toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · direkte perturbasjon...
TRANSCRIPT
ToskalautviklingerMek3100/4100
Geir Pedersen
Matematisk Institutt, UiO
Flerskala... – p.1/23
Motivasjon
Mange problemer inneholder forskjellige tids- ogromskalaer
Eksempel: grensesjikt; rask skala bare i grensesjiktet
Flere skalaer globalt behov for ny metode
Lineære likninger: WKB(J)
Flerskala... – p.2/23
Eksempel 1: dempet svingning
� ����� � ���
���� � � � � � � � ���
�� � �� � �(1)
� – liten parameter.
Fysisk tolkning: motstandskraft proporsjonal medhastigheten
Flerskala... – p.3/23
Direkte perturbasjon
� � � � �� � � �� � � � �
� �� �
� � � ��� � � � � � �
� � � � ���
�� � � �� � ��
Løsning:� � � �� � �
Flerskala... – p.4/23
Direkte perturbasjon � �
� � � ��� � � � � � �
�� ��� � � ��� � �
� � � ��� � �
�� � �
Resonans sekulære ledd
� � ��
�� � ��� � � � � � � � �
Lite motstandsledd demper løsning systematisk � � � blirstor
Flerskala... – p.5/23
Innføring av langsom tid
Ny tidsvariabel
� � � � �
Tidsderiverte
��� �
� ���
� �
� ��� � �
� � � � ��
� � �
��� � � � � �
Likning
� � � � � � ��� � �
� � � �
� �
� �� � � � �
� ��
� �
�
� � � � ���
� � � � ��
� � � � � �
Flerskala... – p.6/23
Toskalapertubasjon
Rekken
� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � �
� �� � � � �
� � � � � � � � � � � � ���
� � � � � � ��
Løsningen blir
� � � ! � � � � � � � � " � � � � ��� � � ! � � � � � " � � �
! �, " � bestemmes til neste orden.
Flerskala... – p.7/23
� �
� � � � � � � � � �
� � � � �
� � � � �
� � ! � � � � ! �� �
� ��� � � � " � � � � " �� �
� � � �
� � � � � ���
� � � � � � �
� � � �
� �
Ingen sekulære ledd
! � � � � ! �� � � " � � � � " �� � � ��
Flerskala... – p.8/23
� �
, forts.
Initialbetingelser for
! �, " �:
! � � # $ %& ' � " � � �Ingen partikulærløsning til
� ��
:
� � � ! � � � � � � � � " � � � � ��� � � ! � � � � " � � ��
�
Total løsning
� � # $ %& ( ) � � � � �� � ! � �� � �� � � � " � �� � � ��� � � � �� � �
NB!��
: sekulære ledd, må evt. innføre � � � � � �
.
Flerskala... – p.9/23
Eksakt løsning
� � # $ %& ( ) �� � * � � �� * � ��� * � �
der * � � � �+� � � � � � �� �
. Vi ser at toskalaløsningen
stemmer, inklusive
" � � � �� .
Flerskala... – p.10/23
Eksempel 2: ikkelineær svingning
Skalert likning for ikkelineær pendel
� �-,�� � � , �
�. , / � � , � � � �
�, � �� � �
Poincare-LindstedVi søker en periodisk løsning med frekvens* � * � ��� * � � � � � .
FlerskalaVi opfatter� �
som en langsom tidsskala med virkning påfasen.
Flerskala... – p.11/23
Toskalautvikling, ikkelineær pendel
Innfører � � � �
�, � � � , �� �
�0, � � �
�. , / ��� � �0, � � �
, � � � ���
, � � � ���
, � � � � �
Pertubasjonsrekke
, � , � � � � � �� , � � � � � � � � � �
Flerskala... – p.12/23
Ikkelineær pendel; � 1
�0, � � � � , � � � , � � � � � �
, � � � � � �
Eksponentialform
, � � ! � � � # 2 ) � ! � � � # $ 2 )� ! � � ��
� �
der
! � er komplekskonjugert av
! �.
Flerskala... – p.13/23
Ikkelineær pendel; � �
� , � � � � , � �
�. , / � � �
�0, � � �
��
.! / � # / 2 ) � � � 3 � ! �
� �� �
�! � ! � � # 2 ) � �� �� �
der �� �� indikerer komplekskonjugert.Ingen sekulære ledd:
3 � ! �� � �
�4
! � ! � � � �
Flerskala... – p.14/23
Ikkelineær pendel; � �
, forts.
Fra forrige lysark
3 � ! �� � �
�4
! � ! � � � �Innsettes
! � � 5 ! � 5 # 26
� 5 ! � 5� � � �
�� � � �
�4
5 ! � 5 � �
Initialbetingelse for
! �! � �
�� # $ 7%8 '
Flerskala... – p.15/23
Sammensatt løsning
, ��
� # 2 9 � $ :% 8 ; ) ��
<= 4 # / 2 9 � $ :%8 ; ) � �� �� � � �� �
� � � � � � ��
�. � �
��> � �� � < � � �
��.
� � � �� �
Kan bekreftes ved Poincare-Lindsted.
Flerskala... – p.16/23
Eksempel 3: Pendel med variabel lengde
Spinnsatsen om opphengningspunktet
? @ � � A ? A �CB � �=utslag,
?
=lengde og prikk er tidsderivasjonSkalering:
� �B
? � �D � E �
?? � �
F �G �
Langsom skala, � � � �, beskriver endringen av E.
E � � � � F
�� � � ��� E
� �� F
�� � F � ��
Flerskala... – p.17/23
Forsøk: direkte bruk av flerskalautvikling
Initialbetingelser (valg av G)
F � � � �
� F�� � �
Rekkeutvikling
F � F � � � � � �� F � � � � � � � � �
� �� � E
� F � � � � F � � � F � � � ���
F � � � � �
løsning
F � � ! � � � # 2IH J %& ) � ! � # $ 2IH J %& )� ! � � ��
� �
Flerskala... – p.18/23
Direkte flerskalautvikling; � �
E � F �
� � � F � � KML F � � � � �
F � � � � � �
F � � �
der
KL � � � E � F �
� � � � � E� �
F � �
� � � 3 E %&� ! �
� �� 3 E $ %& ! �
� E� �
� � � ! � E $ � E
� # 2H J %& ) � ��
�
forekommer sekulært ledd i
F � .Mislykket forsøk fordi rask periode ikke er konstant
Flerskala... – p.19/23
Modifisert flerskalautvikling
Variabel tidskala �N�� � O � � �
transformasjon ��� � O
N ��
� �
� ��� � � O �
� N � �� � � O
� N �
�� O
� �
N ��� � �
� � �
Vi må bestemme O slik at sekulære ledd unngås.Perturbasjonsrekke
F � F � N � � ��� F � � N � � � � � �
Flerskala... – p.20/23
Modifisert flerskalautvikling; � 1
E O � � F �
N � � F � � � F � � � � ���
F � � �
N � ��
Problem fra forrige forsøk:� eksplisitt i eksponenten.Unngås ved O � E $ %&
F � � ! � � � # 2P � ! � � � # $ 2P � ! � � ��
� �
Flerskala... – p.21/23
� �
� F � N � � F � Q KML �
der
KML � � � O E � F �
N � � � O� E
� � F �
N � E� O
� � F �
N
� � 3 � O E� ! �
� �� � O ! �
� E� �
� E� O
� �! � # 2P � �� ��
� � 3 � E %&� ! �
� �� <
� E $ %& ! �� E
� � # 2P � �� ��
Separabel likning for
! � ! � � R� � � S � T E $ UV
Flerskala... – p.22/23
Merknad: Wave action
Energien i pendelen:
W � WL � WYX
WYX : potensiell energi; endring i
?
WL : Energi knyttet til pendelbevegelse
WL ��
� Z ? � A � � ZB ? � � � � � � �
Små utslag, skalering, inn medF �
WL � � ZB ? � �G E ! � � � � � � �� �
WL ikke konstant, men “bølgevirkning” (“wave action”)
WL*
[ R� � � S � � * �B
?
Flerskala... – p.23/23