título: construÇÃo dos diagramas de espaÇo-tempo … · que podem existir três regiões no...
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Título: CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESPAÇOTEMPO DE UM
BURACO NEGRO COM CARGA E SEM ROTAÇÃO UTILIZANDO
ROTINAS COMPUTACIONAIS.
Autores: Rodrigo Ferreira Santos, Jonathas da Silva Maciel, Ednilton Santos de Oliveira e
Luís Carlos Bassalo Crispino.
Resumo
Este trabalho tem como objetivo mostrar, por meio da utilização do
software Mathematica 5.0, a construção de diagramas espaçotemporais para a solução
de ReissnerNordström das equações de Einstein. Esta solução descreve o espaço
tempo ao redor de um buraco negro com carga elétrica e sem rotação. Apresentaremos
aqui os diagramas espaçotemporais de um buraco negro de ReissnerNordström em
coordenadas polares esféricas e em coordenadas de EddingtonFinkelstein e o caminho
que trilhamos até a obtenção destes diagramas por meio de rotinas computacionais.
Emails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected].
Palavras chave: Espaçotempo, buraco negro, sistemas de coordenadas, Mathematica.
1
1 – Introdução
A teoria da relatividade geral foi formulada por Albert Einstein com o
objetivo de generalizar a gravitação newtoniana, levando em consideração os
desenvolvimentos da teoria da relatividade especial. A relatividade geral tem por base
alguns princípios físicos, dentre os quais os mais conhecidos são o princípio da
correspondência e o princípio da equivalência. Esta teoria, assim como a teoria
newtoniana, possui um conjunto de equações para a gravitação, apesar de não serem
lineares. Por isto, Einstein, ao publicálas, acreditava que não houvesse soluções exatas
para tais equações [1]. Entretanto, após alguns meses da publicação das equações da
relatividade geral [2], em 1916, Karl Schwarzschild obteve a primeira solução exata das
equações de Einstein, que descreve como o espaçotempo é modificado pela presença
de um ponto singular de massa M, sem carga e sem rotação, localizado na origem do
sistema de coordenadas esféricas, de acordo com um observador parado no infinito [3].
Apesar de esta solução ser uma das soluções mais simples das equações
de Einstein, por meio desta solução já foi possível a explicação de fenômenos de origem
gravitacional que até então a teoria newtoniana da gravitação não conseguia explicar,
2
como por exemplo, a precessão do periélio de mercúrio, e o desvio de raios luminosos
perante fortes campos gravitacionais.
Após a descoberta da solução de Schwarzschild, no mesmo ano, o
engenheiro e físico alemão Hans Reissner conseguiu a primeira solução das equações de
Einstein na presença de campos eletromagnéticos e, em 1918, de maneira independente,
a solução foi encontrada pelo engenheiro e físico finlandês Gunnar Nordström [4]. Ambos
encontraram uma solução que generaliza a solução de Schwarzschild para o caso em
que, além da massa M, o buraco negro contenha carga elétrica Q. Esta solução mostra
que podem existir três regiões no espaçotempo ao redor de um buraco negro carregado
e sem rotação. Entre estas regiões existem dois horizontes de eventos e a luz pode
atravessálos sem cair na singularidade espaçotemporal. Além disto, mostrase também
que o ponto carregado cria uma barreira de potencial onde uma partícula que tente
alcançar um dos seus horizontes é naturalmente repelida, ficando presa numa destas
regiões [2].
.
2 –O elemento de linha de ReissnerNordström
Como no caso da solução de Schwarzschild, a solução das equações de
Einstein obtida pelos físicos Hans Reissner e Gunnar Nordström descreve um espaço
tempo estático e esfericamente simétrico. Um espaçotempo é dito esfericamente
simétrico se, e somente se, ele admitir três vetores de Killing tipoespaço aX cujas
órbitas são fechadas e que satisfaçam à condição: [ X1 , X2 ]=X3 , [ ] 132 , XXX = ,
3
[ ] 213 , XXX = [2]. Esta condição nos possibilita determinar uma forma canônica para o
elemento de linha escrito no sistema de coordenadas polares esféricos, a saber
( )2 2 2 2 2 2 2sin .ν λ θ θ φ= − − +ds e dt e dr r d d , (2.1)
sendo que ( )rt,νν = e ( )rt,λλ = . Como a solução é para o caso estático, ( )rνν = e
( )rλλ = .
Para encontrarmos o elemento de linha correspondente à solução de
ReissnerNordström, primeiro tomemos a seguinte equação:
Rab=8 T ab , (2.2)
na qual abR é o tensor de Ricci e abT é o tensor energiamomento, que, em regiões livres
de fontes, onde somente o campo eletromagnético está presente, é dado por:
1 1 .4 4
cd cdab ac bd ab cdT g F F g F F
π ↵ ↵= − + ↵ ↵ ↵ ↵
, (2.3)
sendo abg a métrica que descreve o espaçotempo e abF o tensor de Maxwell que
descreve o campo eletromagnético.
Tomando a equação de Maxwell em regiões livres de fontes,
0,abaF? = (2.4)
4
lembrando que o campo é gerado por uma partícula pontual carregada e admitindo que
ela esteja na origem do sistema de coordenadas, concluímos que o campo é do tipo
eletrostático e radial. Sendo assim, o tensor de Maxwell assume a seguinte forma:
( )
0 1 0 01 0 0 0
.0 0 0 00 0 0 0
abF E r
−? ?? ?? ?=? ?? ?? ?
(2.5)
Reunindo as equações (2.1) e (2.5) em (2.4), obtemos a expressão do campo elétrico
gerado pela partícula pontual. Esta é dada por:
( )1 ( )2
2 .qE r er
ν λ+= (2.6)
Admitindo que a solução é assintoticamente plana, quando r tende para o infinito o campo
eletrostático tende ao resultado clássico, isto é, ( ) 2rqrE → para ∞→r e portanto
0=+ λν assintoticamente.
Substituindo agora as equações (2.1), (2.3) e (2.6) em (2.2) quando os
índices são 0a b= = e 1a b= = , obtemos:
0,ν λ+ =&& (2.7)
na qual o ponto denota diferenciação relação a r. Obtemos assim que 0=+ λν quando
∞→r . Juntando este resultado com (2.6), concluímos que 0=+ λν para qualquer r.
A equação em que 2a b= = , na expressão (2.2), leva a:
5
2
221 .m qer r
ν = − + (2.8)
Usando (2.8) e que 0=+ λν , obtemos:
12
221 ,m qer r
λ−
↵ ↵= − + ↵ ↵
↵ ↵(2.9)
sendo que m em (2.7) e (2.8) é uma constante de integração.
Substituindo as equações (2.8) e (2.9) em (2.1), obtemos o elemento de
linha de ReissnerNordström, que é:
ds2=1−2 mr
q2
r2 dt2−1−2 mr
q2
r2 −1
dr2−r2 d 2sin2 d 2 (2.10)
Quando 0q = , esta equação se reduz ao elemento de linha de Schwarzschild e, assim,
identificamos m como sendo a massa geométrica, que em um sistema de unidades que
não seja o natural é 2/m GM c= , sendo G é a constante universal da gravitação, M a
massa do corpo e c a velocidade da luz no vácuo.
Com este elemento de linha, podemos analisar o espaçotempo de
ReissnerNordström ETRN e encontrar as equações de movimento para partículas que
viajam nesse espaçotempo.
3 ETRN
6
3.1 – Em coordenadas polares esféricas
Primeiro, analisemos o elemento de linha de ReissnerNordström, que em
coordenadas esféricas é dado por (2.9). A partir das componentes da métrica do
elemento de linha do ETRN, podemos encontrar as regiões que delimitam o espaço
tempo. Para isso basta tomar 000 =g , o que implica que 021 2
2
=+−rq
rm e, assim, estas
superfícies, denominadas horizontes, são dadas por:
r±=m±m2−q2
12 (3.1)
De (3.1) percebemos que o espaçotempo é dividido em três regiões para o
caso em que q2m2 , caso este ao qual nosso trabalho estará voltado. Estas regiões
são: I, para rr∞ , II, em +− << rrr e III, na qual 0rr
− . A separação destas
regiões é feita por hipersuperfícies nulas (tipo luz), que estão localizadas em r=r e
r=r− . A situação em r=r
é semelhante ao caso de Schwarzschild em r=2 m . Nas
regiões I e III, as coordenadas “t” e “r” são do tipo tempo e do tipo espaço,
respectivamente, mas elas mudam seus papéis na região II, fazendo com que nós
observássemos que a solução é estática nas regiões I e III, porém na região II ela
passaria a não ser mais estática. O sistema de coordenadas polar esférico não é o mais
adequado para descrever os fenômenos que ocorrem nessa região. Por isso, usaremos
as Coordenadas Avançadas de EddingtonFinkelstein.
3.2 Encontrando as geodésicas do ETRN em coordenadas polares esféricas.
7
As geodésicas são curvas ao longo das quais devem se dar os
movimentos das partículas livres de forças em um dado espaçotempo. Estas curvas são
encontradas aplicandose o método variacional para geodésicas, que se trata,
basicamente, do uso das equações de EulerLagrange [2].
Vamos considerar que o movimento da partícula se limite apenas ao longo
da coordenada radial. Dessa forma,
=cte . , =cte .
, de modo que d =d =0 . Estamos interessados em geodésicas nulas, que são as
curvas correspondentes à linha de mundo do fóton. Isto implica que ds2=0 , e, portanto,
o elemento de linha (2.9) tornase:
12 22 2 2
2 22 21 1 0.m q m qds dt drr r r r
− ↵ ↵ ↵ ↵
= − + − − + = ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵
(3.2)
Diferenciando (3.2) com relação a um parâmetro afim u, definido por [2]:
2
2 0,d sdu
=
temos:
L≡ &s2=1−2 mr
q2
r2 &t2−1−2 mr
q2
r2 −1
&r2=0 . (3.3)
Utilizando as equações de EulerLagrange, podemos encontrar as
geodésicas tipo luz. Fazendo isto, obtemos:
8
ddu ∂ L
∂ &t −∂ L∂ t
=0 , (3.4)
que resulta em:
ddu r−r
r−r
−
r2&t =0 . (3.5)
Integrando, obtemos:
&t=k1r2
r−rr−r
−
. (3.6)
Tomando (3.6) e substituindo em (3.3), encontramos:
&r=±k1 . (3.7)
Os sinais positivo e negativo em (3.7) correspondem ao tipo da geodésica nula. Se
for positivo, temos a geodésica de saída, que são geodésicas para as quais o fóton
caminha no sentido em que r cresce, e se for negativo temos geodésicas de
entrada, cujo sentido é oposto ao das geodésicas de saída. As equações acima
mostram que t = t(r), então:
dtdr
=dtdu
dudr
=&t&r
. (3.8)
dtdr
=±r2
r−r r−r
−. (3.9)
Integrando a equação (3.9) com relação a “r”, obtemos:
9
t=−r2 ln r−r
r−r
−
r−2 ln r−r
−r−r
−−rcte (3.10)
e
t=r2 ln r−r
r−r
−−
r−2 ln r−r
−r−r
−rcte , (3.11)
sendo que a equação (3.10) corresponde às geodésicas de entrada, que chamaremos
aqui de “outgoing” e a equação (3.11) corresponde às geodésicas de saída que
chamaremos aqui de “ingoing”.
Podemos concluir a partir de (3.10) e (3.11) que as linhas de mundo
dos fótons são curvas no ETRN. As constantes de integração servirão para formar
as congruências nulas [2]. Dessa maneira, podemos criar os gráficos de t versus r
no Mathematica 5.0.
A seguinte rotina foi introduzida:
10
m =6;
q =5.7;
r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
outgoing =r+
2Hr+ - r-L Log@Abs@r - r+DD- r-2Hr+ - r-L Log@Abs@r - r-DD+ r;
ingoing =- outgoing;
P1 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,
ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,
ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,
ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing + 50, outgoing - 50, ingoing + 60<,8r, 0, r- - 0.01<,PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,
Ticks 888r- , "r=r- "<<, None<D;P2 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,
ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,
ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,
ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing + 50<,8r, r- + 0.01, r+ - 0.1<, PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,
Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<D;P3 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,
ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,
ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,
ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing - 40<,8r, r+ + 0.1, r+ + 5<, PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,
Ticks 888r+, "r=r+"<<, None<D;Show@8P1, P2, P3<, AxesLabel 8"r", "t"<, TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<,
Axes Automatic, Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<D;O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:
11
Os gráficos das figuras (3.1), (3.2) e (3.3) mostram o comportamento das
geodésicas para cada região. Na figura (3.4), temos a descrição de todo o espaçotempo.
Na região I ( ∞<<+ rr ) observamos que, para valores muito grandes de r, o espaço
tempo assemelhase ao de Minkowski. Percebemos ainda que, pelos cones de luz,
qualquer partícula que tenda a entrar no buraco negro, parece levar um tempo infinito
para alcançar o ponto r=r , da mesma forma como acontece para Schwarzschild em
r=2 m . Na região II ( +− << rrr ) todos os cones de luz estão orientados para a região III
( 0rr− ) e é na região II onde ocorre a inversão das coordenadas “t” e “r”, ou seja, a
coordenada “t” passa a ser do tipoespaço e coordenada “r” passa a ser do tipotempo.
Isso faz com que pensemos que ocorre a quebra do princípio da causa e efeito, pois os
cones de luz possibilitam que os fótons andem para trás no tempo. Como podemos ver,
cada região parece estar desconectada da outra, devido aos cones de luz nesses
gráficos terem orientações bem diferentes. Ressaltamos que isto se dá devido ao sistema
de coordenadas adotado, que não é o melhor para descrever o espaçotempo
considerado como um todo.
3.2 – ETRN em coordenadas avançadas de EddingtonFinkelstein.
Como já foi citado, pelo fato de termos anteriormente plotado gráficos
usando o sistema de coordenadas naturais (t, r, θ, φ), surgiramse algumas anomalias
que distorcem o entendimento físico do problema. Para podermos melhorar a estrutura do
diagrama e com isso dar uma visão física mais adequada, usaremos as coordenas
avançadas de EddingtonFinkelstein. Neste sentido, fazemos uma mudança na
coordenada temporal, de tal maneira que as geodésicas de entrada sejam retas.
13
3.2.1 Encontrando as geodésicas para o ETRN em coordenadas avançadas de
EddingtonFinkelstein.
Nosso objetivo agora é encontrar transformações de coordenadas de forma
que as geodésicas nulas de entrada sejam linhas retas. Definimos então as seguintes
transformações de coordenadas usando (3.10) [2]:
t=tr2 ln r−r
r−r
−−
r−2 ln r−r
−r−r
−. (3.12)
Deste modo, as geodésicas nulas de entrada são dadas por:
t=−rcte . (3.13)
Como podemos perceber, a expressão (3.13) corresponde a retas, que fazem um ângulo
de 135º com o semieixo positivo de r. Partamos agora em busca das geodésicas nulas
de saída. Para isto, diferenciando (3.12), temos:
d t=dt{r r−r
−−r
r−
r−r r−r
− }dr . (3.14)
Substituindo (3.14) no elemento de linha de ReissnerNordström (2.9), encontramos um
novo elemento de linha para a nova coordenada t , que é:
ds2=1−2 mr
q2
r2 d t2− 4 mr
2 q2
r2 d t dr−12 mr
−q2
r2 dr2−r2 d 2sin2 d 2 .
(3.15)
14
Através de (3.15), podemos, de forma análoga, como foi visto na seção
3.1.1 encontrar as geodésicas nulas de saída. Para isto, usando o método variacional
para geodésicas, obtemos:
2
2
2
2
21
21
m qdt r r
m qdrr r
+ −=
− +. (3.16)
Integrando (3.16) temos:
t=r2 2 m2−q2
r−r
−
ln∣r−r
r−r−
∣2 m ln∣ r−rr−r
−∣cte . (3.17)
Estas são as geodésicas nulas de saída.
Com as geodésicas nulas encontradas, podemos então construir o gráfico t versus r.
A seguinte rotina foi introduzida:
m =5;
q =4.5;
r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
outgoing =r + 2 m Log@Abs@Hr - r+L Hr - r-LDD+ 22 m 2 - q2
r+ - r-LogAAbsAr - r+
r - r-EE;
ingoing =- r;
PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing - 15, outgoing + 30, outgoing - 30,
outgoing + 45, outgoing - 45, outgoing + 60, outgoing - 60, ingoing, ingoing + 15,
ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60, ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange 80, 50<,AxesLabel 9"r", "t
-"=, Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<E;
15
O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:
r=r+r=r-r
t-
Fig.: 3.5.
Agora nós temos o gráfico que corresponde às coordenadas avançadas de
EddingtonFinkelstein. Como podemos observar, um sinal luminoso não pode escapar da
região II para a região I, o que nos mostra que a superfície r=r é um horizonte de
eventos, e qualquer partícula que atravesse essa região tende à singularidade intrínseca (
0r = ). Na região II os cones de luz estão orientados em direção à singularidade 0r = , e,
portanto, qualquer partícula que esteja na região II se moverá necessariamente para o
centro. Na região III os cones de luz não estão inclinados para o centro e
conseqüentemente as partículas não caem necessariamente na singularidade.
3.3 – ETRN em coordenadas atrasadas de EddingtonFinkelstein
As coordenadas atrasadas de EddingtonFinkelstein correspondem à solução oposta a
das coordenadas avançadas. Esta solução matemática, que descreve o que chamamos
de buraco branco, é importante para a construção dos digramas de Kruskal e Penrose, a
partir dos quais se especula a existência dos chamados “buracos de minhoca” [1].
16
3.3.1 Encontrando as geodésicas para o ETRN em coordenadas atrasadas de
EddingtonFinkelstein.
Podemos encontrar a solução reversa no tempo definindo uma nova
transformação de coordenadas. Partindo de (3.11), definimos esta transformação como:
2 2ln( ) ln( )( ) ( )
r r r r r rt t tr r r r
+ + − +
+ − + −
− − →= − − +− −
% . (3.18)
Sendo assim, as geodésicas nulas de saída são agora retas que formam
um angulo de 45º em relação ao semieixo positivo de r e são dadas pela relação:
%t=rcte . (3.19)
Encontremos agora as geodésicas nulas de entrada. Para isto,
diferenciemos (3.18):
( )( )( )r r r r rdt dt drr r r r
+ − + −
+ −
↵ ↵− −= − − ↵ ↵− −↵% (3.20)
Substituindo (3.20) no elemento de linha de ReissnerNordström (2.9),
encontramos um novo elemento de linha para a nova coordenada t~ , que é:
ds2=1−2 mr
q2
r2 d %t2 4 mr
2 q2
r2 d %t dr−12 mr
−q2
r2 dr2−r2 d 2sin2 d 2 .
(3.21)
17
Finalmente, por meio de (3.21), podemos, de forma análoga ao que foi feito
em ReissnerNordström, e para a coordenada de EddingtonFinkelstein encontrar as
seguintes geodésicas nulas de entrada:
%t=−r−2 2 m2−q2
r−r
−
ln∣r−r
r−r−
∣−2 m ln∣r−rr−r
−∣cte . (3.22)
Dessa forma as geodésicas de entrada são dadas pela expressão (3.22) e as de saída
por (3.19).
A partir das expressões (3.19) e (3.22), podemos então construir o gráfico
de t~ versus r.
A seguinte rotina foi introduzida:
q =4.5;
r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;
outgoing =- r - 2 m Log@Abs@Hr - r+L Hr - r-LDD-2
2 m 2 - q2
r+ - r-LogAAbsAr - r+
r - r-EE;
ingoing =r;
PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing + 30, outgoing + 45,
outgoing + 60, outgoing + 75, outgoing + 90, outgoing + 105,
ingoing, ingoing + 15, ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60,
ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange 80, 50<, AxesLabel 9"r", "t-"=,
Ticks 888r+, "r=r+"<,8r- , "r=r- "<<, None<E;O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:
18
r=r+r=r-r
t-
Fig.: 3.6.
A figura acima mostra como as geodésicas nulas se comportam segundo a coordenada
atrasada de EddingtonFinkelstein.
4 – Considerações finais
A solução de ReissnerNordström, como mencionado anteriormente, é a
solução das equações de Einstein que descreve o espaçotempo de um buraco negro
com carga elétrica. Devemos ressaltar, no entanto, que é mais provável encontrarmos
corpos celestes neutros (carga elétrica nula) distribuídos pelo cosmos.
Como uma especulação, poderíamos investigála em nível quântico, como
por exemplo, considerando um elétron como uma partícula pontual e analisando o
espaçotempo ao seu redor; mas neste contexto teríamos problemas relacionados com
as ordens de grandezas envolvidas e com o caráter probabilístico dos sistemas
quânticos. Esta é mais uma situação que nos remete ao problema da compatibilização da
relatividade geral com teoria quântica.
A solução de ReissnerNordström é importantíssima para física teórica, no
sentido de que é uma generalização do caso de Schwarzschild, além de ser um
interessante elo entre o eletromagnetismo e a gravitação que pode nos fornecer dicas
para a construção de uma teoria unificada para as interações da natureza. É interessante
comparar os diagramas feitos e exibidos neste trabalho com os do espaçotempo de
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Schwarzschild e notar que a presença da carga elétrica afeta significativamente o
caminho das geodésicas, além de produzir um horizonte de eventos adicional com
relação ao caso de um buraco negro descarregado. O caso tratado aqui se assemelha à
solução de Kerr, que descreve o espaçotempo de um buraco negro com rotação, que
pode ser tratada de maneira análoga à que foi feita no presente trabalho.
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5 – Referências
[1] PAIS, Abraham. Sutil é o Senhor... A ciência e a vida de Albert Einstein. Tradução
Fernando Parente e Viriato Esteve; revisão da tradução César Benjamim. Nova Fronteira,
Rio de Janeiro (1995).
[2] D’INVERNO, Ray. Introducing Einstein`s Relativity. Clarendon Press, Oxford (1992).
[3] WALD, Robert M. General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago (1984).
[4] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,
Jorge Castiñeiras; VANZELLA, Daniel Augusto Turolla. Buracos negros. Scientific
American Brasil Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p. 3239, (2006).
[5] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,
Jorge Castiñeiras. Horizonte de Eventos. Scientific American Brasil, São Paulo, v. 29, p.
5056, (2004).
[6] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,
Jorge Castiñeiras; VANZELLA, Daniel Augusto Turolla. Singularidade e Informação.
Scientific American Brasil Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p. 7075, (2006).
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