Raquel Garca Bertrand

Universidad de

Castilla La Mancha

Tema 5. Principios y Teoremas

TEORA DE CIRCUITOS

CURSO 2008/2009

Departamento de Ingeniera Elctrica, Electrnica, Automtica y Comunicaciones

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales

2Contenidos1. Principio de superposicin2. Teorema de Thvenin

2.1. Determinacin de la resistencia de Thvenin3. Teorema de Norton4. Teorema de Millman5. Mxima transferencia de potencia

3Objetivos Aplicar superposicin para analizar un circuito con

dos o ms fuentes independientesDeterminar la corriente de cortocircuito y la tensin de

vaco en un circuito dadoDeterminar el circuito equivalente de Thvenin o de

Norton de un circuito Aplicar el mtodo de la fuente de prueba para

determinar el equivalente Thvenin o Norton de un circuito

Simplificar los problemas de anlisis de circuitos con el teorema de Thvenin o el de Norton

4Objetivos Elegir un mtodo de anlisis adecuado para

determinar la resistencia equivalente de Thvenin o de Norton

Aplicar los teoremas de compensacin, reciprocidad y el teorema de Millman a un circuito dado

Determinar en qu casos es posible aplicar los distintos teoremas

Determinar en qu casos la resolucin del circuito resulta o no ms rpida aplicando estos teoremas

Calcular la resistencia de la carga conectada en los terminales de un circuito para que disipe la mxima potencia posible

5Introduccin Los teoremas que se tratarn a continuacin

nicamente son aplicables a redes lineales

Un circuito es lineal cuando todos sus componentes son lineales, esto es, verifican una relacin v/i lineal

6sV 0Vs =

sI 0s =I

IntroduccinDesactivacin de fuentes

7 Si un circuito se energiza mediante n fuentes independientes, las tensiones o corrientes del mismo pueden obtenerse como la suma de las correspondientes tensiones o corrientes de cada uno de los circuitos que se obtienen desactivando n-1 fuentes independientes en el circuito original

A veces la aplicacin del principio de superposicin simplifica los clculos (y a veces no)

Inters prctico: circuitos en rgimen permanente sinusoidal

1. Principio de superposicin

8Principio de superposicin El teorema de superposicin es aplicable para el

clculo de tensin e intensidad, pero no para calcular la potencia

Se estudia el efecto de cada fuente desactivandolas dems fuentes independientes

Fuentes de tensin CortocircuitoFuentes de corriente Circuito abierto

Si en el circuito existen fuentes dependientes se mantienen en todos los circuitos en los que se descompone el original

9( )

Ai

A;11i; A i A;i

VvVv

vvv

vvvv

4

321

144

24186

31817

618120

418

01242

0236

120

2

1

212

2111

==

======

==

=++=++

6

3

2

4 12 A120 V i1

i2

i3i4

1 2

Ejemplo 1

10

Aii ; A i A;i

Vv vvv

'4

'3

'2

'1 56

30103

30156

30120

300636

1201

111

=======

==++

6

3

2

4 120 V 1i

2i3i

4i

1

Ejemplo 1

11

6

3

2

4 1i

2i 3i

4i

1 2

Avi

Avi

Avvi

Avi

Vv Vv

vvv

vvvv

''

''

''

''

64

43

62

26

2412

01242

0263

24

12

213

11

2

1

212

2111

==

==

==

====

=++=++

12 A

Ejemplo 1

12

A165iii A1165iii A6410iii A17215iii

''4

'44

''3

'33

''2

'22

''1

'11

==+==+=+===+==+=+=

6

3

2

4 12 A120 V i1

i2

i3i4

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1 V

+ -12

3

0

+

-

0 V

+ -

0

1

1 2

2

1

14

La equivalencia es desde los terminales ab

a

b

RTh

vTh

a

b

Red lineal

2. Teorema de Thvenin

15

Clculo de la tensin de Thvenin: Inspeccin, nudos, mallas,

Clculo de la resistencia de Thvenin:1. Corriente de cortocircuito. Vlido si tensin de

Thvenin es no nula

2. Desactivacin de fuentes. Vlido si el circuito original no tiene fuentes dependientes

3. Fuente de prueba. Vlido en cualquier caso

Teorema de Thvenin

16

La tensin de Thvenin es la tensin de circuito abierto

a

b

Red lineal

+

v0

Equivalencia en vaco (resistencia infinita):

RTh

VTh

a

b

+

VTh

0th vV =

Tensin de Thvenin

17

a

b

Red lineal

icc

Equivalencia en cortocircuito (resistencia cero):

RTh

VTh

a

b

icc

cc

0

cc

Thth i

viVR ==

La resistencia de Thvenin es el cociente entre la tensin de circuito abierto y la corriente de cortocircuito

2.1. Resistencia de ThveninCorriente de cortocircuito

18

V32v 0320v

525v

000 ==+

Tensin de vaco (resolucin por nudos):

20

5 4

3 Avabv0

25 V

a

b

Ejemplo 3

19

=====

==++

84

32ivR A;4

416i

V16v 04v3

20v

525v

cc

ththcc

Corriente de cortocircuito (resolucin por nudos):

icc20

5 4

3 Av

25 V

a

b

8 32 Va

b

Ejemplo 3

20

Ejemplo 4

21

1. Desactivar fuentes de tensin cortocircuitndolas (v=0)

2. Desactivar fuentes de corriente sustituyndolas por circuitos abiertos (i=0)

3. La resistencia vista desde ab es la resistencia de Thvenin

RTh RTh

a

bRTh

a

b

Circuito

desactivado

Resistencia de ThveninDesactivacin de fuentes (slo fuentes independientes)

22

=+== 84)20 5(RR abTh

Desactivacin

20

5 4

3 A25 V

a

b

20

5 4 a

b

Ejemplo 5

23

Ejemplo 6

24

BA

1

1 1 2

2

Ejemplo 7

25

1. Desactivar fuentes independientes

2. Aplicar en ab una fuente de tensin (corriente) de prueba

3. Calcular la corriente que suministra (la tensin en bornes de) la fuente

4. La resistencia de Thvenin es el cociente tensin/corriente en la fuente de prueba

Resistencia de ThveninFuente de prueba

26

Red

desactivada

Equivalente Thvenin

desactivado

PvPi

P

PTh i

vR =

ThV

ThR

Pi

Pv

P

PTh i

vR =

a

b

a

b

Resistencia de ThveninFuente de prueba

27 V5vV

V5v i500v

20003v-5i

(vaco) Thvenin de Tensin

xTh

x

Xx

xx

==

=

==

2 k

25 3 vx

vx

5 Va

b

20 ix

ix

Ejemplo 8

28

====

=

=

+=

100ivR ;

1001

2006

251

vi

2000v60

25vi

2000v3i

i2025vi

P

PTh

P

P

PP P

PX

XP

P

Fuente de prueba

b

ix2 k

25 3 vP

a

20 ixvP

iP

vP

Fuente desactivada

Ejemplo 8

29

iN

RN

a

b

a

b

Red lineal

3. Teorema de Norton

30

Clculo de la corriente de Norton, iN: Inspeccin, nudos, mallas,

Clculo de la resistencia de Norton, RN (igual que resistencia de Thvenin):

1. Tensin de vaco. Vlido si la corriente de Norton es no nula

2. Desactivacin de fuentes. Vlido si el circuito original no tiene fuentes dependientes

3. Fuente de prueba. Vlido en cualquier caso

Teorema de Norton

31

Tensin de vaco

a

b

Red lineal

Corriente de cortocircuito

+

v0

a

b

Red lineal

icc

ccN ii =cc

0

N

0N i

vivR ==

Resistencia de NortonCorriente de cortocircuito y tensin de vaco

32

Aplicar la transformacin de fuente al equivalente Thvenin

Th

ThN R

vi =

Thv

ThR a

b

iN

RN

a

b

ThN RR =

Teorema de Norton

33

Ejemplo 9

34

Ejemplo 10

35

1

1B

1

AB11B11AB R

vRvi ; viRv =+=

2

2B

2

AB22B22AB R

vRvi ; viRv =+=

k

kB

k

ABkkBkkAB R

vRvi ; viRv =+=

n

nB

n

ABnnBnnAB R

vRvi ; viRv =+=

R1

R2

Rk

Rn

i1

i2

ik

in

A

v1B +-

v2B

vkB

vnB

+-

+-

+-

B

Si tenemos un conjunto de resistencias conectadas en estrella a un punto A, de modo que sean conocidas las tensiones entre los extremos de cada una de las resistencias y un punto B, es posible hallar la tensin vAB

4. Teorema de Millman

36

0Rv

Rv

Rv

Rv

Rv

Rv

Rv

Rv

n

nB

k

kB

2

2B

1

1B

n

AB

k

AB

2

AB

1

AB =+++++ LLLL

nk21

n

nB

k

kB

2

2B

1

1B

AB

R1

R1

R1

R1

Rv

Rv

Rv

Rv

v+++++

+++++=

LL

LL

=

=

=

==

=

=

= == nk1k

k

nk

1kkkB

nk

1k k

nk

1k k

kB

ABG

Gv

R1

Rv

v

R1

R2

Rk

Rn

i1

i2

ik

in

A

v1B +-

v2B

vkB

vnB

+-

+-

+-

B

Teorema de Millman

37

R1

R1

R1

Rv

Rv

v

21

2

2

1

1

AB

++

+=

Clculo de la tensin vab

Ejemplo 11

38

Si se considera un circuito cualquiera, representado mediante su equivalente Thvenin, que alimenta a una resistencia RC, la condicin de mxima transferencia de potencia determina el valor de RC para que el consumo de potencia en esa resistencia sea mximo

5. Mxima transferencia de potencia

39

( )( )

( )

Th

2Th

2Th

Th2Th

max

ThCCThC2

CThC

C

4CTh

CThC2

CTh2Th

C

CC

2

CTh

ThC

2C

R4V

R4RVP

RR )RR(R2RR 0R d

)p(R dRR

)RR(R2RRVR d

)p(R d ;RRR

VRi)R(p

==

=+=+=+

++=

+==

RTh

VTh RC

a

b

i

Mxima transferencia de potencia

40

+

1

4

2

1 V 1 A

3v

+

v1

+A

B

Rc

Determinar Rc para que la transferencia de potencia a esta resistencia sea mxima

Ejemplo 12

41

Clculo de equivalente Thvenin entre A y B

Tensin de vaco

Resistencia de Thvenin

( ) V81413vAB =++=V8vv ABTh ==

== 4RR ABTh

Ejemplo 12

42

La resistencia de la carga que da lugar a una transferencia de potencia mxima:

El valor de la potencia mxima transferida es:

== 4RR Thc

( ) W44448P 2

2

max =+=

Ejemplo 12

43

Bibliografa

Captulo 6: A. J. Conejo, A. Clamagirand, J. L. Polo, N. Alguacil. Circuitos Elctricos para la Ingeniera. McGraw-Hill. Madrid, 2004. ISBN: 84-481-4179-2

Captulo 4: J. W. Nilsson, S. A. Riedel. Circuitos Elctricos. SptimaEdicin. Pearson Prentice Hall. 2005. ISBN: 84-205-4458-8

ContenidosObjetivosObjetivosIntroduccinPrincipio de superposicinBibliografa