TOA ĐÔ TRONG MĂT PHĂNG – LTĐH 2013 (Bai đăng sô 8)

1)Cho tam giac ABC co A (- 3; 6 ), trưc tâm H ( 2; 1 ), trong tâm G ( ). Xac đinh toa đô

cac đinh B va CGIAI:

- Goi I la trung điêm cua BC, ta co => I (

, đương thăng BC đi qua I, co nên co pt: x – y – 3 = 0

B ( b; b – 3 ) BC, I la trung điêm cua BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b )

* Vây: B ( 6; 3 ),C ( 1; - 2 ) hoăc B ( 1; - 2 ), C ( 6; 3 )2) Cho tam giac ABC co đinh A thuôc d: x – 4y – 2 = 0, BC // d, đương cao BH: x + y + 3 = 0 va trung điêm cua canh AC la M ( 1; 1 ) Xac đinh toa đô cac đinh A, B, C.GIAI:Do AC vuông goc BH va đi qua M ( 1; 1 ) nên co pt: x – y = 0

Toa đô đinh A la nghiêm cua hê: => A ( )

M la trung điêm AC nên C ( )

BC đi qua C va song song d nên BC: x – 4y + 8 = 0

Toa đô B la nghiêm cua hê:

3) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 ( C’): x2 + y2 + 4x – 5 = 0cung đi qua M ( 1; 0 ). Viêt pt đương thăng d đi qua M, căt ca hai đương tron tai A va B sao cho MA = 2MB. GIAI: ( C ) co tâm I ( 1; 1 ); R = 1( C’) co tâm I’ ( - 2; 0 ); R’ = 3d đi qua M nên co dang: ax + by –a = 0 ( a2 + b2 > 0 ). Goi H, H’ lân lươt la trung điêm MA, MB. Do MA = 2MB nên MH = 2MH’ => IM2 – IH2 = 4 ( I’M2 – I’H2 )

Vơi a = 6b, chon b = 1 =.> a = 6 => d1:6x + y – 6 = 0Vơi a = - 6b, chon b = - 1 => a = 6 => d2:6x – y – 6 = 0

4) Cho tam giac ABC cân tai A, AB:x – y – 3 = 0, BC: x – 2y + 8 = 0, đương thăng AC đi qua M ( 1; 2 ). Tim toa đô cac đinh A, B, C.GIAI: Toa đô B la nghiêm cua hê:

A ( a; a -3 ) AB, M ( 1; 2 ) AC

=> A ( )

AC đi qua M, nên co pt: ( x – 1 ) – 7( y – 2 ) = 0 <=> x -7y + 13 = 0

Toa đô C la nghiêm cua hê:

Vây: A ( ), B ( 14; 11 ), C ( - 6, 1 )

5) Tam giac ABC cân tai A, AB: x + 2y – 2 = 0, AC: 2x + y + 1 = 0, điêm M ( 1; 2 ) thuôc đoan BC. Tim toa đô điêm D sao cho co gia tri nho nhât.

GIAI:BC: a( x – 1 ) + b( y – 2 ) = 0

Tam giac ABC cân tai A nên: cos A = cos B <=>

Vơi: a = b ,ta chon b = a = 1 => BC: x + y – 3 = 0, kêt hơp vơi pt cac canh AB, AC đê tim ra toa đô B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )

Do => M thuôc đoan thăng BC

Vơi: a = - b ta chon b = - 1 => BC: x – y + 1 = 0 => B ( 0; 1 ), C ( )

Do => M năm ngoai đoan thăng BC

Vây ta chon B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )

Goi I la trung điêm cua BC => I ( 0; 3 )Ta co:

Khi D Vây D ( 0; 3)

6 ) Tam giac ABC co trong tâm G ( 1; ), đương trung trưc cua BC co pt: x – 3y + 8 = 0,

AB: 4x + y – 9 = 0. Xac đinh toa đô A, B, C.GIAI: A ( a; 9 – 4a ), B ( b; 9 – 4b ), do G la trong tâm nên suy ra C ( 3 – a – b; -7 + 4a + 4b )

Trung điêm I ( ) cua BC thuôc trung trưc d cua BC

=> (1). Măt khac:

=> 3( 3 – 2b – a ) + 4a + 8b - 16 = 0 (2 ). Tư ( 1 ) va ( 2 ) suy ra: a = 1, b = 3Vây A ( 1; 5 ), B ( 3; - 3 ), C ( - 1; 9 ) 7 ) Cho d1: x – y + 1 = 0, d2: x – 2 = 0, M ( 2; 1 ) Lâp pt đương tron ( C ) đi qua M, co tâm I trên d1 va chăn trên d2 môt dây cung co đô dai băng 6.GIAI: ( C ) co tâm I ( a; a + 1 ), do d2 // Oy va ( C ) căt d2 theo dây cung co đô dai MN1 = 6 vơi N1 ( 2; 7 ) hoăc MN2 = 6 vơi N2 ( 2; -5 ) nên ta co:

Vơi I1 ( 3; 4 ), ban kinh R1 = I1M =

Vơi I2 ( -3; -2 ), ban kinh R2 = I2M =

Vây co hai pt đương tron :( C1 ): ( x – 3 )2 + ( y – 4 )2 = 10( C2 ): ( x +3 )2 + ( y + 2 )2 = 34

8) Tam giac ABC co B ( - 2; 1 ), AC: 2x + y + 1 = 0, trung tuyên AM: 3x + 2y + 3 = 0. Tinh SABC.

HD: Tư 2 pt canh AC va AM ta tim đươc A ( 1; - 3 ). Goi C ( c; - 2c – 1 ) AC, co B ( -2; 1 )

=> trung điêm M cua BC co toa đô M ( ; - c ), thay toa đô M vao pt canh AM => c = 0

=> C ( 0; - 1 ). Pt canh BC: x + y + 1 = 0

Ta co: SABC =

9) Cho E ( -1; 0 ) va ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0. Viêt pt d đi qua E va căt ( C ) theo môt dây cung co đô dai ngăn nhât.HD: ( C ) co tâm I ( 4; 2 ), R = 6; IE = < 6 => E năm trong đương tron ( C ).

Gia sư d đi qua E, d căt ( C ) tai M, N. Goi H la trung điêm MN => MN = 2. MH

Vây đê cho MNmin thi d đi qua E, vuông goc vơi IE. Tư đo viêt đươc d: 5x + 2y + 5 = 010) Tam giac ABC co A ( 2; 1 ), trưc tâm H ( 14; - 7 ), trung tuyên BM: 9x – 5y – 7 = 0Tim toa đô cac đinh B, C.

HD: ptts cua BM: => M ( - 2 + 5m ; - 5 + 9m ) , do M la trung điêm AC nên suy

ra C ( - 6 + 10m; - 11 + 18m ); B ( -2 + 5b; - 5 + 9b ) BM

:

Vơi m = , b = 1 ta đươc B ( 3; 4 ), C ( - 1; 2 )

Vơi m = ta đươc B (

11) Cho đương tron ( C ): x2 + y2 – 9 x – y + 18 = 0, A ( 1; 4 ), B ( - 1; 3 ). Goi C va D la hai điêm thuôc ( C ) sao cho ABCD la môt hinh binh hanh . Viêt pt đương thăng CD.

HD: ( C ) co tâm I ( ), ban kinh R = . Vi ABCD la môt hinh binh hanh nên

CD // AB => CD: x – 2y + m = 0 Goi H la trung điêm CD => CH =

Vây co hai pt đương thăng CD thoa yêu câu bai toan la: x - 2y – 1 = 0 va x – 2y – 6 = 0 12) Cho ( C ): ( x - 1 )2+ ( y + 2 )2 = 10, B ( 1; 4 ), C ( - 3; 2 ) . Tim toa đô điêm A thuôc ( C ) sao cho tam giac ABC co diên tich băng 19.GIAI: Gia sư A ( x; y ) ( C ) => ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 = 10 ( 1 ) BC: x – 2y + 7 = 0

SABC =

Vơi: x – 2y =12, kêt hơp vơi pt ( 1 ) ta đươc: y = hoăc y = - 5.Tư đo tim ra toa đô

A (

Vơi x – 2y + 26 = 0, kêt hơp vơi pt ( 1 ) => vô nghiêm

Vây co hai điêm A thoa yêu câu đê bai: A (

13) Cho tam giac ABC cân tai A, AB: x + 2y – 4 = 0; BC: 3x + y – 7 = 0. Tim toa đô cac đinh A

va C, biêt răng diên tich tam giac ABC băng va điêm A co hoanh đô dương.

HD:

Ta co cos B = => tam giac ABC vuông cân tai A

B ( 2; - 1 ), A ( -2a + 4; a ), C ( c; - 3a + 7 )

SABC =

Do A co hoanh đô dương nên ta chon a = 0, luc đo A ( 4; 0 ) => C ( c; -3c + 7 )

Vây A (4; 0 ), C ( 3; - 2 )14) Cho d: x – 2y + 5 = 0, ( C ): x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Qua điêm M thuôc d, ta ke hai tiêp tuyên MA, MB đên ( C ) ( A, B la hai tiêp điêm ). Tim toa đô điêm M biêt AB = 2

HD: ( C ) co tâm I ( 1; - 2 ), ban kinh R =

M ( 2m – 5; m ) d

Trong tam giac vuông IAM, đương cao AH, ta co: AH =

Vây M ( - 1; 2 )

15) Cho hinh thoi ABCD co tâm I ( 2; 1 ), AC = 2CD. Điêm M ( 0; ) thuôc đương thăng AB,

điêm N ( 0; 7 ) thuôc đương thăng CD. Tim toa đô điêm B.HD: Goi N’ la điêm đôi xưng cua N qua I => N’ ( 4; -5 ). Đương thăng AB đi qua điêm M va N’, nên

co ptts: => B ( 4 -3t ; - 5 + 4t ) ; măt khac pttq cua AB:4x + 3y – 1 = 0

Goi H la hinh chiêu vuông goc cua I trên AB, ta co IH = d ( I, AB ) = = 2

Đăt IB = x => IA = 2x, trong tam giac vuông IAB co:

Ta co: IB2 = ( 2 – 3t )2 + ( - 6 + 4t )2 = 5

Cach khac: ( không cân viêt ptts cua AB ) ta co thê giai hê pt:

Cung tim đươc toa đô B.16) Cho hinh chư nhât ABCD co diên tich băng 22, AB: 3x + 4y + 1 = 0, CD: 2x – y – 3 = 0. Tim toa đô cac đinh A, B, C, D. Biêt điêm D co hoanh đô dương.GIAI: Toa đô B la nghiêm cua hê:

Tư ( 1 ), ( 2 ) suy ra: AB = 2, AD = 11.D ( d; 2d – 3 ) BD. Ta co: AD = d ( D, AB ) = 11 <=>

=> D ( 6; 9 )

AD đi qua D, nên co pt: 4x – 3y – 3 = 0

Toa đô A la nghiêm cua hê:

Trung điêm I cua AB co toa đô I (

17) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; 1 ). Tim toa đô B va C thuôc ( C ) sao cho tam giac ABC đêu. GIAI: ( C ) co tâm I ( 1; 2 ), ban kinh R = , A ( 0; 1 ) ( C )

Tam giac ABC đêu , I la trong tâm, AI vuông goc vơi BC tai trung điêm H cua BC

BC đi qua điêm H,

Toa đô B, C la nghiêm cua hê:

Giai hê trên tim đươc: B ( hoăc ngươc lai.

18) Cho hinh vuông ABCD co đinh A thuôc d: x – y – 4= 0, đương thăng BC đi qua M ( 4; 0 ), đương thăng CD đi qua N ( 0; 2 ), tam giac AMN cân tai A. Xac đinh toa đô A, B, C, D.GIAI: Gia sư A ( t; t – 4 ) d AM2 = AN2 <=> ( t -4 )2 + ( t – 4 )2 = t2 + ( t – 6 )2 <=> t = - 1 => A ( - 1; - 5 )BC đi qua M co dang: ax + by – 4a = 0 ( a2 + b2 > 0 )CD đi qua N va vuông goc vơi BC nên co dang: bx – ay + 2a = 0Vi ABCD la hinh vuông nên: AB = AD

- Vơi 3a = - b, chon a = 1, b = - 3, ta co: AB: 3x + y + 8 = 0, CD: 3x + y – 2 = 0, BC: x – 3y – 4 = 0 => B ( - 2; - 2 ), C ( 1; 1 ), D ( 2; - 4 ) - Vơi a = 3b, chon b = 1, a = 3, ta co: AB: x – 3y + 6 = 0, CD: x – 3y + 6 = 0, BC: 3x + y – 12 = 0 => B ( 5; - 3 ), C ( 3; 3 ), D ( - 3; 1 )

19) Cho d: 3x + y – 4 = 0 va elip ( E ): . Viêt pt d’ vuông goc d va căt ( E ) tai hai

điêm A, B sao cho tam giac OAB co diên tich băng 3.GIAI: Do d’ vuông goc d => d’: x – 3y + m = 0Pt hoanh đô giao điêm cua d’ va ( E ): 4x2 + ( x + m )2 = 36 <=> 5x2 + 2mx + m2 – 36 = 0 ( 1 )d’ căt ( E ) tai 2 điêm phân biêt <=>

Vơi (x2 – x1 )2 = ( x1 + x2 )2 – 4x1x2 =

<=> ( 720 – 16m2 ).m2 = 8100 <=> m2 =

Vây co hai pt d’ thoa yêu câu đê bai: x – 3y

20) Cho ( E ): . Viêt pt đương thăng d // Oy va căt ( E ) tai hai điêm A, B sao cho

AB = 4.GIAI: d // Oy => d: x = aTung đô giao điêm cua d va ( E ) la nghiêm cua pt:

Vây co hai pt đương thăng d la: x =

21) Lâp pt chinh tăc cua elip ( E ), biêt răng co môt đinh va hai tiêu điêm cua ( E ) tao thanh môt tam giac đêu va chu vi hinh chư nhât cua ( E ) la 12.(2 + ).

GIAI: Goi pt elip cân tim (E):

C2 = a2 + b2

Vơi hai tiêu điêm F1(-c;0), F2(c;0)

Hai đinh trên truc nho la: B1(0;-b), B2(0;b)

Hai đinh trên truc lơn la: A1(-a;0), A2(a;0)

Theo đê ta suy ra B1F1F2 đêu hoăc B2F1F2 đêu

Tư đo ta co hê pt:

* Tư (1) va (2): a2-b2 =

=> a2= <=> b2= <=> b= , thay vao (3) ta đươc:

a + b = 3(2+

=> a=6

Vơi a=6 => b= 3 , c=3

Vây (E):

Bai 22: Cho (E): . Viêt pt chinh tăc cua đương thăng d đi qua điêm I(2;1) va căt (E) tai hai

điêm M, N. Sao cho I la trung điêm cua đoan thăng MN.

GIAI: PTCT cua d đi qua I(2;1) co dang (a, b va

=>

M(2+at1; 1+bt1) d

N(2+at2; 1+bt2) d

* Trung điêm I cua MN co toa đô thoa hê pt

<=> => t1 + t2 = 0 (vi a, b ) (1)

M, N => t1 va t2 la nghiêm cua pt

<=>

<=> . Đây la pt bâc hai ân sô t, pt luôn co hai

nghiêm phân biêt t1, t2. Theo Vi-et, ta co: t1 + t2 = (theo (1))

=> => 9a + 8b = 0, Chon a=8, b= -9. Thi co (d):