyes de analog��a� se har�a referencia a lo tratado en el cap��tulo �

��� Electrost�atica

Ecuaciones de Maxwell �

Las fuentes escalares de �D son

r � �D � � �� �D � �

IS�D � d�s � Q �

ZV� dv ���� �

Para medios de clase A� las ecuaciones de Maxwell electrost�aticas pueden escribirseen funci�on de �E �

r � �E � �

� �� �E � �

IS�E � d�s � Q

���

ZV� dv �����a�

r� �E � � IL�E � d�l � � �����b�

Vemos� por lo tanto� que estas ecuaciones son an�alogas a las de la electrost�atica del vac��o�siendo la corriente total �T an�aloga a la de conducci�on � y la constante diel�ectrica delvac��o �� an�aloga a la del medio ��

Luego� mientras que �E tiene sus fuentes escalares tanto en las cargas de conducci�oncomo en las de polarizaci�on

r � �E � �� �pol��

las fuentes escalares de �D son exclusivamente las cargas de conducci�on� hecho que nodebe confundirnos haci�endonos pensar que �D sea independiente de la existencia o no demedios polarizados� La resoluci�on del problema el�ectrico hace necesario el conocimientode la ecuaci�on constitutiva� En muchos problemas� en los que se especi�ca la carga deconducci�on� puede ser c�omodo calcular la parte de �D derivable de un potencial escalar apartir de dichas cargas y hacer uso despu�es de las ecuaciones constitutivas de los mediospara calcular �E�

Como se muestra en la �gura �� � un diel�ectrico apantalla parcialmente al campoaplicado� Al establecer una diferencia de potencial est�atica entre las placas met�alicasdel condensador de la �gura� aparece un campo el�ectrico que polariza al diel�ectrico�Las l��neas de campo �E nacen y mueren en las cargas de conducci�on y en las de polar�izaci�on� por lo que �E� es mayor que �Ed� �D� sin embargo� nace y muere en las cargas deconducci�on� por lo que tendr�a el mismo valor en el vac��o que en el diel�ectrico�

�Al ser el medio homog�eneo r �D r �E�

Page 162: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

dielectrico vaciovacio dielectrico vaciovacio

D D DE 0 E 0E d

+Q p-Q p

(a) (b)

-Q+Q

Figura �� �

En el ejemplo que acabamos de analizar no ha sido necesario tener en cuenta lasposibles fuentes vectoriales de �D pero� a�un para campos est�aticos� �este puede tenerfuentes vectoriales� Teniendo en cuenta que en diel�ectricos no homog�eneos �D � ���r� �E

r� �E � �r���D

�� �

y desarrollando r � �f �a� � fr � �a � rf � �a� obtenemos para las fuentes escalares yvectoriales

r � �D � �

r� �D ��

�r� � �D

El r� puede ser no nulo incluso para medios homog�eneos� si el material presentano�linealidades ��

Ley de Coulomb �

La ley de Coulomb para una carga puntual en un medio de clase A es� por analog��a�

�E��r� �q

� �

bRR�

�D��r� �q

bRR�

������

y el potencial electrost�atico

V ��r� �q

� �

R������

En un medio macrosc�opico

�E ��

��

Zv�

� �R

Rdv� �����a�

�Si �E var��a con la posici�on� tambi�en lo har�a�

Page 163: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

�D ��

Zv�

� �R

Rdv� �����b�

y para el potencial

V ��

� �

Zv�

Rdv� �����

Las cargas que aparecen en estas expresiones son las de conducci�on� lo cual puedejusti�carse porque� para medios de clase A� las densidades de carga de conducci�on ypolarizaci�on son proporcionales entre s��� Seg�un hemos visto� en general���� r � �E �

�� �pol��

r � �D � �

y� para clase A� r � �E � �

�� de donde

�pol � ���r � ���r

� ������

Luego� en diel�ectricos de clase A� aparece en cada punto una carga de polarizaci�onproporcional y de signo contrario a la carga de conducci�on existente en dicho punto�Para �r � �� j�polj � j�j� lo que indica� como ya hemos visto con anterioridad� que elmedio diel�ectrico apantalla parcialmente a las cargas de conducci�on y al campo el�ectricoque producen �estas�

ε

Q

Q

p

Figura �����

Si suponemos� por ejemplo� una carga esf�erica Q� como la que se muestra en la �gura���� sumergida en un diel�ectrico clase A� es f�acil comprobar que la carga de polarizaci�onque aparece en la super�cie de separaci�on del diel�ectrico es

Qp � ���r � ���r

Q QT � Q�Qp ��

�rQ

Por el contrario� si el diel�ectrico no es homog�eneo�

r � �D � �

�������r � ����r� �E� � �

r � �E � �� �pol��

Page 164: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Por esta raz�on� en un diel�ectrico de clase A� las cargas de polarizaci�on� en ausenciade cargas de conducci�on� s�olo pueden aparecer en la super�cie�Hay que tener en cuenta que si el medio est�a limitado por una super�cie que lo

separa de otro medio con distinta constante diel�ectrica� dicha super�cie constituye unmedio no homog�eneo y la carga super�cial de polarizaci�on no est�a directamente ligadaa la existencia de carga de conducci�on en la super�cie�En este caso habr��a que expresar V y �E de la forma

V ��

��

ZV �

Rdv� �

���

ZS��� �Sp

Rds�

y obtener �D en los puntos fuera de la propia super�cie� a partir de la expresi�on

�D � � �E

No debemos olvidar la existencia de fuentes vectoriales de �D� incluso en el casoest�atico� asociadas al r��

��� Magnetost�atica

Ecuaciones de Maxwell en funci�on de �B �

r � �B � � IS�B � d�s � � �����a�

r� �B � �� ���� ��M � IL�B � d�l � ��

ZS���� ��M� � d�s �����b�

En los medios de clase A la corriente de magnetizaci�on es proporcional a la deconducci�on

r��� �H� �

������

������ ��M � ��M � �m �� ������

Las corrientes de imanaci�on refuerzan a las de conducci�on en el caso de los param�agn�eticos y ferromagn�eticos y se oponen a ella en el caso de los diamagn�eticos� Lascorrientes de magnetizaci�on dia y paramagn�eticas tienen una magnitud muy peque�nacomparada con la de conducci�on mientras que ocurre lo contrario con la ferromagn�etica�lo que sugiere el origen no cl�asico de �estas�

De acuerdo con el resultado anterior� o teniendo en cuenta que �H ��B� � ����b puede

escribirse de la formar� �B � ��� ������

y la ley de Biot y Savart

�B��r� ��

ZV ��j �

�R

Rdv� ���� �

Page 165: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Haciendo uso de la misma analog��a

�A��r� ��

ZV �

��

Rdv� ������

Vemos que� en este caso� �B puede expresarse en funci�on de las corrientes de conduc�ci�on�

Ecuaciones de Maxwell en funci�on de �H �

Podemos comprobar que� a diferencia de �B� �H tiene fuentes escalares

r � �B � ��r � � �H � �M� � �r � �H � �r � �M � �M

es decir� �H tiene sus fuentes escalares en la densidad de polos magn�eticos� de forma quelas fuentes totales ser�an

r � �H � �M

r� �H � ��

I

L L jsM

ρsM

(b)

L

L

L

M

BM0

M0

M0

-M 0

μ0

(a)

L

L

L

M=0

M

B

HH=(B/μ0)

(N/L) I

(N/L) I S N

Figura �����

En su versi�on integral� la ley de Amp!ere puede expresarse comoIL�H � d�l �

ZS�� � d�s

En las �gura ���� se comparan los valores de �M � �B y �H en el eje del solenoide y enel de un im�an con magnetizaci�on uniforme�

Page 166: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Se supone que el solenoide est�a formado por un n�umero grande de espiras� N � uni�formemente distribuidas y el im�an tiene una magnetizaci�on uniforme �M��

En la �gura ���� se ilustran las l��neas de los campos �B y �H para un im�an uni�forme� Las l��neas de �B son cerradas mientras que las de �H nacen y mueren en los polosmagn�eticos�

H BLineas de

sM j sM

Lineas de

Figura �����

En el exterior del im�an coinciden las l��neas de campo de �B y las de �H�

� Problemas

���� Demostrar que el momento dipolar total �ptot de un diel�ectrico� de volumen V y

envuelto por la supercie S� puede expresarse como

�ptot �

ZV�p �r dv �

ZS�sp �r ds

Int�egrese la divergencia de x �P ��

���� Demostrar que la carga de polarizaci�on total del diel�ectrico del problema anteriores nula�

���� Hallar el campo el�ectrico producido en un punto de su eje por un electrete

cil��ndrico� de radio a y longitud L� que est�a polarizado uniformemente en la di�

recci�on de su eje con polarizaci�on �P � Un electrete es un material queposee polarizaci�on permanente� aun en ausencia de campo aplicado�

Page 167: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

���� �El espacio comprendido entre dos placas conductoras planas y paralelas� de su�

percie S � a� a y separadas una distancia b �� a� est�a parcialmente lleno por

una l�amina diel�ectrica de espesor c y constante �� Hallar�

a� Los campos �E y �D� en las distintas regiones� cuando entre las placas se

establece una diferencia de potencial V �

b� Las cargas libres y de polarizaci�on en las condiciones anteriores�

c� La capacidad del condensador� Comp�arese con la del condensador de aire�

���� Una esfera diel�ectrica� centrada en el origen y de radio a� tiene una polarizaci�on

permanente �P � A�r� Hallar las cargas de polarizaci�on y demostrar por integraci�on

que la carga total inducida es nula�

���� Una esfera diel�ectrica� de radio a y constante �� posee en su interior una densidad

de carga libre � � Ar� Determinar�

a� El campo el�ectrico en cualquier punto del espacio�

b� El potencial en el centro de la esfera�

c� Las cargas de polarizaci�on inducidas�

���� Una esfera met�alica de radio a� cargada con una carga q� est�a rodeada por una

capa de diel�ectrico de constante � hasta un radio �a� Hacer los mismos c�alculos

que en el problema anterior�

���� El espacio comprendido entre dos esferas met�alicas conc�entricas con el origen�

de radios a y b y espesor despreciable� se encuentra lleno de dos diel�ectricos de

permitividades �� y ��� Supuesto que el primer diel�ectrico ocupa la regi�on a � r � cy el segundo la regi�on c � r � b� hallar�

a� Los campos �E� �D y �P en funci�on de los potenciales Va y Vb aplicados a los

conductores�

b� La cargas de polarizaci�on en r � c en funci�on de �P �

c� La capacidad del condensador�

���� Si en el problema anterior el primer diel�ectrico ocupa la zona a � r � b� z � ��y el segundo la zona a � r � b� z � ��

a� Demostrar que un campo radial es compatible con las condiciones de contorno

del problema�

b� Repetir� para �este caso� los apartados a y c del problema anterior�

���� Describir� de forma an�aloga al problema ���� el momento magn�etico total de un

material imanado� de volumen V y envuelto por la supercie S� en funci�on de las

densidades superciales y de volumen de polos magn�eticos� H�agase lo mismo en

funci�on de las densidades superciales y de volumen de corrientes de magneti�zaci�on�

Page 168: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

����� Hallar los campos �B y �H� producidos en un punto de su eje por un im�an cil��ndrico�

de radio a� longitud L e imanado uniformemente� en direcci�on axial� con magne�

tizaci�on �M � Realizar los c�alculos�

a� Haciendo uso del formalismo de corrientes equivalentes de magnetizaci�on�

b� Haciendo uso del formalismo de polos magn�eticos�

����� Un material magn�etico conductor� que tiene la forma de un cilindro largo� de radio

a y permeabilidad �� est�a recorrido por una corriente uniforme I� A este cilindro

lo envuelve un tubo del mismo material� coaxial con el anterior� de radio interno

b y externo c� Calcular los campos� la magnetizaci�on� las densidades de corriente

de magnetizaci�on y las de polos magn�eticos en todos los puntos del espacio�

����� Un im�an permanente tiene forma de elipsoide de revoluci�on con semiejes a yb y posee una magnetizaci�on �M en la direcci�on del eje de simetr��a� Hallar las

densidades de corrientes de magnetizaci�on y de polos magn�eticos resultantes�

����� Un im�an tiene forma de disco de radio a y espesor peque�no b y tiene una magne�

tizaci�on �M uniforme y perpendicular a las caras del mismo� Hallar los campos en

cualquier punto del eje�

����� Un solenoide toroidal de secci�on circular tiene radio menor ��� cm y mayor � cm�

Est�a constituido por un carrete de ��� vueltas uniformemente arrolladas alrededor

de un n�ucleo de material magn�etico de permeabilidad relativa �r � ���� Hallar�

a� La autoinducci�on�

b� Los campos generados cuando por el carrete se hace circular una corriente

de ��mA�

c� Comparar los resultados anteriores con los que se obtendr��an al sustituir el

n�ucleo magn�etico por aire�

����� Hallar los campos producidos en cualquier punto del espacio por un im�an en formade tubo cil��ndrico� de radio interior a y exterior b� que est�a imanado longitudinal�

mente�

����� Dado un im�an esf�erico� de radio a y magnetizaci�on uniforme �M � hallar�

a� Las corrientes de magnetizaci�on y las densidades de polos magn�eticos�

b� Los campos en cualquier punto del eje�

c� Si la existencia de un campo uniforme en el interior del im�an y dipolar puro

en el exterior del mismo es compatible con las condiciones de contorno del

problema y con los resultados anteriores�

Page 169: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Conductores

��� Mecanismos de conducci�on� Medios �ohmicos

Ya hemos visto en la secci�on ����� que� desde el punto de vista macrosc�opico� el trans�porte de cargas puede describirse por los vectores densidad de corriente

��i � �j�uj � �� �

pXj��

��j �����

donde �j es la densidad de carga de portadores de tipo j� �uj su velocidad colectiva ode arrastre� ��j su densidad de corriente y �� la densidad de corriente total� o neta� delconjunto de los p portadores de distinto tipo que intervienen en la conducci�on�

En general� un Portador es cualquier part��cula cargada capaz de desplazarse y darlugar a un �ujo neto de cargas a trav�es de una super�cie determinada�

Existe una gran variedad de mecanismos de conducci�on� algunos de gran comple�jidad� Las fuerzas que intervienen en la conducci�on� a nivel microsc�opico� son de tipocu�antico y electromagn�etico� Por ahora nos ocuparemos principalmente de la contribu�ci�on del campo el�ectrico que� en la mayor��a de los casos pr�acticos� es la m�as importante�y se utilizar�an modelos mec�anicos sencillos para representar a las fuerzas cu�anticas�

El campo el�ectrico act�ua sobre los portadores de carga aceler�andolos� en su mismadirecci�on si son de carga positiva� como los iones positivos en electrolitos y gases olos huecos en semiconductores� y en direcci�on contraria� como los electrones e ionesnegativos� En general� cada tipo de portador contribuye a la corriente total� con unadensidad de corriente �

��j � ��j� �E� t� � �uj � �uj� �E� t�

En los medios densos� la energ��a que el campo cede a los portadores puede conver�tirse e�cientemente en energ��a t�ermica a trav�es de los choques con mol�eculas� lo quepuede traducirse en una fuerza de fricci�on equivalente� Esta fuerza de fricci�on� comoen el caso de la ca��da de un grave en un medio viscoso� limita la velocidad de arrastre

�La corriente puede tambi�en ser funci�on del campo magn�etico pero aqu�� no tendremos en cuenta aesta posible contribuci�on�

���

Page 170: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

de los portadores de forma que� bajo la acci�on de un campo constante� �esta alcanzar�apidamente un valor l��mite independiente del tiempo�

�uj � �uj� �E�

Para los medios lineales� o medios �ohmicos� esta relaci�on se escribe de la forma

�uj � �j �E �����

donde �j es la Movilidad del portador j�La densidad de corriente total ser�a tambi�en proporcional al campo aplicado

�� � � �E � � �

pXj��

�j �j �����

donde � es la Conductividad del medio�Esta es una de las formas de enunciar la Ley de Ohm� la cual expresa la relaci�on�

lineal � e is�otropa� existente entre el campo el�ectrico aplicado y la densidad de corrienteresultante para un cierto tipo de materiales y bajo unas condiciones determinadas�Conviene resaltar que esta ley� si bien tiene un amplio margen pr�actico de aplica�

bilidad� no tiene validez universal� Entre otros factores destacaremos el hecho de quela inercia de los portadores hace que �� dependa tambi�en del valor de los campos eninstantes previos�La aptitud de conducci�on de un medio suele medirse tambi�en por la resistividad

r ��

�� �% �m� ����

que en la pr�actica toma valores muy distintos� desde estrictamente cero� en los super�conductores� y valores �nitos pero muy bajos� del orden de ���� % �m� para los buenosconductores� pasando por el orden unidad para los semiconductores intr��nsecos y lle�gando hasta el orden ���� para los buenos diel�ectricos�Mientras no avisemos lo contrario� los medios que trataremos ser�an �ohmicos�

��� Relajaci�on en medios �ohmicos

Veremos que un medio �ohmico homog�eneo tiende a neutralizar la carga en su interioren un tiempo del orden de

� ��

������

constante caracter��stica del medio que se llama Tiempo de relajaci�on y que� para buenosconductores� puede alcanzar valores del orden de ����� s� Paralelamente� si por un medio�ohmico circula en un instante dado una corriente no estacionaria� �esta tender�a a hacerseestacionaria con la misma constante de tiempo�Para ser precisos� veremos que un medio en estado no estacionario tiene un compor�

tamiento que no es estrictamente �ohmico�

�Esta no es la forma m�as general de linealidad� como puede verse en el tomo segundo�

Page 171: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Supongamos

� � cte � � � cte � �� � � �E � �D � � �E

Seg�un la ecuaci�on de continuidad

r � �� � ��t

��t� �r � �E � �

�r � �D

t� ��

e integrando

� � �� e�t�� �����

Luego� si el medio tiene en un instante dado una densidad neta de carga �� �� �� cuan�do desaparezcan las causas que lo han sacado de la neutralidad� tender�a a restablecersu neutralidad interna con una constante de tiempo � � Simult�aneamente� el conductortiende a hacerse estacionario�

t� ���

�e�t�� lim

t���

t� �

lo que podemos ver de otra forma�

Sustituyendo en la ecuaci�on de continuidad

r � ��� �

t� � � � � r � �D � � r � ��r �

��� � �

t

���

�� �

lo que implica que �� no es estacionaria� pero

��e �

�� � �

t

���

s�� lo es�

Integrando la ecuaci�on homog�enea y sum�andole una soluci�on particular� ��part � ��e�tenemos

�� � ��e � ��� e�t�� lim

t���� � ��e � r � ��e � �

Evidentemente� dentro de la aproximaci�on �ohmica� los conductores son neutros ensu interior y las corrientes que circulan por ellos son estacionarias�

Por esta raz�on� los desequilibrios de carga en un conductor� bajo esta aproximaci�on�s�olo pueden aparecer en su super�cie� donde� al darse una no homogeneidad del medio�� � ���r� y r � �D � r � ����� �� �r � ���

��� Conductores est�aticos

En conexi�on con lo anteriormente expuesto� trataremos el caso importante de los cuerposconductores en condiciones est�aticas�

Page 172: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

En la pr�actica� es posible aislar un conductor de forma que� en �el y en su entorno�se cumplan muy aproximadamente las condiciones de estaticidad

�E � �E��r� � �� � �

bajo las cuales los campos son constantes y las cargas est�an quietas�

Supondremos que el conductor como tal� v�ease la �gura ���� dispone de un n�umeroelevado de portadores� es decir� tiene una densidad de portadores �p pr�acticamentein�nita�

EE =0

=οορ p

V =ctei

i

Figura ����

Si estos portadores est�an quietos� no est�an sometidos a la acci�on del campo el�ectrico�De hecho� s�olo en la super�cie� donde las fuerzas el�ectricas pueden ser contrarrestadaspor las cristalinas� es posible la existencia de campo el�ectrico� Luego� el campo internode un conductor est�atico es nulo

�Ei � � �����

adem�as� puesto que

dVi � � �Ei � d�r � �todo el conductor est�a al mismo potencial

Vi � cte �����

Puede hablarse� pues� del Potencial de un Conductor est�atico�

Los conductores de tipo met�alico son poco polarizables porque las cargas de po�larizaci�on est�an fuertemente ligadas a las mol�eculas� Por esta raz�on� puede tomarse deforma muy aproximada � � ���

Por lo que respecta al campo en la super�cie del conductor� �Ec� podemos demostrarque es proporcional a la densidad super�cial de carga y perpendicular a la super�cie

�Ec ��

��n

La perpendicularidad a la super�cie de deduce del hecho de que �esta es equipotencial�

El c�alculo del campo puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de Gauss�Para poder aplicarlo es necesario modelar la transici�on del conductor� de constante ��� aldiel�ectrico� de constante �� como continua� Supongamos� �gura ���� que esta transici�on

Page 173: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

h/2

0

Δ x

ε

ε(x)

-h/2

x

ε

Figura ����

tiene lugar r�apidamente� en un intervalo �x� donde x es la distancia en la direcci�onperpendicular a la interfaz de separaci�on de los dos medios�Supongamos ahora� �gura ����a� que la rugosidad de la super�cie S del conductor

es limitada y que podemos aproximar una peque�na zona de S� S�� al plano tangente &�Si un observador se acerca a una distancia h�� tal que

�x� h��� L

�L � dimensi�on transversal de S��� ver�a a la super�cie del conductor como un planoinde�nido en el que� por lo tanto� �s y �Ec ser�an pr�acticamente constantes� En �h��ver�a un diel�ectrico homog�eneo y en �h�� un conductor homog�eneo�

le

EprE ’pr

E c

E c

1S

2S

Δ S ρ s

ε 0

ρ s

c

S

n

Π

(a) (b)

pol

Conductor

ε

Dielectrico

0

E

Ele E

Figura ����

Tomaremos ahora lo que en la profesi�on se conoce como una )caja de pastillas��Se trata de una peque�na super�cie cil��ndrica� S�� cuyas generatrices� de longitud h� sonperpendiculares al plano & y cuyas bases� de super�cie �S � L�� son paralelas a mismo�Seg�un el teorema de Gauss

�S���D� �

ZS�

�D � d�s � Q �

Z�S

�s ds

Puesto que el campo en el interior del conductor es nulo y �Ec � Ec �n s�olo contribuyeal �ujo la base que est�a en el diel�ectrico�

� �S � �S �n � �S�� �D� � �Ec�S

Page 174: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

La carga de conducci�on encerrada en la caja de pastillas es la que est�a en la super�ciedel conductor� �S� seccionada por la caja de pastillas�

Q � �s�S �Ec �

�s��n ��� �

Haciendo las cuentas en detalle podemos demostrar que la mitad de �Ec est�a generadopor las cargas pr�oximas� contenidas en �S� y la otra mitad por el resto de las cargasdel Universo� Descompongamos �Ec en dos componentes� una� �Epr� debida a las cargas

pr�oximas de conducci�on y de polarizaci�on� y otra� �Ele� debida a las cargas lejanas�

�Ec � �Epr � �Ele

En la �gura ����b se representa a la misma caja de pastillas pero se ha substituidoel diel�ectrico por sus cargas super�ciales de polarizaci�on� De esta forma� en la zona deldiel�ectrico se toma �� �� y el problema se hace sim�etrico a ambos lados de la super�cie�Efectivamente� procediendo de forma an�aloga a la utilizada anteriormente

r � �E � �

����� �pol� �Ec �

����s � �spol��n

donde se pone de mani�esto las contribuciones de las cargas de conducci�on y de polar�izaci�on�Dada la simetr��a del problema� el campo pr�oximo en el interior del conductor �E�pr

debe ser igual y contrario al mismo campo fuera del conductor �Epr�

�E�pr � � �Epr

mientras que el campo lejano carece de fuentes en la zona de inter�es y es continuo�Por otra parte� el campo �Ei en el interior del conductor es nulo

�Ei � � �Epr � �Ele � � �Epr � �Ele �Epr ��

��Ec

En todos estos c�alculos� como en toda f��sica macrosc�opica� se ha emitido una serie dehip�otesis que pueden ser v�alidas en una determinada situaci�on f��sica� En los microscopios

de emisi�on de campo se utilizan puntas con radios de curvatura de unos pocosoA� lo que

evidentemente hace inadecuada la aplicaci�on de lo anterior a este tipo de estructuras�Como consecuencia de la existencia de campo en la super�cie del conductor� sobre

�esta se ejerce una fuerza� por unidad de super�cie�

d�F

ds� �s

�Ec

���

����s �n �

��E�

c �n � �e �n

donde� como se ver�a m�as adelante� �e ��

��E�

c es lo que se conoce como densidad de

energ��a del campo el�ectrico en la super�cie del conductor� El factor ��� aparece debido aque la contribuci�on del campo �Epr es nula� en virtud del principio de acci�on y reacci�on�

Page 175: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

por lo que� para el c�alculo de esta fuerza s�olo es necesario tener en cuenta al campocreado por las cargas externas� o lejanas�Como vemos� esta fuerza tiene direcci�on normal y sentido hacia afuera del conductor�

las cargas� cualquiera que sea su signo� tienden a escapar del conductor� Cuando estafuerza supera a la cristalina que impide a las cargas salir del conductor� se producela chispa el�ectrica� A igualdad de potencial� el campo el�ectrico en la super�cie delconductor es tanto m�as intenso cuanto mayor es la curvatura� por lo que la chispasalta m�as f�acilmente de las puntas�La fuerza calculada es� por lo tanto� la suma de la ejercida sobre la carga de conduc�

ci�on� depositada en la super�cie del conductor� m�as la de polarizaci�on� que correspondea la super�cie del diel�ectrico� Dado que ambas fuerzas se dirigen hacia afuera del con�ductor� la segunda solo actuar�a sobre el conductor cuando el diel�ectrico lo � moje�� esdecir� cuando el diel�ectrico est�e ligado �pegado� al conductor�

��� Tubos de corriente estacionaria

Seg�un hemos visto� un medio �ohmico tiende a la estacionariedad en un tiempo del ordende � � normalmente muy peque�no� En la pr�actica� los sistemas de corrientes estacionarias�continuas�� o cuasiestacionarias� son de gran inter�es�Dado que

r � �� � ��t� �

los tubos deben ser cerrados� A continuaci�on daremos una justi�caci�on sobre la necesidadde que las l��neas de corriente se cierren a una distancia �nita�Seg�un la secci�on ���� la fuerza electromotriz en un camino cerrado L viene dada por�

�gura ��

EL �IL�E � d�l

(b)

j

(a)

L L

1

2E

Figura ���

Si tomamos a L como una l��nea de corriente� recorrida en el sentido de ��� y suponemosque el medio es �ohmico� la fuerza electromotriz de dicha l��nea ser�a

EL � �

IL�� � d�l � � � ya que �� d�l

�V�ease p�arrafo ����

Page 176: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

En este caso� EL es el trabajo realizado por el campo� sobre la unidad de carga� enel recorrido de la l��nea y� si la longitud del camino fuese in�nita� tambi�en lo ser��a eltrabajo� salvo en el caso de los superconductores cuya conductividad es in�nita�

Dado que EL �� �� para generar corrientes estacionarias es necesario recurrir a cam�pos no conservativos� En consecuencia� descompondremos a los campos en dos contribu�ciones� la de los campos conservativos� �Ec� y la de los no conservativos� �ER� o camposelectromotores�

�E � �Ec � �ER � �Ec � �rV � r� �ER �� �Los campos no conservativos pueden tener origen diverso s�olo los predichos por la

ley de inducci�on de Faraday son de origen electromagn�etico cl�asico�

Dado que IL�Ec � d�l � �

EL �IL�ER � d�l ������

A partir de esta expresi�on generalizaremos el concepto de fuerza electromotriz paraaplicarlo a segmentos de l��nea no cerrados�

EL �����

Z �

�L

�ER � d�l ������

Utilizamos el sub��ndice L����� porque la fuerza electromotriz es una integral de l��neay� por lo tanto� s�olo est�a de�nida un��vocamente si especi�camos el camino y los puntosinicial� �� y �nal� �� del mismo�

�� Resistencias y generadores de corriente continua

Supongamos que la secci�on del tubo de corriente estacionaria de la �gura ��� est�a limi�tada por dos secciones� S� y S�� y que la estructura del mismo es tal que se cumple consu�ciente aproximaci�on Z �

�L

�E � d�l �Z ��

��L�

�E � d�l

donde L y L� son cualquier par de l��neas de corriente del tubo y �� �"� �� �"� puntos enS� y S�� respectivamente�Bajo estas condiciones� diremos que S� y S� son los Terminales del tubo� el cual

podr�a ser tratado con un formalismo de circuito de dos terminales� En la pr�actica estosterminales suelen estar constituidos por buenos conductores �� ����Para estos circuitos se de�ne el par�ametro Resistencia del tubo

R �

Z �

�E � d�lZS��� � d�s

��

I

Z �

�E � d�l ������

Page 177: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

2

d s

S1

S2

j d lE

121’

2’

L’

LV

1-V

Figura ����

donde se entiende que la integral se lleva a cabo a lo largo de una l��nea de campo� desdeel terminal � al ��

Para medios lineales� esta relaci�on es una constante positiva� la resistencia del tubo�mientras que para medios no linealesR � R�E�� Este es el caso de las VDR o resistenciasdependientes de la tensi�on�

Aparte de las variables el�ectricas� en el valor de la resistencia interviene la tempera�tura� muy marcadamente en los termistores� el campo magn�etico� en las magnetorre�sistencias� etc�

Cuando en el tubo s�olo existen campos conservativos� decimos que �este es Pasivo yconstituye una Resistencia ideal� En este caso

I R �

Z �

��rV � d�l � V� � V�

Es decir� la ca��da de potencial en una resistencia es igual al producto I R� Rep�resentaremos esta relaci�on� Ley de Ohm� con los convenios de signos y s��mbolos de la�gura ����

2RV

I R

1

Figura ����

VR � I R ������

Cuando un tubo� en el que existen campos no conservativos� tiene resistencia nula�decimos que es una Fuente ideal de fuerza electromotriz o Pila ideal� Ahora� �Ec � � �ERZ �

���rV � �ER� � d�l � � � V� � V� � E���

E � V �����

que representamos con los convenios de la �gura ����

Page 178: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

1

V

2

Figura ����

La pila ideal es� pues� un elemento de dos terminales que mantiene� entre los mis�mos� una diferencia de potencial igual a su fuerza electromotriz� cualquiera que sea laintensidad que circule por �el� Manteni�endonos dentro del modelo lineal� en general� unTubo activo� o pila real� tendr�a resistencia y fuerza electromotriz�

I R �

Z �

���rV � �ER� � d�l � �V� � V�� � E��

Tenemos� pues� �gura ����

1

RVΙ

R

V

2

Figura ����

V � E � I R ������

Expresi�on que suele conocerse como la ley de Ohm generalizada�Si entre los terminales � y � colocamos una resistencia externa Re� o de carga� �gura

�� �

1

RV

R

V

Ι

R e

2

Figura �� �

V � I Re � E � I�R�Re� ������

Page 179: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

��� Asociaci�on de elementos� Leyes de Kirchho�

Los elementos pueden� en principio� asociarse en serie y en paralelo�

Asociaci�on serie �

En la asociaci�on serie la intensidad que pasa por los dos elementos es la misma�

Para resistencias� �gura �����

s

RV

I R

RV

R s

1 2

1 2

I R1 2

V

Figura �����

���I � I� � I�

Vs � VR� � VR�

Rs � R� �R� ������

Luego� las resistencias en serie se suman y lo mismo ocurre con las fuerzas electro�motrices de las pilas

Es � E� � E� ������

Asociaci�on paralelo �

En la asociaci�on paralelo� se unen los terminales de los elementos dos a dos con loque la ca��da de potencial es com�un a ambos� Es evidente que esta asociaci�on no puederealizarse entre pilas ideales� Para resistencias� �gura �����

I V

2I R 2

1 1I R

Figura �����

���V � VR� � VR�

I � I� � I�

Rp��

R���

R�

Rp �R�R�

R� �R����� �

Page 180: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Circuitos �No todas las asociaciones pueden reducirse a la con�guraci�on serie y paralelo� Lla�

maremos Circuito a una asociaci�on de elementos activos y pasivos� Nudo es el punto deconexi�on de dos o m�as elementos� Rama es el conjunto de elementos que puede ser des�crito mediante una relaci�on� entre dos terminales� an�aloga a la ley de Ohm generalizada�Malla es un conjunto de ramas interconectadas de forma que pueden ser recorridas a lolargo de un camino cerrado sin pasar dos veces por la misma rama�

Leyes de Kirchho� �El an�alisis de circuitos de corriente continua puede llevarse a cabo mediante la

aplicaci�on de las Leyes de Kirchho�� en la �gura ���� se representa a un nudo en elque convergen varias ramas�

I

1I

I

I

S

Vi

2

N

Figura �����

Puesto que las corrientes son estacionarias� r��� � �� e integrando sobre un volumenV que contenga al nudo� tenemos Z

S�� � d�s � �

NXi��

Ii � � ������

Esta es la Primera ley de Kirchho� y nos dice que la suma de las intensidades� queinciden sobre el nudo� es igual a cero�Ahora consideraremos una malla� como la de la �gura �����Escribiremos �Ec � �E � �ER� donde �Ec � �rV es el campo conservativo y �ER �

�� �A�t �

�ERn el no conservativo� que puede desglosarse en la parte que deriva del potencial

vector y el �ERn cuyo origen no es electromagn�etico cl�asico�IL�Ec d�l �

IL� �E � �ER� � d�l � �

IL�E � d�l �

MXi��

IiRi �

IL�ER � d�l �

MXi��

Ei

Page 181: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

L

I

1I I i1

i

M

M

Figura �����

MXi��

Ei �MXi��

IiRi ������

Esta es la Segunda ley de Kirchho�� la cual iguala a la suma de las fuerzas electro�motrices de las ramas que componen la malla con la suma de las ca��das de potencialque tienen lugar en las resistencias de dichas ramas�

�� Disipaci�on de energ��a� Ley de Joule

En un tubo de corriente estacionaria� la energ��a que el campo electromagn�etico cede alas cargas� por unidad de volumen y de tiempo� viene dada por

d�Wc

dv dt�

dPcdv

� �� � �E

La Ley de Joule postula que� en el caso de una corriente estacionaria� el trabajo querealiza el campo sobre las cargas se transforma ��ntegramente en calor que se cede almedio� La potencia Pj convertida en calor en un volumen V por el Efecto Joule es

Pj �

ZV�� � �E dv ������

Si el volumen V de integraci�on es el de un tubo cerrado de corriente

Pj �

ZV�� � � �Ec � �ER� dv

pero� �Ec � �rV yZV�� � rV dv �

ZVV r � �� �z�

��

dv �ZVr � �V ��� dv �z �

��

� �

�V�ease la secci�on ���

Page 182: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

La primera integral se anula porque la corriente es estacionaria y la segunda porque�haciendo uso del teorema de la divergencia�Z

Vr � �V ��� dv �

ZSV �� � d�s � �

puesto que en S� �� � d�s � ��En este caso podemos escribir

Pj �

ZV�� � �ER dv ������

entendiendo cabalmente que para el consumo local de energ��a es necesario tener encuenta el campo total �E�

S 2

j

S1S 2

E R=0

E R=0

dv=d s.d l

d s

j

(a) (b) (c)

R

V R e

2

1

Ι

S1

Figura ����

Para una resistencia� �gura ����a� dividiendo el tubo en elementos de secci�on d�s�y tomando d�s d�l ���

Pj �

ZV�� � �E dv �

ZV��� � d�s�� �E � d�l� � I

Z �

�E � d�l � I�R

Tomemos ahora un tubo cerrado� �gura ����b� y supongamos que los campos rota�cionales est�an contenidos en la secci�on comprendida entre S� y S��

Pj � I

IL�E � d�l � I

�Z �

�E � d�l �Z �

�Ec � d�l�

de donde se deduce� �gura ����c�

Pj � I E � I�R� V I � I� �R�Re� �����

El t�ermino I E representa la energ��a cedida por la pila� I�R es la energ��a transformadaen calor dentro de la propia pila� e I�Re el calor cedido a la resistencia externa�

La ley de Joule no tiene validez general puesto que� en el caso de corrientes noestacionarias� pueden aparecer otros t�erminos en el balance energ�etico�

Page 183: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

��� Problemas

���� Calcular el tiempo de relajaci�on de los materiales que se relacionan a continuaci�on

junto con sus resistividades en %�m� entre par�entesis��

Al ��� �������� Cu ��� �������� Au ��� ������� Ag ��� �������� Ge ������ Si ����

���� En la secci�on ��� se muestra que para calcular la presi�on sobre la supercie deun conductor solo es necesario tener en cuenta la mitad del campo existente en

la supercie exterior del mismo� Compru�ebese que puede llegarse a la misma con�

clusi�on si� por ejemplo� modelamos la densidad supercial de carga �s como una

densidad de volumen uniforme �� denida en un espesor a peque�no�

���� De igual forma que la carga en la supercie de un conductor est�atico separa una

regi�on de campo nulo de otra con campo distinto de cero� la corriente supercial

de un solenoide ideal separa tambi�en la zona exterior� de campo nulo� de la inte�rior� donde existe campo� Hacer uso de argumentos an�alogos a los propuestos en

la secci�on ��� y en el problema anterior para demostrar que tambi�en en el caso

magn�etico es necesario el uso del factor �� �

���� Para el condensador del problema ���� calc�ulese�

a� La fuerza que una placa ejerce sobre la otra cuando entre ellas se establece

una diferencia de potencial V � para cualquier valor de c � b

b� Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el diel�ectrico � moja a la

placa�� Se dice que el diel�ectrico moja a la placa cuando ambas supercies

est�an ��ntimamente unidas por lo que� en todo caso� c � b�

c� Hallar el trabajo realizado al separar las placas desde la distancia a hasta la

distancia �a cuando el diel�ectrico es s�olido de espesor c � a y en los casos

en que � bien el potencial o la carga depositada en las placas se mantiene

constante durante la operaci�on�

d� Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el diel�ectrico es liquido y

llena todo el espacio�

���� El espacio entre dos esferas met�alicas conc�entricas est�a lleno de aire� cuya rigidez

diel�ectrica es de unos �� ��� V �m�� y cuya constante diel�ectrica es ��� Supuestoque el radio de la esfera mayor es jo e igual a �� cm y que el de la menor puede

variarse y es igual a x� � cu�ales son las presiones m�axima y m��nima que soporta

la esfera interna� en funci�on de x� cuando entre la dos se aplica una diferencia de

potencial de ��KV � La rigidez diel�ectrica es el campo el�ectrico m�aximoque soporta un diel�ectrico antes de destruirse al ser perforado por

una descarga el�ectrica�

���� Hallar la resistencia de los conductores de la gura �����

���� En primer lugar se forma un condensador con dos conductores ideales� cil��ndricosy conc�entricos� de radio interior a� exterior b y longitud c �� b � a� llenando

Page 184: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

θ

a

cb

σ0

ooσ ooσ

a

L

(a)

o

(b)

ooσ

σ0

Figura �����

el espacio entre placas con un diel�ectrico de constante �� Posteriormente esteespacio se llena de un conductor de conductividad �� formando de esta manera

un conductor� Determinar la relaci�on existente entre la capacidad del condensador

y la resistencia del tubo de corriente�

���� Sean dos placas conductoras ideales� planas y paralelas� de �area A� separadas por

un espacio de espesor a� la mitad del cual est�a llena por una l�amina de conduc�tividad �� y la otra mitad por una l�amina de conductividad ��� Hallar�

a� La resistencia�

b� La carga de conducci�on depositada en las interfacies de los conductores en

funci�on de la diferencia de potencial aplicada�

La constante diel�ectrica de todos los medios es igual a la del vac��o �

���� Repetir el problema anterior cuando las placas son cil��ndricas� de radios a y by longitud c� y cada medio ocupa uno de los dos hemicilindros separados por un

plano que pasa por el eje del mismo�

���� Demostrar que la resistencia entre dos lados opuestos de un cuadrado de material

conductor es independiente de la longitud de su lado�

- R

R0

V0

+

Figura �����

����� Dada la bater��a de la gura ����� con fuerza electromotriz V� y resistencia interna

R�� hallar cual es el valor de la resistencia externa R a la que suministrar��a unm�aximo de potencia � Cu�al es el valor de este m�aximo��

Page 185: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

����� El circuito de la gura ���� representa a un Puente de Wheatstone� Hallar�

a� La diferencia de potencial y la intensidad que circula por R��

b� La condici�on de equilibrio� la condici�on necesaria para que Va � Vb � ��

c� Expresiones aproximadas� cuando el puente esta cercano al equilibrio� de la

intensidad que pasa por R�� cuando esta resistencia es mucho menor que las

dem�as� y de la diferencia de potencial a trav�es de la misma cuando �esta es

mucho mayor que las dem�as�

5

V0

+

-

R 1 R 2

R 3 R 4

R

Figura �����

����� Seis resistencias de un ohmio est�an conectadas formando las aristas de un cubo�

Hallar la energ��a transformada en calor durante una hora si entre dos v�ertices

opuestos se conecta una bater��a de un voltio�

����� Dos bater��as de fuerzas electromotrices E� y E�� resistencias internas R� y R�� se

conectan en serie y posteriormente en paralelo� Hallar el generador equivalente

Thevenin correspondiente a cada una de �estas conguraciones� El equivalente

Thevenin de un circuito� visto desde dos nudos cualesquiera del mis�

mo� es un generador� de fuerza electromotriz ET y resistencia inter�

na RT � tal que� si colocamos entre sus bornas una resistencia arbi�

trarla por ella circulara la misma intensidad que la que circular��a

si fuese conectada entre los citados nudos del circuito�

Page 186: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Page 187: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Cap��tulo �

Ecuaciones de Maxwell para

medios materiales� Consecuencias

��� Ecuaciones de Maxwell

Como resumen del cap��tulo anterior� agrupando las fuentes escalares y vectoriales quese han ido obteniendo para la descripci�on macrosc�opica de los campos y teniendo encuenta las de�niciones de �D y �H

�D � �� �E � �P � ��a�

�H ��B

��� �M � ��b�

podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma general

r � �D � � � ��a�

r� �E � ��B

t� ��b�

r � �B � � � ��c�

r� �H � �j � �D

t� ��d�

Como ya hemos visto� las ecuaciones ��d y ��a llevan impl��cito el cumplimiento dela ecuaci�on de continuidad para la carga de conducci�on�

r ��j � �

t� � � ���

���

Page 188: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Ecuaciones de para medios de clase A �Para completar la descripci�on del campo electromagn�etico era necesario conocer las

ecuaciones constitutivas que de�nen la relaci�on de los vectores �D� �H� �o �P � �M y �j� enfunci�on de los campos fundamentales �E y �B y� tambi�en� de otras variables como �r� t�etc�En el caso m�as sencillo� el de los medios de clase A ��

�D � � �E � �B � � �H � �j � � �E � ��

por lo que las ecuaciones �� pueden expresarse en funci�on de �E y �H

r � �E � �

�� ��a�

r� �E � �� �H

t� ��b�

r � �H � � � ��c�

r� �H � � �E � � �E

t� ��d�

donde debe tenerse en cuenta que la ecuaci�on ��c s�olo es v�alida en el interior de unmedio homog�eneo�Esta versi�on es de una gran utilidad puesto que es aplicable con su�ciente aproxi�

maci�on a una gran parte de los problemas de inter�es pr�actico�

Ecuaciones en el dominio de la frecuencia�

Las ecuaciones anteriores se simpli�can considerablemente si nos limitamos a lab�usqueda de soluciones arm�onicas � complejas del tipo

���r� t� � ����r� ej� t � ���

donde � representa a cualquiera de las componentes de los campos� j es la unidadimaginaria y ����r� es� en general� una funci�on compleja �con parte real e imaginaria��en cuyo caso

���r� t�

t� j� ���r� t�

t� j� � ���

las derivadas temporales se substituyen por factores algebr�aicos�Las ecuaciones de Maxwell en el Dominio de la frecuencia son

r � �E � �

�� ��a�

�Para un tratamiento algo m�as amplio de otro tipo de materiales � v�ease el segundo tomo��El an�alisis de Fourier permite construir las soluciones en el dominio del tiempo mediante la super�

posici�on de soluciones arm�onicas�

Page 189: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

r� �E � �j� � �H � ��b�

r � �H � � � ��c�

r� �H � �� � j� � � �E � ��d�

Los l��mites de validez de las ecuaciones anteriores pueden resumirse cualitativamentede la forma�

� La linealidad obliga a reducir la amplitud de los campos aplicados puesto quecuando �esta es su�cientemente elevada todos los medios se comportan de forma no�lineal� La manifestaci�on m�as dram�atica de no�linealidad es la ruptura diel�ectrica�debido a la cual un diel�ectrico se perfora cuando se le aplica un campo el�ectricosuperior a un cierto valor cr��tico �del orden de �� V�m���� No obstante� salvoen el caso de materiales b�asicamente no lineales� como los ferroel�ectricos o ferro�magn�eticos� esta limitaci�on es poco importante� Para estos �ultimos materialespuede de�nirse una permeabilidad no lineal � � ��B�� Los fen�omenos electro�magn�eticos no lineales son muy variados e interesantes aunque aqu�� no haya es�pacio para tratarlos con extensi�on su�ciente�

� La no�homogeneidad es una propiedad frecuente en la naturaleza� as�� como ladependencia temporal de las propiedades de los medios� Si se dan estas circuns�tancias� las constantes se ven afectadas por los operadores y

�D

t� �

�E

t� �E

t� � r � �D � �r � �E �r� � �E

con lo que las ecuaciones se complican pero permiten� a su vez� el estudio deuna familia de fen�omenos� como la propagaci�on de ondas electromagn�eticas enel interior de la tierra� en la atm�osfera� la ionosfera� etc� Sin embargo� con lasecuaciones �� y �� y las condiciones de continuidad ��� y ��� puede abordarseel estudio de medios homog�eneos a trozos� como son la mayor parte de las lentes�las gu��as de onda� las antenas� etc�

� La anisotrop��a es tambi�en un fen�omeno interesante que se da� con distintas carac�ter��sticas� en medios naturales cristalinos o sometidos a tensiones� Tambi�en apareceen ciertos medios arti�ciales y en plasmas y ferritas magnetizados� En este caso�la respuesta del medio a una excitaci�on depende de la direcci�on en que se aplique�esta y puede describirse mediante constantes tensoriales� por ejemplo Di � �ij Ej �lo que lleva consigo que� en general� la respuesta tiene distinta direcci�on a la ex�citaci�on�

� Otra limitaci�on al uso de estas ecuaciones se debe a la aparici�on del fen�omeno dedispersi�on temporal � Para polarizar un medio o para crear una corriente es nece�sario vencer la inercia de electrones e incluso mol�eculas� con lo cual� la respuesta

�Tambi�en pueden aparecer fen�omenos de dispersi�on espacial� cuando el campo y los medios var��anr�apidamente con las coordenadas espaciales� debido al hecho de que el campo total en un punto recibecontribuciones del medio que hay en su entorno y� por lo tanto� la respuesta del mismo solo puedetratarse aproximadamente como un efecto local�

Page 190: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

no es instant�anea sino que se extiende� o dispersa� a lo largo del tiempo� En estecaso� las ecuaciones �� dejan de ser v�alidas y es necesario substituirlas por otrasintegrodiferenciales o� como alternativa m�as simple� hacer uso de las ecuacionesde Maxwell �� en el dominio de la frecuencia y considerar a las constantes �� �y � como funciones complejas de la frecuencia� Para que las ecuaciones �� seanv�alidas� la variaci�on temporal de los campos debe ser mucho m�as lenta que la res�puesta del medio� es decir� las constantes de tiempo caracter��sticas de los camposdeben ser muy superiores a las de las respuestas a un impulso del medio� Una granmayor��a de los medios tiene una respuesta diel�ectrica aproximadamente constantehasta frecuencias del rango de microondas� a partir del cual empieza a ser notablela dispersi�on temporal� Por lo general� los efectos dispersivos de la conductividady la permeabilidad magn�etica lineales aparecen a frecuencias m�as elevadas�

M�as adelante trataremos el problema de la unicidad de la soluci�on con condiciones decontorno� Nos basta ahora con apuntar que un problema electromagn�etico correctamenteespeci�cado tiene soluci�on �unica pero que� en general� para poder especi�car las fuenteses necesario el conocimiento previo de los campos�

Una vez resuelto el problema de campo macrosc�opico� queda pendiente el de calcularlos esfuerzos que la materia macrosc�opica sufre en presencia de dicho campo� Este es untema complejo que abordaremos parcialmente en el pr�oximo capitulo y en el ap�endiceC�

��� Condiciones de continuidad

Antes de abordar el problema de contorno propiamente dicho� veremos c�omo se apli�can las ecuaciones de Maxwell en las zonas donde las propiedades de los medios sondiscontinuas� Buscaremos las reglas de conexi�on entre los campos a ambos lados de lasuper�cie de separaci�on de dos medios con propiedades distintas� Puesto que se tratade generalizar lo tratado en la secci�on ���� no repetiremos las consideraciones que sehicieron all�� con cierto detalle�

Supongamos que la interfaz entre ambos medios puede ser representada por unasuper�cie suave SI y que� adem�as� se cumplen otras condiciones que describiremos conayuda de la �gura ��� Esta representa a un volumen macrosc�opico constituido por unacaja de pastillas cuyas bases son planas� paralelas y equidistantes a SI y de un �area�S lo bastante peque�na como para que la secci�on correspondiente de SI � sombreadaen la �gura� pueda considerarse como plana� La altura del cilindro es h y se suponeque� manteni�endose en el dominio macrosc�opico� puede tomarse tan peque�na como seanecesario para hacerla despreciable frente al radio a de la caja� El vector normal a SI �en la direcci�on hacia afuera del medio ���� es �n� y �n� � ��n� es el vector normal enel sentido hacia afuera del medio ���� Los campos sobre la super�cie� en cada uno delos medios� son �F� y �F�� La variaci�on espacial de los campos se supone suave� salvoen las inmediaciones de la interfaz donde �estos var��an de forma continua pero brusca�En las super�cies superior e inferior de la caja� dichos campos pueden aproximarsecomo uniformes y sus derivadas temporales tomarse como �nitas en todo el volumen�En cuanto a las densidades de carga y corriente � y �� se suponen �nitas salvo en SI �

Page 191: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

donde deben ser representadas por densidades super�ciales �nitas �s y ��s� Al igual quelos campos� se considera que estas magnitudes var��an lentamente de forma que en laparte superior de la caja� en la inferior o en SI � seg�un el caso� pueden tomarse comouniformes�

I

F

F

n

superficie lateral

base inferior

2

n

1

2

1

h/2

h/2

ρ , js s

base superior

Medio

Medio

1

2

S

a

Figura ��� Condiciones de continuidad

Las ecuaciones �� y �� pueden ser expresadas en forma integral haciendo uso delos teoremas de Gauss Z

Vr � �F dv �

IS�F � �n ds � � �

el de Stokes� o la generalizaci�on del primeroZVr� �F dv �

IS�n � �F ds � ����

donde V es el volumen de integraci�on� S la super�cie que lo envuelve y �n la normalhacia afuera del volumen en cuesti�on�

Aunque estos teoremas s�olo son v�alidos cuando se aplican a regiones continuas�las precisiones apuntadas al principio permiten integrar sobre el volumen de la caja yconsiderar a la interfaz como matem�aticamente continua�

Escribiendo r � �F � D y a la densidad super�cial correspondiente como Ds� laaplicaci�on de � a la caja puede expresarse de la formaZ

VD dv �

Ibases�lateral

�F � �n ds

Con las aproximaciones ya descritas en ���� y admitiendo la posibilidad de densidadessuper�ciales Ds�

�S �F� � �n� �z ��a�

��S �F� � �n� �z ��b�

�Slat Fnm �z ��c�

� Ds�S �z ��d�

�h

��S D� �z ��e�

�h

��S D� �z ��f�

Page 192: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Los t�erminos �a� y �b� son las contribuciones al �ujo a trav�es de la base superior einferior� respectivamente el t�ermino �c� es la contribuci�on al �ujo de la super�cie lateraldel cilindro Slat

�c� �

ZSlat

�F � d�slat � Slat Fnm � �� ah Fnm

Fnm es un valor intermedio entre los valores extremos de la componente normal delcampo a la super�cie lateral� �Se ha hecho uso del teorema del valor intermedio de lasintegrales de�nidas��El t�ermino �d� representa a la totalidad de fuentes escalares en la super�cie y los

t�ermino �e� y �f� son las contribuciones de las densidades de volumen a ambos lados dela interfaz�Si ahora nos acercamos a la super�cie haciendo que h � a� es decir� haciendo

que la altura del cilindro sea muy inferior al radio del mismo� podemos despreciar lascontribuciones �c�� �e� y �f�� que son proporcionales a h� frente a las �a�� �b� y �d� quepermanecen constantes en este proceso de l��mite� Luego

�S ��F� � �n� � �F� � �n�� � Ds�Sy� teniendo en cuenta que �n� � ��n��

�n� � ��F� � �F�� � Ds � ����

Las componentes normales de los campos sufren una discontinuidad de magnitud iguala la densidad super�cial de fuentes escalares�De forma an�aloga� partiendo de ��� y anotando la densidad super�cial del rotacional

como �Rs� se tiene que

�n� � ��F� � �F�� � �Rs � ����

De acuerdo con ���� ��a y ��c� las condiciones de frontera para las componentesnormales son

�n� � � �D� � �D�� � �s � ���a�

�n� � � �B� � �B�� � � � ���b�

La componente normal de �D es discontinua si �s �� �� la de �B es incondicionalmentecontinua�Por lo que respecta a las condiciones sobre las componentes tangenciales� es necesario

tener en cuenta que� mientras que la carga super�cial se acumula en capas de dimensi�onmicrosc�opica en la super�cie de los conductores� por lo que es ineludible la previsi�onde posibles �s �� � a escala macrosc�opica� las derivadas temporales de los campos son�nitas en las interfacies y no contribuyen con t�erminos super�ciales� Tampoco es nece�sario considerar densidades de corriente super�ciales� salvo que alguno de los medios seconsidere como conductor perfecto� Como se desprende de lo anterior� si z es la direc�ci�on normal a la super�cie y jt y Et son las componentes tangenciales de la densidad

Page 193: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

de corriente y del campo el�ectrico� js � limh��

R h���h�� jt dz � � limh��

R h���h��Et dz � �

si � y �Et son �nitos � Dichas condiciones se deducen de ���� ��b y ��d

�n� � � �E� � �E�� � � � ��a�

�n� � � �H� � �H�� � ��s � ��b�

y se traducen en la continuidad incondicional de la componente tangencial de �E y ladiscontinuidad de la de �H si ��s �� ��Aunque para conectar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell bastan estas cuatro

condiciones� m�as las ecuaciones constitutivas� dado que las ecuaciones de Maxwell son deprimer orden� podemos obtener otras condiciones de contorno para �P � �M y �H� teniendoen cuenta que

r � �P � ��p � r � �M � ��M � r� �M � ��jM � r � �H � �M

De la ecuaci�on de continuidad ��� obtenemos

�n� � ��j� ��j�� � ��st

� ����

Luego la componente normal de �j es discontinua en la super�cie cuando sobre lamisma tiene lugar una acumulaci�on super�cial de carga que depende del tiempo�

� � � � Refracci�on de las l��neas de campo y corriente

Supongamos que los dos medios representados en la �gura �� son de clase A� Paramedios no conductores con �s � � y �js � ��

Medio 2

Medio 1

n1F

F

2

1θ 1

θ 2

Figura ���

Page 194: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

De ���a se obtiene

D� cos �� � D� cos �� � ��E� cos �� � ��E� cos ��

De ��aE� sen �� � E� sen �� � ����

Luego� para las l��neas de �E y �D�

�E y �D� tan �� �����tan ��� �no conductores� � ����

De forma similar� para las l��neas de �B y �H�

�B y �H� tan �� �����tan ��� �no conductores� � ����

La ley de refracci�on de l��neas de corriente� en conductores� puede obtenerse de ���

suponiendo�st

� �

j� cos �� � j� cos ��

y de ���

E� sen �� � E� sen �� �j���

sen �� �j���

sen ��

luego�E y ��� tan �� �

����tan ��� �conductores� � �� �

Para medios conductores esta ecuaci�on gobierna tambi�en la refracci�on de las l��neas decampo el�ectrico� En este �ultimo caso� como es f�acil comprobar� �s �� ��

Medio 2

Medio 1

θ 2

μ2μ2μ1>>

>> θ 2θ 1

Figura ���

Como se muestra en la �gura ��� el �angulo � es tanto mayor cuanto mayor es �� ��o �� por lo que los campos pueden ser con�nados por medios en los que ��� �� �o �� sonmucho mayores que ��� �� �o ��� respectivamente�

Page 195: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

En la pr�actica� la constante diel�ectrica relativa no puede ser inferior a la unidad nisuperior a varias decenas� lo que hace que los diel�ectricos s�olo puedan con�nar parcial�mente al campo el�ectrico� Ciertos materiales magn�eticos de alta permeabilidad puedencon�nar al campo magn�etico con gran e�ciencia� Por �ultimo� puesto que la conduc�tividad de un medio puede tomar valores diferentes que di�eren en muchos �ordenes demagnitud� el con�namiento de las l��neas de corriente en el interior de un buen conductorpuede ser pr�acticamente total� N�otese que en el l��mite de con�namiento total� las l��neasde campo en el medio ��� se hacen perpendiculares a la super�cie del medio y� en elmedio ���� tangentes a la misma�

��� Condiciones de contorno

Seg�un el teorema de Helmholtz� secci�on H��� en cuyas condiciones entra perfectamenteel campo electromagn�etico� un campo �F puede derivarse de dos potenciales� uno escalar�f � y otro vectorial� �g�

�F � �rf �r� �g � ����

y queda un��vocamente determinado si se especi�can las fuentes escalares y vectoriales

D � r � �F y �R � r� �F � ����

en todo el espacio�

S

V

D, R

Figura ��

Normalmente s�olo puede aspirarse al conocimiento de las fuentes en un volumen�nito V� Veremos que es posible seguir asegurando la unicidad del campo si substituimoslas fuentes externas a V por unas Condiciones de contorno apropiadas en la super�cieS que envuelve a V� como puede verse en la �gura � �Portis��

Page 196: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

� � � � Teorema de unicidad para campos irrotacionales

Un campo irrotacional en V cumpler � �F � D

r� �F � �

� �F � �r f � r�f � �D � ����

Luego el campo deriva de un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Poisson�Sean f��x� y� z� y f��x� y� z� dos soluciones de la ecuaci�on de potencial

r�f� � r�f� � �D �F� � �rf� � �F� � �rf�en todos los puntos �r V�Si formamos el vector

�� � �f� � f����F� � �F��

e integramos su divergencia sobre VZVr � �� dv �

ZV

� �f� � f��r � ��F� � �F�� �z ���

�j�F� � �F�j�!" dv

de donde se ha eliminado el primer t�ermino del segundo miembro porque r � �F� �r � �F� � D�Haciendo uso del teorema de la divergencia

�ZVj�F� � �F�j� dv �

ZS�� � �n ds

Para que la soluci�on sea �unica� es decir� para que �F� � �F�� en todo el volumen deinter�es V� es su�ciente que �� � �n � � en toda la super�cie S del contorno�

��� � �n�S �h�f� � f����F� � �F�� � �n

iS� � � ����

Esto se consigue� como se deduce de la expresi�on anterior� �jando los siguientes tiposde condiciones de contorno�a� Condiciones de Dirichlet� Estas condiciones consisten en la �jaci�on del potencial

f en S�f �S � fS � ���

Con esta condici�on se obtiene la unicidad no s�olo del campo sino tambi�en del po�tencial�b� Condiciones de Neumann� En este caso se especi�ca la componente normal del

campo en S��F � �n�S � �Fn�S � FnS � ����

Bajo estas condiciones� �F queda determinado un��vocamente mientras que el poten�cial est�a indeterminado en una constante arbitraria�c� Condiciones mezcladas� Consisten en la �jaci�on del potencial en parte de la su�

per�cie y en la de la componente normal del campo en el resto de la misma�

Page 197: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

� � � � Teorema de unicidad para campos solenoidales

Para campos solenoidales no conservativos�

r � �F � �

r� �F � �R

� ���

�F � r� �g

r� �r � �g� � �R� ����

Si ahora construimos el vector

�� � ��g� � �g�� � ��F� � �F��

donde r � �r � �g�� � r � �r � �g�� � �R y �F� � r � �g�� �F� � r � �g�� e integramos sudivergencia sobre V

ZVr � �� dv �

ZV

� ��F� � �F�� � r � ��g� � �g��� ��g� � �g�� � r � ��F� � �F�� �z ���

!" dv

El segundo t�ermino se ha eliminado porque

r� �F� � r� �F� � �R

por lo que� haciendo uso del teorema de la divergencia�ZVj�F� � �F�j� dv �

ZS

h��g� � �g�� � ��F� � �F��

i� �n dS

Luego� para obtener la unicidad de la soluci�on� �F � �F� � �F� en todo el volumen�basta con especi�car en la super�cie la componente tangencial del potencial vector�condici�on que ser��a an�aloga a la de Dirichlet para campos conservativos� o la componentetangencial del propio campo� Tambi�en cabe mezclar ambos tipos de condiciones�

� � � � Teorema de unicidad en el caso general

Tenemos ahorar � �F � D

r� �F � �R

� �F � �rf �r� �g � ����

Supongamos que �F� y �F� son dos soluciones distintas de las ecuaciones anteriores�para unas distribuciones D��r� y �R��r� especi�cadas dentro de V�Construyendo el vector

�� � �f� � f����F� � �F�� � ��F� � �F�� � ��g� � �g��

y procediendo como en casos anteriores�ZVr � �� dv � ��

ZVj�F� � �F�j� dv �

ZS�� � �n dS

Page 198: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

Por lo que la condici�on de unicidad es ahora

��� � �n�S � � � ����

Condici�on que se llena especi�cando �F en la super�cie o bien especi�cando al mismotiempo el potencial escalar f y la componente tangencial del potencial vector�

Vemos que en el c�alculo del campo� dentro de un volumen V� podemos ignorar lasfuentes externas al mismo si tenemos una informaci�on adecuada del campo o de lospotenciales en la super�cie S que limita a V�

��� Energ��a electromagn�etica en medios materiales

Los balances energ�eticos para los campos electromagn�eticos en presencia de mediosmateriales pueden presentar aspectos complejos porque los mecanismos de disipaci�ony almacenamiento de energ��a son muy diversos �G�omez� Jackson� Panofsky y Phillips�Stratton�� Aqu�� s�olo abordaremos los fundamentos de este problema� los cuales puedentratarse con un formalismo an�alogo al empleado para el campo en el vac��o�

No obstante� es necesario precisar que� en el caso que nos ocupa� el tratamientoque se lleva a cabo es de tipo macrosc�opico y diferencia entre cargas y corrientes deconducci�on y cargas y corrientes de polarizaci�on� En la secci�on ��� interpret�abamos elt�ermino �jT � �E como el trabajo que� por unidad de volumen y unidad de tiempo� realizanlos campos sobre todas las cargas� Anteriormente hemos desglosado la corriente total��T � de acuerdo con ����� en corrientes de conducci�on ��� de polarizaci�on diel�ectrica ��p yde polarizaci�on magn�etica ��M �

��T � ��� ��p � ��M � �� �

por lo que� de acuerdo con esta notaci�on� �j � �E es solamente la potencia cedida porlos campos a la unidad de volumen de cargas de conducci�on� siendo necesario tener encuenta que los campos tambi�en trabajan para polarizar el�ectrica y magn�eticamente almedio�

Tambi�en debemos mencionar que las cargas no s�olo pueden moverse bajo la acci�onde un campo el�ectrico macrosc�opico derivable de las ecuaciones de Maxwell� sino quefuerzas mec�anicas� de difusi�on� qu��micas� etc�� pueden jugar el mismo papel�

Supondremos aqu�� que� adem�as del campo cl�asico �E que se describe en las ecuacionesde Maxwell� existen campos �E � equivalentes� o electromotores� no incluidos en dichasecuaciones� por lo que el campo total que mueve a las cargas es

�ET � �E � �E � � ����

Podemos obtener una ecuaci�on de continuidad macrosc�opica para la energ��a� con�siderando el producto

�j � �ET � �j � � �E � �E ��

que formalmente aparece como la energ��a que� por unidad de tiempo y de volumen�transmite el campo total a las cargas de conducci�on� Sin embargo� no es posible inferirdirectamente que �esto es as�� porque las magnitudes que intervienen en el producto son

Page 199: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

macrosc�opicas y las relaciones de fuerza macrosc�opicas no son tan simples como en elcaso de sistemas de cargas en el vac��o� M�as adelante abordaremos parcialmente este pro�blema� Por ahora� indicaremos que una carga macrosc�opica Q inserta en un diel�ectrico�est�a siempre acompa�nada de una carga de polarizaci�onQp que la apantalla� La expresi�onmacrosc�opica

�F ��r� � Q�E��r�

representa a la fuerza sobre la carga total en ese punto� Q�Qp� y no a la fuerza sobreQ�

Siguiendo pasos an�alogos a los empleados en ��� teniendo en cuenta que

�j � r� �H � �D

t

y extendiendo la de�nici�on del vector de Poynting

�P � �E � �H

se obtiene una versi�on macrosc�opica del teorema de Poynting

r � �P � �E � �D

t� �H �

�B

t� �j � �E � ��j � �ET � ����

Si realizamos una transformaci�on elemental en un intervalo de tiempo �t el inter�cambio energ�etico� por unidad de volumen� puede expresarse como

r � �P �t �z ��a�

� �E � � �D � �H � � �B �z ��b�

� �j � �E � �t �z ��c�

��j � �ET �t �z ��d�

Estos t�erminos se interpretar�an de la siguiente manera�

El primer t�ermino puede escribirse de la forma

�a� � r � �P�t � �

�� dW �P

dv

�� ����

y representa� como en ��� un �ujo de energ��a electromagn�etica hacia fuera del entornodel punto �r� El segundo t�ermino

�b� � �E � � �D � �H � � �B � �

�� dWem

dv

�� ����

constituye el incremento de energ��a� por unidad de volumen� asociado al cambio demagnitud de los campos electromagn�eticos�

Para obtener el balance de este t�ermino en una transformaci�on �nita ser�a necesarioel conocimiento de las ecuaciones constitutivas y de la trayectoria L seguida en el espacio� �E� �D� �B� �H�

�� dWem

dv

��

Z �E�� �B�

L�E�� �B�

� �E � � �D � �H � � �B� � ���

Page 200: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

Si los medios son lineales� podemos escribir� an�alogamente a lo escrito para el vac��o�

�em �dWem

dv��

��E � �D � �

��H � �B � ����

donde �em juega el papel de densidad de energ��a asociada al establecimiento de uncampo en el entorno de �r�Por �ultimo� los dos t�erminos del segundo miembro podr��an interpretarse de la sigu�

iente forma

�c� � �j � �E ��t � �

�dW

dv

��

d�W

dv dt� �j � �E � � ����

es un aporte de energ��a al entorno de �r debido a las fuerzas electromotrices de origenno maxwelliano� y

�d� � �j � �ET �t � �

�dWJ

dv

��

�dWJ

dv

�� �j � �ET � ����

es la energ��a cedida por la totalidad del campo �ET ��r� a las cargas de conducci�on�Para medios en los que se cumpla la ley de Ohm con su�ciente aproximaci�on�

�j � � �ET �d�WJ

dv dt�

j�

�� ����

t�ermino positivo que� seg�un la ley de Joule representa la energ��a que� por unidad devolumen y de tiempo se transforma en calor� Hay que precisar� sin embargo� que �esteno es el �unico mecanismo de irreversibilidad ni de transformaci�on calor���ca incluso enmedios lineales� el proceso de polarizaci�on lleva consigo p�erdidas irreversibles de energ��a�Por otra parte� si� como se muestra en la �gura ��� describimos lentamente un ciclo dehist�eresis en un material ferromagn�etico� al recorrer el ciclo desde A hasta A�

WAA �

Z A

A

�H � � �B � SHB � C BrHC � C � �

se pierde una energ��a igual al �area del ciclo de hist�eresis SHB�En el caso com�un de materiales lineales� homog�eneos e is�otropos� podemos escribir

el teorema de Poynting en su forma m�as conocida

r � �P � �emt

� �j � �E � � j�

�� �� �

��� energ��a de un sistema de cargas y corrientes de conducci�on esta�cionarias

Las expresiones obtenidas en la secci�on ���� no son aplicables a medios materiales detipo general pero si son f�acilmente extensibles a medios de clase A� S�olo es necesariosubstituir �B��� por �H y �� �E por �D� As��� pues� para campos electromagn�eticos est�aticos�

Wem ��

Zv��

� �E � �D � �H � �B� dv � ��

Zv�

��V ��j � �A� dv � ���

Page 201: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

S ΗΒH

B

A

B H Bδδ

Figura ���

donde en este caso� las densidades corresponden a las cargas de conducci�on�Un caso particular interesante� es el correspondiente a un conjunto de N conductores

cargados con cargas Qi� depositadas sobre sus super�cies Si a potenciales Vi� y Mespiras Lj recorridas por intensidades Ij � Dado que en cada conductor �espira�� Vi � cte�Ij � cte�� �� toma la forma

Wem ��

NXi��

Qi Vi ��

MXj��

Ij �j � ���

��� Ecuaciones de onda en medios materiales

Los medios materiales responden al paso de una onda electromagn�etica creando en suseno unas polarizaciones y corrientes oscilantes que absorben y vuelven a radiar partede la energ��a incidente� Esta rerradiaci�on sincronizada modi�ca a la onda incidentepudiendo incluso anular su car�acter propagativo�Para obtener una ecuaci�on de onda para los campos en medios de clase A� tendremos

en cuenta que

r � �E � �

�y r� �B � �

��j �

�D

t

�y desglosaremos la densidad de corriente en dos t�erminos

�j � � �E ��j � � ���

donde �j �� adem�as de incluir a las corrientes debidas a campos no maxwellianos� puedetener en cuenta tambi�en a corrientes maxwellianas a las que interese considerar comofuentes� Esta �ultima opci�on suele adoptarse en el estudio de antenas emisoras�Procediendo como en el cap��tulo ��

r� �r� �E� � r�r � �E��r� �E � �r�� �B

t

�� �

tr� �B

Page 202: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

y substituyendo en �esta las expresiones anteriores� tenemos que

r� �E � ��� �E

t���

�r�� �

�j

t� ��a�

r� �E � �� �E

t� ��

� �E

t���

�r�� �

�j �

t� ��b�

De forma an�aloga

r� �B �r�r � �B �z ���

� � ��r���j � �

�E

t

luego

r� �B � ��� �B

t�� ��r��j � �a�

r� �B � �� �B

t� ��

� �B

t�� ��r��j � � �b�

Este mismo tipo de ecuaciones puede obtenerse para los potenciales� Bajo las mismascondiciones anteriores

r � �E � �

� r �

��rV � �A

t

��

�� �r�V �

tr � �A

o� de otra forma�

r�V �

tr � �A � ��

�� ���

y de

r� �r� �A� � r� �B � �

��j � �

�E

t

�� ��j � ��r � V

t���

� �A

t�� r�r � �A��r� �A

lo que puede escribirse como

r� �A�r�r � �A� ��

V

t

�� ��

� �A

t�� ��j � ���

Las ecuaciones �� y �� pueden desacoplarse si hacemos uso una versi�onmacrosc�opica de la condici�on de Lorenz� extensi�on directa de la del vac��o�

r � �A� ��V

t� � � ���

con lo que se obtienen unas ecuaciones de onda que tambi�en son an�alogas a las del vac��o

r�V � ���V

t�� ��

�� ��a�

Page 203: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

��

r� �A� ��� �A

t�� ���j � ��b�

pero en las que las cargas y corrientes del segundo miembro no son las totales sino s�ololas de conducci�on�Si en �� hacemos

��j � ��j � � �� �E � ��j � � ��rV � �� �A

t

podemos desacoplar de nuevo las ecuaciones �� y ��� modi�cando la condici�on deLorenz de la forma

r � �A� �� V � ��V

t� � � � �

condici�on que� como la ��� puede demostrarse que es compatible con las transforma�ciones de contraste�De esta forma

r�V � ��V

t� ��

�V

t�� ��

�� ���a�

r� �A� �� �A

t� ��

� �A

t�� ���j � � ���b�

Hemos obtenido para cada una de las componentes cartesianas de los campos y delpotencial vector� as�� como para el potencial escalar� ecuaciones an�alogas de onda� loque no deja de ser interesante y curioso al mismo tiempo� Disponemos adem�as de dosversiones equivalentes que� sin embargo� presentan notables diferencias en su estructura�La primera

r� � � �

v�� �

t�� �f���r� t� � v �

�p��

� ����

admite� como ya hemos visto� soluciones integrales retardadas

���r� t� ��

Zv�

�f���r���

Rdv� � ����

Expresi�on en la que hemos empleado la notaci�on com�unmente aceptada�

�f���r��� � f�

��r �� t� R

v

para las fuentes retardadas� evaluadas en � � t� R

v�

La segunda versi�on� que suele ser m�as �util para el estudio de la propagaci�on enmedios con conductividad �nita� porque no hace necesario considerar como fuentes atodas las corrientes de conducci�on� tiene la forma general

r� � � �� �

t� ��

� �

t�� �f���r� t� � ����

Page 204: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

ecuaci�on en la que� adem�as del t�ermino propagativo� correspondiente a la derivadasegunda temporal� aparece un t�ermino disipativo� o de difusi�on� asociado a la derivadaprimera�

Si repasamos la deducci�on de estas ecuaciones veremos que la preponderancia delt�ermino propagativo o difusivo en la ecuaci�on de onda est�a relacionada con la impor�

tancia relativa de las corrientes de desplazamiento� �jD � � �E

t� y de la corriente de

conducci�on �ohmica �j � � �E�

�� Ondas monocrom�aticas y monocrom�aticas planas

Supondremos que en el medio no hay fuentes� La ecuaci�on de onda para cualquiercomponente de los campos ser��a

r� � ��

t� ��

t�� � � ���

Ondas monocrom�aticas �

Podemos buscar soluciones monocrom�aticas �v�ease el ap�endice J� de tipo complejo

���r� t� � ���r� ej�t � ���r� e

j��t��� � ����

donde ���r� es una funci�on real y ��r� � ���r� ej� es un Fasor independiente del

tiempo�

Recordemos que si ���r� t� es una soluci�on de la ecuaci�on de onda

R���r� t� � �� ���r� t�� � ���r� cos ��t� �

tambi�en lo es� Este tipo de soluciones recibe el nombre de Monocrom�atico� ya que la luzde color muy puro corresponde a una onda electromagn�etica de frecuencia pr�acticamentede�nida�

Tambi�en podemos expresar cualquier soluci�on que sea de cuadrado sumable comosuperposici�on de ondas monocrom�aticas mediante el uso de la transformada de Fourier

��r� t� �

Z ��

�� ���r� e

j�t d� � ���a�

���r� ��

Z ��

�� ��r� t� e�j�t dt � ���b�

La primera es la transformada Inversa y la segunda la Directa�

Page 205: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

Para soluciones ��r� t� reales� pueden ser expresadas en funci�on de frecuencias positi�vas� Efectivamente� si ��r� t� � cc��r� t�� es decir� si es igual a su complejo conjugado� cc� ��r� � ����r�� luego

��r� t� �

Z �

�� ���r� e

j�t d� �

Z �

� ���r� e

j�t d�

y cambiando � por �� en la primera integral

��r� t� � �Z �

� ����r� e�j�t d� �

Z �

� ���r� e

j�t d�

Z �

�� cc

� e�j�t � � ej�t� d� � �

Z �

��� ���r� e

j�t� d�

En cualquier caso� para soluciones monocrom�aticas podemos substituir el operador

t� j� �

t�� ��� � ����

por lo que la ecuaci�on de onda monocrom�atica para el campo el�ectrico� por ejemplo�toma la forma

r� �E��r�� j� �� �E��r� � �� �� �E��r� � � � ����

ecuaci�on en la que hemos simpli�cado la notaci�on �E���r� escribiendo �E��r�� puesto que�en el contexto en el que est�a escrita� no se presta a confusi�on�

Estas soluciones �E��r� tienen car�acter vectorial complejo

�E��r� � �ER � j �EI �

X��

E� ej�� be �X

a

�ER � jEI� bedonde �ER y �EI son vectores reales y E� y las amplitudes y las fases de cadacomponente E � ER � jEI del vector complejo�

Podemos escribir la ecuaci�on de onda en la forma

r�E��r� � ��� �c �E��r� � � � �� �

donde �c es la Constante diel�ectrica compleja� de�nida como

�c � �

��� j

Q

�� Q � �� � � �

�� ����

Q es el Factor de calidad del medio y � su constante de relajaci�on�

Se suele clasi�car a los medios� para cada frecuencia� en buenos diel�ectricos� cuandoQ� � y buenos conductores cuando Q� ��

Puede comprobarse que

Q � �� �j�jDjj�jj

Page 206: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

es una medida de la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a lade conducci�on�

Cuando Q � �� �c � � y la ecuaci�on de onda corresponde a la propagaci�on� en unmedio sin p�erdidas� con una velocidad de fase

v � �p��

� ����

Cuando q � �� �c � �j ��� en la ecuaci�on predomina el t�ermino de difusi�on�

Resolviendo esta ecuaci�on en coordenadas cil��ndricas� esf�ericas� cartesianas etc�� seobtienen� respectivamente� las ondas monocrom�aticas cil��ndricas� esf�ericas� planas etc�

Ondas monocrom�aticas�planas �

Si� adem�as� la onda es plana� la ecuaci�on �� se reduce a una ecuaci�on en derivadastotales

d� �E�x�

dx�� ��� �c �E � � � Ex � Hx � � � ����

Ecuaci�on que es del tipo Helmholtz �d�

dx�� ��

��X�x� � � � ����

donde

�� � ���� �c � ���

Llamaremos a �� Constante compleja de propagaci�on y la escribiremos como

� � � j� � ����

Relaciones de dispersi�on�

Tomando para y � valores reales y positivos� la ra��z cuadrada de �� nos da

��

��

��p�

��� �

Q�

� ��

� �� ��

� ���a�

� ���p�

��� �

Q�

� ��

� �

� ��

� ���b�

�Ecuaci�on que tambi�en satisface el campo magn�etico�

Page 207: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

donde es la Constante de atenuaci�on� � la Constante de fase o N�umero de onda� � � �

la Profundidad de penetraci�on y �� � �p�� � ���� es el n�umero de onda del medio�

haciendo nula la conductividad�Estas constantes son funciones de la frecuencia � ��� y � � ���� y� como tales�

se denominan Relaciones de dispersi�on de la onda en el medio� En la �gura �� serepresentan los valores relativos de las constantes en funci�on de Q ���� En los buenosdiel�ectricos� Q �� �� � �y � � �� mientras que en los buenos conductores� Q �� ��� � �� ���

0 2 4 6 8 10 12

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Q

β/β0

α/β0

β/β0

α/β0

Figura ���

Soluci�on general�

Para una frecuencia concreta� la soluci�on general puede expresarse de diversas for�mas� Como combinaci�on de exponenciales

�X�x� t� � �X�x� e j�t ���X� e

��x � �X� e �x�e j�t

� �X� e�x e j��t��x� � �X� ex e j��t��x�

� ����

que es la combinaci�on lineal de dos ondas progresivas atenuadas� La primera� progresivaen la direcci�on positiva del eje x tiene una amplitud vectorial compleja

�X� � X�y bx�X�z by � �X�R � j �X�I

afectada de una atenuaci�on exponencial e�x � e�x� �

Al progresar la onda una distancia �x � �� la amplitud disminuye seg�un el factore��� Como hemos visto� � ���� por lo que� al propagarse� cada componente arm�onicapuede sufrir una atenuaci�on de diferente cuant��a�El t�ermino exponencial complejo puede ser escrito como e j�� donde

� �

��

�t� x

�� ����

Page 208: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

es la Fase de la onda�

Velocidad de fase�

Se llama Velocidad de fase a

vf �

�dx

dt

���cte

� �� �

Es� pues� la velocidad con que se desplazan los planos de fase constante�Diferenciando ��� e igualando a cero

d � � � �

��

�t� dx

vf ��� ��

�� ����

velocidad que tambi�en depende de la frecuencia� En la �gura �� se representa a lavelocidad de fase en funci�on de Q�

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

v /v

Q

0f

Figura ���

En los buenos diel�ectricos la velocidad de fase vf � v�� donde v� ����� por lo que �esta

es pr�acticamente independiente de la frecuencia� En caso contrario� cada componenteespectral de una onda viaja a distinta velocidad� Luego� cualquier onda de cuadradosumable sufre al propagarse una distorsi�on o Dispersi�on que afecta tanto a las amplitudescomo a las fases de sus componentes arm�onicas� En la �gura ���a se representa ladistorsi�on de un pulso conforme va viajando a trav�es del medio� En la �gura ���b semuestra que la distorsi�on es tanto mayor cuanto mayor es la anchura de banda delespectro del pulso�En los medios diel�ectricos

Q�� � � � � � � �� � �p�� �

vf � v ��p���

cp�r�r

�c

n� � �

��

Page 209: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

100 200 300 400 500 600 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

ω0

z=z1 z=z 2 z=z 3

100 200 300 400

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) (b)

t

= 0.1

t

= 0.04= 0.1= 0.2= 0.4

ωωΔ Δ

ω

z=0

Figura ���

donde n es el ��ndice �optico de refracci�on� Fue Maxwell quien primero puso de mani�estoque n � p

�r�

Se dice que estos medios� en condiciones ideales� son no dispersivos� puesto que todaslas componentes monocrom�aticas se propagan con atenuaci�on nula y la misma velocidadde fase� o� lo que es lo mismo� dejan inalteradas las formas de los Paquetes o Grupos deondas �x� t��

En este caso la velocidad de fase coincide con la velocidad del paquete de ondas�velocidad de grupo vg� y� por tanto� con la velocidad con que se propaga la energ��aasociada al paquete� ve�

Velocidad de grupo�

Cuando la dispersi�on es peque�na cabe hablar de una Velocidad de grupo que carac�teriza de forma aproximada la velocidad con que se desplaza el grueso del paquete deondas y� por consiguiente� de la energ��a�� En los medios muy dispersivos� la deformaci�onde los paquetes de onda es tan grande que� al cabo de un cierto tiempo� el grupo est�atotalmente disperso y la energ��a diseminada en un intervalo espacial grande� Bajo estascircunstancias no cabe hablar de velocidad de grupo ni de velocidad de propagaci�onde la energ��a� puesto que �esta va llegando a un punto dado en un intervalo temporalrelativamente grande �Jackson� Stratton��

La velocidad de fase� como tal� no es f��sicamente observable y puede ser� de hecholo es en algunas situaciones reales� superior a c sin que esto suponga ninguna violaci�ondel principio de relatividad especial�

Podemos hacer una introducci�on simple de la velocidad de grupo considerando lasuperposici�on de dos se�nales

X��x� � X� ej��t��x�

X��x� � X� ej������� t������� x� � ��� �

�V�ease G�omez�

Page 210: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

con frecuencias pr�oximas y que� para simpli�car� hemos supuesto que tienen igual am�plitud y atenuaci�on nula�Suponemos que el medio es poco dispersivo� lo que implica que ���� es una funci�on

suave y� por tanto� �� � �

X�x� � X� ej��t��x� �� � e j��t��� x�

�� X�

� ej �������� t��������� x� cos

���

�t� ��

�� X�

� � �X�

que� hallando la parte real�

��X�x�� � jX�� j cos ��t� �x� �� cos

���

�t� ��

�x

�En la �gura � vemos que la se�nal resultante contiene un t�ermino oscilatorio� cuya

frecuencia � es pr�oxima a la de las se�nales primitivas� multiplicando a otro que oscila a

una frecuencia mucho menor��

�� �� Este segundo modula� o envuelve� al primero�

Figura � �

La velocidad con que se desplaza esta envolvente es lo que corresponde a la velocidadde grupo mencionada m�as atr�as�

e ���

�t� ��

�x

La velocidad con que se desplazan los frentes de igual fase de la envolvente ser�a�dx

dt

��e�cte

���

�x� vg � lim

����

��

��

vg �d�

d�� ����

La funci�on ���� suele denominarse Relaci�on de dispersi�on� En la �gura ��� se muestrala relaci�on gr�a�ca entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo�

Page 211: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

arctg v

arctg v

g

f

ω

β

ω(β)

Figura ����

Relaci�on de estructura�

Si nos limitamos a estudiar las ondas progresivas en el sentido del eje x� tanto �Ecomo �H ser�an de la forma

�E � �E� e��x e j�t

�H � �H� e��x e j�t

� ����

pero� evidentemente� cualquier pareja de vectores complejos �E� y �H� no constituyen unaonda electromagn�etica puesto que �E y �H est�an ligados por las ecuaciones de Maxwell�

Ya hemos visto que

t� j�� De ��� se deduce que

x� �� r � �� bx

Aplicando esto a

r� �E � ��B

t� bx � �E � j

��

��H

que� haciendo� como en la secci�on ����� bx � �n donde �n es el vector unitario en ladirecci�on de propagaci�on� nos permite escribir

�n � �E� � Zc �H� � ����

Esta es la Relaci�on de estructura para ondas monocrom�aticas planas� donde

Zc �

r�

�c� j

��

�� ���

Zc recibe el nombre de Impedancia del medio�

Para el vac��o

Z� �

r����� ����� % � ����

Page 212: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

� �

En medios materiales� como en el vac��o� los vectores �E� �H y �n forman un triedrorect�angulo a derechas� pero dado que las amplitudes de los campos est�an relacionadasentre s�� por medio de una impedancia compleja� �estos no estar�an en fase� sus m�aximos�m��nimos y valores nulos� tendr�an lugar en distintos instantes para uno y otro campo��gura �����

E

H

x

Figura ����

� � � � Polarizaci�on de ondas electromagn�eticas

Sea una soluci�on para �E que se propaga en el sentido positivo del eje x�

�E�x� t� � �E� e�x e j��t��x� �

�E�y e

i�y by �E�z ej�z bz� e���j��x e j�t

� f�x� e j�y�E�y e

j�t by �E�z ej��t��z��y� bz� �

Luego� para cualquier punto x � x�� podemos escribir

Y � ��Ey�x�� t�� � Acos�t

Z � ��Ez�x�� t�� � B cos ��t� ��

donde � � z � y�Desarrollando

Z � B �cos �t cos � � sen�t sen ��

De la expresi�on de Y tenemos que

cos �t �Y

A� sen ��t� �

s��

�Y

A

��

de donde obtenemos la ecuaci�on general de una elipse�Y

A

��

�Z

A

��

� � Y ZAB

cos � � sen ��

Page 213: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

^

x

A

y

zB

Z

YI

D

t=0

t

E

^

Figura ����

Es f�acil comprobar que a lo largo del tiempo el vector �E describe una elipse� ensentido horario� a derechas� si � � � y antihorario� a izquierdas� si � � ��

Convendremos en �jar la direcci�on de polarizaci�on seg�un la direcci�on del vector �E ydiremos que la onda est�a polarizada a derechas� si el extremo de �E gira seg�un la regladel tornillo alrededor de la direcci�on de propagaci�on� o a izquierdas si el sentido de giroes el contrario� Si A � �� B � �� o � � �m� �m � �� �� � � �� la onda est�a linealmentepolarizada� En general� la polarizaci�on de la onda es el��ptica�

Se deja como ejercicio la expresi�on de una onda polarizada el��ptica o linealmente enfunci�on de ondas polarizadas circularmente�

� � � � Energ��a en ondas planas monocrom�aticas Vector de Poynting com�

plejo

Para obtener los t�erminos energ�eticos debemos multiplicar las amplitudes de los campos�Esta es una operaci�on no lineal que� en el caso de ondas monocrom�aticas� har�a aparecert�erminos oscilantes de frecuencia doble de la original�

Sean dos vectores de la forma

�A�t� � �� �Ac e j�t�

donde�Ac � �AR � j �AI

es un vector complejo independiente del tiempo� La composici�on de dos vectores de estetipo� bien sea por producto escalar o vectorial� ser�a

�A��t�� �A��t� � �� �Ac� e

j�t���� �Ac� e

j�t�

� �A�R � �A�R cos� �t� �A�I � �A�Isen

� �t

��� �

�A�R � �A�I � �A�I � �A�E� sen ��t

Page 214: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

El t�ermino proporcional a sen ��t tiene valor medio nulo� por lo que

h �A��t�� �A��t�i � �� �

�A�R � �A�R � �A�I � �A�I�

� �� �� �Ac

� � �Acc� � �

�� �� �Acc

� � �Ac��

� ����

donde el super��ndice cc indica la conjugaci�on compleja�En la pr�actica� las variaciones temporales r�apidas no suelen ser medibles� por lo que

el inter�es se centra en los valores medios� Estos valores medios se obtienen de la partereal de las magnitudes complejas� Estas son� la densidad de energ��a media

�cem ��

�E � �Dcc �

�H � �Bcc �

�� j �Ej� � � j �Hj�

�� h�emi � ����

y el Vector de Poynting complejo�

�Pc � �E � �Hcc � ����

Haciendo uso de la relaci�on de estructura

�n � �E � Zc �H

podemos comprobar que

h�emi � ��j �Ej�

�� �

r� �

Q�

�� �� �

donde se observa que en un medio conductor

h�mih�ei �

r� �

Q�� �� para Q� �

h�mih�ei �

Q

lo que es l�ogico ya que el medio conductor� aunque no apantalla totalmente al campoel�ectrico din�amico� como lo hace el est�atico� al crecer la conductividad aumenta laimportancia relativa de las corrientes y del campo magn�etico asociado con respecto alpropio campo el�ectrico�El vector de Poynting resultante es

�Pc �Zc

jZcj� j�Ej� �n� h�Pi � ��Zc�

jZcj� j�Ej� �n � ����

��� Problemas

���� Est��mese� integrando gr�acamente los ciclos de hist�eresis de la gura ����� lap�erdida de potencia por unidad de volumen debida a la hist�eresis en estos materi�

ales si la frecuencia a que se recorre el ciclo m�aximo es de ��Hz�

���� Sea un conductor cil��ndrico recto� de secci�on circular� de radio a y conductividad

�� por el que circula una intensidad I� Hallar el �ujo del vector de Poynting yrealizar el balance de energ��a correspondiente�

Page 215: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

(

μ0

H (W . m -2 )

10 50

1.4Acero al Tungstenorecocido

Hierro comercialrecocido

B (W . m -2 )

)x 10 -4

Figura ����

���� Una onda plana monocrom�atica� linealmente polarizada� incide perpendicular�

mente� desde el vac��o� sobre la supercie plana de un conductor ideal�

a� Aplicar las condiciones de contorno para hallar la onda re�ejada

b� Comprobar que la suma de la onda incidente y la re�ejada constituyen una

onda estacionaria�

c� Hallar el �ujo de potencia instant�aneo y medio en funci�on de la distancia al

plano�

d� Representar gr�acamente los campos �E y �H de la onda estacionaria�

e� Hallar la presi�on que la onda electromagn�etica ejerce sobre la supercie del

conductor�

���� Supongan que el conductor del problema anterior no es ideal pero que Q �� ��

a� Hallar la onda re�ejada y la transmitida�

b� Hallar la relaci�on entre las potencias transmitida y re�ejada con respecto ala incidente y comprobar que se cumple el principio de conservaci�on de la

energ��a�

c� Representar el vector complejo de Poynting en funci�on de la distancia a la

interfacie�

d� Llevar a cabo el balance energ�etico en el seno del conductor�

e� Hallar la presi�on y comparar con los resultados obtenidos en el problema ante�

rior� Comprobar que se cumple la conservaci�on de la cantidad de movimiento�

���� Estudiar la re�exi�on y la transmisi�on cuando� a diferencia de los casos anteriores�

el medio sobre el que incide la onda es un diel�ectrico ideal�

���� Demostrar que la onda incidente mas la re�ejada� en los casos anteriores� pueden

representarse como la suma de una onda estacionarla y otra viajera� bien sea ensentido incidente o re�ejado�

Page 216: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

���

���� Demostrar que una onda plana monocrom�atica� polarizada el��pticamente� puede

descomponerse en dos ondas polarizadas circularmente� una a derechas y otra a

izquierdas� Hallar las amplitudes complejas y particularizar al caso de una onda

con polarizaci�on lineal�

���� En un plasma pueden excitarse ondas planas monocrom�aticas de diverso tipo�

entre ellas las que m�as abajo se mencionan junto con sus relaciones de dispersi�on�

Representar gr�acamente la relaci�on de dispersi�on y las velocidades de fase y grupo

frente al n�umero de onda�

a� Ondas electr�onicas electrost�aticas�

�� � ��p �

��� v�T

donde �p es la frecuencia propia de oscilaci�on del plasma y vT la velocidad

t�ermica de los electrones en el mismo�

b� Ondas ac�usticas i�onicas�

�� � �� v�s

donde vs es la velocidad del sonido en el plasma�

c� Ondas electromagn�eticas�

�� � ��p � �� c�

���� En un plasma magnetizado por un campo uniforme pueden propagarse� en la direc�

ci�on de dicho campo� ondas polarizadas circularmente� Las polarizadas a derechas

ondas R� tienen un ��ndice de refracci�on

n� �c� ��

��� ��

��p��

�� ��

y las polarizadas a izquierdas ondas L�

n� �c� ��

��� ��

��p��

� � ��

donde % es la frecuencia ciclotr�onica�

Hallar la ley de rotaci�on� Rotaci�on de Faraday� del plano de polarizaci�on de una

onda monocrom�atica plana� linealmente polarizada� que se propaga a lo largo delcampo magn�etico�

Page 217: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice A

Resoluci�on de las ecuaciones de

Poisson y de Laplace

A�� Introducci�on

Aunque en este cap��tulo se trata la soluci�on de las ecuaciones de Poisson y de Laplacepara todo tipo de medios y con diversas t�ecnicas� sus contenidos pueden abordarse desdecualquier punto de este texto� en particular� parte del mismo puede estudiarse una vezintroducidas dichas ecuaciones en los primeros cap��tulos�

A�� Soluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Poisson

A�� Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace

Ya vimos que los campos �F que son irrotacionales en una cierta regi�on del espaciocumplen� en ella� una ecuaci�on de tipo Poisson�

Si en Vr � �F ��r� � D��r�

r��F ��r� � �

� �F ��r� � �r f��r�

y

r� f��r� � �D��r� �A���

La ecuaci�on homog�enea� ecuaci�on de Laplace

r� f��r� � � �A���

que� l�ogicamente� es m�as f�acil de resolver que la de Poisson� ser�a v�alida en regionesdonde �F sea solenoidal�

Se ha visto que estas ecuaciones tienen soluci�on �unica para f si �jamos el valor deesta funci�on en la super�cie del contorno� condiciones de Dirichlet� y �unica para �F silo que �jamos es la componente normal Fn del campo en la super�cie� condiciones deNeumann� Tambi�en obten��amos soluci�on �unica con condiciones mixtas de contorno�

a��

Page 218: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

La resoluci�on de la ecuaci�on de Poisson puede llevarse a cabo� de forma general�sumando a la soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace una soluci�on particular de lade Poisson y ajustando los coe�cientes de esta soluci�on general a las condiciones decontorno del problema�Muchos problemas importantes de campos electrost�aticos� campos magnetost�aticos

y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones�Para medios lineales� homog�eneos e is�otropos� el campo electrost�atico cumple las

ecuacionesr � �E��r� � �

���r�

r��E��r� � �

� �E��r� � �rV ��r�

y

r� V ��r� � ������r� �A���

En condiciones est�aticas y ausencia de corrientes de carga de conducci�on� el campo�H cumple

r � �H��r� � �M ��r�

r� �H��r� � �

� �H��r� � �rU��r�

yr� U��r� � ��M ��r� �A��

Para corrientes estacionarias� supuesta la presencia de campos electromotores cono�cidos �E ��

�� � � �ET � � � �E � �E �� r � �E��r� � �r � �E ���r�

r � �E��r� � �

r� �H��r� � �

� �E��r� � �rV ��r�

y

r� V ��r� � r � �E ���r� �A���

En este planteamiento del problema � ���r�� �M ��r� y r � �E ���r� se suponen conocidos

y �jos en todo el volumen V dentro del cual queremos hallar la soluci�on�

A�� Principio de superposici�on

En algunos casos es �util el uso del principio de superposici�on que se deduce de la linea�lidad de la ecuaci�on de Poisson�Si fi��r� es una soluci�on de la ecuaci�on

r� fi��r� � �Di��r�

que cumple una de las condiciones de contorno

�fi�S � fiS �o

� fi n

�S� FinS

Page 219: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

entonces

f �

NXi��

�i fi

es una soluci�on de r� f � �D� donde

D �NXi��

�iDi

con la condici�on de contorno

�f �S �NXi��

�i fiS �o

� f

n

�S�

NXi��

�i FinS

lo que puede comprobarse por simple substituci�on�

Esto permite� a veces� descomponer un problema complejo en otros m�as sencillos�como ilustraremos m�as adelante�

A� Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson

Antes de exponer el m�etodo de Green de soluci�on de la ecuaci�on de Poisson veremoscomo �esta puede ser puesta en forma integral� Para ello haremos uso de las identidadesde Green�

Identidades de Green �

Si h y g son dos funciones de�nidas en V� Por el teorema de la divergenciaZVr � �hr g� dv �

IShr g � �n ds

Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma r g � �n �� g� n Z

V�hr� g �rh � r g� dv �

ISh g

nds �A���

que es la Primera identidad de Green�

Cambiando g � h y restando� obtenemosZV�hr� g � gr� h� dv �

IS�h

g

n� g

h

n� ds �A���

que es la Segunda identidad de Green�

Page 220: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a�

Volumenproblema

D=0

Vf

V=V’

S’Volumen

que contienea todas las

fuentes

(r ’)D

n

Figura A���

Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson �Para obtener una ecuaci�on integral que nos exprese el valor del potencial f��r� en un

punto �r V� debemos integrar las fuentes sobre V �� que haremos coincidir con V� v�easela �gura A���Haciendo V � V �� g � f��r �� y h � �

r

ZV ��

Rr�� f��r �� �z ��A�

dv��ZV �

f��r ��r����

R

� �z �

�B�

dv� �ZS�

�### �R r� f��r �� � �n � �z ��C�

� f��r ��r���

R

�� �n � �z �

�D�

!$$$" ds�

Teniendo en cuenta que r �� f��r �� � �D��r ��� podemos escribir

�A� � �ZV �D��r ��R

dv�

expresi�on que multiplicada por ������ y extendiendo V � a todas las fuentes� nos dar��apor si sola f��r�� Sin embargo tomaremos V � como un volumen arbitrario que contendr�asolo a parte de las fuentes�Puesto que� como ya se ha visto� r� ���R� � ��� �R

�B� � �� �f��r ����r ���r

� �� f��r� para �r V

Por �ultimo� substituyendo r� f��r �� � ��F ��r �� en �C� y r����R� � �R�R� tenemos

f��r� ��

ZV �D��r ��R

dv� � �

IS�

�f��r �� ��n � � �r ��

R�

�F ��r �� � �n �R

�ds� �A���

Ecuaci�on que no constituye una soluci�on porque� seg�un hemos visto en la secci�on ������� no podemos �jar al mismo tiempo el potencial y la componente normal delcampo en el contorno�

Page 221: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

Claramente los t�erminos �C� y �D� aparecen en compensaci�on de las fuentes noincluidas en V � y que� por lo tanto� no han sido tenidas en cuenta� �C� tiene la formade integral de potencial monopolar y �D� de potencial dipolar� As��� pues� las cargasel�ectricas o polos magn�eticos no tenidos en cuenta al integrar sobre V � se substituyenpor unas distribuciones super�ciales� en el contorno� de polos y dipolos� el�ectricos omagn�eticos en su caso�En la soluci�on de la ecuaci�on de Laplace� ya que D��r �� � � en �r � V �� la integral

sobre el contorno representa a las fuentes que necesariamente debe haber fuera delvolumen problema puesto que dentro de �el no las hay� En caso contrario el campo en V �ser��a nulo por carecer de fuentes�

A�� M�etodo de Green

Con objeto de introducirnos en el uso del m�etodo de Green para resolver ecuaciones difer�enciales� ilustraremos su aplicaci�on a la soluci�on del problema de Poisson con condicionesde Dirichlet�Para ello de�niremos como funciones de Green a las soluciones generales de las

ecuacionesr�G��r� �r �� � ����R� � ����r � �r �� �A� �

r��G��r �� �r� � ����R� �A����

Como puede verse en A� � G��r� �r �� es el potencial que se medir��a en �r debido a unafuente puntual situada en �r � � q � �� qM � l��De la misma forma� G���r �� �r� es el potencial que una fuente puntual colocada en

�r produce en �r �� Una soluci�on particular para A� y A��� es la soluci�on con simetr��aesf�erica

Gp ��

� r�

� jr � �r �j � G�p

Si a esta le a�nadimos la soluci�on general de la ecuaci�on de LaplaceGL��r� �r

�� � G�L��r�� �r� tenemos

G��r� �r �� ��

� r�GL��r� �r

��

G���r �� �r� ��

� r�G�L��r

�� �r� �A����

Esta �ultima ser�a la expresi�on general de la funci�on de Green correspondiente a unafuente puntual en �r observada en �r ��Volviendo a hacer uso de la segunda identidad de Green� con h � G���r �� �r� y g �

f��r ��

�f��r���rV �ZV �

G���r �� �r�D��r �� dv� �IS�

�G���r �� �r�

f��r �� n�

� f��r �� G���r �� �r�

n�

�ds�

que puede ser convertida en soluci�on para un problema con condiciones de contornode Dirichlet de�niendo la Funci�on de Green para condiciones de Dirichlet GD� soluci�onparticular que cumple la condici�on de contorno�

GD��r� �r���S � � �A����

Page 222: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

es decir eligiendo las constantes indeterminadas de la funci�on de Green general de man�era que �esta se anule en el contorno�En este caso� la funci�on de Green es sim�etrica� como demostraremos m�as adelante�

GD��r� �r�� � G�D��r

�� �r� � GD

Substituyendo en la expresi�on anterior� obtenemos la soluci�on del potencial en V quecorresponde a un potencial �jado en su super�cie�

f��r ���S� � fs��r

��

f��r� �

ZV �

G�DD dv� �ZS�fs

G�D n�

ds� �A����

que es una verdadera soluci�on del problema de Dirichlet porque� al ser �GD�S� � �� nosdesaparece la integral asociada a la componente normal del campo�Algo parecido podemos hacer para condiciones de Neumann �Jackson��Para el potencial electrost�atico� f��r� � V ��r� y D � �

� luego

V ��r� ��

ZV �

GD � dv� �ZS�Vs

GD

n�ds�

Como todos los m�etodos generales de soluci�on� �este puede presentar en la pr�acticadi�cultades insalvables� La potencia del m�etodo de Green es� sin embargo� considerable�Un problema de Dirichlet en el que se especi�can las fuentes D��r �� en V � y se �ja

el valor fs��r�� del potencial en el contorno� se reduce al problema� te�oricamente m�as

simple� de buscar el potencial producido por una fuente puntual unitaria en V � cuandotodos los puntos del contorno est�an a potencial nulo�Por otra parte� es interesante hacer notar que una misma funci�on de Green sirve

para el c�alculo del potencial en un mismo volumen pero con fuentes y condiciones decontorno distintas�Para terminar� demostraremos la simetr��a de GD� Sean las funciones GD��r

�� �r�� yGD��r

�� �r��� las cuales cumplen

r��GD��r�� �r�� � ����r � � �r��

r��GD��r�� �r�� � ����r � � �r��

� �GD�S� � �

Substituyendo h � GD��r�� �r�� y g � GD��r

�� �r�� en la segunda identidad encon�tramos que� efectivamente

GD��r�� �r�� � GD��r�� �r��

A�� M�etodo de las im�agenes

El m�etodo de las im�agenes se basa en el Teorema de Unicidad� seg�un el cual� si unafunci�on f es tal que r�f � �D en todo el volumen problema y cumple condiciones decontorno adecuadas� �esta f es la soluci�on de nuestro problema de potencial� Aunque noes un m�etodo general� es aplicable a una serie de problemas de singular importancia� no

Page 223: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

s�olo en el caso de campos est�aticos� lo que justi�ca su inter�es� En particular� permitir�ael c�alculo sencillo de la funci�on de Green para geometr��as simples�Esencialmente� la soluci�on del problema de contorno se consigue substituyendo dicho

contorno por un espacio imagen� constituido por medios y fuentes imagen y situadosen el exterior del volumen de inter�es� o volumen problema� de forma tal que sigancumpli�endose las condiciones de contorno impuestas�

II

d (r ’) d (r ’)-d (r ’)ρI

ρ =−ρI

r ’ r ’r ’I

S

Espacio imagen(solucion no valida)

Espacio problema(solucion valida)

,ε ,ε,ε

ρ ρ

II

Figura A���

En la �gura A�� se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargas ���r ��frente a un plano conductor a potencial nulo�El volumen de inter�es es el semiespacio a la derecha del plano conductor y el contorno

del problema es la super�cie S� Las condiciones que se cumplen en este problema sonde tipo Dirichlet� En el semiespacio de la izquierda no se han especi�cado ni los mediosni las fuentes� lo que no nos permite decir nada acerca del potencial existente en dicharegi�on� Si nosotros nos �guramos ahora a este semiespacio como lleno de un medio conconstante � y con una distribuci�on de cargas de signo contrario a las especi�cadas � �Ies la imagen especular de ��

���d� � ��I���d� � �I � �

por simetr��a� el potencial VS � � y� puesto que no hemos alterado la regi�on �I� ni elpotencial de su contorno� el campo producido en esta nueva situaci�on es el mismo queexist��a en el problema primitivo en dicha regi�on� La soluci�on obtenida no es v�alida parala regi�on �II� puesto que en ella hemos �jado arbitrariamente los medios y las fuentes�En la �gura A�� se plantea un problema t��pico de electrodos en medios de conduc�

tividad �nita� En este caso� un electrodo �conductor ideal con � � �� inyecta unaintensidad I a un medio de conductividad �nita ��� separado por un plano del mediode la izquierda� que es no conductor �� � ��� Resolvemos el problema en el medio deconductividad �nita� cuyo contorno es S � S��S�� donde S� es la interfaz con el mediono conductor y S� la super�cie del electrodo� Dado que la corriente no �uye en el mediono conductor� en S� puede imponerse la condici�on de tipo Neumann �En � ��S� � El

Page 224: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

VE

,σ0 ,σ0II I

I Iooσ

+S 2S=S1

VE

,σ0

σ0

σ=0 I

I

j =

V

E

E

Figura A���

electrodo es equipotencial� por lo que en su super�cie puede imponerse la condici�on detipo Dirichlet �V �S� � VE � con lo que� en conjunto� las condiciones son mixtas�

El espacio imagen estar��a constituido por un electrodo sim�etrico con respecto a S�inmerso en un medio de la misma conductividad ���

,μ 0I,μ 0II

I I

ooμ ,μ 0I

+S 2S=S1

U=cte

H

I

Figura A��

Algo parecido� �gura A�� podemos hacer con sistemas de corrientes frente a mate�riales magn�eticos ideales� En virtud de la ley de refracci�on� las l��neas de campo ser�anperpendiculares a la super�cie externa S� del medio� Por lo tanto� el potencial magn�eticoUS� � cte y puede tomarse como nulo� El espacio imagen estar��a constituido por unmedio de permeabilidad �� y una espira sim�etrica de la primitiva con respecto a S��No abordaremos el tema en extenso �Lorrain y Corson� Reitz et al�� Jackson� nos

limitaremos a describir la aplicaci�on del m�etodo al c�alculo del potencial electrost�aticoproducido por cargas en presencia de super�cies conductoras�

A � � � Im�agenes sobre un plano conductor� funci�on de Green

Consideremos a una carga puntual situada en el punto �d� �� �� frente al plano conductorx � � que est�a a potencial nulo�

La carga q atraer�a� por in�uencia� cargas de signo contrario estableciendo en S una

Page 225: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a�

^

II I,ε ,ε

ρ s (y,z)

rR 1

R 2

+q-q(d,0,0)(-d,0,0)

E(0,y,z)S

x

Figura A���

densidad de carga �s�y� z� que apantalla al campo dentro del conductor�

��y� z� � � �E��� y� z� � �n

Seg�un vemos en la �gura A��� para la regi�on �I� tendremos un campo que ser�a elresultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen �q�

�E �q

��

��R�

R�

��R�

R�

�� V �

q

��

��

R�� �

R�

�donde

�R� � �x� d� y� z� � �R� � �x� d� y� z�

La fuerza que la carga ejerce sobre el plano� o la que el plano ejerce sobre el conductor�ser�a la de atracci�on entre q y su imagen�

�F � q �E�q � � q�

��

��d��bx

Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde elin�nito a su posici�on �nal no puede obtenerse como producto de dicha carga por elpotencial V�q��d� que produce la imagen en d porque al mover q se mueve tambi�en suimagen�

Para obtener la funci�on de Green GD��r� �r�� � G�D��r

�� �r� colocar��amos una cargaq � � en �r � y calcular��amos el potencial en �r� Si� como se muestra en la �gura A���

Page 226: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

^

rq’= −ε

R 2

R 1

εq=

r ’I r ’

x

Figura A���

colocamos al plano en el plano yz y la la carga a una distancia x del mismo

�r � �x� y� z� � �r � � �x�� y�� z�� � �R� � �r � �r �

�r �I � ��x�� y�� z�� � �R� � �r � �r �I

Luego

GD��r� �r�� �

��

j�r � �r �j ��

j�r � �r �I j�

A � � � Im�agenes sobre una esfera

Podemos tambi�en demostrar que la imagen de una carga q� frente a una esfera conpotencial nulo� es otra carga q� de signo contrario y de distinta magnitud�

^ R 2 R 1

r

II ,ε

I ,ε

θqq’q’’

a

d

b

z

Figura A���

Supongamos� �gura A��� un par de cargas q y q� situadas en ��� �� d� y ��� �� b�

Page 227: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

respectivamente� El potencial creado en un punto ser�a

V ��r� ��

��

�q

R��

q�

R�

��

��

�q

j�r � d bzj � q�

j�r � b bzj�

Queremos determinar para que carga imagen q� y que distancia b de la misma alorigen la esfera de radio a es equipotencial con V � ��

V �a br� � � q

d jad br � bzj � � q�

a jbr � ba bzj

Esto se logra� para todo �� haciendo

q� � �q ad

� b �a�

d

como puede comprobarse por inspecci�on�Estas relaciones siguen siendo v�alidas si intercambiamos la regi�on �I� por la �II� y

q por q�� Es decir� son v�alidas para cargas q en el interior de una esfera �d � a��Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esfera con�

ductora� a potencial V� sin m�as que a�nadir una carga en el origen de magnitud

q�� � V� � � a � V ��r� ��

��

�q

j�r � d bzj � q�

j�r � b bzj � q��

r

�A � � � Im�agenes sobre super�cies cil��ndricas

Comprobaremos� por �ultimo� la posibilidad de obtener super�cies cil��ndricas equipoten�ciales haciendo uso de l��neas uniformemente cargadas�Consideremos dos l��neas rectas paralelas� separadas una distancia d y cargadas uni�

formemente con densidades uniformes �� y �� respectivamente�

(-x, 0)

^

y

-d x ρl−ρ l

1

2

r

r P=(x, y)

x

Figura A���

En la �gura A�� se representa un corte para z � cte ya que el problema es realmentebidimensional�Las super�cies equipotenciales� de potencial V�� vienen dadas por

���V��l

� ln�r��r�

Page 228: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

Anotando A � exph� V��l

ise tiene que

x� � y� � �x d

A� � �d�

A� �ecuaci�on que corresponde a cilindros centrados en

x� �d

A� �y radio

a �dpA

A� �

A�� Resoluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Laplace

A� Introducci�on

Aunque la soluci�on anal��tica completa de la ecuaci�on de Laplace solo es factible en unn�umero de casos� si es posible la obtenci�on de soluciones generales� en diversos sistemascoordenados� para medios lineales homog�eneos e is�otropos� Veremos a continuaci�oncomo pueden llenarse las condiciones de contorno en simetr��a cartesiana� cil��ndrica oesf�erica� trabajando sobre ejemplos concretos� Tambi�en apuntaremos brevemente el usode m�etodos especiales� como los basados en las variables complejas� para la resoluci�onde problemas bidimensionales�

De nuevo se pretende solamente introducir el tema� por lo que la presentaci�on no ser�acompleta ni rigurosa� Tratamientos m�as amplios pueden encontrarse en pr�acticamentetoda la bibliograf��a previamente citada y en �Morse y Feshbach� Abramowitz y Stegun�Arfken y Weber� Wylie� Jackson� Panofsky y Phillips� Konopinski� Weisstein� Tijonov��

Para la obtenci�on de soluciones generales haremos uso del m�etodo de separaci�on devariables que permite expresar dicha soluci�on como producto de funciones de una vari�able� Se puede demostrar� aunque nosotros no lo haremos� que la soluci�on as�� obtenidaes completa� por lo que la soluci�on particular a cualquier problema f��sico bien plantea�do podr�a expresarse dando valores adecuados a las constantes indeterminadas de dichasoluci�on general�

A�� Soluci�on general en coordenadas cartesianas

La ecuaci�on

r� f �� f

x��� f

y��� f

z�� �

admite soluciones del tipo

f�x� y� z� � X�x�Y �y�Z�z�

Page 229: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

Substituyendo m�as arriba� excluyendo la soluci�on trivial f � � y dividiendo porf�x� y� z�� obtenemos

X

d�X

dx� �z �u�x�

��

Y

d� Y

dy� �z �v�y�

��

Z

d� Z

dz� �z �w�z�

� �

La ecuaci�on anterior puede escribirse como suma de tres funciones� cada una de lascuales depende de una variable independiente distinta� Esto solo es posible si cada unade ellas es igual a una constante� La suma de estas tres constantes ha de ser igual acero� Anotaremos estas constantes de la forma u�x� � �k�x� v�y� � �k�y� W �z� � �k�z �con lo que

k�x � k�y � k�z � � �A���

Esto conduce a las tres ecuaciones unidimensionales de segundo orden

d�X

dx�� �k�xX �A���a�

d� Y

dy�� �k�y Y �A���b�

d� Z

dz�� �k�z Z �A���c�

As��� pues� para cada valor kx� las soluciones posibles de la ecuaci�on de X�x� tienenla forma

Xk�x� �

�����������A�k e

jkx x �A�k e�jkx x � para k�x � �

A� x�A� � para kx � �

A�k e�x x �A�k e

��x x � para ��x � �k�x � �

�A����

Haciendo uso de las relaciones de Euler

e j � cos� j sen � e � cosh� senh

pueden ponerse las anteriores expresiones en funci�on de senos y cosenos� circulares ohiperb�olicos�La soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace ser�a� por lo tanto�

fG �X�kx�ky

Xkx�x�Yky�y�Zkz�z� � kz �q�k�x � k�y �A����

Expresi�on en la que la sumatoria se extiende a todos los valores posibles de kx� ky� kz�La soluci�on particular de un problema determinado implica el calculo de las in�nitas

constantes A�k� A�k� B�k� B�k� C�k� C�k� as�� como el de los posibles valores de kx� ky� kzque son compatibles con las condiciones de contorno establecidas�

Page 230: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

A�� Aplicaciones

Descartando los problemas unidimensionales que ya fueron tratados en los primerostemas� basta para ilustrar el uso del m�etodo con la resoluci�on de algunos problemasbidimensionales�

V0

x

y

x=a

V=0

V=0

Figura A� �

Supongamos � V� z � �� por lo que V � V �x� y� y k�x � k�y � � y apliquemos las

siguientes condiciones de contorno

V �x� �� � V� � � � x � a

V ��� y� � V �a� y� � � � y � �

que corresponden� �gura A� � a una caja in�nitamente larga en las direcciones z e y�limitada por una banda de potencial V� en el plano y � � y por dos semiplanos apotencial nulo en x � � y x � a�Puesto que para y � � no se especi�ca la existencia de ning�un tipo de fuentes y

los planos x � � y x � a est�an a potencial nulo� se supone que la cuarta condici�on decontorno que nos falta es

V �x� �� � � � � � x � a

Comprobaremos que� al coincidir las condiciones en x � � y x � a� resultar�a c�omodotomar

k�x � �k�y � k�

donde k es real y positivo� con lo que la soluci�on general es

VG �X�k

Xk�x�Yk�y� �X�k

�A�k e

jk x �A�k e�jk x

� �B�k e

k y �B�k e�k y

�Si tenemos en cuenta� en primer lugar� que

v��� y� � � A�k � �A�k

Page 231: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

podremos escribir �

V �X�k

Ak sen �k x�Yk�y�

lo que justi�ca la elecci�on de k�x � k��

Si ahora aplicamos la condici�on V �a� y� � � encontramos que solo son posibles aque�llos valores de k que hacen que los valores nulos de sen k x coincidan con los extremosdel intervalo ��� a�

k � n�

a� n � entero

Vemos pues que k se cuanti�ca al limitar el intervalo seg�un la direcci�on x� Luego

V �Xn�o

An sen �n�x

a�Yn�y�

Haciendo uso de la condici�on V �x� �� � � encontramos que los B�n � � porque est�anasociados a t�erminos crecientes con y�

V �Xn�o

An sen �n�x

a� e�n�

ya

Por �ultimo� debemos cumplimentar la condici�on V �x� �� � V� para � � x � a

V� �Xn�o

An sen �n�x

a�

a

V(x,0)

x2a

Figura A����

Si extendemos la funci�on V �x� �� � V� en el intervalo ��� a� con V �x� �� � �V� en�a� �a�� obtenemos la funci�on peri�odica de la �gura A��� que� desarrollada en serie deFourier�

An ��

Z �a

�sen �n�

x

a� dx �

���� � n par

V�n� � n impar

�Ak� An y An son distintas entre s�� y sus relaciones mutuas son f�acilmente deducibles�

Page 232: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

La soluci�on particular que cumple las condiciones de contorno ser�a

V �x� y� �V��

Xn� impar

nsen �n�

x

a� e�n�

ya

que est�a representada en la �gura A��� incluyendo a los primeros cien arm�onicos nonulos�

0,5 a

V(x,y)

V0

y

x=ax

Figura A����

Como puede deducirse de la soluci�on anterior y se aprecia en la �gura� el primert�ermino de la serie predomina para y �� ya que que la rapidez con que decrece cadat�ermino en la direcci�on y es proporcional a n�El c�alculo de los coe�cientes podr��a haber sido llevado a cabo� de forma m�as general�

teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las funciones exponenciales oseno y coseno en el intervalo ��� a� ��Z a

�sen �n�

x

a� sen �n��

x

a� dx �

�a �n n�

Si ahora� por ejemplo� limitamos la caja en la direcci�on y termin�andola en y � bcon una banda a potencial Vb� habr�a que substituir la condici�on V �x� �� � � porV �x� b� � Vb� con lo que B�n �� � y deberemos escribir

V �Xn�o

sen �n�x

a��An e

n� ya �Bn e

�n� ya

��V�ease el ap�endice J

Page 233: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

de donde se deduce que

V� � V �x� �� �Xn�o

sen �n�x

a� �An �Bn�

Vb � V �x� b� �Xn�o

sen �n�x

a��An e

n� ba �Bn e

�n� ba

�por lo que los coe�cientes del desarrollo se deducir�an del sistema de ecuaciones

An �Bn �V�n�

An en� b

a �Bn e�n� b

a �Vbn�

A veces es �util el recurso al principio de superposici�on� As��� pues� el problema decontorno de la �gura� en el que las cuatro caras de la caja est�an a distinto potencial�puede descomponerse en dos problemas equivalentes al que acabamos de describir� seg�unse muestra en la �gura A����

c

V (x,y)1V0

Va

Vb

Vc

V0 VbV(x,y)

a

b

x

y

V (x,y)2

Va

V

Figura A����

A� Soluci�on en coordenadas cil��ndricas

La ecuaci�on de Laplace en forma cil��ndrica toma la forma

r� f ��

r

r

�r f

r

���

r�� f

��� f

z�� �

la cual admite soluciones separables del tipo

f�r� � z� � R�r��� �Z�z�

Operando de forma an�aloga a la utilizada en la secci�on anterior� obtenemos

Rr

d

d r

�rdR

d r

���

r��

d� �

d ��

Z

d� Z

dz� �z �w�z��k�����

� �

�Emplearemos la notaci�on r en vez de � para no confundir a esta �ultima con la de la densidad decarga�

Page 234: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

donde aparece ya separada la funci�on w�z��

La soluci�on Z�z� es� pues� del mismo tipo que en cartesianas

Zk�x� �

�����������C�k e

k z � C�k e�k z � para k� � �

C� z � C� � para kx � �

C�k ej� z � C�k e

�j�z � para ��x � �k�x � �

�A����

Si excluimos el origen y multiplicamos por r�

r

R

d

d r

�rdR

d r

�� k� r� �

d� �

d � �z �v�����n�

De esta foma separamos la funci�on v� �� por lo que la dependencia seg�un puede serescrita como

�n� � � A� cos n �A� senn �A�� �

donde n deber�a ser entero si el rango de variaci�on de cubre todo el intervalo ��� ���puesto que� para que la soluci�on sea �unica deber�a cumplirse �� � � �� � ����

En caso contrario son admisibles las soluciones

��� � � A� �A� � n � �

��� � � A� e�� �A� e

��� � �� � �n��A����

La ecuaci�on radial resultante ya no es tan simple� Multiplicando por Rr�

r

d

d r

�rdR

d r

��

�k� � n�

r�

�R � �

Ecuaci�on que para k � n � � admite la soluci�on sencilla

R���r� � B� ln r �B� � k � n � � �A����

Para k � �� n �� �� ensayando soluciones del tipo R � B rm� se obtienen dos solu�ciones independientes para m � �n

R�n�r� � B� rn �B� r

�n � k � � �A����

En el caso m�as general� haciendo el cambio de variables p � kr� la ecuaci�on radialqueda de la forma

p�d�R

dp�� p

dR

d p�R �p� � n�� � �

que es la Ecuaci�on de Bessel�

�En general� k� puede ser complejo�

Page 235: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

Para k y n reales� admite soluciones polin�omicas �Wylie� Arfken y Weber�

Rkn�r� � Rn�p� � B� Jn�p� �B� J�n�p� �A����

donde Jn�p� y J�n�p� son las Funciones de Bessel de primera especie y de orden �n�Estas funciones� que son linealmente independientes para n no entero� se expresan comosuma de una serie in�nita

Jn�p� ��p�

�n �Xi��

����ii# ' �i� n� ��

�p�

��idonde ' es la Funci�on gamma� En el caso en que n es entero '�i� n��� � �n� i�#� dedonde se deduce que

J�n�p� � ����n Jn�p�Se hace pues necesario buscar una nueva soluci�on linealmente independiente de �estas�Las funciones de Bessel de segunda especie� o Funciones de Neumann� se de�nen como

Nn�p� �Jn�p� cos n� � J�n�p�

senn�

Puede demostrarse que �estas son independientes de las Jn�p� incluso en el l��miten� entero�

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1n(p) (p)N n

Po

P2P1

N o N 1

N 2

P

p=k r

Figura A����

Las funciones de Bessel� v�ease la �gura A���� se cali�can de regulares porque son�nitas en el origen

limp��

Jn�p�� pn

�n n#

Page 236: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

mientras que a las de Neumann se les cali�ca de irregulares porque son singulares endicho punto

limp��N��p�� �� ln p

limp�� Nn���p�� ��n �n����� pn

Para valores grandes de p� estas funciones toman los valores asint�oticos

limjpj�� Jn�p��q

�� p cos

�p� �n� �

���

�limjpj�� Nn�p��

q�� p sen

�p� �n� �

���

�Para el estudio de la propagaci�on de ondas es preferible utilizar las Funciones de

Hankel de primera y segunda especie� de�nidas� respectivamente� como

H���n �p� � Jn�p� � j Nn�p�

H���n �p� � Jn�p�� j Nn�p�

de forma que

Rn�p� � AH���n �p� �BH���

n �p�

La dependencia de esta funci�on para puntos lejanos es del tipo

limp�� Hn�p�

���� ��� �r�

� pe�j �p��n�

��� ���

M�as detalles pueden encontrarse en la bibliograf��a�

A�� Aplicaciones

Supongamos en principio que tenemos dos electrodos en forma de cinta plana� entrelos que existe un conductor con conductividad ��� como se muestra en la �gura A���Calculemos la densidad de corriente�

En el conductor �� � �� �E y

�E � �rV � � V r

br � �r

V

b � V

zbz

Las condiciones de contorno pueden expresarse� para los intervalos a � r � b�� � � �� � � z � c������������

Er�a� � z� � � � Er�b� � z� � �

Ez�r� � �� � � � Ez�r� � c� � �

V �r� �� z� � V� � V �r� �� z� � V�

Page 237: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

2

ϕ0

σ=σ

a

b

0

c

σ o σ oo

V

o

1 V

Figura A���

Condiciones que sugieren el uso de un potencial del que derive un campo �E � �E� b V

r�

V

z� � � V � V � � n � �

Si probamos soluciones V � A� �A� E� � ��r A�� vemos que� efectivamente�

se cumplen todas las condiciones impuestas dando a las constantes los valores

A� � V� � A� ��V� � V��

Consideremos ahora un hilo recto de secci�on circular y radio a� de material magn�eticoideal ���� sumergido perpendicularmente en un campo magn�etico uniforme �H�� comoen la �gura A����Una vez introducido el hilo� este perturbar�a el espacio circundante modi�cando el

campo inicialmente uniforme� con lo que �H � �H�r� ��La primera condici�on de contorno � para �r ��� �� es

limr��

�H�r� � � �H� � H� bx � H� cos br �H� sen b Para �a�� �� donde a� � limr�a� r�a�

H��a�� � � �

porque el hilo tiene permeabilidad in�nita y� seg�un la ley de refracci�on de las l��neas decampo� �H�a�� � debe ser perpendicular a la super�cie�Puesto que �H � �rU � las condiciones de contorno pueden ser expresadas en funci�on

del potencial magn�etico escalar�a� Para r ��

U

r� �H� cos �

r

U

� �H� sen

Page 238: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

H 0

H

H(r, ϕ)

x

y μ 0

r

P

ϕ

μ oo

Figura A����

e integrandoU�r ��� � � �H� r cos

Hemos anulado la constante de integraci�on puesto que �esta solo afecta al origen de lospotenciales�b� Para r � a

a

U�a� �

� � U�a� �

� �

Puesto que el intervalo de es ��� ���� n debe ser real y entero y� dada la formade la condici�on en el in�nito� debe contener� al menos� el t�ermino �n � �� k � ��� conA� � �� n es necesariamente n � � puesto que� en caso contrario �

n � �

�� para r �� el potencial presentar��a dependencias de senn �o cos n �Si ensayamos un potencial de la forma

U�r� � � R���r���� � �

�B� r �B�

r

�cos

U�a� �

� �

�B� a�B�

a

�sen � �

Luego B� � �B� a� y aplicando la condici�on en el in�nito

U�r� � � �H� r

��� a�

r�

�cos

Page 239: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

A�� Soluci�on en coordenadas esf�ericas

La ecuaci�on de Laplace puede escribirse en coordenadas esf�ericas

r�

r

�r�

f

r

��

r� sen �

�sen �

f

��

r� sen� �

� f

�� �

En �este caso ensayamos la separaci�on de variables en la forma

f�r� �� � � R�r�*����� �

Substituyendo y multiplicando por �r� sen� ���f � tenemos� excluyendo los puntospara los que r � �� �o � � ��

r� sen� �

��

Rr�d

d r

�r�

dR

d r

���

*

r� sen �

d

d �

�sen �

d*

d �

����

d� �

d � �z ���n�

� �

donde nos aparece separada la variable de la misma forma que en cil��ndricas� Para norecargar la exposici�on supondremos que el intervalo de es ��� ��� y que� por lo tanton es real y entero�

�n� � � A� cos n �A� senn � ��� ��� �A���

La separaci�on de las variables r y � se logra dividiendo por sen� ��

r�

R

d�R

d r� �z ��u�r�

��

*

sen �

d

d �

�sen �

d*

d �

�� n�

sen� � �z ��v���

� �

Escribiendo la constante de separaci�on para la ecuaci�on radial como u�r� � l �l�����esta toma la forma

d�R

d r�� l�l � ��

r�R � �

Ensayando soluciones del tipo f � Ara se obtiene la ecuaci�on radical u � a �a��� �l �l � �� cuyas soluciones son a � l� ��l � ��� La soluci�on general es� por lo tanto�

Rl�r� � B� rl �B� r

��l��� �A����

La ecuaci�on polar resultante es

sen �

d

d �

�sen �

d*

d �

��

�l�l � �� � n�

sen� �

�* � �

que� haciendo el cambio � � cos �� pone de mani�esto que sus soluciones son funci�on decos �

d

d �

���� ���

d*

d �

��

�l�l � ��� n�

�� ��

�* � � �A����

Page 240: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

que es la ecuaci�on asociada o Generalizada de Legendre� Admite soluciones polin�omicasdel tipo

*nl � C� P

nl ��� � C�Q

nl ��� �A����

donde P nl y Q

nl son los Polinomios asociados de Legendre de primera y segunda especie

y de orden �n� l� �Wylie��Para problemas con simetr��a azimutal �� V � V �r� ��� n � ��� la ecuaci�on general�

izada se reduce a la de Legendre

d

d �

���� ���

d*

d �

�� l�l � ��* � � �A����

cuyas soluciones Pl � Ql � Pl��� son polinomiales de orden l� Polinomios de Legendre�Efectivamente� substituyendo en la ecuaci�on de Legendre los polinomios

Pl��� �lX

i��

ai �i

e igualando a cero los coe�cientes de las potencias de �� comprobamos que �Wylie�

Pl��� �

LXi��

����i ��l � �i�#�l i#�l � i�# �l � �i�# �

l��i �

���L � l

� para l par

L � l��� para l impar

Los primeros polinomios son

P� � �

P� � �

P� ��� �� �

� � ��

P ����� �

� � ��

P ��� ��� �

� �� �� � ��

�A�� �

En esta versi�on� �gura A���� los polinomios de Legendre se han normalizado para quePl��� � ��De entre las propiedades de estos polinomios resaltaremos solo las principales�

� En primer lugar� es f�acil comprobar que Pl tiene la misma paridad que el ��ndicePl��� � ����l Pl���� �A����

� Por inspecci�on puede comprobarse que los polinomios son generados por la f�ormulade Rodrigues�

Pl��� ��

�l l#

dl

d�l��� � ��l �A����

�En este tomo nos limitaremos a este tipo de problemas�

Page 241: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

P

θ

0

P

PPP1

23 4

P( )θ

Figura A����

� Los polinomios as�� de�nidos son ortogonales� pero no ortonormales� en el intervalo� ���� ��� Z ��

��Pl� Pl d� �

�l � ��l l� �A����

La ortogonalidad puede demostrarse multiplicando la ecuaci�on de Legendre porPl� y por Pl sucesivamente� restando e integrando� El valor de la norma puedecalcularse haciendo uso de la f�ormula de Rodrigues e integrando por partes l vecesla integral de m�as arriba� Para obtener polinomios ortonormales en el intervalo de

� ��� ��� habr��a que multiplicar Pl porq

�l��� �

� Para problemas con simetr��a azimutal� la soluci�on general queda de la forma

f�r� �� �

�X�

�Al r

l �Bl r��l���

�Pl��� �A����

A � � Aplicaciones

Supongamos que en el seno de un diel�ectrico� de constante ��� en el cual existe un campoel�ectrico uniforme �E� � E�bz� se introduce una esfera diel�ectrica de constante �� y radioa� Queremos calcular la modi�caci�on introducida por esta esfera en el espacio pr�oximo�Como se muestra en la �gura A���� debemos obtener la soluci�on de la ecuaci�on de

Laplace en dos regiones� ��� y ���� separadas por una super�cie de discontinuidad Sa �Los l��mites de la regi�on ��� vienen dados por el contorno S� � Sa� � S�� donde S� esuna esfera de radio in�nito y Sa� una super�cie pr�oxima a la de discontinuidad pero enel medio ����

Page 242: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

1 r

E 0

S 0

SaSa1

Sa2

ooS

ε1

2ε 2

θ

a

Figura A����

Los limites de la regi�on ��� son� S� � Sa� � S�� siendo S� una super�cie de radioelemental que rodea al origen ya hemos visto que en el proceso de obtenci�on de las solu�ciones separables se ha excluido el punto r � �� para dividir por r� tanto en coordenadasesf�ericas como en cil��ndricas�Dentro de la super�cie S� no existe ninguna singularidad del campo� al no haber

especi�cado la existencia de cargas en r � �� por lo que podemos �jar el potencialdel origen en cualquier valor �nito� Tomemos� pues� el punto r � � como origen depotenciales�

V ��� �� � �

Para S�� podemos �jar condiciones tipo Neumann� Dado que muy lejos de la esferael campo seguir�a siendo igual al primitivo �E�

�E��� �� � �E� � E� bzpor lo que� la componente radial es

Er��� �� � E� cos �

Para Sa� seg�un se vio en la secci�on ����� nos hacen falta dos relaciones de conexi�on�Podemos utilizar la continuidad del potencial y� puesto que no se especi�can cargassuper�ciales� la continuidad de la componente normal de �D�Resumiendo� las condiciones de contorno de nuestro problema ser�an

�� En S�V���� �� � � �A���

�� En SaV��a� �� � V��a� �� �A���a�

Page 243: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

�� V��a� ��

r� ��

V��a� ��

r�A���b�

�� en S� V���� ��

r� �E� cos � �A����

Si expresamos las soluciones generales en ��� y en ��� de la forma

V� �

�X�

�Al r

l �Bl r��l���

�Pl���

V� �

�X�

�Cl r

l �Dl r��l���

�Pl���

Aplicando las condiciones de contorno A��

limr��

V� � C� ��Xl��

Dl r��l��� Pl��� � �

de dondeC� � � � Dl � � �l �A����

Queda� pues�

V� �

�Xl��

Cl rl Pl��� � C� r cos � �

�Xl��

Cl rl Pl���

De la condici�on de contorno A��� se deduce que

limr��

V� r

�Xl��

l Al rl�� Pl��� � A� cos � �

�Xl��

l Al rl�� Pl��� �

� �E� cos �

de dondeA� � �E� � Al � � �l � � �A����

Resulta� por lo tanto�

V� � A� �E� r cos � �B�

r�B�

r�cos � �

�Xl��

Bl r��l��� Pl���

La primera condici�on A���a en Sa esV��a� �� � V��a� ��

luego

A� �B�

a�

�B�

a��E� a� C� a

�cos � �

�Xl��

�Bl a

��l��� � Cl al�Pl��� � �

Page 244: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

de donde� dada la ortogonalidad de los Pl����

A� �B�

a� � �A�� �

B� �C� a � E� a

�A���

Bl � Cl a�l�� � � �l � � �A���

La segunda condici�on A���b en Sa es

�� V��a� ��

r� ��

V��a� ��

r

de donde

��a�

B� �

��� C� �

���a

B� � ��E�

�cos � �

��Xl��

��� l Cl a

l�� � �� �l � ��Bl r��l���

�Pl��� � �

Lo cual� junto con A�� � implica que

B� � � A� � � �A���

y

B� ������

a C� � �a

�E� �A���

Bl �����

l

l � �a�l�� Cl � � �l � � �A��

Restando A�� y A� obtenemos

Bl � Cl � � �l � � �A���

De A�� y A�� obtenemos

C� � � ������ � ��

E� � B� ��� � ����� � ��

aE� �A���

con lo que las soluciones para el potencial son

V� �

�### �E� r �z ��a�

��� � ����� � ��

aE��

r� �z ��b�

!$$$" cos �

V� � � ������ � ��

E� r cos �

Los resultados podr��an haberse previsto de una forma m�as intuitiva y r�apida aunqueaqu�� los hayamos deducido con cierto detalle�

Page 245: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

El t�ermino �a� representa al potencial generatriz del campo primario uniforme �E��En cuanto al t�ermino �b�� podemos identi�carlo claramente con un potencial dipolar

Vd ��

� ��

P cos �

r�

de donde se deduce que� desde la regi�on ���� la esfera se ve como un dipolo de magnitud

�P �� �� ��� � ���

��� � ��aE� bz

Esto es cualitativamente previsible porque el campo �E� polariza al medio y creacargas de polarizaci�on en la super�cie de separaci�on de los dos medios

�sP � ��P� � �P�� � br

de forma que� si �� � ��� el dipolo tiene la direcci�on del campo� reforz�andolo en el medio��� y apantall�andolo en el ���� y sentido contrario al campo si �� � ���En el interior de la esfera el campo el�ectrico es proporcional al aplicado

�E� ����

��� � ���E� �

���� �E� � �� � ��

� �E� � �� � ��

Para �D tenemos

�D� ����

��� � ���D�

���� �D� � �� � ��

� �D� � �� � ��

El resumen de estos resultados se presenta en la �gura A���Problemas an�alogos a �este son los de una esfera de material magn�etico� o de mate�

rial conductor� sumergida en un medio en el que� en un principio� se ha establecido uncampo uniforme� En estos casos los vectores a los que hay que aplicar la condici�on de con�tinuidad en la interfaz son �B y �� respectivamente� As��� pues� una esfera paramagn�etica�en el vac��o� concentra sobre s�� las l��neas de �B� mientras que una esfera diamagn�etica lasdesvia hacia afuera� En este sentido� un material superconductor se comporta como undiamagn�etico perfecto� excluyendo totalmente al campo de su interior�

A� Soluci�on de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones

mediante el uso de transformaciones complejas

Muchos problemas de potencial interesantes pueden aproximarse como uniformes en unadirecci�on determinada� lo que permite resolverlos en el plano transversal a dicha direc�ci�on� Existe un cierto n�umero de procedimientos simpli�cados especialmente indicadospara este tipo de problemas� Unos son versiones m�as simples de m�etodos aplicables entres dimensiones y otros tienen un car�acter espec���co para potenciales bidimensionales�

Page 246: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

ε 2 ε1ε 2 ε1

ε 2 ε1

ε 2 ε1>

ε 2 ε1<

ε 2 ε1>

ε 2 ε1<

D,Campo E,Campo

D,Campo E,Campo

ε 2 ε1

Figura A����

No abordaremos en detalle estos m�etodos de los cuales puede encontrarse cumplidaexposici�on en la bibliograf��a ��Como introducci�on al tema� nos limitaremos a la b�usqueda de una expresi�on especi�

�ca de la soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones�Sea f�z� una funci�on anal��tica de la variable compleja z

z � x� j y � f�x� � u�x� y� � j v�x� y�

dondex � ��z� � y � ��z�

u � ��f � � v � ��f �Veremos que tanto u�x� y� como v�x� y� son soluciones de la ecuaci�on de Laplace�

Efectivamente� �gura A�� � al desplazarnos en el plano z desde el punto z al z� dz nosdesplazamos en el plano f desde el punto f al f � df �La derivada de f con respecto a z es

d f

d z�

du� j dv

dx� j dy�

�� u� x � j � v

� x

�dx�

�� u� y � j � v

� y

�dy

dx� j dy

y� para una funci�on anal��tica� por de�nici�on� debe ser independiente de la direcci�on deldesplazamiento dz� En particular para

dz � dx d f

d z�

u

x� j

v

x�A���

�V�ease Smythe y Jackson

Page 247: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

jv

z

z+dz

f

f+dfjy

x u

jdv

du

jdy

dx

(a) (b)

Figura A�� �

y para

dz � j dy d f

d z� �j u

y� v

y�A���

de forma que� si la derivada ha de ser �unica� deber�an ser iguales las partes reales ylas imaginarias de A�� y de A��

u

x�

v

y�

v

y� � u

y�A� �

Estas son las ecuaciones de Cauchy�Riemann o condiciones de analiticidad de f�z��

De estas ecuaciones es f�acil deducir que

ru � r v � � �

���r� u � �

r� v � ��A����

Ecuaciones que muestran como� dada una funci�on anal��tica arbitraria� tanto su partereal como su parte imaginaria cumplen la ecuaci�on de Laplace� siendo ortogonales entres�� las curvas u � cte y v � cte� Esto �ultimo signi�ca que si u�x� y� llena unas condicionesde contorno determinadas� esta funci�on ser�a la soluci�on del problema de potencial� lascurvas u � cte ser�an las equipotenciales y las v � cte las l��neas de campo� De esta forma�por tanteo� buscando funciones apropiadas� pueden solucionarse problema interesantes�

Como ejemplo de funciones anal��ticas simples podemos citar a las potencias de z

fn�z� � zn � �x� j y�n � rn e j n� � rn �cos n � j senn �

donde r � jzj �px� � y� y � �z � artg y

x � Recordemos que rn cos n y rn senn

eran posibles soluciones de la ecuaci�on de Laplace en coordenadas cil��ndricas� La �guraA����a representa� en el plano �x� y�� las partes real e imaginaria de z y en A����b lasde z�� En ambas �guras se muestra como� por ejemplo� las curvas ��f � � cte puedencorresponder a las curvas equipotenciales compatibles con los conductores indicados ylas ��f � � cte a las l��neas de campo el�ectrico�

Page 248: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

=cte2Re

(z ) =cte2Im

(z)=cteIm

1 2 3

(z)=cteRe

1

2

3

31 2

1

2

3

x

(a) (b)

y y

(z )

x

Figura A����

Tambi�en es interesante la funci�on

f�z� �� � z

�� z

que es anal��tica� salvo en el punto z � � �x � �� y � ��� y est�a relacionada con latransformaci�on de impedancias en l��neas de transmisi�on� La representaci�on de las curvasu � cte v � cte� para esta funci�on� recibe el nombre de diagrama de Smith� el cual serepresenta en la �gura A����

1

v=1 v=2

u=0

u=1

1

y

x

v=oou=oo

Figura A����

Los puntos donde una funci�on compleja es singular corresponden� consecuentemente�con singularidades del campo�

Page 249: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

A�� Soluci�on aproximada de las ecuaciones de Poisson y

Laplace

A�� Introducci�on

Ya hemos visto que solo en casos muy espec���cos� cuando la estructura es simple y elgrado de simetr��a alto� es posible encontrar soluci�on anal��tica de los problemas electro�magn�eticos� En la pr�actica es a menudo necesario recurrir a soluciones no anal��ticas y deprecisi�on diversa� La disponibilidad creciente de medios de c�alculo potentes hace que lasoluci�on num�erica� al ser asequible� adquiera cada vez mayor relevancia� Conjuntamentecon el crecimiento de la capacidad de memoria y rapidez de c�alculo de los ordenadores� seest�a desarrollando un amplio arsenal de algoritmos e�caces para el tratamiento num�ericode problemas electromagn�eticos de todo tipo� Aunque queda fuera de nuestras posibili�dades el abordar este tema con un m��nimo de extensi�on� cada vez se hace m�as evidentela necesidad de prestarle una mayor atenci�on� contrapesando la importancia concedidaa los m�etodos anal��ticos de resoluci�on� Como mera introducci�on� con objeto de esbozart�ecnicas que en su mayor��a son extensibles a problemas m�as complejos� nos ocupare�mos aqu��� aunque brevemente� de los m�etodos� m�as asequibles y fundamentales� queson aplicables a la soluci�on aproximada de las ecuaciones bidimensionales de Poissony de Laplace� Una mayor extensi�on en la exposici�on de estos temas puede encontrarseen la bibliograf��a� Daremos primero una idea de los m�etodos experimentales y gr�a�cosy terminaremos el tema abordando los m�etodos num�ericos� Los dos primeros m�etodosno son muy precisos pero en ciertos casos la precisi�on es su�ciente o� al menos� la solu�ci�on obtenida constituye una buena estimaci�on primaria para utilizar como base de unm�etodo num�erico iterativo�

A�� M�etodos experimentales

Experimentalmente pueden determinarse las distribuciones de campo bien sea de formadirecta o bien haciendo uso de analog��as� No hay que olvidar que no solo son an�alogos� ennuestro contexto� los problemas irrotacionales electrost�aticos� magnetost�aticos y de con�ducci�on� sino que existen problemas equivalentes en mec�anica de �uidos� calor� gravedad�elasticidad� variables estoc�asticas� etc�� por lo que cualquier problema correspondientea un cierto tipo de campo y a unas ciertas condiciones de contorno puede encontrar unaanalog��a� f�acilmente modelable y mesurable experimentalmente� en otro tipo de campo�Veremos m�as adelante� cuando tratemos el M�etodo de Montecarlo� como la analog��a conlas leyes del azar nos permiten plantear una experiencia de computadora conducente ala soluci�on de la ecuaci�on de Laplace�

Desde el punto de vista f��sico� la analog��a m�as utilizada es la existente con los prob�lemas de conducci�on� Cuando la geometr��a del problema es bidimensional se puededeterminar la estructura de curvas equipotenciales haciendo uso de l�aminas cuya re�sistencia por cuadrado Rc �

�� e � donde e es el espesor de la l�amina� sea uniforme� Estas

l�aminas pueden ser de papel especial� papel Teledeltos� o de l��quido ligeramente conduc�tor� m�etodo de la cuba electrol��tica� El dispositivo experimental es el que se muestraesquem�aticamente en la �gura A����

Page 250: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

σ

ooσ

V

Lamina deconductividadfinita σ

oo

Figura A����

En el caso del papel Teledeltos� se pintan los electrodos con una pintura altamenteconductora y entre ellos se establece la diferencia de potencial correspondiente� Mi�diendo con un volt��metro de alta impedancia el potencial de cada punto de la zonaentre electrodos� podemos establecer experimentalmente la estructura de las super�ciesequipotenciales de un problema de Dirichlet para la ecuaci�on de Laplace�Este tipo de procedimientos� en las mejores condiciones� proporciona soluciones

v�alidas dentro de un margen de error de varias unidades por ciento�

A�� M�etodos gr�a�cos

Los m�etodos gr�a�cos son menos precisos pero m�as sencillos de ejecutar� Gr�a�camentepueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y� con algo m�as de di�cultad�problemas con simetr��a axial �Popovic� e incluso problemas de Poisson� Consideraremossolamente campos laplacianos bidimensionales� Sea un campo

�F �x� y� � �r f�x� y�

que cumpla la ecuaci�on de Laplace

� f

x��� f

y�� �

Consideremos un tubo elemental de �ujo de espesor �z � �� Si � es la distancia a lolargo de las lineas de campo y � la distancia a lo largo de las equipotenciales� el campoF y el �ujo �� que circula por el tubo� vendr�an expresados por

F �� �f

��� �� � F ��

Page 251: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

ηΔ

z=1Δ

Plano xy

f=ctelinea F

ξ

ηA

B

ξΔ

Figura A����

Para �� y �� su�cientemente peque�nos�Puesto que el �ujo que atraviesa a las secciones �A� y �B� es el mismo

F �� � F ���� ��f

���� �

��f���

���

Si dibujamos dos familias de curvas ortogonales� compatibles con las condiciones decontorno� que formen una cuadr��cula curvil��nea lo su�cientemente tupida y que cumplala condici�on� para cada cuadrado curvil��neo�

��

��� ������

� � �A����

tendremos que�� � ��� � � f � �� f �A����

Hecho esto� habremos dividido el espacio problema en tubos elementales de �ujo� decorriente� de campo el�ectrico o de campo magn�etico� por cada uno de los cuales circulael mismo �ujo ��� y en zonas separadas por equipotenciales equiespaciadas en �f �As��� pues� si el medio es un conductor de conductividad �� habremos dividido el

plano en cuadrados curvil��neos� tanto m�as pr�oximos a cuadrados rectos cuanto m�as �nasea la divisi�on� de resistencia

Rc ��V

j� ���V

� E ���

�� � z � � �A����

Si el problema es electrost�atico� el �ujo de �D que circula por el tubo puede rela�cionarse con la densidad de carga super�cial �s

�� � D�S � �E � � �s� � � �Q

y la capacidad equivalente del cuadrado ser��a

Cc ��Q

�V�

�E �

�V� � � � z � � �A���

Page 252: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

Por el mismo procedimiento podemos comprobar que la reluctancia de un cuadradode material magn�etico es

Rc ��

�� � z � �

Para calcular los par�ametros de un macrorect�angulo de N� tubos y Nf equipoten�ciales� basta con tener en cuenta que

� � n��� � f � Nf � f �A����

Como se deduce de A���� A�� y A���

RC � � ��

. . .

φ

Νφφ = φΔ

Ν f

Δ f

Δ f

Δ φ Δ φ

Δ f=Νf f

. . .

Ν

Figura A���

Para dibujar las familias de l��neas de campo y curvas equipotenciales� son �utilesuna serie de reglas y� muy especialmente� la experiencia� Existen t�ecnicas aplicables aregiones con m�as de un diel�ectrico y con fuentes� pero aqu�� solo citaremos las reglasb�asicas para medios homog�eneos sin fuentes�

Fijaremos nuestra atenci�on en un problema de conducci�on�

�� Dibujar el contorno del problema�

�� Dibujar un n�umero adecuado de equipotenciales� con �V � cte� teniendo encuenta que los electrodos son equipotenciales y que las l��neas de campo el�ectricoson tangenciales a las super�cies de separaci�on con los medios no conductores y�por tanto� las equipotenciales son perpendiculares a las mismas� Si existen zonasdonde presumiblemente el campo sea uniforme� es aconsejable empezar el dibujopor esa zona�

�� Tener tambi�en en cuenta que� por el poder de la puntas� el campo es m�as intensoen las zonas super�ciales convexas de la super�cie de los conductores� por lo quelas equipotenciales se acercan a estas zonas y se alejan de las c�oncavas�

Page 253: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

� Dibujar las l��neas de campo procurando guardar� al mismo tiempo� la ortogonali�dad con las equipotenciales y la regla de cuadrado �A���� �� � ��� Las posiblesfracciones de cuadrado pueden ignorarse en un principio�

�� En las regiones de campo d�ebil pueden aparecer pol��gonos curvil��neos que di�eranconsiderablemente del cuadrado por lo que podr��a ser necesario subdividirlos encuadrados menores�

�� Reiterar este proceso hasta que las reglas anteriores se cumplan de la forma m�asrazonable posible� Para �esto puede utilizarse l�apiz y goma de borrar o� mejor a�un�un papel milimetrado para los contornos y papel transparente para las sucesivasiteraciones�

En las �guras se muestra la funci�on dual que� en este tipo de problemas� ejercenlas l��neas equipotenciales y las de corriente� las super�cies electr�odicas y las interfaciesconductor�diel�ectrico�

Dielectrico

V Dielectrico

Dielectrico

V

σσ

Figura A����

A��� M�etodos num�ericos

La resoluci�on num�erica de problemas� como los que nos ocupan� requiere alg�un tipo dediscretizaci�on de los mismos� Mientras que la soluci�on anal��tica da informaci�on conti�nua y de precisi�on ilimitada para todos los puntos del volumen problema� la soluci�onnum�erica solo es factible para un n�umero �nito de puntos� para un n�umero �nito decoe�cientes� etc�� y ha de expresarse con un n�umero limitado de cifras signi�cativas�

La variedad de m�etodos num�ericos es considerable y es �este un campo en continuaexpansi�on� Aqu�� solo introduciremos dos tipos de m�etodo� el de diferenciaci�on �nita� enel cual la ecuaci�on de Laplace y las condiciones de contorno se expresan como ecuacionesen diferencias �nitas� y el variacional� en que el problema se plantea en t�erminos de lab�usqueda del extremo de un funcional adecuado� Cualquiera que sea el planteamiento�

Page 254: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

en la mayor��a de los m�etodos se llega a un sistema de ecuaciones cuya resoluci�on puedeabordarse de diversas formas� Matricialmente� estas ecuaciones pueden expresarse comoeA � �x � �b �A����

�x � eA�� ��b �A����

donde las componentes del vector inc�ognita �x pueden representar a los potenciales deun conjunto de puntos del espacio problema o� simplemente� a los coe�cientes de undesarrollo�Cuando las dimensiones de eA son relativamente modestas� es posible resolver el

sistema de ecuaciones invirtiendo directamente dicha matriz� En la pr�actica este nosuele ser el caso� lo que obliga a emplear medios iterativos de soluci�on cuya e�cacia� eincluso convergencia� est�an frecuentemente asociadas a la existencia de una adecuadaprimera estimaci�on de los resultados�

A��� M�etodo de diferencias �nitas

Para ilustrar el fundamento de este m�etodo �Popovic� Ramo et al�� Godunov�� �guraA���� estableceremos una malla uniforme y rectangular sobre el volumen tridimensionaldel problema� S�olo romperemos la regularidad de la malla en el contorno� sobre el quesituaremos nudos en los puntos de intersecci�on con las ramas de la misma�

...

...

f 4

f 1

f 1

f 2

f 2

f 3

f 3f 4

δ

I

δδ 3δ 4

1

2

1 2 3 4 5 6

7

Ν−1 Ν

ab

n

x

y

δ

δ

δ

...

...

Figura A����

De esta forma se obtienen estrellas regulares� como la correspondiente al puntoI � �xi� yi� y sus cuatro vecinos

�xi � �� yi� � �xi� yi � ��

Page 255: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

y estrellas irregulares� que contienen puntos del contorno� como la que rodea a J ��xj � yj�� compuesta por nudos a distancias desiguales de J � En general� los puntosvecinos son

�xj � ��� yj� � �xj � ��� yj� � �xj � yj � �� � �xj� yj � ��

En cualquier caso� si las � son su�cientemente peque�nas� podemos desarrollar elpotencial en serie de Taylor alrededor de cualquier nudo �x� y�

f�x� �� y� � f�x� y� � � f

x��

���

� f

x��O���

Dando a � los valores ��� sumando y despreciando t�erminos de orden O���� obten�emos

� f

x�� f�x� �� y� � f�x� �� y�� �f�x� y�

��

y

r� f � �

���f� � f� � f � f � f�� �A����

donde� v�ease la �gura anterior� para simpli�car la notaci�on� se ha escrito f� �f�x� y�� f� � f�x� �� y�� etc�Para las estrellas irregulares podemos aproximar r� f dando a � los valores �� y ��

en el desarrollo en la direcci�on x y � y � en el correspondiente a la direcci�on y�Despejando las derivadas segundas se obtiene

r� f � � f� � � f� � f � f � � f� �A�� �

donde los coe�cientes correctores son

� ��

�� ��� � ���� � �

�� ��� � ���� �

� �� � ��

��

� �� � ��� � �

��

�� ���

� �

�En general� si la divergencia del campo en cada punto es D�� obtenemos las siguientes

ecuaciones en diferencias �nitas

f� ��

�D� �

Xl��

l fl

��A����

Estableciendo esta ecuaci�on para todos los nudos interiores del volumen problema ��i � � � � �N tendremos N ecuaciones con N inc�ognitas�Si al nudo i le corresponde una estrella regular� los coe�cientes son todos iguales

a la unidad� En caso contrario toman los valores indicados anteriormente�Las ecuaciones A��� forman un sistema de N ecuaciones no homog�eneas que puede

expresarse de la forma A���� donde eA es� para N grande� una matriz de tipo disperso� en ingles � sparse��� con pocos elementos no nulos� �x es el vector inc�ognita cuyoscomponentes son los N potenciales de los nudos internos y �b el vector de datos� cuyas

Page 256: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

componentes son combinaciones lineales de las divergencias Di y de los potenciales delos nudos frontera� fa� � � � fn�De esta forma queda planteado el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet�

El planteamiento de condiciones tipo Neuman exige alguna elaboraci�on adicional quereferiremos a la bibliograf��a�

A �� � � Resoluci�on iterativa del sistema de ecuaciones

Ya hemos dicho que� cuando N es grande� la inversi�on directa del sistema de ecuacionesno es factible� No obstante� si la matriz eA es dispersa� como es nuestro caso� el sistemaresultante se presta a una soluci�on iterativa aproximada� Como en todo proceso iterativo�se hace necesaria una estimaci�on previa del resultado �x �� Algunos algoritmos de soluci�onson incondicionalmente convergentes� por lo que la justeza de la estimaci�on inicial noes cr��tica en este sentido� pero el n�umero de iteraciones necesarias para alcanzar unacierta precisi�on depende siempre de c�omo de cercana est�e la primera estimaci�on de lasoluci�on real� Mencionaremos s�olo el m�etodo de Iteraci�on simple y el de Relajaci�on�El primero consiste en aplicar reiterada y ordenadamente� m � � � � �N la expresi�on

A���

fkm ��

m

�Dm �

Xl��

l fl

��A����

El valor de potencial en el nudo m� en la iteraci�on k � esima� se estima en funci�onde los potenciales fk��l � estimados en la iteraci�on anterior� de los nudos de su estrella�El proceso iterativo se termina cuando se alcanza un grado de convergencia ade�

cuado� es decir� cuando la diferencia entre dos estimaciones sucesivas� xk�� y xk es losu�cientemente peque�na�Una notable mejora sobre el m�etodo de iteraci�on simple lo constituye el m�etodo de

relajaci�on� En este m�etodo� teniendo en cuenta la expresi�on A���� se de�ne un residuo�para cada uno de los nudos m�

Rtm �

m

�Dm �

Xl��

l fl

�� f tm �A����

donde f tm es la �ultima estimaci�on disponible del potencial del nudo m en el instante ten que se va a proceder a aplicar la expresi�on anterior�Evidentemente� si las estimaciones f tm fueran exactas� el residuo seria nulo� Si una

vez calculado el residuo Rtm lo relajamos� es decir� modi�cando el potencial del nudo m

mediante la suma de dicho residuo

f t��m � f tm �Rtm Rt��

m � �

anulamos el residuo del nudom pero modi�camos el de los restantes nudos de la estrella�Si la estrella es regular� el residuo de cada una de las puntas aumenta en �

Rtm� con lo que

el residuo global de la estrella queda inalterado� S�olo en las estrellas correspondientes anudos vecinos al contorno aparece una modi�caci�on del residuo global� En la pr�acticaresulta m�as conveniente relajar los residuos de acuerdo con la expresi�on

f t��m � f tm � aRtm

Page 257: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

Cuando a � � se dice que el proceso es de sobrerelajaci�on y� cuando a � �� desubrelajaci�on�

Aunque existen reglas pr�acticas para la relajaci�on manual � los ordenadores nece�sitan algoritmos sistem�aticos� Suele utilizarse una sobrerelajaci�on� con � � a � ��

El proceso de relajaci�on termina cuando todos los residuos alcanzan valores inferioresa una cota pre�jada�

A��� M�etodo de Montecarlo

Aunque este m�etodo no sea el m�as apropiado para resolver el problema que nos ocupa�su implementaci�on es simple e instructiva�

El m�etodo de Montecarlo� como apuntamos anteriormente� hace uso de la analog��aexistente entre las leyes que gobiernan a ciertos procesos aleatorios� o estoc�asticos� ylas que rigen para otro tipo de procesos� Siendo un m�etodo num�erico� cabr��a clasi�carlom�as propiamente con los m�etodos experimentales puesto que en �el no se resuelve direc�tamente la ecuaci�on sino que se genera el proceso estoc�astico y se miden sus resultados�

Las t�ecnicas de Montecarlo se aplican con �exito a la resoluci�on de problemas muydiversos no solo problemas f��sicos� A continuaci�on daremos una mera ilustraci�on decomo es posible dise�nar un proceso aleatorio� regido por la ecuaci�on de Laplace en suversi�on de diferencias �nitas y compatible con condiciones de contorno de tipo Dirichlet�Efectivamente� para potenciales laplacianos� D� � �� luego

f� ��

Xl��

l fl �

Xl��

pl fl �A����

donde se ha escrito

pl �l�

Es f�acil comprobar queXl��

pl � �

Esto nos permite imaginar un juego consistente en un paseo al azar por los nudosde la malla� �gura A���� desde un nudo interior determinado I hasta el contorno� Elsiguiente destino� a partir de un nudo cualquiera� ser�a la punta l de su estrella� con unaprobabilidad pl� Si el punto de partida es el centro de una estrella regular� las cuatrodirecciones posibles de marcha ser�an equiprobables �pl �

���

Si repetimos el paseo� a partir de cada nudo interior I� un n�umero de veces Lelevado �� podremos estimar la probabilidad Pij de llegar al punto J del contorno� como

Pij �LijL

� i � � � � �N � j � a� b � � �n

donde Lij es el n�umero de paseos que� partiendo de I han terminado J �

V�ease RamoEsto hace que el m�etodo no sea demasiado e�ciente�

Page 258: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

I

J

1 2 3 4 5 6

7

Ν−1

ab

n

x

y

...

Ν...

...

...

Figura A����

La media pesada de los potenciales de los nudos del contorno es

hfii �nX

j�a

Pij fj

Esto es f�acil de comprobar porque para llegar al punto J del contorno es necesariopasar por los puntos de la estrella de I� La probabilidad de pasar por l es pl� luego

Pij �

Xl��

pl Plj

de donde se deduce que

hfii �Xl��

pl hfli

Es decir� los hfii cumplen la ecuaci�on en diferencias A��� y� adem�as� en el contornohfji � fj porque dichos nudos son �nal de trayecto�En la base del m�etodo de Montecarlo� como en la de la simulaci�on de cualquier pro�

ceso aleatorio� est�a la generaci�on de una variable aleatoria� En nuestro caso la variabletomar�a solo cuatro valores� cada uno con probabilidad pl� Esto� que puede hacerse sacan�do n�umeros de una bolsa� no es estrictamente realizable con algoritmos de computadoraya que ninguna secuencia num�erica generada seg�un un proceso aritm�etico� establecidode forma precisa� es estrictamente aleatoria� No obstante pueden generarse secuenciasdeterministas� variables pseudoaleatorias� con propiedades muy pr�oximas a las de lasvariables aleatorias�

Page 259: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

A�� Principios variacionales

El m�etodo de Elementos nitos� usado en conjunci�on con un principio variacional�es�junto con el de diferencias �nitas� una de las t�ecnicas num�ericas m�as activas en lasoluci�on de problemas est�aticos y din�amicos ��Aqu�� solo podemos hacer una somera introducci�on al mismo� Recordemos que una

funci�on ��x� se dice que es estacionaria en x�� si� ��x�

x

�x�x�

� �

Cuando esto ocurre� una variaci�on elemental �x alrededor de x� produce una Primera

variaci�on �� � ��Efectivamente� se de�ne como primera variaci�on de � a

�� � ��x�

x�x � ��x� �x� � ��x�

que� efectuada sobre un punto estacionario x � x�� es nula� Estos conceptos son ex�tensibles a funciones de varias variables y a funcionales� En concreto� nos plantearemosla resoluci�on del problema de Poisson con condiciones de contorno generales� v�ease lasecci�on ������� En el volumen V del problema� debe cumplirse

r� f � �D �A���

donde f es la funci�on potencial de la que deriva el campo �F � �r f y D � r � �F �En el contorno S �jamos condiciones de Dirichlet� Neumann o mixtas� que pueden

formularse convenientemente con las expresiones

�f �S � fs ��f �S � � �A����

��n � r f � f �S � � �A����

Las condiciones de Dirichlet� expresi�on A���� �jan el valor del potencial para cadapunto de la super�cie S� por lo que la variaci�on del potencial �f en dichos puntos esnula�En las condiciones de Neumann� expresi�on A��� con � � para todos los puntos de

S� lo que �jamos es la componente normal del campo

�Fn�S � Fns � � �r f � �n�S � ��

Si en la expresi�on A��� hacemos �� � en alguna zona del contorno� las condicionesser�an mezcladas�Demostraremos que el funcional

�� � �ZV

%�

�jr j� �D

&dv �

ZS

%�

� � � �

&ds �A����

�Un tratamiento m�as amplio del tema puede encontrarse en la bibliograf��a �Cairo y Kahan�Zienkiewicz� Morse y Feshbach�

Page 260: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a�

es estacionario para �x� y� z� � f�x� y� z�� donde f�x� y� z� es la soluci�on de A��que cumple las condiciones de contorno especi�cadas� de tipo A��� o A���� Esto nospermite substituir la b�usqueda directa de la soluci�on f por la de una funci�on quehaga estacionario al funcional �� ��Efectivamente� comprobaremos que la primera variaci�on

���� ����f � �

Variando A���

�� �

ZVr � ��r � dv �z �

�I�

�ZVD � dv �

ZSf � � g � ds

Teniendo en cuenta que ��r � � r�� �� la integral �I� puede escribirse de la forma

�I� �

ZVr � �r � � dv

y� haciendo uso de la primera identidad de Green A���ZVr � �r � � dv � �

ZV�r� � � dv �

ZS�r � �n� � ds

con lo que

�� �

ZV

'r� �D�( � dv �z ��II�

ZSf�n � r � � � g � ds �z �

�III�

Vemos pues que �� � � para cualquier � arbitrario� si�

�� En V� es soluci�on de la ecuaci�on de Poisson A��� Esto anula a la integral �II���� En S� o bien �� �S � �� lo que corresponde a las condiciones de Dirichlet A����o ��n � r � � ��S � �� lo que corresponde a las condiciones mixtas A����Cualquiera de estas dos condiciones anula a la integral �III��

En particular� si en la expresi�on A��� hacemos � � � � para parte de la super�cieS� en dicha zona la componente normal del campo

Fns� � ���n � r f �S� � �

Si en el resto de la super�cie S�� se cumplen condiciones de Dirichlet

��f �S� � �

la integral �III� que se realiza sobre S � S��S� se anula� lo que nos permite hacer usodel funcional

�� � �ZV

%�

�jr j� �D

&dv

Page 261: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

V1

(a) (b)

I

VS

S

S

S

V2

1

22

1

σ

ε

j .n=0

Figura A����

Esto es �util en problemas como los de las �guras A����

La �gura A����a representa a un conductor �� �� �� entre dos electrodos ideales�� � �� y limitado en el resto de la super�cie por un diel�ectrico �� � ��� En lasuper�cie S� de los electrodos el potencial es constante y en la del diel�ectrico� S�� lacomponente normal de la corriente y la del campo son nulas�

En la �gura A����b� se representa a dos conductores� a potenciales V� y V� respecti�vamente� separados por un diel�ectrico� Por simetr��a� la soluci�on de la parte derecha esla sim�etrica de la de la parte izquierda por lo que basta con solucionar medio problema�En dicha �gura se indica la super�cie S� mediante una l��nea de puntos y la S� por otrade trazo grueso�

A �� � � M�etodo de Rayleigh�Ritz

El m�etodo de Rayleigh�Ritz consiste en aproximar la soluci�on mediante un conjuntocompleto de funciones independientes f�ig� En este caso

f �

�Xi��

i �i � fN �

NXi��

i �i

donde fN es una aproximaci�on de f en la que s�olo se hace uso de un numero �nito Nde funciones de prueba i�

Para hallar los coe�cientes variacionales i� de�nimos

N �

NXi��

ai �i

y hallamos los valores ai � i que hacen estacionario al funcional �� N � � ��i�� Estoequivale a resolver el sistema de N ecuaciones lineales simult�aneas

i� � � i � � � � �N

Page 262: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

A �� � � M�etodo de los elementos �nitos

En el m�etodo de los elementos �nitos� en vez de utilizar funciones de prueba �i de�nidasen todo volumen� se subdivide dicho volumen en M elementos �nitos Vk� dentro de loscuales se de�nen funciones de prueba k� De esta forma� el funcional puede expresarsecomo

�� � �

MXk��

�k� k�

En los problemas bidimensionales los Vk� suelen tomarse en forma triangular y lafunci�on de prueba k m�as simple posible es una forma lineal en �x� y� del tipo

k�x� y� � ak � bk x� ck y

(x ,yα)α

α, ϕ α

β, ϕ β(x β,yβ)

(x γ,yγ)

(x, y)ϕk

α

V

V

V j

l

m

(a) (b)

γ, ϕ γ

Vk

L

Vk

Figura A�� �

Puesto que k aproxima al potencial mediante tres coe�cientes �ak� bk� ck�� estospueden expresarse en funci�on de los valores del potencial en tres puntos o nudos delcontorno de Vk� � � �� ��� Estos nudos suelen tomarse en los v�ertices del tri�angulo�Si la funci�on de prueba fuera un polinomio de orden superior har��a falta de�nir unn�umero adecuado de nudos� En nuestro caso� seg�un vemos en la �gura A�� �b� dadaslas coordenadas de los v�ertices �x� y�� �x� � y�� y �x� � y��

ak �

��

�Vk

�f �x� y� � x� y�� � ��x� y � x y�� � ��x y� � x� yg

bk �

��

�Vk

�f �y� � y�� � ��y� � y� � ��y � y��g

ck �

��

�Vk

�f �x� � x�� � ��x � x�� � ��x� � x�g

donde

Vk � ��fx�y� � y�� � x��y� � y� � x��y � y��g

Page 263: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

es el � volumen� ��area� del tri�angulo�Expresados de esta manera� estos coe�cientes aseguran la continuidad del potencial

en los nudos contiguos y en la l��nea de separaci�on de cada dos elementos �nitos � �guraA�� �a�

� j� � � k� � � l� � � p� �

Hecho esto� el funcional �� � queda expresado en funci�on de los posibles valores �del potencial en los nudos � As��� por ejemplo� si se trata de resolver un problema deDirichlet en el que se �jan los potenciales de los nudos del contorno L� solo losQ restantesnudos internos pueden ser variados para buscar el valor estacionario� Deberemos� por lotanto� resolver un sistema de Q ecuaciones lineales

� � � � � � � �Q

de las que obtendremos las soluciones que aproximan al potencial en los nudos del recintoy� con ayuda de A�� y A���� las funciones k�

El m�etodo de los elementos �nitos� entre otras ventajas� presenta una gran versatil�idad para problemas no homog�eneos y con discontinuidades� con contornos complejos ycon zonas donde interesa obtener soluciones m�as precisas�

A��� Problemas

a��� Hallar el campo el�ectrico producido por un anillo circular de radio a cargado uni�

formemente con una carga total Q en un punto cualquiera del espacio�

a��� Una esfera met�alica de radio a est�a dividida en dos hemisferios aislados entre s���

Calcular el momento dipolar de la esfera cuando ambos hemisferios se conectan a

tensiones de �V y �V voltios� respectivamente�

a��� Calcular el potencial en la regi�on comprendida entre dos electrodos planos y parale�

los� a potencial nulo� colocados en x � � y x � a y un tercer electrodo a potencial

V� colocado en y � ��

a��� Calcular el potencial en la regi�on comprendida entre dos electrodos planos y par�

alelos� a potencial nulo� colocados en x � � y x � a� limitados a ambos lados por

otros dos electrodos a potenciales V� y V� y situados en y � � e y � b�

a��� Hallar el potencial en la regi�on encerrada por cuatro planos conductores colocados

en x � �� x � a� y � � e y � b� a potenciales V�� V�� V y V � � respectivamente�

a��� Una de las placas de un condensador plano tiene una peque�na protuberancia hem�

isf�erica de radio a� Calcular la perturbaci�on que la misma produce sobre el poten�

cial�

a��� Una esfera conductora de radio a se coloca en un campo el�ectrico uniforme E��

Hallar el potencial y el campo el�ectrico en cualquier punto del espacio y en lossiguientes casos�

Page 264: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a��

a� La esfera tiene una carga total Q�

b� La esfera est�a a potencial cero�

a��� Una esfera diel�ectrica de radio a y constante diel�ectrica �� se encuentra sumergida

en otro diel�ectrico de constante diel�ectrica �� en el que existe un campo el�ectrico

externo uniforme E�� Calcular el campo el�ectrico en cualquier punto del espacio�

a��� Una esfera magn�etica de radio a y permeabilidad � se encuentra en el vac��o en

el seno de un campo magn�etico uniforme B�� Calcular el campo magn�etico encualquier punto del espacio�

a��� Calcular el campo magn�etico que crea una esfera de radio a uniformemente imana�da con una magnetizaci�on �M en la direcci�on del eje z�

a���� Una esfera hueca de radio interior b� exterior a y permeabilidad � se sit�ua en uncampo magn�etico uniforme B�� Calcular H en la cavidad�

a���� Consid�erese una esfera de radio a cargada con una densidad uniforme de �C �m��� La esfera tiene una cavidad esf�erica exc�entrica de radio b� Calcular el campo

el�ectrico en el hueco�

a���� Un cilindro de radio a por el que circula una corriente I tiene un hueco cil��ndrico

exc�entrico� centrado de b y de radio c� Calcular el campo magn�etico en el hueco�

a���� Utilice el m�etodo de Green para calcular el potencial en la regi�on z � � debido

a una distribuci�on de potencial V �x� y� �� � F �x� y�� tal que F �x� y� � � para

x� � y� ���

a���� Consid�erese una esfera conductora de radio a dividida en dos zonas aisladas� un

casquete esf�erico a potencial V� y el resto a potencial cero� Utilice el m�etodo de

Green para calcular el potencial en cualquier punto del eje de simetr��a del casquete

esf�erico�

a���� Una carga puntual q se sit�ua a una distancia d de un plano conductor innito

conectado a tierra� Obt�engase la carga total inducida sobre el plano integrando

directamente la densidad de carga supercial inducida en el mismo�

a���� Dos cargas puntuales� q� y q�� se colocan cerca de un plano conductor de extensi�on

innita� H�allense las cargas imagen necesarias para hacer que el plano sea una

supercie equipotencial� Del resultado obtenido � puede predecirse la distribuci�on

de carga imagen necesaria para el caso de un cuerpo de forma arbitraria� con

densidad de carga �� colocado frente al plano conductor�

a���� Un dipolo �p se orienta normalmente a un plano conductor innito y a una distan�

cia d del mismo� El plano est�a a potencial cero� Calc�ulese la fuerza ejercida por

el dipolo sobre el plano�

a���� Hallar el trabajo m��nimo necesario para llevar al innito a una carga q desde unadistancia d � x de un plano conductor indenido a potencial nulo�

Page 265: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a�

a��� Una carga q� de masa m� pende de un hilo de longitud l sobre un plano conductor

a potencial nulo� Si se desplaza ligeramente de su posici�on de equilibrio y se deja

libre� hallar el movimiento de la carga�

a���� Consid�erense dos semiplanos conductores perpendiculares conectados a tierra�

Frente a ellos se coloca una carga puntual a distancias a y b de ambos� Calcu�

lar�

a� La fuerza ejercida por la carga sobre ambos conductores�

b� La densidad de carga inducida sobre los conductores�

a���� Estudiar como se puede resolver el problema de una esfera met�alica de radia a� apotencial V�� frente a un plano conductor a potencial cero� Consid�erese como dato

conocido la distancia entre el centro de la esfera y el plano�

a���� Un hilo conductor que transporta una corriente I est�a situado en el centro de una

regi�on vac��a entre de dos bloques ferromagn�eticos con � � � y separados una

distancia d� Calcular el campo magn�etico en la regi�on entre los dos bloques�

a���� Un hilo conductor por el que circula una corriente I es paralelo a un bloque fer�

romagn�etico con � � � y est�a situado a una distancia d del bloque� Calcular el

campo magn�etico en el semi�espacio donde esta el hilo� Calc�ulense las corrientes

superciales inducidas en el bloque as�� como las densidades de polos magn�eticos�

a

a/2

a/2 a

I

o

P

Figura A����

a���� Calc�ulese el campo magn�etico en el punto P de la gura A��� Por el conductor cir�

cula una corriente I y esta situado a una distancia d del material ferromagn�etico�

a���� Un electrodo semiesf�erico� de muy alta conductividad� se introduce en la Tierra

conductor pobre�� Determinar la resistencia del sistema si �uye una corriente Idesde el electrodo a la Tierra� Discutir que suceder��a si una persona que tenga un

calzado no aislante se aproxima al electrodo� Sup�ongase que la conductividad de la

Tierra es � � ���� S �m��� que la corriente que entra al electrodo sea de ����A� que uno de los pies est�a a una distancia de �m del electrodo y que la distancia

Page 266: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

entre ambos pies es de ����m� � A qu�e tensi�on se ver�a sometida dicha persona�

Calcular el campo el�ectrico sobre la supercie de la Tierra�

a���� Dos electrodos semiesf�ericos de radio a se introducen en la Tierra separados una

distancia d� siendo d � a� Calcular la resistencia entre ambos electrodos� Con�sid�erese para la Tierra el valor de � dado en el problema anterior�

Page 267: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

a���

Page 268: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice B

Campo magn�etico terrestre

Es conocido desde la antiguedad que la Tierra tiene un campo magn�etico asociado�Gilbert� seg�un puede leerse en su libro �De Magnete�� publicado en el ������ tall�o unapiedra magn�etica en forma de esfera y comprob�o que las l��neas de fuerza se proyectansobre su super�cie en direcciones an�alogas a las marcadas por la aguja de marear sobre lade la Tierra� Llevado por esta experiencia concluye que esta �ultima constituye realmenteun immenso im�an�

Solo recientemente se ha podido llegar al convencimiento de que la causa es fun�damentalmente otra� el n�ucleo terrestre se con�gura en una dinamo cuyos camposmarginales son los que observamos desde el exterior� Actualmente existen fundamentoss�olidos para pensar que el mecanismo de dinamo� en solitario o acompa�nado de otros�existe en la mayor parte de los objetos celestes� los cuales est�an dotados de camposmagn�eticos globales que permean a todo su volumen y que juegan un papel primordialen la explicaci�on de sus propiedades y estructura� Estos campos son fuertes y dan lugara una intensa actividad su importancia solo es comparable a la del campo gravitatorio�

B�� Estructura b�asica de la Tierra

La estructura del planeta Tierra es muy compleja y en parte poco conocida� A contin�uaci�on se da una visi�on simpli�cada de la misma con objeto de apoyar la descripci�onde la forma y el origen del campo magn�etico�

El planeta puede considerarse que consta de dos partes fundamentales� separadaspor una brusca variaci�on de la densidad de masa� Esta interfaz� usualmente llamadaSuper�cie Terrestre� separa a la Tierra Interna� con densidades de � a �� gr � cm�

y forma casi esf�erica de radio R � ����� Km� y a la Tierra Externa� poco densa� deforma muy variable y que se extiende a unos �� R por la parte diurna y a m�as de �� Rpor la nocturna� Ambas partes est�an impregnadas por el campo magn�etico terrestre� oMagnetosfera� y viajan solidariamente a traves de la capa externa del Sol� que recibe elnombre de Viento Solar� Este est�a constituido por materia ionizada y campo magn�eticoprocedentes del Sol� Es precisamente el frente supers�onico de choque� producido por lavelocidad relativa supers�onica entre el viento y la Tierra� el que comprime y deformafuertemente a la magnetosfera externa� como se muestra esquem�aticamente en la �gura

b��

Page 269: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

R=Radio terrestre

Frente de choque Magnetopausa

Cola magnética

VientoSolar

Magnetosfera

1010 20 40

Figura B��� Magnetosfera

B���

La Biosfera ocupa los primeros estratos de ambas partes de la Tierra� Se caracterizapor contener corteza� aire y agua� La primera es s�olida y los segundos �uidos� todos pocoionizados� malos conductores y con una composici�on� densidad y temperatura aptos parala generaci�on y el sustento de la vida� Aunque el efecto del campo magn�etico terrestre seaaparentemente poco relevante en la experiencia cotidiana� es necesario tener en cuentaque la biosfera existe� tal y como hoy la conocemos� porque la magnetosfera externaactua de escudo protector contra el viento solar repeliendo o atrapando a la mayorparte de la materia ionizada� Sin esta protecci�on la vida ser��a dif��cil durante los brevesepisodios de inversi�on del campo magn�etico principal� en los cuales esta protecci�ondecrece en e�cacia� parece comprobado un brusco aumento de las mutaciones gen�eticas�

Por encima de la super�cie� de los �� � �� Km hasta unos ���� Km� se encuentrala Ionosfera� Esta es una zona ionizada y altamente conductora cuya estructura esmuy compleja y con variaciones marcadas y r�apidas� Alrededor de un �+ del campomagn�etico super�cial se debe a corrientes aposentadas en estas regiones�

La super�cie es bien conocida y tambien lo es en parte la Tierra externa� A esteconocimiento contribuyen considerablemente los sat�elites arti�ciales� por ejemplo los dela serie COSMOS� Del interior� salvo en lo que concierne a la corteza super�cial� solose dispone de informaci�on indirecta proporcionada por la sismolog��a y por conjeturasbasadas en modelos te�orico�emp��ricos�

Bajo el suelo podemos considerar dos zonas diferenciadas desde el punto de vistael�ectrico por su conductividad� el N�ucleo� altamente conductor� y el Manto y la Cortezade conductividad peque�na aunque no despreciable� A su vez� el n�ucleo se compone de

Page 270: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

dos partes� el N�ucleo Interno� con un radio de ���� � �� Km� y el N�ucleo Externoque se extiende hasta un radio de ��� � � Km� Todo el n�ucleo es muy homog�eneo encomposici�on� fundamentalmente hierro� aunque el interno es s�olido y el externo �uido�

Se supone que el n�ucleo externo est�a dotado de un movimiento de convecci�on yde rotaci�on no uniforme que acoplado al campo magn�etico lo ampli�ca mediante unmecanismo de dinamo autoexcitada� Este movimiento convectivo no es observable di�rectamente y sus fuentes energ�eticas tampoco se conocen con certeza� Entre ellas podr�ancontarse la energ��a cin�etica de rotaci�on y la de desintegraci�on del potasio K� que sesupone disuelto en el propio n�ucleo de hecho� bastar��a una potencia modesta� la sum�inistrada por una central nuclear de tipo medio� para manterner al campo magn�eticoterrestre�

Dado que la temperatura interna sobrepasa a la de Curie m�as all�a de unos �� Kmpor debajo de la super�cie� la Tierra no puede ser el gran im�an propugnado por Gilbert� La temperatura de Curie� del orden de ���oC para los minerales de inter�es� es aquellapor encima de la cual los materiales ferromagn�eticos pasan a ser paramagn�eticos�� Latemperatura del n�ucleo se estima en unos �� ����oC�

B�� Morfolog��a del campo magn�etico super�cial

El campo magn�etico en la super�cie de la Tierra viene siendo medido sistem�aticamentedesde el tiempo de Gauss� Su obra � Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus�� publica�da en ����� puede considerarse como el punto de partida del moderno Geomagnetismo�

Puesto que la super�cie terrestre es externa a las fuentes del campo � su origen resideprincipalmente en el n�ucleo terrestre� un �+� y en la ionosfera � Este es representableen sus proximidades por un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Laplace y quepuede ser desarrollado en serie de arm�onicos esf�ericos con respecto al eje de rotaci�on y alcentro terrestre� La contribuci�on interna vendr��a representada por una serie convergentede las potencias de �a�r�� donde a es el radio de la Tierra y r la distancia al centro de lamisma� y la contribuci�on externa por una serie en potencias de �r�a�� Gauss demuestraque el promedio anual del campo total se debe solo a las fuentes internas� por lo que laaportaci�on externa varia con periodo corto sobre una media nula�

El potencial debido a las fuentes internas se expresa mediante el desarrollo�

Vint �

�Xn��

a �a

r�n�� Sn��� ��

Sn �

nXm��

Pmn �cos �� �g

mn cos �m�� � hmn sen �m���

donde Pmn son los polinomios asociados de Legendre� gmn y hmn constantes a determinar

y � y � la longitud y la latitud geogr�a�cas�

En la expresi�on anterior� los t�erminos en los cuales n � � �m � �� �� correspondena un dipolo centrado e inclinado con respecto al eje de rotaci�on� Si a esta aportaci�onse a�nade la de los coe�cientes con n � � �m � �� �� ��� el campo resultante sigue

Page 271: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b�

siendo el de un dipolo� pero descentrado� A este dipolo se le da el sobrenombre deGeomagn�etico� Sus coordenadas son �para el a�no � ��� x � ��� y � ��� z � ��� Kmy su eje est�a inclinado hacia las intersecciones� Boreal ���� �o N� ���� �o E� y Austral���� �o S� ���� �o E�� El resto de los coe�cientes representan a contribuciones multipolaresde orden superior�

El momento del dipolo geomagn�etico es actualmente

mT � �� ���� A �m�

Las medidas de Gauss muestran que la mayor contribuci�on se debe a la componentede este dipolo en la direcci�on del eje geogr�a�co �eje de giro�� Adem�as �esta resulta sermucho m�as estable que las dem�as� Las componentes dipolares orientadas en el planoequatorial geogr�a�co aportan un ��+ del campo� y las multipolares de orden superioraportan otro tanto�

En la mayor parte de la literatura se utiliza el cali�cativo �geomagn�etico� para des�ignar a los t�erminos asociados al dipolo geomagn�etico� meridianos � paralelos� etc�� As���pues� los polos geomagn�eticos son las intersecciones de eje del dipolo con la super�cie�el plano ecuatorial geomagn�etico es el perpendicular al eje geomagn�etico� etc��

En cualquier caso� el campo total� el que se mide con la br�ujula� es el dipolar ge�omagn�etico distorsionado por el resto de las contribuciones� Tambien para este campototal se de�nen polos� ecuador y meridianos magn�eticos que no coindiden con los ante�riores ni con los geogr�a�cos�

Las contribuciones no dipolares se ponen de mani�esto en los mapas magneticos enuna docena o m�as de regiones de � anomal��a magn�etica� que globalmente se desplazanen direcci�on W a la velocidad de unos �� ��o a�no�� � Esto �ultimo sugiere la posibilidadde que el n�ucleo posea una velocidad angular de giro no homog�enea� circunstancia quees determinante en el efecto dinamo�

En la �gura B���a se representa al campo magn�etico ideal que producir��a un dipolosituado en el centro de la Tierra� El campo real es m�as complejo es costumbre medirlo enla super�cie de la Tierra con respecto al sistema coordenado local y con la nomenclaturaque se indica en la �gura B���b�

F es la intensidad del campo magn�etico� X es su proyecci�on sobre la direcci�ondel polo Norte geogr�a�co en el plano horizontal� Y la proyecci�on en la direcci�on Este�perpendicular a la primera y en el plano horizontal� Z la proyecci�on en la direcci�on delNadir �vertical hacia abajo� y H la componente horizontal�

El �angulo I con que F se hunde por debajo del horizonte se llama inclinaci�on y elD con que se desvia del Norte� hacia el Este� se llama declinaci�on�

Los polos magn�eticos se de�nen como aquellos puntos en los que el campo magn�eticototal tiene una inclinaci�on I � �o �Norte� e I � � �o �Sur�� El polo Norte magn�eticose sit�ua en el norte de Canad�a y el Sur� en posici�on casi diametral� en la costa ant�artica�El ecuador magn�etico es la isoclina �curva de igual inclinaci�on� I � �� Los meridianosmagn�eticos son las curvas tangentes a la componente horizontal por lo que tampococoinciden con los meridianos geomagn�eticos que son las intersecciones de los planos quecontienen al eje geomagn�etico con la super�cie de la Tierra�

Page 272: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

N

WS

Z F

H

X

I

D

Zenit

Nadir

Plano horizontalterrestre

Y

Planomeridiano

E

H I

FZ

SN

(a) (b)

Figura B��� Componentes del campo magn�etico super�cial

De acuerdo con las de�niciones anteriores� el campo es horizontal en el ecuadormagn�etico� con un valor de Bmax � �� �� G� y vertical en los polos� con un valor Zmax �� Bmax�

B�� Campo fuera de la super�cie

El campo en el interior del n�ucleo no es medible pero� dentro de los modelos de dinamoposibles� se le supone un valor muy superior al geomagn�etico� del orden de ��� G� y conuna geometr��a fundamentalmente toroidal � l��neas de campo rodeando la eje terrestre��El campo externo� esencialmente poloidal �debido al dipolo�� constituir��a un peque�nocampo marginal fugado del interior del n�ucleo� Es por tanto en el n�ucleo donde sealmacena la mayor parte de la energ��a magn�etica�

Por encima de la super�cie� la estructura del campo se ve modi�cada por las aporta�ciones externas� sufriendo una fuerte distorsi�on en las regiones lejanas debido a la in�teracci�on con el viento solar �v�ease la �gura B���� La magnetosfera queda delimitada deeste �ultimo por una super�cie de campo nulo que se denomina la Magnetopausa� Entreel frente de choque y la magnetopausa existe una regi�on� la Magnetovaina� donde lavelocidad y los campos del viento solar aparecen altamente perturbados� En la magne�tosfera exterior existe una serie de regiones� como los cinturones de Van Allen� y tienenlugar una gran cantidad de fen�omenos interesantes cuya descripci�on no cabe en esteespacio�

Page 273: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

B�� Variaciones temporales del campo magn�etico ter

restre

Todas las contribuciones al campo magn�etico presentan un grado mayor o menor devariabilidad temporal� Las internas son de variaci�on lenta con periodos caracter��sticossuperiores al siglo� Variaci�on Secular� Las externas var��an de forma mucho m�as r�apidaquedando practicamente anuladas en los promedios anuales�

Como ya se ha indicado� la componente dipolar en la direcci�on del eje terrestrees la m�as estable� hasta fechas recientes se pensaba que su actual orientaci�on Sur erapermanente� No obstante el desarrollo reciente de la ciencia del Paleomagnetismo hapermitido establecer cuantitativamente que esta componente varia no solo en magnitudsino en signo� habiendo cambiado su orientaci�on numerosas veces a lo largo de la historiageol�ogica de la Tierra� Su magnitud �uct�ua lentamente de forma aleatoria �era un �+superior al actual hace ��� a�nos� inferior en un ��+ hace ����� a�nos� superior en un��+ hace ������ a�nos� una cuarta parte hace ������� a�nos� pero su valor absolutose ha mantenido comparable al actual durante al menos ����� millones de a�nos� Susigno� sin embargo� sufre cambios bruscos cada ��� � �� a�nos se realizan en tiemposrelativamente cortos del orden de los ������ a�nos �ha permanecido en la direcci�on Surdurante los �ultimos ������� a�nos salvo� posiblemente� durante unos breves episodios deinversi�on�� Las componentes dipolares perpendiculares al eje var��an de forma aleatoriasobre media nula y dan lugar a una precesi�on del eje geomagn�etico alrededor del terrestrecon un periodo de �� � ��� a�nos� El promedio de la direcci�on del eje geomagn�etico�desde el Cuaternario hasta el presente� coincide con el eje de giro con una dispersi�onde unos ��o� Las contribuciones multipolares var��an m�as r�apidamente� con periodos delorden del siglo� dando lugar� entre otros efectos� a la migraci�on global hacia el Oeste delas anomal��as�

Las contribuciones externas� m�as r�apidas que las anteriores� presentan periodicidadesde �� hora� un dia� veintisiete dias� un a�no� etc� y est�an relacionadas con el movimientode la Tierra� del Sol e incluso de la Luna� Son importantes tambien las �uctuacionesaperi�odicas� como las tormentas y los pulsos magn�eticos que aparecen� con el retrasocorrespondiente� despues de los periodos de actividad exepcional del Sol�

B� Principio de la dinamo autoinducida

Como ya se ha dicho� se desconocen los detalles del movimiento convectivo del n�ucleoy sus fuentes energ�eticas y los fen�omenos a explicar son numerosos y complejos� Porotra parte la teor��a magnetohidrodin�amica de los �uidos conductores es dif��cil y suspredicciones son muy sensibles a las condiciones particulares del problema� No obstante�descartados otros posibles mecanismos de producci�on del campo� tales como la magne�tizaci�on permanente o la retenci�on del campo magn�etico primordial de la nube de polvopreestelar� la teor��a de la dinamo autoinducida es el �unico candidato �rme para la ex�plicaci�on del mecanismo de generaci�on del campo magn�etico terrestre�

Aunque no es posible extenderse aqu�� en esta cuesti�on� sobre la que actualmente sevierte un considerable esfuerzo de investigaci�on� si que es posible ilustrar al menos el

Page 274: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

Ω

B

B

I

Ι

ο

Figura B��� Autodinamo

principio b�asico de funcionamiento de este tipo de dinamos� esto es� la posibilidad deuna dinamo excitada por el campo magn�etico que ella misma produce� La dinamo dedisco homopolar propuesta por Bullard en � �� constituye un modelo� simpli�cado alm�aximo� cuyo an�alisis servir�a para este prop�osito� Corresponde al esquema de la �guraB���Consta de un disco conductor� de radio l� que gira con velocidad angular �% � %bz

alrededor de su eje� y de un solenoide� coaxial con el disco� con N espiras y resistenciatotal R� que hace contacto con el borde del disco y con su eje� Suponemos que inicial�mente existe un campo magn�etico semilla �B�� en la direcci�on del eje� al que se le a�nadeel �BI producido en la misma direcci�on y sentido por el solenoide�Los electrones que se mueven con el disco sienten una fuerza por unidad de carga

�E � ��% � �r� � �B � �rB brdonde B es el campo total� suma del inicial m�as el del solenoide� Este �ultimo puedeaproximarse al de un solenoide inde�nido� BI � ��NI� siendo I la intensidad quecircula por el mismo� La fuerza electromotriz aplicada a este �ultimo es�

E �Z l

�E � d�r � ��% l��B� �BI�

Puesto que la intensidad es I � E�R� despejando�

I ��

�R

% l�B�

�� ��% l� ��

NR

Como puede verse� existe una frecuencia cr��tica de giro

fc � %c���

R

� l� �� N

a la cual la intensidad puede ser distinta de cero y �nita en ausencia del campo inicialB�� Para un disco de radio l � � m y un solenoide con una resistencia por cada espira

Page 275: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

b��

R�N � � %� fc � �� � � ��� rev�s��� Esta frecuencia es realmente muy elevada para eldispositivo experimental en cuesti�on� pero las dimensiones del n�ucleo y los par�ametrosque caracterizan su movimiento hacen que el mecanismo de dinamo autoinducida seacon toda probabilidad el causante de la parte principal del campo magn�etico terrestre�

B�� Campo magn�etico de otros objetos celestes

Los campos magn�eticos asociados a los objetos celestes pueden tener un origen distintoal del efecto dinamo� Este puede ser el caso de las estrellas mag�eticas y los p�ulsaresque poseen un momento dipolar no alineado con el eje de rotaci�on� en muchos casosperpendicular al mismo� y campos muy superiores al del Sol �el campo solar no ser��amedible ni siquiera desde la estrella m�as cercana�� Los cuerpos grandes� conductores�densos y poco turbulentos� pueden retener el campo primordial� En cualquier caso� losobjetos lejanos no son resolubles espacialmente por lo que es dif��cil conjeturar sobre laestructura y el origen de sus campos magn�eticos�M�as observables son los planetas� el Sol y nuestra propia Galaxia� para los cuales el

�unico mecanismo posible de generaci�on del campo es el dinamo�El Sol pudiera retener algo del campo primordial en su n�ucleo no convectivo� pero

su campo externo se genera en una estrecha capa convectiva cuya super�cie superiorobservamos con detalle� El panorama presentado es extremadamente heterog�eneo y enparte sorprendente� con numerosas estructuras como los tubos magn�eticos� los granosy las manchas solares� entre las cuales se compone una fren�etica actividad� El campomagn�etico global es del orden del de la Tierra y var��a casi periodicamente con un periodode unos �� a�nos�La capa convectiva de la Tierra es relativamente m�as gruesa� es el n�ucleo l��quido�

pero no es observable ni siquiera en su super�cie�La Galaxia� sin embargo� es transparente� Se conoce su movimiento de giro no uni�

forme y el caracter turbulento del plasma interestelar� Por sus caracter��sticas conocidasno es posible que retenga una parte signi�cativa del campo primordial� Nuestra posi�ci�on de observaci�on es interior a la dinamo por lo que se detecta efectivamente un cam�po magn�etico de tipo toroidal� La componente poloidal no es medible ni tampoco lasvariaciones temporales del campo dadas las grandes contantes de tiempo del movimien�to gal�actico� Por lo que respecta a los planetas solares� solo poseen campo magn�eticoapreciable aquellos con periodos de rotaci�on cortos y con nucleo convectivo conductorsu�cientemente grande� Este es el caso de J�utiter� que tiene un periodo de unas �� horasy cuyo n�ucleo es presumiblemente una aleaci�on de hidr�ogeno met�alico y helio su campoes unas �� veces el de la Tierra� Marte� que por su baja densidad es poco probable queposea un n�ucleo comparable al de la Tierra� carece de campo o �este es muy d�ebil� Lasrocas de la Luna� sin embargo� presentan una magnetizaci�on remanente comparable conla de las terrestres lo que� dadas las circunstancias� constituye una inc�ognita de dif��cilexplicaci�on�

Page 276: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice C

Sistemas de conductores y espiras

En este cap��tulo abordaremos el tratamiento espec���co de los sistemas de conductoresen campos el�ectricos est�aticos y de espiras en campos magn�eticos estacionarios� Am�bos problemas� que tienen importancia pr�actica� no admiten� en general� una soluci�onanal��tica exacta aunque pueden simpli�carse mediante la introducci�on de coe�cientesgeom�etricos adecuados que caractericen el comportamiento global de los conductores ylas espiras� Estos coe�cientes� de capacidad o inducci�on en cada caso� pueden calcularsemediante expresiones apropiadas o medirse experimentalmente�

Estudiaremos tambi�en las fuerzas y los pares que aparecen en tales sistemas�

C�� Sistemas de conductores

C�� Coe�cientes de potencial y de capacidad

Podemos estudiar el comportamiento electrost�atico de un sistema de conductores sinnecesidad de resolver expl��citamente la ecuaci�on de Poisson�

Supongamos� como se muestra en la �gura C��� un sistema de conductores inmersosen un diel�ectrico de constante �� Comprobaremos que existe una relaci�on entre lospotenciales que adquieren los conductores y las cargas depositadas en sus super�cies�

Coloquemos una carga Qi �� � en el conductor i y hagamos Qj � � para j �� i� Estadistribuci�on de cargas crear�a en el espacio un campo cuyo potencial describiremos comoV���r� y que ser�a la soluci�on de la ecuaci�on de Laplace compatible con las condicionesde contorno impuestas�

� �

ZSj�sj ds� Qi �

ZSi�si ds � ��

ZSi�rV� � �ni� ds

donde �si es la densidad super�cial de carga en la super�cie Si del conductor i�Dado que V���r� es soluci�on de la ecuaci�on de Laplace� tambi�en lo es el potencial

V���r� � �V���r�� donde � es una constante arbitraria� el cual ser�a compatible con lacondici�on de contorno

Q�i � �� �ZSi�rV� � �ni� ds � �Qi

c��

Page 277: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

ε

1

j

N

S i

i

n

,QV jj

V ,Qi i

Figura C���

Al multiplicar V���r� por �� hemos multiplicado por la misma cantidad a los po�tenciales de las super�cies de todos los conductores y a las cargas super�ciales de losmismos� Luego� entre las cargas y los potenciales existe una relaci�on lineal de propor�cionalidad�As��� pues� si colocamos cargas arbitrarias Qi en las super�cies de los conductores Si�

la relaci�on entre �estas y los potenciales Vi de los mismos ser�a del tipo

Vi �

NXi��

PijQj�

�� V��VN

�A � �Pij�

�� Q�

�QN

�A �C���

donde los coe�cientes Pij � que llamaremos Coecientes de potencial� tienen car�actergeom�etrico y pueden calcularse en funci�on de la estructura de los conductores y de losmedios diel�ectricos en que est�an inmersos�

Invirtiendo la matriz �Pij�� obtenemos

Qi �

NXj��

CijVj� �Cij� � �Pij��� �C���

donde a la matriz �Cij� la llamaremos� gen�ericamente� matriz de los Coecientes de

capacidad� Con m�as propiedad� los elementos Cii se denominan de capacidad y los Cij �i �� j� de inducci�on�Los coe�cientes de capacidad y de potencial pueden medirse� seg�un se desprende

de C�� y C��� haciendo uso de las expresiones

Pij �

�ViQj

�Ql��

� �l �� j

Cij �

�Qi

Vj

�Vl��

� �l �� j

Page 278: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

Para medir Pij � medimos el potencial que adquiere el conductor i cuando en el jhemos colocado una carga Qj �� � y en todos los dem�as cargas nulas� Ql � � para l �� j�La energ��a del sistema de conductores se podr�a expresar� de acuerdo con ��� en

funci�on de estos coe�cientes

W ��

Xi

Qi Vi ��

Xi�j

Pij QiQj ��

Xi�j

Cij Vi Vj �C���

Antes de analizar las propiedades b�asicas de los coe�cientes� desarrollaremos unteorema de inter�es para sistemas de conductores�

C�� Teorema de reciprocidad de Green

Demostraremos que si Vi son los potenciales de los conductores i cuando sobre lassuper�cies existen cargas Qi y V �

i cuando las cargas son Q�i� se cumple la siguienterelaci�on X

i

Qi V�i �

Xj

Q�j Vj �C��

que es el Teorema de reciprocidad de Green�Para probarlo� supongamos un sistema de n cargas puntuales qi cuyas posiciones

relativas vienen �jadas por las distancias rij � La carga qj est�a situada en un punto �joen el que el potencial� debido al resto de las cargas� es

Vj ��

� �

nXi �j

qirji

donde i �� j en la sumatoria puesto que excluimos el potencial singular de la propiacarga�Si ahora colocamos cargas distintas� q�j en las mismas posiciones j anteriores

V �i �

� �

nXj �i

q�jrij

por lo que Xi

qi V�i �

� �

Xi

Xj �i

qi q�j

rij�Xj

q�j Vj �C���

Dividiendo la super�cie de los conductores en peque�nos elementos con cargas �q�como se muestra en la �gura C��� agrupando todos los t�erminos que est�an al mismopotencial y aplicando C�� se obtiene la expresi�on de partida C��En particular� si en un principio hacemos Qi � Q y Qj � �� para j �� i� y despu�es

hacemos Q�j � Q y Q�i � � para i �� j� tenemos que

V �i � Vj

Es decir� la contribuci�on al potencial del conductor j debida a una carga Q deposi�tada en el conductor i� es la misma que tendr��a lugar en el conductor i si dicha cargaQ fuera depositada en el conductor j�

Page 279: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c�

V j

V i

r ij

Figura C���

C� Propiedades fundamentales de los coe�cientes

a� Las matrices de los coe�cientes de potencial y de capaciadad son Sim�etricas�

Pkl � Plk� Ckl � Clk �C���

HagamosQk �� �� Qi � � �i �� k

Q�l �� �� Q�j � � �j �� k

por lo que� seg�un el teorema de reciprocidad

Qk V�k � Q�l Vl

y� seg�un C���

Vl � PlkQk� V �k � PklQ

�l Qk PklQ

�l � Q�l PlkQk

Pkl � Plk

de aqu�� se deduce tambi�en que la matriz de capacidad es sim�etrica�

b� Los coe�cientes de potencial son Positivos y los diagonales son mayores que los defuera de la diagonal�

Pii � Pij � �� i �� j �C���

Esta propiedad no es f�acil de probar rigurosamente� pero razonaremos sobre la �guraC�� en la que� para simpli�car� representaremos s�olo a dos conductores� En el conductor��� hemos colocado una carga positiva Q� � � y en el ��� una carga nula�Puesto que la carga de ��� es igual a la total del sistema� calculando los �ujos del

campo el�ectrico a trav�es de las distintas super�cies�

�� �

ZS�

�E � d�s � � �

ZS�

�E � d�s � Q�

�� �� �� �

ZS�

�E � d�s � �

luego� del conductor ��� parten l��neas de campo� ya que �� � �� todas las cuales debenmorir en el in�nito� porque �� � �� aunque algunas de ellas pueden pasar previamentepor el conductor ����

V� � P��Q� �

Z �

a�L��E � d�l � �

Page 280: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

S 1

S 2

S 3

L 1

L 2

L 3

Q 1 >0Q 2 =0

1 2

a

b c

o

d

o

oo

Figura C���

y� puesto que Q� � �� P�� � ��Si algunas de la l��neas que parten de ��� inciden en ���� dado que �� � �� el mismo

�ujo de la l��nea debe partir de ��� hacia el in�nito� Luego

V� � P��Q� �

Z �

d�L��E � d�l � �

P�� � ��Es tambi�en necesario tener en cuenta la posibilidad de que ninguna l��nea de campo

que parta de ��� llegue a ���� Veremos esta posibilidad en el pr�oximo ep��grafe� al estudiarel apantallamiento�Por otra parte

V� �

Z c

b�L��E � d�l � V� V� � P��Q� � V� � P��Q�

P�� � P��

C�� Apantallamiento Condensadores

Se dice que un conductor k apantalla a otro l cuando el segundo est�a envuelto totalmentepor el primero� En estas condiciones� veremos que

Plj � Pkj� Cll � �Clk� Clj � �� �j �� k� l �C���

Es decir� el conductor que apantalla asume todas las relaciones del conductor apan�tallado con el resto de los conductores�En la �gura C� se representa a tres conductores� estando el ��� apantallado por el

����Hagamos� en primer lugar� Q� �� �� Q� � Q � ��Puesto que S� envuelve al conductor ���� que no contiene carga�

�� � � �E� � � y V� � V� P��Q� � P��Q�

P�� � P��

Page 281: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

2

S 1

Q 1 +Q 2Q’’=

3

E

Q’= -Q 1

1

Q 2

Q3

1

2 Q 1

S

Figura C��

Si ahora hacemos Q �� � y Q� � Q� � �

V� � V� P�Q � P�Q

P� � P�

con lo cual queda demostrada la primera proposici�on�

Para demostrar que Cll � �Clk� hagamos Q� � �� V � ��

Por ser Q� � �� V� � V� y

Q� � C��V� �C��V� � � � �

C�� � �C��

Si ahora hacemos Q� � �� V �� �

Q� � C��V� � C��V� � C�V � �

C� � �

Como se muestra en la �gura� la super�cie S� est�a en el seno del conductor ��� y�puesto que el campo el�ectrico est�atico en el interior de un conductor es nulo�

�� �Q� �Q�

��� � Q� � �Q� �C� �

Luego� en la cara interna del conductor que apantalla aparece una carga igual ycontraria a la depositada en la super�cie del conductor apantallado� Adem�as� puestoque Q� � Q� � Q��� en la cara externa del conductor que apantalla aparece una cargaQ�� � Q� �Q��

Page 282: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

Como puede observarse� la regi�on comprendida entre ��� y ��� se comportael�ectricamente con independencia de lo que ocurre fuera de ella� por lo que se diceque est�a apantallada�Se de�ne como Condensador al conjunto de la cara interna del conductor que apan�

talla� la externa del apantallado y la regi�on intermedia� y se de�ne su capacidad medianteel par�ametro positivo

C �Q�

V� � V��� �� �C����

Puede demostrarse que

C � C�� � �C�� ��

P�� � P���C����

De�nimos la energ��a almacenada en el condensador como

WC ��

��Q� V� �Q� V�� �

�Q� �V� � V��

y� simpli�cando la notaci�on� escribiendo Q� � Q y V � V� � V��

WC ��

�QV �

�C V � �

�CQ� �C����

Los condensadores reales no pueden responder exactamente a esta de�nici�on porque�para que sean �utiles el conductor interno ha de ser accesible y para ello es necesarioromper el apantallamiento con objeto de poder conectar con �el� Adem�as� la cara externadel conductor que apantalla necesariamente acompa�na al conjunto� La construcci�on delos condensadores se lleva a cabo de forma que estas desviaciones de la idealidad nointroduzcan perturbaciones excesivas en el comportamiento de los mismos�Los condensadores reales pueden asociarse en paralelo� conectando el�ectricamente a

los conductores internos de los condensadores individuales� as�� como a los conductoresexternos�

V V VC a C ba b p C a C b Cp

Figura C���

Como puede comprobarse� �gura C�� en la conexi�on en paralelo� Vp � Va � Vb yQp � Qa �Qb � Ca Va � Cb Vb � �Ca �Cb�Vp

Cp � Ca � Cb �C����

La conexi�on en serie� entre capacidades reales� necesita una consideraci�on m�as de�tallada� que no vamos a hacer aqu���

Page 283: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

V

Ed

εS>>d

2

+Q-Q

Figura C���

El condensador m�as simple� �gura C��� es el condensador plano� consistente en dosplacas met�alicas planas� de super�cie S� situadas a una peque�na distancia d y entre lascuales hay un diel�ectrico de constante ��

Despreciando el Efecto de bordes� es decir� suponiendo que el campo el�ectrico en elinterior� salvo en una peque�na regi�on cercana a los bordes� es uniforme� como si lasplacas fueran inde�nidas� es f�acil calcular la capacidad de este condensador�

C � �S

d

C�� Fuerzas y pares en sistemas de conductores

El c�alculo de las fuerzas y los pares que act�uan sobre las distintas partes de un sistemael�ectrico dado suele ser complicado pero� bajo ciertas circunstancias� los principios deconservaci�on de la energ��a pueden facilitar esta tarea�

Supongamos un sistema est�atico de conductores y diel�ectricos� con coe�cientes Pij�Cij�� cargas Qi y potenciales Vi determinados�

Con objeto de calcular la fuerza que act�ua sobre una cualquiera de sus partes� imagi�nemos transformaciones lentas del sistema anterior con la posible participaci�on de unafuente de energ��a externa� Puesto que la fuerza en cuesti�on tiene lugar en una situaci�onest�atica� su valor no depender�a de la transformaci�on que imaginemos� aunque s�� suexpresi�on formal� Veremos como� haciendo el balance energ�etico de dos transformacionesdistintas� obtenemos dos expresiones distintas� pero equivalentes� de la fuerza�

Supongamos� en primer lugar� que el sistema est�a aislado y que en los conductoreshay unas cargas Qi� En situaci�on est�atica� fuerzas mec�anicas equilibran a las el�ectricas�de forma que ninguna de las partes del sistema puede desplazarse o girar� Si� por un ins�tante� relajamos la fuerza mec�anica que act�ua sobre una parte determinada del sistema�las fuerzas el�ectricas realizar�an un trabajo elemental

dWel � �F � d�l

Page 284: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c�

donde �F es la fuerza el�ectrica y d�l el desplazamiento de la parte en cuesti�on�Puesto que el sistema est�a aislado� la �unica fuente de energ��a disponible para realizar

este trabajo es la energ��a potencial dW � luego

dW � dWel � �

el trabajo se realiza a expensas de una disminuci�on equivalente de la energ��a potencial�por lo que� escribiendo

dW � rW � d�ltenemos que

�F � ��rW �Q �C���

donde el sub��ndice Q indica que� al estar el sistema aislado� las cargas Qi de los con�ductores han debido permanecer constantes en la transformaci�on �cticia�Si la parte sobre la que relajamos las fuerzas mec�anicas realiza un giro� en vez de

un desplazamiento� tendremosdWel � �T � d��

donde �T es el par el�ectrico actuante y d�� el �angulo girado alrededor de b�� Tenemos�pues� que

�T � ��r�W �Q� r� � bei

�i�C����

Tambi�en podemos imaginar unas transformaciones en las que sean los potenciales Vilos que permanezcan constantes y no las cargas Qi� �gura C��� Bastar��a la utilizaci�on deunas bater��as que mantuviesen constantes a los potenciales durante la transformaci�on�

iV

Q

dQ i

i

Figura C���

Esto implica que para mantener constante el potencial Vi del conductor i� debesuministrarse una carga dQi y� por lo tanto� todas las bater��as suministrar��an al sistemauna energ��a

dWb �NXi��

Vi dQi

con lo que ahora el balance energ�etico ser�a

dW � dWel � dWb

es decir� el trabajo que realizan las fuerzas el�ectricas se equilibra con un aporte deenerg��a externa y con un decremento de la energ��a potencial�

Page 285: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

Pero� al ser Vi � cte� seg�un C��

dW ��

NXi��

Vi dQi ��

�dWb

ydWel � dW

de donde deducimos que

�F � �rW �V �C���a�

�T � �r�W �V �C���b�

y� volviendo a hacer uso de las expresiones C��� podemos escribir C��� C��� y C��� dela forma

�F � ���

NXi��

NXj��

QiQjrPij � ���

NXi��

V� Vj rCij

Para el par se obtienen expresiones an�alogas�

C�� Sistemas de espiras

C�� Coe�cientes de inducci�on de un sistema de tubos de corrienteo espiras

Existe un paralelismo formal entre el tratamiento que se da a los sistemas de espiras enpresencia de un campo magn�etico estacionario y el que se ha dado a los conductores enun campo electrost�atico� El �ujo � cortado por una espira jugar��a aqu�� el papel an�alogoal del potencial V del conductor� la intensidad tendr��a su an�alogo en Q y el coe�cientede inducci�on magn�etica Lij en el el�ectrico Pij �No obstante� la expresi�on C�� nos ofrece la alternativa de de�nir los coe�cientes geo�

m�etricos en funci�on de la energ��a almacenada en el campo� Con objeto de no restringirnosal tratamiento de espiras y poder englobar en nuestro tratamiento a los tubos de corri�ente� para los cuales no est�a de�nido el �ujo� tomaremos esta �ultima alternativa en lade�nici�on de los coe�cientes de inducci�on�Supongamos� �gura C��� en principio� un sistema de N tubos de corriente estacionar�

ia recorridos cada uno por una densidad de corriente �ji y una intensidad Ii�Demostraremos que la energ��a magn�etica almacenada en los campos generados por

el sistema de corrientes puede expresarse como funci�on cuadr�atica de las intensidadestotales que circulan por cada uno de los tubos�

W ��

NXj��

NXj��

Lij Ii Ij �C����

donde Lij son coe�cientes geom�etricos� independientes de las intensidades que circulanpor los tubos de corriente�

Page 286: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

I

I

ijr

i

j

1=1... N

j

i

j

j

Figura C���

La matriz �Lij� es sim�etrica� como veremos m�as adelante� Los elementos diagonalesLii � Li reciben el nombre de Coeciente de autoinducci�on de la espira i y los de fuerade la diagonal� Lij �i �� j� el de Coecientes de inducci�on mutua entre la espira i y la j�Antes de comprobar que es posible esta expansi�on cuadr�atica de la energ��a del campo

en funci�on de las intensidades� haremos algunas consideraciones�Supongamos que todas las intensidades son nulas salvo la Ii y la Ij

W ��

�Li I

�i �

�Lj I

�j � Lij Ii Ij

donde hemos tenido en cuenta la simetr��a de los coe�cientes de inducci�on� Lij � Lji�Tenemos pues� tres t�erminos energ�eticos diferenciados�

W �Wi �Wj �Wij

de los cuales� los dos primeros corresponden a las energ��as propias de los tubos i yj� y el tercero a la energ��a de interacci�on entre ambos� As��� pues� si realizamos unatransformaci�on en la que lo �unico que cambie sea la posici�on mutua entre el tubo i y elj� los t�erminos Wi y Wj permanecer�an invariables� mientras que Wij cambiar�a de valor�La de�nici�on que hemos hecho impl��citamente de los coe�cientes de inducci�on puede

concretarse en las expresiones

Li ��Wi

I�iy Lij �

Wij

Ii Ij�C����

A continuaci�on comprobaremos el car�acter geom�etrico de los coe�cientes de induc�ci�on�Seg�un se vio en la secci�on ��� para medios lineales� la energ��a magn�etica puede

calcularse por medio de la integral

W ��

ZVT

�j � �A dv ��

NXi��

ZVi�ji � �A dvi �C�� �

Page 287: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

donde VT �PN

i�� Vi� Vi y �ji son el volumen y la densidad de corriente del tubo i�

mientras que �A es el potencial vector producido por todos los tubos de corriente� Seg�unla �gura C��� el potencial producido en la regi�on del tubo i ser�a la suma de las con�tribuciones de todos los tubos� incluido el i� Para medios homog�eneos

�A ��

NXj��

ZVj

�jjrij

dvj

con lo que

W ��

NXi��

NXj��

��

ZVi

ZVj

�ji ��jjIi Ij rij

dvi dvj

�Ii Ij

De aqu�� se deduce que

Lij ��

ZVi

ZVj

�ji ��jjIi Ij rij

dvi dvj �C����

Esta es la f�ormula de Neumann en la que se aprecia la simetr��a de los coe�cientes yel car�acter geom�etrico de los mismos� ya que el t�ermino �ji ��jj�IiIj es independiente dela magnitud de las corrientes�En el caso de las espiras �tubos �liformes�� podemos expresar el elemento de volumen

como dv � �d�s � d�l� y� como en la secci�on ������ tomar d�s �j d�l� con lo que

Lij ��

ZVi

ZVj

�ji ��jjIi Ij rij

�d�si � d�li�� d�sj � d�lj�

y� �nalmente

Lij ��

ILi

ILj

d�li � d�ljrij

�C����

Esta �ultima expresi�on se obtiene de la anterior sin m�as que intercambiar las posi�ciones de �j y d�l� lo que es l��cito por ser �j d�l� y tener en cuenta que I � �j � d�s�puesto que� al ser el tubo �liforme� d�s es el �area de la secci�on total del tubo�La integral C��� es singular cuando i � j y� de hecho� la autoinducci�on de una espira

�liforme es in�nita� aunque en la pr�actica la secci�on de una espira es siempre no nula�por lo que el c�alculo mediante la expresi�on C��� da un valor �nito para su autoinducci�on�Volviendo al principio de esta secci�on� los coe�cientes de inducci�on mutua� en el caso

de espiras� aparecen como coe�cientes de proporcionalidad entre �ujos e intensidades�v�ease la �gura C� �El �ujo cortado por la espira i es

�i �

ILi

�A � d�li

y� a su vez�

�A �

NXj��

�Ij

ILj

d�ljrij

�i �

NXj��

�ij

Page 288: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

d l

jI

iI

d l

j

i

ijr

Figura C� �

Lij ��ijIj

�C����

donde �ij es el �ujo que corta la espira i debido a la corriente que circula por el espiraj�Esta expresi�on suele ser m�as �util que la C��� para calcular los Lij y lo mismo ocurre

con la C��� respecto a la C����Teniendo en cuenta C���� la energ��a potencial de un sistema de espiras podr�a es�

cribirse de la forma�

W ��

NXi��

�i Ii �C����

En el resto del tema nos limitaremos al estudio de las espiras dada la importanciapr�actica de las mismas�

C�� Fuerza electromotriz inducida Generadores y transformadores

Aunque m�as adelante trataremos de las corrientes cuasiestacionarias con m�as deten�imiento� consideremos la fuerza electromotriz inducida en la espira i cuando el �ujo quecorta� �i� var��a con el tiempo �suponemos que esta variaci�on es lenta para no apartarnosdel car�acter estacionario de las corrientes��

Ei � �d�idt

� � d

dt

NXj��

�ij �

NXj��

��Lij dIj

dt

� �z �

T

NXj��

��Ij dLij

dt

� �z �

G

�C���

Como vemos� a la fuerza electromotriz inducida en la espira i contribuyen dos tiposde t�erminos� t�erminos de tipo Transformador �T� y t�erminos de tipo Generador �G��Los primeros inducen fuerzas electromotrices a trav�es de una variaci�on temporal de lasintensidades� mientras que en los segundos �esto se logra haciendo variar la geometr��a

Page 289: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

del sistema� lo que permite el acoplo de energ��a mec�anica a sistemas el�ectricos� En losmecanismos representados por estos t�erminos reside la base de los transformadores y delos generadores y motores�

C� Asociaci�on de inductores

Cuando hablemos de autoinducciones o inducciones mutuas� o de inductores en general�nos estaremos re�riendo a dispositivos f��sicos fabricados exprofeso para presentar unvalor determinado del coe�ciente de inducci�on� Por lo general� constan de un carrete devueltas m�ultiples de hilo conductor arrolladas sobre un n�ucleo de material magn�etico osobre el mismo aire�Los inductores pueden asociarse en serie o en paralelo� de forma que entre ellos

exista o no acoplamiento� Adoptaremos la notaci�on usual de L para la autoinducci�on yM para la inducci�on mutua�Como veremos m�as adelante� la fuerza electromotriz en una autoinducci�on ideal

coincide con el negativo de la diferencia de potencial que� a su vez� desde ahora� denom�inaremos indistintamente como ca��da de tensi�on�

V � �E � LdI

dt

En la asociaci�on serie� la intensidad que pasa por los dos carretes es la misma�

L 1 L 2 L s

V1 V2

I IM

V

Figura C����

La �gura C��� representa a dos inducciones conectadas en serie y acopladasmagn�eticamente con un coe�ciente de inducci�on mutua M que puede ser positivo onegativo������

V � V� � V� � �L� � L� � �M�dI

dt

I � I� � I�

LS � L� � L� � �M �C����

En la asociaci�on paralelo� �gura C���� la ca��da de tensi�on en ambas inducciones esla misma�Ahora se cumple que���

V � V� � V�

I � I� � I�

V � L�dI�dt�M

dI�dt�M

dI�dt� L�

dI�dt� Lp

dI

dt

donde

Lp �L� L� �M�

L� � L� � �M �C����

Page 290: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

I

V

L p

V2

L 1

M

I

I

I

L 2

V1

2

1

Figura C����

Cuando no hay acoplamiento entre las inducciones� sus leyes de asociaci�on tomanforma an�aloga a las de asociaci�on de resistencias�

Para

M � �

�������LS � L� � L�

Lp��

L���

L�

C�� Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras

Podemos obtener expresiones para las fuerzas y los pares que act�uan sobre un sistemade espiras y medios magn�eticos lineales� en r�egimen estacionario� por procedimientosan�alogos a los empleados en la secci�on C�����

El trabajo realizado por las fuerzas magn�eticas al llevar a cabo un desplazamiento�elemental e imaginario� de una parte del sistema� ser�a

�Wmag � �Fc � d�l

energ��a que deber�a ser aportada por fuentes externas �Wex o por una disminuci�on dela energ��a potencial �W

�Wmag ��W � �Wex

Φ i

I i

Figura C����

Page 291: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

Imaginaremos dos transformaciones sencillas� con objeto de obtener expresiones�utiles de la fuerza� en la primera� mantendremos �jas las intensidades Ii que circu�lan por las espiras y en la segunda mantendremos constantes los �ujos �i� seg�un semuestra en la �gura C����a� Supongamos Ii � cte�

Si variamos la geometr��a del sistema mediante un desplazamiento� variar�an los �ujoscortados por las espiras y tambi�en la energ��a potencial� Seg�un C���

��W �Ii ��

NXi��

Ii��i

Estos cambios de �ujo dan lugar a unas fuerzas electromotrices en cada espira

Ei � ���i�t

donde��i�t

es la velocidad de variaci�on del �ujo cortado por la espira i� Puesto que esta

fuerza electromotriz inducir�a cambios en la intensidad que circula por la espira� paraque �esta permanezca constante habr�a que emplear una fuerza electromotriz externa Eieque contrarreste a la anterior �

Eie � �Ei � ��i�t

Lo cual implica la aportaci�on de una energ��a externa �Wex� �gura C����

I i =cteie

Figura C����

�Wex �

NXi��

Eie Ii�t �NXi��

Ii��i � ��W

con lo que tenemos

�W � �Wmag

y

�F � �rW �I �C���a�

�T � �r�W �I �C���b�

Page 292: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

b� Consideremos ahora el caso en que se mantengan constantes los �ujos �i�

Dado que ��i � �� �Wex � � y� al no haber aportaci�on externa de energ��a�

�W � ��Wmag

con lo que

�F � ��rW �� �C���a�

�T � ��r�W �� �C���b�

C�� Sistemas de espiras con n�ucleo magn�etico

En la pr�actica� es interesante la posibilidad de reforzar y canalizar el �ujo producido porun sistema de espiras o carretes conductores� Esto es posible mediante el uso de n�ucleosde materiales magn�eticos de alta permeabilidad� pues� como vimos en la secci�on �������un material con ��� con�na completamente a las l��neas de campo magn�etico�

Consideremos un toroide� �gura C�� muy permeable y� para simpli�car� supongamosque el di�ametro d de su secci�on es mucho menor que el radio del mismo�

L

V1

V2

I 1

N 1

N 2

I 2

μ>>μ0

a

d

S

L

N

S

Figura C���

Puesto que � � ��� las l��neas de campo magn�etico quedar�an pr�acticamente con��nadas en el interior del n�ucleo� por lo que �este se constituir�a en un tubo del �ujomagn�etico�

Integrando a lo largo del eje del toroideIL�H � d�l �

ZSL�j � d�s � IT � I�N� � I�N�

Page 293: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

Por otra parte� como r� �B � �� el �ujo de �B a trav�es de cualquier secci�on del n�ucleoSN � �SN � �B�� es constante

�SN �ZSN

�B � d�s � B SN

y� por ser en nuestro caso SN � cte� tambi�en lo ser�an B y H� Luego� hallando lacirculaci�on de �H a lo largo de L�

H �N� I� � I�H�

L � B � �N� I� �N� I�

LCon lo que se obtiene un valor muy alto de B� proporcional a �� Adem�as� al recogerse

las l��neas de campo dentro del tubo� la longitud L � �� a de las l��neas se acorta� Estambi�en interesante analizar como ser�an afectados los coe�cientes de inducci�on y laenerg��a almacenada en los campos del sistema�El �ujo total �T cortado por los dos carretes puede desglosarse en las contribuciones

de cada uno de ellos

�S� ��SNL N� I�� �S� �

�SNL N� I�

donde S� � N� SN y S� � N� SN son las secciones equivalentes de cada uno de loscarretes�As�� mismo� los �ujos �ij cortados por el carrete i y producidos por el j son

��� � N� �S� ��SNL N�

� I� ��� � N� �S� ��SNL N�N� I�

��� � N� �S� ��SNL N�N� I� ��� � N� �S� �

�SNL N�

� I�

de donde se deduce que

L ��SNL N� �C�� �

M � ��SNL N�N� �C����

Por lo tanto� estos coe�cientes se ven afectados por el mismo factor �r�L que el campo�B�

M ser�a positivo si los �ujos producidos por cada uno de los carretes� como es el casodel de la �gura� se suman� En caso contrario� M ser�a negativo�Por lo que respecta a la energ��a almacenada en el sistema� es decir� el trabajo que

nos cuesta establecer las corrientes I� e I�� podemos expresarla como

W ��

�Xi��� j��

Lij Ii Ij ��

�SNL

��N� I��

� � �N� I��� � ��N� I���N� I��

� �z ��a�

�C����

o� de forma equivalente� integrando sobre el n�ucleo la densidad de energ��a magn�etica�

W ��

��

ZVN

B� dv

donde VN es el volumen del n�ucleo

Page 294: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

C � � � El transformador ideal

Vemos� pues� que para establecer corrientes �nitas deber��amos invertir una energ��a pro�porcional a �r�L y que si este factor tiende a in�nito� la energ��a tambi�en tender��a ain�nito� a menos que el t�ermino �a� de C��� se anule�Un transformador ideal es un dispositivo como �este� en el que te�oricamente �r�L �

�� Como no disponemos de in�nita energ��a� en el transformador ideal�N� I��

� � �N� I��� � ��N� I���N� I�� � � N� I� � �N� I�

I� � ��aI� � a �

N�

N��C����

donde a es la Relaci�on de espiras de secundario a primario�El transformador ideal funciona de forma que si por el primer carrete� Primario�

se inyecta una intensidad I�� por el segundo� Secundario� circular�a una intensidad ensentido opuesto y de la magnitud necesaria para contrarrestar el �ujo producido por laprimera�En la pr�actica� ese �ujo �SN � aunque peque�no� no ser�a nulo� de forma que si en el

primario aplicamos una ca��da de tensi�on V�� por la ley de inducci�on de Faraday� �SNvariar�a con el tiempo seg�un

V� �d

dt�N� �SN � d�SN

dt�

V�N�

y� a su vez� esta variaci�on de �ujo provocar�a una ca��da de tensi�on en el secundario

V� �d

dt�N� �SN � �

N�

N�V�

V� � aV� �C����

Luego el transformador transforma intensidades y tensiones�En la �gura C��� se representa al circuito equivalente de un transformador ideal a

cuyo secundario se le ha conectado una resistencia� o carga resistiva� R��

1:a

V1 V1

I 1 I 1

V2

I’I 2 2

R 2 R 1

Figura C����

Esta con�guraci�on se comporta� vista desde el primario� como si fuera una resistencia

R� � V�I���V��a�

��a I�� �

��

a�R� �C���

Page 295: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

M�as adelante nos ser�a f�acil comprobar que esta relaci�on de conversi�on sigue siendov�alida para cualquier tipo de impedancias�

C� Circuitos magn�eticos lineales

Supongamos que� como se indica en la �gura C���� debemos analizar las relacionesde �ujos y corrientes estacionarias en una estructura no trivial de materiales lineales�altamente permeables� y arrollamientos�

L

LL1

2

3

Figura C����

La soluci�on precisa de este tipo de problemas es dif��cil y en la pr�actica suele sernecesario y su�ciente resolverlos con m�argenes considerables de error� Para estos �nespuede hacerse una analog��a entre las ecuaciones de circuitos de corrientes estacionariasy las ecuaciones de estos sistemas o Circuitos magn�eticos�

Si hallamos la circulaci�on de �H a lo largo de un camino cerrado en el interior delcircuito� I

L

�H � d�l �ZSL�j � d�s � IT

De�niremos la Fuerza magnetomotriz � como la intensidad total cortada por lasuper�cie SL que se apoya sobre L�

� � IT � �C����

�Xi

Ni Ii �Xi

�i

donde Ni es el n�umero de espiras del carrete i y �i la fuerza magnetomotriz de esecarrete�

Como vimos en el tema de corrientes estacionarias� es posible fabricar tubos decorriente con terminales el�ectricamente bien de�nidos� Este no es el caso normal encircuitos magn�eticos pero� dentro del generoso margen de error que nos permitiremos�es posible delimitar su�cientemente bien segmentos de camino tales como los Li� L� yL� Para un camino cerrado� por ejemplo L � L� � L�I

L�H � d�l �

Xj����

ZLj

�H � d�l �Xj����

�j

ZLj

dl

�Sj�Xj����

�jRj

Page 296: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

donde se ha de�nido la Reluctancia Rj de la rama j

Rj �ZLj

dl

�Sj ��

�j

ZLj

�H � d�l �C����

En estas expresiones hemos tomado caminos de integraci�on esencialmente paralelos alas l��neas de campo y dentro de cada una de las secciones del tubo� entre bifurcaciones�hemos escrito � � B S � �H S y sacado � fuera de la integral� Con la de�nici�on dela reluctancia� an�aloga a la que ya hemos hecho de la resistencia� podemos escribir unaexpresi�on an�aloga a la segunda ley de Kirchho�X

i

�i �Xj

�jRj �C����

Adem�as� puesto que r� �B � �� integrando sobre el volumen V que envuelve al nudo del circuito� obtenemos una expresi�on correspondiente a la primera leyX

i

�i � � �C����

Esta analog��a permite aplicar las mismas t�ecnicas ya utilizadas para circuitosel�ectricos al an�alisis de circuitos magn�eticos� As��� pues� podemos representar al circuitoequivalente de la �gura anterior de acuerdo con la �gura C����

2

R 1 R 3

ξ R1 ξ 3

Figura C����

Por este procedimiento podemos hacer un an�alisis aproximado del electroim�an� dis�positivo con el que se generan campos magn�eticos fuertes en una regi�on accesible� Estaregi�on� que se llama Entrehierro� permite hacer uso del campo para �nes diversos�En la �gura C��� se representa a un electroim�an de secci�on uniforme S y piezas

polares planas� El hierro� o n�ucleo� tiene una permeabilidad � � �� y longitud L�mientras que el entrehierro� de longitud l � L� tiene la permeabilidad del aire� �o� Lalongitud l suele ser tambi�en peque�na frente a las dimensiones transversales del tubo�por lo que� despreciando efectos de bordes� la secci�on equivalente del entrehierro puedeaproximarse a S� Tenemos� pues� que

� � ��Rh �Re�

y� dado que � � Bh S � Be S� B es aproximadamente uniforme� Bh � Be � B

B � �N I

L�� � �r

l

L�

Page 297: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

ξ

ξ

R

R e

h

μ>>μ0

0

l

Figura C����

Campo que� como podemos comprobar �� es muy superior al que producir��a uncarrete con el mismo n�umero de vueltas� uniformemente distribuidas� pero sin el n�ucleode hierro� B� � ��

N IL �

C�� Circuitos magn�eticos no lineales

Los materiales magn�eticos no lineales tienen un comportamiento muy complejo quedi�culta el an�alisis general de los circuitos que los contengan estudiaremos dos circuitosinteresantes como son el anillo de Rowland y el circuito con im�an permanente�

El anillo de Rowland es un circuito simple que permite medir la relaci�on B � H enmateriales ferromagn�eticos� Como se muestra en la �gura C�� � el anillo se construyecon el material magn�etico que se quiere estudiar y la dimensi�on transversal S de susecci�on debe ser peque�na frente a su longitud L� Sobre el n�ucleo se arrollan dos carretescon un n�umero adecuado de vueltas N� y N��

N 1 N 2

S

V(t)

I(t)

B=f(H)

Figura C�� �

Podemos �jar el valor de H�t� por medio de la intensidad I�t� inyectada en el

�V�ease relaci�on de problemas�

Page 298: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

primario�

H�t� �N�

L I�t�

El campo magn�etico resultante se mide integrando la ca��da de tensi�on del secun�dario�

��t� � N�B�t�S � V �t� �d��t�

dt� B�t� �

N� SZ

V �t� dt

Por �ultimo� analizaremos los circuitos magn�eticos con imanes� En la �gura se repre�senta esquem�aticamente una con�guraci�on t��pica de Im�an de laboratorio� Para simpli��car supondremos la secci�on constante S�

i

P g

B i H i=f( )

B i =H tgi θ

Puntode

guarda

Punto de trabajooptimo

3

4

5

34

5

H

B

(a) (b)

S

Iman

Hierro

A B θ

P

i

e

L

μ>>μ

L

0

μ 0L h2

H

Figura C����

Como puede verse� en la �gura C����a el im�an completo est�a constituido por un im�anpermanente de longitud Li� una secci�on de hierro dulce� de longitud Lh y permeabilidadlineal � y el entrehierro de longitud Le� La energ��a de este circuito no se obtiene de unarrollamiento sino del im�an permanente que se supone que opera en el ciclo de hist�eresism�aximo�Hallando la circulaci�on de �H a lo largo del circuitoI

�H � d�l �Z B

A� hierro�H � d�l �

Z A

B� im�an�H � d�l � �

La primera integral del segundo miembro discurre fuera del im�an permanente y lasegunda en su interior� Luego� despreciando los efectos de dispersi�on de l��neas de campo�

�RAB � � �Rh �Re� � �Hi Li

Bi � � LiS RAB

Hi � Hi tan � �C�� �

Page 299: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c��

Esta relaci�on entre Bi y Hi corresponde a una recta de pendiente negativa� que pasapor el origen� en el plano BH� Al mismo tiempo� Bi y Hi est�an relacionados por lafunci�on Bi � f�Hi�� que describe al ciclo de hist�eresis m�aximo� por lo que el puntode trabajo habr�a de encontrarse gr�a�camente como se muestra en la �gura C����b� Lasoluci�on simult�anea de estas dos ecuaciones viene dada por la intersecci�on P de las doscurvas� la cual tiene lugar en el segundo cuadrante�En las condiciones m�as usuales de dise�no se trata de disponer de la mayor energ��a

magn�etica posible en el volumen del entrehierro

We ��

��BeHe�Ve � �

���B�e S Le

puesto que � � cte y hemos hecho S � cte y Be � Bi�Si la reluctancia del hierro puede despreciarse frente a la del entrehierro� lo que

usualmente es cierto�Lh�� Le

��� RAB � Re �

Le�� S

En valores absolutos

Be � Bi �LiLe ��Hi

We � �

��BiHi��S Li� � �

��BiHi�Vi

Luego� para optimizar la energ��a en el entrehierro� deberemos procurar que el puntode trabajo P corresponda a un producto BiHi m�aximo� En la �gura �b� el ciclo dehist�eresis aparece graduado proporcionalmente a dicho producto�Los mecanismos despolarizadores por los que un im�an permanente pierde su

imanaci�on son complejos� pero haremos notar que la existencia de un campo desi�manador� campo Hi negativo� o� lo que es lo mismo� la existencia de energ��a en elentrehierro� favorece la lenta despolarizaci�on del im�an� Por esta raz�on� cuando no seutiliza el im�an� se le debe colocar una guarda o pieza de hierro dulce que� al puentear alentrehierro� reduce la reluctancia del circuito� De esta forma� j tan �j crece disminuyendoel producto BH�

C�� Problemas

C�� Problemas

c��� Consid�erense dos conductores separados por un tercero conectado a tierra tal como

se indica en la gura C���� Calcular Q�� Q� y Q en funci�on de Ci� Vi � i ��� �� ��

c��� Hallar la capacidad de los condensadores representados en la gura C���� el

primero plano� el segundo esf�erico y el tercero cil��ndrico� Todos ellos est�an llenos

de un diel�ectrico de constante � y la distancia entre placas es muy inferior al restode las dimensiones�

Page 300: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

2 13V

V

V

2

1

=0

3

Figura C����

(c)

+- V0

+- V0

+- V0

S

d

ba

ba

L

(a) (b)

Figura C����

c��� Dado un condensador constituido por placas semicirculares� como se muestra en

la gura C���� hallar�

a� La capacidad en funci�on de �

b� El par ejercido sobre el diel�ectrico si entre las placas se mantiene una difer�

encia de potencial V��

c� Lo mismo si� una vez establecida la diferencia de potencial inicial V�� sedesconecta la bater��a y se introduce el diel�ectrico�

d� El trabajo total que cuesta introducir el diel�ectrico en las condiciones de los

apartados b y c�

d

α

Figura C����

c��� Un condensador plano� de supercie S � a � b y distancia entre placas c� seintroduce en un l��quido de constante diel�ectrica � y densidad d hasta una alturah � b

� � Hallar cuanto sube o baja el diel�ectrico en los siguientes casos�

Page 301: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

a� Entre las placas existe una diferencia de potencial V��

b� La carga de las placas es Q��

c��� Consid�erese un cable coaxial como el de la gura C���� Hallar�

a� La autoinducci�on por unidad de longitud�

b� La energ��a almacenada por unidad de longitud�

I

I

ab

Figura C���

c��� A un lado de una l�amina plana indenida� de espesor a� recorrida por una densidadde corriente uniforme� hay un campo magn�etico tangencial B� mientras que al otro

lado el campo es nulo� Hallar�

a� Las fuerzas que act�uan sobre cada elemento de volumen de la l�amina�

b� Relacione estas fuerzas con una posible presi�on magn�etica�

c� Aplicar los resultados anteriores al c�alculo de la presi�on que soporta un cierto

solenoide cuando genera campos magn�eticos de �� y ��� gauss� respectiva�mente�

c��� Calcular el coeciente de inducci�on mutua entre los dos conductores de la gura

C���

ca

b

Figura C����

c��� Calcular el coeciente de autoinducci�on de una bobina toroidal de radio a y secci�oncircular de radio b con un total de N espiras uniformemente distribuidas�

Page 302: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

c��� Dados dos solenoides coaxiales de radios aproximadamente iguales a R� como se

muestra en la gura C���� determinar�

a� El coeciente de inducci�on mutua�

b� El coeciente de acoplo�

LLb

a

Nb Na

Figura C����

c��� Calcular el coeciente de autoinducci�on de un toroide de secci�on rectangular que

se nuestra en la gura C���� El n�umero total de espiras es N e I la intensidad

que circula por ellas�

ba

h

Figura C����

1

L

L

I

IN

N

1

2

2

Figura C����

c���� En el circuito magn�etico de la gura C���� hallar�

a� El �ujo magn�etico si I � �A�

Page 303: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

c���

b� La intensidad necesaria para que el �ujo magn�etico a trav�es del circuito sea

de �� ��W �

Datos� N� � ��� vueltas� N� � ��� vueltas� �r� � ����� �r� � ����� L� ��� cm� L� � �� cm� S� � �� cm�� S� � � cm�� donde N es el n�umero de

vueltas y S el �area de la secci�on�

c���� Determinar B y H en el entrehierro� de aire� del circuito de la gura C����

Datos� N � ��� vueltas� I � �A� �r � ����� L� � �mm� L� � �� cm� L� ��� cm� S� � S� � �� cm

�� S� � � cm��

2

N 0S L0 N

I I

S

S

L 2

L1

1

Figura C�� �

c���� En la gura C���b se muestra la curva de magnetizaci�on inicial del material

ferromagn�etico que constituye el n�ucleo del circuito que se representa en

C���a � Determinar I para que la intensidad de campo magn�etico en el hueco sea

de �T �

Datos�

N � ��� vueltas� L� � �mm� S� � � cm�� L � � cm� S � � cm�

(b)

N S 0 L 0

I L

S 0.4

0.8

1.2

0.4 0.8 1.2 1.6

B(Tesla)

H(A/m)

(a)

Figura C����

Page 304: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice D

Corrientes cuasiestacionarias�

Teor��a de Circuitos

D�� Introducci�on

Te�oricamente� las ecuaciones de Maxwell� con unas condiciones iniciales y de con�torno adecuadas� tienen una soluci�on �unica para cada problema electromagn�etico� Enla pr�actica� sin embargo� la estructura de los medios puede ser tan compleja que haganimpracticable una soluci�on exacta para los campos� Afortunadamente� algunos proble�mas de gran importancia� que no son manejables dentro del formalismo de la teor��a decampos� admiten tratamientos aproximados alternativos�

As��� pues� en el limite de las altas frecuencias� el formalismo de la Optica de rayos

permite resolver problemas que desde otro punto de vista ser��an excesivamente com�plicados� Puesto que estos temas se incluyen tradicionalmente en la Optica� no nosocuparemos m�as de ellos�

Otro tanto ocurre en el limite de bajas frecuencias con la Teor��a de circuitos� Lasimplicidad con que los circuitos el�ectricos pueden ser representados y estudiados con��ere a estos una gran importancia� Importancia que viene resaltada por el hecho de queel mismo formalismo es aplicable a otros muchos problemas an�alogos de tipo mec�anico�t�ermico� at�omico� etc� Los sistemas de corrientes cuasiestacionarias� que de�niremosm�as adelante� pueden estudiarse por la versi�on m�as simple de la teor��a de circuitos� lade par�ametros localizados� que permite representar a dichos sistemas por ecuacionesdiferenciales lineales de coe�cientes constantes�

En lo que sigue se har�a a una r�apida exposici�on de los fundamentos de la Teor��a de

Circuitos de Par�ametros Localizados�

D�� Conexi�on entre la teor��a de campos y la de Circuitos

�G�omez��

La teor��a de circuitos de par�ametros localizados estudia el comportamiento de sis�temas electromagn�eticos� Circuitos� que pueden ser descritos como interconexiones dediversos tipos de elementos de dos terminales�

d��

Page 305: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

(b)

i(t)

v(t) (t)ε

i(t)

1 21 2

(a)

Figura D���

Entendemos por Elemento de dos terminales un sistema con dos puntos� o Termi�

nales� bien de�nidos desde el punto de vista el�ectrico� entre los que puede establecerse�con poca ambig(uedad� una relaci�on integro�diferencial entre la intensidad que pasa porel elemento y la ca��da de tensi�on a trav�es del mismo� Los sentidos de referencia mutuaentre las ca��das de potencial e intensidades los tomaremos como se indica en la �guraD���a para los elementos que llamaremos pasivos y en sentido contrario� �gura D���b�para los que denominaremos activos�Un an�alisis riguroso de las condiciones bajo las que este tipo de tratamiento es v�alido

est�a fuera de lugar pero algunas consideraciones generales pueden acotarnos el problemacon su�ciente precisi�on �Landau y Lifchitz MC��Analizaremos las condiciones bajo las cuales el estado electromagn�etico global de

estos elementos puede ser descrito mediante dos variables de tipo el�ectrico� Una de ellasser�a la intensidad y la otra la ca��da de potencial� a la que nos referiremos indistintamentecomo ca��da de tensi�on�

L

x=0 x=L

n n0 L

VS S0

Figura D���

En primer lugar� veamos cuando puede hablarse de � la intensidad que circula porun tubo� de corriente� Si consideramos una secci�on de tubo como la de la �gura D���para corrientes no estacionarias tendremos� de acuerdo con la ecuaci�on de continuidadde la corriente de conducci�on�Z

LL�� � d�s�

ZL�

�� � d�s � � d

d t

ZV� dv

i�L�� i��� � �dQd t

donde i es la intensidad que circula por el tubo en un instante determinado y Q la cargaalmacenada en el mismo�La intensidad que circula por el tubo no es uniforme� i � i�x� t�� de forma que

la diferencia entre la intensidad que entra y la que sale de la secci�on del tubo est�arelacionada con la variaci�on temporal de la carga neta almacenada en el mismo�

Page 306: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

Para una corriente estacionaria

i�L� � i��� dQ

d t� �

De�niremos como corrientes cuasiestacionarias a aquellas para las que estas rela�ciones se cumplen aproximadamente

ji�L�� i���j � jdQd tj �� ji�x�j

Esta condici�on permite prescindir de la dependencia espacial de la intensidad yde�nir una �unica intensidad para toda la longitud L del elemento�Es interesante expresar las condiciones de estacionariedad para corrientes arm�onicas�

Puesto que las corrientes tienen la misma dependencia espacio�temporal que los campos�estas tendr�an� en general� el car�acter de onda� Simpli�cando el problema� escribiremos�

i�x� t� � I� cos � �t� x

v� � �

hI� e

j� �t�xv�i

I�L� t� � I� ej� t e�j�

Lv � I��� t� e�j�

Lv

donde v es la velocidad de fase�Para valores de � L

v �� � el t�ermino e�j�Lv puede desarrollarse en serie� con lo que

I�L� t� � I��� t���� j� L

v

� ))�II

)) � � Lv

donde �I � I�L� t�� I��� t��Diremos que una corriente es cuasiestacionaria cuando el error relativo cometido

en la aproximaci�on es experimentalmente despreciable� o� dado que � � �v �

��� � la

condici�on � Lv �� � equivale a

L �� � �D���

As��� pues� podremos suponer que por un tubo de corriente circula una intensidadi �� x cuando sus dimensiones m�aximas sean muy inferiores a la m��nima longitud deonda de las componentes de frecuencia signi�cativas de la se�nal que se propaga por �el�Por otra parte� llamaremos Tensi�on� o voltaje� a la medida proporcionada por un

volt��metro cuando los campos son variables con el tiempo� Veremos bajo que condicionesel voltaje medido coincide aproximadamente con la ca��da de potencial�Si tocamos con los terminales de un volt��metro los puntos � y �� �gura D�� � de

forma que los cables formen el camino �a�� el voltaje medido ser�a

v�a��� �

Z �

�� �a�

�E � d�l � �D���

Z �

�� �a�rV � d�l �

Z �

�� �a�

�A

t� d�l � V� � V� � d

d t

�Z �

�� �a�

�A � d�l�

�En adelante se anotar�a en min�usculas a las magnitudes temporales reales y con may�usculas a losfasores correspondientes a funciones monofrecuencia del tipo f F� cos �t �

�F F� e

j� t��

Page 307: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d�

a

2

1

v

S

12(a)v

12(b)

b

Figura D���

que no coincide con la diferencia o Ca��da de potencial V� � V��Por el camino �b�� se medir�a

v�b��� �

Z �

�� �b�

�E � d�l � V� � V� �d

d t

�Z �

�� �b�

�A � d�l�

por lo que� restando

�v�� � v�a��� � v

�b��� � �

d

d t��� �B

Vemos que la diferencia entre dos medidas viene dada por la fuerza electromotriz gene�rada por los campos magn�eticos en el camino �a� � ��b��Si nos �jamos solo en los campos de radiaci�on� asociado al campo el�ectrico existe un

campo magn�etico

B � E

v

Escribiendo S � L�� tendremos� para una onda arm�onica de frecuencia �

j dd t�j � �B S � �

E L�

v

y� teniendo en cuenta que v�� � E L�

j dd t�j � v��

� L

v j�v��

v��j � � L

v�� �

Luego llegamos a la conclusi�on de que� para que estos campos de radiaci�on no provo�quen una incertidumbre apreciable en la medida del voltaje� la longitud del elemento yla de los cables del instrumento de medida deben cumplir la condici�on D��

L �� �

La presencia de estos campos magn�eticos� asociados a las corrientes de conducci�onlentamente variables� ser�a tenida en cuenta extendiendo el concepto de coe�ciente deinducci�on a las corrientes cuasiestacionarias�

Page 308: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

D�� Elementos fundamentales

Los elementos fundamentales de la teor��a de circuitos lineales� de par�ametros localizadosy de dos terminales� son la resistencia� la autoinducci�on� la capacidad y los generadores�En su con�guraci�on ideal derivan de las de�niciones correspondientes dadas para corrien�tes estacionarias y campos electrost�aticos�

Para las resistencias� autoinducciones y capacidades� que son elementos incapacesde suministrar energ��a neta al exterior y que llamaremos Elementos pasivos� haremosuso del convenio apuntado en el p�arrafo anterior� �gura D��

1 2

i(t)

v(t)

i (t)L

1 2

L

v (t)L

2

i (t)R

1

R

Rv (t)

i (t)C

21

C

Cv (t)

Figura D��

La resistencia es un elemento Disipativo� consume energ��a debido al efecto Joule� Laautoinducci�on almacena energ��a magn�etica y el condensador energ��a el�ectrica�

Llamaremos a v�t� Ca��da de tensi�on del terminal ��� al terminal ��� del elemen�to� Bajo las condiciones impuestas en el p�arrafo anterior� su medida por el volt��metrocoincidir�a con el voltaje�

ooσ ooσ

1 2

d s

σ

Figura D���

De�nimos como Resistencia ideal a un conductor� con � �nita� dentro del cual lasfuerzas electromotrices son despreciables� es decir� los campos el�ectricos en su interiorson conservativos� Consideramos� como se muestra en la �gura D��� que los terminales��� y ��� est�an constituidos por conductores ideales �� ����El par�ametro resistencia R se de�ne de la misma forma que en la secci�on ��� para

corrientes estacionarias � All�� se de�ni�o como la relaci�on existente entre la circulaci�on del

Page 309: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

campo total y la intensidad que circula por el tubo de corriente� Esta relaci�on que� engeneral� es complicada� en los medios que llamamos �ohmicos se reduce a una constante�

R �

R ���E � d�li

y� puesto que las fuerzas electromotrices son despreciables

�E � �rV � R �V� � V�

i�

v

i

v � iR �D���

La Autoinducci�on ideal es un elemento� de resistencia nula� en el que las fuerzaselectromotrices existentes son generadas por los �ujos variables asociados a las corrientescuasiestacionarias que circulan por el mismo� La inducci�on mutua entre dos elementosse de�ne de forma an�aloga ��

V1-V1=-( -V )2

=V2

(t)εv(t)

2

1

12

i(t)

1 2L

L

L

a

b

Figura D���

Hallando la circulaci�on del campo el�ectrico a lo largo del camino L indicado en la�gura D�� I

L�E � d�l � �d�

d t� �L d i

d t�

Z �

��La�E � d�l �z �

��

Z �

��Lb�E � d�l �z �

��

��� se calcula a lo largo de un camino muy corto Lb a trav�es de una regi�on concampo magn�etico d�ebil por lo que puede despreciarse frente a ����

��t� � ����t� � �L d i�t�

d t� �v�t� �D��

v�t� � Ld i�t�

d t�D���

En este caso estamos de�niendo la ca��da de tensi�on como la fuerza electromotrizinducida cambiada de signo� Puesto que la resistencia de la autoinducci�on es nulaZ �

�E � d�l � �Z �

�rV � d�l � ��� � �

�V�ease la secci�on C�����

Page 310: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

luego

��� � ��V� � V��

Para campos est�aticos� en C��� se ha de�nido la capacidad de un condensador como

C �Q

V� � V�

Desde el punto de vista de la teor��a de circuitos� de�nimos como Condensador ideala un elemento constituido por un condensador de armaduras conductoras ideales� conun diel�ectrico ideal sin p�erdidas y sin ning�un tipo de fuerzas electromotrices�

ε2i(t)1

Dϑϑ t

Q(t)

Figura D���

Fijemos nuestra atenci�on en la �gura D��� En las placas se acumulan cargas �Q�t�y la corriente de conducci�on no es estacionaria�

t

�S�� � � �r � ���S �� �

Bajo la condici�on L �� �� donde L es la dimensi�on caracter��stica del condensador�por los conductores de entrada y las armaduras circula una corriente pura de conducci�onpuesto que

� �� � � � �D

t� �

Sin embargo en el diel�ectrico tendremos una corriente pura de desplazamiento yaque

� � � � �� �� � �

Como hemos visto� la suma de la corriente de conducci�on y la de desplazamiento essolenoidal�

r� �H � ��� ��D r � ���� ��D� � � i� iD � i� � cte

por lo que la corriente i� de carga de conducci�on� que circula por los conductores esigual a la corriente iD de desplazamiento que circula por el diel�ectrico�

Page 311: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

La carga almacenada en las placas del condensador ser�a

Q�t� � Q� �

Z t

�i dt

donde Q� � Q�t � ��� De acuerdo con �esto� la ca��da de tensi�on entre las placas es

v�t� � v� ��

C

Z t

�i dt �D���

donde v� � v�t � ���Entre los elementos activos ideales� de�niremos los Generadores ideales de tensi�on

intensidad� como aquellos elementos que mantienen entre sus terminales una tensi�on�intensidad� independientes de las condiciones externas� Se denominan activos porqueson capaces de suministrar energ��a neta al exterior�Para corrientes estacionarias de�n��amos la fuente de tensi�on ideal como una secci�on

de tubo de corriente con resistencia nula�

iR � � �

Z �

���rV � �ER� � d�l ��� � V� � V�

y en el que la fuerza electromotriz ��� � ��t� es independiente de i� La fuente de tensi�on�o bater��a ideal� manten��a entre sus bornes� o terminales� una diferencia de potencial �jae igual a su fuerza electromotriz� Extenderemos la validez de esta de�nici�on al caso decorrientes cuasiestacionarias�

(b)

1

2

(t)ε v(t)i(t)

1

2

v(t)i(t)

2

1

=v(t)

(a)

Figura D���

Los s��mbolos y las referencias vienen representados en la �gura D���La potencia suministrada al exterior es

P �t� � ��t� i�t� �D���

Como puede verse en la �gura� el convenio de signos de referencia para la fuerzaelectromotriz es el contrario que para la tensi�on� En este caso la intensidad entra alelemento por el terminal negativo y sale por el positivo�Puesto que ��t�� en las fuentes de tensi�on� e i�t�� en las de intensidad� solo depen�

den de las caracter��sticas internas de dichas fuentes� diremos que estas son Fuentesindependientes�

Page 312: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d�

Los elementos no lineales juegan un papel importante en la pr�actica� M�as adelantecitaremos a los transistores pero por ahora citaremos solamente al diodo ideal� El Dio�do ideal es un elemento pasivo unidireccional� tiene resistencia nula cuando la tensi�onaplicada es positiva e in�nita en caso contrario�

Anodo

´ todoC

vD

vD

i D

i D=0

i D oo

i D

a

Figura D� �

La �gura D� muestra la curva caracter��stica iD � vD para el diodo� as�� comolos convenios de referencia� Adem�as de la relaci�on entre los signos de la tensi�on y laintensidad� que es la correspondiente a los elementos pasivos� por ser un elemento uni�direccional� se hace necesario relacionar la direcci�on positiva de la intensidad con ladirecci�on privilegiada de conducci�on�

D� Elementos reales

Los elementos reales� como es natural� no se ajustan a ning�un modelo exacto pero lasdesviaciones peque�nas de la idealidad pueden ser modeladas complicando en cierto gradolos modelos ideales�

As��� por ejemplo� la resistencia del hilo con que se fabrica una autoinducci�on no sueleser despreciable a baja frecuencia y para frecuencias altas empiezan a ser notables losefectos capacitivos� Un posible modelo de una autoinducci�on real� v�alido para un ciertorango de frecuencias� puede ser el de la �gura D����

C

21

L

LR L

Figura D����

En adelante� cuando hablemos de Fuentes reales nos referiremos a modelos linealesde fuentes en los que se tiene en cuenta que� en la pr�actica� es imposible materializaruna fuente cuya variable de salida no dependa� aunque solo sea en peque�na medida�de las condiciones externas� En otras palabras� la ca��da de tensi�on �intensidad� de una

Page 313: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

fuente de tensi�on �intensidad� no puede ser totalmente independiente de la intensidad�tensi�on� que aparezca entre sus terminales� El modelo de la fuente real ser�a� pues� elde la �gura D����

(a)

i 0 (t)ε (t)0 v s (t) v s (t)

i s (t) i s (t)

2

1

2

1

i’(t)

v’(t)

O zO y

(b)

Figura D����

Para la fuente de tensi�on real� la tensi�on de salida es

vs�t� � ���t�� v��t� � ���t��Oz � is�t� �D���

donde Oz es un operador integro�diferencial lineal que opera ��� sobre la intensidad de

salida is�Para la fuente de intensidad real� la intensidad de salida es

is�t� � i��t�� i��t� � i��t��Oy � vs�t� �D� �

donde Oy es tambi�en un operador lineal�

D� Elementos de cuatro terminales

Aunque no tenemos intenci�on de adentrarnos en la teor��a de Cuadripolos� donde propia�mente se estudia este tipo de circuitos� dedicaremos unas l��neas a de�nir los elementos decuatro terminales de m�as inter�es� Tambi�en se conocen como elementos de dos puertas�la ��� ��� o Puerta de entrada y la ��� ��� o Puerta de salida�Entre los pasivos citaremos al Transformador ideal que� como ya hemos visto� trans�

forma intensidades y tensiones pero suministra a la salida la misma potencia que recibeen la entrada� El transformador real� por el contrario� disipa y almacena energ��a�Las variables de salida de un transformador ideal� �gura D���� son proporcionales a

las variables de entrada�v� � a v�

i� � � �a i�

� a �N�

N��D����

La potencia de entrada

Pe � v� i� � Ps � �v� i��La notaci�on Oz �Oy indica que el operador tiene dimensi�on de impedancia �admitancia� como se

ver�a m�as adelante�

Page 314: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

2’i 2i 1

v 1 v 2

1 2

1’

Figura D����

es igual a la potencia de salida�Entre los cuadripolos activos citaremos a las Fuentes ideales controladas o Fuentes

dependientes� Son fuentes que de�nen una relaci�on entre dos variables� una de salida�dependiente o controlada� y otra de entrada �independiente o de control��Los tipos m�as simples de fuentes controladas son�� Fuente de tensi�on controlada por una tensi�on �Tensi�on � Tensi�on�� �gura D����

2’

1

v e

1’

v eA v

2

v s

Figura D����

vs�t� � Av ve�t� �D����

donde Av es la Ganancia de tensi�on�

Page 315: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

� Fuente de intensidad controlada por una tensi�on �Tensi�on � Intensidad�� �guraD���

2’

1

v e

1’ is

v eY

2

Figura D���

is�t� � Y ve�t� �D����

donde Y es la Transadmitancia�

� Fuente de tensi�on controlada por una intensidad �Intensidad �Tensi�on�� �gura D����

1

ei

eiZ

2

v s

2’1’

Figura D����

vs�t� � Z ie�t� �D����

donde Z es la Transimpedancia�

� Fuente de intensidad controlada por una intensidad �Intensidad � Intensidad���gura D����

1

i is

eiA i

2

2’1’ e

Figura D����

is�t� � Ai ie�t� �D���

donde Ai es la Ganancia de intensidad�

Los correspondientes modelos reales� de tipo lineal� se obtienen de los anterioresa�nadiendo elementos pasivos lineales no nulos� En el ap�endice E se muestra como� bajo

Page 316: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

ciertos condicionamientos� de un dispositivo f��sico tal como el transistor bipolar o el deefecto de campo� que f��sicamente son no lineales y que tienen tres terminales� puedenobtenerse modelos lineales de cuatro terminales�

D Leyes de Kirchho�

Las leyes de Kirchho� no son sino la expresi�on� en t�erminos de corrientes� ca��das detensi�on y fuerzas electromotrices� de las leyes de Maxwell bajo las condiciones enuncia�das en la secci�on D��� Previamente al enunciado de las mismas� recordaremos algunasde�niciones ya establecidas e introduciremos algunas nuevas� aplicables a circuitos depar�ametros localizados al tiempo que haremos algunas aclaraciones pertinentes�

De�niciones

� Elemento de dos terminales� Sistema que puede ser descrito por una relaci�onintegro�diferencial� con un solo par�ametro� que liga la ca��da de tensi�on entre dosterminales y la intensidad que circula entre ellos�

� Elemento lineal� Aquel en el que la relaci�on entre v�t� e i�t� es lineal�

� Elemento independiente del tiempo� Aquel cuyo par�ametro es independiente deltiempo�

� Circuito� Sistema resultante de la interconexi�on de dos o m�as elementos�

� Circuito pasivo� Circuito capaz de almacenar o disipar energ��a y que puede devolverparte de la energ��a almacenada�

� Circuito activo� Circuito capaz de suministrar una energ��a neta al exterior�

� Rama� Interconexi�on de elementos que puede ser descrita� como un elemento� poruna relaci�on de la tensi�on y la intensidad entre dos terminales�

� Nudo� Punto de interconexi�on de dos o m�as elementos o ramas�

� Malla� Conjunto de ramas que constituye un camino cerrado� dentro del circuito�sin pasar dos veces por el mismo nudo�

La representaci�on gr�a�ca de un circuito f��sico no es un��voca� ya que las de�nicionesde nudos y ramas tampoco dan una representaci�on gr�a�ca un��voca� Esto no es ning�uninconveniente sino todo lo contrario�

Leyes de Kirchho�

Como ya hemos visto� incluyendo la corriente de desplazamiento en los conden�sadores� las corrientes cuasiestacionarias cumplen� aproximadamente� la condici�on

r � �� � � IS�� � d�s � �

Page 317: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

ii

i

1i

2i

N

S

j

V

(a) (b)

Figura D����

Si aplicamos esto a un volumen� �gura D����a� que encierre a un nudo en el queconcurren N ramas con intensidades incidentes ii� i � � � � �N � �gura D����b� tendremos

NXi��

ii � � �D����

que expresa la Primera ley de Kirchho��

R

L

ε

i i

1

2

(a)

(b)

1

2

C

Figura D����

Para enunciar la segunda ley� consideremos� en principio� un tubo de corriente cuasi�estacionaria compuesto de una concatenaci�on en serie de fuentes de fuerza electromotriz�resistencias� condensadores y autoinducciones ideales� como el mostrado en la �guraD����Con objeto de ordenar las ideas y sin p�erdida de generalidad podemos reestructurar

el tubo de corriente de forma que todas las fuentes� las resistencias y las autoinduccionesest�en en la secci�on �a� comprendida entre los nudos ��� y ��� y que en la secci�on �b�� entre��� y ���� solo haya condensadores� Seg�un la de�nici�on que hemos dado de resistencia

iR �

Z �

�E � d�l �X

vRi

donde R es la resistencia total que hay en el circuito�P

vRi es la suma de las ca��das detensi�on en las resistencias y �E el campo total

�E � �rV � �Er � �rV � �Ef � �Ee

Page 318: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

que se ha descompuesto en suma de un campo conservativo �rV � m�as otro no conserva�tivo �Er que� a su vez� hemos descompuesto en� campos �Ef � procedentes de la inducci�onde Faraday y que son tenidos en cuenta con par�ametros de inducci�on� y los restantescampos no conservativos que englobaremos en la nomenclatura de electromotores �Ee�

La circulaci�on del campo total ser�aZ �

�E � d�l � V� � V� � �f � �e

Escribiendo

�f �X

vLi � V� � V� �X

vCi � �e �X

�i

tenemos que P�i �

�P

vRi �P

vLi �P

vCi ��P

vj

�D����

que expresa la Segunda ley de Kirchho��

Es decir� a lo largo del tubo� la suma de las fuerzas electromotrices es igual a lasuma de las ca��das de tensi�on� ley que� como es f�acil de comprobar� es v�alida tambi�encuando el circuito cerrado no se realiza a lo largo de un tubo de corriente sino a lo largode una malla por cada una de cuyas ramas circula una intensidad distinta�

ia

i b i c

i d

i e

i

Figura D�� �

D�� Caracter��sticas generales de la respuesta de un cir

cuito

D�� Ecuaciones de un circuito

Dado un circuito� la aplicaci�on de las leyes de Kirchho� nos permitir�a obtener ecua�ciones lineales en derivadas totales y con coe�cientes constantes y reales que expliquen

Page 319: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

el comportamiento del mismo� Una vez elegido un numero adecuado de variables in�dependientes yi�t�� que consideraremos como Entradas o Excitaciones del circuito� osistema� podemos obtener relaciones de estas con una serie de variables dependientesxi� que consideraremos como Respuestas o Salidas del sistema�En el caso m�as simple� �gura D���� pero sin p�erdida de generalidad� tendremos una

sola entrada y una �unica salida�

linealy(t) x(t)

Sistema

Figura D����

La relaci�on entre una y otra vendr�a dada por la ecuaci�on diferencial

LA x�t� � LB y�t�

Donde LA y LB son operadores lineales con coe�cientes constantes de orden n y mrespectivamente� �

andn

dtn� � � �� a�

� �z �

LA

x�t� �

�bm

dm

dtm� � � �� b�

� �z �

LB

y�t� �D����

Puesto que y�t� suele ser una se�nal conocida� aplic�andole LB � tenemos

LA x�t� � ��t� �D����

donde ��t� � LB y�t��Luego� para hallar x�t�� debemos resolver una ecuaci�on de orden n� lo que hace

necesario especi�car n condiciones iniciales� Diremos que n es el orden del sistema�

D� Respuesta transitoria y estacionaria de un sistema li

neal

Como es bien conocido� la soluci�on general de D��� es del tipo

xg�t� � xgh�t� � xpnh�t�

donde xgh es la soluci�on general de la ecuaci�on homog�enea y xpnh la particular dela ecuaci�on no homog�enea� Esta �ultima se halla por cualquiera de los procedimientosusuales� La soluci�on general de la homog�enea podemos escribirla de la forma

xgh�t� �

nXi��

Ai esi t

Page 320: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

donde si� i � � � � �n son las ra��ces de la ecuaci�on caracter��stica

an sn � � � � � a� �

nYi��

�s� si� � �

Como ya sabemos� estas ra��ces son� en general� complejas

si � i � j �i

y� puesto que los coe�cientes ai son reales� las ra��ces si pueden aparecer como reales ocomo pares de ra��ces complejas conjugadas�

Si de�nimos las constantes de tiempo del sistema como �i � � �i� la respuesta ser�a

de la forma

x�t� �nXi��

Ai e� t�i e j �i t � xpnh�t� �D�� �

Las constantes Ai quedan determinadas por las condiciones iniciales�

Si las constantes de tiempo son positivas ��i � �� i � ��� el sistema se dice quees Estable� Si para alguna ra��z �i � �� el sistema es Inestable� Es evidente que� puestoque en un sistema inestable la salida puede crecer inde�nidamente aunque la entraday�t� � �� los sistemas pasivos deben ser inherentemente estables�

La �gura D��� resume gr�a�camente todo �esto representando a las ra��ces en el planocomplejo s�

ii

s2 s3 s4

s 5

s6

α= R [s]

β= I [s]

´´ estables inestablescesRa cesRa

s1

Figura D����

La entrada y la salida de un sistema real deben tener comienzo y �nal y� si lasvariables correspondientes est�an asociadas� como en nuestro caso las tensiones e inten�sidades� a transvases de energ��a� deber�an ser de cuadrado sumable� es decir� deber�ancorresponder a energ��as �nitas� En los circuitos pasivos� para los que la relaci�on entreentrada y salida debe ser causal� la salida no podr�a nunca preceder a la entrada�

Page 321: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

1 2 3 4 5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

x(t)

t

y(t)

Figura D����

De D�� se deduce que� si se deja transcurrir un tiempo t �� �max mucho mayorque la m�axima constante de tiempo del sistema� de la respuesta del mismo desaparecenlos t�erminos exponenciales� Llamaremos Respuesta estacionaria a

xe�t� � x�t �� �max�

A la primera parte de la respuesta se le suele cali�car como Respuesta transitoria

Com�unmente se restringe el t�ermino de respuesta estacionaria al caso en que y�t��como se muestra en la �gura D���� es el producto de una funci�on arm�onica por la funci�onescal�on unitario u�t��

y�t� � Y� cos�� t� �u�t�

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

t

u(t) y(t)=cos ω t . u(t)

t

Figura D����

En este caso� una soluci�on particular adecuada para la regi�on t � � es

xpnh�t� � X� cos�� t� ��

que tambi�en es la soluci�on estacionaria�

xe�t� � X� cos�� t� ��

Page 322: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

X� y � se calculan� de forma f�acil� pero engorrosa� sin m�as que aplicar LA a xe eidenti�car el resultado con ��t��

La �gura D�� representa un ejemplo t��pico de entrada y salida de un sistema lineal�

5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0.5

1

e

t

x (t)

Transitorio Respuesta estacionaria

y(t)

x(t)

Figura D���

Cuando x�t� e y�t� son transformables por Fourier� podemos obtener la respuestadel sistema hallando la transformada de ambos miembros de D���

F �LA x�t�� � F �LB y�t��

Si empleamos la notaci�on s � j �� la relaci�on entre las componentes arm�onicas�transformadas de Fourier o Densidades espectrales X �s� e Y�s�� de la entrada y de lasalida� puede escribirse

X �s� � T �s�Y�s� �D����

T �s� � bm sm � � � � � b�an sn � � � �� a�

�D����

T �s� es la Funci�on de transferencia del sistema y tiene la forma de funci�on racionalde la variable s �

La soluci�on del problema se obtiene hallando la transformada inversa de X �s�

x�t� � F���X �s��

D�� Respuesta a una excitaci�on arm�onica

A pesar de que funciones i�t� y v�t� que no sean de cuadrado sumable no son f��sicamenteaceptables� si que son f��sicamente �utiles� En particular� el estudio de la respuesta de unsistema a una entrada arm�onica pura� Respuesta en frecuencia� tiene un inter�es generalpuesto que� sobre la base de �esta� puede reconstruirse la respuesta a una entrada de

�En general interesa interpretar a s como una variable compleja s �� j �� con parte real

Page 323: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

cuadrado sumable haciendo uso de la transformada de Fourier� En concreto� compro�baremos que� aunque las se�nales arm�onicas no son estrictamente transformables porFourier� pueden ser tratadas con un formalismo an�alogo al de la expresi�on D����Nos planteamos el problema de buscar la amplitud X� y la fase � de la respuesta

x�t� � X� cos�� t� ��

a una entrada de amplitud Y� y fase �

y�t� � Y� cos�� t� �

Esto puede hacerse como se indic�o en el p�arrafo anterior pero es mucho m�as simpley conveniente hacerlo por el formalismo fasorial� Para ello extendemos anal��ticamentela entrada a�nadi�endole una componente imaginaria

y�t� � y�t� � j g�t� � g�t� � Y� sen�� t� �

A y�t� lo llamaremos Fasor temporal de y�t�� Podemos expresarlo de las formas

y�t� � Y� �cos�� t� � � j sen�� t� �� �

� Y� ej�� t�� �

� Y� ej e j� t �

� Y e j� t �D����

donde Y � Y� ej es el Fasor independiente del tiempo o� simplemente� fasor de entrada�

Es evidente� por superposici�on lineal� que si x�t� es la respuesta a y�t�

x�t� � x�t� � j z�t� � X� �cos�� t� �� � j sen�� t� ��� �

� X� ej�� t��� �

� X� ej� e j� t �

� X e j� t �D����

es la respuesta a y�t� y que la respuesta real� buscada es

x�t� � ��x�t�� � ��X e j� t� � �D���

� X� cos�� t� ��

Substituyendo en D���

LA x�t� � LB y�t� X LA ej� t � Y LB e

j� t

X�s� � T �s�Y �s� �D����

T �s� � bm sm � � � �� b�an sn � � � �� a�

�D����

expresiones que coinciden formalmente con las D��� pero en las que hay que tener encuenta que

X�s� �� X �s� e Y �s� �� Y�s�

Page 324: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

D � � � Representaci�on fasorial� impedancias y admitancias

A las relaciones integrodiferenciales entre la tensi�on y la intensidad de los elementos�resistencia� capacidad y autoinducci�on�

vR�t� � iR�t�R � iR ��R vR�t�

vL�t� � L d iL�t�d t � iL�t� �

�L

RvL�t� dt

vc�t� ��C

RiC�t� dt � iC�t� � C d vC�t�

d t

�D����

les corresponden relaciones algebraicas complejas cuando las variables son arm�onicas�Si tomamos como entrada a la intensidad y como salida a la tensi�on� las funciones detransferencia reciben el nombre de Impedancia� Si lo hacemos al rev�es reciben el deAdmitancia� As��� pues� las impedancias son

V � I Z �

�����������ZR � R

ZL � Ls � j� L

ZC ��C s � �

j� C

�D����

y las admitancias

I � V Y � Y ��

Z�

�����������YR �

�R

YL ��Ls � �

j� L

YC � C s � j� C

�D�� �

En adelante se utilizar�a la notaci�on en may�usculas tanto para los fasores dependientesdel tiempo como para los independientes del mismo ya que las relaciones anteriores sonv�alidas en ambos casos�

[Y]

R = R

Z L = j ωL

Z C = j ω C1/

Y C = j ω C

Y R = 1/ R

L =Y j ωL1/

I

R

I

R[Z]

[Z]

[Y]Z

Figura D����

Page 325: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

En el plano complejo� estas impedancias y admitancias� forman los siguientes dia�gramas fasoriales representados en la �gura D����Si� por ejemplo�

i � I� cos�� t� � I � I� ej � I�� �

VR � I R � I�Re j � VR� ej vR�t� � �

�VR e

j� t�� VR� cos�� t� �

VL � � L I� ej���

�� � VL� e

j����� vL�t� � VL� cos�� t� � �

� �

VC �I��C e j��

��� � VC� e

j����� vC�t� � VC� cos�� t� � �

� �

Es decir� la ca��da de tensi�on en la resistencia est�a en fase con la intensidad� mientrasque la de la autoinducci�on esta adelantada en �

� y la del condensador atrasada en�� �

En la �gura D��� se representan i�t�� vR�t�� vL�t� y vC�t� para � ��

L0v L (t)

i (t)

v R (t)

v C (t)

VR0

VC0

I 0

V

t

Figura D����

El diagrama de fasores dependientes del tiempo est�a representado en la �gura D����

tR

VL

VC

I [V]

vR (t)vL (t) vC (t)

[V]R

I

i(t)

α

ω

π/2

V

Figura D����

Los fasores girar��an con velocidad uniforme sus proyecciones sobre el eje real nosdar�a el valor instant�aneo de las variables� Los fasores independientes del tiempo dar��anun diagrama �jo correspondiente a tomar � t � � en el de los dependientes del tiempo�

Page 326: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

Por asociaci�on de elementos fundamentales pueden obtenerse elementos de dos ter�minales m�as complejos o Ramas� Consideraremos solamente los dos tipos m�as simplesde asociaci�on� la asociaci�on serie y la paralelo�En la asociaci�on serie� �gura D���� la intensidad que circula por cada elemento es la

misma y las ca��das de tensi�on se suman�

2

v1 v2

1i i 2i

v1s21

Figura D����

i� � i� � i � v � v� � v�

Para corrientes arm�onicas

V � i Zs � Zs � Z� � Z� �D����

En el caso de la asociaci�on paralelo� �gura D�� �

1p2v

i 2

v1

1i

v2ii

v

2

1

Figura D�� �

v� � v� � v � i � i� � i�

I � Yp V � Yp � Y� � Y� ��

Zp��

Z���

Z��D����

D�� Diagrama de Bode

Los diagramas de Bode son representaciones logar��tmicas del m�odulo y la fase de lafunci�on de transferencia que describen su dependencia de la frecuencia�Puesto que

X�s� � T �s�Y �s�

para obtener el m�odulo X� y la fase � de X�s�� basta obtener el m�odulo y la fase de lafunci�on de transferencia y componerlos con los de Y �s�� Si

T �s� � jT j s j� � jT j� �

Page 327: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

X�s� � X�� �� � Y�� jT j� �� �

Los m�odulos se multiplican y las fases se suman� En el caso de divisi�on de complejos�los m�odulos se dividen y las fases se restan�Ya disponemos de medios anal��ticos para el c�alculo de jT j y pero� en muchos casos�

basta con realizarlo gr�a�camente�Puesto que T �s� es una funci�on compleja� mostraremos por separado su m�odulo y

su argumento o fase� Una simple inspecci�on de este diagrama puede darnos una visi�onmuy amplia del comportamiento del sistema�En el primer diagrama se representa y� � TDb � �� log jT j frente a x � log �� TDb

es� por de�nici�on� la expresi�on de la amplitud en Decibelios ��En el segundo� y� � � �T frente a x � log ��Si factorizamos las funciones polin�omicas que aparecen en el numerador y denomi�

nador de la funci�on de transferencia� esta tendr�a la forma

T �s� �bm �s� z�� � � � �s� zm�

an �s� p�� � � � �s� pn��D����

donde zi son los ceros y pj los polos de la funci�on de transferencia�En nuestro caso� est�a claro que los coe�cientes ai y bj son reales puesto que no

son sino los de la ecuaci�on correspondiente a un sistema real� Como un polinomio decoe�cientes reales solo puede tener ra��ces reales o complejas conjugadas� los ceros y lospolos de nuestra T �s� ser�an reales o complejos conjugados�Las ra��ces complejas conjugadas se podr�an poner en la forma

sk � k � j �k � sl � k � j �k � s�k

donde s�k es el complejo conjugado de sk� Luego� el producto del par conjugado toma laforma

�s� zk� �s� zl� � s� � �sk � jskj�

E introduciendo las Frecuencias de resonancia

�k � jskj

y los Factores de amortiguamiento

�k � �k�k

se tiene�s� zk� �s� zl� � s� � ��k �k � ��

k �D����

Con esta notaci�on y separando las ra��ces reales y complejas conjugadas� T �s� tomala forma

T �s� �bman

slQ

i �s� zi�Q

k �s� � ��k �k � ��

k�Qj �s� pj�

Qr �s

� � ��r �r � ��r�

�D���

�El t�ermino Deci tiene su origen en la de�nici�on de la medida de potencia en decibelios� PDb ��� log jP j� siendo la potencia proporcional al cuadrado de la amplitud�

Page 328: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

donde i recorre los ceros realesj � � � � polos � �k � � � � ceros complejos y sus conjugadosr � � � � polos � � � � � � � �

l es el n�umero de ceros en el origen� si es positivo� o el de polos en el origen� si esnegativo�Es conveniente utilizar la funci�on de transferencia normalizada� Para ello de�nimos

las constantes de tiempo � y las frecuencias de corte �c

�i � � �i� � �

�ci

con lo que

T �s� � K sl

Qi �� � �i s�

Qk

�s�

��k

� ��k s�k� �

�Q

j �� � �j s�Q

r

�s�

��r� ��r s

�r� �

� �D����

K se denomina Ganancia de Bode�La funci�on de amplitud es

y� � �� log jT j � �����logK � l log � �

Xi

logq� � ��i s

� �Xj

logq� � ��j s

��

�Xk

log

s��� s�

��k

��

���k

s

�k

��

�Xr

log

s��� s�

��r

��

���r

s

�r

����D����

y la de fase

y� � � �K � l�

��Xi

artg��i ���Xj

artg��j �� �

�Xk

artg

�� ��k s�k

�� s�

��k

�A�Xr

artg

���r

s�r

�� s�

��r

��D����

Para la representaci�on� o diagrama� de Bode es necesario dibujar cada uno de lost�erminos de y� e y� y sumar�Interesa� previamente de�nir unas unidades adimensionales que miden los intervalos

de frecuencia� As��� pues� entre �� y �� se dice que hay un numero de

D�ecadas � D�� � log������

Octavas � O�� � log�����

Por ejemplo� entre �� y �� hay una d�ecada si �� � ���� o una octava si �� � ����Veamos como se representar��a cada uno de los sumandos de T �s��

Page 329: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

ω

Db

K<0

K>0

ϕο

K

ω

x=log

180

x=log

T Db Ganancia de Bode

Figura D����

�� Ganancia de Bode� T �j�� � K�

K

�������y� � KDb � �� log jKj

y� � � �K �%� para K � �� para K � �

�D����

La �gura D��� representa el correspondiente diagrama de Bode

�� Ceros y polos en el origen� T �j�� � �j���l�

�j���l ���

y� � TDb � ��� l log � � ��� l x

y� � � ��j���l � �l ���D�� �

y��x� es una recta de pendiente ��� l Decibelios por d�ecada� como se muestra enla �gura D����

�� Ceros y polos de primer orden� T �j�� � �� � j� ���� ��� � j �

�c

����

�� � j

�c

���

���������y� � ��� log

r� �

���c

��y� � �artg

���c

� �D���

Page 330: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-2 -1 0 1 2x=log

-90

90

180

-2 -1 0 1 2x=log

-40

-20

20

40

T Db Polos y ceros en el origen

ο

cωωu=

l=2 l=1

l=-1

l=2

l=-1

l=1

0.01 0.1 1 10 100

u

ϕ

u

Figura D����

Las as��ntotas y el punto central del diagrama son

para � �� �c

���y� � �

y� � �

para � � �c

���y� � ��� log

p� � ��Db

y� � ��

para � �� �c

���y� � ��� log �

�c� ����x� �� log �c�

y� � ���

Las as��ntotas de alta frecuencia� para la funci�on amplitud� tienen una pendientede ��� decibelios por d�ecada�Cuando no se necesita mucha precisi�on� el diagrama puede aproximarse portramos rectos� Para y�� despreciando errores inferiores a �Db� pueden utilizarselas as��ntotas de baja y alta frecuencia� Para y�� en la zona alejada de la frecuenciade corte se aproxima por las as��ntotas y en la cercana mediante un segmento recto�Seg�un el caso pueden tomarse dos opciones� v�ease la �gura D����

�a� Segmento que pasa por los puntos �� � ����c� y� � ��� �� � �c� y� ���

�� �� � ���c� y� � ��� ��

Page 331: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-2 -1 0 1 2x=log u

-90

-45

45

90

-2 -1 0 1 2x=log u

-40

-20

20

40

T Db Polos y ceros de primer orden

Aproximaci n (a)

oAproximaci n (b)

ϕ

0.1 0.2 10

ο

5

o

u

´

Figura D����

�b� Segmento que pasa por los puntos �x � ���� y� � ��� �x � �� y� � �� �� �x �

�� y� � ��� �� Esta aproximaci�on es tangente a la curva de fase en el punto

central�

� Ceros y polos de segundo orden� T �j�� ���� ��

���� �j � �

��

����

��� ��

���

� �j ��

��

���

�������������y� � ��� log

r��� ��

���

����� � �

��

��

y� � �artg�

� � ���

����

���

� �D���

Las as��ntotas y el punto central del diagrama son

para � �� ��

���y� � �

y� � �

para � � ��

���y� � �f���

y� � ���

Page 332: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

-2 -1 0 1 2x=log u

-180

-135

-90

-45

-2 -1 0 1 2x=log u

-60

-50

-40

-30

-20

-10

10

20

T Db Polos de segundo orden

1 δ= 0.5δ= 0−3

δ= 0−3

δ= 0.1

δ= 0.05

δ= 1

δ= 2

4

4

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100

ϕ

u

ο

δ= 0.5

δ= 0.707

δ= 0.05δ= 0.1

δ= 0.707

δ= 2δ=

Figura D����

Page 333: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

para � �� ��

���y� � �� log �

��� ���x� � log ���

y� � ���

Como se ve en la �gura D���� en las cercan��as de � � �� es necesario haceruna correcci�on en funci�on de � y las as��ntotas de alta frecuencia� para la funci�onamplitud� tienen una pendiente de �� decibelios por d�ecada�

D�� M�etodos de an�alisis

D � Introducci�on

Las leyes de Kirchho� permiten la obtenci�on de las ecuaciones que describen el com�portamiento de cualquier circuito� En la pr�actica� dado que estos circuitos pueden pre�sentar una estructura complicada� conviene seguir una metodolog��a ordenada para elplanteamiento y soluci�on de dichas ecuaciones� El tema es bastante amplio y aqu�� soloqueremos presentar los rasgos fundamentales de los m�etodos de an�alisis por mallas y pornudos� Por no complicar la exposici�on limitaremos nuestra consideraci�on a los circuitosplanos circuitos que pueden ser representados en el plano sin cruces entre ramas� Paracomprender la nomenclatura� los convenios de signos y la forma de aplicar las leyes� nosbasaremos en el ejemplo concreto de la �gura D���

2i

i 3

R 3

R 4

v γ

i a

i bi c

i d

i f

i e

ε 2(t)

ε 1(t) 1i

L

C ve

vcR 1

R

2

Figura D���

Se han representado

N � nudos �� �� �� ��

R � � ramas �a� b� c� d� e� f�

M � � mallas ��� �� ��

Page 334: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

Como variables independientes aparecen las fuentes de fuerza electromotriz ���t� y���t� �Podr��amos haber introducido fuentes de intensidad pero lo dejaremos para m�asadelante��Como variables dependientes hemos representado�

a� Intensidades de malla� �i�� i�� i��

b� Intensidades de rama� �ia� ib� ic� id� ie� if ��

c� Tensiones de nudo� �v� v�� v� � �� v��

d� Tensiones de rama� �va� vb� vc� vd� ve� vf ��

Se ha elegido al nudo � como referencia o Tierra�Entre estas variables se cumplen las relaciones

ia � i� � ib � i� � i� � � � �vd � v� � v� � v� � ve � v� � v� � �v� � � � �

en las que se ha colocado el signo que corresponde a las referencias establecidas�Las leyes de Kirchho�� en el dominio temporal� han sido enunciadas de la siguiente

forma�

�� La suma de todas las intensidades que inciden sobre un nudo es igual a cero�Xi

ii � � � �para cualquier nudo�

�� La suma de todas las ca��das de tensi�on en una malla es igual a la suma de todaslas fuerzas electromotrices aplicadas a la misma�X

i

vi �Xi

�j � �para cualquier malla�

Aplicando la transformada de Fourier� o representando fasorialmente a las variables�las leyes se expresar��an comoX

i

Ii � � �Xi

Vi �Xi

Ej

donde las letras may�usculas representan a los fasores correspondientes�

αa

i ci b

i

Figura D����

As��� por ejemplo� con las referencias indicadas� se tiene que� para el nudo ��� �guraD����

ia � ib � ic � � � Ia � Ib � Ic � �

Page 335: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

C

i d

i e

ε 2(t)

R 4

R 3

i f

Cv

R 3v

R 4v

β δ

γ

3

Figura D����

y� para la malla ���� �gura D����

�vR� � vC � vR� � ��� � VR� � VC � VR� � �E�Para plantear correctamente las ecuaciones del sistema basta con establecer� hacien�

do uso de las leyes de mallas y nudos� un n�umero de ecuaciones� linealmente independi�entes� que sea su�ciente para describir las relaciones entre las intensidades y ca��das detensi�on en todas las ramas�

D � Equivalencia entre fuentes reales de tensi�on y de intensidad

Para las corrientes arm�onicas� las fuentes reales pueden representarse como se muestraen la �gura D���� En la primera se representan como fuente de tensi�on con fuerzaelectromotriz V� e impedancia de salida Z� y en la segunda como fuente de intensidadcon intensidad motriz I� y admitancia de salida Y�� Las relaciones fasoriales que lascaracterizan son� respectivamente

Vs � V� � Is Z� �D���

Is � I� � Vs Y� �D���

0 0II s Vs Vs

I sZ 0

Y0

(b)(a)

V

Figura D����

Dividiendo D�� por Z� y tomando

I� �V�Z�

� Y� ��

Z�

Page 336: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

se comprueba que la fuente de intensidad y la de tensi�on son equivalentes�

D An�alisis de mallas

En este m�etodo de soluci�on se calculan� en primer lugar� las intensidades de malla� Unavez hecho esto podemos hallar cualquier otro tipo de variables dependientes� Para apli�carlo haremos uso previamente de la equivalencia entre fuentes de tensi�on e intensidadde forma que en el circuito solo aparezcan las primeras�Puesto que� para cualquier nudo i que pertenezca a la malla �i�� la intensidad

de malla ii entra y sale� la primera ley de Kirchho� se cumple autom�aticamente� Hayque plantear� por lo tanto� tantas ecuaciones de malla linealmente independientes comopuedan establecerse en el circuito� Establecer intensidades independientes equivale aencontrar mallas independientes� En la �gura D��� se reproduce la D�� con la notaci�onadecuada para el an�alisis de mallas�

δ

i

i 3

R 3

R 4

ε 2(t)

ε 1(t) 1i

L

C

R 1R 2

α

β

γ

2

Figura D����

En el dominio temporal� las ecuaciones de las tres mallas elegidas son

�� � i�R� � �i� � i��R� ��

C

Z t

��i� � i� dt� VC�

�� � �i� � i�R � �i� � i��R� � Ld i�d t

��� � iR ��

C

Z t

��i � i�� dt� VC� � �i � i��R

Si nos restringimos a la respuesta arm�onica y escribimos j� � s �

E� � E� � I� �R� �R� ��Cs� �I�R� �I �

Cs

E� � E� � �I�R� �I� �R �R� � Ls� �IR

E � �E� � �I� �Cs �I�R �I �R �R �

�Cs�

�Algo an�alogo se obtiene si substituimos los operadoresR� dt� �

sy d

d t� s�

Page 337: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

donde Ei son las fuerzas electromotrices correspondientes a cada una de las mallas�Matricialmente �� E�

E�

E

�A �

�� Z�� Z�� Z�

Z�� Z�� Z�

Z� Z� Z

�A ��� I�

I�I

�ALa matriz �Zij� tiene las siguientes propiedades�

� Es sim�etrica� por lo que Zij � Zji�

� Los elementos diagonales Zii son la suma de las impedancias de la malla �i��

� Los elementos no diagonales Zij �i �� j� son la suma� cambiada de signo� de lasimpedancias de la rama com�un a las mallas �i� y �j��

El c�alculo d�e Ij es inmediato haciendo uso de la regla de Cramer�

Ij �Xi

Ei�ji

��D��

donde �ji es el cofactor del elemento Zji y � es �el determinante de la matriz �Zij��

D � An�alisis de nudos

Para �el an�alisis de nudos es necesario convertir todas las fuentes de tensi�on en fuentesde intensidad haciendo uso de la equivalencia entre ellas�En el circuito de la �gura D��� se obtienen las fuentes de intensidad de la �gura

D�� �

(b)

R 3R 3 R 1

R 1Ι2Ι1= 2

β

δ

= 1

α

γ

(a)

Figura D�� �

El circuito resultante para el an�alisis de mallas se muestra en la �gura D���Puesto que hemos tomado como nudo de referencia al nudo � �v� � ��� tendremos

que calcular las tensiones v� v� y v� de los nudos � � y � con respecto al � en funci�onde las fuentes de intensidad existentes en el circuito�Para establecer un procedimiento sistem�atico� plantearemos la ley de nudos de la

siguiente forma�

�� Escribimos en el primer miembro la suma de las intensidades de las fuentes� conreferencia positiva las que inciden en el nudo y negativa las que salen del mismo�Para el nudo � I � I��

Page 338: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

αβ IαδIαγ

R 4

R 3

Ι 2

Ι 1

α

β

γ

δ

L

C

R 2

R 1

I

Figura D���

�� En el segundo miembro se escribe la suma de las intensidades que salen del nudopor las admitancias pasivas� Para el nudo esta suma es I� � I� � I� �

As��� pues� para el circuito

I � I� � �V � V���

R�� �V � V��

Ls� �V � �� �

R�

I� � I� � �V� � V��

R�� �V� � V��

R� �V� � �� Cs

I� � �I� � �V� � V��

Ls� �V� � V��

R� �V� � �� �

R

que� en forma matricial� se escribe de forma an�aloga a como se hace en el an�alisisde mallas �� I

I�I�

�A �

�� Y Y� Y�Y� Y�� Y��Y� Y�� Y��

�A ��� V

V�V�

�ALa matriz �Yij� � i� j � � �� � tiene las siguientes propiedades�

� Es sim�etrica� por lo que Yij � Yji�� Los elementos diagonales Yii son la suma de las admitancias para las que el nudo�i� es com�un�

� Los elementos no diagonales Yij �i �� j� son la suma� cambiada de signo� de lasadmitancias de las ramas que unen a los nudos �i� y �j��

D � Circuitos con fuentes dependientes

Ilustraremos con sendos ejemplos como se aplican los an�alisis de mallas y de nudos enel caso de que existan fuentes dependientes�

Page 339: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

An�alisis de mallas �

Sea el ampli�cador de la �gura D���a� cuyo circuito equivalente se representa en la�gura D���b �

1 Z 2

G Dr d

I 1 I 2e

S μ

V

gs

Circuito equivalente

V

(b)

Z 3Ve

Z1

Z 2

G D

S Z 3

(a)

Z

Figura D���

Planteemos la ecuaci�on matricial�Ve

��Vgs

��

�Z� � Z �Z�

�Z� Z� � Z� � rd

���

I�I�

�El problema no est�a resuelto a�un� pues en el primer miembro �gura Vgs que es una

variable dependiente� El paso fundamental de este tipo de problemas es establecer laecuaci�on que relaciona a esta variable con las inc�ognitas del problema� En este caso esVgs � I� Z� Por lo tanto�

Ve��Vgs

��

�Ve�

��

��

��Vgs

��

�Ve�

��

��

��Z I�

�La ecuaci�on matricial quedar�a en la forma�

Ve��Vgs

��

�Z� � Z �Z�

�Z � Z� Z� � Z� � rd

���

I�I�

�de la cual ya es inmediato obtener I� e I��

Observemos que ahora la matriz �Yij� ya no es sim�etrica�

An�alisis de nudos �

Sea el ampli�cador de la �gura D���a� cuyo circuito equivalente se representa en la�gura D���b�

Substituiremos la fuente de tensi�on por una fuente de intensidad� tal como se muestraen la �gura D���

En este caso tenemos tres nudos� por lo que necesitaremos tres ecuaciones� Lasinc�ognitas son las tensiones de los nudos VB � VC y VE con respecto al nudo com�un�tierra��

V�ease el ap�endice E�

Page 340: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

(b)

B E

Ve

CR B

R E R C

I bβI b

h ie

h oe1/

Circuito equivalente

Ve

BCR B

R E

R CE

(a)

Figura D���

C

bβI b

eV

oeY

ieY

YB

YB

B E C

Y YE

I

Figura D���

Page 341: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

Como en el caso anterior� el paso fundamental es encontrar la relaci�on entre laintensidad de base IB y las inc�ognitas� IB � Yie �VB � VE�� La ecuaci�on matricialresultante ser��a�� Ve YB

��

�A �

�� ��� Yie �VB � VE�� Yie �VB � VE�

�A� �Yij� ��� VB

VEVC

�A �

����� � � ��� Yie � Yie �� Yie �� Yie �

�A� �Yij�� �

�� VBVEVC

�AD� Teoremas fundamentales

Existen numerosos teoremas relativos a diversos aspectos de la teor��a de cir�cuitos� De entre ellos solo consideraremos los m�as fundamentales �Le Page y Seely�Balabanian y Bickart��

D�� Teorema de superposici�on

Supongamos que un circuito cualquiera tiene un conjunto de fuentes independientesde intensidad I�i de tensi�on E�j� Dada la linealidad del sistema� cualquier variable de�pendiente Ix �Vx� del circuito puede expresarse como combinaci�on lineal de las fuentesindependientes� Sea X la variable dependiente e fYig el conjunto de variables indepen�dientes�

X �Xi

Ai Yi �Xi

Xi �D���

donde Ai son constantes y

Xi � Ai Yi � �X�Yj�� � �j �� i

Es decir� la respuesta X de un sistema lineal a un conjunto de entradas independi�entes Yi puede expresarse como la suma de las respuestas parciales Xi a una sola de lasentradas Yi�

D�� Teoremas de Thevenin y Norton

Enunciados �

� Teorema de TheveninUn circuito puede ser representado� desde cualquier par de nudos� A y B� comouna fuerza electromotriz ideal en serie con una impedancia�

Vs � ET � Is ZT �D���

Page 342: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

� Teorema de NortonUn circuito puede ser representado� desde cualquier par de nudos� A y B� comouna fuente de intensidad ideal y una impedancia en paralelo�

Is � IN � Vs YN �D���

A

Vs Vs

I sI s

Thevenin Norton

Z

I YC T N

T

N

(a) (b) (c)

A

B

A

B B

Figura D��

Es evidente� �gura D�� que el teorema de Norton se deduce del de Thevenin� sinm�as que aplicar la equivalencia entre fuentes de tensi�on y de intensidad� y que esta�entre unos par�ametros y otros� es

IN �ETZT

� ZN � ZT � YN ��

ZN�D���

donde ET es la fuerza electromotriz Thevenin� IN la intensidad Norton� ZT la impedanciade salida Thevenin e YN la admitancia de salida Norton�

Demostraci�on �Basta con demostrar uno de los dos enunciados�Sin perder generalidad consideraremos un circuito con dos mallas� como el encerrado

en el bloque de puntos de la �gura D���

I 1

I 2 I 3 Vs

I sA

B

Figura D���

Saquemos al exterior los terminales A y B� a los que conectaremos la fuente detensi�on �cticia que representar�a a la tensi�on de salida Vs � Con esto habremos a�nadido

Page 343: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

al circuito una malla m�as� por la que circula una intensidad I � �Is� donde Is es laintensidad de salida� Apliquemos la expresi�on D� para calcular la intensidad de lanueva malla�

Si llamamos �� al determinante del circuito con M � � mallas

I � E� ���

��� E� �

��

��� E �

���

M��Xi��

Ai Ei

donde las Ai ���ji�� son constantes de proporcionalidad� V�ease que a este resultado

podemos llegar sin m�as que apelar al teorema de superposici�on�

Si escribimos E � E � � Vs� donde E � es la fuerza electromotriz de la malla ��� queest�a incluida en el circuito primitivo�

Is � I � A� E� �A� E� �A E � �A Vs

que puede escribirse de cualquiera de las formas D�� y D�� enunciadas anteriormente�sin m�as que hacer IN � A� E� �A� E� �A E � e YN � A�

Formas de calcular los par�ametros Thevenin �

De lo anterior se desprende que disponemos de las siguientes opciones para calcularla fuerza electromotriz y la impedancia Thevenin�

� Resolviendo el sistema de M � � mallas�

� Colocando una impedancia in�nita entre los nudos de salida � abriendo la puertade salida� para calcular ET y cortocircuitando las fuerzas electromotrices internasEi del circuito��

ET � �Vs�Is�� � ZT �

��VsIs

�Ei��

�D� �

� Hallar ET por el procedimiento anterior y ZT cortocircuitando la salida �colocandouna impedancia nula en la puerta de salida��

ZT �

�ETIs

�Vs��

�D����

D� Potencia en corriente alterna

v(t)

i(t)

Figura D���

Supongamos� �gura D��� que una corriente i�t� circula por un elemento pasivoprovocando una ca��da de tensi�on v�t�� La energ��a W �t� que� por unidad de tiempo�

Page 344: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

ceden las cargas Q�t� que atraviesan al elemento ser�a �

P �t� �dW �t�

d t�

dQ�t�

d tP �t� � i�t� v�t� �D����

Sea

v�t� � V� cos��t� ��

i�t� � I� cos��t� ��

� P �t� � I� V� � cos��t� �� cos��t� ��

Teniendo en cuenta relaciones trigonom�etricas sencillas y de�niendo � � � ��queda

P �t� ��

�I� V� cos �

�I� V� cos���t� � � �� �D����

Observemos que la operaci�on de calcular la potencia es no lineal� puesto que implicala multiplicaci�on de dos variables� resultando la frecuencia multiplicada por dos�Si calculamos el promedio temporal de P �t�� el segundo t�ermino� sim�etrico respecto

del eje temporal� se anular�a � Por tanto queda

hP �t�i � ��I� V� cos �D����

Esta expresi�on se conoce por el nombre vulgar de Ley del coseno de �En forma fasorial

V � V� ej�� � I � I� e

j��

con lo cual

hP �t�i � ����V I�� �

���I V �� �D���

P

⟩ ⟩

P(t)

v(t)

i(t)

t

Figura D���

En la �gura D�� se representa a P �t�� i�t� v�t�� para � � �� en funci�on de t� Enella se observa que� efectivamente� la frecuencia de oscilaci�on de la potencia es doble

cada carga individual q que atraviesa al elemento pierde una energ��a potencial q v�t�

Page 345: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

que la de la tensi�on e intensidad y que P �t� puede descomponerse en un t�ermino mediohP �t�i m�as otro variable de media nula� En general� la potencia ser�a en parte positiva�las cargas ceden energ��a al elemento� y en parte negativa� las cargas toman energ��a delelemento� En el caso de los elementos pasivos� la parte positiva es siempre mayor o iguala la negativa�

P

⟩ ⟩

P(t)

i(t)

v(t)

t

Figura D���

Si v�t� e i�t� est�an en fase� � � � � �� toda la energ��a se disipa en elelemento� �gura D��� y la potencia media es

hP �t�i � ��I� V�

Esto corresponden a elementos disipativos que no almacenan energ��a� es decir� a laresistencia ideal�

Cuando � ��� cos � � y

hP �t�i � �

En la �gura D� se ve que la energ��a media es nula y toda la energ��a cedida alelemento es posteriormente recuperada por las cargas� por lo que la potencia mediacedida es nula� Este es el caso de los elementos no disipativos� como la capacidad o lainducci�on ideales� que solo pueden almacenar energ��a pero no disiparla�

Concretando� para elementos simples� se tiene lo siguiente�

� Resistencia�En una resistencia la intensidad y la tensi�on est�an en fase� de manera que

P �t� ��

�I� V� cos �

�I� V� cos���t� � ��

� Condensador�

Page 346: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

⟩ ⟩ =0

P(t)

t

i(t)

P

v(t)

Figura D� �

(c)

i(t) i(t) i(t)

v(t) v(t) v(t)

(a) (b)

Figura D����

Como se ha visto en representaci�on fasorial� en un condensador� la tensi�on est�aretrasada �

� respecto a la intensidad� con lo cual � � � � ��� y

P �t� � ���I� V� sen���t� � ��

� Autoinducci�on�Tambi�en vimos que en una autoinducci�on la tensi�on est�a adelantada �

� respecto ala intensidad y� por lo tanto�

P �t� ��

�I� V� sen���t� � ��

D � � � Teorema de la m�axima transferencia de potencia

El teorema de Thevenin dice que cualquier circuito lineal� visto desde un par de termi�nales A y B� es equivalente a una fuente con una fuerza electromotriz ET e impedanciade salida ZT �

Supongamos� �gura D���� que entre A y B colocamos una impedancia de carga Zccuya magnitud podemos variar� La pregunta es� , qu�e relaci�on ha de existir entre ZT yZc para que la energ��a transferida por la fuente a la carga sea m�axima-

Sea

Zc � x e jy � ZT � ZT� ej

Page 347: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d�

c

TZ

C VT

(a) (b)

BB

A A

Z ZIc c c

Figura D����

La potencia media disipada en la carga es

hP i � ����Vc I�c �

donde

Vc �Et Zc

ZT � Zc� Ic �

EtZT � Zc

I�c �E�t

Z�T � Z�cSubstituyendo

hP i � ��

jEtj�jZT � Zcj� � �Zc�

Para obtener el valor m�aximo de hP i� habr�a que derivar respecto a x e y � e igualara cero� Haciendo estas operaciones se obtiene

x � ZT� � y � �

de donde se deduce que� para que la carga consuma la m�axima potencia�

�Zc�max � Z�T �D����

D�� Estudio de los circuitos de primero y segundo orden

En los temas anteriores hemos revisado las caracter��sticas generales de la Teor��a deCircuitos� En este nos detendremos en el estudio de los sistemas de primero y segundoorden que� naturalmente� al ser los m�as simples son tambi�en los m�as importantes�Analizaremos� por v��a de ejemplo� la respuesta transitoria y la estacionaria� para

se�nales arm�onicas� de sistemas concretos�

D�� Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden

Estudiaremos los circuitos Serie RL y Paralelo RC y los Serie RC y Paralelo RL�

Circuitos serie RL y paralelo RC�

Page 348: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

R

v(t) v(t)Li(t) i(t) R C

Figura D����

La �gura D��� representa a un circuito serie RL y su dual� el paralelo RC� Para elprimero calcularemos la intensidad que circula por �el� mientras que �para el segundo�calcularemos la ca��da de tensi�on v�t�� La dualidad se establece de la forma�

Serie � Paralelov � iL � CR � �

R

Decimos que el segundo circuito es el dual del primero porque las ecuaciones difer�enciales que los describen son an�alogas� Ve�amoslo�

�� Circuito serie�

v�t� � vR�t� � vL�t� v�t� � i�t�R � Ld i�t�

d t

�� Circuito paralelo�

i�t� � iR�t� � iL�t� i�t� �v�t�

R� C

d v�t�

d t

En virtud de esta analog��a� podemos escribir una ecuaci�on general para ambos cir�cuitos

e�t� � x�t� � �d x�t�

d t�D����

donde � recibe el nombre de Constante de tiempo del sistema� e�t�� x�t� y � toman� encada caso� los valores siguientes�

�� Circuito serie�

e�t� �v�t�

R� x�t� � i�t� � � �

L

R

�� Circuito paralelo�

e�t� � i�t�R � x�t� � v�t� � � � RC

Empezaremos calculando la respuesta a un impulso en t � �� como el que se muestraen la �gura D���� Para �jar ideas� consideremos al circuito serie y hagamos

v�t� � V� � ��t� e�t� � E� � ��t� � E� �V�R

Page 349: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

t

o

I II

t=0

o

Figura D����

La respuesta del sistema a este tipo de entrada se llama Respuesta a un impulso delsistema�

e�t� � x�t� � �d x�t�

d t�

���� para t �� �

�� para t� �

En la regi�on I la entrada e�t� � �� por lo que tanto la autoinducci�on� en el primercircuito� como la capacidad� en el segundo� se encuentran en paralelo con una resistencia�el cual es un elemento que disipa energ��a� Cualquier energ��a que en t � � pudierahaber estado almacenada en forma de campo magn�etico �en L� o el�ectrico �en C� hasido disipada antes de cualquier instante cercano� Esto implica que

x�t � �� � x��t� � �

Para t � �dx

x� �dt

� x � X� e

� t�

El valor de X� se determina relacionando los valores de x�t� en el l��mite de lasregiones I y II

x�� � limt��� t��

x�t� � X� � x�� � limt��� t����

x�t� � �

Integrando la ecuaci�on diferencial D��� desde t � �� a t � ��

E� �

Z ��

��

��t� dt � E� � �z ��a���

Z ��

��

x dt �z ��b���

�� �x����� x����� � � X� X� � E�

La itegral �b� � x�t � �� de acuerdo con el teorema integral del valor intermedio� yaque x es un valor comprendido entre x���� � � y x���� � X� que se supone �nito�La soluci�on

i�t� �

���� para t � �

V�R e�

t� para t � �

Page 350: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

-1 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1V0

t

τ

/R

i(t)

Figura D���

se representa en la �gura D���

Busquemos ahora la soluci�on de esta ecuaci�on para una entrada que� como se muestraen la �gura D���� tiene forma de pulso�

e(t)

t

0e

t=0 t1

I II III

Figura D����

Puesto que en esta entrada existen dos discontinuidades� en t � � y t � t�� debemosresolver la ecuaci�on diferencial encontrando soluciones generales para cada una de lastres regiones� I �t � ��� II �� � t � t�� y III �t � t�� y conectarlas mediante condicionesde contorno adecuadas�

Las condiciones de contorno pueden establecerse por razonamientos f��sicos analizan�do los elementos del circuito capaces de almacenar energ��a� capacidades y autoinduc�ciones� ya que son estos elementos los que est�an asociados a los operadores integrales odiferenciales�

En el circuito serie nos encontramos una autoinducci�on que forzar�a a la intensidad atomar valores continuos ya que cualquier discontinuidad en la misma dar��a lugar a unaca��da de tensi�on in�nita� De la misma forma� el condensador del circuito paralelo fuerzala continuidad de la tensi�on de salida� puesto que� para producir un salto brusco de estatensi�on� har��a falta una intensidad in�nita� En ambos casos tendremos la condici�on decontorno� x�t� �continua� Consid�erese que� sin embargo� la respuesta a un impulso esdiscontinua en t � � esta respuesta se debe a una entrada de amplitud in�nita lo queen la pr�actica solo puede tomarse como idealizaci�on de un pulso alto y estrecho�

Page 351: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

Podemos ahora analizar cuantitativamente el comportamiento de estos circuitos�En la regi�on I la entrada e�t� � �� por lo que� como en el problema anterior�

x��t� � �

En t � �� �t � �� t � ��� e�t� da un salto brusco de amplitud e� que� dada lacontinuidad de x�t�� no podr�a aparecer como un salto brusco de esta variable� En elcircuito serie� todo el salto de tensi�on aparecer�a sobre la autoinducci�on L� con lo que

x���� � � �

�d x

d t

���

�e��

es decir� al principio de la regi�on II x�t� empieza a crecer desde el valor cero con unapendiente e�

� � Conforme transcurre el tiempo x�t� y la velocidad de crecimiento

d x�t�

d t��

��e� � x�t�� �

�d x

d t

���

se ir�an haciendo cada vez menores� terminando el proceso cuando x�t� � e��Realmente� aunque x�t� � e�� dada la entrada propuesta� no se alcanza este limite

porque para t � t� e�t� � � y la velocidad de variaci�on de x�t�

d x�t�

d t� �x�t�

�� �

se hace negativa� por lo que x�t� empezar�a ahora a decrecer� cada vez m�as lentamente�hasta que x�t� � �� para t ���Analizada cualitativamente la respuesta de estos circuitos pasaremos a la resoluci�on

de la ecuaci�on diferencial correspondiente al primer circuito�

v�t�

R� i�t� � �

d i�t�

d t

Seg�un la teor��a de las ecuaciones diferenciales� la soluci�on general de esta ecuaci�on�ig� puede expresarse como la suma de la soluci�on general de la homog�enea� igh m�as unasoluci�on particular de la completa� ip�

ig�t� � igh�t� � ip�t�

La homog�enea� i� � d id t � �� admite una soluci�on de la forma

igh�t� � Ae bt

donde b es soluci�on de la Ecuaci�on caracter��stica� Esta se obtiene substituyendo lasoluci�on en la ecuaci�on diferencial y teniendo en cuenta que Ae bt �� �� Luego

� b� � � � b � ���

Por tanto�igh�t� � Ae�

t�

Page 352: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d�

La soluci�on general de la ecuaci�on homog�enea tiene la forma de un decrecimientoexponencial�Busquemos ahora una soluci�on particular de la ecuaci�on completa�Para � � t � t� la ecuaci�on tiene la forma

V�R� i�t� � �

d i�t�

d t

Probemos como soluci�on particular ip � cte� Por substituci�on se comprueba queip �

V�R � La soluci�on general de la ecuaci�on completa ser�a� pues�

ig�t� � Ae�t� �

V�R

Para hallar la soluci�on concreta i��t� en la zona II� ser�a necesario determinar elvalor de la constante A� lo cual se logra aplicando la condici�on de continuidad de laintensidad �x�t� � i�t�� que se ha razonado anteriormente�

i����� � i����� � limt��� t��

i��t� A � �V�R

por lo que

i��t� �V�R

��� e�

t�

-1 1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

V /R0

t

t=0

i(t)

I IIIII

t

Δ

Figura D����

La soluci�on en esta zona tiende a V�R � En un instante determinado i�t� di�ere de

dicho l��mite en una cantidad

� � i���� i�t� � e�t�

Dicha diferencia� seg�un puede verse en la �gura D���� es del orden del �+ parat � �� y del �+ para t � �� �En la zona III �t � t��� la ecuaci�on tiene la forma

� � i�t� � �d i�t�

d t

Page 353: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

cuya soluci�on es del tipo

i�t� � A� e�t�

Aplicando la condici�on de continuidad e t � t�

i��t�� � i�t�� A� �V�R

�e�

t�� � �

�e

i �V�R

�e�

t�� � �

�e�

t�

La �gura D��� muestra gr�a�camente el resultado�De lo anterior resulta que� una vez pasado el transitorio� para t �� � � la autoin�

ducci�on no presenta resistencia al paso de la corriente� Esto concuerda con la expresi�onde la impedancia� ZL � j� L� porque para una tensi�on constante� lo que corresponde auna frecuencia nula� � � � ZL � ��En la �gura D��� se representa la ca��da de tensi�on en R y en L�

vR�t� �

�������V�

��� e�

t�

�para � � t � t�

V�

�e�

t�� � �

�e�

t� para t � t�

vL�t� �

�����V� e

� t� para � � t � t�

�V��e�

t�� � �

�e�

t� para t � t�

-1 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

I II III

tt=0

v(t)

v v

-V

V

t

1

1

RL

0

Δ

Figura D����

En el circuito paralelo RC� la soluci�on es

v�t� � I�

��� e�

t�

Page 354: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

Circuitos serie RC y paralelo RL�

Cv(t) v(t)Li(t) i(t) R

R

Figura D����

Se trata� como en el caso anterior� de dos circuitos duales� Tomaremos como refe�rencia al primer circuito� en el que la intensidad cumple la siguiente ecuaci�on

v�t�

R� i�t� �

RC

Z t

�i dt�

V�CR

V�C es el valor inicial VC��� de la ca��da de tensi�on del condensador� Esta ecuaci�on tienela forma

e�t� � x�t� ��

Z t

�x dt�K�

aplicable a ambos circuitos� En este caso

e�t� �v�t�

R� x�t� � i�t� � � � RC � K� �

V�CR

Derivando la ecuaci�on anterior y multiplicando por �

�d e�t�

d t� �

d x�t�

d t� x�t�

Si tomamos la misma entrada del problema anterior� habr�a que resolver la ecuaci�onen las tres regiones� �gura D�� �a�En todas las regiones el t�ermino independiente d e�t�

d t � �� salvo en las fronteras� enlas que es singular� Efectivamente� como se muestra en la �gura D�� �b�

d ve�t�

d t� V� f��t� � ��t � T �g

Luego las soluciones en el interior de dichas regiones son del tipo

x� � A� e� t� � x� � A� e

� t� � x� � A e

� t�

Por razones ya expuestas en el apartado anterior A� � � x��t� � �� Debemos�por lo tanto� determinar A� y A �jando condiciones de contorno adecuadas en t � � yt � T �Puesto que el sistema es de primer orden� solo necesitamos una condici�on de contorno

en cada uno de estos puntos� Una forma de implementar estas condiciones es la siguiente�

Page 355: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

(b)

t=0

I II III

t=T

t

0V

v(t)oo

oo (t-T)−δ

(t)δ

e

t=0

I II III

t=T

(a)

Figura D�� �

En el primer circuito� cualquier discontinuidad �V en la tensi�on de entrada debeaparecer necesariamente a trav�es de la resistencia puesto que� como hemos visto� latensi�on a trav�es del condensador es necesariamente continua� En el segundo� la intensi�dad que circula por la autoinducci�on es continua� por lo que cualquier salto brusco deintensidad �I debe aparecer en la resistencia�

Volviendo al primer circuito

para t � � � �V � �V� � �x � �i � i���� � i���� �V�R

para t � T � �V � �V� � �x � i�T �� i��T � � �V�R

Dado que i���� � �

i���� �V�R� A�

de lo que se deduce que

i��t� �V�R

e�t� � i�t� �

V�R

��� e�

T�

�e�

t�

La �gura D��� representa a este resultado�

D�� Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden

En este apartado tomaremos como ejemplo los �ltros de paso alta y de paso baja�

Filtros de paso alta diferenciadores de baja frecuencia�

En la �gura D��� se representan dos circuitos de este tipo�

Podemos representar los circuitos por un bloque cuya funci�on de transferencia T �s� �T �j�� � T ��� describe la respuesta en frecuencia del sistema� es decir� la relaci�on entre

Page 356: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-1 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

10R

V0R

-T/ t( e −1)

t

T

Vi(t)

Figura D����

T(s)Ve LVe Vs

C

RR

Vs(s)eX (s)sX

Figura D����

su entrada Xe�s� y su salida Xs�s�� Esta es una funci�on racional compleja de�nida comola raz�on entre los fasores que representan respectivamente a la se�nal de salida y a la deentrada�

T �s� �Xs�s�

Xe�s�

En nuestro problema

T �s� �VsVe�

Z�

Z� � Z�

Para el primer circuito

T �s� �R

�C s �R

�RC s

� �RC s�

�� s

� � �� s� �� � RC

Para el segundo

T �s� ��� s

� � �� s� �� �

L

R

En de�nitiva� la funci�on de transferencia de estos circuitos es

T �s� �� s

� � � s

Obtenemos� por tanto� una funci�on que tiene un cero simple en s � � y un polosimple en s � � �

� �

Page 357: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

Otras formas de escribir la funci�on son

T �s� �j ��

� � j ���

j ��c

� � j ��c

donde �c es la frecuencia de corte�

Por �ultimo� introduciendo una frecuencia normalizada u � ��ctenemos

T �s� �j u

� � j u�

ru�

� � u��*�

�� artg u

-1 0 1x=log u

45

90

-1 -0.5 0 0.5 1x=log u

-20-10

1020T Db

ϕ ο

y=20 x

y=-20 x

Figura D����

En la �gura D��� se representa el diagrama de Bode de esta funci�on de transferencia�el cual describe la respuesta en frecuencia de los circuitos�

Vemos que el circuito aten�ua las frecuencias bajas y deja intactas las altas� las cualespasan sin atenuarse y sin desfasarse�Estos circuitos� como el RL de la �gura D���� act�uan como diferenciadores a baja

frecuencia�

Supongamos que

jij �� j� d id tj jVRj �� jVLj

Si tomamos para i la forma senoidal i � I� cos �t� la condici�on anterior se concretaen

d i

d t� �I� � sen�t I� �� I� �� � �� �c

Page 358: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

Lv (t)e v (t)s

R

Figura D����

por lo que el circuito act�ua como un diferenciador en la zona de bajas frecuencias�Supuesto que el espectro de ve�t� est�a limitado por una frecuencia superior �max � porencima de la cual el espectro sea despreciable y tal que �max �� �c�

i�t� � ve�t�

R vs�t� � �

d ve�t�

d t

Filtros de paso baja integradores de alta frecuencia�

An�alogamente� circuitos� como los dos equivalentes de la �gura D��� nos �ltran lasfrecuencias bajas�

(b)

v (t)e v (t)sv (t)e v (t)s

RC

L

R

(a)

Figura D���

Para el circuito RC

Vs � Ve�

� � j u� u �

�c� � � RC

T �u� ��

� � j u�

�p� � u�

� .artg u

El diagrama de bode correspondiente viene dado en la �gura D����

Estos circuitos� al contrario que los anteriores� dejan inalteradas a las frecuenciasbajas mientras que aten�uan y desfasan a las altas� De ah�� su nombre de �ltros de pasobaja� Tambi�en se les llama Integradores de alta frecuencia� puesto que integran a unase�nal de entrada ve�t� cuyo contenido espectral por debajo de una frecuencia �min sea

Page 359: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-1 0 1x=log u

-45

-90

-1 0 1x=log u

-20

-10

-3

T Db

Figura D����

despreciable y tal que �min �� �c� Efectivamente

vs � vC� ��C

R t� i�t� dt

ve � iR � vC� ��C

R t� i�t� dt

ve�vC�R � i� �

R t� i�t� dt

Tomando se�nales arm�onicas

i�t� � I� cos �tRi�t� dt � I�

� sen�t

� � �� �c

vs�t� � vC� ��

Z t

��ve � vC�� dt

D� Transitorios en circuitos de segundo orden

Como ejemplos de circuitos de segundo orden� analizaremos a los Serie RLC y ParaleloRLC de la �gura D����Estos circuitos son duales� como se comprueba aplicando las reglas enumeradas

anteriormente�

Soluci�on general de las ecuaciones�

Page 360: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

(b)

v (t)e C R L Ce(t)i sv (t)

LR

i s

(a)

Figura D����

La ecuaci�on del primer circuito es

ve�t� � is�t�R � Ld is�t�

d t� vC� �

C

Z t

�is�t� dt

y para el segundo

ie�t� �vs�t�

R� C

dvs�t�

d t� iL� �

L

Z t

�vs�t� dt

Como es f�acil comprobar� estas dos ecuaciones son an�alogas y podemos expresarlasde forma general mediante la ecuaci�on

e�t� �d x�t�

d t� �� �� x�t� � ��

Z t

�x�t� dt�K�t��

donde �� es la Frecuencia de resonancia y �� magnitud adimensional� la Raz�on de amor�

tiguamiento� Para uno y otro circuito

e�t� �

�����ve�t�L � circuito serie

ie�t�C � circuito paralelo

� x�t� �

���is�t� � circuito serie

vs�t� � circuito paralelo

�� ��pLC

� � � �

�Q�

�������R�

qCL � circuito serie

��R

qLC � circuito paralelo

Q es el llamado Factor de calidad o Factor Q del circuito�Si derivamos la ecuaci�on general obtenemos

d e�t�

d t�

d� x�t�

d t�� �� ��

d x�t�

d t� ��

� x�t� �D����

Fij�emonos en el primer circuito y supongamos una se�nal de entrada de tipo escal�on�como la mostrada en la �gura D���� Obs�ervese que para esta entrada

d e�t�

d t�

V�L��t�

Page 361: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

II

t

0V

v(t)

t=0

I

Figura D����

Puesto que d ed t � � para t � � y para t � �� puede tomarse como soluci�on particular

de la ecuaci�on no homog�enea a xpnh � ��Si b� �� b�

xg�t� � A� eb� t �A� e

b� t �D����

Si� por el contrario� ambas ra��ces degeneran en una sola �b� � b� � b�� es necesariobuscar otra soluci�on linealmente independiente� Esta es t e b t� con lo que

xg�t� � A� eb t �A� t e

b t �D�� �

Condiciones de iniciales� Soluci�on en cada uno de los casos�

Puesto que el sistema es de segundo orden� necesitamos dos condiciones de contorno�Estas condiciones se deducen de la magnitud �nita de la ca��da de tensi�on en la autoin�ducci�on y de la intensidad que carga al condensador� La primera condici�on implica lacontinuidad de la intensidad y la segunda la continuidad de vc�t��La primera condici�on se traduce en la continuidad de x�t�

x���� � x����

Para t � �� por las razones ya expuestas en la secci�on anterior� x��t� � �� por lo que

x����� � � �D����

La segunda implica que las posibles discontinuidades de la tensi�on de entrada solopueden aparecer en la resistencia o en la autoinducci�on

ve � vR � vL � vC � �vC � � �ve � �vR ��vL

Sin embargo�

�i � � �vR � R�i � � �ve � �vL

Siguiendo con el primer circuito� en t � �

�ve � ve����� ve���� � V� � L

�d i

d t

���

Page 362: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

lo que se traduce en la condici�on �d x

d t

���

� E� �D����

De la condici�on D��� y de D��� se deduce que� para b� �� b�

A� � �A� � A

y para b� � b�� D�� �

A� � � � A� � A

y de D���

A � E�b��b� para b� �� b�

A � E� para b� � b�

La soluci�on para t � � es� por lo tanto�

x�t� � E�b��b�

�e b� t � e b� t

�para b� �� b�

x�t� � E� t eb t para b� � b�

�D����

Para encontrar b� y b� deberemos resolver la ecuaci�on caracter��stica

b� � �� �� b� ��� � �

cuyas ra��ces son

b� � �� �� � ��p�� � �

b� � �� �� � ��p�� � �

�D����

La �gura D��� describe la evoluci�on de las ra��ces en el plano complejo al variarcontinuamente el valor de ��

Para valores � �� �� ambas ra��ces son reales� b� �� � y b� �� �� Conforme �disminuye� �estas migran a lo largo del eje real hasta unirse cuando � � �� A partir deeste punto� ambas ra��ces se separan� a lo largo del c��rculo de radio ��� manteniendo unarelaci�on de conjugaci�on compleja� y la evoluci�on termina cuando � � �� en cuyo casoocupan posiciones sim�etricas en el eje imaginario�

Podemos� pues� distinguir tres casos seg�un el valor de ��

�� Sistema sobreamortiguado� � � ��

Las ra��ces son reales y distintas� b�� b� � � � jb�j � �� � jb�j� Empleando lanotaci�on � � ��

b � la soluci�on toma la forma

x � A�e� t�� � e

� t��

��

E�

��p�� � � e

��� � t senh���p�� � �

Page 363: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

b 1=b2( ), δ=1

b 1

b 2

b 2

ω0

ω0

ω0 δ

0ω 1−δ 2

δ 1

b 1

δ 0

Im (s)

α=

δ=0

ω

δ=0

1=

Re (s)

δ 0

Figura D����

�� Sistema cr��ticamente amortiguado� � � ��

Las ra��ces son iguales caso degenerado� Ahora b� � b� � ���� Anotando �� � ����

la soluci�on general debe escribirse como

x � At e� t�� � E� t e

��� t

En la �gura D�� se representan las respuestas en los casos anteriores� La delsistema cr��ticamente amortiguado es la que m�as r�apidamente tiende a cero sinoscilar�

�� Sistema d�ebilmente amortiguado� � � ��

En este caso las ra��ces son complejas� conjugadas una de otra �b� � b���� y puedenescribirse de la forma

b� � �� j ��

b� � �� j ��

donde � � �� � �� � ��

p�� ��

N�otese que� como se indic�o en el comentario de la �gura D����

jb�j � jb�j � ��

La ca��da de tensi�on en la resistencia� del circuito serie� es

vR�t� � i�t�R � x�t�R � V���p�� ��

e�t sen�� t

Page 364: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8

-1

-0.5

0.5

1

2

-t/ τe 0

-t/ τe 1

-t/ τe 2

t

t

x(t)

Α

−Α

Ε

τ 0

0 t

x(t)

δ=1

δ>1

i’Cr tico

τ

Amortiguado

1 τ

Figura D�� �

Para la capacidad y la autoinducci�on

vC�t� ��

C

Z t

oi�t� dt � vL�t� � L

d i�t�

d t

luego

vL�t� � � V�p���� e

�t sen ��� t� �

vC�t� � V�

h�� �p

���� e�t sen ��� t� �

i��� � � artg

p�� ��

Como se observa en Las �guras D���� la ca��da de tensi�on m�axima entre dos puntosdel circuito puede sobrepasar al valor de pico de la excitaci�on�

En el caso de la respuesta a una entrada escal�on� para sistemas an�alogos al pro�puesto� es conveniente de�nir un par�ametro que nos mida este exceso�

Se de�ne el Sobredisparo como

s� � Vmax � V�V�

y se puede demostrar que

s� � e� � �p

����

Page 365: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

5 10 15 20 25

0.5

1

1.5

2

5 10 15 20 25

-1

-0.5

0.5

1

5 10 15 20 25

-1

-0.5

0.5

1

L(t)

v C(t)

Vmax

V0

t

t

vR

v

(t)

Figura D����

I C

RV LV

LR

CVeV

Figura D����

Page 366: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

D�� Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden

Analizaremos la respuesta en frecuencia del circuito serie RLC� representado en la �guraD����La funci�on de transferencia para la tensi�on en la resistencia puede expresarse de la

forma

TR�s� �VRVe�

�� s��

s�

���� �� s

��� �

Esta funci�on tiene� por lo tanto� un cero en s � � y dos polos� En funci�on de lafrecuencia normalizada u � �

��

TR�u� ��� ju

�� u� � �� ju�

�� up��� u��� � ��� u��

+�

�� artg

�� u

�� u�

Otra expresi�on �util es en funci�on de Q � ���

TR�u� ��q

Q� � �u � u�� � ��

+�

�� artg

u

Q ��� u��

De esta �ultima expresi�on se deduce que jTR�u�j tiene un m�aximo para la frecuenciade resonancia u � � �� � ���� la cual corresponde con un m�aximo de la intensidad� yde VR� y un m��nimo de la impedancia serie �Zmin � ZR�� tal y como puede verse en la�gura D����

(Z)

Im (Z)

Re(Z)

ZC ZL

ZC

ZL

u=1u>1

ZR

ZZR

Z

(a) (b)

Im (Z)

Re(Z)

ZL

ZC

u<1

ZR

Z

Im

(c)

(Z)

Re

Figura D����

A�un podemos dar otra expresi�on normalizada de la funci�on de transferencia enfunci�on de � � ����

��� u� �

TR�u� ��r

� �hQ�

�������

�i� �+�

�� artg

�� �

Q��� � ��

Para peque�nas desviaciones de la resonancia �� �� ��

TR�u� � �q� � ��Q���

+�

�� artg

�Q�

Page 367: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

Finalmente� cambiando la notaci�on x � �Q�� obtenemos las expresiones sim�etricasrespecto al punto x � �

TR�u� � �p� � x�

+�

�� artg

x

que describe adecuadamente el comportamiento del sistema para frecuencias pr�oximasa la de resonancia� Estas funciones est�an representadas en la �gura D����

-5 -1 1 5x

-90

-45

45

90

-5 -1 1 5x

Δ 2

|T|

ϕο

Δ

1/ 2

Δ

-3 Db

1

Figura D����

Se de�ne la Frecuencia de corte a �Db� como aquella para la cual TR cae �Db pordebajo de su valor resonante� es decir� para x � ��

�� � � �

�Q� �� � �� � �

y la Anchura de banda como

B � f� � f� � � �f� � f�� � �� f� �f�Q

�D���

Vemos� pues� que el ancho de banda del circuito es inversamente proporcional alfactor de calidad del mismo�

En la �gura D�� se representa el diagrama de Bode de TR�u��

La curva resultante es sim�etrica respecto a ���

La funci�on de transferencia para el condensador es

TC�u� ��

�� u� � �� ju�

�p��� u��� � ��� u��

+�artg �� u

�� u�

Page 368: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-1 0 1x=log u

-90

-45

45

90

-1 0 1x=log u

-40

-20

20T Db

ϕ ο

0.1 10 u1

Figura D���

-1 0 1x=log u

-180

-90

-1 0 1x=log u

-40

-20

20T Db

οϕ

1 10 u0.1

Figura D����

Page 369: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

El diagrama de Bode correspondiente se muestra en la �gura D���

Por �ultimo� la funci�on de transferencia para la autoinducci�on es

TL�u� ��u�

�� u� � �� ju�

u�p��� u��� � ��� u��

+� � artg

�� u

�� u�

El diagrama de Bode correspondiente viene dado por la �gura D���

-1 0 1x=log u

180

90

-1 0 1x=log u

-40

-20

20

T Db

οϕ

1 10 u0.1

Figura D����

D�� Problemas

d��� Representar en el plano complejo los siguientes n�umeros complejos� Expresar cada

uno de ellos en forma polar� exponencial y trigonom�etrica�

z � �� �j � z � � � �j � z � �� � �j � z � �� jz � � � z � �j � z � � � z � ��j

d��� Expresar en forma bin�omica los siguientes n�umeros complejos�

z � �� e j �� � z � � e � j �� � z � ��� e j ���

d��� Efectuar la operaci�on que se indica�

a� z � �� j� Hallar z z� z� es el complejo conjugado de z��

Page 370: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

b� z � �� ����� Hallar z � z��

c� z � �� �� �o� Hallar z z�� d� z � ��� e�j ��� Hallar z z��

e� z � r ��� Hallar z�z��

d��� Hallar las ra��ces que se indican de los siguientes n�umeros complejos�

z � ����� � z � ��� �j� �� � z � ���� � � ��o� �� � z � ��� e�j ����

��

d��� Realizar las siguientes operaciones entre n�umeros complejos�

z � ��� � �j� � ����� ������ � z � ��� �j��� � j� � z ��� � �j�

��� j�

d��� Consid�erese un dinam�ometro que cuelga de un punto jo P y esta formado por

un muelle ideal con fricci�on� Hallar�

a� El circuito mec�anico equivalente cuando de �el cuelga una masa M �

b� Un circuito el�ectrico que responda a la misma ecuaci�on diferencial�

d��� En un medio viscoso se suelta una masa M cuya constante de fricci�on con el

medio es �� Hallar�

a� La velocidad de ca��da�

b� Un fen�omeno el�ectrico an�alogo�

d��� Para cada uno de los elementos o asociaci�on de elementos de la gura D����

a� Determinar su impedancia�

b� Calcular las tensiones e intensidades indicadas cuando i�t� � I� cos �t� Rep�resentarlas gr�acamente�

c� Particularizar los resultados del apartado anterior al caso en que I� ��A� � � �KHz� R � �K%� L � �mH y C � ��F �

d��� La diferencia de potencial aplicada a la asociaci�on RLC en paralelo de la gura

D��� es v�t� � Vm sen�tV � Hallar la intensidad de corriente que circula por cada

rama as�� como la intensidad total iT �

d��� Dados los circuitos de la gura D���� hallar�

a� Diagrama de fasores para las frecuencias� f� � ��KHz� f� � ���KHz� f ����KHz� Representar en el plano complejo Ve� VR�� VL� VC � VR�� I�� ���

b� Hallar i� �t� e i� �t� para las frecuencias f�� f� y f� haciendo uso del diagrama

de Bode�

c� Hallar i� �t�� i� �t�� vL �t� y vC �t� cuando ve �t� � V� u�t��

Page 371: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

i(t)

C + v (t) -L+ v (t) -R

+ v (t) -Li (t)R

+ v (t) -R

i (t)C

+ v (t) -R

i (t)R

+ v (t) -L

i (t)L

+ v (t) -C

+ v (t) -C+ v (t) -R+ v (t) -C

+ v (t) -L

i(t) i(t) i(t)

i(t) i(t)

i(t)

+ v (t) -R

+ v (t) -

Figura D����

+ R i (t)C i (t)Li(t)

-

v(t)

i (t)

Figura D����

Cv (t)e v (t)e

+

-

+

-

+

-1

+ v (t) -R1 + v (t) -R2

R 1 R 2v (t)L v (t)C

(a) (b)

i (t) 2i (t)L

Figura D�� �

Page 372: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

d� Lo mismo� para f � f� cuando ve �t� � V� u�t� cos � t�

d���� En el circuito de la gura D�� hallar�

a� i�t� para f� � ���Hz� f� � �KHz y f � ��KHz� cuando ve�t� ��� cos �t V �

b� Lo mismo haciendo uso del diagrama de Bode�

c� i�t� cuando ve � ��u�t� V �

d� i�t� cuando ve � ��u�t� cos � t V �

R Cv (t)e

+

-i(t)

R L

Figura D����

d���� Hallar la condici�on necesaria para que el circuito de la gura D��� reproduzca

elmente a la se�nal de entrada salvo un factor de escala� es decir vs �t� � K ve �t��

2

e

+

-

R 1

+

-

v (t)s

C

CR

1

2

v (t)

Figura D����

d���� Hallar vs�t� en el circuito de la gura D��� cuando ve�t� � k t u �t��

Re

+

-

+

-

v (t)s

L

v (t)

Figura D����

d���� Hallar vs�t� para el circuito de la gura D��� con la entrada especicada en lamisma�

Page 373: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

2

e

+

-

+

-

v (t)s

v (t)e

RCR

V

t=0 t=t t=tt

0

1

v (t)

Figura D����

L

e

+

-

+

-

v (t)s

v (t)e

CR

V

t=0t

0

v (t)

Figura D���

d���� Igual al ejercicio anterior para el circuito y entrada de la siguiente gura D����

d���� Hallar la intensidad que circula por un circuito serie RLC� cuando ve �t� ���� sen ���� t � ���u �t�V �

d���� Demostrar que los valores m�aximos de la tensi�on en la autoinducci�on L y el con�

densador C de un circuito serie RLC se dan para las frecuencias

�L ���p�� � �� � � �C � ��

p�� � ��

d���� Demostrar que el sobredisparo de la tensi�on en el condensador de un circuito serie

RLC es

s� � exp

�� � �p

�� ��

�d���� En el circuito de la gura D���� hallar�

a� La frecuencia a la cual Vs esta en fase con Ve�

b� La relaci�on que debe existir entre sus componentes para que� a la frecuenciadel apartado anterior� se verique que Vs �

� Ve�

d��� En el circuito de la gura D���� hallar la intensidad de corriente que circula por

la impedancia Z�

d���� En el circuito de la gura D���� hallar la amplitud que debe tener la fuente de

tensi�on V�� para que la ca��da de tensi�on en la resistencia de % sea nula�

d���� Para los circuitos de las siguientes guras D���� hallar�

Page 374: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

2e

+

-

+

-

v (t)sCRCR1

2

1v (t)

Figura D����

Ω

+ -

Z=3+4j

20

10

5j

2,5j10 0 oV

Ω

ΩΩ

Ω

Figura D����

o +

-

+

-

V2

5 4 3

2j -5jV

Ω Ω Ω

ΩΩ5 0

Figura D����

Page 375: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

a� La frecuencia de resonancia y el factor de calidad Q�

b� vs �t� cuando v � e�t� � v� �t� � v��t�� siendo v�� �t� � �� cos �� t y v� �t� �cos �� t� con �� � �� �� rad � s�� y �� � ��

� rad � s���

C

e

+

-

+

-

v (t)sL

C

Rv (t)e

+

-

+

-

v (t)s

(a) (b)

R

L

v (t)

Figura D����

d���� En el circuito de la gura D��� R es variable� Demostrar que la amplitud de

Vs no depende del valor de R mientras que su fase es funci�on del valor de esta

resistencia� Hacer una representaci�on fasorial de las tensiones que aparecen en el

circuito�

3

v (t)e

+

-

v (t)s+ -

R C

R R

1

2

Figura D�� �

d���� Hallar la relaci�on que existe entre la potencia media almacenada y disipada en los

circuitos de la gura D�� cuando�

a� � � ���

b� � � ����� �

Re

+

-C

(a) (b)

R

L C

ei (t) Lv (t)

Figura D� ��

Page 376: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

-LR

C

v (t) i (t)1 2R+

Figura D� ��

d���� Hallar la intensidad que circula por el condensador del circuito de la gura D����

d���� Hallar el valor de la impedancia de carga Zc del circuito de la gura D��� para

que la energ��a disipada en la misma sea m�axima�

R

v (t)e

+

-Z cC R

RR

L

Figura D� ��

d���� Hallar la m�axima potencia que se le puede sacar a la fuente de la gura D��� si

la carga es una resistencia pura variable�

1

-R c

10 cos 10 t31 K Ω+

Figura D� ��

d���� Hallar la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z� del circuito de la

gura D��� mediante el m�etodo de mallas�

d���� Igual al ejercicio anterior� para el circuito de la gura D��� pero utilizando elm�etodo de nudos�

Page 377: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d��

3

-V

Z

Z

Z

Z

Z 0

1 2

4

+

Figura D� �

IZ 0

Z

Z

Z

Z

1 2

43

Figura D� ��

d��� Hallar� mediante el an�alisis de nudos� la admitancia de entrada admitancia entre

los puntos A y B� del circuito de la gura D����

CI

A

B

L

R

L

Figura D� ��

d���� Hallar� mediante el an�alisis de mallas� la impedancia de entrada impedanciaentre los puntos A y B� del circuito de la gura D���� Comparar los resultados

con los obtenidos en el problema anterior�

d���� Hacer uso del an�alisis de mallas� del de nudos� del principio de superposici�on y

del teorema de Thevenin para hallar la intensidad que pasa por la resistencia del

circuito de la siguiente gura D����

d���� Hallar el equivalente Thevenin y Norton de los circuitos de la gura D����

d���� En el circuito de la gura D�� la frecuencia de ambas fuentes es de ���Hz�

Page 378: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

V

A

B

L

R

L

C+

-

Figura D� ��

V

L

R

C+

-

+

-V

Figura D� ��

Hallar la potencia suministrada a la resistencia R�� en los siguientes casos�

a� Calculando el equivalente Thevenin desde los puntos D �D ��

b� Aplicando sucesivamente los teoremas de Thevenin y Norton hasta reducir el

circuito a una sola malla�

d���� En el circuito da la gura D��� calcular la intensidad que pasa por el condensador

y la ca��da de tensi�on en los extremos de la resistencia R��

d���� Haciendo uso del circuito equivalente simplicado del transistor bipolar� hallar el

equivalente Thevenin de los circuitos de la gura D��� desde los puntos A y B�

d���� Hallar el equivalente Thevenin desde los puntos A y B de los circuitos de la gura

D���� Hacer uso de los circuitos equivalentes simplicados del transistor bipolar

y del FET �

d���� En el circuito de la gura D���� hallar v�� y v�� en funci�on de ve� y ve�� Se suponeque los transistores son id�enticos� H�agase uso del circuito equivalente simplicado

del transistor bipolar�

d���� Hallar los diagramas de Bode de amplitud y fase de las siguientes funciones detransferencia�

a� T� ���� �� � ��� s�

s �s� � �� s� ���� � s � j�

b� T� ���� �s � ��

s��s� ��s� ��

Page 379: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

(c)

-V

+ -V

+ -V

+

-

A

B

A

B

(b)(a)

C C

R

RV

Z Z Z Z

Z

Z

+

-

+

-

R 1

R 2

R 3+ -V

A B

C

L

V

VR 1 R 2

1

2

C

B

A

L

+ -V

A

BC

R R

R R

1 2

3 4

R 5

L1

6

(f)

+

-V

Z

Z

Z

Z

1 2

43

(e)

(d)

+

Figura D� �

-

2R

R 1

L

L C

V

I11

2

2

D’

D

+

Figura D�����

Page 380: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

d���

0 +

-V

I

I 2

1

RR R

C L

Figura D�����

AE

CB

+

-

R 1

R 2ve

E

CB

+

-

B

R 1

R 2ve

A

B

R 3

(a) (b)

Figura D�����

A+

-

R 1

ve

S

GD A

R 2

(a)

B

+

-

R 1

ve R 2

(b)

B

S

GD

A

E

CB

R 2

+

-ve

R 1

B

(c)

E

CB

Figura D�����

6

E

CB

E

CB

+

-

+

-E

CB

v01 v 02

v ve1 e2

Z

Z

Z

Z Z

1 2

3 4 7

Z 5 Z

Figura D����

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d���

c� T �� � �j���� � ������

j� �� � j�������� � j���

Page 382: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice E

Modelos lineales de transistores

bipolares y de efecto de campo

Un transistor bipolar real� v�ease la �gura E���a� es un elemento con tres puntos f��sicosde conexi�on � patas� que corresponden a los tres terminales denominados emisor E� baseB y colector C� Lo discutiremos en su con�guraci�on de emisor com�un � �gura E���b ��en la que se consideran cuatro terminales� dos de los cuales� uno de entrada y otro desalida� son comunes y corresponden al emisor�

-

CE

i Ci B

vBE

i C

v BC

E

i E-

(a)

+B+

- -E E

C

(b)

BCi B

vvBE

CE

++

+

-

v

Figura E���

Como se deduce de las leyes de mallas y nudos

vBE � vBC � vCE

iB � �iE � iC

En general� el comportamiento de este sistema puede caracterizarse por dos fun�ciones no lineales� ejemplos de las cuales se representan en las curvas caracter��sticasparam�etricas de la �gura E�� � los sub��ndices con letras may�usculas indican que lasse�nales correspondientes no est�an limitadas en amplitud��

�La direcci�on de la �echa grande en el emisor corresponde al transitor tipo n� p� n�

e��

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e��

(V)

5 10

0

50

100

150

2

4

vCE (V)

( A)μI B

I (mA)C

vCE (V)

( A)μI B

5 10

0

50

100

150v

0.1

0.2

BE

Figura E���

Si las variaciones de las se�nales son peque�nas� podemos linealizar estas relaciones�

dvBE � vBE iB

diB � vBE vCE

dvCE

diC � iC iB

diB � iC vCE

dvCE

De manera que� cambiando la notaci�on

vbe � dvBE � ic � diC � ib � diB � vce � dvCE

hie � � vBE� iB

� hre � � vBE� vCE

� hfe � � iC� iB

� hoe � � iC� vCE

se obtienen las relaciones lineales entre los par�ametros de peque�na se�nal del transistor

vbe � hie ib � hre vce

ic � hfe ib � hoe vce

Matricialmente ���vbe

ic

� � �hij� ����

ib

vce

�donde �hij� son los par�ametros h del transistor bipolar� De aqu�� se deduce el circuitolineal equivalente para peque�na se�nal de la �gura E���

c

+

-

h re v cev

+

-

v

E

C

h fei bh1

oe

v

+

-

ce

iB

E

h ie

be

b i

Figura E���

Page 384: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

e��

Casi siempre se puede tomar hre � �� En los casos m�as simples basta con suponerque �

hoe� � y hie � �� Teniendo esto en cuenta y escribiendo � � hfe� queda un

circuito simpli�cado� �gura E�� correspondiente a una fuente de intensidad controladapor intensidad�

be v

+

-

v

+

-

i cC

iB

b

i b i cCB

E

i bβ

i bβ

cev

EE

Figura E��

El transistor efecto campo �FET � puede tratarse de forma similar a la utilizadapara el bipolar� Las tres patas del FET son la puerta �G � � gate��� la fuente �S �� source�� y el sumidero�D � � drain��� Aqu�� se considerar�a en la con�guraci�on defuente com�un� tal como se representa en la �gura E���a�

d

d-

+

v

+

-

v

+

-

D

S

ds

di

vvgsμ v

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-

vgs g vgsrd

(b)

G

S

gs

(c)

i

v

+

-

D

S

G

S

ds

d

(a)

g

s

+

- -

i

v

+v

iG

S S

D

igs ds

r

Figura E���

No obstante� por presentar una impedancia muy grande entre los dos terminales deentrada �G y S�� no puede ser descrito adecuadamente mediante los par�ametros h� Elcircuito equivalente de fuente com�un es el representado en la �gura E���b y c� El primerode estos circuitos corresponde a una fuente de tensi�on controlada por tensi�on � es laganancia de tensi�on y rd la resistencia de sumidero� normalmente peque�na� El segundo�que se obtiene del anterior mediante la substituci�on de la fuente de tensi�on por otrade intensidad� corresponde a una fuente de intensidad controlada por tensi�on� siendog � �

rd�

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e�

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Ap�endice F

Introducci�on hist�orica

Este es un libro de texto y los criterios empleados en su elaboraci�on pretenden respondera �este car�acter� Su orden y estructura est�an� hasta cierto punto� alejados de su posibleg�enesis hist�orica ni tan siquiera en la asignaci�on de nombres propios� a conceptos y leyes�se pretende alg�un tipo de rigor o justicia hist�oricos� Esto� que parece inevitable en unlibro de esta naturaleza� tiene el inconveniente de enmascarar la visi�on del proceso porel cual los conceptos y teor��as han ido form�andose y evolucionando a trav�es del tiempocomo consecuencia de una continua e ingente labor de creaci�on� veri�caci�on y desarrollo�Por otra parte� el uso de una argumentaci�on y de un lenguaje depurados puede producirla impresi�on� superada la primera etapa de asimilaci�on� de que los conceptos son m�assimples y de�nitivos de lo que realmente son�Para subsanar esta situaci�on� el lector debe acudir a otras fuentes� La historia de la

teor��a del campo electromagn�etico que� como todas las historias� es controvertida� debeser contada por especialistas pero creemos �util exponer aqu�� un breve resumen con elque ilustrar� de forma super�cial� sin pretensiones de rigor� la g�enesis de dicha teor��a�Aunque es poco asequible y contiene alg�un error notable� la primera fuente que deber��aconsultar quien desee ampliar y precisar conocimientos en este tema es el libro de SirE� Whittaker �Whittaker�� M�as asequible es el de �Berkson��Comenzaremos� lo que constituye un lugar com�un� situando a los or��genes de la

electricidad y del magnetismo� como los de la mayor��a de las ramas de la Ciencia� enla antigua Grecia� Se atribuyen a Tales �������� como primer sabio de Grecia� losprimeros estudios de la atracci�on de objetos ligeros por el �ambar frotado y del hierropor la piedra im�an� Para Tales� todo el Universo es un organismo vivo� incluso su parteinanimada� como lo demuestran las acciones del �ambar y del im�an� el im�an tiene almaporque atrae al hierro� Precisamente� el �ambar �electr�on� y la magnetita� procedente�esta �ultima de la vecina regi�on de Magnesia� dan origen a los nombres Electricidad yMagnetismo�M�as adelante� Arist�oteles ��������� que abord�o pr�acticamente todos los temas de

su tiempo� propuso la adici�on de un quinto elemento� el �eter� a los cuatro preconizadospor Emp�edocles� Este Eter� substrato universal� presunto soporte de la propagaci�on delas interacciones� ha sido desterrado de las teor��as f��sicas actuales pero ha jugado unpapel fundamental en la conformaci�on de la teor��a electromagn�etica�Hasta el siglo XIII de nuestra era no constan avances dignos de menci�on� Por entonces

f��

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f��

empiezan los mareantes mediterr�aneos a utilizar la aguja magn�etica� �otando sobreun corcho� como referencia de rumbo� Pedro de Maricourt� m�as conocido como PeterPeregrinus� monta la aguja sobre un pivote y le a�nade el c��rculo graduado� dando lugar ala primera br�ujula� Hacia ����� en carta a un amigo� describe sus esfuerzos por construirun m�ovil que aproveche la fuerza magn�etica� logro reservado a Faraday� y pone demani�esto como los polos de un im�an son inseparables y de naturaleza tal que se atraenentre contrarios y se repelen entre iguales� Construye una esfera de piedra im�an y observaque las agujas magn�eticas se alinean seg�un los meridianos de la misma� No obstante� noacierta a identi�car a la Tierra como a un im�an�

Realmente� el origen cient���co del electromagnetismo hay que situarlo en el sigloXVII con la publicaci�on por William Gilbert� en ����� de � De Magnete MagneticisqueCorporibus� et Magno Magnete Tellure� � Acerca del magnetismo� cuerpos magn�eticos�y el gran im�an Tierra� �Gilbert�� Construye� como Peregrinus� un im�an esf�erico al quellama � Terrella� y descubre la declinaci�on magn�etica que atribuye al hecho de quela Tierra es efectivamente un im�an� Emplea por primera vez t�erminos como atracci�onel�ectrica� fuerza el�ectrica y polo magn�etico que hoy son de uso cotidiano� Describe como� substancias el�ectricas� a una serie de ellas que� como el �ambar� atraen a objetospoco pesados� En otra obra suya atribuye las �orbitas planetarias a una cierta forma demagnetismo� Por �ultimo� no carece de inter�es el mencionar su demostraci�on de que elajo no destruye al magnetismo�

A partir de Gilbert se genera un vivo inter�es por las experiencias de tipo el�ectrico�El invento de m�aquinas electrost�aticas� por Otto Von Guericke y otros� as�� como eldescubrimiento del condensador primitivo� la botella de Leyden� de incierto origen�permitieron disponer de cargas y tensiones mayores con que seguir experimentando�

La conducci�on el�ectrica es descubierta por Gray y� poco despu�es� Desaguilier acu�nalos t�erminos conductor y aislador�

Hacia ����� Du Fay ��� ����� � pone de mani�esto la existencia de fen�omenos derepulsi�on� Reconoce la existencia de dos estados de electri�caci�on� a los que nombra comov��treo y resinoso� producidos por frotamiento en el vidrio y la resina� y que atribuye ala existencia de dos �uidos distintos�

Cant�on ��� � fabrica el primer im�an arti�cial y relaciona las alteraciones de laorientaci�on de la br�ujula con las auroras boreales intuyendo el mecanismo de lo que hoyconocemos como tormentas magn�eticas�

Podemos considerar que Benjam��n Franklin �������� �� cierra una primera etapadel desarrollo de la electricidad� A �el se debe el descubrimiento del poder de las puntasy la identi�caci�on del rayo y el trueno como grandes versiones de la chispa el�ectrica yde su sonido� Esto le lleva al invento del pararrayos� Su c�elebre experiencia de la cometaes un ejemplo de osad��a cient���ca pues� si bien sali�o ileso de la prueba� cost�o la vida avarios de sus imitadores� Por �ultimo� aunque era partidario de la teor��a de �uido �unico�design�o a los estados de electri�caci�on con los signos ��� y ��� que� seg�un �el� denotanque un cuerpo est�a cargado en exceso� carga positiva� o por defecto� carga negativa�de un �unico �uido� Este convenio� aunque tampoco concuerda con la identi�caci�on del�uido �unico con los electrones de un metal� es el que subsiste hasta nuestros d��as� Lacarga positiva � vitrea� es la que ser�a repelida por vidrio frotado con seda y la negativala que lo ser�a por el lacre frotado con piel de gato� Symmer ���� � y otros sostienen� sin

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f��

embargo� que la materia ordinaria es neutra por contener partes iguales de dos �uidosimponderables a los que cali�can como electricidad positiva y negativa�En una segunda etapa� desde Cavendish a Faraday� la electricidad y el magnetismo

se hacen cuantitativos y sistem�aticos� descubri�endose los fen�omenos de acoplamientoque permiten fundir a estas dos disciplinas� hasta ahora independientes� en una sola� elElectromagnetismo�Cavendish ����������� fue un extraordinario investigador y persona peculiar en ex�

tremo� Descubri�o leyes fundamentales que no llevan su nombre� como la de Coulomby la de Ohm� su timidez y desinter�es por publicar fueron tales que su obra solo pudoconocerse plenamente cuando� despu�es de su muerte� sus papeles fueron publicados porMaxwell�En ����� Priestley deduce� por analog��a con el fen�omeno gravitatorio� que la inter�

acci�on entre cargas debe seguir la ley del inverso del cuadrado de la distancia� En �����Charles August��n Coulomb establece con precisi�on� en una extraordinaria experiencia�la ley que lleva su nombre� con�rmando de esta manera las previsiones de Priestley�Hasta aqu�� hemos seguido el progresivo desarrollo de la electricidad no encontrando

nada paralelo en el magnetismo� El rompimiento de esta situaci�on se posibilita con el de�scubrimiento de los potenciales de contacto y� como consecuencia� de la pila � voltaica�por Alessandro Volta ����������� Volta inventa tambi�en el electr�oforo� precedente in�mediato de los actuales condensadores�De la misma forma que las m�aquinas electrost�aticas y la botella de Leyden per�

mitieron el desarrollo de la electricidad� las pilas voltaicas� al poner a disposici�on delexperimentador cantidades substanciales de corriente� permitieron el desarrollo del mag�netismo�

I

I

N

SN

S

Figura F���

El descubrimiento� no casual� por Hans Christian Oersted ����������� en ��� � deque una aguja magn�etica se alinea perpendicularmente a un hilo recto por el que paseuna corriente� es decir� de la interacci�on entre corrientes e imanes� dio lugar a un resurgiren el estudio de los fen�omenos magn�eticos � v�ease la �gura F����Arago descubre que las corrientes atraen a las limaduras de hierro y que� adem�as�

son capaces de inducir el estado de imanaci�on� Inmediatamente� Andr�e Marie Amp!ere����������� establece en ���� la regla de la mano derecha� o regla del sacacorchos� seg�unla cual� si un conductor que porte corriente se coge con la mano derecha de forma que elpulgar apunte en la direcci�on convencional de la corriente� del ��� al ��� de la pila� lasl��neas de fuerza magn�etica� cuya direcci�on viene determinada por la aguja magn�etica y

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f�

cuyo sentido es de sur a norte de la misma� rodean al hilo en el sentido indicado por elresto de los dedos� v�ease la �gura F����

I

Figura F���

Descubre tambi�en que no solo tienen lugar interacciones entre imanes y entre cor�rientes e imanes� sino que interacciones del mismo tipo se dan entre corrientes� Dosespiras paralelas y coaxiales se atraen si son recorridas por corrientes en el mismo senti�do y se repelen en caso contrario� Si� en esta �ultima situaci�on� a una de las espiras se ledeja orientarse libremente� girar�a de forma que la corriente circule por ella en el mismosentido que por la otra espira � v�ease la �gura F����

Como concreci�on de estos hechos� generalizando a los � elementos de corriente� lasnociones newtonianas de acci�on a distancia� aunque violando el principio de reacci�on�Amp!ere enuncia matem�aticamente la ley de fuerzas entre corrientes� En esta ley se dala primera aplicaci�on no trivial de las matem�aticas al electromagnetismo y� aunque suvalidez se limita a corrientes cerradas� tiene el mismo rango de validez que la ley deCoulomb�

I’F F’ F F’

I I I’

Figura F���

Como aportaciones adicionales de Amp!ere� no tan fundamentales como la anterior�pero importantes en todo caso� citaremos la concepci�on de los cuerpos imanados comoconjunto de corrientes microsc�opicas permanentes� la construcci�on del primer solenoidey el invento del primer amper��metro� el de tangentes� que mide la corriente por ladesviaci�on que produce� al pasar por una espira� en una aguja magn�etica que� a su vez�est�a sometida al campo magn�etico terrestre�

Dentro de este periodo debemos dejar constancia del enunciado de la ley de Ohm���������� en ����� aunque� como ya hemos dicho� hab��a sido descubierta� pero nopublicada� por Cavendish� Tambi�en debemos citar a Humphry Davy ��������� �� nosolo por ser un gran cient���co y conferenciante en esta materia� iniciador de los estudios

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f��

de conducci�on en l��quidos y gases� inventor de la l�ampara de arco� sino por ser el in�spirador y maestro de Faraday� a quien contrat�o como ayudante de laboratorio� pero aquien no trat�o excesivamente bien los celos profesionales le llevaron incluso a estorbarel nombramiento de Faraday como miembro de la Royal Society� Podemos presentartambi�en a Davy como ejemplo de cient���co imprudente� como tantos otros� pues prob�aba y ol��a todos los productos qu��micos con los que experimentaba� como el gas de larisa� que descubri�o� Muri�o a temprana edad de una probable intoxicaci�on qu��mica�

Con Michael Faraday ��� ������� consideraremos cerrada una segunda etapa en laque la electricidad y el magnetismo se desarrollan casi por completo desde el puntode vista experimental y conceptual� En la siguiente� de Maxwell a Einstein� se com�pleta el cierre de la teor��a� terminando el acoplo del campo el�ectrico con el magn�etico�d�andole la expresi�on formal y conceptual con que hoy lo presentamos y comprobandoexperimentalmente� como en la brillante experiencia de Hertz� las predicciones te�oricas�

La vida de Faraday es ejemplar desde el punto de vista cient���co y humano y suaportaci�on al electromagnetismo� a la que solo puede equipararse la de Maxwell� es fun�damental� Sus descubrimientos en este �area de la Ciencia� la inducci�on electromagn�etica�el comportamiento diel�ectrico y diamagn�etico de la materia� la rotaci�on de Faradaydel plano de polarizaci�on de la luz� etc� � est�an generados y presididos por una �rme�aunque abierta� concepci�on del mundo en la que un continuo de l��neas de fuerza� el maro campo de fuerzas� constituye la �unica substancia f��sica� Esta concepci�on� no exentade ambig(uedades y di�cultades� permitir�a a Maxwell y a sus sucesores desarrollar� enun proceso evolutivo� al electromagnetismo como la teor��a cl�asica de campos que hoyconocemos�

Haciendo una exposici�on simplista del tema� podemos dividir las concepciones delmundo en el siglo XIX en dos grupos� la concepci�on newtoniana y el conjunto de lasno newtonianas conviene advertir que Newton� en carta a un disc��pulo� expone seriasdudas sobre la razonabilidad de dicha concepci�on � newtoniana��

Los newtonianos ven al Universo como constituido por corp�usculos materiales� es�pacio vac��o y fuerzas que act�uan � a distancia�� entre corp�usculos� de forma directa einstant�anea�

Las teor��as no newtonianas niegan alg�un aspecto de la anterior� especialmente laexistencia del vac��o y de la acci�on a distancia� Descartes equipara a la materia con laextensi�on y explica la interacci�on como acci�on de contacto super�cial� Leibnitz� querechaza el vac��o� asigna fuerzas repulsivas a todos los puntos de la materia� no solo alas part��culas de tama�no �nito� para explicar la impenetrabilidad de los cuerpos� ParaKant� masa y extensi�on son equiparables� los cuerpos materiales son regiones continuasde fuerzas puntuales repulsivas� que � llenan� el espacio que ocupan y act�uan solo sobrelos puntos de fuerza contiguos� y fuerzas atractivas que act�uan a distancia y no � llenan�el espacio a trav�es del que act�uan�

Faraday es �rmemente antinewtoniano y su m�as claro precedente est�a en Oersted�Para este �ultimo� todos los tipos de interacciones son equivalentes y convertibles entre s��y a las b�asicas de atracci�on y repulsi�on� Su descubrimiento de la interacci�on entre corri�entes e imanes es el resultado de su b�usqueda de la conversi�on de la fuerza el�ectrica enfuerza magn�etica� Esta b�usqueda de lo que ahora llamar��amos el Campo unicado� ser�atambi�en una constante en Faraday� quien intenta� repetidamente� demostrar la equiva�

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f��

lencia entre la fuerza magn�etica y la gravitatoria� A los �� a�nos� tres despu�es de empezarsu carrera cient���ca� dice no atreverse a a�rmar positivamente que la atracci�on de agre�gaci�on y la a�nidad qu��mica sean realmente lo mismo que la acci�on gravitatoria y laatracci�on el�ectrica � Pero tengo para m�� que si��� �� Estas ideas las plasma en un oscuropero fruct��fero principio de conservaci�on de las fuerzas que luego encontrar��a su con�creci�on en los principios de conservaci�on de energ��a y momento con Mayer� Helmholtz�Joule� Poynting� etc� Faraday cree en la substancialidad� o realidad� de las l��neas defuerza� que constituyen la �unica substancia f��sica y que� en de�nitiva� el Universo esun inmenso mar� o campo� de fuerzas en el cual los puntos de fuerza act�uan sobre loscontiguos dando lugar a una propagaci�on de las acciones� Faraday visualiza el �con�ictoel�ectrico� de Oersted como un continuo de l��neas de fuerza que interpenetra al espaciocircundante provocando un estado de tensi�on en la materia� la cual constituye unidadcon la fuerza� Estas l��neas de fuerza son m�oviles pero dotadas de una cierta �pereza� �hoy dir��amos �inercia��� debido a lo cual la interacci�on lleva un tiempo� � Me inclino acomparar la difusi�on de las fuerzas magn�eticas� a partir de un polo magn�etico� con lasvibraciones sobre la super�cie del agua perturbada��� � Me inclino a pensar que la teor��avibratoria se aplica satisfactoriamente a estos fen�omenos igual que se aplica al sonidoy� muy probablemente� a la luz��

Junto con esta �rme concepci�on� siempre abierta a las ideas ajenas� Faraday pose��auna extraordinaria capacidad para pasar de la idea abstracta a la experiencia concretasin ning�un proceso intermedio matem�atico m�as all�a del �algebra elemental� Efectiva�mente� era uno de los diez hijos de un herrero y ejerc��a de aprendiz de encuadernadorcuando entr�o a trabajar como ayudante en el laboratorio de Davy� No ten��a formaci�onmatem�atica ni cient���ca previa y� salvo a las leyes de la electrolisis� no lleg�o a dar expre�si�on cerrada a ninguno de sus descubrimientos� Esta laguna ser�a cubierta por Maxwell�

James Clerk Maxwell ��������� � es� en cierto modo� la ant��tesis y el complementode Faraday de familia aristocr�atica� pose��a una extensa cultura y una s�olida formaci�onmatem�atica que le permiti�o publicar su primer trabajo matem�atico a los catorce a�nos�Bas�andose en la obra de Faraday pero modi�cando algunos conceptos e interpretaciones�Maxwell estructura matem�aticamente la teor��a electromagn�etica y la completa con laintroducci�on de la corriente de desplazamiento�

Maxwell justi�ca la concepci�on de acci�on contigua admitiendo la existencia de unmedio� de caracter��sticas muy peculiares� que act�ua de soporte de dichas acciones� Estemedio hipot�etico es el �eter� el Eter lumin��fero que ya se hab��a postulado para la propa�gaci�on de la luz� del cual propone modelos complejos� sometidos a las leyes de la mec�anicade Newton� que le permiten estructurar matem�aticamente a la teor��a electromagn�etica�Como consecuencia del modelo propuesto aparece una � corriente de desplazamiento��asociada a los remolinos del �eter� cuya importancia no reconoce hasta a�nos m�as tarde�apuntando en su � Tratado� que esta es una de las principales peculiaridades de suteor��a�

Por analog��a con la teor��a el�astica� en la que la velocidad de las ondas transversales esproporcional a la ra��z cuadrada del cociente entre rigidez y densidad del medio� Maxwelldeduce que la velocidad de las ondas transversales que se propagan por el �eter coincidencon la velocidad de la luz� lo que sugiere el car�acter electromagn�etico de la misma�

El modelo de �eter empleado por Maxwell no era en modo alguno completo� pudiendo

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f��

decirse que era a un mismo tiempo fant�astico e inveros��mil� Dadas las di�cultades queencuentra para construir un modelo f��sicamente satisfactorio� opta por prescindir de �el�aunque nunca deja de pensar que la verdadera explicaci�on de sus ecuaciones debe residiren un mecanismo sometido a las leyes de Newton�

Maxwell vuelve por �n a enunciar sus ecuaciones electromagn�eticas con independen�cia de cualquier explicaci�on mecanicista y comprueba directamente� a partir de ellas� quelos campos cumplen una ecuaci�on de onda en la que la velocidad de fase coincide con lavelocidad de la luz� El car�acter electromagn�etico de la luz fue puesto de mani�esto porHertz� con sus experiencias de propagaci�on de ondas electromagn�eticas en ����� y porZeeman en �� � al demostrar que exist��an cargas capaces de moverse con aceleraci�onsu�ciente como para radiar dentro del espectro visible�

La contribuci�on de Maxwell a la estructuraci�on matem�atica del electromagnetismo esb�asica� por una parte� incorpora las aportaciones de los matem�aticos europeos� Laplace�Gauss� etc� y� por otra� introduce nuevos conceptos como el del rotacional �Maxwell��

No obstante la exposici�on de sus ecuaciones se hace componente a componente ellenguaje anal��tico vectorial fue introducido� no sin oposici�on� por Heaviside y Gibbs�Posteriormente se desarrollan aspectos parciales importantes como la teor��a de los po�tenciales y la teor��a del electr�on en las que cabe resaltar especialmente la contribuci�onde Hendrik Antoon Lorentz ������� ��� y las de Poincar�e� Abraham� etc� � pero con�cluiremos con una breve relaci�on del proceso de crisis de las teor��as del �eter� resueltapor Einstein� dentro de su teor��a de la relatividad especial� con la eliminaci�on del mismodado no es necesario�

Las teor��as del �eter surgen impulsadas por el deseo de encontrar un medio el�asticoque� seg�un la teor��a ondulatoria de la luz� fuese capaz de soportar ondas luminosas�Casi todas pueden ser consideradas como intentos de dar una explicaci�on uni�cada delos campos sobre la base de las leyes de Newton�

La principal di�cultad que aparece en un principio es la de encontrar un medio quepermita la transmisi�on de las ondas transversales pero no de las longitudinales� Losmodelos que surgen son numerosos y� aparte del ya mencionado de Maxwell� citaremosel gran esfuerzo hecho en este sentido por Lord Kelvin �W� Thomson� a quien se debenvarios modelos ingeniosos�

El �exito de la teor��a de Maxwell y la posterior con�rmaci�on por Hertz del car�acterpropagativo de las ondas radiadas parece� por una parte� con�rmar la hip�otesis de un�eter soporte de la propagaci�on y� por otra� pone de mani�esto nuevas di�cultades�

En primer lugar� Helmholtz demuestra que las tensiones de Maxwell no permitir��anel equilibrio del �eter� por lo que sus distintas partes deber��an estar en movimiento� ypor otra� como es f�acil de comprobar� las leyes de Maxwell no son invariantes frente alas transformaciones de Galileo� por lo que si la velocidad de la luz en un determinadosistema es c� en otro sistema que est�e en movimiento con respecto al primero� la velocidadde la luz deber��a ser distinta� Sin embargo las experiencias dise�nadas para medir lasvariaciones de la velocidad de la luz� como la de Michelson y Morley ������� fracasan�haciendo patente la imposibilidad o� al menos� la di�cultad de medir la velocidad de loscuerpos con respecto al �eter�

Los numerosos intentos de salvar esta situaci�on llevan a emitir hip�otesis sobre el �eterque lo hacen cada vez m�as insubstancial y contradictorio� Mientras que Hertz supone

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f��

que los cuerpos en movimiento arrastran al �eter circundante� Lorentz supone todo locontrario�

A grandes rasgos� la teor��a del electr�on de Lorentz consiste en suponer que los cuer�pos ponderables est�an constituidos por una multitud de diminutas part��culas cargadas�positiva y negativamente� que se mueven a trav�es del �eter sin perturbarle� Aunque rec�haza la existencia del sistema de referencia absoluto de Newton� Lorentz piensa queeste �eter� en el que cada una de sus partes est�an en reposo con respecto a las dem�as�constituye una referencia privilegiada con respecto a la cual las leyes de Maxwell sonestrictamente v�alidas� Por otra parte� el resultado negativo de la experiencia de Michel�son le induce a emitir la hip�otesis de que los cuerpos se achatan en la direcci�on de sumovimiento con respecto al �eter� Este enunciado� junto con el de la dilataci�on temporalde Poincar�e� dan lugar a las transformaciones de coordenadas que llevan su nombre� Contodo �esto� Lorentz� como �el mismo reconoce� lleva al extremo la crisis de la concepci�ondel �eter� no es afectado por los cuerpos pero �el si los afecta� est�a en reposo pero noes posible detectar el movimiento con respecto al mismo� es� en de�nitiva� totalmenteinsubstancial�

Cerraremos esta etapa citando la soluci�on dada por Einstein a este problema medi�ante su Teor��a de la Relatividad Restringida� enunciada en su c�elebre art��culo � Sobre laElectrodin�amica de los Cuerpos en Movimiento� �� ���� Einstein postula la invarianzadel m�odulo de la velocidad de la luz y la covarianza� o invarianza� de las leyes frente alas transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales� rechazando la existenciadel �eter como sistema privilegiado�

Antes de concluir deberemos decir algo acerca de la cuanti�caci�on de la carga� Enprincipio fue sugerida por Faraday como simple regla pr�actica para el estudio de la elec�trolisis� Helmholtz piensa que en la electrolisis deben transportarse verdaderos �atomosde Electricidad� Crookes ������� � � hace la misma a�rmaci�on con respecto a los rayoscat�odicos y demuestra que son desviados por el im�an� El descubridor del electr�on es SirJoseph John Thomson ������� ��� quien mide la relaci�on entre su carga y su masa yhace la primera estimaci�on del valor de la carga� valor que es medido con precisi�on porMillikan �� ��� estableciendo al mismo tiempo� sin lugar a dudas� el car�acter cu�anticode la carga�

La carga puntual se mani�esta como una entidad problem�atica� si�endolo a�un en laactualidad� como se pone de mani�esto en la teor��a de Lorentz� Es precisamente Lorentz�que enunci�o su teor��a antes de que se descubriera el electr�on� quien le pone el nombre adicha part��cula� nombre que hab��a sido sugerido anteriormente por Stoney para designara la cantidad m��nima de carga�

No queremos extendernos hablando de la gran familia de part��culas elementales�pues eso pertenece a otra historia� pero s�� mencionaremos a Dirac� que a�nade el esp��nal electr�on �� ���� como efecto cu�antico relativista� y propone la existencia de monopo�los magn�eticos �� ��� que� dentro de su teor��a cu�antica� deber��an su existencia a lacuanti�caci�on de la carga�

Ya� para �nalizar� apuntaremos unas �ultimas consideraciones o conclusiones�

Conclusi�on �

El electromagnetismo cl�asico cubre un amplio rango de fen�omenos de forma satis�factoria� Pero hay otros que quedan fuera de su �ambito por diversas razones�

Page 394: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

f�

En primer lugar� hay cuestiones que no se plantea porque las toma como base�� �A� Desde el punto de vista cl�asico se postula la existencia de dos tipos de carga

el�ectrica� ��� y ��� � dos tipos de monopolos el�ectricos�� La carga gravitatoria es� sinembargo� de un solo signo�� �B� Los monopolos magn�eticos no existen� Ya hemos apuntado la posibilidad de

su existencia� desde el punto de vista cu�antico� pero� si existen� son tremendamenteelusivos� Hoy en d��a hay un gran inter�es en su detecci�on� siendo importante se�nalar laexperiencia del espa�nol Cabrera que detect�o lo que pudiera ser la presencia� a�un sincon�rmar� de un monopolo�� �C� La carga est�a siempre asociada a una cierta cantidad de masa� Sin masa� una

carga ser��a un ente � imposible��� �D� Cl�asicamente� la cuanti�caci�on de la carga es indiferente� La teor��a de los

Quarks� de Gell Man y Swinguer� asigna una carga inferior a la electr�onica� �� e y

� e�

a estas part��culas�� �E� El universo es neutro � No se conoce ning�un mecanismo de creaci�on de carga

neta��� �F� Las fuerzas gravitatorias y nucleares quedan fuera de la teor��a�� �G� As�� mismo quedan fuera de la teor��a todos los fen�omenos cu�anticos y� en

particular� las propiedades microsc�opicas de la materia� Nosotros emplearemos� a pesarde ello� conceptos cl�asicos para describir las propiedades b�asicas de los medios� pero loharemos conscientes de la impropiedad de la herramienta�� �H� Por �ultimo diremos que� debido a la problem�atica asociada a las cargas pun�

tuales� el fen�omeno de reacci�on por radiaci�on no encuentra una explicaci�on totalmentesatisfactoria dentro de la electrodin�amica cl�asica�Cerraremos por �n esta rese�na hist�orica relatando como� desde sus comienzos� esta es

una disciplina conceptual y de no f�acil asimilaci�on �A� Sommerfeld � Electrodynamics�Academic Press� New York� � ��� Hittorf� cient���co eminente pero algo timorato� cay�oen una grave depresi�on provocada por el sentimiento de incapacidad que le produjo elestudio infructuoso del Tratado de Maxwell� Compadecidos� sus amigos le convencieronpara que fuese a descansar unos d��as en el campo� Pero descubrieron con consternaci�on�al despedirlo en la estaci�on� que dicho Tratado formaba parte del equipaje�Afortunadamente� gracias a Heaviside y otros� la situaci�on ya no es tan extrema y�

por supuesto� sigue sin ser recomendable llevarse los libros para trabajar durante los�nes de semana� As�� sea�

Page 395: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

f���

Page 396: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice G

Sistemas de unidades

A pesar de los esfuerzos por implantar un �unico sistema de unidades� persiste a�un el usode distintos sistemas� seg�un el entorno cient���co y docente en cuesti�on� Los m�as utiliza�dos son el Sistema gaussiano y el Sistema internacional �SI o MKSA� este �ultimo ser�ael que emplearemos en el texto� Desde el punto de vista f��sico es totalmente indiferenteel sistema o marco que se emplee en la descripci�on de los fen�omenos f��sicos� Desde elpunto de vista pr�actico� cualquier parcela de la F��sica puede ser descrita con la mismapropiedad mediante el uso de uno u otro de los sistemas candidatos� No existe ning�unargumento s�olido que permita establecer una preferencia si no es el de que la literatu�ra sobre ciertos temas est�a tradicionalmente escrita en un determinado sistema y quetrabajar con uno que no sea el habitual es engorroso� Adem�as� el n�umero de sistemas�variantes incluidas� es grande y su nomenclatura confusa�

Tomando el criterio de que los sistemas de unidades son herramientas para or�denar y facilitar el trabajo del f��sico y no objetos de disgresi�on que lo aparten de sutarea� procederemos a exponer el tema olvidando la historia previa y con la mayor con�cisi�on posible� Quien se interese m�as profundamente en estas materias puede consultar�Bridgman� Sena� Jackson� Panofsky y Phillips��

Como es bien sabido� el n�umero de unidades fundamentales� as�� como el de susdimensiones� es en gran manera arbitrario� Podemos de�nir la intensidad como la cargaque atraviesa una determinada super�cie por unidad de tiempo

I �d q

d t�G���

con lo que la relaci�on entre las dimensiones de la intensidad y de la carga queda �jadade la forma

�Q� � �IT �

pero f��sicamente no hay inconveniente para de�nir la intensidad como proporcional ad qd t

I � kd q

d t

Tampoco hay nada que nos impida asignarle a k un valor num�erico y unas dimen�siones cualesquiera� En el sistema � gaussiano modi�cado� se hace k � �

c � �k� � �L��T ��

g��

Page 397: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

donde c es la velocidad de la luz� pero en los sistemas de uso general se toma k � � yadimensional� a lo que nos atendremos en adelante�Algo similar ocurre con la de�nici�on de la magnitud del campo el�ectrico� Aunque

puede de�nirse como proporcional a la relaci�on entre la magnitud de la fuerza sufridapor una peque�na carga est�atica y la magnitud de dicha carga� en todos los sistemas setoma a la constante de proporcionalidad como igual a la unidad y adimensional

�E ��Fqq

� � �E� � �MLT�I��� �G���

Con estas excepciones� para la intensidad y el campo el�ectrico� plantearemos elproblema con todos los grados de libertad restantes aunque� en una primera etapa� noslimitaremos a considerar el caso del vac��o�El conjunto de leyes electromagn�eticas en el vac��o pueden escribirse de la forma

r � ��� �

t� � �G���

d �F

d v� � �E � k� ��� �B �G��

r � �E � k� � �G���

r� �E � �k �B

t�G���

r � �B � � �G���

r� �B � k ��� k� �E

t�G���

Como puede observarse� no hemos introducido constantes en G��� ecuaci�on de con�tinuidad� debido a que se ha de�nido la intensidad seg�un G��� ni en la parte el�ectricade la fuerza de Lorentz G�� por haber hecho uso de la de�nici�on G�� para el campoel�ectrico�Mostraremos a continuaci�on que de las cinco constantes introducidas solo dos son

independientes� en primer lugar� hallando la divergencia a G�� y haciendo uso de G�� yde G��� obtenemos

k � k� k� �G� �

Si ahora consideramos una regi�on del espacio sin corrientes� �� � �� aplicamos elrotacional a ambos miembros de G��� desarrollamos y tenemos en cuenta G�� y G��

r� �B � k k�� �B

t�� �

ecuaci�on de onda que nos permite identi�car al producto de las dos constantes con elinverso del cuadrado de la velocidad de la luz

k k� ��

c��G����

Por �ultimo� si medimos la fuerza ejercida entre dos cargas� por una parte� y lafuerza por unidad de longitud ejercida por una corriente estacionaria� que circula por

Page 398: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

un conductor �liforme� recto e inde�nido� sobre otra del mismo tipo que circule por unconductor an�alogo y paralelo al primero� por otra� tendremos

�Fq � k�q q �

� r�br �G����

d �F

d l� � k� k

I I �

� ���b�� �G����

La expresi�on G��� se deriva directamente de G�� � Para obtener G��� partir��amos

de G�� con � �E� t � �� por ser estacionaria la corriente� calcular��amos el campo magn�etico

producido por una de las corrientes y despu�es aplicar��amos la parte magn�etica de laexpresi�on de la fuerza de Lorentz G��

Puesto que la de�nici�on G�� nos permite relacionar cargas con intensidades� midi�endo experimentalmente las fuerzas G��� y G���� podemos comprobar que la relaci�onnum�erica

k�k� k

� c� �G����

se cumple de forma muy precisa�

Las relaciones G� � G��� y G��� nos dejan solo dos constantes independientes� Inspec�cionando estas expresiones y tomando como constantes arbitrarias� k� � a� k� k � btenemos que

k� � ak� � b c�

k � a

k �ba

k� ��a c�

�G���

y las leyes electromagn�eticas en el vac��o quedan de la forma

r � ��� �

t� � �G����

d �F

d v� � �E � a��� �B �G����

r � �E � b c� � �G����

r��E � �a �B

t�G����

r � �B � � �G�� �

r� �B � b

a���

a c� �E

t�G����

Una vez elegido el sistema de unidades mec�anicas� cgs o MKS� a emplear� la asig�naci�on arbitraria de un valor num�erico y unas dimensiones a las constantes a y b nosproporcionar�an diversos sistemas de unidades�

Tabla � Constantes �vac��o� �

�En SI� �� c� se escribe con la notaci�on �

��� luego �

�� c

� �

Page 399: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g�

Sistema de unidades Unidades a �a� b �b�mec�anicas

SI �MKSA� MKS � � �� � � � ��� MLT�� I��

Heaviside�Lorentz cgs c�� T L�� c�� T � L��

Gaussiano �cgs� cgs c�� T L�� � c�� T � L��

Electrost�atico �esu� cgs � � � c�� T � L��

Electromagn�etico �emu� cgs � � � �

Seg�un vemos en la tabla anterior� las dimensiones elegidas para a y b son� en general�de tipo mec�anico y � en muchos� casos nulas� Solo el SI introduce una unidad de tipoel�ectrico I� el Amperio � absoluto�� que se de�ne� de acuerdo con la expresi�on G����como � la corriente que� al circular por dos hilos paralelos� de secci�on despreciable� rectose inde�nidos� separados en el vac��o por la distancia de un metro� dan lugar a una fuerzatransversal entre ellos de �� ��� N �m����Los dos primeros sistemas se dice que son � racionalizados� por razones discutibles

que no traeremos aqu��� B�astenos saber que las expresiones de las ecuaciones de Maxwellen los sistemas racionalizados no contienen expl��citamente el factor ��La descripci�on fenomenol�ogica de la materia polarizable nos plantea nuevas opciones�

� Si de�nimos el momento dipolar �p de un sistema de cargas de la forma

�p �

ZV �

�r ����r �� dv � �G����

las cargas equivalentes de polarizaci�on se expresan� en funci�on del vector polarizaci�on�P � como

�p � �r � �P �G����

� Si hubi�esemos optado por introducir una constante de proporcionalidad en la de�ni�ci�on

�p �

ZV �

�r ����r �� dv �

la carga equivalente habr��a venido dada por

�p � � �r � �P

En todos los sistemas considerados esta constante se toma igual a la unidad por loque� teniendo en cuenta G��� y G����

r � �E � b c� ��� �p� r � � �E � b c� �P � � b c� � �G����

Para substituir al vector �P se de�ne al vector �D con divergencia proporcional a �

�D � �� �E � b c� �P � � � �E � � �P � � � ��

b c��G���

Page 400: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

donde � es otra constante arbitraria�

De forma an�aloga� la de�nici�on del momento dipolar magn�etico de la forma

�m � �

��

ZV �

�r ���� ��r �� dv ��

�G����

nos conduce a una expresi�on para la corriente equivalente de magnetizaci�on� en funci�ondel vector magnetizaci�on�

��M ��

�r� �M

Por otra parte� la variaci�on temporal de la polarizaci�on del medio produce unacorriente de polarizaci�on

��p � �P

t

La introducci�on de estas corrientes como fuentes vectoriales de �B modi�ca laecuaci�on G��� de forma que

r� �B � b

a

����

�r� �M �

b c� �E

t� �P

t

r���B � b

a ��M

��

b

a

����

�D

t

��G����

Por las mismas razones que antes� de�nimos un vector �H que substituir�a a �M

�H � �

��B � b

a ��M

�� � �B � � �M � � � �

b �

a ��G����

donde� como puede verse� se ha renunciado a un grado de libertad al tomar el mismocoe�ciente � para �M y para �P � Lo hacemos as�� porque �esta es la pr�actica seguida entodos los sistemas que hemos tomado en consideraci�on�

Resumiendo� el conjunto de las ecuaciones de Maxwell G���� G���� G���� G���� G�� y G���� puede ser escrito en funci�on de cuatro constantes a� b� �� � y otras dos� � y ��derivadas de las anteriores�

r � ��� �

t� � �G����

d �F

d v� � �E � a��� �B �G�� �

r � �D � � � �G����

r��E � �a �B

t�G����

r � �B � � �G����

r� �H � �b

a

����

�D

t

��G����

Page 401: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

Lo mismo puede hacerse con las de�niciones de los momentos dipolares G��� y G���

�p �

ZV �

�r ����r �� dv � �G���

�m � � ��

ZV �

�r ���� ��r �� dv �� � � � �b �

a ��G����

y para los vectores �D G�� y �H G���

�D � � �E � � �P � � � ��

b c��G����

�H � � �B � � �M �G����

Los valores correspondientes a cada uno de los sistemas de unidades vienen rela�cionados en la Tabla �� Para las dimensiones de las constantes cons�ultese la Tabla ��

Tabla � Constantes �Medios materiales�

Sistema a b � � � �

MKSA � �� ���� � �� �

H�L c�� c�� � � � c��

cgs c�� � c�� � � � c��

esu � � c�� c� � � �

emu � � � � c�� �

Aunque con este cuadro pueden expresarse las ecuaciones b�asicas en cualquier sis�tema de unidades� expondremos en tablas espec���cas las ecuaciones� unidades y reglasde conversi�on para los dos sistemas m�as usuales� el MKSA y el Gaussiano �Tabla ���

Tabla � Expresiones en MKSA y Gaussiano

MKSA cgs

r � ��� � �� t � � r � ��� � �

� t � �d �Fd v � � �E � ��� �B d �F

d v � � �E � �c ��� �B

r � �D � � r � �D � � �

r��E � �� �B� t r��E � ��

c� �B� t

r � �B � � r � �B � �r� �H � ��� � �D

� t r� �H � �c ���

�c� �D� t

�p �RV � �r

����r �� dv � �p �RV � �r

����r �� dv �

�m � ��

RV � �r

���� ��r �� dv � �m � ��c

RV � �r

���� ��r �� dv ��D � �� �E � �P �D � �E � � �P�H � �

���B � �M �H � �B � � �M

Page 402: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

Como puede verse en dicha tabla� en el sistema gaussiano aparece el factor c��

asociado a todos los t�erminos en los que se da una derivaci�on temporal� tales como�c ���

�c� �D� t � etc� Esto facilita la substituci�on de la la variable t por ct� lo que puede

representar una ventaja formal para la formulaci�on covariante relativista de las leyeselectromagn�eticas�No hemos tratado hasta ahora a los potenciales porque en su de�nici�on no se intro�

duce ninguna nueva constante� Evidentemente� podr��amos introducir dos nuevas con�stantes arbitrarias pero no es esta la costumbre�Teniendo en cuenta que �B es solenoidal

r � �B � � �B � r� �Ay substituyendo en G����

r��E � a �B

t

�� � �E � rV � a

�A

t

con lo que� en concreto�

MKSA� �E � rV � �A

t� � cgs� �E � rV � �

c

�A

t

Tenemos ya datos su�cientes para convertir f�ormulas de un sistema a otro� perola Tabla permite llevar a cabo esta conversi�on m�as f�acilmente� Para ello basta consubstituir literalmente todos los s��mbolos de la columna MKSA por la cgs y viceversa�

Tabla � Conversi�on de f�ormulas

MKSA cgs

�p�� �

c

� �E� V � �p� �

� �E� V �

�Dp

��

�D

��� q� ��� I� �P �p� �� ��� q� ��� I� �P �

� �B� �A�q

��� �

�B� �A�

�H �p� ��

�H

�Mp

��

�M

� � �� �

�r ��

�r ����

�R� L� �C �

�� �

�R� L� �C �

Por �ultimo� la Tabla � recoge las unidades� y factores de conversi�on entre el sistemaMKSA y el cgs�

Page 403: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

g��

Tabla � Conversi�on de unidades �� �

Cantidad Unidad MKSA Equivalente en cgs

Longitud� l Metro� m ��� cm� Cent��metro

Masa� m Kilogramo� Kg �� gr� Gramo

Tiempo� t Segundo� s � s� Segundo

Fuerza� F Newton� N ��� Dina

Trabajo� Energ��a� W Julio� J �� Ergio

Carga� Q Culombio� C �� ��� Estatculombio

Corriente� I Amperio� A �� ��� Estatamperio

Densidad corriente� J A �m�� �� ��� Estatamp�cm��

Potencial el�ectrico� V V oltio ������� Estatvoltio

Campo el�ectrico� E V �m�� ����� � ��� Estatvoltio�cm��

Polarizaci�on� P C�m�� ��� Statcul�cm��

Desplazamiento� D C�m�� � �� ��� Estatvolt�cm��

Conductividad� � S�m�� �S�m��� �� � ���� s��Resistencia� R Ohmio� % ������� ����� s � cm��

Capacidad� C Faradio� F �� � ���� cmFlujo magn�etico� � Weber� W ��� gauss � cm�� �Maxwell�

Inducci�on magn�etica � B Tesla� T �� Gauss

Intensidad magn�etica� H A� vuelta�m�� � � ��� OerstedMagnetizaci�on� M A �m�� �

� � �� gaussInductancia� L� M Henrio� H �l����� ����� erg �

� � Estatamp��

�Las unidades fundamentales est�an escritas en letra negrita��La cifra � en negrita representa a � � c ����� cm s�� � �� ��� ��� ����La unidad de la admitancia es el Siemens �S� S � ����

Page 404: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice H

Elementos de la teor��a de campos

tridimensionales

Suponemos al lector familiarizado con el an�alisis vectorial ordinario� por lo que eltratamiento que aqu�� se le da al tema ser�a sencillo e intuitivo� Se recordar�an losfundamentos de los campos vectoriales tridimensionales y se expondr�a el teorema deHelmholtz� el cual relaciona a un campo con sus fuentes escalares y vectoriales� Labibliograf��a es abundante y asequible ��

La representaci�on en un espacio tridimensional del campo electromagn�etico� querealmente es un solo campo tensorial� de orden � y de dimensi�on � requiere el recurso alos campos pseudovectoriales� el campo el�ectrico es vectorial y el magn�etico pseudovec�torial� Esta di�cultad se soslayar�a restringiendo el orden c��clico de los vectores base � aderechas��

H�� Campos escalares y vectoriales

La descripci�on cl�asica del Universo se lleva a cabo mediante la asignaci�on a cada puntodel espacio de una serie de magnitudes f��sicas cada una de ellas constituye un campo�funci�on de la posici�on �r y del tiempo t� Un campo se dice que es Escalar si� expresado enun sistema de unidades concreto� asigna a cada punto un n�umero� Un campo Vectorialasigna a cada punto un vector� de�nido por un m�odulo� n�umero positivo� una direcci�ony un sentido� En general� las magnitudes f��sicas tienen estructura tensorial�

Las reglas algebraicas de operaci�on entre escalares son� obviamente� las correspon�dientes a operaciones num�ericas mientras que para vectores de�niremos las operacionesde suma� producto por un escalar� producto escalar entre dos vectores y producto vec�torial� Sea el escalar � y los vectores �a� �b� �c�

Podemos de�nir geom�etricamente la Suma de vectores� �gura H��� seg�un la regla deltri�angulo

�c � �a��b

�Un tratamiento algo m�as formal puede encontrarse en � Electromagnetismo II�

h��

Page 405: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

a

b

c

Figura H���

La resta puede de�nirse a trav�es del Negativo de un vector

�b � ���a� si �a��b � ��

donde �� es un vector de m�odulo nulo�Si escribimos el m�odulo de un vector de cualquiera de las formas

a � j�aj � m�odulo de �ay de�nimos el Producto de un vector por un escalar de la forma

�b � ��a

donde b � � jaj� la direcci�on de �b es la misma que la de �a y sus sentido son iguales �opuestos�� seg�un � sea positivo � negativo��De�nimos como Vector unitario de un vector �a � a

ba � �a

a

donde� claramente� jbaj � ��As��� pues� la suma de dos vectores puede escribirse de la forma

�c � �a��b � aba� bbbdonde a y b se denominan� las Proyecciones obl��cuas de �c � Diremos que �c ha sidodescompuesto en las direcciones ba y bb�Se denomina Producto escalar� o producto interno� de dos vectores que formen entre

s�� un �angulo � a� � �a ��b � a b cos � ab b � a ba

donde� �gura H��� ab �ba� es la Proyecci�on ortogonal de �a ��b � en la direcci�on de bb �ba��Diremos que �a y �b son Ortogonales

�a��b si �a ��b � �De lo anterior se deduce que el cuadrado del m�odulo

a� � �a � �ay que el �angulo que forman dos vectores viene dado por

cos ��a ��ba b

Page 406: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

b

b

a

a

a

Figura H���

H�� Representaci�on gr�a�ca de los campos

Una forma de representar a los campos escalares es mediante sus Supercies equiescalaresy a los vectoriales por sus L��neas de campo�

Se de�nen como l��neas de campo� �gura H���a� aquellas que son tangentes al campoen todos sus puntos� Sus ecuaciones vienen dadas por

dl�F��

dl�F��

dlF

����

d�r � d�l

�F d�l

De�niremos como Tubo de campo� �gura H���b� a una regi�on del espacio limitadapor una super�cie cuyas generatrices son l��neas de campo�

Por ejemplo� el potencial y el campo producidos por una carga el�ectrica puntual��gura H���c� vienen dados por

V � K�

r� � �E � K

�r

r�

Las super�cies equipotenciales son esf�ericas y las l��neas de campo radiales� Las ecua�ciones de estas �ultimas son

d�l � dr �r

% � cte� � cte

�dr

Er�rd�

��

r sin �d

�El campo magn�etico producido por una corriente I que circula� en la direcci�on del

eje z� por un hilo recto inde�nido es

�B � Kb �

Sus l��neas de campo� �gura H���d� son azimutales� en la direcci�on del vector unitario b �En las �guras H���e y H���f se representan las super�cies equipotenciales y las l��neas

de campo correspondientes a pares de cargas del mismo signo y de distinto signo� re�spectivamente�

Page 407: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h�

dR=dl

(a)

Lineas de campo

(b)

Tubo de campo

Iq

EB

(c) (d)

Carga puntual Hilo de corriente

Cargas de igual signo Cargas de signo contrario

(e) (f)

+q-q+q +q

R

R+dR

Figura H���

Page 408: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

H�� Base vectorial

Un conjunto de tres vectores bei �i � �� �� �� que sean linealmente independientes �vectores no colineales ni coplanarios� forma una Base vectorial� Es decir� cualquier vectorpuede expresarse como combinaci�on lineal de los vectores de base� Nos limitaremos aconsiderar bases ortogonales y unitarias�

^ 3 e

3

e 1

e 2

Base a derechas Base a izquierdas

e 1

e 2

e

Figura H��

Dados tres vectores unitarios y ortogonales

bei � bej � �ij � � �ij ������ si i � j

� si i �� j

siempre ser�a posible expresar un vector arbitrario de la forma

�c �

Xi��

ci bei � ci bei �H���

expresi�on en la que se hace uso del convenio de suma sobre ��ndices repetidos�Efectivamente� es f�acil comprobar que

ci � bei � �c � � c� � �c � �c �Xi��

c�i

Diremos que ci son las Componentes� o proyecciones normales de �c� en la base devectores unitarios bei� Esta base ser�a A derechas � a izquierdas� si un tornillo� con roscaa derechas y girando de be� a be� seg�un el �angulo m�as corto� avanza en la direcci�on � enla direcci�on contraria� de be�La representaci�on de un vector con respecto a una base determinada se hace mediante

sus componentes �c� �c�� c�� c�� La relaci�on entre las componentes de un mismo vectorcon respecto a dos base distintas se describe mediante una Ley de transformaci�on� SedenominaTransformaci�on propia �impropia� a la que de una base a derechas �izquierdas�pasa otra base a derechas � izquierdas�� En otras palabras� las transformaciones propias

Page 409: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

son aquellas en las que no cambia el orden c��clico de los vectores de base� por ejemplo�entre dos bases a derechas

be� � be� � be � � be�� � be�� � be�

3

^ 1

e

e

e’^ 2

e’^ 3

e’^

2

3

θ

1

1

e

Figura H���

Es f�acil obtener las leyes de transformaci�on de las componentes de un vector entrebases ortogonales� Un vector �c se expresar�a con respecto a los vectores unitarios be�j ylos bei� seg�un H�� � como

�c � c�j be�j � ci beipor lo que� multiplicando escalarmente por be�j

c�j � ci bei � be�j � Xi��

ci cos �ij � aji ci �H���

donde aji � cos �ij � bei � be�j � aij �

Se dice que �d � di bei es un Pseudovector cuando sus componentes di se transformancomo las de un vector para transformaciones propias pero tienen el signo contrario a lasde un vector para transformaciones impropias el pseudovector conserva el m�odulo y ladirecci�on� como el vector� pero cambia de sentido cuando la transformaci�on es impropia�Esta distinci�on entre el car�acter vectorial y el pseudovectorial de las magnitudes f��sicases te�oricamente interesante pero se soslayar�a restringi�endonos� en adelante� al uso debases vectoriales derechas�

H�� Sistemas de referencia

Un punto P del espacio� v�ease la �gura H��� queda determinado por sus Coordenadas conrespecto a un Sistema de referencia� o sistema de coordenadas� S� Dichas coordenadasson las componentes del Vector de posici�on �r con respecto a los vectores de base bei� Elvector de posici�on liga a un Punto origen O con P � Un sistema de referencia constade un punto origen y una base vectorial� En la �gura se muestra como� al cambiar de

Page 410: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

sistema de referencia� se cambia de origen y de base y� por lo tanto� de vector de posici�ony de coordenadas�

�r � � �r � �OO�

P

r ’

e 1

e 2

3e

e 1

e 2

3e

O’

r

S’

O

S’S

OO’

Figura H���

Nos limitamos a considerar sitemas de referencia S y S � que sean cartesianos yrectangulares� Si� adem�as� tienen un origen com�un O � �OO

�� ���� v�ease la �gura H���

los vectores de posici�on en ambos sistemas son los mismos y la transformaci�on entrelas coordenadas del primer sistema �x�� x�� x� y las del segundo �x

��� x

��� x

��� son for�

malmente id�enticas a las transformaciones de las componentes de un vector frente alcambio de base� De acuerdo con H��

x �� � a��x� � a��x� � a�xx �� � a��x� � a��x� � a�xx � � a�x� � a�x� � ax

� �

�� x ��x ��x �

�A �

�� a�� a�� a�a�� a�� a�a� a� a

�A ��� x�

x�x

�A �H���

donde aij � cos �ij� son los cosenos directores de los ejes bei del primer sistema a los ejesbe �j del segundo�En general� teniendo en cuenta el desplazamiento del origen y haciendo uso del

convenio de suma sobre ��ndices repetidos

x �i � aijxj �OO�i � � i� j � �� �� � �H��

donde OO�i son las componentes de �OO� con respecto al sistema S�Al cambiar de sistema de referencia� los escalares y los vectores no cambian lo

hacen las componentes de los vectores porque el cambio de sistema implica� en general�el cambio de base�

Page 411: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

H� Producto vectorial

A continuaci�on de�niremos el Producto vectorial� o producto externo� Dados dos vec�tores� se de�ne el producto vectorial como un pseudovector �� tal que� �gura H��

�d � �a ��b � ��b � �a � � d � a b sen � � �d��a� �b � �a� �b� �d triedro a derechas�H���

siendo el m��nimo �angulo que forman los vectores �a y �b�

e 2

e 3

α ab

d

e 1

Figura H���

�d tiene� por lo tanto� por m�odulo a d � a b sen� su direcci�on es perpendicularal plano formado por �a y �b y su sentido viene determinado por la regla del tornillo aderechas � izquierdas� para sistemas de referencia a derechas � izquierdas�� El productovectorial entre un vector y un pseudovector tiene car�acter vectorial� Por esta raz�on�el campo magn�etico �B es un pseudovector� mientras que la fuerza� en particular lamagn�etica de Lorentz� y el campo el�ectrico son vectores�

Bajo estas condiciones� podemos expresar a los vectores unitarios ortogonales� de laforma bek � bei � bej � � i �� j �� k �� i � � i� j � k

es decir� cada uno de ellos puede obtenerse como producto vectorial de los otros dos� siel orden c��clico i� j � k es el correspondiente a la regla del tornillo a derechas�

Seg�un �esto� teniendo en cuenta la anticonmutatividad del producto vectorial

�d � �a ��b � �a� be� � a� be� � a be� � �b� be� � b� be� � b be� �� �a� b � a b�� be� � �a b� � a� b� be� � �a� b� � a� b�� be

o� en forma de determinante simb�olico

�d � �a ��b �))))))be� be� bea� a� ab� b� b

))))))�El producto vectorial entre un pseudovector y un vector es un vector

Page 412: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h�

H�� Operaciones diferenciales e integrales sobre escalares

y vectores

H� Gradiente

Supongamos que en un sistema coordenado ortogonal hacemos un desplazamiento de

d�l � dli beiSi� en ese entorno� la funci�on escalar � tiene derivadas de�nidas� en el desplazamiento

d�l sufre un incremento elemental d� que escribiremos de las siguientes formas

d� � �

lidli � r� � d�l

donde hemos empleado la notaci�on

r� � grad � � bei � li

�H���

r� es� pues� un vector cuyas componentes son las derivadas espaciales de la fun�ci�on escalar en las direcciones de cada uno de los ejes coordenados� A este vector lollamaremos Gradiente de � y al operador

r � bei

li

operador Nabla�

Si anotamos como bl al vector unitario en la direcci�on del desplazamiento� la variaci�onpor unidad de longitud del escalar� en dicha direcci�on� ser�a

d�

d l� r� � bl

expresi�on de la que se deduce que�

$ a� La variaci�on m�as r�apida de � tiene lugar en la direcci�on del gradiente es decir�cuando r� kbl�$ b� El gradiente� �gura H��� es perpendicular a las super�cies equiescalares� cuando

r��bl d� � ��

H� Flujo y divergencia

Dada una funci�on vectorial �a� tendr�a para nosotros gran inter�es� en muchas situaciones�el c�alculo del Flujo de dicho vector a trav�es de una super�cie S cualquiera�

���a� �

ZS�a � d�s �

ZS�a � �n ds

Page 413: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

λ2 λ1>

λ

λ

1

Figura H���

n

V

S

S

L

n

Figura H� �

donde �n es el vector unitario normal a la super�cie� Su sentido se toma� �gura H� � parasuper�cies cerradas� hacia fuera del volumen V que se ha de�nido como interno a S y�para super�cies abiertas� el de avance de un tornillo a derechas que gire en el sentidopreestablecido de circulaci�on sobre el contorno L en el que se apoya la super�cie�Si hallamos el �ujo de un campo vectorial sobre una super�cie S que encierre a un

volumen V� el resultado podr�a ser positivo� nulo o negativo� En el primer caso diremosque en V existe un balance neto de fuentes o� con otras palabras� que� en conjunto� elcampo diverge de V � Si el �ujo es negativo hablaremos de sumideros� fuentes negativaso convergencia del campo�

Para un punto P podemos de�nir un par�ametro que nos mida la densidad de fuentesexistente en el mismo� Para ello de�nimos la Divergencia� o densidad de fuentes� como��gura H����a

div �a � r � �a � lim�V��

HS �a � d�s�V

�H���

H Circulaci�on y rotacional

Otra integral importante para nosotros es la circulaci�on de un vector� Para llevar a cabola circulaci�on de un vector es necesario� en general� especi�car los puntos de comienzoy �nal� la ecuaci�on del camino L a recorrer y el sentido de recorrido� Si la circulaci�oncerrada de un campo I

L�a � d�l

Page 414: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

a

a

aa

dl

P

(a)

A

B

L

(b)

P

ds

V

SL

(c)

L L1

Δ2

S

Figura H����

es nula� cualquiera que sea el camino escogido� dicho campo recibe el nombre de Irrota�cional� Tambi�en se le denomina como Conservativo dado que la integral entre dos puntoscualesquiera� A y B� es independiente del camino por la que se realice� Efectivamente�como se muestra en la �gura H����b� a lo largo del camino L � L� � L�I

L�a � d�l �

Z B

A�L���a � d�l �

Z A

B�L���a � d�l � �

Z B

A�L���a � d�l �

Z B

A�L���a � d�l

De la misma forma que la divergencia� que es un escalar� caracteriza al compor�tamiento del �ujo en el entorno de un punto� podemos caracterizar al comportamientode la circulaci�on alrededor del mismo por medio del pseudovector Rotacional� La proyec�ci�on de este vector sobre una direcci�on arbitraria del espacio �n se de�ne como� �guraH����c�

�rot�a�n � �r� �a� � �n � lim�S��

HL �a � d�l�S �H���

donde �S es una super�cie elemental� que es normal a la direcci�on �n y contiene a P �y L es su contorno� Si el rotacional es distinto de cero diremos que el campo rodea alpunto o que es Rotacional en dicho punto�

H� Operador Laplaciana

Se de�ne como la Laplaciana de una funci�on escalar � a la divergencia del gradiente dedicha funci�on� Se escribe con las notaciones

�� � r� �

y se de�ne como

r� � � div �grad �� �H� �

Tambi�en interesa a veces hablar de la Laplaciana de un vector� de�nida de la forma

r��a � grad �div �a�� rot�rot�a� � r �r � �a��r� �r� �a� �H����

Page 415: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

expresi�on que solo en coordenadas cartesianas puede ser interpretada como

r��a � r� ax bx�r� ay by �r� az bzH�� Teoremas integrales

De los m�ultiples teoremas integrales� algunos de los cuales introduciremos en otraocasi�on� citaremos aqu�� solo a los dos m�as utilizados en este texto� el Teorema de la

divergencia o de Gauss y el Teorema del rotacional o de Stokes� Las demostraciones ele�mentales� no rigurosas� son sencillas y �guran en muchos libros de f�acil acceso� Se�nalare�mos solamente la necesidad de que los campos sean de buen comportamiento y que ladivergencia y el rotacional sean continuos y acotados en la regi�on de inter�es�

H�� Teorema de la divergencia

La integral� sobre un volumen arbitrario V� de la divergencia de un vector es igual al�ujo de �este a trav�es de la super�cie S que envuelve a dicho volumen�Z

Vr � �a dv �

IS�a � d�s �H����

Tambi�en es �util la igualdad que deriva del teorema anterior � v�ease la relaci�on deproblemas� Z

Vr� �a dv � �

IS�a � d�s �H����

H�� Teorema del rotacional

El �ujo del rotacional de un vector� a trav�es de una super�cie S abierta y arbitraria�es igual a la circulaci�on de dicho vector a lo largo del contorno L de la super�cie� Ladirecci�on de circulaci�on y la de la normal ligadas por el convenio ya mencionado�Z

S�r��a� � d�s �

IL�a � d�l �H����

donde S es una super�cie abierta y L su contorno�

H� Fuentes de un campo vectorial� Teorema de

Helmholtz

Establecido qu�e es lo que entendemos por campo vectorial� nos interesa ahora relacionara los campos con sus fuentes� Llamaremos fuentes vectoriales de un campo vectorial �F ��r�a su rotacional� y fuentes escalares a su divergencia

r� �F ��r� � �R��r� � fuentes vectorialesr � �F ��r� � D��r� � fuentes escalares

Page 416: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

Teorema de Helmholtz

Veremos que para que las fuentes determinen un��vocamente a un campo son su��cientes las siguientes condiciones�

$ a� �F ��r� tiende a cero m�as r�apidamente que r�� cuando r ���

$ b� Las fuentes� �gura H���� son nulas fuera de un volumen V �� �nito y contenidoen una esfera� centrada en el origen� de radio �nito L � r�max�

^

y

z

Volumende

fuentes

L=r’max

r ’

R

r

Fuentesnulas

V’0

x

Figura H����

Enunciado

$ A� Un campo que cumpla las condiciones anteriores queda un��vocamente determi�nado si se conocen sus fuentes escalares y vectoriales en todos los puntos �r � � �x�� y�� z��del espacio� Puede� adem�as� derivarse de unas funciones potenciales� un campo escalarf��r� y un campo vectorial �g��r�� a trav�es de las operaciones de gradiente y rotacional�

�F ��r� � �rf��r� �r� �g��r�

$ B� Los potenciales pueden expresarse en funci�on de las fuentes del campo como

f��r� � ��

ZV ��

D��r ��R

dv� � Potencial escalar de �F ��r�

�g��r� � ��

ZV ��

�R��r ��R

dv� � Potencial vector de �F ��r�

donde �R � �r � �r ��

Page 417: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

De acuerdo con �esto� tanto f��r� como cada una de las componentes de �g��r� tienenla forma

���r� � K

ZV ��

���r ��R

dv�

Veremos m�as adelante que el campo electromagn�etico tiene s�olo fuentes vectoriales�por lo que basta con un potencial vector �A para describirlo� El campo el�ectrico tienefuentes escalares y vectoriales pero� como est�a acoplado al magn�etico� la parte que deriva

de un potencial vector no ser�a expresada como en �H���� sino por �A

t�

Demostraci�on

En la �gura H��� un volumen V � que contenga a �R � �� es decir� que contenga alpunto de observaci�on P �

z

L=r’max

r ’ r

RV’0

y

P

V’

x

S’

^

Figura H����

Haciendo uso de la propiedad de desplazamiento de la ���R� � ���r � �r �� � v�easeap�endice delta� podemos expresar el campo de la forma

�F ��r� �

ZV ��

�F ��r �����r � �r ��dv� � � �

ZV ��F ��r ��r�

��

R

�dv�

� �r�

��

ZV �

�F ��r ��R

dv��

Hemos sacado r� fuera de la integral porque este operador implica la derivaci�on conrespecto a las coordenadas x� y� z� mientras que �F ��r �� es funci�on de las x�� y�� z� y laintegral opera sobre estas �ultimas coordenadas �

De la igualdad

r� �r � �a� � r�r � �a��r��a

Page 418: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

se deduce que�F ��r� � rf��r� �r� �g��r�

donde

f��r� � r ���

ZV �

�F ��r ��R

dv��

y

�g��r� � r���

ZV �

�F ��r ��R

dv��

con lo que queda demostrada la primera parte del teorema�Se puede demostrar que estas dos expresiones son equivalentes a las del enuncia�

do �H���� Lo comprobaremos para el potencial escalar f��r��Dado que r � �f�a� � fr � �a� �a � rf

r ���F ��r ��R

���

Rr � �F ��r �� �z �

��

��F ��r �� � r��

R

r � �F ��r �� � � porque �F ��r �� no es funci�on de �r� sino de �r �� Luego

f��r� ��

ZV ��F ��r �� � r

��

R

�dv� � � �

ZV ��F ��r �� � r�

��

R

�dv�

donde se ha tenido en cuenta que r�f�R�� � �r��f�R���Volviendo a emplear la misma expresi�on

�F ��r �� � r���

R

�� r� �

��

R�F ��r ��

�� �

Rr� � �F ��r ��

que� pasando a super�cie la integral de r� ��

�R�F ��r ��

�f��r� �

ZV �r� � �F ��r ��

Rdv� � �

ZV �

�F ��r ��R

� d�s�

donde S � es la super�cie que envuelve a V ��Haciendo tender S � ��� puesto que F ��r �� � r��� y r � r�� para r� ��� podemos

despreciar la integral de super�cie y escribir

f��r� ��

ZV ��

D��r ��R

dv�

Nos da lo mismo integrar sobre V �� o sobre V � �� puesto que D��r �� se anula fuerade V ���Como ya hemos apuntado y demostremos m�as adelante� necesitamos describir dos

campos pero nos basta con dos potenciales porque �E y �B est�an acoplados y �B no tienefuentes escalares �Panofsky y Phillips� Shadowitz��

�E � �rV � �A

t

�B � r� �A

Page 419: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

H�� Clasi�caci�on de los campos seg�un sus fuentes

Seg�un las fuentes vectoriales y escalares sean o no distintas de cero� en una cierta regi�ondel espacio V� podemos clasi�car a los campos en cuatro grupos� Para visualizarlosgr�a�camente tendremos en cuenta que� por los teoremas de la divergencia y el rotacionalI

L�F � d�r �

IS�R � d�s

IS�F � d�s �

IVD dv

P

F

L

S

(a)

F

nS

L

(b)

F

SL

(c)

F

S

L

(d)

P P P

Figura H����

En la �gura H��� se representan esquem�aticamente las cuatro clases de campos quese deducen de este criterio de clasi�caci�on�Las caracter��sticas esenciales de cada uno de estos grupos pueden resumirse de la

siguiente manera�

$ a� El campo� �gura H����a es Irrotacional� al no tener fuentes vectoriales� ySolenoidal al carecer de fuentes escalares� Supongamos que el volumen V es tal que�para todo camino L contenido en �el� existe una super�cie S apoyada en dicho caminoy que tambi�en est�a enteramente contenida en V� Esta precisi�on es necesaria porque�cuando estudiemos el campo magn�etico� nos encontraremos situaciones de inter�es queno cumplen la condici�on anterior�Para simpli�car y concretar� supondremos �R � � en todo el espacio y D �� � fuera

de V es necesario que en alg�un punto existan fuentes pues� en caso contrario� el camposer��a nulo por doquier�

r� �F � � �F � �rf

r � �F � �

�r�f � � �Ecuaci�on de Laplace�

Estos campos derivan de un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Laplace�Con la condici�on impuesta� el teorema del rotacional �H��� es aplicable� luego� para

cualquier L IL�F � d�l � �

Page 420: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

En el caso del campo el�ectrico est�atico� como comprobaremos pronto� esta integralser�a equiparable al trabajo realizado por unidad de carga� al recorrer L� por lo que�propiamente� diremos que un campo el�ectrico de este tipo es conservativo�Si aplicamos el teorema de la divergencia �H��� a un volumen elemental arbitrario�

�V� limitado por la super�cie �S� Z�S

�F � d�s � �

lo que implica que tantas l��neas de campo entran en el volumen �V como salen delmismo� En la �gura �a� se muestra c�omo las l��neas de campo no pueden nacer ni moriren V y c�omo la circulaci�on sobre cualquier camino L contenido en V es tambi�en nula�A este grupo pertenece el campo electrost�atico en el vac��o sin cargas� como el exis�

tente en el espacio comprendido entre las placas de un condensador� �gura H���

E

V+ -

+Q -Q

Figura H���

$ b� El campo es irrotacional y no solenoidal�Aqu�� podemos suponer que todas las fuentes est�an en V�

�F � �rf

r � �F � D

� r�f � �D �Ecuaci�on de Poisson�

f��r� ��

ZV �D��r ��R

dv�

La ecuaci�on �H��� tiene car�acter local puesto que liga a las derivadas de f � conrespecto a las coordenadas �r� con el valor de D en ese mismo punto� Para hallar f��r� nobasta con conocer D��r� en todo V sino que tambi�en ser�a necesario conocer las condicionesque cumple f en el entorno S� Dejaremos esta cuesti�on para un tema posterior� No esnecesario� sin embargo� conocer las fuentes existentes fuera de V�La expresi�on �H���� de tipo extensivo� exige en principio� como ya hemos visto� el

conocimiento de todas las fuentes del Universo�

Page 421: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

En este caso� las l��neas de campo nacer�an y morir�an en los puntos de V en los queD �� �� �gura �b�� Como ejemplo citaremos al campo electrost�atico en presencia decargas�

$ c� El campo es rotacional y solenoidal� Las l��neas de campo no pueden nacer nimorir en V pero s�� pueden cerrarse sobre s�� mismas ��gura �c�� dentro de V� puesto queI

L�F � d�l �� �

r � �F � � �F � r� �g

r� �F � �R

� r� �r� �g� � r�r � �g��r��g � �R

�F deriva de un potencial vector que responde a la ecuaci�on anterior

�g��r� ��

ZV �

�R��r ��R

dv�

Se puede demostrar que es posible exigir a �g que sea solenoidal� En esta caso

r��g � � �R

ecuaci�on que s�olo es distinta de la precedente cuando se utilizan coordenadas cartesianas�El campo magn�etico� que es siempre solenoidal� cae dentro de este grupo�

$ d� En general� los campos ser�an rotacionales y no solenoidales ��gura �d���En adelante� estudiaremos el campo electromagn�etico desdoblado como dos campos

vectoriales acoplados� cuyas fuentes� expresadas en el sistema M�K�S�A�� ser�an�

r � �E � �

�r � �B � �

r� �E � ��B

tr� �B � �

��j � �

�E

t

donde� como vemos� adem�as de las cargas y de las corrientes� las propias variacionestemporales de los campos act�uan de fuentes�

H� Coordenadas curvil��neas ortogonales

Propiedades generales

A lo largo del texto se har�a uso de sistemas coordenados que� como el cartesiano�el esf�erico y el cil��ndrico� pertenecen al tipo de sistemas coordenados curvil��neos or�togonales� En estos sistemas� �gura H���� los distintos puntos del espacio se describen

Page 422: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

e

e

e

q1

q2

q3

f =q

P

f =q

f =q

1

2

1 1

2

3

3 3

2

Figura H����

especi�cando las tres super�cies� pertenecientes a tres familias distintas� que se cortanortogonalmente en dicho punto�

Las coordenadas �q�� q�� q� de un punto determinado �P �� ser�an los valores de lospar�ametros correspondientes a las super�cies

f��x� y� z� � q� � f��x� y� z� � q� � f�x� y� z� � q

que se cortan en el punto P �

Los vectores unitarios en cada punto vendr�an dados por

bei � r fijr fij �H���

y� puesto que las tres familias son ortogonales� tambi�en los vectores unitarios lo ser�an

bei � bej � �ij

En general� salvo para el sistema cartesiano� el triedro unitario tiene una orientaci�ondistinta en cada punto del espacio�

El vector desplazamiento elemental d�l se de�ne como

d�l � dli bei �H����

donde dli es la distancia� en la direcci�on bei� entre las super�cies fi � qi y fi � qi � dqi�

Las distancias elementales dli dependen� en general� de las coordenadas del punto ydel incremento de la coordenada dqi� por lo que escribiremos

dli � hi�q�� q�� q� dqi �H����

Page 423: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

^ 3

e 1

e 2

dl

ds3

dl3

dl 2

dl1

ds 3

e

Figura H����

donde los hi son los Factores de escala�Los elementos de super�cie vendr�an dados por

d�sk � dli dlj bei�bej � hi hj dqi dqj bek �H����

donde i� j � k es el orden c��clico a derechas�El elemento de volumen es

dv � h� h� h dq� dq� dq �H����

El vector de posici�on de un punto se expresa de la forma

�r � r br � ri bei � � ri � bei � �r �H�� �

donde r es la distancia del punto al origen y br es el vector unitario que� en el punto�tiene el sentido opuesto al origen� En cada sistema� las componentes ri de este vectorse obtendr�an proyectando �r sobre la direcci�on bei�Expresiones de los operadores en coordenadas ortogonales

No es dif��cil demostrar� de acuerdo con las de�niciones H��� H��� H�� y H� y haciendoaproximaciones de primer orden� que las expresiones siguientes tienen validez general�Cons�ultense los textos correspondientes��

r� ��

h�

q�be� � �

h�

q�be� � �

h

qbe � � ri �

hi

qi�H����

r � �a � �

h�h�h

� a�h�h q�

� a�h�h q�

� ah�h� q

��H����

�Cuando� como en este caso� el indice �i que aparece en el primer miembro est�a repetido en elsegundo� no se aplica la regla de suma sobre ��ndices repetidos�

Page 424: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

r��a � �

h�h�h

))))))))))

h� be� h� be� h be�� q�

�� q�

�� q�

h� a� h� a� h a

))))))))))�H����

r�� ��

h�h�h

q�

�h�hh�

q�

��

q�

�h�hh�

q�

��

q

�h�h�h

q

���H����

H�� Sistemas Coordenados

Coordenadas cartesianas

Las super�cies coordenadas son planos de las familias

f� � x � q� � � f� � y � q� � � f � z � q

A los vectores unitarios los anotaremos de la forma

be� � bx � � be� � by � � be � bzPuesto que las tres coordenadas tienen dimensi�on espacial� sus incrementos coin�

cidir�an con las componentes del vector desplazamiento elemental� por lo que

h� � h� � h � �

Como puede verse en la �gura H���

^

y

x

x

z

y P

r

x

y

γ

z

α

Figura H����

Page 425: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

�r � x bx� y by � z bzr �

px� � y� � z�

x � r cos

y � r cos �

z � r cos �

Coordenadas esf�ericas

En este caso� �gura H����a� tomamos como super�cies coordenadas

(b)

^

y

z

ϕ

r

θ

dr

x

y

z

r

ϕ

θ ϕ

θ

r

P

(a)

x

Figura H����

f� � r � q� � � � � r �� � super�cie coordenada radialf� � � � q� � � � � � � � � super�cie coordenada cenitalf � � q � � � � � �� � super�cie coordenada azimutal

La primera familia est�a constituida por las super�cies esf�ericas� centradas en el origen�de radio r� los semiconos de semiapertura � centrados en el eje z y los semiplanos quepasan dicho eje y que forman un �angulo con el plano y � ��Los vectores unitarios son

be� � br � � be� � b� � � be � b las componentes de d�l

dl� � dr � � dl� � r d� � � dl � r sen � d

por lo queh� � � � � h� � r � � h � r sen �

Page 426: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

y el vector de posici�on

�r � r br � r �sen � cos bx� sen � sen by � cos � bz�Por �ultimo� el elemento de volumen es� �gura H����b�

dv � r� sen � dr d� �

Coordenadas cilindricas

Las super�cies son� respectivamente� cilindros de radio � centrados en el eje z� semi�planos que contienen a dicho eje y planos z � cte�

f� � � � q� � � � � r ��f� � � q� � � � � � � ��f � z � q

z

^

y

z

x

y

z ϕ

d ρ

dz

z

ρ

ρ

z

(a) (b)

ϕϕ

x

Figura H�� �

Los vectores unitarios sonbe� � b� � � be� � b � � be � bzlas funciones hi

h� � � � � h� � � � � h � �

el vector de posici�on

�r � � b�� z bz � � cos bx� � sen by � z bzy el elemento de volumen

dv � � d� d� d

En el formulario� al �nal del tomo� se ofrece un resumen expl��cito de lo anteriormenteexpuesto�

Page 427: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h��

H�� Problemas

h��� Dado el vector de posici�on del punto A� �A � bx� by � bz� hallar� a� El vector unitario correspondiente�

b� El vector de posici�on� de un punto B� perpendicular a �A� con el mismo m�odulo

y contenido en el plano z � ��

c� El vector de posici�on que dene al cuarto v�ertice C de un cuadrado cuyos

tres primeros v�ertices son el origen� A y B�

d� La ecuaci�on de la recta AB�

e� La ecuaci�on de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano del cuadra�

do�

f� La ecuaci�on de la circunferencia inscrita en el cuadrado�

g� El vector unitario normal a la supercie de la esfera con centro en el plano del

cuadrado y cuya intersecci�on con el mismo es la circunferencia del apartado

anterior�

h��� Hallar la matriz de transformaci�on que gira el vector ��� �� �� al ��� �� ��� as�� como

su determinante�

h��� Escribir las matrices �aij� y determinar el car�acter de propia o impropia de lastransformaciones�

a� x � � �x� y � � y� z � � z

b� x � � �x� y � � �y� z � � z

Comprobar lo anterior transformando al pseudovector �c � �a��b� donde �a ��al� a�� a� y �b � �bl� b�� b� son vectores�

h��� Sea �r el vector de posici�on� Hallar la velocidad y la aceleraci�on en coordenadascil��ndricas y en coordenadas esf�ericas�

h��� Demostrar que un movimiento en el que el vector de posici�on y la velocidad son

perpendiculares es necesariamente circular�

h��� Demostrar las relaciones K�� y K�� del formulario ap�endice K��

h��� Hallar el gradiente y la derivada direccional� en la direcci�on ��� �� ��� de la funci�onf � �x� y � � y z � x en el punto ��� ��� ���

h��� Denimos los vectores

�r � �x� y� z�

�r � � �x �� y �� z ���R � �r � �r � � �x� x �� y � y �� z � z ��

Page 428: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

Asimismo denimos las operaciones�

r f � � f

x� f

y� f

z�

r � f � � f

x �� f

y �� f

z ��

Demostrar que se cumplen las relaciones

a� r f�R� � �r �f�R� � bR � d fdR b� r ���R� � � �R

R�

h��� Demostrar las relaciones K�� y K�� del formulario�

h��� Calcular en el punto ��� ��� �� la divergencia y el rotacional del campo vectorial��A � x� z bx� � y z� by � x y� z bz�

h���� Demostrar las relaciones K�� y K��� del formulario�

h���� Demostrar las relaciones K��� y K��� del formulario�

h���� Demostrar la relaci�on K��� del formulario�

h���� Dado un campo central� cuya magnitud dependa solamente de la distancia r alcentro y que al mismo tiempo sea solenoidal� demostrar que es proporcional a r��

y que� adem�as� es irrotacional�

h���� Demostrar que� en coordenadas cartesianas� se puede escribir� � �A � �Ax bx ��Ay by ��Az bz�

h���� Hallar los Jacobianos J�x� y� z�� �� z

�y J

�x� y� zr� �� �

��

h���� Hallar la circulaci�on del campo �A � ��x� y�� bx� � y z by � bz� desde el punto a ���� �� �� al b � �l� l� l�� a lo largo del camino C � a � �l� �� �� � ��� �� �� � b�� indica un camino recto entre los puntos anterior y posterior�

h���� Hallar el �ujo de �A � z bx� x by�� y� z bx a trav�es de la supercie denida lateral�

mente por x� � y� � y por las �areas circulares resultantes de la intersecci�on de

la supercie anterior con los planos z � � y z � ��

h���� Hallar el trabajo realizado por un campo de fuerzas �A � x y bx � y� by en un des�

plazamiento desde el origen hasta el punto a � ��� �� a lo largo de la curva y � x��

h��� Demostrar que el campo de fuerzas �A � ��x y�z� bx�x� by��x z� bz es conservativoy calcular el trabajo realizado en un desplazamiento desde ��� ��� �� a ��� �� ��

h���� Hallar el �ujo del campo vectorial �A � z bx�x by�� y�z bz a trav�es de una supercie

limitada por los planos� x � �� x � l� y � �� y � l� z � �� z � l� H�agase porintegraci�on directa y mediante el teorema de la divergencia�

Page 429: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

h���� Hallar la circulaci�on del campo vectorial �A � �x�y� bx��y��x� by desde el punto

a � ��� �� hasta b � ��� �� a lo largo de�

a� a� b

b� a� ��� ��� b

c� La par�abola x � t� � �

h���� Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza �A � ��x� y� � z� x� � y �� z�� �x z � y� � z� al mover una part��cula alrededor de una elipse centrada enel origen� contenida en el plano xy y cuyos ejes mayores valen respectivamente y ��

h���� Hallar el momento de inercia polar� en el plano xy� de una regi�on D limitada por

las curvas

x� � y� �

����

� � x y �

����

h���� Hallar el �ujo del vector de posici�on a trav�es de la supercie que limita al volumen

com�un a los cilindros denidos por� x� � y� � a� y x� � z� � a��

h���� Hallar el �ujo del vector de posici�on a trav�es de la supercie del volumen com�prendido entre el plano z � �� el paraboloide z � x��y� y el cilindro x��y� � a��

h���� Demu�estrese que ��x� xo� � lim���d S�x�d x � donde�

S�x� �

������������ para x � x�

x�x�� para x� � x � x� � �

� para x � x� � �

h���� Demostrar que

�g�r� �l

ZV ��

R��r ��R

dv �

V�ease la secci�on ��� y las expresiones �� y �� del ap�endice ����

h���� Dados los campos vectoriales�

a�

�A �

����ra para r � a

br a�

r� para r � a

Page 430: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

b�

�B �

���b �a para � � a

b a� para � � a

dibujar las l��neas de campo� hallar las fuentes escalares y vectoriales en cada

zona y clasicar los campos�

Page 431: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

h���

Page 432: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice I

La Delta de Dirac

La funci�on � de Dirac� o funci�on impulso� no es propiamente una funci�on su en�cuadramiento riguroso� desde el punto de vista matem�atico� requiere el uso de la teor��ade distribuciones desarrollada por L� Schwartz �Friedman� B� �Principies and Techniquesof Applied Mathematics � Wiley � New York � ���� No obstante� la � puede expresarsecomo limite de una sucesi�on de funciones� lo que nos permitir�a dar una idea intuitiva yoperativa de la misma� �V�eanse los ap�endices de �Novozhilov� Levich�I� Born y Wolf� ylas tablas �Spiegel et al����

Esta funci�on tiene una gran utilidad en f��sica y nos permitir�a� entre otras cosas�expresar magnitudes singulares en un punto como l��mite de magnitudes continuas�

I�� De�nici�on

A� En una dimensi�on� de�niremos a la � de Dirac� �gura I���a� como una funci�on demedida nula

u

x0 x x0

οο

0)(x-x 0)(x-x

(a) (b)

δ

x

Figura I���

i��

Page 433: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

��x� x�� �

���� para x �� x�

�� para x� x�

�I���

que� adem�as� tiene �area unidad Z �

����x� x�� dx � � �I���

De otra forma

Z x�

x�

��x� x�� dx �

���� si x� �x�� x��

� si x � �x�� x��

por anularse ��x� para todo x �� ��

B� En tres dimensiones

���r � �r�� �

���� para �r �� �r�

�� para �r � �r�

� �

ZV��

���r � �r�� dv � � �I���

Como ya hemos dicho� no existe ninguna funci�on que tenga exactamente laspropiedades enunciadas� pero se ver�a m�as adelante que podemos imaginar diversas suce�siones �a��r � �r��� dependientes del par�ametro a� tales que

lima��

�a��r � �r�� � ���r � �r��

de forma que se podr�a siempre disponer de verdaderas funciones que� para a � � ar�bitrariamente peque�no� cumplan las condiciones anteriores con la necesaria precisi�on�Esto� desde el punto de vista f��sico es plenamente satisfactorio y nos evita� por ahora�situar a la � en un contexto m�as riguroso� Operativamente� entenderemos que el resul�tado de cualquier operaci�on en la que intervenga esta funci�on ser�a el correspondiente all��mite� cuando a� �� de los resultados obtenidos empleando �a�

C� En coordenadas curvil��neas qi� debemos escribir

���r � �r�� ��

h� h� h��q� � q��� ��q� � q��� ��q � q�� �I��

donde el factor �h� h� h�

se introduce porqueZ �

����q� � q��� dq� � �

y debe cumplirse la condici�on de normalizaci�on I���

Page 434: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

D� Suele ser �util la de�nici�on de � como la derivada de la funci�on unitaria de Heav�iside� �gura I���b� o funci�on escal�on unitario

Puede comprobarse que la derivada de esta funci�on cumple las condiciones prescritas

��x � x�� �d

d xu�x� x�� � u� �x� x�� � � u�x� x�� �

Z x

����x� x�� �I���

I�� Propiedades

a� La propiedad fundamental de la � es la de Desplazamiento�

Si f��r� es una funci�on de buen comportamiento

f��r�� �

ZV��

f��r� ���r � �r�� dv �I���

La demostraci�on intuitiva de esta propiedad es f�acil si aplicamos sucesivamente lasdos propiedades de�nitorias de la � e integramos sobre sobre un peque�no volumen �V �� que contenga al punto �r�� v�ease la �gura I���ZV��

f��r� ���r � �r�� dv �

Z�r��V

f��r� ���r � �r�� dv � f��r��

ZV��

���r � �r�� dv � f��r��

0εx -0 /2ε

x 0

f(x)

x

f(x )0

x +/2

Figura I���

b� � no es una funci�on y su �derivada� tampoco lo es pero� sin embargo� pode�mos de�nir sus propiedades mediante el proceso de l��mite enunciado al principio�Simb�olicamente� escribiremos d

d x ��x � x�� � �� �x� x���

Haciendo uso de �a�x� x�� e integrando por partes� tenemos queZ �

��f�x� ��a�x� x�� dx � �f�x� �a�x� x���

��� �z �

��

�Z �

��f � �x� �a�x� x�� dx

Page 435: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i�

y� tomando el l��mite para a� �Z �

��f�x� �� �x� x�� dx � �f � �x�� �I���

De forma general Z �

��f�x� ��n� �x� x�� dx � ����n f �n� �x�� �I���

Otras propiedades de inter�es est�an rese�nadas en el ap�endice de formulario�

I�� Ejemplos de sucesiones de funciones cuyo l��mite es la

delta de Dirac

$ �� La delta de Dirac como sucesi�on de pulsos cuadrados� �gura I���a�

Sea a � �n y

�n�x� x�� �

���� para jx� x�j � �

n

n� para jx� x�j � �

n

a=3

a=1 a=1

a=3

0)(x-xδ a 0)(x-xδ a

(b) (c)

x 0

0)(x-x

xΔn

(a)

x - /(2n)0

x + /(2n)0 ΔΔ

δ

x

n

0

Figura I���

En esta sucesi�on� a medida que n aumenta� la base tiende a cero y la altura a in�nitopero todas las �n tiene �area unitaria� luego limn�� �n�x� x�� � ��x� x���

$ �� La delta de Dirac como l��mite de una sucesi�on gaussiana� �gura I���b�

�a�x� x�� ��

ap�e��

x�x�a

��

En este caso lima�� �a�x� x�� � ��x� x���

Page 436: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

$ �� La delta de Dirac como l��mite de funciones seno sobre arco� �gura I���c�

�a�x� x�� �sen �a �x� x���

� �x� x��

Tambi�en aqu�� lima�� �a�x� x�� � ��x� x���

I�� Otras expresiones �utiles de la �

$ �� En mec�anica cu�antica� y en el estudio de propagaci�on de ondas� es muy �util laexpresi�on

���r � �r�� ��

����

Zk�

e j�k���r��r�� dk �I� �

donde �k � �kx� ky� kz� es el vector de onda y dk � dkx� dky� dkz �

$ �� Nosotros haremos un uso frecuente de la expresi�on

���R� � ���r � �r �� � � �

�r ���

R� � � �

�r��

R� �I����

donde �r � �x� y� z� es el vector de posici�on del punto de observaci�on� �r � � �x�� y�� z��es el correspondiente a las fuentes y �R � �x � x�� y � y�� z � z�� � �r � �r� el vectorde interacci�on que liga a las fuentes con el punto de observaci�on� r opera sobre lascomponentes de �r y r � sobre las de �r ��

y

z

r

r ’

v’Δ

ds ’

R

R-

x

P

^

Figura I��

Veamos que ���r�� as�� de�nida� es efectivamente una delta de Dirac� �gura I�� Puedecomprobarse por diferenciaci�on directa que

� �

�r ���

R� �

���� para �r �� �r �� ��R �� ��

�� para �r� �r �� ��R� ��

Page 437: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

y� adem�as� la integral de esta funci�on� en un V � �� � o que contenga �R � �� es iguala la unidad�Z

V ���r ���

R� dv � �

Z�R��V �

r � � �r ���

R�� dv � �

ZS �r � �

R� � d�s � �

ZS �

�r � �nr

ds � � �ZS ����r� � �n

rds � �

ZS �

d% � ��

d% es el diferencial de �angulo s�olido con que se ve d�s desde P �

I� Ecuaciones de continuidad

�A partir de estas de�niciones microsc�opicas de las densidades pueden obtenerse las

ecuaciones de continuidad de la carga neta y de cada una de las especies de carga quecomponen el sistema�Derivando la densidad de carga ���

���r� t� �

NXi��

qi ���r � �ri�t��

con respecto al tiempo

���r� t�

t�

NXi��

tfqi ���r � �ri�t��g �

NXi��

qit

���r � �ri�t�� �z ��a�

NXi��

qi

t���r � �ri�t�� �z ��b�

El t�ermino �a�� como los dem�as de esta expresi�on� corresponde a un n�umero depart��culas que aparece� por unidad de tiempo y de volumen� en ��r� t�� Al escribirsimb�olicamente �qi

�t se indica que las part��culas en cuesti�on� aunque tienen carga qi

mientras existen� pueden aparecer� ��jqij�t � ��� o desaparecer ��jqij�t � �� del entorno de��r� t�� por procesos de creaci�on o destrucci�on de carga� Si se tiene en cuenta que existencargas de ambos signos y que� por el principio de neutralidad� en cada punto e instantese crea o se destruye tanta carga positiva como negativa� �a� puede escribirse como

NXi��

qit

���r � �ri�t�� � ����r� t�� ����r� t� � �

donde ��� son las tasas de creaci�on de carga positiva y negativa �carga de cada signocreada por unidad de volumen y tiempo en ��r� t��� Por el principio de neutralidad deluniverso� las tasas son iguales y su diferencia nula�

Page 438: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

El t�ermino �b� puede tratarse f�acilmente mediante el cambio de variable ����r� t� ��r��ri�t�� que es funci�on de �r y de t �a trav�es de �ri�t��� lo que permite expresar a la deltade Dirac como ����� y derivarla como funci�on de funci�on �� De esta forma

qi

t���r � �ri�t�� � qi

�����

��� ��t� �qi �vi � r���r � �ri�t�� �

� �r � fqi �vi ���r � �ri�t��g � �r � ��i �I����

En los pasos anteriores se ha tenido en cuenta que

��

t� ��ri�t�

t� ��vi�t� � que �����

���

�r���r � �ri�t��

y se ha hecho uso del desarrollo de la divergencia del producto de un escalar por unvector teniendo en cuenta que �vi�t� no depende de �r�Sustituyendo en las ecuaciones anteriores� se deduce la ecuaci�on de continuidad de

la carga neta

r � ��� �

t� � �I����

Si se expresa la densidad de carga neta como � � �� � ��� suma de las densidadesde carga positiva y negativa� se obtienen las ecuaciones de continuidad para las cargasde ambos signos

r � ���� � ���t

� ��� �I����

�Se har�a uso de la notaci�on general � ��� � � �x� � �y� � �z� En particular� � �r�r�

Page 439: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

i��

Page 440: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice J

Desarrollo en serie y

Transformada de Fourier

Nos limitaremos aqu�� a recordar brevemente los aspectos fundamentales del desarrolloy la transformada de Fourier� Bas�andonos en estas t�ecnicas daremos una mayor gener�alidad al estudio de los sistemas lineales y a la propagaci�on de ondas electromagn�eticas�

J�� Desarrollo en serie de Fourier

Sea una funci�on continua de una variable t� f�t�� en el intervalo �a� b�� Dentro de eseintervalo es posible representar a f�t� como

f�t� �

�Xi��

ai �i�t�

siempre que f�i�t�g sea un conjunto de funciones ortogonal y completo en dicho inter�valo�

Para que �esto sea cierto es necesario que

Z b

a�i �j dt �

���� si i �� j

�� � si i � j

En particular el conjunto de funciones ��� cos n�� t� senn�� t�� con n � �� ����� esortogonal en cualquier intervalo �t� t� T��� donde T� �

����� y adem�as es completa para

funciones continuas y acotadas dentro de ese intervalo� A T� se le llama Periodo funda�

mental� a �� Frecuencia fundamental y a n N�umero arm�onico�

Por tanto� si f�t�� �gura J��� es acotada y continua en �t� t� T�� �T� � b� a � a �t � b � t� T��� podr�a expresarse dentro de dicho intervalo como

f�t� � fd�t� �a���

�Xn��

�ai cos n� t� bi senn� t� �J���

j��

Page 441: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

j��

f(t) d

T0

(t)

f(t)

a b

f

Figura J���

donde fd�t�� el desarrollo en serie de Fourier de f�t�� coincide con esta �ultima funci�onen el intervalo pero no fuera del mismo donde se repite peri�odicamente� Los coe�cientesdel desarrollo son

an ��

T�

Z t�T�

tf�t� cos n�� t dt � � n � �� �� � � � � �J���

bn ��

T�

Z t�T�

tf�t� senn�� t dt � � n � �� � � � � �J���

Este desarrollo� que solo es v�alido para el intervalo �a� b�� lo ser�a tambi�en para el������ si la funci�on f�t� es peri�odica de periodo b� a�

Si se tienen en cuenta las f�ormulas de Euler� podemos expresar J�� en forma compleja

f�t� �

�Xn���

cn ej n�� t �J��

siendo

cn ��

T�

Z t�T�

tf�t� e�j n�� t dt �J���

En de�nitiva� el desarrollo en serie de Fourier� consiste en transformar la funci�onf�t�� dentro de un intervalo �a� b�� en un n�umero in�nito de coe�cientes cn� que contienenla misma informaci�on que f�t� en dicho intervalo�

Dado que no podemos tomar in�nitos t�erminos del desarrollo� en la pr�actica seaproxima a fp�t� mediante

fN �t� �

NXn��N

cn ej n�� t �J���

Se puede demostrar que la funci�on error cuadr�atico

E� �

Z b

a�f�t�� f �N �t��� dt � � f �N �t� �

NXn��N

c �n ej n�� t

se minimiza haciendo c �n � cn� por lo que J�� es la serie de Fourier que mejor aproximaa fp�t� desde el punto de vista del error cuadr�atico�

Page 442: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

j��

J�� Transformada de Fourier

Hemos visto que el desarrollo en serie de Fourier nos sirve para representar funcionesen un intervalo �nito e incluso� cuando son peri�odicas� en un intervalo in�nito�Veremos que� bajo ciertas condiciones� funciones que se extienden en el tiempo en

el intervalo ������ admiten� si no el desarrollo anterior� una transformaci�on� la deFourier� que resulta de extender el concepto de desarrollo�Casi todas las funciones �utiles en f��sica� salvo las peri�odicas� son de cuadrado sumableZ �

��jf�t�j� dt � �nita

Se puede demostrar que esta condici�on es su�ciente� aunque no necesaria� para queexista la transformada�Volviendo al desarrollo� observamos que los coe�cientes cn � �� cuando T� � ��

Si queremos obtener una representaci�on de funciones que se extiendan en un intervaloin�nito� debemos modi�car el desarrollo de forma que se soslaye este problema�Sea un intervalo �nito

��T�� �

T��

�y desarrollemos f�t� dentro de �el�

f�t� ��X

n���cn e

j n�� t � � cn �����

Z T��

�T��

f��� e�j n�� � d�

Substituyendo cn en la expresi�on de f�t�

f�t� �

�Xn���

����

�Z T��

�T��

f��� e�j n�� � d�

�e j n�� t

Si ahora escribimos �� � �� y de�nimos una nueva variable � � n�� � n��� en ell��mite T� ��� �� � d� y

f�t� ��

��

Z �

����F ��� e j � t d� �J���

expresi�on de la Transformada inversa de Fourier de la funci�on F ���� donde

F ��� � F �f�t�� �Z �

t���f�t� e� j � t dt �J���

es la Transformada directa de Fourier� Entrambas forman el par de transformadas deFourier�En el formulario se rese�nan algunas de las propiedades de esta transformada�

J�� Ejemplos

J� Desarrollo en serie

Sea la funci�on de la �gura J���a� Esta funci�on no tiene transformada de Fourier por noser de cuadrado sumable� Sin embargo� se puede desarrollar en serie por ser peri�odica

Page 443: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

j�

n|

T0

4

T0

4

|c n|2 /A

A

ϕ

ϕ

n

f(t)

t

+-

(a) (b)

|c

π

Figura J���

de periodo T�� Los coe�cientes del desarrollo son los cn� en general� se podr�an expresarcomo unos n�umeros complejos de la forma

cn �A

senn ��

n ��

Estos coe�cientes pueden expresar� como n�umeros complejos que son en general� enfunci�on de su m�odulo jcnj y su fase como cn e j�� v�ease la �gura J���b�

J� Transformada

Para la funci�on de la �gura J���a

F

-a a

t

A

f(t)

(a) (b)

F| |

ω a

ϕ

π

ω

(c)

a

Figura J���

F ��� � �Aasen� a

� a

En la �gura J���b se representa a �esta funci�on y en la J���c a su m�odulo y su fase�

Page 444: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

j��

J�� Problemas

j��� Hallar el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones�

-t

f(t)

t

F 0

f(t)

t

F 0

T0 T0

1

(a) (b)

-t 1

Figura J��

j��� Calcular y representar la transformada de Fourier de las siguientes funciones�

f(t)F 0

t(s)1

1,1

Para y N=10N=1f(t)

F 0

t(s)1 2

f(t)F 0

t(s)

T NT0 0

(a) (b) (c)

Figura J���

Page 445: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

j��

Page 446: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

Ap�endice K

Resumen de formulario

K�� Constantes f��sicas

c velocidad de la luz �� � � �� � ���m�s��

�� permeabilidad magn�etica � � ��� H�m�� � �� ��� � � ����H�m��

�� permitividad el�ectrica �� �� ��� � � ����� F�m��

e carga del prot�on �� ��� �� � � ����� Cme masa en reposo del electr�on � �� �� � ���� kgmp masa en reposo del prot�on �� ��� �� � ���� kgk constante de Boltzmann �� ��� ��� � ���� J�K��

h constante de Plank �� ��� ��� � ��� J�s

K�� Conversi�on de unidades

� eV � �� ��� �� � � ����� Julios�Tesla � �� gauss

K�� Relaciones vectoriales y di�adicas

K� Productos

�a � ��b � �c� � �b � ��c � �a� � �c � ��a ��b� �K���

�a � ��b � �c� � �b ��a � �c�� �c ��a ��b� �K���

��a ��b� � ��c � �d� � ��a � �c���b � �d�� ��a � �d���b � �c� �K���

�a � ��b�c� � ��a ��b��c � � ��a�b� � �c � �a ��b � �c� � � ��a�b�� � a a� �K��

�a� �I � �a � � ��I �� � �� �K���

K� Gradiente

r�f � g� � r f �r g �K���

k��

Page 447: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

k��

r�f g� � f rg � grf �K���

r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a� �a � �r ��b� ��b � �r� �a� �K���

rf��r� � br d fd r

� � rr � br � � r��r� � � �

r�br �K� �

K Divergencia

r � ��a��b� � r � �a�r ��b �K����

r � �f �a� � f r � �a� �a � rf �K����

r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��b �K����

r � r � �a � � �K����

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Page 448: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

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K�� Coordenadas cuvil��neas

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K� Vector diferencial de l��nea

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K�� Elemento de volumen

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Page 449: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

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K�� Laplaciana

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K� La Delta de Dirac

K�� de�niciones

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Page 450: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

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K�� Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac

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Page 451: TOMO1 - ELECTROMAGNETISMO

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K�� Series y transformadas de Fourier

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�Landau y Lifchitz MC� L� Landau y E� Lifchitz� Electrodynamique des Milieux

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de la Teor��a Electromagn�etica� Addison�Wesley Iberoamericana�Argentina� � ��

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�Vanderlinde� J� Vanderlinde� Classical Electromagnetic Theory� Wiley�New York� � ��

�Velayos� S� Velayos� Temas de la F��sica III� Electromagnetismo� Copi�graf� Madrid� � ���

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